Métaheuristiques Recuit simulé, recherche avec tabous, recherche à voisinages variables, méthode GRASP (2014)

Algorithmes

Sous la direction de Patrick Siarry

Ouvrage coordonné par Patrick Siarry

Métaheuristiques

Recuit simulé, recherche avec tabous, recherche à

voisinages variables, méthode GRASP, algorithmes

évolutionnaires, fourmis artificielles, essaims

particulaires et autres méthodes d’optimisation

Avec trois études de cas détaillées

• Optimisation de systèmes logistiques

• Problèmes de tournées de véhicules

• Gestion de trafic aérien

Métaheuristiques

Ouvrage dirigé par

Patrick Siarry, professeur

à l’université Paris-Est

Créteil, où il dirige des

travaux de recherche sur

les méthodes heuristiques

récentes pour

l’«optimisation difficile».

Avec les contributions de

Jean-Marc Alliot, Sébastien

Aupetit, Sana Ben Hamida,

Ilhem Boussaïd, Mirsad

Buljubasic, Gilles Caporossi,

Maurice Clerc, Laurent

Deroussi, Nicolas Durand,

David Gianazza ,

Jean-Baptiste Gotteland,

Nathalie Grangeon, Pierre

Hansen, Nicolas

Monmarché, Sylvie Norre,

Alain Pétrowski, Christian

Prins, Caroline Prodhon,

Patrick Siarry, Mohamed

Slimane, Éric D. Taillard,

Charlie Vanaret et Michel

Vasquez.

Les métaheuristiques et leurs applications

Les ingénieurs, les économistes, les décideurs se heurtent quotidiennement,

quel que soit leur secteur d’activité, à des problèmes

d’optimisation. Il peut s’agir de minimiser un coût de production,

d’optimiser le parcours d’un véhicule ou le rendement d’un portefeuille

boursier, de rationaliser l’utilisation de ressources, d’améliorer

les performances d’un circuit électronique, de fournir une aide à

la décision à des managers, etc.

Cet ouvrage présente une famille de techniques d'optimisation,

appelées « métaheuristiques », adaptées à la résolution de problèmes

pour lesquels il est difficile de trouver un optimum global ou

de bons optimums locaux par des méthodes plus classiques.

Un ouvrage de référence illustré d’études de cas

La première partie de l’ouvrage présente les principales métaheuristiques

: recuit simulé, recherche avec tabous, recherche à voisinages

variables, méthode GRASP, algorithmes évolutionnaires,

fourmis artificielles et essaims particulaires.

La deuxième partie décrit différentes variantes et extensions de ces

méthodes, ainsi que de nouvelles voies de recherche. Y sont également

proposés des conseils méthodologiques : techniques de modélisation,

comparaisons de méthodes et choix de la méthode la mieux

adaptée à un problème donné.

La troisième partie présente trois études de cas réels : optimisation

de systèmes logistiques, optimisation de tournées de véhicules et

gestion de trafic aérien.

À qui s’adresse ce livre ?

• Aux élèves ingénieurs et étudiants en mathématiques

appliquées, algorithmique, recherche opérationnelle,

gestion de production, économie et finance, aide à la

décision, etc.

• Aux ingénieurs, enseignants-chercheurs, informaticiens,

industriels, économistes et décideurs ayant à

résoudre des problèmes complexes d’optimisation et

d’aide à la décision.

Métaheuristiques

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Sous la direction de Patrick Siarry

Métaheuristiques

Recuit simulé, recherche avec tabous, recherche à

voisinages variables, méthode GRASP, algorithmes

évolutionnaires, fourmis artificielles, essaims particulaires et

autres méthodes d’optimisation

Avec les contributions de

Jean-Marc Alliot, Sébastien Aupetit, Sana Ben Hamida, Ilhem Boussaïd,

Mirsad Buljubasic, Gilles Caporossi, Maurice Clerc, Laurent Deroussi,

Nicolas Durand, David Gianazza , Jean-Baptiste Gotteland, Nathalie Grangeon,

Pierre Hansen, Nicolas Monmarché, Sylvie Norre, Alain Pétrowski,

Christian Prins, Caroline Prodhon, Patrick Siarry, Mohamed Slimane, Éric D. Taillard,

Charlie Vanaret et Michel Vasquez.

ÉDITIONS EYROLLES

61, bd Saint-Germain

75240 Paris Cedex 05

www.editions-eyrolles.com

Harmonisation des contributions : Alain Pétrowski

Le présent ouvrage prend la suite de Métaheuristiques pour l’optimisation difcile, de Johann Dréo, Alain

Pétrowski, Patrick Siarry et Éric Taillard, paru en 2003 et aujourd’hui épuisé (ISBN : 978-2-212-11368-6). Dirigé

par Patrick Siarry, ce nouvel ouvrage comporte plus de 70% de contenu entièrement nouveau : une quinzaine de

nouveaux auteurs y contribuent, choisis parmi les meilleurs spécialistes francophones des métaheuristiques.

En application de la loi du 11 mars 1957, il est interdit de reproduire intégralement ou partiellement le

présent ouvrage, sur quelque support que ce soit, sans l’autorisation de l’Éditeur ou du Centre Français

d’exploitation du droit de copie, 20, rue des Grands Augustins, 75006 Paris.

© Groupe Eyrolles, 2014, ISBN : 978-2-212-13929-7

Table des matières

Index des auteurs XV

Avant-p ro p os 1

I Présentation des principales métaheuristiques 19

1 La métho de du recuit simulé 21

P. Siarry

1.1 Intro duction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2 Présentation de la métho de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2.1 Analogie entre un problème d’optimisation et certains

ph é no mè ne s ph ys i que s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2.2 Recuit réel et recuit simulé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2.3 Algorithme du recuit simulé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3 Appro ches théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.1 Convergence théorique du recuit simulé . . . . . . . . . . . . . 25

1.3.2 Espace des configurations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3.3 Règles d’acc eptation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3.4 Programme de recuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4 Parallé lisation de l’algorithme du recuit simulé . . . . . . . . . . . . . 29

1.5 Quelques applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.5.1 Problèmes mo dèles d’optimisation combinatoire . . . . . . . . 32

1.5.2 Placement des circuits élec troniques . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.5.3 Recherche d’un schéma équivalent en électronique . . . . . . . 37

1.5.4 Applications pratiques dans des domaines divers . . . . . . . . 38

1.6 Avantages et inconvénients de la métho de . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.7 Suggestions pratiques simples p our démarrer . . . . . . . . . . . . . . 40

1.8 Annexe : mo délisation du recuit simulé à l’aide du formalisme des

ch aî n e s d e M a r kov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.9 Bibliographie commentée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

V

Méta heuristique s

2 La recherche avec tab ous 51

É.D.

Taillard

2.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.2 Problème de l’affectation quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.3 Recherche avec tab ous de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.3.1 Voisinage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.3.2 Mouvements, voisinage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.3.3 Évaluation du voisinage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.3.4 Limitation du voisinage : liste de mouvements candidats . . . . 61

2.3.5 Extension d’un voisinage : chaîn e d’éjections . . . . . . . . . . 61

2.4 Mémoire à court terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.4.1 Table de hachage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.4.2 Liste d’attributs tab ous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.4.3 Durée des interdictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.4.4 Critères d’aspiration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.5 Direction de la recherche à long terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.5.1 Fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.5.2 Obligation d’effectuer des mouvements . . . . . . . . . . . . . . 74

2.6 Convergence de la recherche avec tab ous . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75


3 La recherche à voisinages variables 77

G. Ca poro ssi , P. Ha nse n

3.1 Intro duction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.2 Fonctionnement de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.2.1 Recherche lo cale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.2.2 Diversification de la recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.2.3 La recherche à voisinages variables (RVV) . . . . . . . . . . . . 84

3.3 Illustration et extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.3.1 Trouver des graphes extrêmes avec la RVV . . . . . . . . . . . 87

3.3.2 Améliorer k -m ean s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

3.3.3 Adapter la RVV à des problèmes continus . . . . . . . . . . . . 97

3.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97


4 Une pro cédure de recherche itérative en deux phases :

la métho de GRASP 99

M. Vasquez, M. Bul j u bašić

4.1 Intro duction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.2 Princip e général de la métho de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.3 Problèmes de couverture minimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.4 Un premier algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

- VI -

Table des matières

4.4.1 Phase constructive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.4.2 Phase d’améli oration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.5 Banc d’essai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.6 Exp érimentations greedy(↵)+ descente

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.7 Recherche lo cale tab ou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.7.1 Espace de recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.7.2 Évaluation d’une configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.7.3 Gestion de la liste tab ou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.7.4 Voisinage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.7.5 Algorithme tab ou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.8 Exp érimentations greedy(↵)+ descente+ tabou

. . . . . . . . . . . . . . 109

4.9 Exp érimentations greedy(1)+ tabou

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.10 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112


5 Les algorithmes évolutionnaires 115

A. Pétrowski, S. Ben Hamida

5.1 De la génétique à l’in gén ierie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.2 L’algorithme évolutionnaire générique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.2.1 Op érateurs de sélection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.2.2 Op érateurs de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.2.3 La b oucle généra tionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.2.4 Résolution d’un problème simple . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.3 Op érateurs de sélection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.3.1 Pression de sélection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.3.2 Dérive génétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.3.3 Sélection prop ortionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.3.4 Sélection par tournois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.3.5 Sélection déterministe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.3.6 Sélection environnementale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.3.7 Fonction de p erformance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.4 Op érateurs de variation et représentations . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.4.1 Généralités sur les op érateurs de variation . . . . . . . . . . . . 133

5.4.2 Le croisement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.4.3 La mutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.5 Représentation binaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.5.1 Croisements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.5.2 Mutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.6 Représentation réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5.6.1 Croisements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5.6.2 Mutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.7 E xe mp le s de re pr é se nt at io ns di s cr èt es p o ur l es pr ob lè m es de p e rm ut at io n 148

5.7.1 Représentation ordinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.7.2 Représentation de chemins ou de séquences . . . . . . . . . . . 149

- VI I -

Méta heuristique s

5.8 La représentation arb orescente p our la programmation génétique . . . 153

5.8.1 Création de la p opulation initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.8.2 Croisement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.8.3 Mutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5.8.4 Application à la régression symb olique . . . . . . . . . . . . . . 158

5.9 Cas particulier des algorithmes génétiques . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5.10 Stratégie d’évolution par adaptation de la matrice de covariance . . . 162

5.10.1 Présentation de la métho de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.10.2 L’algorithme CMA-ES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

5.10.3 Quelques résultats de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.11 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

5.12 Glossaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172


6 Les fourmis artificielles 175

N. Monmarché

6.1 Intro duction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

6.2 L’intelligence colle ctive des fourmis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6.2.1 Quelques faits marquants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6.2.2 La communic ation chimique chez les fourmis . . . . . . . . . . 177

6.3 La mo délisation du comp ortement des fou rmis . . . . . . . . . . . . . 179

6.3.1 Définition d’une fourmi artifi cielle . . . . . . . . . . . . . . . . 179

6.3.2 Les fourmis sur un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

6.4 L’optimi sation combinatoire avec les fourmis . . . . . . . . . . . . . . 181

6.4.1 Le problème du voyageur de commerce . . . . . . . . . . . . . . 181

6.4.2 La métaheuristique ACO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

6.4.3 Convergence des algorithmes du type ACO . . . . . . . . . . . 192

6.4.4 Rappro chements avec les algorithmes évol ut ionnaires . . . . . . 193

6.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196


7 Les essaims particulaires 199

M. Clerc

7.1 Parce que l’union fait la force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

7.2 Les ingrédients de l’optimi sation par essaim particulaire (OEP) . . . . 200

7.2.1 Les ob jets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

7.2.2 Les relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

7.2.3 Les mécanismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

7.3 Quelques versions d’OEP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

7.3.1 1998. Une version de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

7.3.2 Deux versions “standard” améliorées . . . . . . . . . . . . . . . 208

7.4 Applications et variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

7.5 Pour approfondir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

7.6 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

- VI I I -

Table des matières

7.6.1 Un exemple simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

7.6.2 SPSO 2011 avec corrélations distance-valeur . . . . . . . . . . . 214

7.6.3 Comparaison de trois variantes simples . . . . . . . . . . . . . . 214

7.6.4 De quelques pièges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

7.6.5 De l’imp ortance des générateurs de nombres . . . . . . . . . . . 219

7.7 Glossaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220


I I Vari ante s, ex tens ions et c on seil s m ét ho dol ogiq ues 22 3

8 Quelques autres métaheur istiques 225

I. B ou ss aï d

8.1 Intro duction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

8.2 Systèmes immunitaires artificiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

8.2.1 Algorithmes de sélection négative . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

8.2.2 La sélection clonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

8.2.3 Réseau immunitaire artificiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

8.2.4 Algorithmes inspirés de la théorie du danger . . . . . . . . . . . 232

8.3 L’évolution différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

8.3.1 Les schémas de mutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

8.3.2 Le croisement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

8.4 L’algorithme d’optimisation BFO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

8.4.1 Chimiotaxie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

8.4.2 Essaimage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

8.4.3 Repro duction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

8.4.4 Élimination et disp ersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

8.5 L’algorithme à base de biogéographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

8.6 Les algorithmes culturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

8.7 Les algorithmes co évol ut ionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

8.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250


9 Les autres algorithmes d’insectes so ciaux 253

S. Aupetit, M. Slimane

9.1 Les ab eilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

9.1.1 Le fourragement des ab eilles méllifères dans la nature . . . . . 254

9.1.2 Le mo dèle classique ABC et son implément ation . . . . . . . . 256

9.1.3 Paramétrage et évolution de l’algorithme classique . . . . . . . 259

9.2 À la recherche de l’harmonie musicale parfaite . . . . . . . . . . . . . . 260

9.2.1 Inititia lisation de la mémoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

9.2.2 Improvisation d’un nouvel accord . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

9.2.3 Mise à jour de la mémoire avec le nouvel accord . . . . . . . . 263

9.2.4 Paramétrage et évolution de l’algorithme classique . . . . . . . 264

- IX -

Méta heuristique s

9.3 L’écholo calisation d es micro chauves-souris . . . . . . . . . . . . . . . 264

9.3.1 Initial isation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

9.3.2 Déplacement des chauves-souris . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

9.3.3 Mise à jour des propriétés d’émission des ultrasons . . . . . . . 267

9.3.4 Mise à jour de la meilleure solution . . . . . . . . . . . . . . . . 267

9.3.5 Évolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

9.4 La nature est source de b eaucoup d’autres inspirations . . . . . . . . . 268

9.4.1 Bacterial Foraging Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

9.4.2 Slim Mold Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

9.4.3 Les vers luisants et les lu cioles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

9.4.4 Les termites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

9.4.5 Les cafards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

9.4.6 Les moustiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

9.4.7 Les guêp es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

9.4.8 Les araignées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

9.4.9 Les coucous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

9.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270


10 Extensions des algorithmes évolutionnaires à l’optimisation

multimo dale et l’optimisation multi-ob jectif 273

A. Pétrowski

10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

10.2 Optimisation multimodale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

10.2.1 Le problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

10.2.2 Nichage par la métho de du partage . . . . . . . . . . . . . . . . 274

10.2.3 Nichage par la métho de de surp euplement déterministe . . . . 277

10.2.4 Pro cédure d’écla ircissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

10.2.5 Sp éciation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

10.3 Optimisation multi-ob jectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

10.3.1 Formalisation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

10.3.2 Les indicateurs de qualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

10.3.3 Algorithmes évol ut ionnaires multi-ob jectifs . . . . . . . . . . . 288

10.3.4 Métho des utilisant un “classement de Pareto” . . . . . . . . . . 288

10.3.5 Métho des de scala risation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

10.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311


11 Extensions des algorithmes évolutionnaires à l’optimisation

sous contraintes 313

S. Ben Hamida

11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

11.2 La p énalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

11.2.1 La métho de de la “p eine de mort” . . . . . . . . . . . . . . . . 317

- X -

Table des matières

11.2.2 Pénalités statiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

11.2.3 Pénalités dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

11.2.4 Pénalités adaptatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

11.2.5 Pénalités auto-a daptatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

11.2.6 Segregated Genetic Algorithm (SGGA) . . . . . . . . . . . . . . 324

11.3 Sup ériorité des individus réalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

11.3.1 Métho de de Powel l et Skolnick, 1993 . . . . . . . . . . . . . . . 325

11.3.2 Métho de de Deb, 20 00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

11.3.3 Stochastic Ranking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

11.4 Recherche des solutions réalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

11.4.1 Réparation des individus irréalisables : Gen o cop I II . . . . . . 327

11.4.2 Métho de de la mémoire comp ortementale . . . . . . . . . . . . 329

11.5 Préservation de la faisabilité de s s ol ut io ns . . . . . . . . . . . . . . . .

329

11.5.1 Le système Geno cop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

11.5.2 Recherche sur la frontière de la région réalisable . . . . . . . . 330

11.5.3 Homomorphous mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

331

11.6 Métho des multi-ob jectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

11.6.1 Métho de de Surry et al. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

333

11.6.2 Métho de de Kamponogara et Talukdar . . . . . . . . . . . . . . 333

11.6.3 La Métho de IDEA de Singh et al. . . . . . . . . . . . . . . . . 334

11.7 Métho des hybride s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

11.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335


12 Techniques de mo délisation et comparaisons de métho des 337

É.D.

Taillard

12.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

12.2 Métho des de décomp osition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

12.2.1 Décomp osition en chaîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

12.2.2 Décomp osition en sou s-p rob lèmes de p etite taille . . . . . . . . 341

12.3 Mo délisation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

12.4 Gestion de p opulation et programmation à mémoire adaptative . . . . 347

12.4.1 Algorithmes évol ut ionnaires ou mimétiques . . . . . . . . . . . 347

12.4.2 Recherche par disp ersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

12.4.3 Colonies de fourmis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

12.4.4 Construction de vo cabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

12.4.5 Chemin de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

12.5 Comparaison d’heuristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

12.5.1 Comparaison de taux de succès . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

12.5.2 Comparaison de métho des d’optimisation itérative . . . . . . . 354

12.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

- XI -

Méta heuristique s

I I I Q uelq ues do ma ines d’ appl icat ion 36 1

13 Techniques d’hybridation à base de métaheur istiques p our

optimiser des systèmes logistiques 363

L. Deroussi, N. Grangeon, S. Norre

13.1 Les systèmes logistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

13.1.1 Définitions, généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

13.1.2 Imp ortance d’une vision intégrée d’une chaîne logistique . . . . 365

13.1.3 Difficultés liées à l’optimisation de la p erformance d’une chaîne

logistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

13.1.4 Sy s tè me d’ i nf or ma ti on et s ys tè me d’ a id e à la dé c is io n (Decision

Support System) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

13.1.5 Intérêt des métahe uri stiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

13.2 Les tech n iqu es hybrides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

13.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

13.2.2 L’hybridation Métahe uristique/M ét h o de d’optimisation . . . . 372

13.2.3 L’hybridation Métahe uristique/M ét h o de d’évaluation

de s p e rf or ma nc es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

13.3 Application p our le pilotage de la chaîne logistique . . . . . . . . . . . 376

13.3.1 Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

13.3.2 Planification de la pro duction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

13.3.3 Location routing problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

13.3.4 Le Multi-Plant Multi-Product Capacitated Lot-Sizing Problem . 382

13.3.5 Les systèmes flexibles de pro duction . . . . . . . . . . . . . . . 384

13.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

14 Métaheuristiques p our les problèmes de tournées de véhicules 387

C. Prodhon, C. Prins

14.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

14.2 Les problèmes de tournées d e véhicules . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

14.2.1 Le problème de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

14.2.2 Variantes du problème de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

14.3 Heuristiques simples et recherches lo cales . . . . . . . . . . . . . . . . 391

14.3.1 Heuristiques simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

14.3.2 Recherches lo cales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

14.4 Métaheuristiqu es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

14.4.1 Métho des à p arcou rs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

14.4.2 Métho des à p opulation ou à agents . . . . . . . . . . . . . . . . 400

14.4.3 Évolution et tendances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

14.5 Appro che Sp lit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

14.5.1 Princip e et intérêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

14.5.2 Algorithme Split . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

14.5.3 Intégration dans des heuristiques et métahe uri stiques . . . . . . 407

14.6 Exemple de métaheuristique avec l’appro che Split . . . . . . . . . . . . 408

- XI I -

Table des matières

14.6.1 Princip e général d’un GRASP⇥E LS . . . . . . . . . . . . . . .

408

14.6.2 Application au problème de tournées de véhicules . . . . . . . . 409

14.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411


15 Applications en gestion du trafic aérien 413

N. Durand, D. Gianazza, J.B. Gotteland, C. Vanaret, J.M. Alliot

15.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

15.2 Optimisation des routes aériennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

15.2.1 Placement des n œu d s et des arêtes par

algorithmes géomé triques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

15.2.2 P la ce m ent de s nœ ud s, à t op o lo gi e fix é e, pa r re c ui t s imulé ou

es sai m pa rtic ula ire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

15.2.3 P la ce m ent en 2D de “ tu b es a ér ie ns ”, pa r clustering et al gor ithm e

génétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

15.2.4 Tub es-3D séparés, par algorithme évolutionnaire et A ⇤ . . . . . 422

15.3 Optimisation de l’espace aérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

15.3.1 Secto ri sation de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

15.3.2 Définition de blo cs fonctionnels d’espace . . . . . . . . . . . . . 429

15.3.3 Prévision des regroup ements de secteurs aériens . . . . . . . . . 433

15.4 Optimisation des créneaux de d écollage . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

15.5 Optimisation du trafic aérop ortuaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

15.5.1 Optimisation des affectations de parking . . . . . . . . . . . . . 442

15.5.2 Optimisation des séquences d’avions sur les pistes . . . . . . . 442

15.5.3 Optimisation du roulage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

15.5.4 Vers une planification globale des mouvements au sol . . . . . . 447

15.6 Résolution de conflits aériens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

15.6.1 Résolution par colonies de fourmis . . . . . . . . . . . . . . . . 451

15.6.2 Des appro ches Free-Flight . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

15.6.3 Vers une comparaison des appro ches . . . . . . . . . . . . . . . 453

15.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454


15.8.1 Références générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455

15.8.2 Optimisation de l’espace aérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455

15.8.3 Optimisation des routes aériennes . . . . . . . . . . . . . . . . 456

15.8.4 Optimisation des créneaux de décollage . . . . . . . . . . . . . 457

15.8.5 Optimisation du trafic aérop ortuaire . . . . . . . . . . . . . . . 458

15.8.6 Résolution de conflits aériens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459

Co nc lu si on 461

Bibliographie 463

Index 511

- XI I I -

Index des auteurs

Jean-Marc

Alliot

Institut de Recherche en Informatique

Toul ous e, Fran ce

alliot@tls.cena.fr

Sébastien

Aupetit

Université François Rab elais

Lab oratoire Informatique (EA6300)

64 Avenue Jean Portalis

37200 Tours, France

aupetit@univ-tours.fr

Sana Ben Hamida

Université Paris Ouest

Nanterre,

France

sbenhami@u-paris10.fr

I lh em

B ou ss aï d

Université des Sciences et de la

Technolo gie Ho uar i Bou med ien e,

Ba b-E zzo uar , 16 11 1 Al ger, Al géri e

ilhem.boussaid@u-pec.fr

Mirsad Buljubaš ić

Centre de recherche LGI2P,

Pa rc s c ie nt i fi q u e G e or g e s B e s s e

30035 Nîmes cedex 1, France

mirsad.buljubasic@mines-ales.fr

Gi lle s

Ca poro ssi

GERAD et HEC Montréal,

Québ ec, Canada

Gilles.Caporossi@gerad.ca

Maurice

Clerc

Ingénieur consultant, Annecy, France

Maurice.Clerc@WriteMe.com

Laurent

Deroussi

LIMOS UMR CNRS 6158

Antenne IUT d’Allier

Avenue Aristide Briand, CS 82235

03101 Montluçon Cedex, France

laurent.deroussi@

moniut.univ-bpclermont.fr

Nicolas

Durand

École Nationale de l’Aviation Civile

Toul ous e, Fran ce

durand@tls.cena.fr

Davi d G i a na z z a


Toul ous e, Fran ce

gianazza@tls.cena.fr

Jean-Baptiste

Gotteland


Toul ous e, Fran ce

gotteland@tls.cena.fr

Nathalie

Grangeon

LIMOS UMR CNRS 6158




XV

Méta heuristique s

P ie rr e

H an se n


Québ ec, Canada

Pierre.Hansen@gerad.ca

Nicolas

Monmarché

Université François Rab elais de Tours

Lab oratoire d’Informatique (EA6300)


37200 Tours, France

nicolas.monmarche@univ-tours.fr

Sylvie

Norre

LIMOS UMR CNRS 6158




Alain

Pétrowski

Tele com Su dParis,

9 rue Charles Fourier

91011 Evry Cedex, France

Alain.Petrowski@it-sudparis.eu

Christian

Prins

ICD-LOSI, UMR CNRS 6281

Université de Technologie de Troyes

12 rue Marie Curie, CS 42060

10004 Troyes Cedex, France

christian.prins@utt.fr

Patrick

Siarry

Université Paris-Est Créteil Val-de-Marne

Lab oratoire Images, Signaux et Systèmes

Intelligents (LiSSi, E.A. 3956)

122 rue Paul Armangot

94400 Vitry-sur-Seine, France

Siarry@u-pec.fr

Mohamed

Slimane

Université François Rab elais Tours,

Lab oratoire Informatique (EA6300)


37200 Tours, France

slimane@univ-tours.fr

Éric D. Taillard

Professeur,

HEIG-VD

Yve rdo n- les -Ba ins , Sui sse

Eric.Taillard@heig-vd.ch

Charlie

Vanaret


Toul ous e, Fran ce

vanaret@tls.cena.fr

Michel

Vasquez

Centre de recherche LGI2P

Pa rc s c ie nt i fi q u e G e or g e s B e s s e

30035 Nîmes Cedex 1, France

michel.vasquez@mines-ales.fr

Caroline

Prodhon

ICD-LOSI, UMR CNRS 6281

Université de Technologie de Troyes

12 rue Marie Curie, CS 42060

10004 Troyes Cedex, France

caroline.prodhon@utt.fr

- XVI -

Avant-propos

Introduction

Les ingénieurs et les décideurs sont c onfrontés quotidiennement à des problème s de

co mpl exi té gr andi ssa nte, qui sur gis sent dans des se cte urs te chn ique s très divers, co mme

da ns la re c he rche op é ra ti on ne ll e , la c on ce pt i on de s ys tè me s m éc an iq ue s , le t ra it em en t

des images, et tout particulièrement en électronique (C.A.O. de circuits électriques,

pl a ce me nt et ro ut a ge de c om p o sa nt s, a mé li or at i on de s p e rf or ma nc es ou du re nd e me nt

de f ab ri ca ti o n de c ir cu it s, c ar ac té r is at io n de sché m as é qu iva le nt s, a ppr e nt is sa ge de

ba s es de rè g le s flo ue s ou de ré s ea ux de ne u ro ne s. . . ). Le pr ob lè m e à ré s ou dre p e ut

souvent s’ exp rime r co mme un problème d’optimisation : o n d é fi n it u n e f o n c t i on o b j e c ti f ,

ou fonction de coût (voire plusieurs), que l’on cherche à minimiser ou à maximiser par

rapp ort à tous les paramètres concernés. La défi nition du problè m e d’optimisation es t

souvent co mpl été e par la do nnée de contraintes : t o us le s pa ram èt re s de s so lu ti on s

retenues doivent respe c ter ces contraintes, faute de quoi ces solutions ne sont pas

réalisables. Nous nous intéressons dans ce livre à un group e de métho des, dénommées

métaheu ristiques

ou méta-he uristiques, comprenant notamment la métho de du recuit

simulé, les al gor ithm es év olu tio nnai res , la mé tho de de re che rche avec tab ous, les

algorithmes de colon ies de fourmis. . . apparues, à partir des années 1980, avec une

ambition commune : résoudre au mieux les problèmes dits d’optimisation diffi cile

.

Nous verrons que les métaheuristiques rep osent largement sur un ensemble commun

de pr in ci p e s, q ui p e rm et te nt de c on ce vo ir de s a lg or it hm es de ré s ol ut io n ; l es re g ro up e-

ments divers de ces princip es conduisent ainsi à une grande variété de métahe uri stiques.

Optimisation “difficile”

On distingue en réalité de ux types de problèmes d’optimisation : les problèmes

“d isc rets ” et les pro blè mes à var iabl es co nti nues. Pour fixer les id ées , ci ton s deux

ex emp les . Pa rmi les pro blè mes di scre ts, on tr ouve le cé lèb re pro blè me du voyag eur

de c om me rc e : il s ’a gi t de m ini m is er la l on gu eu r de la t ou rné e d’ un “voya ge ur de

co mme rce ”, qui doit vi sit er un ce rta in no mbre de vi lle s, avant de re tour ner à la vi lle

de dé p ar t. Un e xe mp le c la ss iq ue de pr ob lè m e c on ti nu e st c el ui de la re c he rche de s

val e ur s à a ff ec te r a u x p ar am è tr es d ’u n m o dè le nu mé r iq ue d e pr o c es su s , p ou r q ue c e

mo dèle repro duise au mieux le comp ortement réel observé. En pratique, on rencontre

1

Méta heuristique s

aussi des “problèmes mixtes”, qui comp ortent à la fois des variables discrètes et des

var i ab le s c ont inu es .

Cette différenciation est nécessaire p our cerner le domaine de l’optimi sation difficile.

En e ffe t, de u x s or te s de pr ob lè m es re ç oi ve nt, da ns la l it té ra tu re , c et te a pp e ll at io n, no n

dé fi nie s tr ic te me nt ( et l ié e, en f ai t, à l ’é ta t de l ’a rt en m at iè re d’ o pt im is at io n ) :

– ce rta ins pro blè mes d’ opti mis ati on di scrè te , pour le squ els on ne co nna ît pas

d’ a lg or it hm e e xa ct polynomial (c’est-à- d ire dont le temps de calcul e s t prop ortionnel

à N n , où N dé s ig ne le no m bre de pa ra m èt re s i nc on nus du pr ob lè m e,

et n est une constante entière). C’est le cas, en particulier, des problèmes dits

“ N P -di ffici les ”, p our le squ els on co nje ctu re qu ’il n’ exi ste pas de co nst ant e

n

telle que le temps de résolution soit b orné par un p olynôme de degré n.

– ce rta ins pro blè mes d’ opti mis ati on à var iabl es co nti nues, p our le squ els on ne

co nna ît pas d’ alg orit hme p er met tan t de rep érer un op tim um gl oba l (c ’es t-à -di re

la meilleure solution p ossible) à coup sûr et en un nombre fini de calculs.

Des efforts ont longtemps été menés, séparément, p our résoudre c e s deux types de

pr ob lè m es . D an s le do m ai ne de l ’o pt im is at i on c on ti nue , il e xi st e a in si un a rs en al

imp ortant de métho des classiques dites d’optimisation globale [ Be rthi au et al. 01 ],

mais ces techniques sont souvent inefficaces si la fonction ob jectif ne possède pas

une pr op ri ét é s tr uc tu re ll e pa rt i cu li èr e, t el le q ue la c on ve xi té . D an s le do m ai ne de

l’optimisation discrète, un grand nombre d’heuristiques , q u i pr o du i s e nt de s so l u t i o n s

pro che s de l ’o pt im um , o nt é té dé v el opp é es ; m ai s e ll es o nt p o ur la pl up ar t é té c on çu es

sp éc ifiq uem ent p our un pro blè me do nné.

L’arrivée des métaheu ristiques marque une réconc iliation des deux domaines : en

effet, el les s’ appl iqu ent à to ute s so rte s de pro blè mes di scre ts et p euvent s’ ada pte r au ssi

aux problèmes continus. Ces métho des ont en commun, en outre, les carac téristiques

suivan tes :

– el les so nt, au mo ins p our pa rtie , stochastiques : c e t t e ap p r o ch e p e r me t d e f a i r e

f ac e à l’ explosion combinatoire de s p o ss ib il it és ;

– généralement d’origine discrète, elles ont l’avantage, décisif dans le cas continu,

d’ ê tr e di re c te s, c ’e st -à - di re q u’ el le s ne re c ou re nt pa s au c al cu l, s ou ve nt pr ob lé -

matique, des gradients de la fonction ob jectif ;

– el les sont in spiré es par des analogies : avec l a physique (recuit simulé, diffusion

simul ée. . . ), avec la bi olo gie (a lgo rit hmes év olu tio nnai res , re che rche avec

tab ous. . . ) ou avec l’éthologie (colonies de fourmis, essaims particulaire s . . . ) ;

– el les pa rtag ent au ssi les mê mes in convé nie nts : les difficu lté s de

réglage de s

pa ra m èt re s de la m ét ho de et le temps de calcul él evé .

Ces métho des ne s’excluent pas mutuellement : en effet, dans l’état actuel de la

reche rche, il est le plus souvent imp ossible de prévoir avec certitude l’effi

cacité d’une

métho de donnée, quand elle est appliquée à un problème donné. De plus, la tendance

actuelle est l’émergence de méthodes hybrides , q ui s ’ e ffo r c ent d e t ir e r p ar t i d es avant ag e s

sp éc ifiq ues d’ appro ches différ ent es en les co mbi nant. On p eut enfin so ulig ner une au tre

riches s e des m étaheuristiques : elles se prêtent à toutes sortes d’extensions . Citons, en

pa rt i cu li er :

- 2 -

Avant -p ropos

– l’optimisation multi-objectif [Collette et al. 02], où il s’agit d’op timis e r simultané

m ent pl us ie u rs ob j ec ti f s c on tr ad ic to i re s ;

– l’optimisation multimodale, o ù l ’o n s ’ e ffo r c e d e re p é r er t o u t u n je u d ’ o pt i mum s

globaux ou lo caux ;

– l’optimisation dynamique , qu i fa it f ac e à de s va ri at io ns t emp or ell es d e la f on ct io n

ob j ectif ;

– le recours à des implémentations paral lèles .

Ces contextes particuliers requièrent, de la part des métho des de résolution, des

pr op ri ét é s sp é ci fiq ue s q ui ne s on t pa s pr és e nt es da ns t ou te s l es m ét ah eu ri st iq ue s . No u s

reviendrons sur ce sujet, qui offre un m oyen de guider l’utilisateur dans le choix d’une

métahe uri stique. Le réglage et la comp araison des métahe uri stiques sont souvent

effec tué s em piri que ment , en ex plo ita nt des jeux de fo nct ion s an aly tiq ues de te st, dont

les minimums globaux et lo caux sont connus. Nous donnons, à titre d’exemple, en

fig ur e 1, l ’a ll ur e de l ’u ne de c es f on ct io ns de t es t.

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

-10

-5

y

0

5

10

-10

-5

0

x

5

10

(a)

(b)

Figure 1 – Allure de la fonction de test F6. (a) représe ntation à une dimension dans le

domaine [1 0 0, 1 0 0 ], (b) représe ntation à deux dimensions dans le domaine [10, 1 0 ].

