Probabilités et Statistique pour SIC: Correction des exercices 2012

Corrigé 62 Tout d’abord nous calculerons la loi de Y. C’est-à-dire,P(Y ≥ x) = P(X ≥ lnx) = √ 1 ∫ ∞e −y2 2 dy 2π=∫1 ∞√2πxe −(lny)2 2où dans la dernière égalité on a fait le changement de variable y → lny ′ . On en déduit que la densité dela loi de Y est{√1f(y) = 2πe −(lny)2 1 2ysi y ≥ 00 si y < 01y dyCorrigé 63 a) Soit f(x) la densité de X et f(y) la densité de Y. Remarquons quef(y) =∫ ∞0f(x,y)dx = xe−x(1+y)−(1+y)∣∞0lnx∣+ e−x(1+y) ∣∣∣∞−(1+y) 2On en déduit que Y a une loi donnée par P(Y < a) = a1+a. D’autre part,f(x) =∫ ∞0f(x,y)dy = e −x0=1(1+y) 2On en déduit que X est une variable aléatoire exponentielle de paramètre 1. X et Y ne sont pasindépendantes parce que f(x,y) ≠ f(x)f(y).b) Soit f(x) la densité de X et f(y) la densité de Y. Remarquons queD’autre part,f(x) =f(y) =∫ 1−x0∫ 1−y0f(x,y)dy = 60x∫ 1−x0y 2 dy = 20x(1−x) 3∫ 1−yf(x,y)dx = 60y 2 xdx = 30y 2 (1−y) 2X et Y ne sont pas indépendantes parce que f(x,y) ≠ f(x)f(y).Corrigé 64 On a pour tout réel z :PuisCorrigé 65 a) On aF Z (z) = F X (z)F Y (z),F˜Z(z) = 1−(1−F X (z))(1−F Y (z)) = F X (z)+F Y (z)−F X (z)F Y (z).f Z (z) = f X (z)F Y (z)+F X (z)f Y (z),f˜Z(z) = f X (z)(1−F Y (z))+f Y (z)(1−F X (z)).∫ t∀t ≥ 0, P{Z ≤ t} = λ 1 λ 2 e −λ1u {b) Rappelons que:0∫ t−u00e −λ2v dv}du∫ t= λ 1 e −λ1u (1−e −λ2(t−u) )du0∫ t= (1−e −λ1t )−λ 1 e −λ2t e (λ2−λ1)u du0{ (1−e−λ 1t )+ λ1=λ 1−λ 2(e −λ1t −e −λ2t ) si λ 1 ≠ λ 21−(1+λt)e −λt si λ 1 = λ 2 = λ∀t ∈ R, M Z (t) = E[e tZ ] = E[e tX e tY ] = E[e tX ]E[e tY ] (par ind.) .14