nouveaux resultats theoriques concernant les cartes topologiques 1

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Bulletin d’information des Laboratoires Centraux de Thomson CSF, décembre 19927. n n 1Si n cardA,alleren(3)8. t=t+1Si t T aller en (2)Les coefcients jk t sont de la forme t d j k. La distance d détermine la dimensiondu réseau. Pour les réseaux 1D, nous avons d j k j k, et nous proposons deprendre un voisinage gaussien, qui donne de meilleurs résultats en pratique que le voisinageuniforme proposé par Kohonen : jk t 0 e jk22 2 t (2)La constante 0 est nommée “vitesse d’apprentissage”. Kohonen suggère des valeurs del’ordre de 10 1 . L’écart type t décroît avec t selon une loi exponentielle : tT 1T 1 t 0 0Il est clair qu’à chaque modication des poids, le vainqueur et ses voisins vont déplacerleurs vecteurs poids en direction du vecteur d’entré x. Par conséquent, la dynamiquedu réseau peut être vue comme le résultat d’une force externe (adaptation aux vecteursd’entrée), et d’une force interne (les relations de voisinage, qui forcent des neurones voisinsà avoir des poids voisins). Kohonen a validé son algorithme sur des données issues dutraitement de la parole, et a montré que les neurones s’organisent automatiquement demanière à représenter au mieux les phonèmes, tout en préservant les relations topologiques(des neurones voisins répondent à des phonèmes de sonorités voisines).On peut illustrer les propriétés du réseau de Kohonen sur un exemple simple. Supposonsque le vecteur d’entrée soit de dimension 2 et que ses composantes correspondent auxcoordonnées d’un point tiré au hasard à l’intérieur d’un triangle On réalise l’apprentissageen présentant un grand nombre de tels vecteurs. Comme chaque neurone a deux poids,on peut représenter les neurones par des points du plan. A l’issue de l’apprentissage, onconstate qu’ils respectent une disposition du type de celle qui est représentée sur la gure2. Le réseau de neurones, qui peut être considéré comme une courbe monodimensionnellea donc réalisé une approximation d’une partie d’un espace à deux dimensions (le triangle).L’algorithme de Kohonen peut également s’appliquer pour un réseau de neurones dedimension supérieure. Par exemple, pour un réseau à deux dimensions, les neuronessont distribués dans un plan et les relations de voisinage correspondent au voisinagebidimensionnel (g 3).4
Bulletin d’information des Laboratoires Centraux de Thomson CSF, décembre 1992yFIG. 2: Auto-Organisation dans un trianglexneuronevoisinageentreesFIG. 3: Le modèle des Cartes Topologiques (2D)Pour la clarté de la présentation, seuls les réseaux de dimension 1 sont considérés dansla suite. La généralisation aux dimensions supérieures est aisée car la dimension duréseau est entièrement déterminée par les valeurs des coefcients jk .Ilsuft donc de5
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