Source de l’efficacité des métaheuristiques

Po ur f a ci l i t e r l ’ ex p o sé , p re n o n s u n e xe m p l e s i m p le d e p r o b lè m e d ’o p t i mi s a t i on :

ce lui du pl ace men t des co mp os ant s d’un ci rcui t él ect ron ique . La fo nct ion ob je cti f à

minimiser est la longueur des connexions et les inconnues — encore app elées “variables

de dé c is io n” — s on t l es e mp la ce me n ts de s c om p o sa nt s du c ir cu it . L ’a ll ur e de la f on ct io n

ob j ectif de ce p rob lème p eut être schéma tiquement représentée comme sur la figure 2,

en fo nct ion de la “c onfi gura tio n” : ch aqu e co nfig urat ion est un pl ace men t pa rtic uli er,

- 3 -

Méta heuristique s

asso cié à un choix de valeur p our chacune des variables de décision. Notons que dans

tout le livre — sauf mention contraire explicite — on cherchera de même à minimiser

un ob j ec ti f . L or sq ue l ’e sp ac e de s c on fig ur at io ns p o ss ib le s pr és e nt e une s tr uc tu re a us si

tourmentée, il est difficile de rep érer le minimum global

c ⇤ . No u s ex p li q uo n s ci - de s s ou s

l’éche c d’un algorithme itératif “classique”, avant de commenter la démarche fructueuse

de s m ét ah eu ri st iq ue s .

P iég ea ge d’ un al go ri th me i tér ati f “c l ass iq ue ” da ns

un minimum lo cal

Le princip e d’un algorithme classique d’“amélioration itérative” est le suivant : on

pa rt d’ un e c on fig ur at io n i ni ti al e c0 , qu i p e u t ê t re cho i s ie a u h a s a r d, ou b i e n — p a r

ex emp le dans le cas du pl ace ment d’un ci rcui t él ect ron ique — qui p eut être ce lle d’un

co nce pte ur. On es sai e al ors une mo di ficat io n él éme nta ire , so uve nt ap pelé e “m ouvem ent ”

(par exemple, on p ermute de u x comp osants choisis au hasard, ou bien on translate l’un

d’ e ntre e ux ), et l ’o n c om pa re l es va le ur s de la f on ct io n ob j ec ti f , ava nt et a prè s c et te

mo dification. Si le changement conduit à une diminution de la fonction ob jectif, il est

accepté et la configuration c1 obtenue, qu i est “ vo is i n e ” d e l a p r é c éd e nt e , s e r t d e p oi nt

de dé p ar t p o ur un no uv e l e ss ai . D an s le c as c on tr ai re , on re v ie nt à la c on fig ur at io n

pr éc é de nt e, ava nt de f ai re une a ut re t ent at iv e . Le pro c es su s e st i té ré j us qu ’à ce q ue

toute mo dification rende le résultat moins b on. La figure 2 montre que cet algorithme

d’ a mé li or at i on i té ra ti v e ( dé si gn é a us si s ou s l es t er me s de méthode classique , o u méthode

de descente ) n e c o n d u i t p a s , e n g én é r a l , a u m i n i mu m a b s o l u , m a i s s e u l e m e nt à u n

minimum lo cal cn , qu i c o n s t it u e l a m e i l le u r e d e s s o lu t i o n s a c ce s s i b l es co m p t e te nu d e

l’hyp othèse initiale.

Figure 2 – Allure de la fonction objectif d’un problème d’optimisation difficile en fonction de la

“config uration”.

Po ur a m é l i or e r l ’ e ffic a c i t é d e l a m é t h o d e , o n p eu t , b i en e nt e n d u , l ’ a p p li q u e r p l u -

si eurs fo is, avec des co ndit io ns in itia le s différ ent es ch ois ies ar bitr aire me nt, et re ten ir

co mme so lut ion fina le le me ill eur des mi nimu ms lo caux ob tenus ; cep en dant, ce tte

pr o c éd ure a ug me nt e s en si bl em en t le t em ps de c al cu l de l ’a lg or it hm e , et ne g ar an ti t

pa s de t ro uver la c on fig ur at io n o pt im al e c ⇤ . L’applic ation rép ét ée d’une mé tho de de

- 4 -

Avant -p ropos

de s ce nte e st pa rt i cu li èr em e nt ine ffic ac e l or sq ue le no m bre de m ini m ums lo c au x c ro ît

exp onenti ell eme nt avec la ta ill e du pro blè me.

Ca pa ci té des m éta he uri st iq ue s à s’ ex tr air e d’ un m ini mum l oca l

Po ur s u r m ont e r l ’o b s t a c le d e s m in i mu m s l o ca u x , u ne a u t r e i d é e s ’ e s t m o nt r é e

très fructueuse, au p oint qu’elle e s t à la base de toutes les métaheuristiques dites de

voisinage (recuit simulé, méthod e tab ou) : il s’agit d’autoriser, de temps en temps , des

mouvements de remontée, a u tr e m e nt di t d ’ a cc e p t e r un e d é g r ad a t i on te m p or a i r e de l a

situation, lors du changement de la configuration courante. C’est le cas si l’on passe

de cn à c 0 n (voir figure 2). Un mécanisme de contrôle des dégradations — sp écifique à

chaque métaheuristique — p ermet d’éviter la divergence du pro cédé. Il devient dès

lors possible de s’extraire du piège que représente un minimum lo cal, pour partir

ex plo rer une au tre “val lée ” plus pro met te use. Les mé tah euri sti que s “d istr ibué es” (t ell es

que le s algorithmes évolution naires) ont elles aussi des mécanismes p e rme ttant la

sortie d’une solution particulière hors d’un “puits” lo cal de la fonction ob jectif. Ces

mécanismes (comme la mutation da ns l es a lg or it hm es é vo lu ti o nna i re s) a ffe ct ant une

so lut ion vi enne nt, dans ce ca s, se con der le mé can ism e co lle ct if de lu tte contre les

minimums lo caux, que représente le contrôle en parallèle de toute une “p opulation” de

so lut ions .

Principe des métaheuristiques les plus répandues

La métho de du recuit simulé (Simulated Annealing)

S. Ki rk pa t ri ck et s es c ol lè g ue s é ta ie nt de s sp é ci al is t es de ph ys i qu e s ta ti st iq u e

(qui s’intéressaient précisément aux configurations d e basse énergie de matériaux

magnétiques désordonnés, regroup és sous le terme de verres de spin ). La détermination

nu mé r i q u e d e c es c on fi g u r a ti o n s p os a i t d e r e do u t a b le s p ro b l è m es d ’o p t i m is a t i o n,

car le “paysage d’énergie ” d ’ un ver re d e sp in p ré se nte u ne mul ti tu de d e val lées de

pr of o nd eu rs i né ga le s ; il e st a na lo gu e au “ pa ys ag e ” de la fig ur e 2. S. Ki rk pa t ri ck et

al. [ Kirkpatrick et al. 83] (et indép endamment V. Cerny [ Cerny 85]) ont prop osé de

traiter ces problèmes en s’inspirant de la technique expérimentale du recu it ut i li sé e pa r

les métallurgistes p our obtenir un état solide “bien ordonné”, d ’énergie minimale (en

év ita nt les st ruct ure s “m éta sta ble s”, ca rac tér ist ique s des mi nimu ms lo caux d’ éner gie ).

Cette technique consiste à p orter le matériau à haute temp érature, puis à abaisser

lentement celle-ci. À titre d’illustration, nous représentons sur la figure 3 l’effet de

la technique du rec ui t, et celui de la tech nique opp osée de la trempe , sur un système

f or mé d’ un e ns em bl e de pa rt i cu le s.

La mé th ode du rec ui t s imu lé transp ose le pro cédé du

rec uit à la réso luti on d’u n

pr ob lè m e d’ o pt im is at io n : la f on ct io n ob j ec ti f du pr ob lè m e, a na lo gu e à l ’é ne rg ie d’ un

matériau, est alors minimisée, moyennant l’introduction d’une température fic t iv e, q ui

es t, dans ce ca s, un si mple pa ramè tre de co ntrô le de l’ alg ori thme .

- 5 -

Méta heuristique s

ÉTAT « VISQUEUX »

- CONFIGURATION DÉSORDONNÉE DES PARTICULES

- ÉNERGIE DU SYSTÈME ÉLEVÉE

technique du recuit

refroidissement lent

technique de la trempe

refroidissement très rapide

ÉTAT SOLIDE CRISTALLIN

minimum global de l’énergie

ÉTAT SOLIDE AMORPHE

minimum local de l’énergie

Figure 3 – Comparaison des tec hniques du recuit et de la tremp e.

En pr at i qu e, la t ec hn iq ue e xp lo it e l ’a lg or it hm e de M et ro po li s, q ui pe rm e t de

dé c ri re le c om p o rt em en t d’ un s ys tè me en “ éq ui li br e t he rm o dy na m iq ue ” à une c er ta in e

temp érature T : part ant d ’une c onfigu ratio n donné e (par e xempl e, un pla ceme nt

initial de tous les comp osants), on fait subir au système une mo dification élémentaire

(par exemple, on translate un comp osant, ou on échange deux comp osants) ; si cette

transformation a p our effet de diminuer la fonction ob jectif (ou

énergie ) du système,

el le est ac ce pté e ; si el le provo que au contra ire une au gme nta tio n E de la f on ct io n

ob jectif, elle p eut être acceptée tout de même, avec la probabilité e E

T . O n it è r e

en suit e ce pro cé dé, en ga rda nt la te mp ér atur e co nst ant e, ju squ’ à ce que l’ équ ilib re

thermo dynamique soit atteint, concrètement au b out d’un nombre “suffi

sant” de

mo difications. On abaisse alors la temp érature, avant d’effectuer une nouvelle série

de t ra ns fo rm at io ns : la l oi de dé c ro is sa nc e pa r pa l ie rs de la t em p é ra tu re e st s ou ve nt

em piri que , tout co mme le cr itè re d’ arrê t du pro gra mme .

L’organigramme de l’algorithme du recuit s imulé est sché matis é sur la figure 4.

Lorsqu’il est appliqué au problème du placement de comp osants, le recuit simulé

op ère une transformation désordre-ordre, qui est représentée de manière imagée sur la

fig ur e 5. On p e ut a us si v is ua li se r q ue lq ue s é ta p es de c et te m is e en o rdr e en a ppl i qu an t

la métho de au placement de comp osants sur les no euds d’une grille (voir figure 6).

- 6 -

Avant -p ropos

Les inconvénients du recuit simulé résident d’une part dans les “réglages”, comme

la ge stion de la décrois san ce de la temp érature ; de “b ons” réglages relève nt sou vent

du s avo ir -f ai re de l ’u ti li sa te ur . D ’a ut re pa rt , l es t em ps de c al cu l p e uve nt de v en ir

très imp ortants, ce qu i a c ond u it à des parallélisations de la métho de. En revanche,

la métho de du recuit simulé a l’avantage d’être souple vis-à-vis des évolutions du

pr ob lè m e et f ac il e à i mpl é me nt er . E ll e a do nn é d’ e xc el l en ts ré s ul ta ts p o ur no m bre de

pr ob lè m es , le pl us s ou ve nt de g ra nd e t ai ll e.

CONFIGURATION INITIALE

TEMPÉRATURE INITIALE T

MODIFICATION élémentaire

variation d'énergie E

RÈGLE D'ACCEPTATION de Metropolis

- si

- si

E 0 : modification acceptée

E > 0 : modification acceptée avec la

probabilité exp(- E / T)

NON

équilibre

thermodynamique

?

OUI

système figé

?

OUI

STOP

NON

PROGRAMME

DE RECUIT

diminution

lente de T

Figure 4 – Organigramme de l’algorithme du recuit simulé.

- 7 -

Méta heuristique s

Figure 5 – Transformation désordre-ordre réalisée par le recuit simulé appliqué au placement

de comp osants élect roniques.

a : T = 25, L

= 775 b : T = 20, L

= 525

c : T = 13, L

= 460 d : T = 6 , L = 425

e : T = 4, L = 260 f : T = 3, L = 200

Figure 6 – Évolution du système à diverses temp ératures T , en partant d’une config uration

arbitraire : L désigne la longueur totale de connexi ons.

- 8 -

Avant -p ropos

La métho de de recherche avec tab ous (Tabu Search)

La métho de de reche rche avec tab ous, ou simplement recherche tabou ou

méthode

tabou, a été fo rmali sée en 1 986 par F. Glove r [ Glover 86 ]. Sa principale particularité

tient dan s la mise en œuvre de mécanismes inspirés de la mémoire hu ma i n e . L a m é th o d e

tab ou prend, sur ce plan, le contre-pied du recuit simulé, totalement dép ourvu de

mémoire, et donc incapable de tirer les leçons du passé. En revanche, la mo délisation

de la m ém oi re i nt ro dui t de m ult ipl e s de g ré s de l ib e rt é, q ui s ’o pp o se nt — de l ’a vis

même de l’auteur [ Glover et al. 97a] — à toute ana lyse mathém atique rigo ureuse de

ce tte mé tho de. Le pri nci p e de base de la mé tho de tab ou est si mple : co mme le re cuit

simulé, el le fo nct ion ne avec une se ule “c onfi gura tio n co ura nte” à la fo is (au dé part ,

une s ol ut io n q ue lc on q ue ), q ui e st a ct ua li sé e au c ou rs de s “ it ér at io n s” s uc ce ss ive s. À

ch aq u e i t é ra t i o n , l e m é c a ni s m e d e p a ss a g e d ’ un e c o n fi g ur a t i o n, s o i t s, à la sui vant e,

soit t, comp orte deux étap e s :

– on construit l’ensemble des voisins de s , c’est-à-dire l’ensemble des configurations

acce ssibles en un seul mouve ment él éme nta ire à pa rtir de s (si cet ensemble est

trop vaste, on applique une technique de réduction de sa taille : par exemple, on

a recours à une li ste de c andid ats, ou o n extra it aléa toire ment u n sous- ensemble

de v oi si ns de t ai ll e fix é e) ; s oi t V (s) l’ensemble (ou le s ou s-ensemble) de ces

vo is i n s ;

– on évalue la fonction ob jectif f du pr ob lè m e en cha c un e de s c on fig ur at io ns

appartenant à V ( s). L a c o n fig u r a t i o n t , q u i s u cc è d e à s da ns la s ui te de s ol ut io ns

co nst ruit e par la mé tho de tab ou, est la co nfig urat ion de V ( s) en la que lle f

pr en d la va le ur m ini m al e. No t on s q ue c et te c on fig ur at io n t est ad opt ée même si

el le est mo ins b onne que s, i. e . s i f(t ) > f (s ) : c ’ e s t gr â c e à c e t t e p a rt i c u l a r i té

que la métho de tab ou p ermet d’éviter le pié ge age dans les min imums lo caux

de f .

Telle que lle , la pro cédur e p récé dente e st i nop é rante, car il y a un ris que imp ortant

de re t ou rn er à une c on fig ur at io n dé j à re t en ue l or s d’ un e i té ra ti o n pr éc é de nt e, ce q ui

en gen dre un cy cle . Pour év ite r ce phé nom ène , on ti ent à jour et on ex plo ite , à ch aqu e

itération, une liste de mouvements interdits, la “liste de tab ous” ou “liste tab ou” : cette

liste — qui a donné son nom à la métho de — contient m mouvements (t ! s ), qu i

sont les inver ses des m de rn ie rs m ou ve me nts ( s ! t

) effec tué s. L’ org anig ram me de cet

algorithme dit “tab ou simple” est représenté sur la figure 7.

L’algorithme mo délise ains i une forme rudimentaire de mémoire, la mémoire à

court terme de s s ol ut io ns v is it ée s ré c em me nt . D eu x m éc an is me s s upp lé m en ta ir es ,

no m mé s intensification et diversification

, s o nt s o u ve nt m is e n œ u v r e p o u r d o t e r a u s s i

l’algorithme d’une mémoire à long terme . Ces pro cessus n’exploitent plus la proximité

da ns le t em ps d’ é vé ne me nts pa rt i cu li er s, m ai s pl ut ô t la f ré qu en ce de l eu r o c cu rr en ce ,

sur une p ério de plus lo ngue .

L’inten s ifi cation cons iste à approfondir l’exploration de certaines régions de l’espace

de s s ol ut io ns , i de nt ifi ée s c om me pa rt i cu li èr em e nt pr om e tt eu se s . La di v er si fic at io n e st

au contraire la réorientation p ério dique de la recherche d’un optimum vers des régions

trop rarement visitées jus qu ’ic i.

- 9 -

Méta heuristique s

CONFIGURATION INITIALE s

LISTE TABOU INITIALE VIDE

NOUVELLE CONFIGURATION

COURANTE s = t

PERTURBATION DE s SUIVANT

N MOUVEMENTS non tabous ;

ÉVALUATION DES N VOISINS

SÉLECTION DU

MEILLEUR VOISIN t

INSERTION DU MOUVEMENT

t s DANS LA LISTE TABOU

ACTUALISATION DE LA

MEILLEURE SOLUTION CONNUE

NON

Critère

d’arrêt

atteint ?

OUI

STOP

Figure 7 – Organigramme de l’algorithme tab ou simple.

Po ur c e r t ai n s p r o bl è m e s d’ o p t i mi s a t i on , l a m é th o de t a b ou a d o n né d ’ e x c el l e nt s

résultats ; en outre , sous sa forme de base, la métho de comp orte moins de paramètres

de réglage que le recuit simulé, ce qui la rend plus simple d’emploi. Cep endant, les

dive rs m éc an is me s a nne x es , c om me l ’i nte ns ifi ca ti o n et la di v er si fic at io n , a pp o rt ent une

no t ab le c om pl ex i té .

Les algorithmes génétiques (Genetic Algorithms) et les

algorithmes évol ut ionnaires (Evolutionary Algorithms)

Les algorithmes évolutionnaires (AEs) sont des techniques de recherche inspirées par

l’évolution biologique des esp èces, apparues à la fin des années 1950 [ Fras er 57]. Parmi

pl us ie u rs a ppr o che s [ Holland 62 ] [Foge l et al. 66] [Rechenberg 65 ], les algorithmes géné

t iq ue s ( AG s) en c on st it ue nt c er ta in em e nt l ’e xe mp le le pl us c on nu, à la s ui te de

la parution en 1989 du cé lè bre livre de D. E. Goldb erg [ Goldb erg 89] : G en et ic A l-

gorithms in Search, Optimization and Machine Learning (voir en [ Goldb erg 94] la

- 10 -

Avant -p ropos

traduction française). Les métho des évolutionnaires ont d’ab ord suscité un intérêt

limité, du fait de leur imp ortant coût d’exécution. Mais e lles connaissent, depuis

vingt ans, un développeme nt considérable, grâce à l’augmentation ve rtigin e u se de

la puissance de s calculateurs, et notamment suite à l’apparition des architectures

massivement parallèles, qui exploitent leur “parallélisme intrinsèque” (voir par exemple

[ Coho on et al. 91 ], p our une application au placement de comp osants). Le princip e

d’ un a lg or it hm e évo lu ti on na ir e se dé c ri t s im pl em en t. Un e ns emble de N p oi nt s d an s

un e sp ac e de re c he rc he , c ho is is a priori au hasard, constitue la population initiale ;

ch aq u e i nd i v i d u x de la p o pul a ti on p o ss èd e une c er ta in e p e rf or ma nc e, q ui m es ur e s on

de g ré d’ adaptation à l ’ o b j e c t i f v i sé : d a n s l e c a s d e l a m i n im i s a t i o n d ’ u ne f o n c t i o n

ob jectif f , x est d’ auta nt plus p er form ant que f (x ) est plus p et it. Un AE co nsi ste

à fa i re é vol ue r p ro gr es s ive me nt, p ar générations suc ce ssi ves , la co mpo sit ion de la

p op ul at io n, en ma int en ant s a t ai ll e c on st ant e. A u c ou rs d es g éné ra ti on s, l’ ob j ec ti f

est d’ amé lio rer gl oba lem ent la p er form anc e des in divi dus ; on es sai e d’ obte nir un tel

résultat en mimant les deux principaux m é c anismes qui régissent l’évolution des êtres

vivants, selon la théorie de C. Darwin :

– la sélection, qu i f avo ri s e la r ep ro du ct io n et l a s ur vi e de s i nd iv i du s le s pl u s

p er fo rm ant s,

– et la reproduction, q u i p e rm e t l e b ra s s a g e, l a r e c o mbi n a is o n e t l e s va r i at i o n s

de s c ar ac tè r es hé ré d it ai re s de s pa re n ts , p o ur f or me r de s de s ce nd an ts a ux p o te n-

tialités

nouvelles.

En pr at i qu e, une re pr é se nt at io n do i t ê tr e cho i si e p o ur l es i ndi v id us d’ un e po pu la -

tion. Classiquement, un individu p ourra être une liste d’entiers p our des problèmes

combi nato ire s, un ve cteur de no mbre s ré els pour des pro blè mes num éri ques dans

de s e sp ac es c ont in us , une c ha în e de no m bre s bi na i re s p o ur de s pr ob lè m es b o ol ée ns ,

ou p ourra même combiner ces représentations dans des stru ctu res complexes, si le

b es oi n s ’e n f ai t s ent ir. L e pa ss ag e d ’u ne g éné ra ti on à l a s ui va nt e s e d ér ou le e n q ua tre

ph as e s : une ph as e de s él ec t io n, une ph as e de re pr o duc t io n ( ou de va ri at io n) , une ph as e

d’ é va lu at io n de s p e rf or ma nc es et une ph as e de re m pl ac em e nt. La ph as e de s él ec t io n

désigne les individus qui particip ent à la repro duction. Ils sont choisis, éventuellement à

pl us ie u rs re pr is e s, a

priori

d’ a ut ant pl us s ou ve nt q u’ il s s on t p er fo r ma nt s. L es i ndi v id us

sélec tionnés sont ensuite disp onibles p our la phase de repro duction. Celle-ci consiste

à a pp l i qu e r d es o p é ra t e ur s d e var i at i o n su r d e s co p i es d e s i nd i v i du s s é le c t io n n és

p ou r e n e ng en dre r d e n ou ve aux ; l es o p ér ate ur s l es p lus u ti li sés s ont l e croisement

(ou recombinaison ), qui pro duit un ou deux descendants à partir de deux parents,

et la mutation, qui pro duit u n nouvel ind ividu à p arti r d’un s eul in divi du (voir un

ex emp le en figure 8). La st ruct ure des op ér ate urs de var iat ion dép end ét roi tem ent de

la représentation choisie p our les individus. Les p erformances des nouveaux individu s

sont en suit e éval uée s, dur ant la pha se d’éval uat ion , à pa rtir des ob je cti fs fix és. Enfin,

la p hase de re mplacement consiste à chois ir les memb re s de la nouvelle génération :

on p eut, par exemple, remplacer les individu s les moins p erformants de la p opulation

pa r l es m ei ll eu rs i ndi v id us pro du it s , en no mbre é ga l. L ’a lg or it hm e e st int er ro mp u

après un certain nombre de générations, selon un critère d’arrêt à préciser. Nous avons

représenté en figure 9 le princip e d’un algorithme évolutionnaire.

- 11 -

Méta heuristique s

0 0 1 1 0 1 0 1

0 0 1 1 0 0 1 1

1 0 1 0 0 0 1 1

1 0 1 0 0 1 0 1

deux individus parents deux individus descendants

a a - – Croisement (mono-point).

0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1

individu avant mutation

individu après mutation

b b - Mutat – Mutation n ( d‘un (d’un s seul bit bit).

Figure 8 – Exemples d’op érateurs de croisement et de mutation, dans le cas d’individus

représe ntés par des chaînes de 8 nombres binaires.

Évaluation des

performances

des individus

Sélection

pour la

reproduction

Croisements

Mutations

non

Initialisation

aléatoire

d’une

population

Stop ?

Sélection

pour le

remplacement

Évaluation des

performances

des enfants

oui

meilleur(s) individu(s)

Figure 9 – Princip e d’un algorithme évolu tionnaire.

- 12 -

Avant -p ropos

Pa rc e q u ’ i ls m a n i p u le nt u n e p op u l a ti o n d ’ i n st a n c e s d e s o l u t io n s , l e s a lg o r i t hm e s

évol uti onna ire s sont pa rtic uli ère ment indi qué s pour prop os er un jeu de so lut ions

dive rs es , q ua nd une f on ct io n ob j ec ti f c om p or te pl us ie u rs o pt im um s g lo ba ux . Ai ns i ,

ils p euvent fournir un échantillon de solutions de compromis, lors de la résolution

de problèmes comportant plusieurs ob jectifs, éventuellement contradi ctoires. Ces

p os si bi lit és s ont p lus p ar ti cul iè re ment é vo q ué es au ch ap it re 10 .

Les algorithmes de colonies de fourmis (Ant Colony Algorithms)

Cette appro che, due à Colorni, Dorigo et Maniezzo [Colorni et al. 91 ], s’eff

orce

de s imul e r la c ap ac it é c ol le c ti ve de ré s ol ut io n de c er ta in s pr ob lè m es , o bs er vé e c he z

une c ol on ie de f ou rm is , do nt l es m em bre s s on t p o urt a nt i ndi v id ue ll em ent do t és de

f ac ul té s t rè s l im it ée s. Ap pa ru es sur t er re il y a q ue lq ue 1 00 m il li on s d’ a nné e s, l es

f ou rm is s on t en e ffet l ’u ne de s e sp è ce s l es pl us pr os pè re s : 10 m il li on s de m il li ar ds

d’ i ndi v id us, ré pa r ti s pa rt o ut sur la pl a nè te : l eu r p o id s t ot al e st du m êm e o rdr e de

grandeur que celui des humains ! Le succès de cette esp èce soulève de n ombreuses

questions. En particu lie r, les entomologistes ont analysé la collab oration qui s’établit

entre les fo urmi s p our al ler ch ercher de la no urrit ure à l’ ext éri eur de la fo urmi liè re ; il

est re marq uab le que les fo urmi s sui ve nt to ujo urs le même ch emi n et que ce ch emi n

soit le plus court p ossible. Cette conduite est le résultat d’un mo de de communic ation

indirecte, via l’environnement : la “stig mergie”. Chaque fourmi dép ose, le long de son

ch em i n , un e su b s t an c e chi m i q ue , dé n o m m é e “ p h é ro m o n e ” ; t o us l es m emb r e s de la

co lon ie p er çoi vent ce tte sub sta nce et or ientent pré fé renti ell eme nt leur ma rche vers les

régions les plus “ odorantes”.

Il en résulte notamment la faculté colle ctive de retrouver rapidement le plus court

ch em i n , s i c e l ui - c i s e t r o uve o b st r u é f o r tu i t e m ent p ar u n o b st a c l e ( vo ir fi gu r e 1 0 ) .

En s ’i ns pi ra nt de la mo dé l is at io n de ce c om p o rt em ent, D or ig o et al. ont prop osé un

no uvel a lg or it hm e p o ur la ré s ol ut io n du pr ob lè m e du voy ag eu r de c om me rc e . D ep ui s

ces travaux, la dé marc he a été ét end ue à b ea uco up d’ autr es pro blè mes d’ opti mis ati on,

combi nato ire s ou mê mes co nti nus.

Les algorithmes de colonies de fourmis p ossèdent plusieurs caractéristiques intéressantes

; me nti onno ns no tam ment le paral lélisme intrinsèque él evé , la flexibilité (une

co lon ie de fo urmi s est ca pab le de s’ ada pte r à des mo di ficat io ns de l’ env iron nem ent),

la robustesse (une colonie est apte à maintenir son activité si quelques individus sont

dé f ai ll a nt s) , la décentralisation (une colonie n’ob éit pas à une au torité centralisée)

et l’ auto-organisation (une colonie trouve d’e lle-même une solution, qui n’est pas

connue à l’avance). Cette démarche paraît de ce fait particulièrement indiquée p our les

pr ob lè m es distribués pa r na t ure , s usc e pt ib le s d’ évolution dynamique, ou qui requ ièrent

une forte tolérance aux pannes. À c e stade de déve lopp e ment d e ces alg orit hmes, l a

transp osition à chaque problème d’optimisation ne va cep endant pas de soi : elle doit

f ai re l ’o b j et d’ un t ra it em ent sp é ci fiq ue , pl us ou m oi ns a rdu . . .

- 13 -

Méta heuristique s

(1)

(2)

(3)

Figure 10 – Faculté d’une colonie de fourmis de retro uver le plus court chemin, obstrué

fortuitement par un obstacle.

1. Des fourmis réelles suivent un chemin entre le nid et une source de nourriture.

2. Un obstacle survient sur le chemin, les fourmis choisissent de tourner à gauche ou à droite, avec

des probabilités égales ; la phéromone est déposée plus rapidement sur le chemin le plus court.

3. Toutes les fourmis ont choisi le chemin le plus court.

A utr es

m éta he uri st iq ue s

Varia ntes ou non de s pl us c onnues , el les sont légion . No us r envoyo ns l e le cte ur

intéres s é aux chapitres 8 et 9 de ce livre et à trois ouvrage s : [ Reeves 95], [Sa ï t et al. 99 ]

et [P ham et al. 00] ; chacun d’eu x est consacré à plusieurs métahe uri stiques.

Extensions des métaheuristiques

Nous passons en revue quelques-unes des e xte nsions, qui ont été p rop osées p our

f ai re f ac e à de s pa rt i cu la ri té s de l ’o pt im is at i on .

Adaptat io n a ux prob lè me s à variab le s c ont inue s

Ces problèmes, de loin les plus courants en ingénierie, intéressent moins les informaticiens.

. . Les métahe uri stiques, d’origine comb inatoire, ont cep endant été p our la

pl up ar t a da pt ée s au c as c on ti nu, ce q ui s upp o se no t am me nt le re c ou rs à une s tr at ég i e

de di s cr ét is at i on de s va ri ab le s : le pa s de di s cr ét is at i on do i t s ’a da pt er en c ou rs d’ o pt i-

misation, p our garantir à la fois la régularité de la progression vers l’optimum et la

pr éc i si on du ré s ul ta t. No s pr op o si ti on s re l at iv e s au re c ui t s im ul é, à la m ét ho de t ab ou et

aux algorithmes génétiques sont décrites dans [ Si a rry et al. 97 ], [Chelouah et al. 00b ]

et [Chelouah et al. 00a].

- 14 -

Avant -p ropos

Optimisation multi -o b jectif

De p lus en plus de problèmes exigent la con s id é ration simultanée de plusieurs

ob jectifs contradi ctoires. Il n’existe pas, dans ce cas, un optimum unique ; on cherche,

en revanche, une ga mme de so lut ions “o pti mal es au sens de Pa ret o”, qui fo rme nt la

“surface de compromis” du problème considéré. Ces solutions p euvent être soumises à

l’arbitrage final de l’utilisateur. Les principales métho des d’optimisation multi-ob jectif

(exploitant, ou non, une métaheuristique) et quelques applications, notamment en

télécommunication, ont été prése ntées d an s l’ouvrage [ Collette et al. 02] pa ru ch ez

E yr ol le s, da ns la m êm e c ol le c ti on q ue ce l iv re , en o c to br e 2 00 2.

Les métho des hybrides

Le succès rapide des métaheuristiques est dû aux difficultés rencontrées par les

métho des classiques d’optimisation dans les problèmes complexes d’ingénierie. Après

le triomphalisme des débuts des tenants de telle ou telle métaheuristique, l’heure

est venue de fa ire un bi lan ré ali ste et d’ acc ept er la co mpl éme nta rité de ces no uve lle s

métho des entre elles, ainsi qu’avec d’autres appro ches : d’où l’émergence actuelle de

méthodes hybrides (voir par exemple [Renders et al.

96]).

Optimisation multi m o dale

Il s’agit cette fois de déterminer tout un jeu de solutions optimales, au lieu d’un

optimum unique. Les algorithmes évolutionnaires sont particulièrement bien adaptés

à cette tâ che, de pa r leur nat ure dist ribué e. Les vari antes de ty p e “mult ip opul ation”

ex plo ite nt en pa rall èle pl usie urs p op ulat io ns, qui s’ att ach ent à rep érer des op timu ms

di ffé re nt s.

Parallé li sa ti on

De multiples mo des de parallélisation ont été prop osés p our les différentes métaheu-

ristiques. Certaines techniques se veulent générales ; d’autres, en revanche, tirent parti

de pa rt i cu la ri té s du pr ob lè m e. Ai ns i , da ns l es pr ob lè m es de pl a ce me nt de c om p o sa nt s,

les tâche s p euvent être réparties naturellement entre plus ie u rs pro cesseurs : chacun

d’ e ux e st c ha rgé d’ o pt im is er une z on e g éo gr a phi q ue do nn é e et de s i nf or ma ti on s s on t

écha ngé es p ério di quem ent en tre pro ce sse urs voisins (v oir par ex emp le [ Se che n 88] et

[Wong et al. 88]).

- 15 -

Méta heuristique s

Place des métaheuristiques dans une classification

des méthodes d’optimisation

Po ur t e nt er d e r é c a p it u l e r l e s c o n s i d ér a t i o n s p r é cé d e nt e s , n o u s p r o p o s o n s e n fi g ur e 1 1

une c la ss ifi ca t io n g én ér al e de s m ét ho de s d’ o pt im is at io n m on o- ob j ec ti f , dé j à pu bl ié e

da ns [ Collette et al. 02 ]. On retrouve, dans ce graphe, les princip ale s distinctions

op érées plus haut :

– on différencie, en premier lieu, l’optimi sation combinatoire de l’optimi sation

conti nue ;

– p ou r l’ op tim is at ion c omb in ato ir e, o n a r ec our s au x mé th o des ap pr o ch ée s, lo rs -

qu’on est confronté à un problème difficile ; dans ce cas, le choix est parfois

p os si bl e e nt re u ne h eu ri sti qu e “ sp é cia li sé e” , ent iè re me nt d éd ié e a u p rob lè me

co nsi déré , et une mé tah euri sti que ;

– p ou r l’ op ti mis at ion co nt inue , o n s épa re s om ma ire me nt l e ca s li né ai re ( qui re lè ve

no t am me nt de la programmation linéaire ) du c a s n o n l in é a i re , o ù l ’ o n re t r o uve

le cadre de l’optimisation difficile ; dans ce cas, une s olu tion pragmatique p eut

être de re cou rir à l’ appl ica tio n rép ét ée d’une mé tho de lo ca le qui ex plo ite , ou

no n, l es g ra di en ts de la f on ct io n ob j ec ti f . Si le no m bre de m ini mums lo c au x

est très él evé , le re cou rs à une mé tho de gl oba le s’ imp ose : on re trou ve al ors les

métahe uri stiques, qui offrent une alternative aux métho des classiques d’optimi-

sa tio n gl oba le, ce lle s-c i re qué rant des pro prié té s ma thé mat ique s re stri cti ve s de

la fonction ob jectif ;

– on p eut différencier les métahe uri stiques “de voisina ge”, qui font progresser une

se ule so lut ion à la fo is (r ecu it si mulé , reche rche ta bou . . . ), et les mé tah euri sti que s

“d istr ibué es” , qui ma nipu lent en pa rall èle to ute une p op ulat io n de so lut ions

(algorithmes génétiques. . . ) ;

– en fin, les mé tho des hy bride s as soc ien t souvent une mé tah euri sti que et une

métho de lo cale. Cette co op ération p eut prendre la simple forme d’un passage

de re l ai s e nt re la m ét ah eu ri st iq ue et la t ec hn iq ue lo c al e, c ha rg ée d’a ffine r la

so lut ion. Ma is les deux appro ches p eu vent au ssi être entrem êlé es de ma niè re

pl us c om pl ex e .

