Probabilités et Statistique pour SIC: Correction des exercices 2012

Corrigé 32 L’ensemble fondamental de cette expérience est Ω = {(E 1 ,E 2 ) où E 1 est le sexe du premierenfant et E 2 est le sexe du deuxième}. L’événement “les deux enfants sont des filles” est A = {(F,F)},et “l’aînée en est une” est B = {(F,F),(F,G)}. La probabilité recherchée estP(A|B) = P(A∩B)P(B)= P(A)P(B) = 1/41/2 = 1 2 .Corrigé 33 L’ensemble fondamental de cette expérience est Ω = {(D 1 ,D 2 ) où 1 ≤ D i ≤ 6 et i = 1,2}.Appelons A l’événement “au moins l’un d’entre eux montre 6”, et B l’événement “les deux résultats sontdifférents”. On veut calculerMais, P(B) = 6·56·6 = 5 6 etAlors, la probabilité recherchée estP(A|B) = P(A∩B) .P(B)P(A∩B) = P(B)−P(A c ∩B) = 5 6 − 5·46·6 = 5 6 − 5 9 .P(A|B) = 1− 6 9 = 1/3.Corrigé 34 Soit A l’événement “la première carte tirée est un pique” et B l’événement “les deuxdernières en sont”. Remarquons queP(A∩B) = 13 1211525150P(B) = P(A∩B)+P(A∩B c ) = 13 1211525150 + 39 1312525150Alors, la probabilité recherchée est égale à P(A|B) =13·12·1113·12·11+39·13·12 = 1150 .Corrigé 35 Soit D l’événement “la personne selectionée est un daltonien”, H l’événement “elle est unhomme” et F l’événement “c’est une femme”. Tout d’abord, par la formule de Bayes on aP(H|D) =P(D|H)P(H)P(D|H)P(H)+P(D|M)P(M)Si on admet que les hommes sont aussi nombreux que les femmes, alors P(H) = P(F) = 1/2 etP(H|D) =5100 · 125100 · 12 + 0,25100 · 12= 55.25 = 2021 .Si au contraire il y avait deux fois plus de femmes que des hommes, on aurait,P(H|D) =5100 · 235100 · 23 + 0,25100 · 13= 1010.25 = 4041 .Corrigé 36 D’abord remarquons que si Xavier et ses deux parents ont les yeux marrons et si la soeur deXavier a les yeux bleus, il faut que les deux parents aient chacun un gène oeil bleu et un autre marron.a) Xavier peut avoir des gènes (M,M),(M,B) et (B,M), alors, la probabilité que Xavier ait un gèneoeil bleu est 2/3.b) On définira par G X , G F et G E les gènes yeux de Xavier, de sa femme et de son enfant. Alors,P(G E = (B,B)) = P(G X ∈ {(M,B),(B,M)}) 1 2 = 2 132 = 1 3 .Corrigé 37 L’ensemble des valeurs possibles prises par X 1 est S = {1,2,3,4,5,6}. L’énumération desdifférents cas possibles donne:P(X 1 = 1) = 1/36 P(X 1 = 2) = 1/12P(X 1 = 3) = 5/36 P(X 1 = 4) = 7/36P(X 1 = 5) = 9/36 P(X 1 = 6) = 11/366