Probabilités et Statistique pour SIC: Correction des exercices 2012

X 1 X 2 X 3 somme poids probabilité3 6 6 15 3 1/2164 5 6 15 3! 1/2164 6 6 16 3 1/2165 5 5 15 1 1/2165 5 6 16 3 1/2165 6 6 17 3 1/2166 6 6 18 1 1/216La cinquième colonne correspond au nombre de façons qu’il y a d’obtenir les valeurs de X 1 , X 2 etX 3 données. Et la sixième colonne correspond à la probabilité de chaque configuration (c’est-à-dire1/6 3 = 1/216). Alors, la probabilité recherchée est égale àP(E) = (3+6+3+1+3+3+1)216= 20216 ≃ 0.0926.Corrigé 21 Laprobabilitéqu’aucunedesdeuxpiècesnetombesurpileestégaleàlaprobabilitéd’obtenir(F,F). C’est à dire 1/4. Alors, la réponse récherchée est 1−1/4 = 3/4.Corrigé 22 On utilise le fait que l’événement “avoir au moins un succès” est le complémentaire del’événement “n’avoir aucun succès”. La probabilité d’obtenir au moins un 6 avec 4 dés est donc de1−(1− 1 6 )4 ≃ 0,518,et la probabilité d’obtenir au moins un double 6 lors de 24 jets de deux dés est de1−(1− 1 36 )24 ≃ 0,491.Corrigé 23 On ne peut pas en conclure que P(S = 9) = P(S = 10) car les configurations ne sont paséquiprobables. Si l’on tient compte de l’ordre elles le sont, il faut donc tenir compte des permutationspossibles de chaque configuration. Ainsi (3,3,3) ne “compte qu’une fois” alors que (5,2,2) “compte triple”et (5,3,1) “compte six fois”. On obtient P(S = 9) = 256et P(S = 10) = 273 6. 3Corrigé 24 P{”il gagne”} = 1−P{”il perd”} = 1− 16×15×1420×19×18 .Corrigé 25 a) et b) La réponse est la même:c) On obtientP = 15·14·13·10·925·24·23·22·21 = 0.03854.P = 15·14·10·9·825·24·23·22·21 = 0.0237.Corrigé 26 a) L’ensemble fondamental de cette expérience est Ω = {(D 1 ,D 2 ), où D i ,i = 1,2 est unecouleur qui peut être blanche ou noire}.b) On aP(B 1 ) = 4 6 = 2 3P(B 2 |B 1 ) = P(B 2 ∩B 1 )=P(B 1 )46 · 354626 · 4526= 3 5P(B 2 |B1 c ) = P(B 2 ∩B1 c)P(B1 c) = = 4 5P(B 2 ) = P(B 1 ∩B 2 )+P(B1 c ∩B 2 ) = 4 365 + 2 465 = 2 3c) Remarquons que P(B 1 ∩B 2 )+P(B c 1 ∩B 2) = P(B 2 ) et que P(B 1 ∩B c 2 )+P(Bc 1 ∩Bc 2 ) = P(Bc 2 ).Alors, P(B 2 )+P(B c 2) = 1 donne l’égalité recherchée.4