Applications des métaheuristiques

Les métaheuristiques sont désormais d’un emploi courant dans tous les sec te u rs

de l ’i ng én ie ri e, à t el p o in t q u’ il n’ e st pa s po s si bl e de dr es s er i ci un inve nt ai re de s

applications. Plusieurs exemples seront décrits dans les chapitres consacrés aux diff

ér ent es m ét ah eu ri st iq ue s . En o ut re , la de rn iè re pa rt i e de ce l iv re e st c on sa cr é e à la

pr és e nt at io n dé t ai ll é e de t ro is é tu de s de c as , da ns l es do m ai ne s de s s ys tè me s l og is ti q ue s,

de s t ou rné e s de v éh ic ul es et du t ra fic a ér ie n.

- 16 -

Avant -p ropos

Minimisation

d’un cout ^

Identification Caractérisation Problème

inverse

Optimisation

Combinatoire

Continue

optimisation difficile

Méthode

EXACTE

(spécialisée)

Méthode

APPROCHÉE

NON LINÉAIRE

et souvent non connue

analytiquement

LINÉAIRE

Programmation

linéaire

Méthode

GLOBALE

Méthode

LOCALE

HEURISTIQUE

spécialisée

MÉTAHEURISTIQUE

CLASSIQUE

(souvent avec gradients)

AVEC

GRADIENTS

SANS

GRADIENTS

de VOISINAGE

DISTRIBUÉE

Méthode

HYBRIDE

SIMPLE

COMPLEXE

Figure 11 – Classification générale des métho des d’optimisation mono-o bjectif.

Un sujet ouvert : le choix d’une métaheuristique

Cette présentation ne doit pas éluder la principale difficulté à laquelle est confronté

l’ingénieur, en présence d’un problème d’optimisation concret : celui du choix d’une

métho de “efficace”, capable de pro duire une solution “optimale” — ou de qualité

acceptable — au prix d’un temps de calcul “raisonnable”. Face à ce souci pragmatique

de l ’u ti li sa te ur , la t hé or ie n’ e st pa s e nc or e d’ un g ra nd s ec ou rs , c ar l es t hé or èm es

de c on ve rg en ce s on t s ou ve nt i ne xi st an ts , ou a ppl i ca bl es s ou s de s hy po t hè se s t rè s

restrictives. En outre, le réglage “optimal” des divers paramètres d’une métaheuristique,

qui p eut être préconisé par la th é orie, est souvent inapplicable en pratique, car il

induit un coût de calcul prohibitif. En conséquence, le choix d’une “b onne” métho de,

et le ré gla ge des pa ramè tre s de ce lle -c i, font gé nér ale ment app el au savoi r-f aire et à

- 17 -

Méta heuristique s

l’“exp érience” de l’utilisateur, plutôt qu’à l’applic ation fi dèle de règle s bien étab lie s .

Les efforts de recherche en cours, par exemple sur l’analyse des “paysages d’énergie”,

ou sur la mise au p oint d’une taxinomie des métho des hybrides, visent à remédier à

ce tte si tua tio n, p ér ille use à te rme p our la cr édib ili té des mé tah euri sti que s. . . Nous

tenteron s néanmoins d’ébau cher, dans le chapitre 12 de ce livre, une technique d’aide

à la sélection d’une métaheurist iqu e.

Plan de l’ouvrage

L’ouvrage comp orte trois parties.

La première partie est consacrée à la présentation détaillée des métaheuristiques

les plus répandues :

– la métho de du recuit simu lé ;

– la recherche tab ou ;

– la recherche à voisinages variab les ;

– la métho de GRASP ;

– les algorithmes évolutionnaires ;

– les fourmis artificielles ;

– les essaims particulaires.

Chacune de ces métahe uri stiques est en réalité une famille de métho des, dont nous

essayons de dé gag er les él éme nts es sen tie ls.

Dans la seconde partie, nous présentons quelques autres métah e uristiques, moins

répandues ou ém e rgentes. Puis nous décrivons les extensions des métaheuristiques

(optimisation multi-ob jectif, optimisation sous contraintes. . . ) et quelques voies de

reche rche. Enfin, nous ab ordons le problème du choix d’u n e m é taheuristique et nous

dé c ri vo ns de u x dé m ar ch es un ifi ca t ri ce s q ui t en de nt à a tt énue r la di ffic ul té de ce c ho ix .

La dernière partie rass emble trois études de cas :

– l’optimisation de systèmes logistiques à l’aide de techniques d’hybridation à

ba s e de m ét ah eu ri st iq ue s . Ce t te é tu de e st ré di g ée pa r Laurent Deroussi,

Nathalie Grangeon et Sylvie Norre

(LIMOS, Montluçon) ;

– l’optimi sation de tournées de véhicules. Cette étude de cas est rédigée par

Caroline Prodhon et Christian Prins (LOSI, UTT, Troyes) ;

– des applications en gestion du trafic aérien. Cette étude de cas est rédigée par

Nicolas Durand, Dav i d G i a n a z z a , Jean-Baptiste Gotteland,

Charlie

Van ar et et Jea n -Marc Alliot (ENAC et IRIT, Toulouse).

- 18 -

Première partie

Présentation des principales

métaheuristiques

19

Chapitre 1

La méthode du recuit simulé

Patrick

Siarry

Université Paris-Est Créteil Val-de-Marne

Lab oratoire Images, Signaux et Systèmes Intelligents (LiSSi, E.A. 3956)

122 rue Paul Armangot, 94400 Vitry-sur-Seine, France

Siarry@u-pec.fr

1.1 Introduction

La structure comple xe de l’espace des configuration s d’un problème d’optimisation

di ffic il e a i ns pir é une a na lo gi e av ec de s ph é no mè ne s ph ys i qu es , q ui a c on du it t ro is

chercheurs de la So ciété IBM — S. Kirkpatrick, C.D. Gelatt et M.P. Vecchi — à

pr op o se r, en 1 98 2, et à pu bl ie r, en 1 98 3, une no uv e ll e m ét ho de i té ra ti v e : la m ét ho de

du re c ui t s im ul é [ Kirkpatrick et al. 83], qui évite les minimums lo caux. Des travaux

semblables, développés indép endamment à la même ép o que par V. Cerny [ Cerny 85 ],

ont été publiés en 1985.

Depuis son apparition, la métho de du recuit simulé a prouvé son efficacité dans des

do m ai ne s a us si di v er s q ue la c on ce pt i on de s c ir cu it s é le ct ro ni q ue s, le t ra it em en t de s

images, la collecte des ordures ménagères, ou l’organisation du ré seau informatiqu e

du L ot o. . . E ll e s ’e st pa r c on tr e avé ré e t ro p g ou rm an de ou i na da pt ée p o ur c er ta in s

pr ob lè m es d’ o pt im is at io n c om bi na to i re , m ie ux ré s ol us pa r de s he u ris t iq ue s sp é ci fiq ue s.

Dans ce chapitre, nous exposons d’abord le principe de la métho de, e n nous

appuyant sur l’exemple du problème du placement d’un circuit élec tronique. Puis

no us dé c ri vo ns s ou s f or me t rè s s im pl ifi ée q ue lq ue s a ppr o che s t hé or iq ue s du re c ui t

simulé, en so ulig nan t ses p oi nts fo rts (c onve rge nce co ndit io nnel lem ent as suré e vers un

optimum glob al) et ses p oints faibles (réglage des paramètres, d élicat en pratique).

Nous évo quons ensuite les techniques de parallélisation de la métho de. Puis nous

pr és e nt on s q ue lq ue s a ppl i ca ti o ns . En c on cl us io n, no us ré c ap it ul on s l es ava nt ag e s et l es

inconvénients les plus marquants du recuit simulé. Pour finir, nous énumérons quelques

21

Chapitre 1 – La métho de du recuit simulé

sug ge sti ons pra tiq ues si mple s, de sti née s au pro fa ne qui ab orde une pre miè re ap plic at ion.

En s ec ti o n 1 .8 , no us ré c ap it ul on s l es pr in ci pa ux ré s ul ta ts de la mo dé l is at io n du re c ui t

simulé à l’ aide du fo rma lism e des ch aîne s de Markov.

Ce chapitre est, en partie, un résumé de l’ouvrage de synthèse sur la métho de du

recuit simulé [ Si a rry et al. 89], que nous avons publié au début de l’année 1989 ; la

pr és e nt at io n e st c om pl ét é e, p o nc tu el le m en t, pa r la m en ti on de dé v el op pe me n ts pl us

récents [ Si a rry 95 , Reeves 95]. Les références qui figurent dans le texte ont été choisies

soit pa rce qu ’el les ont joué un rôle prép on déra nt, soit pa rce qu ’el les il lust rent un p oint

pr éc i s de l ’e xp o sé . Une bi bl io g ra ph ie b e au co up pl us c om pl èt e — q uo iq u’ an ci e nn e —

se tr ouve dans les ou vra ges [ Si a rry et al. 89 , Van Laa rhove n et al. 87, Wong et al. 88 ,

Se che n 88 ] et d a n s l ’ a rt i c l e [Collins et al. 88 ] pa r u s s u r l e s uj e t . N o u s r envoyon s a u s s i

le lecteur intéressé aux présentations didactiques du recuit simulé qui figurent dans

l’article [ P ir lo t 92] et dan s le cha pitre 2 d e l’ou vrage [Reeves 95 ]. Il est à noter qu’il

n’y a pa s , à no t re c on na is sa nc e , de l iv re ré c en t do nn a nt une v is io n d’ e ns em bl e du

suj et .

1.2 Présentation de la méthode

1. 2. 1 A nal og ie entre un pr ob lè me d’ op ti mi sa tio n et c ert ai ns

phénomènes

physiques

L’idée du recuit simulé p eut être illustrée par une image inspirée par les problèmes

de pl a ce me nt et de ro ut a ge de s c ir cu it s é le ct ro ni q ue s : s upp o so ns q u’ un é le ct ro ni c ie n

p eu s cru pu le ux a it j et é a u ha sa rd l es c om p os ant s s ur u n p la n, e t ét ab li l es c on ne xio ns

sans se so uci er des co ntra intes te chn olo giq ues .

Il est clair que la disp osition obtenue est inacc eptable. Le rôle d’un programme de

pl a ce me nt -r ou ta ge e st de t ra ns fo rm er c et te s it ua ti on dé s or do nn ée p o ur ab o ut ir à un

schéma él ect riq ue or donn é, où to ute s les co nne xio ns sont re cti lig nes, les co mp os ant s

alignés et placés de manière à minimiser la longueur des connexions. En d’autres

termes, ce programme doit réaliser une transformation désordre-ordre, qui, partant

d’ un “ li qu id e de c om p o sa nt s” , ab o ut it à un “ so li de ” o rdo n né .

Or une telle transformation se pro duit sp ontanément dans l a nature si l’on abaisse

pr og re s si ve me nt la t em p é ra tu re d’ un s ys tè me ; il e xi st e de s t ec hn iq ue s nu mé ri q ue s de

simul ati on, sur or dina teu r, du co mp or tem ent d’ ense mbl es de pa rtic ule s en in tera ct ion

en fo nct ion de la te mp ér atur e. Afin de tr ansp ose r ces techni que s aux pro blè mes

d’ o pt im is at io n , on é ta bl it l ’a na lo g ie pr és e nt ée da ns le t ab le au 1 .1 .

Po ur c o n d u ir e u n s y s t èm e p hy s i q ue d a n s u n é t a t d e b a s s e é ne r g i e , l es p hy s i c ie n s

ut i li se nt g én ér al e me nt la t echn iq ue du re c ui t : no us a ll on s e xa mi ne r c om me nt c et te

métho de de traitement des matériaux (recuit réel) est mise en œuvre p our traiter un

pr ob lè m e d’ o pt im is at io n ( re cu it s imul é ).

- 22 -

1.2 Prés entation de la métho de

Tabl eau 1.1 – Analogie entre un problème d’optimisation et un système physique.

Problème d’optimisation Système physique

f on ct io n ob j ec ti f én erg ie libre

pa ra m èt re s du pr ob lè m e “co or donn ées ” des pa rtic ule s

trouver une “b onne” configuration trouver les états de basse énergie

(voire la configuration optimale)

1. 2. 2 Re cu it ré el et re cu it simulé

Po ur m o di fi e r l ’ ét a t d ’ u n m a t é r ia u , l e p hy si c i e n d is p o se d ’ u n p a ra m è t r e d e c o m -

mande : la temp érature. Le recuit est précisément une stratégie de contrôle de la

temp érature en vue d’appro cher un état optimum.

Po ur fi x e r l e s id é e s , p r en o n s l ’ ex e m p l e d e la c r o i s sa n c e d ’ u n mo n o cr i s t al . L a

techn iqu e du recuit consiste à chauff

er préalablement le matériau p our lui conférer

une é ne rg ie é le vé e. P ui s on re f ro id it l en te me nt le m at ér ia u, en m ar qu ant de s pa l ie rs

de t em p é ra tu re de du ré e su ffis an te ; si la de s ce nt e en t em p é ra tu re e st t ro p ra pi de , il

apparaît des défauts, qui p euvent être éliminés par réchauffement lo cal. Cette stratégie

de ba i ss e c on tr ôl ée de la t em p é ra tu re c on du it à un é ta t s ol id e c ri st al li sé , q ui e st un

ét at st abl e, co rre sp on dant à un mi nimu m ab sol u de l’ éne rgie . La te chn ique opp os ée est

ce lle de la tr emp e, qui co nsi ste à ab ais ser très ra pide men t la te mp ér atu re du ma tér iau :

on obtient dan s ce cas un e structu re amorp h e, état métastable qu i corresp ond à un

minimum lo cal de l’énergie. Avec la technique du recuit, le refroidissement du matériau

a pr ovo q u é u ne t r a ns f o rm a t i on d é s or d r e- o r d re , t a nd i s q ue l a t e chn i qu e d e l a t re m p e a

ab outi à figer un état désordonné.

L’idée d’utiliser la technique du recuit en vue de traiter un problème d’optimisa

tio n a donné na issa nce à la mé tho de du re cuit si mulé. Elle co nsi ste à in trod uire ,

en op timi sat io n, un pa ramè tre de contr ôle , qui joue le rôle de la te mpé rat ure. La

“t emp ér atur e” du sy stè me à op timi ser doit avoir le même effet que la te mp ér atur e du

sy stè me phy siq ue : el le doit co ndit io nner le no mbre d’ éta ts ac ce ssib les et co ndui re vers

l’état optimal si elle est abaissée de façon lente et bien contrôlée (technique du recuit)

et vers un mi nimu m lo cal si el le est ab ais sée bru tal eme nt (t ech niq ue de la tr emp e).

Po ur t er m i n e r l a p r é se nt a t i o n d e l a m é th o d e, i l n ou s re s t e à e x p os e r l ’ a l g or i t h m e

qui p ermet de programmer le recuit sur un ordinateur.

1. 2. 3 A lgo ri th me du re cu it simulé

L’algorithme s’appuie sur deux résultats de la physique statistique.

D’une part, lorsque l’équilibre thermo dynamique e s t atteint à une temp érature

do nn é e T , la probabilité , p our un système p hysique, de p oss éder une énerg ie don née

E , est pr op ort ionne lle au f acte ur de Bol tzman n : e E

k B T , où k B dé s ig ne la c on st an te de

Bo ltz man n ; la ré part iti on des ét ats d’ éner gie est al ors la di stri buti on de Bo ltz man n à

la temp érature considérée.

- 23 -


D’autre part, p our simuler l’évolution d’un système physique vers son équilibre

thermo dynamique à une temp érature donnée T , on p eu t ut il is er l ’a lg o ri th me d e

[ M et ro po li s et al. 53 ] : p a rt a nt d ’ un e c o nfi g u r at i o n do n n ée ( da n s n o tr e c a s, u n p l a-

ce ment in itia l de tous les co mp os ant s), on fa it subir au sy stè me une mo di ficat io n

él éme nta ire (par ex emp le, on tr ansl ate un co mp os ant, ou on écha nge deux co mpo san ts).

Si c et te t ra ns fo rm at io n a p o ur e ffet de di mi nu e r la f on ct io n ob j ec ti f ( ou “ én er gi e” )

du s ys tè me , e ll e e st a cc e pt ée ; si e ll e pr ovo q ue au c ont ra ir e une a ug me nt at io n E

de la f on ct io n ob j ec ti f , e ll e e st a cc e pt ée t ou t de m êm e, avec la pr ob a bil i té e E

T

(en

pr at i qu e, c et te c on di ti on e st ré a li sé e de la m an iè re s ui vante : on t ir e au ha s ar d un

no mbre ré e l c om pr is e nt re 0 et 1, et on a cc e pt e la c on fig ur at io n dé g ra da nt de E

la fonction ob jectif , si le nombre tiré est inférieur ou égal à e E

T ). En ap pliquant

itérativeme nt cette rè gle d ’ac ceptation de Me trop olis, on engend re u ne séquenc e de

co nfig urat ion s qui co nst itue une ch aîne de Markov (en ce sens que chaque co nfig urat ion

ne dé p e nd q ue de c el le q ui la pr éc è de i mm éd ia te me n t) . Av ec ce f or ma li sm e, on m on tr e

que, lorsque la chaîne est de longueur infinie (en p ratique, de longueur “suffi

sante”...),

le système atteint (en pratique, se rappro ch e de) l’équilibre thermo dynamique à la

temp érature considérée : autre ment dit, on ab outit à une distribution de Boltzmann

de s é ta ts d’ é ne rg ie à c et te t em p é ra tu re .

On comprend le rôle confié à la temp érature par la règle de Metrop olis : à haute

temp érature, e E

T est vo isi n de 1, donc la pl upart des mo uve ments sont ac ce pté s

(l’algorithme équivaut à u n e simple marche aléatoire dans l’espace des configurations) ;

à basse temp érature, e E

T est vo isi n de 0, donc la pl upart des mouvem ent s augmentant

l’énergie sont refusés (l’algorithme se ramène à une amélio ration itérative

cl ass iqu e) ; à te mp ér atur e in term édi aire , l’ alg ori thme au tori se, de te mps en te mps ,

de s t ra ns fo rm at io ns q ui dé g ra de nt la f on ct io n ob j ec ti f ( il l ai ss e a in si au s ys tè me une

ch an c e d e s ’e x t r a i re d ’u n m in i mu m l o ca l ) .

Une fois l’é qu ilib re thermo dynamique atteint à une temp érature donnée, on abaisse

“l égè rem ent” la te mp ér atur e, et on effec tue une no uve lle ch aîne de Ma rkov à ce no uve au

pa l ie r de t em p é ra tu re ( si la t em p é ra tu re e st a ba is sé e t ro p v it e, l ’é vo lu ti o n ve rs le

no uvel é qu il ib re t he rm o dy na mi qu e e st ra l ent ie : la t hé or ie é ta bl it une c or ré la ti o n

ét roi te entre le taux de dé cro issa nce de la te mp ér atur e et la durée mi nima le des pa lie rs

de t em p é ra tu re ). En c om pa ra nt l es di s tri bu ti o ns de B ol tz ma n n s uc ce ss iv e s o bt en ue s à

l’issue des différents paliers de temp érature, on con s tate un e augmentation progressive

du p o id s de s c on fig ur at io ns de ba s se é ne rg ie : l or sq ue la t em p é ra tu re t en d v er s z ér o,

l’algorithme converge vers le minimum absolu de l’énergie. En pratique, le pro cessus

est st opp é lo rsq ue le sy stè me est “fi gé” (par ex emp le, la te mp ér atu re a at tei nt la val eur

nu ll e , o u b i e n p l u s a u c u n m o u vem e nt a cc r o i s s a nt l ’ é ne r g i e n ’ a é t é a c ce p t é a u c o ur s d u

pa l ie r) .

1.3 Approches théoriques

L’algorithme du recuit simulé a sus c ité de nombreux travaux théoriques p our les

de u x ra i so ns s ui va nt es : d’ un e pa rt , il s ’a gi ss a it d’ un a lg or it hm e no uve au , do nt il é ta it

né c es sa i re d’ é ta bl ir l es c on di ti on s de c onv er ge nc e ; d’ a ut re pa rt , la m ét ho de c om p o rt e

- 24 -

1.3 Appr oches théo riques

b ea uc ou p d e pa ra mè tre s, a in si q ue d es var ia nt es, d ont i l f au t c om pr end re l e m éca ni sm e,

si l’on so uhai te ob ten ir une effica cit é ma xim um.

Ces appro ches, conduites surtout dans les premières années de l’existence de

la métho de, sont présentées en détail dans l’ouvrage [Si a rry et al. 89 ]. Nous nous

conte nte rons ici de rapp el er les pri nci paux asp ec ts tr ait és dans la li tté rat ure. Nous

analyserons d’ab ord la convergence théorique du recuit simulé. Puis nous examinerons

suc ce ssi vem ent les él éme nts qui inte rvi enne nt dans le fo nct ion neme nt de l’ alg ori thme :

st ruct ure de l’ espa ce des co nfig urat ion s, rè gle s d’ acc ept ati on et pro gra mme de re cuit .

1. 3. 1 Co nver ge nc e th éo ri que du re cu it simulé

De nombreux mathématiciens se sont intéressés à la convergence d u recuit simu

lé ( voi r e n p a r t i cu l i e r [ Aarts et al. 85 , Ha je k 88 , Ha je k et al. 89 ]) ou même se

sont effor cés de me ttr e au p oint une dé marc he gé nér ale p our l’ ana lys e des mé-

tho des sto chastiques d’optimisation globale (notamment [ Rinno oy Kan et al. 87a

],

[ Rinno oy Kan et al. 87b]). Le principal résultat de ces études théorique s est le suivant

: s o us cer t ai ne s c on di ti o ns ( d is cu té es pl us lo in ), le r ec u it s i mu lé co nve rg e e n

pr ob a bil i té v er s un o pt im um g lo ba l, en ce s en s q u’ il p e rm et d’ o bt en ir une s ol ut io n

arbitrairement pro che de cet optimum, avec une probabilité arbitrairement pro che de

l’unité. Ce résultat est, en soi, imp ortant, car il d iff

é re ncie le recuit simulé d’autres

métahe uri stiques concurrentes, comme la métho de tab ou, dont la convergence n’est

pa s g ar ant ie .

Tout efo is, l’ éta bli sse ment des “co ndi tio ns de co nverg enc e” ne f ait pa s l’un ani mit é.

Certains, comme Aarts et al. [ Aarts et al. 85], s’appuient sur l’hypothès e d’une décroissance

de la temp érature par paliers. Cette propriété p ermet de représenter le pro cessus

d’ o pt im is at io n s ou s la f or me d’ un e ns em bl e fini de c ha în es de M ar kov ho m og èn es , do nt

le comp ortement asymptotique p eut être décrit simplement. On montre alors que la

conve rge nce est as suré e, à co ndit io n que l’on resp ec te d’une part la ré ver sibi lit é (le

ch an g e m e nt i nve r se d e t o u t ch a ng e m e nt p er m i s d o i t ê t r e é g a le m e nt p e r mi s ) e t d ’ a u t r e

pa rt la c on ne xi té ( to ut é ta t du s ys tè me p e ut ê tr e a tt ei nt à pa rt i r de n’ i mp o rt e q ue l

autre état, moyennant u n nombre fini de changements éléme ntaires) de l’espace des

configurations. Cette formali sation présente à nos yeux deux avantages :

– el le p er met de lé git ime r la dé cro issa nce de la te mp ér atur e par pa lie rs, qui

améliore la vitesse de convergence d e l’algorithme ;

– el le p er met d’ éta blir qu ’une so lut ion de “b onne qu ali té” (s itué e à qu elq ues p our

cent de l’ opt imum gl oba l) p eut être ob tenue par re cuit si mulé en un te mps

p ol yn om ial , p o ur c er tai ns p ro blè me s N P- di ffic ile s [ Aa rt s et al. 85].

D’autres auteurs, notamment Ha jek et al. [ Ha je k 88 , Ha je k et al. 89], se sont intéress és

à la c onver ge nce d u re cu it s imu lé e n se p la ça nt da ns l e ca dre p lu s gé né ral d e la t hé or ie

de s c ha în es de M ar kov i nho m og èn es . D an s ce c as , le c om p o rt em en t a sy mp to ti q ue e st

pl us dé l ic at à é tu di er . Le pr in ci pa l ré s ul ta t de c es t ra va ux e st le s ui va nt : l ’a lg or it hm e

conve rge vers un op tim um gl oba l, avec une pro bab ilit é ég ale à l’ unit é si, lo rsq ue le

temps t tend vers l’infi ni, la temp érature T (t ) ne dé c ro ît pa s pl us v it e q ue l ’e xp re ss io n

C

, e n d é s i g n a nt p a r C une c on st an te q ui e st l ié e à la pr of o nd eu r de s “ pui t s d’ é ne rg ie ”

log(t)

du pr ob lè m e.

- 25 -


Il faut souligner que les résultats de ces travaux théoriques ne sont pas jusqu’ici

suffisa mme nt gé nér aux et una nim es p our pro cu rer mi eux qu ’un gu ide de l’ appr o c he

ex p é rime nta le, lo rsq u’on est co nfr onté s à un pro blè me nouveau. Par ex emp le, la loi

logarithmique de décroissance de la temp érature préconisée par Ha jek n’est pas utilisée

en pra tiq ue, p our deux ra iso ns ma je ure s : d’une part il est gé nér ale ment imp os sibl e

d’ é va lu er la pr of o nd eu r de s pu it s d’ é ne rg ie du pr ob lè m e, d’ a ut re pa rt c et te l oi i ndu it

un t em ps de c al cu l no t oi re me nt pr oh ib it i f. . .

Nous prolongeons cette analyse par l’examen sép aré des différentes comp osantes

de l ’a lg or it hm e .

1. 3. 2 E spa ce des c onfi gu rat io ns

L’espace des confi gurations joue un rôle fondamental dans l’efficacité de la métho de

du recuit simulé pour résoudre un problème complexe d’optimisation. Il est doté d’une

“t op ol ogi e” , qui ré sult e de la no tio n de pro xim ité entre deux co nfig urat ion s : la “d ista nce ”

entre deux co nfig urat ion s re prés ent e le no mbre mi nimu m de ch ang eme nts él éme nta ire s

né c es sa i re s p o ur pa s se r d’ un e c on fig ur at io n à l ’a ut re . En o ut re , à cha q ue c on fig ur at io n

co rre sp o nd une én erg ie, si bien que l’ espa ce des co nfig urat ion s est ca rac tér isé par un

“pays age d’ éner gie ”. Toute la difficu lté du pro blè me d’ opti mis ati on ré side dans le fa it

que le paysage d’éne rgie comp orte un grand nombre de vallées plus ou moins profondes

et plus ou mo ins pro ch es, qui co rre sp on dent à des mi nimums lo caux de l’ éne rgie .

Il est clair que l’allure de ce paysage n’est pas une carac téristique du problème

ét udié , mais dép end, p our une la rge pa rt, du ch oix de la fo nct ion de coût et du choix

de s cha ng e me nt s é lé me nt a ir es . En re va nche , la s ol ut io n fin al e re c he rché e , c ’e st -à - di re le

minimum global (ou l’un des minimums globaux d’énergie comparable), doit dép endre

es senti ell eme nt de la na ture du pro blè me co nsi déré , et pas (ou très p eu) des ch oix

pr éc é de nt s. No u s avo ns m on tr é, à l ’a id e d’ e xe mp le s de pr ob lè m es de pl a ce me nt de blo cs

co nst ruit s sp éc ifiq uem ent à cet effet, qu ’un pro blè me ap pare mme nt dé lic at à tr ait er

p eu t ê tr e g ran de me nt si mp li fié, s oi t p ar un é la rg iss em ent d e l ’e sp ace d es c on figu ra ti ons

p er mi se s, so it p ar l e ch oi x d ’un e to p ol ogi e mi eu x a da pté e [S ia rry et al. 89].

P lu si eu rs a ut eu rs se s on t e ffo rc és d’ é ta bl ir de s re l at io ns a na ly ti q ue s g én ér al e s

entre ce rta ine s pro prié té s de l’ espa ce des co nfig urat ion s et la conver gen ce du re cuit

simulé. En pa rtic uli er, ce rta ins de ces travaux se sont or ient és vers l’ ana lys e des

pay sa ge s d’ é ne rg ie et la re c he rche de l ie ns e nt re l ’“ ul tr am ét ri c it é” et le re c ui t s im ul é

[ Kirkpatrick et al. 85, Rammal et al. 86, So l la et al. 86] : la m é th o de d u r ec u it s i mu l é

se rai t plus effica ce p our tr ait er les pro blè mes d’ opti mis ati on dont les mi nimu ms lo caux

les plus bas (c’est-à-dire les solutions recherchées) forment un ensemble ultramétrique.

Pa r l a s u i te , G .B . S or k i n [So rk i n 91 ] a mo nt ré q u e c e rt a i ne s p r o pr i é t és f r a ct a l e s du

pay sa ge d’ é ne rg ie i ndu is e nt une c on ve rg en ce p o ly no mi al e du re c ui t s im ul é ; l ’a ut eu r

en tire une ex pli cat ion sé duis ant e de l’e ffica cit é de la mé tho de dans le do mai ne du

pl a ce me nt de s c ir cu it s é le ct ro ni q ue s. Par a il le ur s, Az e nc ot t et a l. [ Azencott 92 ] se

sont appuyés sur la “t héo rie des cy cle s” (dével opp ée, à l’ orig ine , dans le co nte xte des

sy stè mes dy nami que s) p our ét abl ir des re lat ions ex pli cit es gé nér ale s en tre la gé omé tri e

du paysage d’énergie et les performances attendues du recuit simulé. Ces travaux

les ont amenés à prop oser la “métho de des distorsions” de la fonction ob jectif, qui a

- 26 -

1.3 Appr oches théo riques

amélioré significa tivement la qualité des solutions p our certains problèmes difficil es

[ Delamarre et al. 98 ]. Toutes ces appro ches d u recuit simulé sont encore cep endant à

un s ta de e xp lo ra to i re , et l eu rs ré s ul ta ts ne s on t pa s g én ér al is a bl es .

E nfin , un a ut re a sp e ct , d’ i nt ér êt pr at i qu e pl us i mm éd ia t, c on ce rn e l ’a da pt at io n du

recuit simulé en vue de la résolution des problèmes d’optimisation continue [ Si a rry 94 ,

Courat et al. 94 ]. Nous mettons l’accent sur les trans formations nécessaires p our passer

du “ re cu it s imulé c om bi na to i re ” au “ re cu it s imulé c on ti nu” . En e ffe t, à l ’o ri gi ne , la

métho de s’applique au traitement des problèmes d’optimisation combinatoire, p our

lesquels les paramètres libres ne p euvent pre n d re que des valeurs discrètes . Dans la

pl up ar t de s c as de ce typ e re nc o nt ré s en pr at i qu e, la t op o lo gi e e st pl us ou m oi ns une

do nn é e du pr ob lè m e ; pa r e xe mp le , da ns le pr ob lè m e du voy ag eu r de c om me rc e , la

p er mu ta ti on d e d eu x v il le s e st u n m oye n n atu re l d ’en ge nd re r l es t our né es voi si ne s

d’une tournée donnée. Il en e st de même dans le problème du placement de comp osants,

p ou r l’ écha ng e d e de ux b lo c s. En r eva nche , la t op o log ie e st à i nve nte r lo rs qu’ il s ’a git

d’ o pt im is er une f on ct io n de va ri ab le s c on tinu e s. On a rri ve da ns ce c as au c on ce pt de

“t op ol ogi e ad apt ati ve” : en effet, la lo ngue ur des pas él éme nta ire s n’ est plus imp os ée par

le problème. Son choix doit résulter d’un compromis entre deu x situations extrêmes :

si le pas est trop p et it, le pro gra mme n’ expl ore qu ’une ré gio n li mit ée de l’ espa ce des

co nfig urat ion s ; la fo nct ion de coût est al ors am éli oré e très souvent, mais de qu ant ité s

né g li ge a bl es . Au c ont ra ir e, si le pa s e st t ro p g ra nd , l es e ss ai s ne s on t a cc e pt és q ue

rarement, et ils sont presque indép endants les u ns des autres. Su r le plan mathématique,

il faut souligner le travail de L. Miclo [M ic lo 91 ], qui s’est intéressé à la convergence

du re c ui t s im ul é da ns le c as c on ti nu.

1. 3. 3 Rè gl es d’ ac ce pt ati on

Le principe du recuit simulé exige que l’on accepte, o ccasionnellement et sous

le contrôle de la “temp érature”, une augmentation de l’énergie de l’état courant, ce

qui p ermet de s’extraire d’un minimum lo cal. La règle d’acceptation généralement

ut i li sé e e st c el le de M et ro p o li s, dé c ri te en s ec ti o n 1 .2 .3 . So n ava nt ag e e st q u’ el le dé c ou le

directement de la physique statistique. Il existe cep endant plusieurs variantes à cette

règle [Si a rry et al. 89 ], qui p euvent être plus efficaces du p oint de vue du temps de

ca lcu l.

Un autre asp ect de la question est l’examen du problème suivant : à basse temp

ér at ur e, l e t au x d’ ac ce pt ati on de l ’al go ri thm e d evi ent t rè s fa ib le , d e s ort e qu e l a

métho de est inefficace. C’est là une difficulté bien connue du recuit simulé, qui p eut

être ré sol ue en sub sti tua nt à la rè gle cl ass iqu e de Me tro p olis une var iant e ac cé léré e,

di t e “ du t he rm os ta t” [ Si a rry et al. 89 ], d ès que le tau x d’ac ceptation est tomb é trop

ba s . En pr at i qu e, c et te p o ss ib il it é e st p eu e mp lo yé e.

1. 3. 4 P rog ra mm e de re cu it

La vitesse de convergence de la métho de du recuit simulé dép end essentiellement de

de u x é lé me nt s : l ’e sp ac e de s c on fig ur at io ns et le pr og ra m me de re c ui t. En ce q ui c on ce rn e

l’espace des configurations, nous avons déjà exp osé les effe ts , sur la convergence, de la

- 27 -


top ologie e t de l’allure du paysage d’énergie. Nous évoquon s maintenant l’influenc e du

“p rogr amm e de re cuit ” : il s’ agi t de co ntr ôle r au mi eux la “t emp ér atu re” du sy stè me

p ou r a tte in dr e, l e p lus v it e p os si bl e, u ne so lu ti on. L e pr og ra mme d e r ecu it d oit p réc is er

les valeurs des paramètres de contrôle de la temp érature suivants :

– la temp érature initiale ;

– la longueur de s chaînes de Markov homogènes, c’est-à-dire le critère de changement

de palier de temp érature ;

– la loi de décroissanc e de la temp érature ;

– le critère d’arrêt du programme.

