Probabilités et Statistique pour SIC: Correction des exercices 2012

∑= e −λ(pλ)k (1−p) n−k λ n−kk! (n−k)!n≥k= e −λ(pλ)k e (1−p)λk!= e −pλ(pλ)kk!,X est donc poissonienne de paramètre pλ .Ensuite, pour l entier ≥ 0 fixé:P{Y = l} = ∑ n≥lP{Y = l|Z = n}P{Z = n}= ∑ n≥lP{X = n−l|Z = n}P{Z = n}= ∑ n≥lC l n pn−l (1−p) l e −λλnn!= e −(1−p)λ((1−p)λ)ll!,Y est aussi poissonienne de paramètre (1−p)λ . Enfin:∀k,l , P{X = k et Y = l} = ∑ n≥0P{X = k et Y = l|Z = n}P{Z = n}= P{X = k et Y = l|Z = k +l}P{Z = k +l}= C k k+l pk (1−p) l e −λλ( k +l)l!= e −pλ(pλ)k e −(1−p)λ((1−p)λ)lk! l!,X et Y sont bien indépendantes.Corrigé 47 La fonction de masse de X est donnée paret sa FGM M X (t) vautM X (t) =P(X = n) = p(1−p) n−1 ,∞∑ ∑∞e tn p(1−p) n−1 = pe t [e t (1−p)] n−1 =n=1n=1pe t1−e t (1−p) .Le premier moment est donné par M ′ X (0), soit E(X) = 1 p .Le deuxième moment est donné par la deuxième dérivée de M X (t) évalué en t = 0 et vautE(X 2 ) = 2 p 2 − 1 p .Corrigé 48 a) Arnaud mise au tour n 100×2 n−1 CHF.b) Arnaud a perdu aux tours précédents (tours 1 à n−1)n−1∑n−2∑100×2 i−1 = 100 2 i = 100(2 n−1 −1)i=1i=0c) Si Arnaud gagne au tour n, il récupère la quantité 2×100×2 n−1 alors qu’il a investi 100×2 n−1 +100(2 n−1 −1), soit un gain absolu de 100 CHF.d) Puisque chaque tour est une expérience de Bernouilli de paramètre p, le nombre de tours N avantsuccès suit une loi géométrique de paramètre p: P(N = n) = p(1−p) n .10