Métaheuristiques Recuit simulé, recherche avec tabous, recherche à voisinages variables, méthode GRASP (2014)

Chapitre 1 – La métho de du recuit simulé
D’autre part, p our simuler l’évolution d’un système physique vers son équilibre
thermo dynamique à une temp érature donnée T , on p eu t ut il is er l ’a lg o ri th me d e
[ M et ro po li s et al. 53 ] : p a rt a nt d ’ un e c o nfi g u r at i o n do n n ée ( da n s n o tr e c a s, u n p l a-
ce ment in itia l de tous les co mp os ant s), on fa it subir au sy stè me une mo di ficat io n
él éme nta ire (par ex emp le, on tr ansl ate un co mp os ant, ou on écha nge deux co mpo san ts).
Si c et te t ra ns fo rm at io n a p o ur e ffet de di mi nu e r la f on ct io n ob j ec ti f ( ou “ én er gi e” )
du s ys tè me , e ll e e st a cc e pt ée ; si e ll e pr ovo q ue au c ont ra ir e une a ug me nt at io n E
de la f on ct io n ob j ec ti f , e ll e e st a cc e pt ée t ou t de m êm e, avec la pr ob a bil i té e E
T
(en
pr at i qu e, c et te c on di ti on e st ré a li sé e de la m an iè re s ui vante : on t ir e au ha s ar d un
no mbre ré e l c om pr is e nt re 0 et 1, et on a cc e pt e la c on fig ur at io n dé g ra da nt de E
la fonction ob jectif , si le nombre tiré est inférieur ou égal à e E
T ). En ap pliquant
itérativeme nt cette rè gle d ’ac ceptation de Me trop olis, on engend re u ne séquenc e de
co nfig urat ion s qui co nst itue une ch aîne de Markov (en ce sens que chaque co nfig urat ion
ne dé p e nd q ue de c el le q ui la pr éc è de i mm éd ia te me n t) . Av ec ce f or ma li sm e, on m on tr e
que, lorsque la chaîne est de longueur infinie (en p ratique, de longueur “suffi
sante”...),
le système atteint (en pratique, se rappro ch e de) l’équilibre thermo dynamique à la
temp érature considérée : autre ment dit, on ab outit à une distribution de Boltzmann
de s é ta ts d’ é ne rg ie à c et te t em p é ra tu re .
On comprend le rôle confié à la temp érature par la règle de Metrop olis : à haute
temp érature, e E
T est vo isi n de 1, donc la pl upart des mo uve ments sont ac ce pté s
(l’algorithme équivaut à u n e simple marche aléatoire dans l’espace des configurations) ;
à basse temp érature, e E
T est vo isi n de 0, donc la pl upart des mouvem ent s augmentant
l’énergie sont refusés (l’algorithme se ramène à une amélio ration itérative
cl ass iqu e) ; à te mp ér atur e in term édi aire , l’ alg ori thme au tori se, de te mps en te mps ,
de s t ra ns fo rm at io ns q ui dé g ra de nt la f on ct io n ob j ec ti f ( il l ai ss e a in si au s ys tè me une
ch an c e d e s ’e x t r a i re d ’u n m in i mu m l o ca l ) .
Une fois l’é qu ilib re thermo dynamique atteint à une temp érature donnée, on abaisse
“l égè rem ent” la te mp ér atur e, et on effec tue une no uve lle ch aîne de Ma rkov à ce no uve au
pa l ie r de t em p é ra tu re ( si la t em p é ra tu re e st a ba is sé e t ro p v it e, l ’é vo lu ti o n ve rs le
no uvel é qu il ib re t he rm o dy na mi qu e e st ra l ent ie : la t hé or ie é ta bl it une c or ré la ti o n
ét roi te entre le taux de dé cro issa nce de la te mp ér atur e et la durée mi nima le des pa lie rs
de t em p é ra tu re ). En c om pa ra nt l es di s tri bu ti o ns de B ol tz ma n n s uc ce ss iv e s o bt en ue s à
l’issue des différents paliers de temp érature, on con s tate un e augmentation progressive
du p o id s de s c on fig ur at io ns de ba s se é ne rg ie : l or sq ue la t em p é ra tu re t en d v er s z ér o,
l’algorithme converge vers le minimum absolu de l’énergie. En pratique, le pro cessus
est st opp é lo rsq ue le sy stè me est “fi gé” (par ex emp le, la te mp ér atu re a at tei nt la val eur
nu ll e , o u b i e n p l u s a u c u n m o u vem e nt a cc r o i s s a nt l ’ é ne r g i e n ’ a é t é a c ce p t é a u c o ur s d u
pa l ie r) .
1.3 Approches théoriques
L’algorithme du recuit simulé a sus c ité de nombreux travaux théoriques p our les
de u x ra i so ns s ui va nt es : d’ un e pa rt , il s ’a gi ss a it d’ un a lg or it hm e no uve au , do nt il é ta it
né c es sa i re d’ é ta bl ir l es c on di ti on s de c onv er ge nc e ; d’ a ut re pa rt , la m ét ho de c om p o rt e
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