En l ’a bs en ce de ré s ul ta ts t hé or iq ue s g én ér au x ré e ll em e nt e xp lo it a bl es , l ’u ti li sa te ur ne

p eu t é ch ap p er à u n réglage empirique de c es pa ra m èt re s. P ou r c er ta in s pr ob lè m es ,

la tâche est encore compliquée par la grande sensib ilité du résultat (et du temps de

calcul) à ce réglage. Cet asp ect empirique — que le recuit simulé partage avec d’autres

métahe uri stiques — constitue un inconvénient indiscutable de la méthode.

0.75

0.7

Géométrique

Température

0.6

0.5

0.4

Huang

Van Laarhoven

Otten

0.3

0.2

0.1

0

0 10 20 30 37

Palier

Figure 1.1 – Décr oissance de la temp érature en fonction du numéro de palier pour la loi

géom étrique et p our plusieurs lois classiq ues.

Po ur p r éc i s e r u n p e u l e s u j et , a tt a r d o n s- n o u s s u r l a c ar a c t é r is t i q u e d u p r o g r a mm e

de re c ui t q ui a s usc i té le pl us d’ a tt en ti o n : la l oi de dé c ro is sa nc e de la t em p é ra tu re . La

loi de décroiss ance géométrique : T k+1 = ↵ · T k , ↵ = c o n st a n t e, e s t l a pl u s r é p a nd u e , e n

raison de sa simplicité. Une solution alternative, p otentiellement plus efficace, consiste

à r ec o ur i r à u ne l o i ad a pt a ti ve , d e la f o rm e : T k+1 = ↵ (T k ) · T k , m ai s i l fa u t a lo r s

- 28 -

1.4 Parallélisation de l’algorithme du recuit simulé

op érer un choix parmi les multiples lois prop osées dans la littérature. On p eut montrer,

toutefois, que plusieurs lois adaptatives classiques, ayant des origin e s et des expressions

mathéma tiques bien différentes sont, en pratique, équivalentes (voir figure 1.1), et

p eu ve nt s ’e xp rim er s ou s l a f or me g éné ri qu e s uiva nt e :

T k+1 =

1 T k · ( T

k)

2 · T

(T k ) k

où :

2 (T k ) =

fT 2 k

2

f Tk ,

f dé s ig ne la f on ct io n ob j ec ti f ,

( T k ) dé p e nd de la l oi a da pt at iv e c ho is ie .

Le réglage le plus simple, (Tk ) = c o n st a n t e , p eu t al or s êt re o p éré , bi en q u’ il n e

co rre sp o nde à au cune des lois cl ass iqu es.

Faut e de p ou voir synthé ti se r les rés ul tat s (th éor iq ue s et exp é ri me ntaux ) disp ar at es

pr és e nt és da ns la l it té ra tu re , no us re nvoy on s le l ec te ur au pa ra g ra ph e 1 .7 , où no us

pr op o so ns , p o ur l es q ua tr e pa ra m èt re s du pr og ra m me de re c ui t, un ré g la ge s ou ve nt

conve nab le, au mo ins p our dé marr er.

Le lecteur intéressé par la mo délisation mathématique du recuit simulé p ourra se

rep orter à l’annexe placée à la fin de ce chapitre (paragraphe 1.8) : nous y décrivons

les principaux résultats app ortés par le formalisme des chaînes de Markov.


Le temps de calcul constitue souvent un facteur critique dans l’évaluation écono

m iq ue de l ’i nt ér êt de la m ét ho de du re c ui t s im ul é, l or sq u’ el le e st a ppl i qu ée à de s

pr ob lè m es i ndu st ri e ls ré e ls . P ou r ré du ir e ce t em ps , une v oi e de re c he rche , t rè s pr o-

metteuse, est la parallél isation de l’algorithme, qui consiste à effectuer simultanément

plusieurs calculs nécess aires à sa réalisation. Cette démarche s’inscrit dans le contexte

de l ’i mp o rt an te a ct iv i té dé ve lo pp ée a ut ou r de s a lg or it hm es et de s a rc hi te ct ur e s de

ca lcu l pa rall èle . Elle p eut se mble r, ic i, pa rado xal e, du fa it de la st ruct ure sé que nti ell e

de l ’a lg or it hm e . Né a nm oi ns , pl us ie u rs t yp es de pa ra l lé li sa t io n o nt é té e nv is ag é s à ce

j ou r. Un o uv ra ge [ Azencott 92 ] le ur e st co ns ac ré ; il p ré se nt e à la fo is l es ré su lt ats

mathéma tiques rigoureux disponibles et des résultats de simulations, réalisées sur

de s o rdi na t eu rs pa ra l lè le s ou s éq ue nt ie ls . P ou r fix e r l es i dé es , no us dé c ri vo ns le pr in -

cip e des deux mo des pri nci paux de pa rall éli sat ion , in dép en dant s du pro blè me tr ait é,

pr op o sé s p eu a prè s l ’i nve nt io n du re c ui t s imul é . La di s ti nc ti on de c es de u x mo de s

est p er tine nte , co mme le mo ntre l’ éta t de l’ art dre ssé par De lam arre et Vi rot dans

[Delamarre et al. 98].

Le premier typ e de parallélisation [Aarts et al. 86 ] c on si s te à e ffe c tu er l e c al cu l

en pa rall èle de pl usie urs chaînes de Markov, en ut ilis ant K pro c es se ur s é lé me nt a ir es .

À ce t effe t , l’ a l g o ri t hme est dé c o mp o sé en K pr o c es su s é lé me nt a ir es , c on st it ua nt

K ch aî n e s de M a rkov . Si L est la lo ngue ur, supp os ée co nst ant e, de ces ch aîne s de

M ar ko v, on di v is e c ha cu ne de s c ha în es en K so us- cha înes de lo ngue ur K L . Le p r e m i e r

- 29 -


pr o c es se ur c om me nc e la pr em i èr e c ha în e à la t em p é ra tu re i ni ti al e, et ré a li se l es L K

pr em i er s é lé me nt s de c et te c ha în e ( c’ es t- à -d ir e la pr em i èr e s ou s- ch aî ne ) ; pu is il c al cu le

la temp érature de la chaîn e de Markov suivante, à partir des états d éjà obtenus.

Le second processeur élémentaire commence alors la seconde chaîne de Markov à

ce tte te mp ér atur e, à pa rtir de la co nfig urat ion fina le de la pre miè re so us- cha îne de

la première chaîne. Pendant ce temps, le premier pro cesseur commence la deu xième

sous-chaîne de la première chaîne. Ce pro cessus se p oursuit p our les K pr o c es se ur s

él éme nta ire s. On montre que ce mo de de pa rall éli sat ion — dé crit plus en dé tai l dans

la référence [ Si a rry et al. 89] — p ermet de diviser le te mp s de calcul par K , si K est

p etit devant le nombre total de chaînes de Markov effectuées. Cep endant, la pro cédure

pr és e nte un i nc on vé ni en t ma j eu r : sa c on ve rg en ce v er s un o pt imum n’ e st pa s g ar ant ie .

En e ffe t, le f or ma li sm e de s c ha în es de M ar kov p e rm et d’ é ta bl ir q ue la c onv er ge nc e

du re c ui t s imulé e st a ss ur ée à c on di ti on q ue la di s tri bu ti o n de s é ta ts , à l ’i ss ue de

ch aq u e ch a î n e d e M a r kov, s o i t p r o che d e l a d i s t r i bu t i o n s t a t io n n a i r e. D an s l e c a s d e

l’algorithme décrit, cette proximité n’est pas établie au b out de chaque sous-chaîne, et

ce la d’ auta nt mo ins que le no mbre K de pro c es se ur s en pa ra l lè le e st pl us g ra nd .

Le second typ e de parallélisation [Kravitz et al. 87, Rousse l-Ragot et al. 86] consiste

à effectuer le calcul en parallèle d e plus ieu rs ét ats d’ une même chaîne d e Mar kov, en

s’ appu yant sur la re marq ue suivante : à ba sse te mp é rat ure, le no mbre de tr ansf orm a-

tions élémentaires refusées d e vie nt très imp ortant ; il est d onc p ossible de considérer

que ces mouvements sont pro duits par des pro cessu s éléme ntaires indép endants, susceptibles

de se déroule r en parallèle. Le temps de calcul est alors divisé approximativement

pa r le no m bre de pro c es su s. Une s tr at ég i e c on si st e à sub di v is er l ’a lg or it hm e en K

pro c es su s é lé me nt a ire s c ha rg és , p o ur c ha cu n d’ e ux , de c al cu le r l es va ri at io ns d’ é ne rg ie

co rre sp o ndan t à un ou pl usie urs mo uve ments él éme nta ires, et de ré ali ser les te sts de

M et ro po li s c or re sp o nda nt s. D eu x mo de s de f on ct io nn e me nt s ont e nv is ag é s :

– à “haute temp ératu re”, un pro cessus co rresp ond à un seul mo uve me nt élémentaire.

Chaque fois que K pro c es su s é lé me nt a ir es o nt é té e xé c ut és en pa ra l lè le ,

on ch oisit un e transition au hasard parmi celles qui ont été acce ptées, et on

met à jour la mémoire contenant la meilleure solution connue avec la nouvelle

co nfig urat ion ;

– à “basse temp érature”, les mouvements acceptés deviennent très rares : moins

d’ un e t ra ns it io n e st a cc e pt ée p o ur K mouvements effectués. Chaque pro cessus

co nsi ste al ors à ca lcu ler les var iat ions d’ éner gie co rre sp on dant à une sui te de

p er tu rb at ion s, ju sq u’ à c e q ue l ’u ne d ’e nt re e ll es s oi t a cc ep tée . D ès q ue l ’u n

quelconque des pro cessus a ab outi, la mémoire est mise à jour.

Ces deux mo des de fonct ionnement p ermettent d’assurer un comp ortement, et en

pa rt i cu li er une c on ve rg en ce , ri g ou re us em en t i de nt iq ue s à c eu x de l ’a lg or it hm e s éq ue n-

tiel. Nous avons étudié exp érimentalement ce type de parallélisation dans le cas de

l’optimisation du placement de blo cs connectés [ Rousse l-Ragot et al. 86

]. Nous avons

es tim é le ga in de te mps de ca lcu l dans deux cas : le pl ace ment de blo cs supp os és

p on ct ue ls en de s si te s p ré dé ter mi né s e t l e p la ce ment d e b lo c s r ée ls s ur u n p lan . Ave c

5 p ro c es s u s él é me nt a ir e s en p a ra l l èl e , le g a in e n t em p s d e ca l cu l e st c o m pr i s ent r e

60 % et 80 %, suivant le programme de recuit utilisé. Ce travail a été ensuite prolongé,

dans le cadre de la thèse de P. Roussel-Ragot [ Rousse l-Ragot 90 ], par un mo d èle

- 30 -


théorique, qui a été validé en implantant le recuit simulé sur un réseau de “Transputers”.

Outre ces deux types principaux de p arallélisation du recuit simulé, qui p euvent

s’ appl iqu er à n’ imp orte quel pro blè me d’ opti mis ati on, d’ autr es pro cé dure s ont été

pr op o sé e s en v ue de t ra it er de s pr ob lè m es pa rt i cu li er s, no t am me nt de s pr ob lè m es de

pl a ce me nt de c om p o sa nts é le ct ro ni q ue s, de s pr ob lè m es de t ra it em en t d’ i ma ge s et de s

pr ob lè m es de m ai ll ag e de do m ai ne s (p o ur la m ét ho de de s é lé me nt s fin is ) . D an s c es t ro is

ca s, en effet, l’ info rma tio n est ré part ie sur un plan ou dans l’ espa ce et on p eut co nfie r,

à ch a q u e p r o c e s s e u r , l a tâ c h e d ’o p t i m i s e r p a r re c u i t s i mu l é u n e z o n e g éo g r a p h i q u e

do nn é e ; de s i nf or ma ti on s s ont é ch an gé e s p é ri od iq ue me nt e nt re pro c es se ur s v oi si ns .

Une autre démarche a été envisagée p our réduire le coût des synchronisations

entre pro ce sse urs : les al gor ithm es dits “a syn chro nes ” ac ce pte nt de ca lcu ler les variations

d’énergie à partir de données partiellement p érimées. Il semble, cep endant,

dé l ic at de c ont rô le r l ’e rr eu r a dm is si bl e, s au f p o ur c er ta in s pr ob lè m es pa rt i cu li er s

[Durand et al. 91].

À titre d’ex emple, nous d écrivons la t echnique de pa rallélisat ion asynchr one prop

osée par Casotto et al. [Casotto et al. 87] p our traiter le problème du placement de

co mp os ants él ect ron ique s. La mé tho de co nsi ste à ré part ir les co mpo san ts à pl ace r

da ns K group es disj oints, resp ectivement affectés à

K pro cesseurs. Chaque pro cesseur

ap pliq ue la te chn ique du re cuit si mulé p our ch ercher l’ empl ac eme nt op tim al des

co mp os ants qui ap part ien nent à son gr oup e. Les pro ce sse urs fo nct ion nent en pa rall èle ,

et de manière asynchrone les uns par rapport aux autres. Ils ont tous accès à une

mémoire commune qui contient l’état courant du plan du circuit. Lorsqu’un pro cesseur

envi sag e d’écha nge r la p os iti on d’un co mp os ant de son gr oup e avec ce lle d’un co mp o-

sant affec té à un au tre pro ce sse ur, il blo que te mp or aire ment l’ act ivi té de ce pro ce sse ur.

Il est clair que le fonct ionnement asynchrone des pro cesseurs entraîne des erreurs,

no t am me nt da ns le c al cu l de s re c ou vr em e nt s entre l es blo c s, et do nc da ns l ’é va lu at io n

de la f on ct io n de c oû t : en e ffe t, l or sq u’ un pro c es se ur do nn é a b e so in d’ é va lu er le c oû t

d’ un m ou ve me nt ( tr an sl at io n ou p e rmut a ti on ), il va c he rche r, da ns la m ém oi re , l ’e m-

pl a ce me nt a ct ue l de t ou s l es c om p o sa nt s du c ir cu it ; m ai s l ’i nf or ma ti o n re c ue il li e e st en

pa rt i e e rro n ée , pu is q ue c er ta in s c om p o sa nt s s on t en c ou rs de dé p la ce me nt , du f ai t de

l’activité des au tre s pro cesseurs. Afin de limiter ces erreurs, la métho de e s t complétée

pa r l es de u x di s p o si ti on s s ui va nt es . D ’u ne pa rt , la ré pa r ti ti on de s c om p o sa nt s e nt re

les pro cesseurs fait elle-même l’ob jet d’une optimis ation par recuit s imulé, c on duite

en même te mps que le pro ce ssu s d’ opti mis ati on déjà dé crit : de ce tte ma niè re, on

fav or is e l ’a pp ar te na nc e à un m êm e g ro up e de c om p o sa nts g éo gr a phi q ue me nt v oi si ns .

D’autre part, l’amplitude maximale des mouvements effectués par les comp osants

est ré duit e au fur et à me sure que la te mp ér atur e dé cro ît. En co nsé que nce , lo rsq ue

la temp érature diminue, les mouvements concernent essentiellement des comp osants

vo is i n s e t q ui , d e c e f a i t , a p p ar t i e n n e nt g é n é ra l e m e nt a u m ê m e g r o u p e : e n r é d u is a nt

ainsi les interactions entre group es, on diminue du même coup la fréquence des erreurs

évo quées plus haut. Cette technique de parallél isation du recuit simulé a été validée

à l’ a id e d e pl u si e u rs e x em p le s d e ci r c ui t s ré e ls : l ’ al g o ri t hm e f on c t io n ne e nvi r on s i x

f oi s pl us v it e avec hu it pro c es se ur s q u’ avec un s eu l, l es ré s ul ta ts é ta nt de q ua li té

co mpa rabl e à ceux de l’ alg ori thme sé que nti el.

- 31 -


1.5 Quelques applications

La plupart des appro ches théoriques précé d e ntes s’appuient sur des comp ortements

asympto tiques imp osant des hypothèses très restrictives, si bien que les temps de calcul

corresp ondants sont très souvent excessifs. C’est p ourquoi, p our résoudre dans des

co ndit io ns ra iso nnab les des pro blè mes in dust riel s ré els , il est in disp en sabl e d’ adop ter ,

en ou tre, une appro che exp ér ime nta le, qui co ndui t fr équ emme nt à fr anc hir les ba rriè res

pr éc o ni sé es pa r la t hé or ie . La m ét ho de du re c ui t s imulé s ’e st av ér ée int ér es sa nt e da ns la

résolution de nombreux problèmes d’optimisation, NP-di fficiles ou non. Nous donnons

ici quelques exemples.

1. 5. 1 P rob lè me s mo dè le s d’ op ti mi sa tio n combi na to ire

L’efficacité de la méthode a d’abord été éprouvée sur des “problèmes mo dèles”

d’ o pt im is at io n c om bi na toi re . D an s ce t yp e de pr ob lè m e, la fin al i té pr at i qu e e st au

se con d plan : l’ob je cti f est d’ab ord de me ttr e au p oint la mé tho de d’ opti mis ati on et

de c on fr on ter s es p e rf or ma nc es à c el le s de s a ut re s m ét ho de s . No u s dé t ai ll e ro ns un s eu l

ex emp le : ce lui du pro blè me du voyageur de commerce.

L’intérêt d e ce problè me réside dans le fait qu’il est à la fois très simple à formuler,

et très diffici le à ré soud re : les plus gr ands pro blè mes p our le squ els on ait tr ouvé , et

pr ou vé, l ’o pt im um c om p o rt en t q ue lq ue s m il li er s de v il le s. P ou r i ll us tr er la t ra ns fo r-

mation désordre-ordre op érée par la méthode du recuit simulé au fur et à mesure

que la temp érature descend, nous présentons, en figure 1.2, quatre configurations

intermé d iaires obtenues par Éric Taillard, dans le cas de 13206 villes et villages de

Su is se .

Bo nom i et Lu tto n ont au ssi tr ait é des ex emp les de gr ande ta ill e : en tre 10 00 et

10000 villes [Bo nom i et al. 84 ]. Ils ont montré que, pour éviter un temps de calcul

pr oh ib it i f, on p e ut dé c om p o se r le do m ai ne c on te na nt l es v il le s en ré g io ns , et f ai re

évol uer la to urné e du voya ge ur en se li mit ant à des mo uve ments entre vi lle s si tué es

da ns de s ré g io ns c on ti gu ës . No u s pr és e nt on s, en fig ur e 1 .3 , le ré s ul ta t q u’ il s ont o bt en u

p ou r u n pr ob lè me c omp o rt ant 1 000 0 v il le s : l a l on gu eur d e ce tt e t ou rn ée ex cè de d e

moins de 2 % ce lle de la tournée optimale (on sait, en effet, estimer

a priori la longueur

de la t ou rné e la pl us c ou rt e, l or sq ue le no m bre de v il le s e st é le vé ) .

Bo nom i et Lu tto n ont co mpa ré le re cuit simulé aux techni que s d’ opti mis ati on

cl ass iqu es, p our le pro blè me du voya ge ur de co mme rce : le re cuit si mulé est mo ins

rapide p our les problèmes de p etite taille ( N inférieur à 100) ; par contre, il est incontestablement

plus p erformant pou r les problèmes de grande taille ( N sup ér ieur à 80 0). Le

pr ob lè m e du voya ge ur de c om me rc e a s er vi d’ i ll us tr at io n à de m ulti pl es dé v el op pe me n ts

exp ér ime ntaux et th éori que s sur la mé tho de du re cuit si mulé [S iarr y et al. 89].

De nombreux autre s problèmes mo dèles d’optimisation combinatoire ont aussi

été tr ait és par re cuit si mulé [ Si a rry et al. 89, P ir lo t 92] : n ot a m me nt l e s p ro b l èm e s

du “ pa rt it io nn em e nt de g ra ph e” , du “ co up la ge m ini m al de p o in ts ” , de l ’“ affe ct at i on

quadratique” . . . La confrontation avec les meilleurs algorithmes connus ab outit à

de s ré s ul ta ts va ri ab le s, s el on l es pr ob lè m es e t. . . s el on l es a ut eu rs . Ai ns i J oh ns on et

al. [ Johnson et al. 89 , Johnson et al. 91 , Johnson et al. 92 ], qui se sont livrés à une

- 32 -


Figure 1.2 – Problème du voyageur de commerce ( 13 2 0 6

villes) : meilleures config urations

connues (longueur : L) à l ’ i s s u e de 4 paliers de temp érature (T ).

Figure 1.3 – Problème du voyageur de commerce : réso lu tion, par recuit simulé, d’un cas de

1 0 0 0 0 villes.

- 33 -


co mpa rais on sy sté mat iqu e sur pl usie urs pro blè mes mo dèl es, co ncl uent que le seul

pr ob lè m e mo dè l e f avo ra bl e au re c ui t s im ul é e st c el ui du pa rt i ti on ne me nt de g ra ph e.

Po ur c e rt a i n s p r o bl è m e s , d e s r é s ul t a t s à l ’ avant a g e d u r e cu i t s i mu l é n e s o nt o b s e rvé s

que p our les exemples de grande taille (qu e lques centaines de variables), et au prix d’un

temps de calcul élevé. Donc, s i le recuit simulé a le mérite de s’adapter simplement à

une g ra nd e dive rs it é de pr ob lè m es , il ne p e ut pr ét e nd re p o ur a ut an t s upp la nt er l es

algorithmes sp écifiques de ces prob lèmes.

Nous p résentons maintenant les applications du recuit simulé à des problèmes

pr at i qu es . L es pr em i èr es a ppl i ca ti o ns pr és e nt ant ré e ll em e nt un int ér êt i ndu st ri e l o nt

été dé vel oppé es dans le do mai ne de la co nce pti on des ci rcui ts él ect ron ique s ; c’ est

aussi dans ce secteur in dustriel que le plus grand nombre de travaux d’application

du re c ui t s im ul é ont é té pu bl ié s . D eu x a ppl i ca ti o ns en é le ct ro ni q ue f on t l ’o b j et de s

de u x pa ra g ra ph es s ui va nt s. No u s é vo qu o ns e ns ui te q ue lq ue s a ppl i ca ti o ns c on ce rn an t

les autres domaines.

1. 5. 2 P lac em en t des c irc ui ts él ec tr on iq ues

Les premières applications de la métho de du re cuit simulé à des problèmes pratiques

ont été dé velopp ées dans le domaine du placement-routage des circuits électroniques

[ Kirkpatrick et al. 83, Vecchi et al. 83, Si a rry et al. 84 ]. Depuis, les publica

tio ns sur le suj et ont été très no mbre use s, et en pa rtic uli er deux ou vra ges y sont

totalement consacrés [ Wong et al. 88, Se che n 88 ]. Une bibliographie très complète

co nce rna nt la p ério de in itia le 19 82 -19 88 est in clus e dans les ou vra ges [ Si a rry et al. 89 ,

Van Laa rhove n et al. 87, Wong et

al.

88, Sechen 88].

La recherche d’un placement optimal s’effectue le plus souvent en deux étap es.

La première consiste à calculer rapidement un placement initial, par une métho de

co nst ruct ive : les co mp os ant s sont pl acé s à tour de rô le, par ordre de co nne cti vit é décr

ois sante. Un pro gra mme d’ amé lio rati on it éra tiv e tr ansf orm e en suit e pro gre ssi vem ent ,

pa r de s m ou ve me nts é lé me nt a ir es ( éc ha ng e de c om p o sa nt s, op é ra ti on s de ro t at io n ou

de s ym ét ri e) , la c on fig ur at io n i ss ue du pr og ra m me de pl a ce me nt i ni ti al . L es m ét ho de s

d’ a mé li or at i on i té ra ti ve du pl a ce me nt di ffè re nt pa r la rè g le a do pt ée p o ur la s uc ce ss io n

de s m ou ve me nts é lé me nt a ir es . Le re c ui t s imulé p e ut ê tr e ut i li sé da ns c et te s ec on de

ét ap e.

Nous nou s sommes intéressés à un ensemble de 25 blo cs identiques à placer sur des

si tes pré dét erm inés , qui sont les no euds d’un ré sea u ca rré pl an. La li ste des co nne xio ns

est te lle que, dans les co nfig urat ion s op tima le s, ch aqu e blo c est co nne cté se ule ment

à ses plus pr o ches vois ins (voir fig ure 1.4a) : la c onnaiss ance a priori de s m ini m ums

globaux du problème p ermet alors d’étudier l’influence des principaux paramètres de

la métho de sur sa vitesse de convergence. La fonction de coût est la longu eur totale

de M an ha tt an ( c’ es t- à -d ir e la l on gu eu r en L) des conne xion s. Le s eul m ouvement

él éme nta ire au tori sé est la p er mutat ion de deux blo cs. L’ exp loi tat ion de ce pro blè me

mo dèle de placement — qui est une forme de problème d’“affectation quadratique” —

est di scut ée en dé tai l dans les ré fér ence s [ Si a rry 86] e t [ Si a rry et al. 87]. Nous nous

limiterons ici à la présentation de deux exemples d’applications. Tout d ’abord, p our

apprécier l’efficacité de la métho de, on part d’une configuration initiale complète ment

- 34 -


dé s or do nn ée ( fig ure 1 .4 b) , et d’ un e t em p é ra tu re i ni ti al e “ él ev é e” ( en ce s en s q u’ à c et te

temp érature 90 % de s m ou ve me nts s on t a cc e pt és ). D an s c et e xe mp le , le pr ofi l de

temp érature est une décroissance géométrique, de raison 0.9. Un optimum global

du pr ob lè m e a é té o bt en u a prè s 1 20 00 m ou ve me nt s, a lo rs q ue le no m bre t ot al de

co nfig urat ion s p os sibl es est de l’ ordr e de 10 25 .

Po ur i l l u st r e r l ’avant a g e d e l a m é t h o d e d u r e cu i t s i mul é , n o u s avo n s a p pl i q u é

en ou tre la mé tho de d’ amé lio rati on it éra tiv e cl ass iqu e (r ecu it si mulé à te mp ér atur e

nu ll e ) , en p a r ta nt d e la m ê me c o n fig u r a t io n i n it i a l e (fi g u r e 1. 4 b ), e t en a u t or i s a nt

le mê me nombre de p ermutations qu’au cours de l’essai précédent. On voit que la

métho de classique s’est blo quée dans un minimum lo cal (figure 1.4c) ; il est clair que le

pa s sa ge de c et te c on fig ur at io n à la c on fig ur at io n o pt im al e de la fig ur e 1 .4 a de m an de ra it

pl us ie u rs é ta p es ( au m ini m um c in q) , do nt la pl up ar t c or re sp o nde n t à un a cc ro is s em en t

de l’énergie, inadmissible par la métho de classique. Ce problème de placement a permis

no t am me nt de m et tr e au p o int, e m pi riq u em en t, un pr og ra m me de re c ui t “ ad ap ta ti f ”,

qui pro cure un gain d’un facteur 2 dans le temps de calcul ; la décroissance de la

temp érature est effectuée selon la loi

T k+1 = D k · T k , avec :

Ek

Dk = m in

D0,

hE ki

en p os ant :

D0 = 0 . 5 à 0.

9

E k est l’ éne rgie mi nima le des co nfig urat ion s ac ce pté es au co urs du pa lie r k

hE k i est l’ éne rgie moyenne des co nfig urat ion s ac ce pté es au co urs du pa lie r k

(à haute temp érature, D k = E k

est p et it : la te mp ér atur e est ab ais sée ra pide men t ;

hE ki

à basse temp érature, Dk = D0 , ce qui corresp ond à un re froidissement lent).

P ui s no us av on s t ra it é le pr ob lè m e pl us c om pl ex e c on si st ant à p o si ti on ne r de s

co mp os ants de ta ill es différente s, de fa ço n à mi nimi ser à la fo is la lo ngue ur de co nne xio ns

né c es sa i re et la s urf a ce de c ir cu it ut i li sé e. D an s ce c as , la t ra ns la ti on d’ un blo c e st

un nouveau moyen de transformation itérative du placement. Il apparaît alors des

ch evau ch e m e nt s e nt r e l e s b l o c s , q u i so nt a u to r i s é s t r a n si t o i r e me nt , m a i s d o i ve nt ê t r e ,

généralement, exclus du placement final : cette nouvelle contrainte se traduit par

l’intro duction, dan s la f onc tion de coût du problème, de la su rf ac e de recouvrement

entre les blo cs. Le ca lcu l de ce tte sur fac e p eut être très long lo rsq ue le ci rcui t co mp orte

b eaucoup de blo cs. C’est p ourquoi nous avons découp é le plan du circuit en régions,

do nt la t ai ll e e st t el le q u’ un blo c ne p e ut c he va uc he r q ue l es blo cs s it ué s da ns la m êm e

région que lui, ou dans l’une des régions immédiatement voisines. Les listes des blo cs

appartenant à chaque région sont actua lisées après chaque mouvement, à l’aide d’une

métho de de chaînage. En outre, p our éviter d’ab outir à un encombrement du circuit

tel que le routage soit imp ossible, on introduit une augmentation fictive des dime nsions

de c ha qu e blo c. Le c al cu l de la l on gu eu r de c on ne xi o ns c on si st e à dé t er mi ne r, p o ur

ch aq u e é q u i p o t e nt i el l e , l e b a r yc e nt r e d e s t e r mi n a i s on s , p u i s à s o m m e r l e s d is t a n c e s

en L du ba ry c entre à c ha cu ne de s t er mi na is on s. E nfin , la t op o lo gi e du pr ob lè m e e st

adaptative, dans le sens suivant : lorsque la temp érature décroît, l’amplitude maximale

de s t ra ns la ti on s di mi nu e et l es é ch an ge s ne s on t pl us e nv is ag és q u’ entre blo cs vo is in s.

- 35 -


MÉTHODE DU

RECUIT SIMULÉ

MÉTHODE

CLASSIQUE

b - configuration désordonnée

arbitraire : L = 775

a - configuration optimale : L = 200

c - configuration correspondant à un

minimum local de l'énergie : L = 225

Figure 1.4 – Blo cage de la métho de classique dans un minimum lo cal de l’énergie.

La métho de du recuit simulé a p ermis d’optimiser des circuits industriels, n otamment

dans la technologie hybride, e n collab oration avec la so ciété Thomson D.C.H.

(Département des Circuits Hybrides). À titre d’exemple, nous présentons, en figure 1.5,

le résultat de l’optimis ation du placement d’un circuit comp ortant 41 comp osants et

27 équip otentielles : le placement automatique p résente un gain de 18 % de la longueur

de s c on ne xi o ns pa r ra pp o rt au pl a ce me nt m an ue l i ni ti al .

Cette étude a montré que la souplesse de la méthode permet de prendre en

co nsi déra tio n non se ule ment les rè gle s de de ssin , qui tr adui sent les no rmes de la

techn ologie , mais aussi les règle s de savoir-faire, des tin ées à faciliter le routage. En

effet, les rè gle s de de ssin im pose nt no tam ment une di sta nce mi nima le entre deux

co mp os ants, al ors que les rè gle s de savoi r-f aire pré co nise nt une di sta nce plus gr ande ,

p er me tt ant le p as sa ge d es co nn ex ion s. Po ur p on dé re r c es d eu x typ e s de c ont rai nt es , l e

ca lcu l de la sur fac e de re cou vre ment des blo cs deux à deux est op éré se lon la formule :

S

= Sr + a · Sv , en p osant :

Sr la surface de rec ouvrement “réelle”

Sv la surface de rec ouvrement “virtuelle”

a un f ac te ur de p o ndé r at io n ( ty pi qu em e nt : 0 .1 )

Les surfaces Sr et Sv sont ca lcu lée s en au gme nta nt fic tivem ent les di mens ion s des

co mp os ants, avec une au gme nta tio n plus gr ande p our Sv . D e l a so r t e , o n in d u i t

un c om p o rt em ent “ int el li ge n t” du pr og ra m me , a na lo gu e à c el ui d’ un e xp e rt . No u s

remarquons, sur les schémas de la figure 1.5, un e particularité de la technologie hybride,

qui a été facilement incorp orée au programme : les résistances, réalisée s par une encre

co nduc tri ce, p euvent être pl acé es sous les dio des ou les ci rcui ts inté gré s.

Les obse rvations formulées par la plupart de s auteurs concernant l’application

de la m ét ho de du re c ui t s im ul é au pr ob lè m e du pl a ce me nt re j oi gn ent no s pr op re s

- 36 -


co nst ata tio ns : la mé tho de est très si mple à im plém ent er, el le s’ ada pte fa cil eme nt à des

no rm e s t ec hn olo gi qu es dive rs es et é vo lu tiv es , et le ré s ul ta t fin al e st de b o nne q ua li té ,

mais il est parfois obtenu au prix d’un temps de calcul imp ortant.

Figure 1.5 – Optimisation par recuit simulé du placement d’un circuit élect ronique comp ortant

41 comp osants.

– dessin du haut : placement initial manuel ; longueur de connexions : 9532 ;

– dessin du milieu : placement final, optimisé par recuit ; longueur de connexions 7861 ;

– dessin du bas : routage manuel utilisant le placement optimisé.

1. 5. 3 Re ch er che d’ un sché ma éq ui val en t en él ec tr on iq ue

Nous présentons une application qui mêle les asp ects combinatoire et continu :

l’identification automatique d e la structure “optimale” d’un mo dèle de circuit liné aire .

Il s’agissait de trouver automa tiquement le mo dèle qui comp orte le moins p ossible de

co mp os ants él éme nta ire s, tout en as sura nt une repro duc tio n “fi dèle ” des do nnée s exp é-

rimentales. Cette activité, en collab oration avec l’Institut d’Électronique Fondamentale

(IEF, CNRS URA 22, à Orsay), a débuté par l’intégration, dans un logiciel unique, d’un

programme de simulation des circuits linéaires (élab oré à l’IEF) et d’un programme

d’ o pt im is at io n pa r re c ui t s im ul é q ue no us avi on s dé v elo pp é. No u s avo ns d’ a b o rd va li dé

cet ou til , en ca rac tér isa nt des mo dè les — de st ruct ure imp os ée — de co mp o san ts

réels (décrits à l’aide de leurs paramètres de répartition S ). Une comparaison avec le

logiciel du commerce (métho de du gradient), en usage à l’IEF, a montré que le recuit

simulé est pa rtic uli ère ment in diqu é, lo rsq ue les or dres de gr ande ur des pa ramè tre s du

mo dèle sont totalement inconnus : les mo dèles considérés ici sont manife stement dans

- 37 -


ce ca s, pui squ e leur st ruct ure même est à dé ter mine r. Nous avons mis au p oint une

var i ant e d u r ec u it s i mu lé , l e r e cu it si mu l é l o ga ri t hm iq u e [Courat et al. 94 ], qui p ermet

une e xp lo ra ti o n e ffic ac e de l ’e sp ac e de va ri at io n de s pa ra m èt re s, l or sq ue c et e sp ac e e st

très étendu (plus de 10 décades par paramètre). L’optimisation de la structure a été

ab ordée ensuite par l’étude — dans le cas d’un circuit passif — de la simplification

pr og re s si ve d’ un mo dè l e g én ér al “ ex ha us ti f ” : no us avo ns pr op o sé une m ét ho de q ui

p er me t d ’a ut om ati se r t ou te s l es é ta p es d e l a s im pl ific at io n [ Courat et al. 95]. Cette

techn iqu e rep ose sur l’élimination progressive des paramètres, e n fonction de leu r

co mp or tem ent st ati sti que lors du pro ce ssu s d’ opti mis ati on par re cuit si mulé .

