1. LES PRINCIPES DE LA MECANIQUE QUANTIQUE

Soit une particule de masse m assujettie à se déplacer selon la direction X et dont la position par rapport à unpoint fixe O est notée r (r e : distance à l’équilibre). En dehors de cette position d’équilibre, la particule estsoumise à une force de rappel F = -kx où x = r − r e (x est appelée variable d’élongation ; k est appeléeconstante de rappel ou constante de force).1) Rappeler brièvement le résultat essentiel d’un traitement classique ( fréquence d’oscillation du ressort, ν 0 ).2) Exprimer l’énergie cinétique et l’énergie potentielle en fonction de la variable x, de m et de k. Définir ce quel’on entendra, en mécanique quantique, par système et par variable. Définir l’hamiltonien et écrire l’équation deSchrödinger.3) On procède au changement de variables suivant :ξ = 2πmνh0x,2Eλ =hν0Réécrire l’équation de Schrödinger selon ces nouvelles variables et redéfinir l’hamiltonien Ĥ .4) L’opérateur « de montée » Ĉ est défini par = − dĈ ξdξ + alors que l’opérateur de descente Dˆ est défini par= dDˆ dξ + ξ . Exprimer les produits d’opérateurs Ĉ Dˆ et Dˆ Ĉ en fonction de Ĥ et de l’opérateur identité Ê .5) On postule (ce qui sera justifié a posteriori) que les valeurs propres λ r de Ĥ sont simples et on notera ψ r lesfonctions propres correspondantes :H ˆ ψ = λ ψ . Déterminer l’action de Ĉ Dˆ et de Dˆ Ĉ sur la fonction ψ , rrrrpuis en appliquant le produit d’opérateurs Dˆ Ĉ Dˆ à ψ r , montrer que Dˆ ψ r est à nouveau une fonction propre deĤ (qui n’est pas nécesssairement normée) associée à la valeur propre λ r -2. (Un calcul du même type montre queĈ ψ r est fonction propre de Ĥ associée à la valeur propre λ r +2).6) Soit ψ 0 la fonction propre associée à l’état fondamental. Justifier le fait que Dˆ ψ 0 = 0 ; en déduire ψ 0 et λ 0 . Lavaleur trouvée pour λ 0 est-elle en accord avec le principe d’incertitude de Heisenberg ?7) Donner l’expression générale de E r en fonction de ν 0 (noter que les niveaux d’énergie sont équidistants) et, àl’aide de l’opérateur de montée, donner la forme des fonctions ψ 1 et ψ 2 .8) En vue de l’établissement de la matrice associée à l’opérateur x (utile dans la suite de ce cours), on procéderaselon les étapes ci-dessous :+∞a) Calculer par parties l’intégrale∫−∞(éléments des matrices associées aux opérateurs Ĉ et Dˆ ).+∞⎛ d ⎞C = ⎜ ⎟∫− =⎝ dξ−∞⎠ψ i dψ j et en déduire que ij ψ i ξ ψ jdξD jib) En utilisant le fait que Ĉ et Dˆ sont des opérateurs de montée et de descente, montrer que les seulséléments non nuls des matrices associées à Ĉ et Dˆ sont du type C r+1,r = D r,r+1 .c) En se fondant sur la forme des opérateurs Ĉ et Dˆ et en utilisant Dˆ Cˆ= Hˆ+ Eˆ, montrer que les seulséléments non nuls de la matrice associée à x sont du typexCalculer x 0 .r + 1 , r = xr,r+1 = x0r +113