1. LES PRINCIPES DE LA MECANIQUE QUANTIQUE

Ce commutateur n’a de sens que s’il est appliqué à une fonction ψ. Lorsque ce commutateur est nul, les deuxgrandeurs A et B sont dites compatibles, puisque, comme cela est démontré ci-dessous, les opérateurs  et Bˆpossèdent le même ensemble de vecteurs propres.Supposons donc que [  , Bˆ ]=0 et queOn peut donc écrire :Bˆ Aˆψ = AˆB =k( ˆψ) a ( Bˆψ )Il résulte de la dernière égalité que ( ˆ BψkkkA ˆ ψ k = a k ψ k ( ψ kkvecteur propre de  associé à la valeur propre de a k ).) est vecteur propre de  associé à la valeur propre de a k . S’il existeun seul type de vecteur propre associé à a k (les différents vecteurs propres ne se distinguant que par un facteurmultiplicatif), autrement dit si a k n’est pas dégénérée, alors ( ˆ Bψ k ) est proportionnel à ψ k :ˆ ,( Bψ k ) = bkψ kce qui signifie queψ k est également vecteur propre de Bˆ . En d’autres termes, un état propre de  (pour lequella mesure de la grandeur A conduit à akpour tout système) est encore état propre de Bˆ : les grandeurs A et Bsont donc déterminables conjointement avec une précision infinie, d’où la notion de compatibilité de ces deuxgrandeurs. (Le raisonnement qui vient d’être développé peut être généralisé au cas de valeurs propresdégénérées).Exercice 1.4Calculer les commutateurs ˆ, pˆ]x et [ xˆ, ˆ ][ yp xL’incompatibilité de ces deux dernières grandeurs (position et quantité de mouvement) peut être évaluée aumoyen de la relation d’incertitude de Heisenberg :Δ xΔph(1.16)x ≈qui indique que les incertitudes commises sur la mesure de la position et de la quantité de mouvement sontcorrélées (si x pouvait être mesuré avec une précision infinie, Δx=0, alors Δp x =∞, et la quantité de mouvementest totalement indéterminée).1.4. Matrice associée à un opérateurSoit un vecteur ψ , décrivant un état du système, développé sur une base orthonormée { φ i } :nψ = ∑ x φi=1iiDe même, le vecteurψ ' résultant de l’action d’un opérateur  sur ψ ( ψ ' =  ψ peut s’écrire :ψ ' ∑ x φ= 'iiiIl est clair qu’à ψ et ψ ' peuvent être associées deux matrices colonnes X et X ' :7