Nous présentons, à titre d’illustration, l’exe mp le de la recherche du schéma équivalent

d’une inductance MMIC, dans la gamme fréquentielle de 100 MHz à 20 GHz.

En pa rt a nt du mo dè l e i ni ti al “ ex ha us ti f ” à 12 pa ra m èt re s de la fig ur e 1 .6 , et en l ai ss ant

évol uer ch acu n des pa ramè tre s sur 16 dé cad es, nous avons ob ten u le sc hém a éq uival ent

de la fig ur e 1 .7 ( le s va le ur s fin al e s de s 6 pa ra m èt re s re s ta nt s s on t s an s inté rê t i ci :

el les sont pré cis ée s dans [ Courat et al. 95]). Les tracés dans le plan de Nyquist des 4

pa ra m èt re s S du q ua dr ip ô le de la fig ur e 1 .7 c oï nc id e nt q ua si pa rf a it em e nt avec l es

relevés exp érimentaux de l’inductance MMIC, et ce dans toute la gamme fréquentielle

étudiée [Courat et al. 95].

Figure 1.6 – Stru cture à 12 éléments initiale.

Figure 1.7 – Stru cture à 6 éléments optimale.

1. 5. 4 A ppl ic at io ns pr at iqu es da ns des do ma in es di ve rs

Un champ imp ortant d’applications du recuit simulé concern e le s p rob lè me s de

traitement des images : il s’agit de reconstituer, par ordinateur, des images, ou des

f or me s t ri di me ns io nn el le s , à pa rt i r de do nn é es i nc om pl èt e s ou br ui té e s. L es a ppl i ca ti o ns

pr at i qu es s on t t rè s no m bre us e s, da ns pl us ie u rs s ec te ur s c om me la ro b o ti qu e, la m éd ec in e

(tomographie), la gé ologie (pros p ections ). . . La reconstitution d’une image à l’aide

d’ un e m ét ho de i té ra ti v e né c es si t e, pa r na t ure , le t ra it em en t d’ un g ra nd no m bre de

var i ab le s, d e s or te q u ’i l f a ut t ro uve r u ne m ét h o de p o ur l im it e r l e t em ps d e c al cu l d e

- 38 -


l’op ération. En s’appuyant sur le caractère lo cal de l’information contenue dans une

image, plusieurs auteurs ont prop osé des structures matérie lles et des algorithmes

p er me tt ant d’ effe ct ue r l es ca lc uls e n p ara ll èl e. Em pi riq ue me nt , i l a ppa ra ît qu e l a

métho de du recuit simulé est particulièrement bien adaptée p our mener à bien cette

tâche. Une justification théorique rigoureus e de cette propriété p eut être obte nue à

pa rt i r de la no t io n de champ markovien [ Geman et al. 84 ], qui fournit une mo délisation

commo de et cohérente de la structure lo cale de l’information dans une image. Cette

no t io n e st e xp o sé e en dé t ai l da ns la ré f ér en ce [ Si a rry et al. 89 ]. L’“appro che bayesienne”

du pr ob lè m e de la re s ta ur at io n o pt im al e d’ un e i ma ge , à pa rt i r d’ un e i ma ge br ou il l ée ,

co nsi ste à dé ter mine r l’ ima ge qui pré sen te “le ma xim um de vr ais embl anc e a p os ter iori ”.

On montre que ce problème se ramène à celu i de la minimisation d’une fon ction

ob jectif , comp ortant un très grand nombre de paramètres : les intensités lumineuses

de t ou s l es “ pi xe ls ” de l ’i ma ge , da ns le c as d’ un e i ma ge en no i r et bl a nc . D ès l or s, le

pr ob lè m e re l èv e ty pi qu em en t de la m ét ho de du re c ui t s im ul é. L ’a pp li ca ti o n s éq ue nt ie l le

de c et te t ec hn iq ue c on si st e à f ai re é vo lu er l ’i ma ge en mo di fia nt l ’i nt en si té de t ou s l es

pixels à tour de rôle, dans un ordre préétabli. Cette pro cédure ab outit à un temps

de c al cu l i mp o rt ant : en e ffe t, le no m bre de ba l aya ge s c om pl et s de l ’i ma ge né c es sa i re

p ou r ob te ni r u ne b o nn e r es tau ra ti on e st, typ iq uem ent , d e l’ or dre d e 3 00 à 1 00 0. M ais

co mme le ca lcu l de la var iat ion d’ éner gie est pur eme nt lo ca l, pl usie urs sc hém as ont été

pr op o sé s p o ur f ai re é vo lu er l ’i ma ge en t ra it ant s im ul ta né me nt un g ra nd no m bre de

pi x el s, à l ’a id e de pro c es se ur s é lé me nt a ir es sp é ci al is é s.

Le formalisme des champs markoviens a permis de traiter, par recu it simulé,

pl us ie u rs t âc he s c ruc i al es en a na ly se a ut om at iq u e d’ i ma ge s : la re s ta ur at io n d’ i ma ge s

br ou il l ée s, la s eg me nta ti on d’ i ma ge s, l ’i de nt ifi ca ti o n de s cè ne s. . . D ’a ut re s pr ob lè m es

d’ i ma ge ri e o nt a us si é té ré s ol us pa r re c ui t en de h or s de ce f or ma li sm e : pa r e xe mp le ,

la métho de a été mise en œuvre p our déterminer la structure géologique du sous-sol, à

pa rt i r de ré s ul ta ts d’ e xp é ri en ce s s is mi qu es .

Po ur t er m i n e r , n ou s é vo q ue r o n s q u e l qu e s p r o b l èm e s c o n c r e ts , d a n s d e s d o m a in e s

très divers, où le recu it simulé a été employé avec succès : organisation du réseau

informatique du Loto (il s’agis s ait de relier une dizaine de milliers de machines de

j eu à de s o rdi na t eu rs c en tr au x) , o pt im is at io n de la c ol le c te de s o rdu re s m én ag èr es à

Grenoble, problèmes d’emploi du temps (le problème é tait, p ar e xemple, de déterminer

l’implantation optimale des jours de rep os dans un planning hospitalier), optimisation

en ar chit ec ture (d ans le pro jet de co nst ruct ion d’un im meub le de 17 ét ag es de sti né à

une c om pa gn ie d’ a ss ura n ce s, il f al la it ré pa r ti r l es a ct iv i té s e nt re l es di ffé re nt es pi è ce s,

de m an iè re à m ax im is er le re nd e me nt du trava il pro du it pa r l es 2 00 0 e mp lo yé s) . . .

P lu si eu rs a ppl i ca ti o ns du re c ui t s im ul é a ux pr ob lè m es d’ o rdo nn a nc em en t o nt é té

dé c ri te s da ns la l it té ra tu re ( vo ir en pa rt i cu li er l es ré f ér en ce s [Van Laa rhove n et al. 92 ,

Br andi mart e 92 , M us se r et al. 93, Jeffcoat

et al. 93 ]). L’adéquation de la métho de à

ce type de pro blè me est co ntr ove rsé e. Ai nsi Le nst ra et al. [ Van Laa rhove n et al. 92]

co ncl uent à un te mps de ca lcu l pro hibi tif . En ou tre, dans [ Fleury 95 ], Fleury sou lign e

pl us ie u rs c ar ac té r is ti qu es de s pr ob lè m es d’ o rdo nn a nc em ent q ui m et te nt en di ffic ul té le

recuit simulé et il préconise une métho de sto chastique diff

érente, insp irée du recuit

simulé et de la mé tho de tab ou : la “m éth o de du kan gou rou” .

- 39 -


1.6 Avantages et inconvénients de la méthode

De l’e xposé pré c é d ent, on p eut dégager les principales caractéristiqu e s de la métho

de. D’ab ord, les avantages : on obse rve que la mé tho de du r ecuit si mulé pro c ure

généralement une solution de b onne qualité (minimum absolu ou b on minimum relatif

de la f on ct io n ob j ec ti f ) ; en o ut re , c ’e st une m ét ho de g én ér al e : e ll e e st a ppl i ca bl e, et

f ac il e à pr og ra m me r, p o ur t ou s l es pr ob lè m es q ui re l ève nt de s t ec hn iq ue s d’ o pt im is at io n

itérative, à condition toutefois que l’on pu isse évaluer directement et rapidement, après

ch aq u e t r a ns f o r m a ti o n , l a va ri a t i o n c o r r e sp o n da nt e d e l a f o nc t i o n o b j e c ti f ( l e t e m ps

de c al cu l e st s ou ve nt e xc e ss if , si l ’o n ne p e ut é vi te r de re c al cu le r c om pl èt e me nt la

f on ct io n ob j ec ti f , a prè s c ha qu e t ra ns fo rm at io n) ; e nfi n, e ll e o ffre une g ra nd e s ou pl es se

d’ e mp lo i, c ar de no uv e ll es c on tr ai nt es p e uv ent ê tr e f ac il e me nt i nc or p o ré es a prè s c ou p

da ns le pr og ra m me .

Citons ensuite les inconvénients : l es u t i l i sa t e u rs s o nt p ar f o i s re b u t é s pa r l e n o mb r e

imp ortant de p aramè tre s (temp érature initiale, taux de décroissance de la te mp érature,

du ré e de s pa l ie rs de t em p é ra tu re , c ri tè re d’ a rrê t du pr og ra m me . . . ) : bi e n q ue l es

val e ur s s t an da rd p ub l ié es p e rm et te nt gé né ra le m ent u n f on c ti on ne me nt e ffic ac e de la

métho de, il y a là un asp ect empirique que les études théoriques s’efforcent de gommer.

Le deuxième défaut de la méth o de — lié au précédent — est le temp s de calcul, qui

est ex ce ssif dans ce rta ine s ap plic at ions .

Afin de réduire ce temps , un effort doit être encore fourni p our d é gage r des résultats

généraux concernant le choix optimal d es paramètres de la métho de [ Si a rry 94 ], en

pa rt i cu li er la l oi de dé c ro is sa nc e de la t em p é ra tu re . D es pr og rè s da ns l ’e ffic ac it é et le

temps de c alc u l devraie nt être obtenus, en p oursuivant l’analyse de la mé th ode notamment

dans trois directions : mise en œuvre interactive, parallél isation de l’algorithme

et prise en co nsi déra tio n des pro grè s effec tué s par la phy siq ue st ati sti que dans l’ étu de

de s m il ie ux dé s or do nn és .

1.7 Suggestions pratiques simples pour démarrer

– Définition de la fonction objectif : certa ine s contra intes y sont intég rées , d’a utr es

co nst itue nt une li mit ati on des p er turba ti ons li cit es du pro blè me.

– Choix des mécanismes de perturbation d’ un e “ co nfi gu ra ti o n c ou ra nt e” : le c al cu l

de la va ri at io n c or re sp o nda n te E de la f on ct io n ob j ec ti f do i t ê tr e direct et

rapide.

– Température initiale T0 : o n p e ut l a ca l cu l er a u p ré al a bl e à l ’a id e d e l’ a lg or i th m e

suivant :

• f ai re 1 00 p e rt urb a ti on s au ha s ar d ; éva lu er la m oye nn e hEi

de s va le ur s

absolues des variations E co rre sp on dant es ;

• ch oi s i r u n t a u x i n i t ia l d ’ a cc e p t a t io n ⌧0 de s “ pe rt urb a ti on s dé g ra da nt es ” ,

se lon la “q ual ité ” sup p os ée de la co nfig urat ion in itia le ; ex emp le :

- qualité “médio cre” : ⌧ 0 = 50 % (démarrage à haute temp érature),

- qualité “b onne” : ⌧0 = 20 % (démarrage à basse temp érature),

hEi

T • dé d uir e T0 de la re l at io n : e 0 = ⌧0 .

- 40 -

1.8 Annexe : mo délisation du recuit simulé à l’aide du formalisme des chaînes de Markov

– Règle d’acceptation de Metropolis : ell e se me t pra tiq uem ent en œuvr e de la

manière suivante : si E > 0, ti re r un no mbre r au hasard dans [0, 1], et

accepter la p erturbation si r < e E

T , T dé s ig nant la t em p é ra tu re c ou ra nt e.

– Changement de palier de température : p eut s’ opér er dès que l’une des 2

co ndit io ns suivantes est sa tis fai te au co urs du pa lie r de te mp ér atur e :

• 12 ·

N p e rtu rb ati on s a cc ep tée s ;

• 100 ·

N p e rtu rb ati on s t ent ées ,

N dé s ig na nt le no m bre de de g ré s de l ib e rt é ( ou pa ra m èt re s) du pr ob lè m e.

– Décroissance de la température : p eu t être effe ctuée s elon la loi g éométr ique :

Tk+1 = 0 . 9 · Tk .

– Arrêt du programme : p e u t ê tr e o p é ré a p r è s 3 pa l i er s d e t e mp é r a tu r e s uc c e s si f s

sans au cune ac ce pta tio n.

– Vérifications indispensables lors des premières exécutions du programme :

• le géné rate ur de nombres réels aléatoires (dans [0 , 1]) d oi t ê tr e b i en uniforme ;

• la “qualité ” du résultat doit p eu varier lorsqu e le programme est lancé

plusieurs fois :

- ave c d e s “ s em e n c e s ” d i ff é r e nt e s d u g é n ér a t e u r d e n o mb r e s a l é at o i r e s ,

- ave c d e s c o n fig u r a t i o ns i n it i a l e s d i ff é r ent e s ,

• p ou r ch aq ue c on figu ra tio n in it ia le ut il is ée, le ré su lt at d u r ec uit s imu lé p e ut

être co mpa ré, en pri nci p e favo rab leme nt, avec ce lui de la trempe (règle d e

M et ro po li s “ dé br an ché e ”) .

– Variante du programme pour essayer de gagner du temps : l e recu it si mul é

est go urma nd et p eu effica ce à ba sse te mp ér atu re ; d’où l’ inté rêt de te ste r

l’enchaînement du recuit simulé, interrompu prématurément, avec u n algorithme

d’optimisation lo cale, sp écifique du problème , dont le rôle est d’“affi

ner”

l’optimum.

1.8 Annexe : modélisation du recuit simulé à l’aide

du formalisme des chaînes de Markov 1

On désigne par R l’espace fini de toutes les con fi gu ration s p ossibles du système, et

pa r r 2 R

un “ ve ct e ur d’ é ta t” , do nt l es c om p o sa nt es dé fi nis s en t ent iè re me nt une

co nfig urat ion (ou un “é tat ”) do nnée .

On considère en outre l’ensemble I R de s nu mé ro s a tt ri bu és à c ha cu ne de s c on fig u-

rations de R :

I R = ( 1, 2, . . . , | R|)

en no tan t | R|

le cardinal de R. On d é s i g n e e n fi n p a r C( ri ) la valeur de la fonction de

coût (ou “é ner gie ”) en l’ éta t i , de vect eu r d’ ét at ri, et pa r Mij ( T ) la probabilité de

transition de l’état i à l’état j à la “temp ératur e”

T .

Dans le cas d e l’algorithme du recuit simulé, la succe s s ion des états forme une

ch aî n e d e M a r kov , e n c e s e n s q u e l a p r o ba b i l i t é d e t r an s i t i o n d e l ’ ét a t i à l’état j ne

1. [Aarts et al. 85]

- 41 -


dé p e nd q ue de c es de u x é ta ts , m ai s pa s de s é ta ts a nt ér ie ur s à i : en d’autre s termes,

tout le passé du système est résumé par l’état courant.

Lorsque la temp érature T est ma inte nue co nst ant e, la pro bab ilit é de tr ansi tio n

Mij (T ) est st ati onna ire et la ch aîne de Ma rkov co rre sp on dant e est dite homogène. L a

pr ob a bil i té de t ra ns it io n Mij (T ) de l ’é ta t i à l’état j p eu t êt re e xp rim ée s ou s l a f or me

suivante :

Pij · Aij ( T ) si i = 6 j

M ij (T ) =

1 ⌃k6= i

P ik · A ik ( T ) si i =

j

en dé sig nant par :

P ij la probabilité de p erturbation, c ’e s t-à-dire la probabilité d’engendrer l’état j

lorsqu’on se trouve dans l’état i ;

et par :

Aij ( T )

la probabilité d’acceptation, c’e st-à-dire la probabilité d’accepter l’état j

lorsqu’on se trouve dans l’état i, à la temp érature T .

Le premier facteur P ij se ca lcu le fa cil eme nt : en effet, le sy stè me est gé nér ale men t

p er tu rb é e n ch oi sis sa nt a u h as ar d u n mo uve ment p ar mi l es m ouve me nt s é lé ment ai res

p ermis. Il en résulte que :

|Ri | 1 si j 2 I

Pij =

Ri

0 si j /2 I Ri

en dé sig nant par R i le s ous-ensemble de R f or mé de t ou te s l es c on fig ur at io ns q ui

p eu ve nt ê tre o bt enue s e n u n s eul m ou ve ment à p art ir de l ’é tat i , et pa r I Ri l’ensemble

de s nu mé ro s de c es c on fig ur at io ns .

Quant au deuxiè m e facteur A ij ( T ), il e s t s o u vent d é fin i p a r l a rè g l e d e M e tr o p o li s .

Aarts et Van Laarhoven notent que, plus généralement, la métho de du recuit simulé

p er me t d ’i mp o ser l es c in q c on dit io ns s uiva nt es :

1. L’espace des configurations est connexe, c ’ es t -à -d i re q u e de ux é t at s i et j

quelconques se corresp ondent par un nombre fini d e mouvements élémentaires.

2. 8i, j 2

I R : P ij = P ji (réversib ilité ).

3. Aij (T ) = 1 , si Cij = C ( rj) C ( ri ) apple

0

(les mouvements qui se traduisent par une baisse de l’énergie sont systématiquement

acceptés).

⎧

⎨

l i m

Aij (T ) = 1

T !1

4. si Cij > 0

⎩

l i m

A ij (T ) = 0

T !0

(les mouvements qui se traduisent p ar une augmentation de l’énergie sont tous

acceptés à temp érature infinie, et tous refusés à temp érature nulle).

5. 8i, j, k 2

IR | C ( r k ) C ( r j ) C ( r i ) : Aik(T ) = Aij ( T )

· A jk ( T

)

- 42 -


Co mp or te me nt as ym pt oti qu e des cha în es de M arkov ho mo gè ne s

En ut i li sa nt l es ré s ul ta ts c on ce rn ant l es c ha îne s de M ar kov ho m og èn es , on p e ut

ét abl ir les pro prié té s suivante s.

Propriété 1

Considérons le processus de Markov engendré par un mécanisme de transition

qui resp ecte les cinq conditions énon cées plus haut : ce mécanisme est appliqué n

f oi s, à t em p é ra tu re T co nst ante, à pa rtir d’une co nfig urat ion in itia le do nnée , ch ois ie

arbitrairement. Lorsque n tend vers l’infini, la chaîne de Markov obtenue p ossède

un ve ct eu r d’ é qu il ib re et un s eu l, s oi t q(T ), qui es t indé p enda nt de la c onfigu rati on

initiale. Ce vecteur, qui p ossède | R|

co mp os ante s, est no mmé distribution de probabilité

stationnaire de la c ha în e de M ar kov ; sa i ème co mp os ante, soit qi( T ), r e p r és e n t e la

pr ob a bil i té q ue le s ys tè me se t ro uv e da ns la c on fig ur at io n i lorsque, après une infinité

de t ra ns it io ns , le ré g im e s ta ti on na ir e e st a tt ei nt .

Propriété 2

qi ( T )

est donné par la re lat ion suivante : qi (T ) = Ai 0 i( T )

,

| R

|

Ai 0 i( T )

i=1

en dé sig nant par i0 le numéro d’une confi gu ration optimale.

Propriété 3

Lorsque la temp érature tend ve rs l’infini ou vers zéro, les valeurs limites d e q i ( T )

sont do nnée s par :

l i m

q i (T ) = | R|

1

T !1

et

l i m

q i (T ) =

|R0 | 1 si i 2 I R0

T !0 0 si i /2 IR 0

en dé sig nant par R0 l’ensemble des configurations optimales :

R0 = {ri 2 R | C ( ri ) = C ( ri 0 )}

La propriété 3 se déduit immédiatement de la propriété 2 en utilisant la condition (4).

So n i nt er pré t at io n e st la s ui va nt e : p o ur l es g ra nd es va le ur s de la t em p é ra tu re , t ou te s

les configurations peuvent être obtenues avec la même probabilité ; en revan che, lorsque

la temp érature ten d vers zéro, le système atteint une configuration optimale avec une

pr ob a bil i té é ga le à l ’u nit é . D an s l es de u x c as , le ré s ul ta t e st o bt enu au b o ut d’ un e

ch aî n e d e M ar kov d e l on g u e u r i n fi ni e .

- 43 -


Remarque. Dans le cas où l’on choisit la probabilité d’acceptation Aij( T ) pr éc o ni sé e

pa r M et ro p o li s ( vo ir da ns la ré f ér en ce [ Aarts et al. 85 ] une j us tifi ca tio n de c e choix

indép endamment de toute analogie avec la physique) :

C ij

Aij (T ) =

e T si Cij > 0

1 si C ij apple 0

on retrouve, dans la prop riété 2, l’expression de la distribution de Boltzmann.

Ch oi x des pa ra mè tre s du re cu it

Nous avons vu dans le paragrap h e précédent que la convergence de l’algorithme du

recuit simulé est assurée lorsque la temp érature tend vers zéro : une chaîne de M arkov

de l on gu eu r i nfin ie ab o ut it à c ou p sûr au ré s ul ta t o pt im al si e ll e e st c on st ru it e à une

temp érature suffi

samment basse (quoique non nulle). M ais ce résultat n ’e s t d’aucune

ut i li té pr at i qu e c ar , da ns ce c as , l ’a pp ro c he de l ’é qu il ib re e st t rè s l en te .

Le formalisme des chaînes de Markov p ermet d’examiner s ur un plan théorique

la vitesse de c onvergence de l’algorithme : on p eut montrer que cette vitesse est

améliorée lorsque l’on part d’une temp érature élevée et que l’on fait décroître celle-ci

pa r pa l ie rs . Ce t te pr oc é du re né c es si t e l ’u ti li sa ti o n d’ un pr og ra m me de re c ui t, q ui

dé fi nit l es va le ur s o pt im al es de s pa ra m èt re s de la de s ce nt e en t em p é ra tu re . No u s a ll on s

ex ami ner suc ce ssi vem ent les qu atre pri nci paux pa ramè tre s du pro gra mme de re cuit , à

savo ir :

– la temp érature initiale ;

– la longueur de s chaînes de Markov homogènes, c’est-à-dire le critère de changement

de palier de temp érature ;

– la loi de décroissanc e de la temp érature ;

– le critère d’arrêt du programme.

Po ur ch ac u n d’ e nt r e e u x , no u s in d iq u e r o ns d ’a b o rd le s p re s c r i pt i o n s is s ue s de l a

théorie, qui c onduisent à un résultat optimal, mais souvent au prix d’un temps de

ca lcu l pro hibi tif ; puis nous in diqu ero ns les val eurs pro cu rée s par l’ exp ér ienc e.

Temp érature initiale

Il existe une condition nécessaire, mais non suffisante, p our éviter que le pro cessus

d’ o pt im is at io n ne s oi t pi é gé da ns un m ini m um lo c al : la t em p é ra tu re i ni ti al e T0 do i t

être suffisa mme nt él evée p our que, à l’ issu e du pre mie r pa lie r, to ute s les co nfig urat ion s

pu is se nt ê tr e o bt en ue s avec la m êm e pr ob a bil i té . Une e xp re ss io n c on ve na bl e de T0 ,

qui assure un taux d’acceptation voisin de 1, e st la suiva nte :

T0 = r ·

maxCij

ij

ave c r 1 (typiquement r = 10).

En pr at i qu e, da ns de no m bre ux pr ob lè m es d’ o pt im is at io n c om bi na to ir e, c et te rè g le

est d’un em plo i ma lai sé, car il est diffici le d’éval uer

a priori maxij C ij .

- 44 -


Le choix de T0 p ou rr a d ans c e c as r és ul ter d ’u ne p ro c éd ur e ex p ér im ent al e, eff ec tu ée

pr éa l ab le me nt au pr oc e ss us d’ o pt im is at io n pr op re me n t di t . Au c ou rs d’ un e t el le

pr o c éd ure , on c al cu le l ’é vo lu ti o n du s ys tè me p e nd an t un t em ps l im it é ; on a cq ui er t

de la s or te une c on na is sa nc e de l ’e sp ac e de s c on fig ur at io ns , à pa rt i r de l aq ue ll e on

dé t er mi ne T0 . Cette exp érience préliminaire p eut consister simplement à calculer la

val e ur m oyen n e d e l a va ri at io n d ’é ne r gi e Cij , en maintenant la temp ératu re à z ér o.

Aarts et Van Laarhoven prop osent une pro cédure préliminaire plus soph is tiqué e : ils

ont établi une formule itérative qui p ermet d’a juster la valeur de T 0 après chaque

p er tu rb at ion , d e ma ni èr e à m ai nt en ir c ons ta nt l e t au x d ’a cc ept at io n. L es au te ur s

indiquent que cet algorithme conduit à de b ons résultats dans le cas où les valeurs

de la f on ct io n de c oû t p o ur l es di v er se s c on fig ur at io ns du s ys tè me s on t di s tri bu é es de

manière suffisamment uniforme.

Longueur des chaînes de Markov (ou durée des paliers de temp érature) ;

loi de décroissance de la temp érature

La longueur des chaînes de Markov, qui détermine la durée des paliers de temp érature,

et la loi de décroissance de la temp érature, qui joue sur le nombre de paliers,

sont deux pa ramè tre s du pro gra mme de re cuit très ét roi tem ent li és et qui sont les

pl us c ri ti qu es v is -à -v i s du t em ps de c al cu l de la m ét ho de . Une pr em i èr e a ppr o ch e

du pr ob lè m e c on si st e à c he rche r la s ol ut io n o pt im al e, en fix a nt la l on gu eu r M de s

ch aî n e s d e M a r kov d e m a n iè r e à a t t e i n dr e l e q u a s i - éq u i l i b re , c ’ e s t - à -d i r e à s ’ a p p ro ch e r ,

à u n e fa i b l e d is t a n c e ✏ fix é e à l ’ava nc e, de l ’é qu il ib re , c ar ac té r is é pa r le v ec te u r de

di s tri bu ti o n de pr ob a bil i té s ta ti on na ir e q ( T

). On ob tie nt la c ond it ion suivante :

M > K

| R|

2 3 | R |

+ 3

où K est une co nst ant e qui dép end de ✏ . Da n s l a p l u pa r t d e s p r ob l è m e s d ’o p t i m is a t i o n

combi nato ire , le no mbre to tal de co nfig urat ion s | R|

est une fo nct ion exp on ent iel le du

no mbre N de s va ri ab le s du s ys tè me . Par s ui te , l ’i né ga li t é pr éc é de nt e c on du it à un

temps de calcul exp onentiel, ce qui a été confirmé par des ob servations exp érimentales

da ns le c as d’ un e f or me pa rt i cu li èr e du pr ob lè m e du voya ge ur de c om me rc e ( le s v il le s

co nsi déré es o ccup ent tous les nœuds d’un ré sea u ca rré pl an, ce qui p er met de ca lcu ler

f ac il e me nt la va le ur e xa ct e de l ’o pt imum g lo ba l de la f on ct io n de c oû t : la c on na is sa nc e

a priori de la s ol ut io n e st t rè s ut i le p o ur a na ly se r la c on ve rg en ce de l ’a lg or it hm e ).

Ces résultats exp érimentaux montrent également qu’un gain considérable de temps

CPU est obtenu si l’on accepte de s’écarter un p eu de l’optimum : un écart du résultat

fin al de s eu le me nt 2 %

pa r ra pp o rt à l ’o pt im um p e rm et d e pa s se r d’ un t em ps de

ca lcu l exp on entiel en fo nct ion de N à un t e m p s c u b i qu e . D e l à l ’ i d ée d e r e p r e n d re l e s

investigations théoriqu es, en cherchant les paramètres du programme de recuit qui

assurent une d éviation d on n ée p ar rapp ort à l’optimum, et ce, indép endamment de

la dimension du problème considéré. Le p ostulat de départ du raisonnement es t le

suivant : p our ch aqu e ch aîne de Ma rkov ho mog ène en gen drée au co urs du pro ce ssu s

d’ o pt im is at io n , la di s tri bu ti o n de s é ta ts do i t ê tr e pro c he de la di s tri bu ti o n s ta ti on na ir e

(c’est-à-dire la distribution de Boltzmann, si l’on adopte la règle d’acceptation de

Metrop olis). Cette situation p eut être réalisée en partant d’une temp érature élevée

- 45 -


(p our laquelle on arrive rapidement au quasi-équilibre, comme l’indique la propriété 3).

P ui s il f au t c ho is ir le t au x de dé c ro is sa nc e de la t em p é ra tu re t el q ue l es di s tri bu ti o ns

st ati onna ire s co rre sp on dant à deux val eurs suc ce ssi ves de T so ient voi sine s. De la

so rte , ap rès chaque cha nge ment de pa lie r de te mp ér atur e, la di stri buti on des ét ats

s’ appr o c he ra pide men t de la no uve lle di stri buti on st ati onna ire , si bien que la lo ngue ur

de s c ha îne s s uc ce ss ives p e ut ê tr e m ai nt en ue p e ti te : on v oi t là l ’i nt er ac ti o n t rè s f or te

qui existe entre la longu e u r des chaînes de Markov et le taux de décroissance de la

temp

érature.

Désignons par T et T 0 les temp ératures de deux p alie rs successifs quelc on qu es

et par ↵ le taux de décroiss an ce de la temp érature T 0 = ↵ T < T . La condition à

réaliser s’écrit :

q ( T ) q ( T

0 ) < ✏

(✏ est un no mbre p os iti f et p et it)

Cette condition équivaut à la suivante, plus facile à utiliser :

1

8i 2

I R :

1 + < q i ( T

)

q i (T 0 ) < 1 +

( est au ssi un no mbre p os iti f et p et it, app elé pa ramè tre de di sta nce ).

On montre alors, moyennant quelques approximations, que le taux de décroissance

de la t em p é ra tu re s ’é cr it :

↵ =

1

(1.1)

1 + T ·ln(1+)

3 ·( T )

(T ) ét ant l’ éca rt- typ e des val eurs de la fo nct ion de coût p our les ét ats de la ch aîne

de M ar kov à la t em p é ra tu re T .

Les auteurs préconisent e n outre le choix suivant p our la lon gu eur des chaînes de

M ar kov :

M = max

|R i | (1.2)

i2IR

(on rapp elle que R i est le so us- ense mbl e de R f or mé de t ou te s l es c on fig ur at io ns q ui

p eu ve nt ê tr e o bt enue s e n un s eu l m ou ve me nt à p art ir d e l ’é tat i).

Le formalisme des chaînes de Markov conduit ainsi à un programme de recuit

ca rac tér isé par une lo ngue ur de ch aîne de Markov co nst ant e et un taux de dé cro issa nce

de la temp érature variable. Il faut noter que ce résultat, qui s’appuie sur la théorie,

di ffè re de l ’a pp ro che us ue l le , e nt iè re me nt e mp ir iq ue : da ns ce de rn ie r c as , on a do pt e

une l on gu eu r de pa l ie r de t em p é ra tu re va ri ab le et un t au x ↵ de dé c ro is sa nc e de la

temp érature constant, typiquement compris entre 0 .90 et 0 . 99. On observe a lors que

le paramètre ↵ n’ e st pa s t rè s c ri ti qu e v is -à -v i s de la c on ve rg en ce de l ’a lg or it hm e , s ou s

réserve que le palier de temp érature dure assez longtemps.

- 46 -


Cr it èr e d’ ar rêt du pr og ram me

Une information quantitative sur la progression du pro cessus d’optimisation p eut

être ti rée de l’ entropie , qui est une mesure naturelle de l’ordre du système. Celle-ci est

dé fi nie pa r l ’e xp re ss io n s ui vante :

| R|

S

( T

) =

qi ( T )

· ln ( qi (T ))

i=1

On montre que S ( T

) p e ut ê tr e é cri te s ou s l a f or me s ui va nt e :

T1

S ( T ) = S ( T1 )

T

2 T 0

T 03 dT 0

et 2 ( T )

p eu t ê tre fa ci le ment e st im ée nu mér iq ue ment à pa rt ir d es va le urs de l a fo nct io n

de c oû t, p o ur l es c on fig ur at io ns o bt enue s à la t em p é ra tu re T . Un c r i t è r e d ’ a rr ê t p e u t

alors être élab oré à partir du rapp ort suivant, qui mesure l’écart entre la configuration

co ura nte et la co nfig urat ion op tima le :

S ( T ) S0

S1 S 0

où S1 et S0 sont dé finis par les re lat ions :

S1 =

l i m

S

( T

) = l n | R|

T !1

S0 = l i m

S

( T

) = l n |R0|

T !0

On p eut aussi détecter la transition désordre-ordre (et par suite décider de ralentir

le refroidissement) par l’observation d’une augmentation brutale du paramètre suivant,

qui est analogue à la chaleur spécifique : 2 ( T )

T 2 .

Po ur d e s r a i so n s d e p r éc i s i o n d u c a l c u l nu m é ri q u e , c e s c r i t è re s n e s o nt a p p l ic a b l e s

en pra tiq ue que lo rsq ue les ch aîne s de Ma rkov sont de lo ngue ur suffisante. Dans le

cas co ntrai re, un au tre cr itè re d’ arrê t p eut être ob ten u à pa rtir de l’ ext rap ol ati on, à

temp érature nulle, d e la moyenne lissée, soit Cl (T ), de s val eu r s d e l a f on c t i on de c o û t

obtenues au cours du p rocessus d’optimisation :

dC l ( T

)

T

·

dT

C

( T0 ) < ✏s (1.3)

en dé sig nant par ✏s un no m bre p o si ti f et p e ti t, et pa r C(T0 ) la valeur moyenne de la

f on ct io n de c oû t à la t em p é ra tu re i ni ti al e T0 .

Remarque. Si l ’o n a do pt e le t au x de dé c ro is sa nc e de la t em p é ra tu re et le c ri tè re

d’ a rrê t re s p e ct ive me nt dé fi nis pa r l es re l at io ns ( 1. 1) et ( 1. 3) , Aa r ts et Van L aa rh oven

ont montré l’existence d’une b orne sup érieure, prop ortionnelle à ln | R | , p our le nombre

total de paliers de temp érature. S i l’on fixe en outre la longueur des chaînes de Markov

- 47 -


co nfo rmé ment à la re lat ion (1 .2) , le te mps d’ exé cut ion de l’ alg ori thme du re cuit est

pr op o rt io n ne l à l ’e xp re ss io n s ui vante :

max

|Ri | · ln | R|

i2I

R

Or le terme max |R i | est le plus souvent une fo nct ion p ol yno mia le du no mbre de

var i ab le s d u p ro b lè me . E n c o ns éq ue nc e , l e p ro gr am me de re cu i t c on st it ué pa r l e s

relations (1.1), (1.2) e t (1.3) p ermet de résoudre la plu p art de s prob lèmes NP-d ifficiles

en pro cu rant, en un te mps p ol yno mia l, un ré sult at qui pré sen te un éc art de qu elq ues

p ou r ce nt pa r ra pp o rt à l ’o pt imu m gl ob al , e t ce , in dé p en dam me nt d e la di me ns ion d u

pr ob lè m e c on si dé ré . L es c on si dé ra ti o ns t hé or iq ue s pr éc é de nt es o nt é té c on fir mé es pa r

l’application de ce programme de recuit aux problèmes du voyageur de commerce et

du pa rt i ti on ne me nt l og iq ue .

