1. LES PRINCIPES DE LA MECANIQUE QUANTIQUE

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$LSM 5.504 / PCMC 7.702 Cristallographie - Diffraction des Rayons X-$

A * = ψ Aˆψ * = Aˆψ ψ = ψ Aˆψ =AA propos de la définition de la valeur moyenne, on peut remarquer quex=∫ espace2xψ dτ2ψ représentant la densité de probabilité. Cette dernière s’apparente à une fonction de distribution et onretrouve la définition classique d’une moyenne.Opérateurs usuelsLa première étape du passage à la mécanique quantique consiste à remplacer dans toute expression les grandeursclassiques par leurs opérateurs associés. Comme indiqué dans l’énoncé du postulat précédent :- Aux grandeurs de positions x,y,z sont associées les fonctions x,y,z elles-mêmes. Les opérateursinterviennent alors de façon purement multiplicative.x ˆ = x(1.8)- A la composante p x de la quantité de mouvement est associé l’opérateur :h ∂pˆ x =(1.9)i ∂xIl en résulte que l’opérateur associé à l’énergie cinétique qui, en mécanique classique, peut s’écrire2 2 2( p + p p )1T = x y +2mzest de la forme :2 2 2 2 2∂ ∂ ∂Tˆh ⎛⎞ h= − ⎜ + + ⎟ = − Δ(1.10)2m2 2 2∂x∂y∂z⎝⎠ 2mL’opérateur associé à l’énergie totale T+V est appelé opérateur hamiltonien Ĥ :Hˆ2h= − Δ + Vˆ2m(1.11)où Vˆ est l’opérateur associé à l’énergie potentielle, obtenu en remplaçant, dans cette dernière, les grandeursclassiques par leurs opérateurs associés.Exercice 1.2Donner la forme de l’opérateur Vˆ1) pour la particule confinée sur un segment de droite.2) pour l’oscillateur (particule subissant une force de rappel proportionnelle à son élongation x = r − re;r, r e : distances entre la particule et un point fixe, respectivement pour une position quelconque et à l’équilibre ;la constante de proportionnalité sera notée k).3) pour l’électron dans l’atome d’hydrogène.4
Exercice 1.3.On reprend l’exemple de la particule confinée sur un segment de droite de longueur L et la fonction d’onde del’exercice 1.1.1) Calculer la valeur moyenne de la position et commenter.2) Calculer la valeur moyenne de la quantité de mouvement et commenter.Etats propresPrincipe n° 3Si l’état d’un système est décrit par un vecteur ψ k , tel queA ˆ ψ = ψ , on dira que ψ k est un vecteurk a kkpropre de l’opérateur Â associé à la valeur propre a k . Alors, la mesure de A dans cet état conduit toujours (pourtout système) à la même valeur a k . L’observable est alors définie par une valeur unique et non plus en valeurmoyenne.Les propriétés démontrées ci-dessous sont liées à ce principe :- Les valeurs propres d’un opérateur hermitique sont réelles. Aˆψ k = a k ψ kentraîne queak= ψ A ˆ ψ (pour simplifier, on supposera que le vecteur ψ k est normé) donckk*a k = a k .- Si ψ k est un vecteur propre, λ ψ k l’est également. En choisissant convenablement λ, il sera donctoujours possible de normer un vecteur propre.- Les vecteurs propres d’un opérateur hermitique sont orthogonaux s’ils sont associés à des valeurspropres distinctes.SoientA ˆ ψ k = a k ψ k et Aˆψ l = a l ψ l. On peut alors écrirel A ˆ ψ k akψ l ψ k et ψ k A ψ l = alψ k ψ lψ =ˆ .En prenant le conjugué complexe de cette dernière relation, il vient (puisque a l est réelle) :ψ Aˆψ = a ψlkllψIl en résulte que ( a − ) ψ = 0kk a l ψ k l . Comme a k ≠a l , les deux vecteurs kψ et ψ l sont orthogonaux. Cettepropriété peut être étendue au cas de valeurs propres multiples (dites encore valeurs propres « dégénérées »).- Soient deux opérateurs Â et Bˆ indépendants, c’est-à-dire agissant sur des fonctions de naturedifférente. Si on désigne par ψ k et φ l les vecteurs propres des opérateurs Â et Bˆ , associées aux valeurs propresa k et b l , alors les vecteurs propres de A ˆ + B ˆ sont obtenus en effectuant tous les produits possibles ψ k φ l , lesvaleurs propres correspondantes étant égales à (a k +b l ) :( A + B ˆ ) ψ kφl= ( ak+ bl) ψ kφlˆ (1.12)- Les vecteurs propres de l’opérateur hamiltonien correspondent à des états pour lesquels l’énergie dechaque système est parfaitement définie. Il s’agit donc d’états stationnaires (le système ne subit aucuneinteraction susceptible de modifier son énergie au cours du temps). L’équation aux valeurs propres del’hamiltonien :5
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