Probabilités et Statistique pour SIC: Correction des exercices 2012

Corrigé 39 a) On numérote les boules blanches de 1 à N . Soit X i la v.a. définie par: X i = 1 si laboule blanche numéro i a été tirée, 0 sinon.On aP{X i = 0} =P{X i = 1} =Comme X = ∑ Ni=1 X i, on en déduit que:M +N −1 +N −2.MM +N M +N −1 ... M +N −n M +N −n=M +N −n+1 M +N ,nM +N .E(X) =N∑i=1E(X i ) = NnM +N .b) On numérote les boules noires de 1 à M et pour 1 ≤ j ≤ M , on définit Y j par: Y j = 1 si la boulenoire numéro j a été tirée avant la première boule blanche, 0 sinon. Pour chaque 1 ≤ j ≤ M :P{Y j = 1} = 1N +1 .(les événements ”la boule noire numéro j est tirée avant toutes les boules blanches” et ”la boule blanchenuméro i est tirée avant toutes les autres boules blanches et avant la boule noire numéro j” sontéquiprobables). Comme X = ∑ Mj=1 Y j +1, on obtient:E(X) = 1+ MN +1 .Corrigé 40 a) On appelle X i la somme de 2 dés au i–ème jet: X i ∈ {2,...,12}. On a P(X i = 5) = 1/9et P(X i = 7) = 1/6. On appelle τ le temps d’arrêt du jeu, τ = 1,2,..., et F j = {τ = j} est l’événementque le jeu s’arrête au j–ème jet. On note que on peut ecrire l’événement F j comme[]{X j = 5 ou X j = 7}∩ ∩ j−1i=1 {X i ≠ 5 et X i ≠ 7}En utilisant cela et l’indépendance des variables X i on obtient que pour tout jP(X j = 5|F j ) = P ({X j = 5}|{X j = 5}∪{X j = 7}) =1/91/9+1/6 = 2 5 .b) Puisque le jeu va s’arrêter presque sûrement (c’est–à–dire ∑ ∞j=1 P(F j) = 1), par la formule de laprobabilité totale on arrive àP( le jeu s’arrête avec un 5 ) =c) Par définition de τ et F j on a∞∑( ) 2 ∑ ∞P(X j = 5|F j )P(F j ) = P(F j ) = 2 5 5 .j=1E(τ) =∞∑jP(F j ).Puisque que P(X i = 5 ou X i = 7) = 5/18, on voit facilement queP(F j ) =j=1(1− 5 ) j−1 ( ) 5.18 18On est donc en train de calculer l’espérance d’une loi géométrique de parametre 5/18 et on conclutE(τ) = 185 = 3.6Corrigé 41 a) X suit une loi binomiale de paramètres n et p: P{X = k} = C k np k (1−p) n−k .b) Voir cours. E(X) = np et Var(X) = np(1−p) .j=18