Mo délisation de l’algorithme du recuit simulé par des chaînes

de Markov inhomogènes

Les résultats que nous avons présentés jusqu ’ic i s’appuient sur l’hypothèse d’une

dé c ro is sa nc e de la t em p é ra tu re pa r pa l ie rs ( qu i a ss ur e une c onv er ge nc e ra pi de de

l’algorithme du recuit simulé, comme nous l’avons déjà dit plus haut). Cette propriété

p er me t d e re pr és ente r le p ro c es sus d ’op ti mi sat io n s ou s l a fo rm e d ’u n e ns emb le fi ni d e

ch aî n e s d e M a r kov h o mo g è n e s , d o nt l e c o m p or t e m e nt a s ym p t o t i q ue p e u t ê t r e d é c ri t

si mple ment. Nous avons vu qu ’il en ré sult e une ex pli cat ion th éor ique co mpl ète du

f on ct io nn e me nt de l ’a lg or it hm e , et l ’é la b o ra ti on d’ un pr og ra m me de re c ui t op é ra ti on ne l.

Certains auteurs se sont intéressés à la convergence de l’algorithme du recuit

simulé en se pl aça nt dans le ca dre plus gé nér al de la th éori e des ch aîne s de Ma rkov

inhomogènes. Dans ce cas, le comp ortement asymptotique est plus délicat à étudier : par

ex emp le, Gi das [Gidas 85 ] mo nt re l a p o ss ib il it é d ’a pp ar it io n de p h én om èn es a na lo g ue s

aux transitions de phase. Nous nous contenterons ici de rapp eler le principal résultat

de c es t ra va ux d’ i nt ér êt e ss en tie ll em en t t hé or iq ue : l ’a lg or it hm e du re c ui t c on ve rg e

ve rs u n o p t i mu m g lo b a l , ave c u n e p r o b a b i li t é é g a l e à l ’ u n i t é s i , l o r s q u e l e t e m p s t tend

ve rs l ’ in fi n i , la te m p ér a t u r e T ( t) ne dé c ro ît pa s pl us v it e q ue l ’e xp re ss io n C

ln(t) , e n

dé s ig na nt pa r C une c on st an te q ui e st l ié e à la pr of o nd eu r de s “ pui t s d’ é ne rg ie ” du

pr ob lè m e.

1.9 Bibliographie commentée

[Siarry et al. 89] : Ce livre exp ose les principales appro ches théoriques et les applications

du recuit simulé dans les premières années d’existence d e la métho de

(1982-1988), où la plupart des fondements théoriques ont été établis.

[Reeves 95] : Les principales métaheuristiques sont exp osées dans cet ouvrage. Une

pr és e nt at io n t rè s di da c ti qu e du re c ui t s im ul é e st pr op o sé e da ns le c ha pi tr e 2.

Quelques applications sont présentées : en particulier, la conception de

ci rcui ts él ect ron ique s et le tr ait eme nt de pro blè mes d’ ordo nnan cem ent .

- 48 -

1.9 Bibliographie comme ntée

[Saït et al. 99] : On trouve dans ce livre la description de plusieurs métaheuristiques,

do nt le re c ui t s im ul é ( ch ap it re 2 ). L es é lé me nts t hé or iq ue s re l at if s à la

conve rge nce de la mé tho de sont cl air eme nt exp os és. L’ ouv rag e co mp orte

aussi l’étude d’une application dan s un contexte industriel (celui du logiciel

Timb erWolf, référence en matière de place ment-routage ). Signalons une

contr ibut ion pré cie use p our les en sei gna nts : ch aqu e ch apit re est co mpl été

pa r de s é no nc és d’ e xe rc ic e s.

[Pham et al. 00] : Les principales métaheuristiques sont exp osées dans cet ouvrage.

Le chapitre 4 consacré au recuit simulé se termine par une application

da ns le do m ai ne de la pro du c ti on i ndu st ri e ll e.

[Teghem et al. 02] : Cet ouvrage regroup e les contributions d’une douzaine d’auteurs.

Le recuit simulé n’est cep endant pas traité en détail.

- 49 -

Chapitre 2

La recherche avec tabous

Éric D. Taillard

Professeur, HEIG-VD, Yverdon-l es-Bains, Suisse

Eric.Taillard@heig-vd.ch

2.1 Historique

La recherche avec tab ous (parfois aussi app elée simplement recherche tabou ) a ét é

pr és e nt ée pa r Fre d G lo ver da ns un a rt ic le pa ru en 1 98 6 [ Glover 86 ] mais re pren ant

de no m bre us es i dé es pr op o sé es ant ér ie ur em en t dè s l es a nné e s 1 96 0. L es de u x a rt ic le s

si mple ment in titu lés Tabu Search [ Glover 89 , Glover 90 ] prop os ent l a plupa rt des

princip es de la recherche avec tab ous telle qu’elle est décrite actue llement. Certains de

ces pri nci p es ont mis du te mps avant de s’ imp os er dans la co mmu naut é sc ien tifiq ue. En

effet, dans la pre miè re mo iti é des an née s 90, la pl upart des im plan tat ion s de re che rche

ave c t a b ou s n e f a i sa i e nt a p p e l q u ’ à u n s ou s - e n s emb l e t r è s r e s t r e int d e s p r i n ci p es d e

la technique, limité s souvent à une liste de tabous et à une

condition d’aspiration

él éme nta ire s.

La p opularité de la recherche avec tab ous doit b eaucoup aux travaux réalisés à

la fin des années 80 par l’équip e de D. de Werra à l’É c ole Polytechnique Fédérale de

Lausanne. En effet, les articles fondateurs de la métho de par Glover n’é taie nt pas

év ide nts à co mpre ndre à une ép o que où il n’ exi sta it pas en cor e une « cu ltur e » des

métahe uri stiques. C’est p our cela que les travaux de vulgaris ation des bases de la

techniqu e [ Hertz et al. 90, Glover et al. 93b ] ont c e r t ai n e m e nt jo u é u n r ô l e i mp o r t a nt

da ns sa di s sé mi na ti on .

À la même ép o que s’est développée u ne comp étition entre le recuit simulé (qui

di s p o sa it a lo rs d’ un avant ag e t hé or iq ue s ou s la f or me d’ un t hé or èm e de c on ve rg en ce )

et la reche rche avec tab ous. Sur de no mbre use s ap plic at ions , les he uris tiq ues ba sée s

sur la re che rche avec tab ous se sont mo ntré es ne tte men t plus effica ce s [

Tail lar d 90,

51

Chapitre 2 – La rech erche avec tab ous

Tail lar d 91 , Tail lar d 93 , Tail lar d 94 ], ce qui a augmenté l’intérêt de la méth o de aux

ye u x d e c e r t ai n s ch e r ch e u r s .

Au début des années 90, la technique a été exp ortée au Canada, plus précisément au

Centre de recherche sur les transp orts à Montréal, à la faveur de séjours p ost-do ctoraux

de membres de l’équip e de D. de Werra. C’est ainsi qu’un autre p ôle d’intérêt sur la

reche rche avec tab ous s’est créé. La technique s’est ensuite rapidement disséminée, ce

qui a p ermis d’éd ite r en 1993 le premier livre entièrement dédié à la recherche avec

tab ous [Glover et al. 93a]

Dans ce chapitre, nous n’allons pas reprendre l’ensemble, trè s touff

u, des princip es

de la re che rc h e avec t ab o us t el s q u’ il s s ont pr és e nt és da ns le l iv re de Fre d G lo ver et

M anue l L ag un a [Glover et al. 97a ], mais nous allons nous concentrer sur les princip es

les plus imp ortants et le s plus généraux.

Ce qui manque indéniablement aux recherches locales présentées au chapitre

pr éc é de nt, c ’e st un z es te d’ i nt el li ge n ce . En e ffe t, g ra nd e e st la t en ta ti o n d’ i nc ul qu er à

une re c he rc he i té ra ti ve une p o rt io n de no t re b on s en s, f ût -e ll e i nfim e , a fin q u’ el le ne

soit pas di rigé e que par le ha sard et l’ obnubi lat ion d’une fo nct ion ob je cti f à op tim iser .

M et tr e au p o int une re c he rche avec t ab o us re l ève un do ub le dé fi : pr em i èr em ent,

co mme dans to ute re che rche it éra tive, il faut que le mo teu r de la re che rche, c’ est -à- dir e

le mécanisme d ’é valuation de solutions voisin es, soit efficace ; s e c ondement, il s’agit de

transmettre à la recherche des brib es de connaissance du problème traité, de maniè re

à ce qu’elle ne visite pas l’espace d es so lut ions a u p et it b onh eur m ais , au c ontra ire,

qu’elle soit dirigée intelligemment dans cet espace, si l’on p eut utilise r ce terme.

Glover a prop osé un certain nombre de techniques d’apprentissage que l’on p eut

incorp orer à une recherche lo cale. Un des princip es e s sentiels est de c on s tituer un

hi s to ri qu e de la re che rc h e i té ra ti v e o u, ce q ui e st é qu iva le nt , de do t er la re c he rche

d’ un e ou pl us ie u rs m ém oi re s q ui s er on t e xp lo it é es s ou s di ffé re nt es f or me s.

Mémoire à court terme. Le nom de recherche avec tabous f ai t ré f ér en ce à une

f or me d’ ut i li sa ti on d’ un e m ém oi re à c ou rt t er me q ue l ’o n i nc or po re à une

recherche lo cale. L’idée e st de mémoriser dans une structure T de s é lé me nt s

que la recherche lo cale aura l’interdiction d’utiliser. Cette structure est app elée

liste de tabous ou plus simplement liste tabou. Dan s sa fo rme l a plu s sim ple,

la recherche avec tab ous e xamin e à chaque itération l’ensemble des solutions

vo is i n e s e t ch o i si t l a m e i l l eu r e q u i n e s o i t p a s i nt e r d it e , m ê m e s i e l le e st p lu s

mauvaise que la solution courante. Pour que la recherche ne se blo que pas ou

ne s oi t c ont ra in te de v is it er q ue de s s ol ut io ns de m au va is e q ua li té en ra i so n de s

interdic tions, on limite le nombre d’élé ments que T p eu t co nt en ir. L e n omb re

de s int er di ct io ns c on te nue s da ns T est donc li mit é — on l’ app ell e so uve nt tail le

de la liste tabou — d’où une exploitation d’u ne mémoire à court terme.

Mémoire à long terme. Une liste tab ou ne p ermet pas nécessairement de supprimer

un ph é no mè ne de « c yc la g e », s oi t le f ai t de v is it er c yc li q ue me nt un s ou s-

en semble de so lut ions . Si la durée des in terd ict ions est suffisa mme nt gr ande p our

év ite r tout cy cla ge , la re che rche ris que de se p erdre dans l’ espa ce des so lut ions .

Po ur é v i t er c e s de u x p h é no m è n e s c o m p l é m ent a i r e s , i l c o nvi e nt d ’u t i l i s er d ’ a u t re s

f or me s de m ém oi re , q ui op é re ro nt à pl us l on g t er me .

- 52 -

2.2 Problème de l’affectation quadratique

Diversification. Une technique p our éviter le phénomèn e de cyclage, à la base de

la recherche à voisinages variables, est d’eff

ectuer d es sau ts dans l’espace des

solutions. Contrairement à la recherche à voisinages variables qui effectue des

sa uts al éat oir es, la reche rche avec ta bou s ut ilis e une mé moi re à long te rme

p ou r e ffe ct ue r c es sa ut s, p ar ex em pl e e n f or çant l ’u til is at ion d e m o di fic ati on s

de la s ol ut io n q ui n’ o nt pa s é té e ss ayé es de p uis l on gt em ps . Une a ut re t ec hn iq ue

de di v er sific a ti on e st d’ ut i li se r une mo dé l is at io n di ffé re nte du pr ob lè m e, pa r

ex emp le en ac ce ptan t des so lut ions non ré ali sabl es mais en leur at tri buant une

p én al it é.

Intensification. Lorsqu’une solution jugé e intéressante a été identifiée, on peut

tenter d’examiner plus intensivement l’espace d e s solutions dans son voisinage.

P lu si eu rs t ec hn iq ue s d’ i nt en si fic at io n s on t ut i li sé es . La pl us s im pl e d’ e nt re e ll es

co nsi ste à re ven ir à la me ill eure so lut ion tr ouvé e et à ch ang er les pa ramè tre s de

la recherche, par exemple en diminuant la durée des interdictions, en utilisant

un v oi si na g e pl us c om pl et ou e nc or e en ut i li sa nt une mo dé l is at io n du pr ob lè m e

pl us c on tra in te .

Oscillations stratégiques. Po ur l a r é s o lu t i o n d e p ro b l è m es pa r t i c ul i è r e me nt d i ffi -

ci les , il convi ent d’ alt erne r des pha ses de di vers ific ati on et d’inte nsi fica tio n.

Ainsi, on oscille entre des phases de destructions de la structure des solutions

et une reconst itution de meilleures solutions. Cette stratégie forme du reste la

ba s e d’ a ut re s m ét ah eu ri st iq ue s pr op o sé es ul t ér ie ur em ent, c om me la re c he rche

à voisi nages variab les, l a recher che dan s de gran ds vois inage s ou la re cherch e

lo cale itérée.

Nous allons illustrer certains des princip es d’un e recherche avec tab ous sur un

pr ob lè m e pa rt i cu li er , c el ui de l ’a ffe ct at i on q ua dr at iq ue , a fin q ue c es pr in ci p es ne re s te nt

pa s “ en l ’a ir ”. No u s avo ns cho i si ce pr ob lè m e p o ur pl us ie u rs ra i so ns . To ut d’ a b o rd, il

trouve des applications dans de multiples domaines. Le problème de placement de

mo dules élec troniques dont nous avons parlé dans le chapitre 1 consacré au recuit

simulé est un pro blè me d’a ffec ta tio n qu adra tiq ue pa rtic uli er. En suit e, sa fo rmul ati on

est très simple, car il s’agit de trouver une p ermutation. Il faut noter ici que de

no mbr eu x pr ob lè m es d’ o pt im is at io n c ombi na t oi re p e uv ent s ’e xp ri me r s ou s la f or me de

la recherche d’une p ermutation.

2.2 Problème de l’affectation quadratique

É ta nt do nn é s n ob jets et des flots f ij entre l’ob jet i et l’ob jet j (i, j = 1 . . . n),

et n em pla cem ents avec des di sta nce s drs connues en tre les em pla cem ent s r et s

( r, s = 1 . . . n ), il s’agit de placer les n ob jets sur les n em pla cem ents de ma niè re

à min imis er la s omme d es pro du its flo ts ⇥ di s ta nc es . M at hé ma t iq ue me nt , c el a re -

vient à chercher une p ermutation p, dont la i ième co mp os ante, pi , donne l a place d e

l’ob j et i, p ermutation qui min imi se n nj=1

i=1 f ij · d pi pj .

Ce problème a de multiples applications pratiques ; les plus connues sont sans doute

la répartition de bâtiments ou de services (campus universitaire, hôpital), l’affe c tation

de p o rt es d’ e mba rq u em en t da ns un a ér op o rt , le pl a ce me nt de mo du le s l og iq ue s da ns

- 53 -


de s c ir cu it s é le ct ro ni q ue s de t yp e F PG A, la ré pa r ti ti on de s fichi e rs da ns une ba s e

de do nn é es et le pl a ce me nt de s t ou ch es de c la vi e rs de m ac hi ne s à é cr ir e. D an s c es

ex emp les , la ma tric e des flots re prés ent e, resp ec tiv eme nt, la fr équ enc e à la que lle les

p er so nn es d oi vent se d ép lac er d ’u n bâ ti me nt à u n a utr e, le n ombr e de p e rso nn es d eva nt

transiter d’une p orte d’embarquement à une autre , le nombre de connexions devant

être ré ali sée s en tre deux mo dul es, la pro bab ilit é de de mand er l’ acc ès au se con d fic hier si

l’on accède au premier et, finalement, la fréquence à laquelle deux lettres particulières

apparaissent conséc utivement dans u n e langue donnée. La matrice des distanc es a

une s ig ni fic at io n é vi de nt e da ns l es t ro is pr em i er s e xe mp le s ; da ns le q ua tr iè me , e ll e

représente les temps de transmission entre les bases de données et, dans le cinquième,

le temps séparant la frapp e de deux touches.

Le problème d’aff

ectation quadratique est NP-diffi

cile. On p eut facilement le

dé m ont re r en c on st at a nt q ue le pr ob lè m e du voya ge ur de c om me rc e p e ut se f or mu le r

co mme un pro blè me d’a ffec ta tio n qu adra tiq ue. À mo ins que

P = N P , il n’existe pas

de schéma d’approximation p olynomial p our ce problème. Ceci p eut se montrer très

si mple ment en co nsi déra nt deux ex emp les de pro blè mes qui ne diffèr ent que par la

matrice des flots. Si l’on soustrait une constante appropriée à toutes les comp osantes

du pr em i er pr ob lè m e p o ur o bt en ir le s ec on d, c el ui -c i a ura un o pt im um de va le ur

nu ll e . Par c o n s éq u e nt , t o u t e ✏ -a pproxi mat ion de ce se con d pro blè me do nner ait une

so lut ion op tima le , ce qui n’ est p os sibl e à ré ali ser en te mps p ol yno mia l que si P = N P .

Cep endant, les problèmes générés aléa toirement (flots et distances tirés uniformément)

j ou is se nt de la pr op ri ét é s ui va nt e : l or sq ue n ! 1, la va l e u r d’ u n e s o l ut i o n q u el c o n q u e

(même la plus mauvaise) tend vers la valeur d’une solution optimale [ Burkard et al. 85 ].

Exemple. On considère le placement de 12 mo dules électroniques (1, . . . , 12) sur

12 emplacements (a, b, . . . , l ). On connaî t le nombre de c onnexions qu ’il faut réal iser

entre chacun des mo dules, donné dans le tableau 2.1. Cet exemple de problème est

référencé sous le nom de SCR12 dans la littérature.

Tab leau 2.1 – Nombre de conn exions entre mo dules.

Module 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 — 180 120 — — — — — — 104 112 —

2 180 — 96 2445 78 — 1395 — 120 135 — —

3 120 96 — — — 221 — — 315 390 — —

4 — 2445 — — 108 570 750 — 234 — — 140

5 — 78 — 108 — — 225 135 — 156 — —

6 — — 221 570 — — 615 — — — — 45

7 — 1395 — 750 225 615 — 2400 — 187 — —

8 — — — — 135 — 2400 — — — — —

9 — 120 315 234 — — — — — — — —

10 104 135 390 — 156 — 187 — — — 36 1200

11 112 — — — — — — — — 36 — 225

12 — — — 140 — 45 — — — 1200 225 —

- 54 -

2.3 Reche rche avec tab ous de base

6

a

4

b

3 9

c

d

7

e

2

f

10

g

1

h

i

8 5 12 11

j

k

l

Figure 2.1 – Exemple de solution d’un problème de conn exion entre mo dules élect roniques.

L’épaisseur des traits est propo rtionnelle au nombre de conn exions.

Les emplacements sont répartis sur un rectangle 3 ⇥ 4. Le s c o n n e x i o n s ne p e u ve nt

être ré ali sée s qu ’hor izo nta lem ent ou ve rti cal eme nt, ce qui im pliq ue des lo ngue urs de

câ bla ge me suré es avec des di sta nce s de Ma nhat ta n. Dans la so lut ion du pro blè me

représentée en figure 2.1, qui est optimale, on a placé le mo dule 6 sur l’emplacement a,

le mo dule 4 sur l’e mp lac ement b, etc.

2.3 Recherche avec tabous de base

Pa r l a s u it e e t s an s ê tr e r e s t r i ct i f , o n f e r a l ’ hy p o t h è s e q u e l e p r o b lè m e à r és o u d r e

p eu t se f or mu ler de l a ma ni èr e s ui va nt e :

min

f ( s)

s2S

Dans cette formulation, f dé s ig ne la f on ct io n ob j ec ti f , s une s ol ut io n a dm is si bl e du

pr ob lè m e et S l’ensemble des solutions admissibles.

2. 3. 1 Voi si na ge

La recherche avec tab ous est esse ntiellement axée sur une exploration non triviale

de l ’e ns em bl e de s s ol ut io ns en ut i li sa nt la no t io n de vo is in ag e . Fo rm el le me nt, on dé fi nit ,

- 55 -


p ou r t out e s olu ti on s de S un e ns em bl e N ( s) ⇢ S que l’on app ellera ensemble d e s

so lut ions vo isines de s. Par e x e m p l e , p o u r l e p r o bl è m e d e l ’ a ff e c t a t i o n q u ad r a t i q u e , s

sera une p ermut ati on des n ob jets et l’ensemble N (s ) p ou rr a ê tr e l es s ol ut ion s q u’ il

est p os sibl e d’ obte nir en tr ansp os ant deux ob je ts dans une p er muta tio n. La figure 2.2

illustre un des mouvements de l’ensemble N (s), celui q ui échange l es ob j ets 3 et 8 ,

pl a cé s re s p e ct ive me nt a ux p o si ti on s 3 et 7.

1 2 3 4 5 6 9 7 8 1 2 7 4 5 6 9 3 8

Figure 2.2 – Une p ossibilité de créer une solution voisine dans le cas d’un problème où l’on

cherche une p ermutation : la transp osition (éc hange) de 2 éléments.

Les méthodes de recherche lo cale, dans un cadre tout à fait général, s ont vie ille s

co mme le mo nde. En effet, que fa it un ac te ur hum ain de na ture sc ept iqu e lo rsq u’on lui

do nn e la s ol ut io n d’ un pr ob lè m e do nt il n’ e st pa s c ap ab le ou do nt il n’a pa s la pa t ie nc e

de trouver une solution optimale ? Cet acteur va essayer de mo difier légèrement la

so lut ion qu ’on lui prop ose et va vé rifie r qu ’il n’ est pas p os sibl e de tr ouver de me ill eure s

so lut ions en pro cé dant à des cha nge ment s lo ca ux. En d’ autr es te rme s, il s’ arrê ter a

dè s q u’ il a ura re nc o nt ré un optimum local relatif aux mo difications qu’il s’autorise

à f a i re s u r u n e s ol u t i o n. Ave c u n t el p r o c e s su s , r i e n n’ i n d i q ue q u e l a s o lu t i o n a i ns i

obtenue soit un optimum global — e t en p r a t iq u e c ’ e st m ê m e r ar e m e nt le c a s . Afi n d e

p ou vo ir t rou ve r d es s olu ti on s m eil le ur es qu e l e p re mi er op ti mu m l o cal r en cont ré , o n

p eu t es sayer d e p o ur sui vr e l e pr o ce ss us d e m o di fic ati on s l o ca le s, m ais si l’ on n e pr en d

pa s de pr éc a ut io ns , on s ’e xp o se à v is it er c yc li q ue me nt un no m bre re s tr ei nt de s ol ut io ns .

Le recuit simulé ou la recherche avec tab ous sont deux techniques de recherche lo cale

qui tentent de remédier à cet inconvénient.

Certaines de ces méthodes, comme le recuit simulé, ont été classées parmi les

techniques d’intelligence artificielle. Cette classi fication est sans doute abusive car

el les sont gu idée s pre squ e ex clu sivem ent par le ha sard — ce rta ins au teu rs co mpa rent

même cette méthode à un amnésique se déplaçant dans le brouillard. D’autres taxent

p eu t- êt re c es m ét hod es du qu al ifi cat if d ’i nt ell ig ent p ar ce q ue, ap rè s u n n ombr e s ou ve nt

impressionnant d’itérations durant lesqu elles elles ont énuméré quantité d e solutions

médio cres voire mauvaises, elles pro duisent une solution de b onne qualité qui aurait

de m an dé un g ro s e ffo rt à un a ct eu r hu main.

Dans son essence, la recherche avec tab ous n’est pas axée sur le hasard, bien que

l’on puisse intro duire des comp osantes aléatoires p our des raisons essentiellement

techniqu e s . L’idée de base de la recherche avec tab ous est d e faire usage de mémoires

lors d’une exploration d’une partie des solutions du problème qui consiste à se déplacer

de solution en solution voisine. Il s’agit donc essent iellement d’une recherche lo cale,

en co mpre nan t ce te rme de ma niè re plus la rge que ce lui de te chn ique d’ amé lio rati on

qu’on lui prête parfois. Cep endant, quelques princip es p ermettant d’effectuer des sauts

- 56 -


da ns l ’e sp ac e de s s ol ut io ns o nt é té pr op o sé s ; da ns ce s en s, la re c he rche avec t ab o us ,

au contraire du recuit simulé, n’est pas une recherche lo cale pure.

2. 3. 2 M ouv em ents, vo is in ag e

À la bas e des re cher ches l o cal es, il y a d onc la d éfini tion d e l’en semb le N ( s) de s

so lut ions vo isi nes de s, ma i s , d ’ u n p oi nt d e v u e pr a t i q u e, o n a u r a i nté r ê t à c o n si d é r e r ,

pl ut ô t q ue l ’e ns emble N ( s), l’ense mble des mo dific ations qu e l’on p eu t app orte r à s .

On app elle mouve ment une mo di fic a ti on a pp o rt ée à une s ol ut io n. Ai ns i , la mo di fic a ti on

d’ un e s ol ut io n du pr ob lè m e de l ’a ffe ct at i on q ua dr at iq ue (vo ir la fig ur e 2 .2 ) p e ut ê tr e

co nsi déré e co mme un mo uve ment, ca rac tér isé par les deux él éme nts à tr ansp os er dans

la p ermu tation . La figure 2.3 donne la structure du voisinage b asé sur les transp ositions

p ou r l ’e ns embl e d es p e rmu tat io ns d e 4 é lé me nts , e t c ec i s ou s l a f orm e d ’u n g ra ph e

do nt l es s om me ts re pr é se nt en t l es s ol ut io ns et l es a rê te s l es v oi sins re l at ive me nt a ux

transp

ositions.

4312

4321

3421

3241

3214

1243

1423

4123

4213

2413

3412

2143

3142

3124

1324

1342

1432

4132

1234

4231

2431

2341

2134

2314

Figure 2.3 – Ensemble des p ermut ations de 4 éléments (rep résenté es par des sommets) avec

relations de voisinage relativement aux transp ositions (rep résenté es par des arêtes).

- 57 -


L’ensemble N ( s) de s s ol ut io ns v oi si ne s de la s ol ut io n s s’ exp rime ra co mme l’ ensemble

des so lut ions ad miss ibl es que l’on p eut ob ten ir en ap pliq uan t à la so lut ion s un

mouvement m appartenant à un ensemble de mou vements M . L’ a p p l i c a ti o n d e m à s

sera no tée s m

et on aura l’ équ ival enc e N (s) = {s 0 |s 0 = s m, m 2 M

}. Expr imer

le voisinage en termes de mouvement p ermet, lorsque c’est p ossible, de caractériser

l’ensemble M pl us f ac il e me nt . Ai ns i , da ns l ’e xe mp le de mo di fic a ti on d’ un e pe rm ut a ti on

do nn é pl us ha ut , M sera ca rac tér isé par l’ ense mbl e des co uple s (p lac e 1, pl ace 2), dont

on tran sp ose les éléments, indép endamment de la solution courante. On p eut noter

que dans le cas des p ermutations avec le s transp ositions, | S |

= n ! et | M |

= n ·( n 1)

2 .

Donc, l’ense mble des solutions est b eaucoup plus grand que celui des mouvements, qui

cr oît co mme le ca rré du no mbre d’ élé ments.

Dans certaines applications cependant, ce tte simplification peut abou tir à la

dé fi nit i on de m ou ve me nts q ui m èn er ai en t à de s s ol ut io ns no n a dm is si bl es et en t ou te

généralité, on a |N (s)| apple | M | , sans p ou r auta nt que | M |

soit b ea uco up plus gr and que

|N (s )|. Pour un prob lème prése ntant p eu de co ntraintes , on a typ iquement |N(s) | =

| M | .

Exemples de voisinages p our problèmes sur des p ermutations. Bi en des

pr ob lè m es d’ o pt im is at io n c om bi na to i re p e uv ent se f or mul e r na t ure l le me nt c om me la

reche rche d’une p ermutation de n él éme nts. Les pro blè mes d’a ffec ta tio n (d ont ce lui de

l’affectation quadratique), celui du voyageur de commerce ou encore des problèmes

d’ o rdo nn a nc em ent de t âche s en f on t pa rt i e. P ou r c es pr ob lè m es , pl us ie u rs dé fi nit i on s

de s ol ut io ns v oi si ne s s ont po s si bl es ; q ue lq ue s e xe mp le s s ont i ll us tr és en fig ur e 2 .4 .

Pa rm i l es vo is i n a g e s l e s p l u s s i mp l e s , o n t r o u ve l ’ i nver s i o n d e d e u x é l é m e nts p l ac é s

suc ce ssi vem ent dans la p er muta tion, la tr ansp osi tio n de deux él éme nts di stin cts et enfin

le déplacement d’un élément à une autre place dans la p ermutation. Naturellement,

se lon le pro blè me que l’on ch erche à ré soud re, des vo isi nag es plus él ab orés te nant mi eux

compte de la structure des bonnes solutions peuvent être envisagés. C’est en particulier

le cas p our le problème du voyageur de commerce, p our lequel les innombrables

vo is i n a g e s p r o p o s é s n e r e p r é s e nt en t p a s d e s o p é r at i o n s s i m p l es , s i l ’o n c o n s i d è r e u n e

so lut ion co mme une p er muta tio n.

1 2 3 4 5 6 9 7 8 1 2 3 5 4 6 9 7 8

1 2 3 4 5 6 9 7 8 1 2 3 7 5 6 9 4 8

1 2 3 4 5 6 9 7 8 1 2 3 7 4 5 6 9 8

Figure 2.4 – Trois voisinages p ossibles sur des p ermut ations (inve rsion, transp osition, déplaceme

nt ).

- 58 -


Le premier type de voisinage donné en e xe mple ci-dessus est le plus restreint

pu is q ue de t ai ll e n 1. L e d e u x i è m e ty p e d é fi n i t u n vo i s i n a g e c o m p r e n a nt n ·( n 1)

2

mouvements et le troisième est de taille n (n 2) + 1. L e s c a p a ci t é s d e c e s d i ve r s ty p e s d e

vo is i n a g e s à s e d i r ig e r e n p e u d ’ it é r a t i o n s ve r s d e b o n ne s s o l u t i o n s s o nt t r è s d i ff é r e nte s ;

le premier type est le plus mauvais pour bien d es problèmes. Le second p eut être

meilleur que le troisième p our certains problèmes (comme l’affectation quadratique),

alors qu e, p our des app l ication s en ordonnancement, c’est le troisième typ e qu i semble

le meilleur [ Tail lar d 90 ], notamment car il p eut être évalué plus rapidement que le

se con d.

2. 3. 3 Éval ua ti on du vo is inage

Po ur q u e l e m o t eu r d e l a r e ch e rch e l o c a l e s o i t e ffi c a ce , i l f a ut q u e l e r a p p o r t e nt r e

la qualité ou l’opp ortunité des mouvements et le temps de calcul néc e ssaire à leur

éval uat ion soit au ssi él evé que p os sibl e. Si la qu ali té d’un type de mo uve ment ne p eut

être ju sti fiée que par le b on sens et de ma niè re em piri que , l’ éval uat ion du vo isi nag e p eut

en revan che so uve nt être co nsi déra ble ment ac cé léré e et ju sti fiée par des co nsi déra tio ns

algébriques : si l’on définit ( s, m ) = f ( s m) f ( s), on arrive d ans bien d es cas à

si mpli fier l’ exp ress ion f (s m ) f (s) et à éval uer ai nsi ra pide ment la qu ant ité ( s, m ).

On p eut faire ic i une analogie avec l’optim isation continue : l’évaluation numérique de

f (s m) f ( s) se rai t le p en dant d’une éval uat ion num éri que du gr adie nt, al ors que le

ca lcu l de la fo nct ion si mpli fiée ( s, m ) se rai t l’ équ ival ent de l’ éval uat ion du gr adie nt

au moyen d’une fonction programmée avec les expressions algébriques des dérivées

pa rt i el le s.

De plus, si à l’itération précédente on a appliqué le mouvement m 0 sur la so lut ion

s , il est souvent p ossible d’évaluer p our l’itération courante (s m 0 , m) en fo nct ion

de ( s, m) (qu e l’on a évalué à l’itération précédente) et d’arriver à un e xame n très

rapide de l’intégralité du voisinage, simplement en mémorisant les valeurs de ( s, m ).

Il se p eut que l’évaluation de (s, m) soit très diffici le et co ûte use à fa ire . Par

ex emp le, p our le pro blè me de di stri buti on de bi ens (v oir se cti on 12 .1) , une so lut ion s

p eu t êt re d e sé pa re r l es b ie ns e n s ou s-e ns emb les d ont l es p o id s n e so nt p as s up é rie ur s

à la capacité des véhicules. Calculer f (s ) supp os e, p our ch acu n de ces so us- ense mbl es,

de t ro uver un o rdr e o pt im al da ns l eq ue l on va dé l iv re r l es bi e ns , ce q ui e st un pr ob lè m e

di ffic il e en s oi ( voya ge ur de c om me rc e ) ; do nc , le c al cu l de

f (s), e t pa r c on s éq u ent

ce lui de ( s, m), n e p e uv ent ê t r e ra i so n na b l em e nt i ma g in é s p o u r to u t mo u ve me nt

él igi ble (c ’es t-à -di re ap part ena nt à M ) ; il s p ourra ient éventuel lement l’être p our

ch aq u e m o u ve m e nt é l u ( e ffe c t i ve m e nt r éa l i s é ) m a i s, e n p r at i q u e , o n d e v r a s e c o nt ent e r

de c al cu le r la v ra ie va le ur de f ( s) p ou r u n no mb re t rès r es tr eint d e s ol uti on s. O n s e

limitera donc souvent à évaluer ( s, m) de f aç on a ppr o xi ma ti ve, m ai s en inv es ti ss a nt

un e ffo rt de c al cu l t rè s l im it é.

Exemple de simplification algébrique p our l’affectation quadratique.

