1. LES PRINCIPES DE LA MECANIQUE QUANTIQUE

qui possède au plus n solutions distinctes appelées valeurs propres. A chaque valeur propre λ k estassocié un vecteur propre de composantesx ,...,1, x2xnque l’on notera S k , S 2k,... S nkcaractéristique (1.24) implique la singularité du système linéaire (1.23) en1 . L’équationx ,...,1 , x2xn; une relationsupplémentaire doit donc être ajoutée de façon à résoudre (1.23). Cette relation est arbitraire ; on optera∑i2i =généralement pour la condition de normation x 1. La fonction propre ψ k correspondant à lavaleur propre λ k peut se mettre sous la formeψk=n∑i=1S ϕ .ikiLa matrice (n,n) S construite à partir des éléments S ik définie ci-dessus n’est autre que la matrice depassage de la base { ϕ i } vers la base { k }ψ (on peut montrer que les fonctions ψ k sont indépendantes).La matrice B obtenue à partir de A sous l’effet de ce changement de base : B = S -1 A S, est une matricediagonale (sa k ième colonne représente l’image de la fonction ψ k sous l’effet de l’opérateur  ) :⎡λ1⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣λ20..0.λ n⎤⎥⎥⎥⎥.⎥⎥⎥⎥⎥⎦On a ainsi diagonalisé la matrice A.On retrouvera, à propos de leurs matrices associées, les propriétés des opérateurs hermitiques :• les valeurs propres sont réelles.• à deux valeurs propres distinctes sont associés deux vecteurs propres orthogonaux. L’ensemble (ψ k )constitue alors une base orthonormée et la matrice des vecteurs propres est telle que S -1 = S † .Les invariants d’une matrice sont la trace et le déterminant. Avec B = S -1 A S, il vient :11• Tr(B)= ∑(S− ) ik AklSli= ∑(∑ S ( S−li ) ik ) Akl= ∑δlk Akl= Tr(A)i, k,lk,l−1• det( B ) = det( S ) det( A) det( S)= det( S S) det( A)= det( A)i−1k,lExercice 1.5. : Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres des trois matrices ci-dessous (matrices dePauli)⎛10 ⎞⎛01⎞⎛ 0 i ⎞⎜⎟⎝0−1⎜⎟⎠⎝10⎜⎟⎠ ⎝− i 0⎠10