1. LES PRINCIPES DE LA MECANIQUE QUANTIQUE

Problème 1.2. : l’effet tunnel1) Soit un flux de particules libres sur une droite indéfinie x (allant de -∞ à +∞) sans aucune position privilégiée.a) Ecrire l’équation de Schrödinger et résoudre l’équation différentielle correspondante (on notera α laquantité22mEh. Exceptionnellement, du fait de l’incommensurabilité du système, on ne pourra pasdéterminer les constantes d’intégration et/ou de normation).b) Montrer que chacun des deux termes de la solution trouvée ci-dessus est fonction propre del’opérateur pˆx (opérateur quantité de mouvement). En déduire leur signification physique ainsi que l’expressionde la densité de particules associée à chacun de ces deux termes (en fonction des constantes d’intégration).2) Soit une particule (ou un flux de particules) se déplaçant de la gauche vers la droite et soumise au potentielreprésenté par la figure ci-dessous. On supposera que les particules de la zone (ou la probabilité de présenced’une particule dans la zone ) proviennent de la zone après franchissement de la barrière de potentiel V 0 . Ondésignera par E l’énergie totale de la particule, qui, bien entendu se conserve dans les zones , et . Onsupposera que E < V 0 , d’où l’expression « effet tunnel ».VV 001 2 3La) Ecrire et résoudre l’équation de Schrödinger pour chacune des 3 zones (en plus de la quantité α( )2mV0− Edéfinie plus haut, on utilisera β =).2hb) Indiquer pourquoi l’une des 6 constantes d’intégration peut être considérée comme nulle. En utilisantet en justifiant les conditions de raccordement en x=0 et x=L, montrer que les 5 constantes restantes sont liéespar 4 relations.3) De façon à éviter au lecteur des calculs sans intérêt (qui découlent des équations établies précédemment), ondonne le rapport des coefficients associés aux particules se déplaçant vers les x positifs dans les régions et :C=4iαβ2 ( iα−β) L2 ( iα+ L[( iα+ β ) e − ( iα− β ) e ]C 1 1 β )3xa) Pourquoi la quantitéτ =2C 3 C21est-elle appelée coefficient de transmission ? Donnerl’expression de 1/τ en utilisant le résultat ci-dessus et vérifier que τ→1 si L→0.11