Comme

toute p ermutation est une solution admissible du problème d’affectation quadra-

tique, la mo délisation est triviale. Pour le choix du voisinage, on p eut se rend re compte

que déplacer l’élément en i ième p os it io n d ans l a p e rmu tat io n p o ur l e m ett re e n j ième

- 59 -


implique une mo dification très imp ortante de la solution, c ar tous les éléments entre

le i ième et le j ième sont dé plac és . L’ inver sio n des ob je ts en i ième et i + 1 ième p os it io n

da ns la p e rm ut at ion e ng en dr e un v oi si na g e t ro p re s tr ei nt . En ré a li té , si l ’o n dé s ir e se

limiter à des voisinages ne mo difiant que les sites attribués à deux éléments, on p eut

se ule ment en vis age r de tr ansp os er les él éme nts i et j o cc up ant l es s ite s pi et pj . On

p eu t é va lu er ch ac un d e c es m ou ve ment s e n O (n ) (où n est la ta ill e du pro blè me) . Avec

de s m at ri ce s de flo t s F = (fij ) et de di sta nce s D = (d rs), la valeu r d’un mo uvement

m = ( i, j ) sur une so lut ion p est do nnée par :

(p, (i, j )) = (fii f jj )(dp jp d j p i pi ) + (fij f ji )(dpj d pi pip ) j

+ k6=i,j (f jk f ik )(dpi pk dpjpk ) + (f kj f ki )(dpkpi dpkpj )

(2.1)

Si à une i té ra ti o n on e st pa s sé de la s ol ut io n p à la sol utio n q en éc han gea nt les

ob jets r et s, i. e . q k = p k , (k 6 = r, k 6 = s), qr = ps , q s = pr et que l’on a mé mori sé la

val e ur (p, ( i, j)) d’ un m ou ve me nt ( i, j ) qu i a été écarté, alors on p eut calculer en

O(1) la valeur de (q, (i, j )) lorsque

i 6= r, s et j 6= r, s :

(q, (i, j )) = (

p, (i, j ))

+(fri f rj + fsj f d si)(dqsqi qsqj + dqr d qj qr qi )

(2.2)

+(fir fjr + fjs fis)(dqiqs dqjqs + dqj qr dqiqr )

La figure 2.5 illustre les mo difications qu’il faut app orter à (p, (i, j )) p o ur ob te ni r

(q, (i, j )) si le mo uve ment re tenu p our pa sse r de p à q est (r, s). Il est à noter ici

que l’on peut considérer le problème d’aff

ectation quadratique comme celui de la

p er mu ta tio n de s li gn es e t co lo nne s de l a m at ric e de s di st an ces , de s ort e qu e le pr o du it

sc ala ire des deux ma tric es soit au ssi p et it que p os sibl e.

r

s

r

s

r

s

( r, s)

r

s

i

i

j

j

Figure 2.5 – À gauche : en grisé les éléments p our lesquels il faut recalculer le produit scalaire

de matrices p our évaluer le mouve ment (r, s) appliqué à p (donnant la solut ion q ) ; à droite : on

a entouré les éléments p our lesquels il faut recalculer le produit p our évaluer le mouve ment (i, j )

appliqué à q par rapp ort à ceux qui ont été calculés si on avait appliqué le mouve ment (i, j ) à p .

Pa r c o n s éq u e nt , e n m é m or i s a nt p o ur t o u t i et j les valeu rs de (p, (i, j )) , o n

p eu t ca lc ul er e n O (n 2 ) l’ensemble du voisinage : en utilisant l’équation 2.2 on p eut

éval uer les O( n 2 ) mouvements ne faisant pas intervenir les indices r et s et en ut ilis ant

l’équation 2.1, on p eut évaluer les O ( n ) mouvements qui font précisément intervenir

ces in dice s.

- 60 -


2. 3. 4 Li mi ta ti on du voi si na ge : l ist e de m ouvem ents c and id ats

En t ou te g én ér al it é , une re che rc h e lo c al e ne c on si dè re pa s f or cé me nt à cha q ue

itération l’ensemble des solutions de N ( s) mais seulement un sous-ensemble. Le recuit

simulé se co nte nte même d’un seul vo isi n. Au co ntra ire , la re che rche avec tab ous est

ce nsé e fa ire un choix “i nte lli gent” d’une so lut ion de N (s ). U ne m a n iè r e d’ a cc é l ér e r

l’examen du voisinage est de réduire sa taille ; cette réduction p eut aussi avoir c omme

autre but de diriger la recherche.

Po ur r é d ui r e le n o mb r e d e s o l u t io n s é li g i b l es d e N (s), un e so l ut io n ad o pt ée p a r

ce rta ins au teu rs est de ti rer al éat oir eme nt dans N (s ) un no mbre de s ol ut io ns bi e n

pl us p e ti t q ue |N(s ) |. Lo r s qu ’ o n a u n voi s in a g e d on n é p a r un en s emb l e s ta t i qu e M de

mouvements, on p eut aussi considérer une partition de M en so us- ense mbles ; à cha que

itération, un se u l de ces sous-ensembles sera examiné. De cette manière, on réalise un

ex ame n pa rtie l mais cy cli que du vo isi nag e, ce qui p er met tra d’ éli re plus ra pide men t un

mouvement, au détriment de sa qualité puisque tous les mouvements ne sont pas pris

en considération à chaque itération. Cep endant, à un niveau global, cette restriction

p eu t ne p as avo ir u ne i nfl ue nce tr op n éf as te s ur l a q ua lit é de s so lu ti ons pr o du it es, c ar

un e xa me n pa rt i el p e ut e ng en dr er une c er ta in e di v er si té da ns l es s ol ut io ns v is it ée s ,

pr éc i sé me nt pa rc e q ue de s m ou ve me nts q ui o nt é té é lu s ne l ’a ur ai en t j am ai s é té avec

un e xa me n c om pl et du v oi si na g e.

Finalement, et c’était l’intuition de F. Glover lorsqu’il a prop osé le concept de

liste de mouvements candidats, on p eut faire l’hyp othèse qu’un mouvement de b onne

qualité p our une solution re stera b on p our des solutions pas trop différentes. Pour

mettre en pratique cette idée, il convient de classer, à une itération donnée, l’ensemble

de t ou s l es m ou ve me nts ré a li sa bl es pa r q ua li té dé c ro is sa nt e . P en da nt l es q ue lq ue s

itérations ultérieures, seuls s eront considérés les mouvements classés parmi les meilleu rs ,

d’ o ù l ’i nt ro du ct io n d’ un e s tr uc tu re de do nn é es a pp e lé e liste de mouve ments candidats.

Naturellement, le classement des mouvements se dégrade au cours de la recherche,

pu is q ue l es s ol ut io ns s on t de pl us en pl us di ffé re nt es de la s ol ut io n avec l aq ue ll e on a

pr o c éd é au c la ss em e nt , et il f au t p é ri o di q ue me nt éva lu er c om pl èt e me nt le v oi si na g e

p ou r co ns erve r u ne l is te d e c an did at s c onven ab le .

Cep endant, p our certains problèmes, on p eut considérer une liste de candidats

st ati que . Par ex emp le, une te chn ique fr équ emme nt ut ilis ée p our ac cé lére r l’ éval uat ion

du v ois in ag e p o ur un pr ob lè m e e uc li di en de voya ge ur de c om me rc e ou d’ é la b o ra ti on de

tournées de véhicules e s t de ne considérer, p our chaque ville, que les x villes les plus

pr o c he s, avec x ty pi q u e m e nt l i m i t é à q u e l q u es d iz a i n e s . A i n s i , l a t a i l le d u vo i s i n a ge

cr oît li néa irem ent avec ce lle du pro blè me. Une re che rche tab ou ut ilis ant ce pri nci p e a

été app el ée recherche tabou granulaire [Toth et al. 03].

2. 3. 5 E xte ns io n d’ un voi si na ge : c haî ne d’ éj ec ti on s

Une chaîne d’éjections est une te chn ique p our cr éer des vo isi nag es p ot ent iel lem ent

intéres s ants, p ermettant d’eff

ectuer en un seul mouvement une mo dification substan-

tielle d’une solution . L’idée à la base des chaînes d’éjections est de retirer un élément

d’ un e s ol ut io n p o ur le ré - in sé re r a il le ur s, en re t ir an t au b e so in un a ut re é lé me nt , et de

- 61 -


rép éter ainsi une suite d’éjections et de réinsertions. On passe ainsi par des solutions

qui ne sont pas réalisables, app elées par Fred Glover des structures de référence.

Voisinage de Lin & Kernighan p our le voyageur de commerce La techni

q ue de cha î ne d’ é je ct i on s la pl us c on nu e e st s an s do ut e c el le de L in & Ke r nig h an

[ Lin et al. 73] p ou r le pr o b l è m e d u voya g e u r de c o m m e r c e . L ’ i d é e e s t l a s u i va nt e : on

en lève une ar ête à une to urné e val ide p our ob ten ir une ch aîne (un ch emi n non or ient é) .

Une des extrémités de la chaîne est reliée à un sommet interne. On obtient ainsi un e

st ruct ure de ré fér ence co nst itué e d’un cy cle sur un so us- ense mbl e de so mme ts qui est

relié à une chaîn e comprenant les somme ts restants. En retirant une arête du cycle

incidente au sommet de degré 3, puis en a joutant une arête re liant les sommets de

de g ré 1, on o bt ie nt une no uve ll e t ou rné e va li de . Une t el le mo di fic a ti on c or re sp o nd au

traditionnel mouvement de type 2-opt.

Où cela devient intéressant, c’est que l’on p eut éjecter en chaîne de s arêtes : d’une

st ruct ure de ré fér ence , on p eut ob ten ir une au tre st ruct ure de ré fér enc e en sup prim ant

une a rê te du c yc le re l ia nt le s om me t de de g ré 3 — on o bt ie nt à no uv e au une c ha în e

sur l’ ense mbl e des so mme ts — et en re lia nt le so mme t de de gré 1 ai nsi créé à un

autre sommet à l’intérieur de la chaîne. Pour guider la chaîne d’éj ection s et déterminer

quand s’arrêter, les rè gles suivantes sont appliquées :

– Le p oids d e s structu re s de ré férence créées doit être inférieur au p oids de la

tournée de départ.

– On n’enlève pas une arête qui a été une fois a joutée lors de la chaîne d’éjections.

– On ne ra joute pas une arête qui a été une fois e nlevée dans la chaîne d’éjections.

– La chaîne d’éjections s’arrête dès que l’on p eut mo difier la stru cture de référence

en une to urné e de p oids plus fa ibl e que la to urné e de dé part , ou lo rsq u’on ne

trouve plus d’arête convenable à a jouter ou à enlever.

Le pro cessus est illustré en figure 2.6.

2.4 Mémoire à court terme

Lorsqu’on veut faire usage de mémoire dans un pro cessus itératif, la premiè re

idée qui vient à l’esprit est de vérifier si une solution du voisinage a déjà été visitée.

Cep endant, cette idée p eut être difficile à mettre en pratique et de surcroît s’avérer

p eu effi ca ce , vo ire m auva is e. E n e ffe t, c ela s up p os e d e mé mo ri ser ch aq ue s ol uti on q ue

l’on a visitée et de tester à chaque itération et p our chaque solution éligible s i cette

dernière a déjà été énumérée. Ceci p eut éventuellement se faire de manière efficace en

ut i li sa nt de s t ab le s de ha c ha ge , m ai s on ne p e ut écha pp er à une c ro is sa nc e de la pl a ce

mémoire qui augmente linéairement avec le nombre d’itérations effectuées.

De plus, l’interdic tion pure et simple de solutions p eut mener à des absurdités :

supp os ons que l’ ense mbl e des so lut ions ad miss ibl es pui sse être re prés enté par les p oi nts

à c o o r d on n é e s en ti è r e s dé l i m it é s p a r un e s u r fa c e d a ns l e p l a n et q u e l ’ on p u i s se s e

dé p la ce r de n’ i mp o rt e q ue ll e s ol ut io n a dm is si bl e à n’ i mp o rt e q ue ll e a ut re en e ffe ct ua nt

de s dé p la ce me nt s d’ un e un it é de l on gu eu r. D an s ce c as , on p e ut f ac il e me nt t ro uv er

de s tra j ec to i re s q ui dé c on ne ct e nt la s ol ut io n c ou ra nte d’ un e s ol ut io n o pt im al e ou q ui

- 62 -


bl o q ue nt la re che rc h e i té ra ti v e f au te de s ol ut io ns vo is in es a dm is si bl es , à c au se de

l’interdiction de passer par une solution déjà visitée. Cette situation est illustrée, très

sché mat ique me nt, dans la figure 2. 7.

Figure 2.6 – Le voisinage de Lin & Kernighan p our le voyageur de commerce p eut être vu

comme une chaîne d’éjections : Pour initier la chaîne, on retire une arête à la tournée de départ

(a) p our obtenir une chaîne (b). Cette chaîne est ensuite transformée en une stru cture de référence

(c) de p oids plus faible que la tournée de départ en ajoutant une arête. À partir de la stru cture de

référence (c), on p eut obtenir soit une autre tournée (d), soit une autre stru cture de référence (e)

en remplaçant une arête par une autre arête. Le proc essus p eut ainsi se propager p our cons truire

des solutions de plus en plus différentes de celle de départ. La solution (d) fait partie des solutions

voisines de (a) dans le voisinage 2-opt, la solution (f ) dans le voisinage 3-opt et la solution (h)

dans le voisinage 4-opt

2. 4. 1 Tab le de ha ch ag e

Une première idée, très facile à mettre en œuvre p our diriger une recherche itérative,

est d’ inte rdir e le re tou r à une so lut ion dont la val eur a déjà été ob ten ue au co urs

de s t de rn iè re s i té ra ti o ns. On pr év i en t a in si t ou t c yc le de l on gu eu r t ou moins. Ce

ty p e d ’ in te r d i c t i on p eu t ê tr e i m pl a nt é d e m a ni è r e e ffi c a c e : s o it

M , un no mb r e e nt i e r,

relativem e nt grand, tel qu’il soit p ossible de mémoriser un tableau T de M enti ers

da ns la m ac hi ne sur l aq ue ll e on t ra va il le .

- 63 -


Figure 2.7 – Trajectoires blo quant la rech erche ou la déco nnectan t de la solution optimale

dans une rech erche avec tab ous stricts.

Si f (s k ) est la val eur supp os ée en tiè re de la so lut ion s k à l ’ it é r a t i o n k , c e q u i n’ e s t p a s

restrictif lorsqu’on travaille sur un calculateur, on mémorisera dans

T [ f (sk ) mo dulo M ] la valeur k + t . S i un e s ol u t io n s 0 du v oi sina g e po t en ti el de

la solution à l’itération k 0 est te lle que T [f (s 0 ) mo dulo M )] > k 0 , s 0 ne s er a pl us c on si -

dérée comme une solution éligible. Cette manière efficace de mémoriser les solutions

interd ite s n e fait qu’appro cher l’intention d’interdire des solutions selon leur valeur

pu is q ue no n s eu le me nt t ou te s ol ut io n d’ un e va le ur do nn é e e st i nt er di te p en da nt t

itérations, mais aussi toutes celles qui ont cette valeur mo dulo M . Néanmoins, on ne

co nst ate en pra tiq ue qu ’une très fa ibl e mo di ficat io n du co mp or tem ent de la re che rche,

si M est ch ois i suffisa mme nt gr and. Un b én éfic e co lla té ral de ce dé fau t est la sup pres -

sion de mo uve ments à coût nul, qui p euvent fa cil eme nt pi ége r une reche rche lo ca le sur

un pl a te au .

Ce type d’interdiction ne p eut fonctionner que si la fonction ob jectif a une grande

étendue de valeurs. Cep endant, on rencontre fréquemment des problèmes où la fonction

ob jectif ne prend qu’un nombre restreint de valeurs. On p eut contourner la difficulté en

asso ciant, à la place de l’ob jectif, un e autre fonction prenant une plage de valeurs très

large. Dans le cas d’un problème s ur des p ermutations, on p eut donner en exemple la

f on ct io n de ha c ha ge : n

i=1 i 2 · p i qui prend un nombre p otentiel de valeurs diff

érentes

pr op o rt io n ne l à O ( n 4 ).

P lu s g én ér al e me nt , da ns le c as où un e s ol ut io n du pr ob lè m e p e ut ê tr e e xp ri mé e

sous la fo rme d’un vec te ur x de va ri ab le s bi na i re s, on p o urr a pr en dr e la f on ct io n de

ha cha g e n

i=1 zi · x i , avec zi une s ui te de n no mbr es t ir és a lé at o ir em ent en dé b ut de

reche rche [Wo o druff et al. 93].

L’usage de fonctions de hachage pou r réaliser un mécanisme d’interdiction de

mouvement requiert de p orter son attention sur trois p oints. Premièrement, comme

dé j à m en ti on né , il f au t q ue la f on ct io n ut i li sé e pr en ne un va st e é ve nt ai l de va le ur s

p os si bl es . D eux iè me me nt , l ’éva lu at io n d e l a f onc ti on d e h acha ge p o ur u ne s ol uti on

- 64 -


vo is i n e n e d o i t p a s d e m a n d e r p l u s d ’ e ff o r t d e c a l c u l q u e l ’ éval u a t i o n d e l ’ o b j e c t i f . D a n s

le cas de problème s sur des p ermutations avec les transp ositions comme structure de

vo is i n a g e , l e s f o n c t i o ns m e nt i o nn é e s p l us h a u t p eu ve nt ê t r e é val u é es e n t e m p s c o n s t a nt

p ou r ch aq ue s ol uti on vo isi ne , s i l’ on c on naî t l a val eu r d e l a fo nc ti on d e h acha ge p o ur

la solution de départ. Troisièmement, il faut remarquer qu e , même avec une table de

ha cha g e t rè s g ra nd e, l es c ol li si o ns ( so lu ti on s di ffé re nt es do nt la va le ur de ha c ha ge e st

identique) sont f ré quentes. Ainsi, p our un problème sur des p ermutations de taille

n = 100, avec l e s t r a n sp o s i t i on s c o m m e s t ru c t u r e d e voi s i n a ge , e nv i r on 5 s o l u t i on s d u

vo is i n a g e d e l a s ol u t i o n à l a d e ux i è m e i t é r a t io n e nt re r o nt e n c ol l i s i o n ave c l a s o l u t i o n

de dé p ar t si l ’o n ut i li se une t ab le de 10 6 él éme nts. Pour di minue r effica ce ment le ris que

de c ol li si o n, on a ura i nt ér êt à ut i li se r pl us ie u rs f on ct io ns de ha c ha ge et pl us ie u rs t ab le s

simul tané men t [Tai lla rd 95 ].

2. 4. 2 Li st e d’ at tri bu ts tab ous

Comme il p eut être inefficace de restreindre le voisinage

N (s) à de s so lu ti on s

no n e nc or e v is it ée s , on t ra va il le pl ut ô t au ni v ea u de l ’e ns em bl e M de s m ou ve me nts

applicables à une solution. Cet ensemble est souvent de taille relativement mo deste

(typiqueme nt de taille O ( n) ou O(n 2 ) si n est la ta ill e du pro blè me) et doit p os séd er

la caractéristique de connexité, c’e st-à-d ire d e p ouvoir mene r à une solution optimale

en pa rtan t de n’ impo rte qu ell e so lut ion ad miss ibl e. Dans un pre mie r te mps , p our

si mpli fier, nous supp os ero ns qu ’il b én éfic ie en cor e de la pro prié té de rév er sib il it é :

il doit exister p our tout mouvement m applicable à une solution s un m ou ve me nt

m 1 tel que (s m

) m 1 = s. Comme il est stupide d’effectuer

m 1 j us te a prè s

avo ir e ff e c t u é

m , on p eu t donc dans to us le s cas li mite r l’en semb le de s mouvements

applicables à s m

à c eu x di ff ér e nt s de m 1 . D e pl us , c el a é vi t e de v is i te r c yc l iq ue m ent

s et s m

au cas où s se rai t un mi nimu m lo cal de la fo nct ion re lat ive ment au vo isi nag e

ch oi s i e t o ù l e m e il l e u r vo i s in d e s m

se rai t pré cis éme nt s.

En g én ér al is a nt c et te t echn iq ue de re s tr ic ti on du vo is in ag e , c ’e st -à - di re en i nt er di sa nt

p en da nt p lu si eur s it ér at ion s d’ eff ec tue r l ’inve rse d’ un mo uve ment qu i vi ent d ’ê tre f ait ,

on emp êch e d’autres cycles mettant en jeu un nomb re plus imp ortant de solutions

interméd iaire s. On esp ère ainsi que la solution se soit suffi

samment mo difiée, lorsqu’on

p ou rr a à n ou ve au eff ec tu er l’ inve rs e d ’un m ou ve me nt , p o ur qu ’i l s oi t i mpr ob ab le —

mais non imp ossible — de retourner à une solution déjà visitée. Si tel était néanmoins

le cas, on esp ère que l’ensemble des mouvements interdits aura changé, donc que la

tra jectoire future de la recherche se mo difiera. Le nombre de mouvements interdits

do i t re s te r a ss ez re s tr ei nt , c ar , si l ’o n s upp o se q ue M ne dé p e nd pa s de la s ol ut io n

co ura nte, il est ra iso nnab le de n’ inte rdir e qu ’une fr act ion des mouvem ent s de M . Il

s’ agi t donc d’une mé moi re à co urt te rme , p or tant ty piq ueme nt sur qu elq ues uni tés ou

quelques dizaines d’itérations .

Po ur l a c o m m o di t é d u p r op o s , n o u s avo n s s u p p o s é q u e l e s m o u ve m e nt s i nve r s e s d e

ceux qui ont été effec tué s sont mé mori sés . Cep en dant , il n’ est pas to ujo urs p os sibl e ou

év ide nt de dé finir l’ inverse d’un mo uve ment. Pr eno ns l’ exe mpl e d’un pro blè me où il

s’ agi t de tr ouve r une p ermut ati on op tim ale de n él éme nts. Un type de mo uve ment

p ou vant pa ra ît re ra is on nab le e st de t ra ns p ose r l es é lé ment s i et j de la p e rmut a ti on

- 65 -


(1 apple i < j apple

n ). D an s c e c a s , l ’ e n s e mb l e M de s m ou ve me nts a ppl i ca bl es à une s ol ut io n

quelconque est donné par l’ensemble des couple s (i, j ). Ma is , si l ’o n effe ct ue p ar l a su ite

le mouvement ( i, k), l’interdict ion de ( i, j ) emp êchera de vi sit er ce rta ine s so lut ions

sans p our au tan t prévenir des phé nom ène s de cy cla ge : en effet, les mo uve ments

( i, j)(k , p )(i, p)( k , j )(k , i )(j , p ) appliqués succe ssivement ne mo difient pas la solution. Il

ne f au t do nc pa s f or cé me nt é vi te r de f ai re l ’i nv er se d’ un m ou ve me nt t ro p ra pi de m en t,

mais interdire de reprendre certains attributs de ces mouvements ou des solutions.

Dans l’exemple pré c édent, si l’on nomme p i la place de l’élément i à un e i t é r a t io n , c e

n’ e st pa s le m ou ve me nt ( i, j) qu’il faut interdire lorsqu’on vient de l’effectu e r, mais

c’ est , par ex emp le, de re met tre si mult ané ment l’ élé men t i à la place p i et l’ élé men t j

à la plac e p j . On se pr éservera ai nsi au mo ins de s cycl es de lo ngueu r plus p eti te ou

ég ale au no mbre de mo uve ments in terd its .

2. 4. 3 Du ré e des inte rd ic ti ons

De manière générale , la mémoire à court terme interdira d’eff

ectuer certains

mouvements en sto ckant directement des mouvements ou indirectement des attributs

de m ou ve me nt ou m êm e de s a tt ri bu ts de s ol ut io n, v oi re de s s ol ut io ns da ns c er ta in s

ca s. Si l’on se re prés ent e le pro blè me d’ opti mis ati on co mme un pa ysa ge b orné par

un t er ri to ir e q ui dé fi nir a it l es s ol ut io ns a dm is si bl es et où l ’a lt it ud e c or re sp o nd ra it à

la valeur de la fonction ob j ectif, l’effet de cette mémoire est de visiter des vallées,

(sans forcément se trouver toujours dans le fond de celles-ci du fait de l’interdiction de

ce rta ins mo uve ments) et, au ha sard de co ls pas trop él evé s, de pa sse r dans une au tre

val l ée .

P lu s le no m bre de m ou ve me nts i nt er di ts e st é le vé , pl us on a ura de c ha nc es de

franchir des cols, mais moins on visitera de manière approfondie les vallées. Inversement,

si les mo uve ments sont in terd its p en dant qu elq ues it éra tio ns se ule ment , les mo nta gne s

ento uran t les val lée s au ront p eu de ch anc es d’ être fr anc hies car il ex ist era pre squ e

sûr eme nt un mo uve ment au tori sé qui mè nera à une so lut ion pro che du fond de la val lée ;

mais, en contrepartie, le fond de la première vallée visitée sera vraise mblablement

trouvé.

P lu s f or me ll em e nt, p o ur un t rè s p e ti t no m bre de m ou ve me nts i nt er di ts , la re c he rche

itérative aura tendance à visiter toujours les mêmes solutions. Si ce nombre augmente,

la prob abilité de rester prisonnie r d’un en semble très restreint de solutions diminue

et, par conséquent, la probabilité de visiter plusieurs b onnes solutions augmente. Il

ne f au t c ep e nd an t pa s q ue le no m bre de m ou ve me nts i nt er di ts s oi t t ro p g ra nd , c ar ,

da ns ce c as , il de v ie nt t rè s p eu pr ob a ble de t ro uver de b o ns o pt imums lo c au x, f au te

de m ou ve me nts di s p o ni bl es . La re che rc h e e st en q ue lq ue s or te di ri g ée pa r l es ra re s

mouvements autorisés plutôt que par la fonction ob jectif.

La figure 2.8 illustre ces phénomènes dans le cas du problème d’aff

ectation quadra-

tique : p our chacun des 3000 exemples de taille 12 tirés aléatoirement, on a effectué

50 itérations d’une recherche avec tab ous. En fon ction du nombre d’itérations durant

lesquelles un mouvement inverse est interdit, cette fi gu re donne les deu x statistiques

suivan tes : pre miè rem ent , la val eur moyenne de to ute s les so lut ions vi sit ées dur ant la

recherche et, secondement, la valeur moyenne de s meilleures solutions trou vées par

- 66 -


ch aq u e r e ch e r che . O n r em a r q u e q u e l a p r em i è r e s t a ti s t i q ue c r oî t avec l e n o mb re d e

mouvements interdits, ce qui signifie que la qualité moyenne des solutions visitées

ba i ss e. P ar c on tr e, la q ua li té de s m ei ll eu re s s ol ut io ns t ro uv ée s s ’a mé li o re avec l ’a ug -

mentation du nombre de mouvements interdits, ce qui traduit le fait que l’on arrive

de m ie ux en m ie ux à s ’é ch ap pe r d’ o pt im um s lo c au x pl us ou m oi ns m au va is ; e ns ui te ,

leur qualité se détériore, mais avec une tendance b eaucoup plus faiblement marquée.

On en déduit que ce nombre doit être soigneusement choisi, en fonction du problème

traité, de la taille du voisinage et du p rob lè me , du nombre total d’itérations effectuées,

etc. Il est relativement aisé de déterminer l’ordre de grandeur à donner au nombre

de m ou ve me nts int er di ts , m ai s la va le ur o pt im al e de ce no m bre ne p e ut ê tr e t ro uv ée

autrement qu’en essayant tous les nombres p ossibles.

Valeur des solutions

267500

265000

262500

260000

Moyenne de toutes les solutions visitées

Moyenne des meilleures solutions trouvées

257500

255000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Nombre de mouvements interdits

Figure 2.8 – Influence du nombre d’itérations p endant lesquelles on interdit les mouve ments.

Interdictions p endant des durées aléatoires. Po ur b én é fi c i e r à l a f o is d e s avan -

tages d’un p etit nombre — p our visiter une vallée de manière approfondie — et d’un

grand nombre de mouvements interdits — p our p ouvoir s’échap p er des vallées —, on

aura intérêt à mo difier ce nombre au cours de la recherche. Plusieurs p olitiques p euvent

être en vis agé es p our le ch ois ir : par ex emp le, il p eut être tiré al éat oir eme nt, à ch aqu e

itération ou aprè s un certain nombre d’itérations, entre des b ornes inférieures et sup é-

rieures, ces b ornes étant souvent facilement identifiables ; il p ourra aussi être augmenté

ou diminué sur la base de critères récoltés durant la recherche, etc. Ces différentes

tactiques ont été utilisées dès la fin des années 80 [ Tail lar d 90, Tail lar d 91, Tail lar d 95].

E ll es ont c om pl èt e me nt o c cu lt é l es l is te s de t ab o us de t ai ll e fix e ( so uve nt i mpl a nt ée s

sous la fo rme d’une li ste ci rcul air e, même si ce n’ est de loin pas la me ill eure fa ço n de

pro c éd er da ns bi e n de s c as , c om me on le v er ra da ns le pa ra g ra ph e 2 .5 .2 ) .

- 67 -


25

Delta

20

15

10

5

0

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Taille minimale

Figure 2.9 – Effet d’un tirage aléatoire du nombre d’itérations p endant lesquelles on interdit des

mouve ments (p our des problèmes d’affectation quadratique de taille 15 tirés aléatoire ment). Le

nombre d’itérations pendant lesquelles on interdit l’inverse d’un mouve ment est tiré aléatoire ment,

uniformément entre une valeur minimale et cette valeur augme ntée de Delta. La taille des disques

croît avec le nombre moyen d’itérations néce ssaires p our la résolution des problèmes jusqu’à

l’optimum. Un cercle indique qu’un phén omène de cyclage est apparu. La taille des cercles est

prop ortionnelle au nombre d’exemples de problèmes qui ont été résolus optimale ment.

Toujo urs p ou r le pro blè me d e l’ aff

e ctat ion qua drat iqu e, l a fig ure 2.9 don ne l e

no mbre m oyen d’ i té ra ti on s né c es sa i re s à la ré s ol ut io n de 5 00 e xe mp le s de pr ob lè m es

de t ai ll e 15 g én ér és a lé at o ir em en t l or sq ue la po l it iq ue du no m bre de m ou ve me nts

interd its est de choisir ce nombre aléatoirement entre une valeur minimale et cette

val e ur au gm ent ée de D el t a. La s ur f ac e d es d i sq ue s n oi r s dé p en d du n o mbr e moyen

d’ i té ra ti on s né c es sa i re s p o ur o bt en ir l es s ol ut io ns o pt im al es de s 5 00 pr ob lè m es . Un

ce rcl e vide in diqu e qu ’au mo ins un des pro blè mes n’a pas été ré sol u op tim ale ment .

La surface de ces cercles est prop ortionnelle au nombre de problèmes p our le s qu e ls il

a été p os sible d e trouver l’o ptimu m. Pour D el t a = 0 , c’ est-à -dir e lorsq ue le no mbre

de m ou ve me nts int er di ts e st c on st ant, de s c yc le s a ppa r ai ss en t m êm e p o ur de s du ré e s

d’ i nt er di ct io n re l at iv e me nt g ra nd es . En re va nc he , l ’i nt ro du ct io n d’ un D el t a p os it if ,

même très p etit, p ermet de se prémunir b eaucoup plus sûrement contre les cycles.

Comme on a pu le constater en figure 2.8, plus la durée des interdictions est faible, plus

le nombre moyen d’itérations p our obtenir l’optimum est faible. Cep endant, au-dessous

d’ un c er ta in s eu il , de s c yc le s a ppa r ai ss ent, s an s q ue l ’o n pa s se pa r l ’o pt imum. P ou r

de s ra i so ns de ro bu st e ss e, on e st do nc c on tr ai nt de c ho is ir de s du ré e s d’ i nt er di ct io n un

p eu p lu s g ra nd es qu e l a val eu r o pti ma le ( p our c et te t ail le d e p ro blè me i l s emb le qu e

- 68 -


ce soit [7, 28] (t ail le mi nima le = 7, Delta = 2 1), m ais on r ema rque q ue p o ur [8 , 28] un

cy cle est ap paru ).

Cette p olitique de choix aléatoire du nombre de mouvements interdits p eut donc

di ri g er la re che rc h e a ut om at iq u em ent et de m an iè re a ss ez s ûre v er s de b o nne s s ol ut io ns .

Notons qu’un tel mécanisme p ourrait être qu alifi é de myop e car il e s t dirigé princ i-

pa l em ent pa r la va le ur de la f on ct io n ob j ec ti f . B ie n q u’ il f ou rn is se de s ré s ul ta ts t rè s

en cou rag eants vu sa si mpli cit é, il ne p eut être co nsi déré co mme un moyen in tel lig ent

de di ri g er la re c he rche , m ai s do i t pl ut ô t ê tr e vu c om me une ba s e, s im pl e à i mpl a nt er,

p ou r le m ot eu r d e l a r ech erch e.

Implantation de mémoire à court terme p our le problème de l’affectation

quadratique. Une solution du problème d’aff

ectation quadratique p eut se repré -

senter sous la fo rme d’une pe rmut ati on p de n él éme nts. Un typ e de mo uve ment

très fréquemment utilisé p our ce problème est de transp oser les p ositions de d e u x

ob j ets i et j . En effet, il est p ossible d’évaluer efficacement, en O (n 2 ), l’ensemble des

mouvements applicables à une solution.

Comme cela a été discuté plus haut, une technique p our diriger la recherche à

co urt te rme est d’ inte rdir e p en dant t itérations d’eff

ectuer le mouvement inverse de

ce lui que l’on vi ent de fa ire . Si l’on ap pliq ue le mo uve ment ( i, j) à la p ermutation p ,

on définit par mouvement inverse un mouvement qui place à nouveau l’ob j et i sur le

site p i et l’ob jet j sur le site p j . Il y a d’autres définitions p ossibles de l’inverse d’un

mouvement, mais celle-ci est une des plus efficaces p our emp êcher des cycles et se révèle

la moins sensible à la valeur du paramètre t co rre spon dant au no mbre d’ ité rati ons

p en da nt l es que ll es o n s ’i nt erd it d ’e ffe ctu er l ’i nver se d ’u n m ou ve ment . U ne va le ur d e t

fix e ne pro du it pa s une re c he rche t rè s ro bu st e , c ar de s c yc le s p e uv ent a ppa r aî tr e (vo ir

fig ur e 2 .9 ) m êm e p o ur de s t assez grands. Pour faire face à ce problème, il est p rop osé

da ns [ Tail lar d 91] de tirer t aléa toirement, uniformément entre b 0.9 · nc etd1 . 1 · n + 4e .

En e ffe t, une du ré e d’ i nt er di cti on é ga le à la t ai ll e du pr ob lè m e, ou l ég èr em e nt pl us

grande p our de p etits exemples, semble assez b onne, exp érimentalement. D’où l’idée

de t ir er la va le ur de t de f aç on dy na m iq ue en c ou rs de re c he rche , en c ho is is sa nt une

val e ur m oyen n e u n p e u e n d eç à d e c e ll e qu i e st id éa l e d a ns l e c as s t at iq ue .

