1. LES PRINCIPES DE LA MECANIQUE QUANTIQUE

qui s’écrit sous forme matricielle :X = S Y (1.20)S est appelée matrice de passage de la base { φ i } vers la base { k }Si la base { i }S φ ΘΘ .φ est orthonormée, ik = i k et la k ième colonne de S est constituée des composantesde Θ k sur la base { φ i }.Soit B la matrice associée à l’opérateur  dans la base { Θ k }.En reportant (1.20) dans (1.18), il vient :S Y' = A S Y,Y' = (S -1 A S) Y.Par conséquent,B = S -1 A S (1.21)Comme les deux bases { φ i } et { k }Θ sont orthonormées :Sik=Doncik−1( S ) Θ k φiφ Θ et =kiS -1 = S † . (1.22)Il en résulte que det( S ) = 1 . La matrice S est dite unitaire.6) La notion de valeur propre et fonction propre d’un opérateur est parallèle à celle de valeur propre etvecteur propre d’une matrice :peut également s’écrire ( − λE) ψ 0En développant ψ ∑ x φi ψ = λ ψ (où ψ est le vecteur propre associé à la valeur propre λ)A ˆ ˆ = où Ê est l’opérateur identité.= sur la base { φ }iii, la relation précédente peut se mettre sous la formematricielle :(A - λE) X = 0 (1.23)qui n’est autre que l’équation aux valeurs propres et vecteurs propres de la matrice A associée àl’opérateur  .De manière à échapper à une solution identiquement nulle pour le système linéaire (1.23), ce quin’aurait aucune signification physique, on se doit de singulariser ce système et par conséquent d’annulerson déterminant. (1.23) donne donc naissance à l’équation caractéristique en λ :aa...a1121n1− λaa...1222− λ.........aaa1n2nnn= 0− λ(1.24)9