1. LES PRINCIPES DE LA MECANIQUE QUANTIQUE

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$LSM 5.504 / PCMC 7.702 Cristallographie - Diffraction des Rayons X-$

conçoit alors que2ψ ( x,y,z,t)puisse représenter la densité de probabilité de présence dans l’élément dxdydz,sans que ces considérations ne constituent une « démonstration » du principe n°1.Propriétés des fonctions d’ondeDans la suite, il arrivera que l’on utilise le terme « vecteur » pour désigner la fonction d’onde ψ.1) Une fonction d’onde est définie à un facteur de module 1 près. En effet, soit ψ ' = exp( iα)ψ , où α est2indépendant des variables (et i = −1) :2 222ψ ' ( x,y,z,t)= exp( iα)ψ ( x,y,z,t)= ψ ( x,y,z,t)2) La probabilité de trouver la particule dans l’espace est égale à 1. Il en résulte que :∫tout l'espace2ψ ( x,y,z,t)dxdydz = 1(1.4)La fonction ψ est donc « de carré sommable ». De plus, l’intégrale du carré de son module sur tout l’espace étantégale à l’unité, elle est dite normée (ou normalisée). Cela implique que ψ tende rapidement vers zéro lorsqu’unedes variables x, y ou z tend vers l’infini. Lorsqu’un calcul conduira à une fonction d’onde à un coefficientmultiplicatif près, il sera judicieux de fixer la valeur de ce coefficient pour que la relation (1.4) soit satisfaite.Cette opération sera désignée sous le nom de normation.3) Lorsque la variable temps n’intervient pas explicitement dans la fonction, on dira que l’on a affaire à unsystème dans un état stationnaire (ce seront les seules situations envisagées dans la première partie de ce cours ;elles correspondent à des systèmes dont les interactions possibles avec l’extérieur ne dépendent pas du temps).4) La notion de fonction d’onde peut être généralisée à d’autres variables que celles définissant la position d’uneseule particule (exemples : variables de spin, variables angulaires définissant l’orientation du rotateur, variabled’élongation d’un oscillateur, ensemble de variables de position d’un système multiparticulaire, etc...).5) Les fonctions d’onde définissent un espace de Hilbert avec comme définition du produit scalaire :∫ψ ψ ' = ψ * ψ ' dτ(1.5)espace des variablesψ* désigne le conjugué complexe de la fonction ψ alors que la notation bra ket (de l’anglais « bracket ») estappelée notation de Dirac. On peut immédiatement remarquer que ψ ' ψ = ψ ψ ' * et que le carré de la norme(produit scalaire de la fonction ψ par elle-même) est conforme à ce qui a été dit plus hautψ ψ =∫2ψ dτFormellement, le vecteur ψ d’un espace de Hilbert à n dimensions est défini par un ensemble de nombrescomplexes,x 1 , x2,... x qui vérifie les propriétés suivantes :n• Il existe un vecteur nul pour lequel x i =0 pour tout i.• Deux vecteurs ψ et ψ ' sont égaux si x i =x' i pour tout i.• Le vecteur ψ est égal à la somme de deux vecteurs ψ ' et ψ " (ψ = ψ '+ ψ ") si x i =x' i +x" i pour tout i.• Le vecteur ψ ' est égal à λψ (ψ '=λ ψ) si x' i = λ x i pour tout i.• Les x i sont appelés composantes du vecteur ψ.2
Exercice 1.1.0 LxSoit une particule confinée sur un segment de droite de longueur L (modèle des électrons libres dans un métal ;des électrons π des polyènes conjugués). Le calcul (vide infra) conduit à une fonction d’onde du type :kπxψ = C sin k = 1,2,3... pour 0 ≤x≤L, ψ=0 en dehors du segment de droite.L1) Pourquoi ψ convient-elle comme fonction d’onde ?2) Que représente le coefficient C ? Le calculer.3) Représenter la densité de probabilité pour k=1,2 et 3. Commenter.1.2. Mesure d’une grandeur physique.Principes n° 2, 3 et 4 de la mécanique quantique.Principe n° 2A tout observable A, mesuré sur le système étudié, est associé un opérateur Â , linéaire et hermitique, tel que lerésultat de la mesure de A dans un état représenté par le vecteur ψ est égal à :∫( Aψ) dτA = ψ Aˆ ψ = ψ * ˆ(1.6)espace des variablesA sera appelée valeur moyenne ou moyenne quantique (ou « expectation value »).L’opérateur xˆ est la fonction x elle-même alors queˆp xh ∂=i ∂ xLa notation ( Â ψ ) ou Â ψ ou encore Â ψ signifie qu’il s’agit de l’action de l’opérateur sur le vecteur ψ(transformation de ψ sous l’effet de Â . Exemple : Â : opérateur de dérivation).Un opérateur Â est dit linéaire si (λ et μ étant des nombres complexes indépendants des variables)A ˆ λψ + μψ ' = λAˆψ + μAˆψ ' .Un opérateur $ A est dit hermitique si∫ψ * =ou en notation de Dirac( A ˆψ) dτ( Aˆ*'∫ψ ) ψ ' dτψ A ˆψ' = Aˆψ ψ '(1.7)Il résulte de cette définition de l’hermiticité que A est un réel pourvu que Â soit hermitique :3
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