1. LES PRINCIPES DE LA MECANIQUE QUANTIQUE

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$LSM 5.504 / PCMC 7.702 Cristallographie - Diffraction des Rayons X-$

Ainsi, si [w] comporte n valeurs propres distinctes, on trouve n corrections de l’énergie au 1 ier ordre (ε Edégénérescence est totalement levée. Elle ne l’est que partiellement si certaines valeurs propres sont multiples.(1)ri) et laRemarque 1 : Les valeurs propres et vecteurs propres de [w] diffèrent de celles de [W] et il faut se garder de(0)riconsidérer les ψ comme des fonctions propres de Vˆ .Remarque 2 : L’énergie moyenne calculée pour un état qui serait défini pareffet :0 (0)(0) (0) (0)E = ψ0 Hˆri 0 + εWˆψ ri = Er+ ε∑d ij d ij'φrjW ˆ φrj'= Er+j,j'(0)ψ ri est égale àt[ d ][ w][ d](1)où [d] représente une matrice colonne contenant les composantes d ij . Comme [ w][ d] = E [ d ]riE(0) (1)r ε E ri+ . EnE(0)(1)= E r + ε E riFinalement, on constate que l’on se ramène au cas d’une valeur propre simple en choisissant comme fonctionsd’onde non perturbées l’ensemble { }0( riφ défini à partir des vecteurs propres de [w].Ceci est vrai en particulier pour la détermination de la correction au premier ordre de la fonction d’onde :Vψ = ψψ(A.1.13)ri( 0) ( ) kriri + ∑ (0) (0)k∉riEr− Ek(0)kCalcul au deuxième ordre :(2)E rAvecHˆ= Hˆ+ Wˆ, en utilisant les développements (A.1.5) et en ne conservant que les termes en ε 2 , on0 εobtient :Wˆψ + ψ = E ψ + E ψ + E ψ(A.1.14)( 1) ˆr H 0(2)r(1)r(2)r(2)r(0)r(Si on a affaire à une valeur de l’énergie dégénérée, on substituera à ψ les ψ définis plus haut).(0)*rEn multipliant (A.1.14) à gauche par ψ ou ψE(2)r=∑k≠rW WE − Erk(0)rkr(0)k(0)*ri(0)r(2)r(0)r(0)ri, et en intégrant sur tout l’espace, on peut calculer(A.1.15)(2)E r :Finalement, l’opérateur Vˆ étant hermitique, l’énergie du système perturbée, corrigée jusqu’au deuxième ordre,s’écrit :Er= E( V kr+ ( V ) rr + ∑(A.1.16)(0) (0)E − E)( 0)rk ≠rr2kOn peut associer à l’énergie corrigée au deuxième ordre, une fonction d’onde corrigée au premier ordre.18
Solution des exercices et problèmes du chapitre 1Exercice 1.1.1) Fonction de carré sommable ; 2) c = 2 / L ; 3) courbes ci-dessous. On constate que, contrairement à unsystème macroscopique, la densité de probabilité n’est pas uniforme et dépend du nombre quantique k. Pourcertains points, la densité de probabilité est nulle.k=3k=2k=1x0 L/3 L/2 2L/3 LLes densités de probabilité peuvent faire penser à la distribution électronique dans les polyènes conjugués (voirproblème 1.1.).Exercice 1.2.1) V=0 pour 0≤x
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