Probabilités et Statistique pour SIC: Correction des exercices 2012

On fait une intégration par parties et on obtient∫ ∞0xexp(−x/2)dx = −2xexp(−x/2) ∣ ∫ ∞∞ 0 +2 exp(−x/2)dx = 4,donc c=1/4. Par conséquent la probabilité que le système fonctionne au moins 5 mois est égale à∫ ∞5x4 exp(−x/2)dx = −exp(−x/2)∣ ∣ ∞ 5 − 1 2 xexp(−x/2)∣ ∣ ∞ 5 = e−5/2 + 5 2 e−5/2 ≃ 0.287.Corrigé 54 On doit trouver a tel que ∫ ∞−∞f(x)dx = 1. Donca =1∫ ∞0x 2 exp(−bx 2 )dx .0Si on fait le changement de variable y/ √ 2b = x on obtient∫ ∞0( ) 3 ∫ 1 ∞x 2 exp(−bx 2 )dx = √ y 2 exp(−y 2 /2)dy =2b0( ) 3√ ∫ 1 2π +∞√ ×2b 2 −∞y 2√2πexp(−y 2 /2)dy.La dernière intégrale est égale à 1 (c’est la variance d’une variable normale standard) et doncCorrigé 55et commeE(X) =∫ ∞−∞∫x 0π(1+x 2 ) dx =∫ ∞0a = 4 √ πb 3/2 .−∞∫x ∞π(1+x 2 ) dx+ xπ(1+x 2 ) dx.xπ(1+x 2 ) dx = 12π ln( 1+x 2) | ∞ 0 = ∞,diverge, on en déduit que X n’admet pas d’espérance mathématique.Corrigé 56 a) On calculeΓ(α) =∫ ∞0e −y y α−1 dx = −e −y y α−1 | ∞ 0 +(α−1)Γ(α−1) = (α−1)Γ(α−1) (α > 1).Puisque Γ(1) = 1, on en déduit que, pour n un nombre entier ≥ 1, Γ(n) = (n−1)!.b) On aE(X) = λαΓ(α)∫ ∞0∫ ∞x α e −λx dx = λα y α Γ(α+1)Γ(α) 0 λ αe−y1 dy = = α λ λΓ(α) λ .Corrigé 57 Soit P l’événement “la pièce acheté est pirate”. On a alors0On en déduit queπ(t) = P(P|T > t) ===P(T > t|P)P(P)P(T > t)14 e−5t14 e−5t + 3 4 e−2t11+3e 3tlim π(t) = lim P(P|T > t) = 0.t→∞ t→∞Corrigé 58 La fonction génératrice des moments est définie par M X (t) = E(e tX ). AinsiE(Y) = E(e X ) = M X (1) = exp(1/2),E(Y 2 ) = E(e 2X ) = M X (2) = exp(2),Var(Y) = E(Y 2 )−(E(Y)) 2 = exp(2)−exp(1).12