Probabilités et Statistique pour SIC: Correction des exercices 2012

Corrigé 76 a) Avec n mesures, l’intervalle de confiance à (1−α) = 90% pour m est:[X n − σ √ nz 1−α/2 ;X n + σ √ nz 1−α/2 ](X n étant la moyenne arithmétique des n mesures). L’IC a pour longueur2(σ/ √ n)z 1−α/2 . Pourdiminuerde moitié la longueur de cet intervalle, il faut donc quadruplerle nombre de mesures effectuées, autrementdit effectuer 75 mesures supplémentaires.b) Soit α = 0,1 et α ′ = 0,05, Pour obtenir un intervalle de confiance à 95% pour m ayant la mêmelongueurquel’ICà90%,ilfautdoncunnombren ′ demesuresquisoittelque: √ √n ′ n×z1−α ′≃/2z 1−α/2≃ 5,958,soit n ′ = 35.5, donc 11 mesures supplémentaires.Corrigé 77 a) On sait que:√6(ˆmX−m 1)ˆσ Xsuit une loi de Student à 5 degrés de liberté. On a ensuite:P{ˆm X −a ≤ m 1 ≤ ˆm X +a} = P{|ˆm X −m 1 | ≤ a}= P{m 1 −a ≤ ˆm X ≤ m 1 +a}√ √ √6 6 6= P{−a ≤ (ˆm X −m 1 ) ≤ a }.ˆσ X ˆσ X ˆσ XCette probabilité vaut 0,95 si: a √ 6ˆσ X≃ 2,57. Ici: ˆσ x ≃ 1,673, on obtient donc: a ≃ 1,756, puisDe même,√12(ˆmY −m 2)ˆσ YI x = [47,44;50,96].suit une loi de Student à 11 degrés de liberté, la probabilité P{ˆm Y −a ′ ≤ m 2 ≤ˆm Y +a ′ } vaut donc 0,95 pour √ 12ˆσ Y.(a ′ ) ≃ 2,2, ainsiI y = [47,29;49,51].b) √ 6( ˆmX−m1σ 1) suit une loi normale centrée réduite, et:√6P{|ˆm X −m 1 | ≤ a} = P{−a≤ √ 6( ˆm X −m 1) ≤ aσ 1 σ 1√6σ 1},vaut 0,95 pour a √ 6σ 1≃ 1,96, i.e.: a ≃ 1,265. Le nouvel intervalle de confiance à 95% pour m 1 est doncJ x = [47,935;50,465].Pour le deuxième échantillon, les calculs donnent: a ′ ≃ 1,962≃ 0,98, et le nouvel intervalle de confiance à95% pour m 2 est doncJ y = [47,42;49,38].c) (ˆm X − ˆm Y ) est encore normale, d’espérance (m 1 −m 2 ) et de variance: σ1 2/6+σ2 2 /12 = 2/3,I = [(49,2−48,4)−1,64. √ 2/3;(49,2−48,4)+1,64. √ 2/3] = [−0,54;2,14]fournit donc un intervalle de confiance à 90% pour la différence (m 1 −m 2 ).Corrigé 78 a) On a:ˆm =S 2 =1(9×2001+21×2003+...+3×2023) ≃ 2010,73,10001999 (9×(2001−2010,73)2 +21×(2003−2010,73) 2 +...+3×(2023−2010,73) 2 ) ≃ 12,81.b) Soit Z une variable N(0;1). On a: P{Z > 1,96} ≃ 0,025,P{Z > 2,58} ≃ 0,005 . L’intervalle deconfiance à 95% pour la moyenne m est donc:[ˆm− 1,96×S √1000; ˆm+ 1,96×S √1000] ≃ [2010,51;2010,95].L’intervalle de confiance à 99% pour la moyenne m est:[ˆm− 2,58×S √1000; ˆm+ 2,58×S √1000] ≃ [2010,44;2011,02].18