Probabilités et Statistique pour SIC: Correction des exercices 2012

Corrigé 88 a) On a E(¯T) = θ/2 et Var(¯T) = θ212n donc E(θ 1) = θ et Var(θ 1 ) = θ23n → 0.b) P(M n < m) = P(T 1 < m et T 2 < m... et T n < m), donc⎧⎨ (m/θ) n si m ∈ [0,θ]P(M n < m) = 1 si m > θ⎩0 si m ≤ 0Par intégration, E(M n ) = nθn+1 et E(M2 n ) = nθ2n+2 donc Var(M n) =nθ 2(n+2)(n+1) 2 .c) On prend θ 2 = n+1n M n. On a E(θ 2 ) = θ et Var(θ 2 ) = θ2n(n+2)→ 0 quand n → ∞.d) Puisque la variance de θ 2 est plus faible que la variance de θ 1 (donc risque quadratique plus faible),il est préférable d’utiliser θ 2 .ete) M n et θ 2 convergent vers θ en probabilité car:∀ǫ > 0, P{|M n −θ| > ǫ} = P{(θ−M n ) > ǫ} = ( θ −ǫ ) n −→ 0θP{|ˆθ 2 −θ| > ǫ} = P{|M n − nn+1 θ| > nn+1 ǫ} = P{M n < nn+1 (θ−ǫ)}+P{M n > n (θ+ǫ)} −→ 0.n+1Corrigé 89 a) La loi a posteriori s’écritb) La densité a posteriori s’écritqui est maximale lorsquesoit l’estimateur du maximum a posteriorif(θ|t) ∝ f(t|θ)f(θ) ∝ θe −θ(λ+t) .f(θ|t 1 ,...,t n ) ∝ θ n e −θ(λ+∑ ni=1 ti)nθ n−1 −θ n (λ+ˆθ MAP =Corrigé 90 a) D’après l’énoncé, la loi a priori de p est)n∑t i = 0i=1nλ+ ∑ ni=1 T iP(p = 0.05) = P(p = 0.1) = 0.5.Pour p fixé, X suit une loi binomiale de paramètres n = 20 et p:b) D’après la formule des proabilités totales,P(X = k|p) = C k n pk (1−p) n−k .P(X = 3) = P(X = 3|p = 0.05)P(p = 0.05)+P(X = 3|p = 0.1)P(p = 0.1)= 0.0596×0.5+0.1901×0.5 = 0.1249.c) Parmi les 20 composants, 3 composants ont été détectés comme défecteux. Les probabilités aposteriori de p = 0.05 et p = 0.1 sont, d’après le théorème de Bayes,P(p = 0.05|X = 3) =P(p = 0.1|X = 3) =P(X = 3|p = 0.05)P(p = 0.05)P(X = 3)P(X = 3|p = 0.1)P(p = 0.1)P(X = 3)= 0.0596×0.50.1249= 0.1901×0.50.1249= 0.2386= 0.7614Il est a posteriori trois fois plus probable que 10% des composants soient défectueux, plutôt que 5%.d) L’espérance a posteriori de p estE(p|X = 3) = 0.05×P(p = 0.05|X = 3)+0.1×P(p = 0.1|X = 3) = 0.0881.22