nouveaux resultats theoriques concernant les cartes topologiques 1

Bulletin d’information des Laboratoires Centraux de Thomson CSF, décembre 19925 Interprétation comme algorithme de minimisationd’une fonction de Lyapounov5.1 Quelques résultats théoriquesPropriété 1 : Propriété du barycentre :E xDkx W l 2 W l b k 2 E xDkx b k 2Démonstration :E xDkx W l 2 E xDk x b k b k W l 2 E xDk x b k 2 W l b k 2 2E xDkx b k b k W l E xDk x b k 2 W l b k 22E xDk xb k E xDk x W l b k b k b k W l E xDk x b k 2 W l b k 2Propriété 2 :Lorsque le réseau est sufsamment organisé, l’algorithme de Kohonen et l’algorithme VQNsont des algorithmes de minimisation de la fonction de Lyapounov suivante :e QMV MMl1 k1 kl p k E xDkx W l 2Démonstration :Lorsque les classes D k sont xées, minimiser e QMV revient à minimiser :e QMV MMl1 k1 kl p k W l b k 2car d’après la propriété 1 :E xDkx W l 2 W l b k 2 E xDkx b k 211