En pr at i qu e, p o ur i mpl a nt er le m éc an is me d’ i nt er di ct io n, on ut i li se ra une m at ri ce

T do nt l ’e nt ré e tir do nn e ra le nu mé ro de l ’i té ra ti o n à l aq ue ll e l ’é lé me nt i a ét é dé pl ac é

la dernière fois du site r (p our aller sur le site pi ), numé ro auquel on au ra a jouté la

du ré e t de s i nt er di ct io ns . Ai ns i , le m ou ve me nt (i, j ) sera in terd it si les deux en tré es

t ip j et t jpi conti enne nt des val eurs sup ér ieur es au num éro de l’ ité rat ion co ura nte.

Illustrons l’exé cution d’une recherche avec tab ous p our le p etit exemple 5 ⇥ 5 de

pr ob lè m e d’a ffe ct at i on q ua dr at iq ue c on nu da ns la l it té ra tu re s ou s le no m de NU G5 ,

ave c d e s m a tr i c e s d e fl o t s F et de di sta nce s D :

⎛

⎞ ⎛

⎞

0 5 2 4 1

0 1 1 2 3

5 0 3 0 2

F =

⎜

2 3 0 0 0

⎟

⎝

4 0 0 0 5 ⎠ , D = 1 0 2 1 2

⎜

1 2 0 1 2

⎟

⎝

2 1 1 0 1 ⎠

1 2 0 5 0

3 2 2 1 0

- 69 -


Avec d es d uré es d’ int er dic tio n fixé e à t = 5 itération s , l’évolution de la recherche avec

tab ous sera la suivante.

Itération 0. Su pp o so ns q ue la re c he rche pa rt e de la s ol ut io n i ni ti al e

p = (5, 4, 3 , 2 , 1), c e q u i s i g n ifi e q u e l e p r e m i e r é l é m e nt s e r a p l a c é e n p o s i t i o n 5 ,

le second en p osition 4, etc. La valeur de cette solution est de 64. On commence par

initialiser la matrice T = 0.

Itération 1. E ns ui te , on c al cu le la va le ur (p, (i, j )) p o ur ch aqu e tr an sp o sit io n

m sp éc ifié e par les ob je ts (i, j ) écha ngé s :

m (1 , 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (2, 3) ( 2, 4) (2, 5) (3, 4) (3, 5) (4,

5)

coût 4 4 16 4 2 14 16 0 14 2

On s’ap erçoit que deux mouvements pro duisent un gain maximum de 4 : échanger

les ob jets (1 , 2) ou les ob jets (1 , 3). On p eut supp oser que c ’e st le premier d e ce s

mouvements, (1 , 2), qui es t retenu, ce qu i sign ifie que l’ob jet 1 va oc cup e r l’act uell e

p os it io n d e l ’o b j et 2 , c ’e st- à- di re 4 , e t l ’o b j et 2 va o cc up e r l ’ac tu el le p o si ti on d e l ’ob j et

1, c’est-à-dire 5. On interdit p endant t = 5 ité ration s (i.e. jusqu’à l’ité ration 6) de

remettre s imultanément l’élément 1 sur le site 5 et l’élément 2 sur le site 4. On obtient

do nc la m at ri ce :

⎛

⎞

0 0 0 0 6

0 0 0 6 0

T =

⎜

0 0 0 0 0

⎟

⎝

0 0 0 0 0 ⎠

0 0 0 0 0

Itération 2. Le mouvement choisi à l’itération 1 mène à la solution p =

(4 , 5, 3, 2,

1) de c oû t 6 0. Le c al cu l de la va le ur de c ha qu e t ra ns p o si ti on do nn e :

m (1 , 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (3, 4) (3, 5) (4,

5)

coût 4 10 22 12 8 12 12 0 14 2

autorisé

non

À cette itération , il faut noter que l’inverse du mouvement précédent est maintenant

interdit. C’est le mouvement (2, 3), de coût minimum et autorisé qui est retenu, p our

un g ai n de 8. La m at ri ce T

de v ie nt :

⎛

⎞

0 0 0 0 6

0 0 0 6 7

T =

⎜

0 0 7 0 0

⎟

⎝

0 0 0 0 0 ⎠

0 0 0 0 0

- 70 -


Itération 3. La solution p = (4 , 3 , 5 , 2 , 1) de c oû t 52 à l aq ue ll e on ab o ut it e st

un o pt imum lo c al . En e ffe t, au dé b ut de l ’i té ra ti o n 3, a uc un m ou ve me nt n’a un c oû t

né g at if :

m (1 , 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (3, 4) (3, 5) (4,

5)

coût 8 14 22 8 8 0 24 20 10 10

autorisé

non

Le mouvement (2 , 4) choisi à cette itération a un coût nul. Il faut noter ici que le

mouvement (1 , 2), q ui é t a it i nt e rd i t à l ’i t ér a t io n 2 e s t à no u ve au a u t or i sé , p u is q u e

l’élément 1 n’a jamais été en troisième p osition. La matrice T de v ie nt :

⎛

⎞

0 0 0 0 6

0 0 8 6 7

T =

⎜

0 0 7 0 0

⎟

⎝

0 8 0 0 0 ⎠

0 0 0 0 0

Itération 4. On se trouve alors avec une solution p = ( 4, 2, 5, 3, 1) de va le ur 52

et la si tua tio n des st ruct ure s de do nnée s sera la suivante :

m (1 , 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (3, 4) (3, 5) (4,

5)

coût 8 14 22 8 8 0 24 20 10 10

autorisé

non

Cep endant, il n’est plus p ossible de choisir le mouvement (2, 4) de c oû t m ini m um,

qui ramènerait à la solution précédente, car ce mouvement est interdit. On est obligé

de c ho is ir un m ou ve me nt dé f av or ab le , (1 , 2), au g m e nta nt d e 8 la val e ur d e l a s o l ut i o n .

La matrice T de v ie nt :

⎛

⎞

0 0 0 9 6

0 9 8 6 7

T =

⎜

0 0 7 0 0

⎟

⎝

0 8 0 0 0 ⎠

0 0 0 0 0

Itération 5. La solution au début de cette itération est : p = (2 , 4, 5, 3 , 1). Le

ca lcu l de la val eur des mo uve ments donne :

m (1 , 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (3, 4) (3, 5) (4,

5)

coût 8 4 0 12 10 14 12 20 10 10

autorisé

non

On remarque que le mou vement dégradant la qualité de la solution à l’itération

pr éc é de nte a é té b é né fiq ue , c ar il p e rm et d’ a rri v er e ns ui te à une s ol ut io n o pt im al e

p = ( 2, 4, 5, 1,

3) de va le ur 5 0, pa r le c hoix du m ou ve me nt (4 , 5).

- 71 -


2. 4. 4 Cr it èr es d’ as pi rat io n

Certaines interdictions sont parfois absurdes. Par exemple, un mouvement qui

mène à une solution meilleure que toutes celles visitées par la recherche dans les

itérations précédentes n’a aucune raison d’être interdit. Afin de ne pas manquer cette

so lut ion, on mo difie donc l’ éve ntuel st atu t tab ou de te ls mouvem ent s. Dans le ja rgo n

de la re c he rche avec t ab o us , on dit q ue ce m ou ve me nt e st aspiré. Il est naturellement

p os si bl e d ’i ma gin er d ’a ut res c rit èr es d ’a spi ra tio n, ba sé s mo in s d ir ec tem ent s ur l a val eu r

de l ’o b j ec ti f à o pt im is er .

Il faut noter ici que les premières implantations de recherche avec tabous insistaient

lourdement sur les conditions d’aspiration, mais en pratique, ces dernières se limitaient

à au t or i se r u n mo u vem e nt ta b o u q ui p er m et t ai t d ’a m él i or e r la m e il l eu r e so l ut i on

trouvée jusque-là durant la recherche. Ulté rie u re me nt, c e dernier critère étant devenu

implicite, p eu de recherches ont été menées dans la définition de conditions d’aspiration

pl us é la b o ré es . En re va nc he , on pa rl e pa rf o is d’ a sp ir at io n p o ur une f or me de di re c ti on

à long terme de la recherche consistant à forcer un m ouvem ent jam ais ré ali sé dur ant

de no m bre us e s i té ra ti o ns, q ue ll e q ue s oi t s on i nflu en c e sur l ’o b j ec ti f à o pt im is er .

2.5 Direction de la recherche à long terme

Dans le cas d’u n voisinage formé par un ensemble statique de mouvements, c’està-dire

lorsqu e cet ensemble ne dép end pas de la solution dans laquelle on se trouve,

une s ta ti st iq u e sur l es m ou ve me nts c ho is is au c ou rs de la re c he rche p e ut ê tr e d’ un e

grande utilité : si des mouvements sont élus b eaucoup plus fréquemment que d’autres,

il y a lieu de supp oser que la recherche a des difficultés à explorer des solutions de

co mp os iti on var iée , et qu ’el le p eut re ste r bl o qu ée dans une “val lée ” ou un “p lat eau ”.

On observe souvent dans la pratique des problèmes comp ortant des vallées étendues,

qui p euvent par conséquent être visitées à l’aide de mouvements de p etite amplitude

au niveau des différences en valeur absolue de la fonction ob jectif ; si l’on utilise

un iq ue m ent le m éc an is me d’ i nt er di cti on de m ou ve me nts inve rs es de c eu x ré c em me nt

effec tué s p our di rige r la re che rche, un no mbre de mo uve ments in terd its trop fa ibl e ne

p er me t p as d e s ’é cha pp e r d e c er tai ne s va ll ées ; n ou s avon s v u q u’ au gme nt er c e n ombr e

de m ou ve me nts i nt er di ts a p o ur e ffet de f or ce r la re c he rche à re s te r s ou ve nt à fla nc de

co te au et même si la re che rche ch ang e de val lée , el le p eut ne pas ré ussi r à tr ouve r de

b on ne s so lu tio ns da ns la n ouve lle va llé e à c aus e d es m ouve me nt s q ui l ui s ont i nt erd it s

suite à la visite de la vallée précédente. Il est donc nécessaire d’introduire d’autres

mécanismes p our diriger efficacement une recherche à long terme.

2. 5. 1 Fré qu en ce

Po ur p o u vo i r a s s ur e r un e ce r t ai n e di ve r si t é da n s l a re ch e r che to u t en n’ i nt e rd i -

sant pas trop de mo uve ments, une te chn ique co nsi ste à p én ali ser les mo uve ments

f ré qu em me nt ut i li sé s. On pe u t i ma gi ne r pl us ie u rs po l it iq ue s de pé n al is at io n , pa r

ex emp le l’ inte rdi cti on d’e ffec tue r les mo uve ments dont la fr équ enc e d’o cc urre nce dans

la recherche dépasse un se u il donné, ou l’a jout d’une valeur prop ortionnelle à leur

- 72 -

2.5 Direction de la rech erche à long terme

f ré qu en ce d’ ut i li sa ti on l or s de l ’é va lu at io n de s m ou ve me nt s. L ’a j ou t d’ un e p é na li té

pr op o rt io n ne ll e à la f ré qu en ce a ura de pl us un e ffet b é né fiq ue p o ur l es pr ob lè m es où la

f on ct io n ob j ec ti f ne pr en d q u’ un p e ti t no m bre de va le ur s, ce q ui p e ut e ng en dr er de s

éq uival enc es gê nan tes p our di rige r la reche rche , lo rsq ue pl usie urs so lut ions vo isi nes ont

la même qualité. En effet, la recherche aura alors tendance à chois ir les mouvements

les moins employés plutôt que d’élire un mou vement plus ou moins aléatoirement.

La figure 2.10 illustre l’effet d’une p énalisation des mouvements qui a joute un

f ac te ur pr op o rt io nn el à l eu r f ré qu en ce d’ ut i li sa ti on l or s de l eu r éva lu at io n. À c et te

fin, on a ré p é té l ’e xp é ri en ce ré a li sé e p o ur m on tr er l ’i nflu e nc e du no m bre d’ i té ra ti on s

p en da nt le sq ue ll es o n int erd is ai t de f ai re l e m ouve me nt i nve rs e d’ un m ou ve me nt

effec tué (v oir figure 2. 8), mais ce tte fo is en fa isa nt var ier uni que ment le co effici ent

de pénalisation ; les mouvements sont donc p énalisés mais jamais interdits. Cette

exp ér ienc e p orte à no uve au sur les 30 00 pro blè mes d’a ffec ta tio n qu adra tiq ue de ta ill e

12 générés aléa toirement. En figure 2.10, la moyenne des meilleures solutions trouvées

après 50 itérations et la valeur moyenne de toutes les solutions visitées sont données

en fo nct ion du co effici ent de p én ali sat ion. Nous re marq uon s que le co mp or tem ent de

ces deux st ati sti que s est se nsib lem ent le même que ce lui de la figure 2. 8, mais que,

globalement, les solutions générées sont moins b onnes qu e celles obtenues par l’usage

d’ un e m ém oi re à c ou rt t er me .

Valeur des solutions

275000

270000

265000

Moyenne de toutes les solutions visitées

Moyenne des meilleures solutions trouvées

260000

255000

0 100000 200000 300000 400000 500000

Facteur de proportionnalité

Figure 2.10 – Effet du co efficient de p énalisation sur les fréque nces.

Comme p our la mémoire à court terme, on p eut généraliser cette mémoire à long

terme p our des ensembles de mouvements non statiques, c’est-à-dire où M dé p e nd

de s : on e n r e g i s t r e al o r s l a f r é q u en c e à l a q u e l l e on a ut i l i s é c er t a i n e s c a r ac t é r i s t i q ue s

de m ou ve me nt pl ut ô t q ue l es m ou ve me nts e ux -m êm e s. On no t er a i ci la s im il ar it é

d’ i mpl a nt at io n de c es de u x m ém oi re s : l ’u ne s to cke l ’i té ra ti o n à l aq ue ll e on p e ut à

no uve au re c ou ri r à une c ar ac té r is ti qu e de m ou ve me nt, a lo rs q ue l ’a ut re m ém or is e le

no mbre de f oi s q ue c et te c ar ac té r is ti qu e a é té ut i li sé e da ns l es m ou ve me nts é lu s.

- 73 -


Valeur de la p énalisation. Comme p our la durée des interdictions dans le mécani

s me de di re c ti on à c ou rt t er me , il e st né c es sa i re de c al ib re r l ’i mp o rt an ce q ue l ’o n

do nn e à une p é na li sa ti o n ba s ée sur l es f ré qu en ce s . P ou r e ffe ct ue r ce c al ib ra ge , on p e ut

se ba ser sur les co nsi déra tio ns suivan tes :

P re mi èr em ent, si on no m me f r eq (m) la fréquence d’u tilisation du mouvement m ,

il semble raisonnable de p énaliser ce mouvement d’un fac te u r prop ortionnel à f r eq (m),

quoiqu’une autre fonction soit envisageable, comme f r e q 2 ( m ).

Deuxièmement, si l’ob jectif est un e fonction linéaire et que l’on considère u n

pr ob lè m e où t ou te s l es do nn é es ont é té mult ip li ée s pa r une c on st ant e, il ne f au dr ai t pa s

que le mécanisme de p énalisation basé su r les f réquences dép ende de la valeur de la

co nst ante. De mê me, le mé c a nism e de p én ali sat ion ne doit pas fo nct ion ner différ emm ent

si l’on a jo ute une co nst ant e à l’ob je cti f. Par co nsé que nt, il se mble ég ale me nt lé git ime

d’ ut i li se r une p é na li sa ti o n q ui s oi t pr op o rt io nn el le à l ’a mp li tu de m oye nn e de de u x

so lut ions voi sine s.

Trois ièm eme nt , plus le voisin age es t gran d, plu s la répa rtit ion de s fréq uenc es se

co nce ntre sur de p et ite s val eurs . Pour que la p én ali té ne de vie nne pas nul le lo rsq ue

la taille d u problème augmente, il faut la multiplier par une fonction strictement

cr ois sante avec la ta ill e du voi sina ge . La fo nct ion id enti té s’avé rant trop gr ande en

pr at i qu e ( cf . [ Tail lar d 93, Tail lar d 94 ]), on pourra prendre par exemple un facteur

pr op o rt io n ne l à | M | .

Naturellement, le fait d’utiliser une p énalisation basée sur les fréquences né c e s site

ég ale me nt de re cou rir à un mé can ism e d’ aspi rat ion, si non on ris que de pa sse r à cô té

d’ e xc el l ent es s ol ut io ns .

2. 5. 2 O bl iga ti on d’effec tu er des m ouvem en ts

Un autre mécanis me de direction de la recherche à long terme consiste à effectuer

d’o ffice un m ou ve me nt q ui n’a j am ai s é té e ss ayé pe n da nt un g ra nd no m bre d’ i té ra ti on s,

quelle que soit son influen c e sur la qualité de la s olution. Un tel mécanisme est utile

p ou r êt re à m êm e d e d ét ru ire l a st ru ct ure d ’u n o pt imum l o ca l, d onc p ou r s’ éch app e r

de la vallée lui étant asso ciée. Ceci est valable aussi bien p our les problèmes de grande

taille, que p our ceux de dimen s ion plus mo deste mais très stru c tu ré s (c’est-à-d ire p our

lesquels les optimums lo caux sont séparés par de très mauvaises solutions).

Dans l’exe mp le du problème d’aff

ectation quadratique donné plus haut, il n’est

même pas nécessaire d’intro duire une nouvelle structure de données p our mettre en

œuvre ce mécanisme. En effet, il suffi

t d’implanter la liste d’attributs tab ous sous la

f or me d’ un e m at ri ce à de u x di me n si on s ( él ém e nt , p o si ti on ), do nt l es e nt ré es i ndi q ue nt

à que lle i tér ati on chaqu e élé ment est au tor isé à o ccu p er u ne p osit ion d onn ée , p ou r

dé c id er à la f oi s si un m ou ve me nt e st i nt er di t ( le s e nt ré es de la m at ri ce c or re sp o nda n t

au mouvement contiennent toutes deux des valeurs plus grandes qu e le numéro de

l’itération c ourante) ou, au contraire, si un élément donné n’a pas o ccup é u n e p osition

do nn é e du ra nt l es v de rn iè re s i té ra ti o ns. Si la m at ri ce c on ti ent une e nt ré e do nt la va le ur

est in féri eur e au num éro de l’ ité rat ion co ura nte di minué du pa ramè tre v, le mo uve me nt

co rre spon dant est élu, qu ell e que soit son éval uat ion . Pour ne pas avoir à tr ait er le

cas de pl usie urs mo uve ments qui do ive nt être élus si mult ané ment à ca use de ce tte

- 74 -

2.6 Conv ergence de la rech erche avec tab ous

règle, on fera comme si, avant d e débuter la recherche, on avait effectué l’ensemble

de s | M |

mouvements (on supp ose un voisinage statique, défini par un ensemble M de

mouvements) d urant d’hyp othétiques itérations | M | , | M | + 1, . . . , 1. B ie n e nt e nd u ,

il faut que le paramètre v soit (b ien) plus gr and que | M |

, p our n e pas avo ir que d es

mouvements imp osés après v itération s.

2.6 Convergence de la recherche avec tabous

Forme lle ment, on ne p eut pa s pa rle r de “ conve rge nce ” p o ur un e re cherche avec

tab ous, étant donné qu’à chaque itération la solution est mo difiée. En revanche, il est

certainement intéressant de passer au moins une fois par un optimum global. C’est

ce qu’a fa it [ Hanafi 01 ], sur le plan théorique, à l’aide d ’u ne recherche avec tab ous

él éme nta ire . On a vu que la re che rche p ouvait se blo quer si l’on in terdi sait de re pass er

de u x f oi s pa r la m êm e s ol ut io n. P ar c on sé qu e nt , il f au t lui p e rm et tr e de re v is it er la

même solution. En considérant une recherche qui mémorise toutes les solutions visitées

et qui ch ois it, dans le cas où to ute s les so lut ions voi sine s ont déjà été vi sit ées , ce lle qui

l’a été le plus anc ie n nement, on p eut montrer que toutes les solutions du problème

seront énumérées. Ceci est valable p our autant que l’ensemble des solutions soit fini,

que le voisinage soit réversible (ou symétrique : toute solution voisine de s a s da ns

son voi sina ge ) et fo rte men t co nne xe (il ex ist e une sui te de mo uve ments p er met tan t

d’ a tt ei nd re n’ i mp o rt e q ue ll e s ol ut io n s 0 à pa r t i r d e n ’ i mp o r t e q u e ll e s o l u t i o n s). Dans

la mesure où toutes les solution s visitées doivent être mémorisé e s (éventuellement sous

une f or me i mpl i ci te ) , on c om pr en dr a q ue ce ré s ul ta t re s te t hé or iq ue .

Il existe un autre résultat théorique sur la convergence de la recherche avec tab ous dû

à [ Faig le et al. 92]. Ces auteurs ont considéré des conditions d’interdiction probabilistes.

Il est alors p ossible de choisir des probabilités d’interdiction telles que le pro cessus de

recherche soit similaire à celui d’un recuit simulé. À partir de cette constatation, on

imagine bien que les théorèmes de convergence p our le recuit simulé p euvent facilement

s’ ada pte r p our un pro ce ssu s app elé recherche probabiliste avec tabous. De n o uve au , o n

co mpre ndra que l’ inté rêt de ce ré sult at re ste de na ture pur eme nt th éori que .

2.7 Conclusion

Se u le s c er ta in es ba s es de s re c he rche s avec t ab ou s o nt é té pr és e nt ée s c i- de ss us .

D’autres princip es p ermettent d’ab outir à des méthodes plus efficaces et inte llige ntes.

Lorsque c’est p ossible, représenter graphiquement les solutions succe s sivement visitées

pa r la re che rc h e s ti mu le ra a ct iv e me nt l ’e sp ri t de l ’i mp la nt eu r et lui di c te ra , s ou ve nt

de m an iè re é vi de nt e, c om me nt di ri g er sa re c he rche pl us i nt el li ge m me nt.

En e ffe t, m et tr e au p o in t une re c he rche av ec t ab o us e st un pro c es su s i té ra ti f : il

est très im prob able de p ou voi r él ab orer une ex ce lle nte mé tho de du pre mie r coup ; des

a j us t e m ent s , d é p e n d a nt à l a f o is d u ty p e et de l’ e x e mp l e d e p r o b lè m e t r a it é , d e v ro nt

ce rta ine ment avoir li eu ; ce ch apit re dé crit uni que ment des pri nci p es qui de vra ient

p er me tt re à l ’im pl ante ur d e s e di ri ger p lu s r ap id eme nt ve rs u ne m éth od e e ffic ac e.

- 75 -


M ent io nn on s fin al e me nt q ue d’ a ut re s pr in ci p e s, s ou ve nt pr és e nt és da ns le c ad re

de la re c he rche av ec t ab o us pa rc e q u’ ég al e me nt pr op o sé s pa r F. G lo ver — t el s la

reche rche par disp ersion, la construc tion de vocabulaire ou les chemins de liaisons —

se ront pré sentés dans le ch apit re 12 co nsa cré à la mé tho dolo gi e.


[Glover et al. 97a] : Ce livre est sans conteste la référence la plus imp ortante en ce qui

concerne la recherche avec tab ous. Il décrit la technique dans son ensemble,

y co mp r is c er t ai ne s e xt e ns io n s qu i se r ont di s cu té e s da n s le p ré s ent o uv ra ge

au chapitre 12.

[Glover 89, Glover 90] : Ces deux articles p euvent être considérés comme les fondateurs

de la discipline, même si la dénomination de recherche avec tab ous

et certaines idées existaient déjà précédemment. Ils ne sont pas d’un ab ord

f ac il e , si bi e n q ue c er ta in s c on ce pt s pr és e nt és da ns c es a rt ic le s, c om me l es

ch em i n s d e li a i s o n s o u l a r e ch e r che p a r d i sp e r s io n , n ’ o nt p é né t r é l e c e r c l e

de s c he rche u rs q ue pl us ie u rs a nné e s a prè s l eu r pa ru ti o n.

- 76 -

Chapitre 3

La recherche à voisinages

variables

Gi lle s Ca poro ssi et P ie rr e H an se n


Gilles.Caporossi,Pierre.Hansen@gerad.ca

3.1 Introduction

La recherche à voisinages variables (RVV), ou Variable Neighborhood Search (VNS)

en an gla is est une mé tah euri sti que dont l’ inven tio n est due à Ne nad Ml adé nov ić

et Pi erre Ha nse n et dével opp ée au GE RAD (G roup e d’ Étud es et de Re che rche en

Analyse des Décisions , Montréal) à partir de 1997. Depuis cette p ério de, la reche rche

à voisina ges variabl es a co nnu divers dé velopp eme nts et amé lio rat ion s ain si qu e de

très nombreuses applications. Selon le journal of citation report, le s travaux init iaux

[ M la de novi ć et al. 97][ Hansen et al. 01c ] sur la RVV ont ét é cit és plu s de 60 0 et 500

f oi s re s p e ct ive me nt à ce j ou r ( pl us de 1 70 0 et 1 20 0 f oi s s el on Google Scholar), ce qui

indique l’intérêt p our la métho de tant au niveau des développements qu’elle a connus

que de ses app lications.

On trouve d e s applications de la RVV dans des domaines aussi variés que le

data mining, l a lo c alis atio n, le s com muni cat ions , l’o rdon nan ceme nt, l es to urné es de

vé hi c u l e s o u l a t h éo r i e d e s g r a ph e s , p a r e x e m pl e . L e l e c t e ur e st in vi t é à s e r é f é r e r à

[Hansen et al. 08] p our une revue plus complète.

La RVV comp orte plus ie urs avantages : d’une part, elle p ermet générale ment

d’ o bt en ir d’ e xc el l ent es s o lu ti on s en un t em ps ra i so nn ab le , ce q ui e st é ga le m en t le c as

de la pl up ar t de s m ét ah eu ri st iq ue s mo de rn e s, m ai s e ll e e st a us si t rè s f ac il e à m et tr e en

œuvre. En effet, la RVV est basée sur une combinaison de méth odes très clas s iques

77

Chapitre 3 – La rech erche à voisinages variables

en op timi sat io n co mbi nato ire ou en op timi sat io n co nti nue. En ou tre, très p eu de

pa ra m èt re s ( et pa rf o is a uc un ) do i ve nt ê tr e a j us té s p o ur o bt en ir de b o ns ré s ul ta ts .

Le but de ce chapitre n’est pas de faire un exp osé exhaustif des variantes et des

applications de la RVV, mais plutôt de p oser, le plus clairement p ossible, ses bases

afin d’en faciliter la mise en œuvre.

Les concepts clés seront exp osés et illustrés par un exemple basé sur la recherche de

graphes extrêmes. Ces illustrations sont fortement inspirées de l’optimi sation telle que

mise en œuvre dans la première version du logiciel AutoGraphiX [Cap orossi et al. 00 ]

dé d ié à la re c he rche de c on je c tu re s en t hé or ie de s g ra ph es . Le cho i x de c et e xe mp le

tient au fait que toutes les comp osantes de la RVV de base y sont utilisées, et qu’elles

y sont intuitives.

3.2 Fonctionnement de l’algorithme

Comme d’autres métahe uri stiques, la recherche à voisinages variables rep ose sur

de u x m ét ho de s c om pl ém en t ai re s : d’ un e pa rt , la re c he rche lo c al e et s es e xt en si o ns q ui

visent à améliorer la solution courante, et d’autre part, les p erturbations qui p ermettent

d’élargir l’espace des solutions explorées. Ces deux princip es sont généralement connus

sous les noms d’inte nsi fica tio n et de di vers ific ati on. Dans le cas de la re che rche à

vo is i n a g e s var i a b le s , c e s p r i n c ip e s s o nt c o mbi n é s d ’u n e m a ni è r e i nt ui t i ve e t f a c i le à

mettre en œuvre.

3. 2. 1 Re ch er che lo c ale

La reche rche lo cale (RL), utilisée par un grand nombre de métaheuris tiqu es consis te

en des am éli ora tio ns suc ce ssi ves de la so lut ion co ura nte par l’ ent remi se d’une tr ansf ormation

élémentaire, jusqu’à ce qu’aucune amélio ration ne soit p ossible. La solution

ainsi trouvée est app elée optimum local pa r ra pp o rt à la t ra ns fo rm at io n ut i li sé e.

Techniqu eme nt, la recherche lo ca le con sis te en une su cce ssi on de tra nsf orm ati ons

de la s ol ut io n a fin de l ’a mé li o re r à c ha qu e f oi s. La s ol ut io n c ou ra nt e S est re mpla cé e

pa r une m ei ll eu re s ol ut io n S 0 2 N (S ) da ns s on v oi sina g e. Le pro c es su s s ’a rr êt e q ua nd

il n’est plus p ossible de trouver de solution améliorante dans le voisinage de S , tel que

le décrit l’algorithme 3.1.

Si le v oi si na g e N ( S ) est co mpl ète ment ex plo ré, la re che rche lo ca le ga ran tit l’ obtention

d’un optimum lo cal en fonction de la transformation utilisée. La solution S

obtenue est donc telle qu’il n’existe aucune solution S 0 2 N (S ) qui soit meilleure que

S . Toute fois, cette not ion d’optimum lo ca l re ste relative à la tra nsformation ut il is ée.

Il est bien sûr p ossible qu’un optimum lo cal p our une transformation ne soit pas un

optimal lo cal p our une autre transformation. Le choix des transformations et de leur

mise en œuvre est donc une partie imp ortante de la recherche à voisinages variables.

3.2.1.1 Mo difier les voisinages

Une p ossibilité p our améliorer la qualité d e la solution est d’envisager diverses

transformations (donc divers voisinages ) ou diverses manières de les utiliser.

- 78 -

3.2 Fonc tionneme nt de l’algorithme

Al gorit hm e 3.1 Algorithme RechercheLo cale

Donnée : S

Donnée : N

Po so n s ame l ior e v r a i

tant que ame l ior e = v r a i faire

amelior e f aux

p ou r t out S 0 2 N ( S

)

faire

si S 0 meil leure que S alors

S S 0

amelior e = v r ai.

retourner

S

La p erformance de la recherche lo cale, que ce soit par l’effort de calc u ls qu’elle

requiert ou la qualité de la solution qu’elle p ermet d’obtenir, de sa mise en œuvre en

termes de s tru c ture de données, dép end de la transformation utilisée et de la manière

do nt on c ho is it d’ a cc ep t er une m ei ll eu re s ol ut io n c om me s ol ut io n c ou ra nt e.

Globalement, la recherche lo cale p eut s e résumer à changer la solution courante

p ou r u ne s olu ti on me il le ur e ju sq u’ à c e qu ’o n n e t rou ve p lu s d e s ol ut ion m ei ll eur e.

Il est p ossible que le voisinage de la solution courante comp orte plusieurs solutions

améliorantes. Le choix de la meilleu re d’entre elles semble intuitif, mais il implique

une e xp lo ra ti o n t ot al e du vo is in ag e . L ’e ffo rt de c al cu l de m an dé pa r la re che rc h e de la

meilleure solution du voisinage est p eut-être trop imp ortant par rapp ort au gain qu’il

p er me t. Po ur c ett e ra is on, il e st pa rf oi s m ei lle ur d e ch an ge r l a s ol ut ion c ou ra nt e p o ur l a

pr em i èr e s ol ut io n a mé li or an te re nc o nt ré e. Le l ec te ur p e ut se ré f ér er à [ Hansen et al. 06 ]

p ou r un e a na ly se p ou ss ée d an s l e c as d u p ro bl ème d u voya geu r de c om me rce .

Outre la mise en œuvre d’une tran sformation au sein de la recherche lo cale, il est

p os si bl e d e t ravai ll er s ur l es t ra nsf or ma tio ns e lle s- mê mes . N oto ns t une t ra ns fo rm at io n

de la s ol ut io n S , qui p ermet d e construi re un ensemb le de nouvell es solutio ns N t (S ) à

pa rt i r de S .

Po ur u n pr ob l è m e avec co nt r a int e s im p l i ci t e s ou ex p l i ci t e s , ét a nt do nn é e un e

transformation t , le s so l u t i o n s S 0 2 N t (S ) p e uvent ê tr e t ou tes ré al is abl es , t ou te s n on

réalisables ou parfois réalisables. Selon la nature de la transformation, il est parfois

p os si bl e d e p ré di re l a r éa lis ab ili té d es s ol uti on s d an s l e vo is in age N (S ) de S , e t don c

dé c id er a

priori

de l ’u ti li se r ou no n.

Outre la préservation de la réalisabilité, les transform ation s ont d’autres caractéristiques

qu’il convient d’analyser afin d ’e n évaluer la p ertinence. En effet, chaque

vo is i n a g e c o r r e sp o n d à u n e n s e mb le d e s o lu t i o n s e t p l u s c e t e n s emb l e e s t i m p or t a nt ,

pl us on p e ut a tt en dr e q ue la re c he rche lo c al e s oi t p e rf or ma nt e, da ns le s en s q u’ el le

p er me tt ra d’ id enti fie r d es b o nn es s olu ti on s. Pa r co nt re , l ’e xpl or ati on d e c e vo is in age

sera plus lo ng. Le vo isi nag e id éal co mp or tera it de b on nes so lut ions , afin d’ amé lio rer la

so lut ion co ura nte, mais il ne co mp or tera it que p eu de so lut ions mauvai ses afin d’ être

rapide à explorer. Trouver un tel voisinage n’est m alheureusement pas toujours facile,

mais il est parfois possible d’utiliser l’apprentissage machine p our sélec tionner les

transformations les plus p ertinentes durant l’optimi sation [Cap orossi et al. 12].

- 79 -


3.2.1.2 La descente à voisinages variables

Po ur ti r e r avant a ge d es d ive r s e s tr an s f o r ma t i o n s q u i p e u ve nt e x i s t er p o u r un

pr ob lè m e do nn é , et de l eu rs pa rt i cu la ri té s, il e st p o ss ib le d’ a da pt er la re c he rche

lo cale afin de ne pas u tilis e r seulement une transformation, mais une séquence de

transformations différentes. C’est ainsi qu’est construite la descente à voisinages

var i ab le s ( DV V) .

De même que la recherche locale explore les diverses manières d’appliquer la

transformation choisie p our améliorer la solution cou rante, la descente à voisinages

variables (DVV) explore une série de voisinages succe ssivement. Considérons alors une

liste N t ( S )

t = 1 . . . T , où T est le no mbre de tr ansf orm ati ons co nsi déré es.

En ut i li sa nt s uc ce ss iv e me nt t ou s l es v oi sina g es de la l is te p o ur e ffe ct ue r de s re -

ch er ch e s l o ca l e s , l a d e s c e nt e à vo i s in a g e s var i a b le s n e s ’ ar r ê t e q u e l o r s qu ’ a u c u n d ’ eu x

ne p e rm et d’ a mé li or er la s ol ut io n. Un o pt im um l oc al p o ur c ha cu n de s v ois in ag es

co nsi déré s est al ors id enti fié.

La p erformance d e la de scente à voisinages variables dép end, bien sûr, des voisina

g es ut i li sé s, m ai s a us si de l ’o rd re da ns l eq ue l i ls s on t c on si dé ré s. Su pp o so ns de u x

transformations t 1 et t 2 à pa rti r des que lle s on p eu t con str uir e deu x voi sin ag es. S i

N t1 (S ) 2 N t2 (S ), u t i li s e r l e vo i s i n a ge b a sé s u r t 1 après le voisinage basé sur t 2

n’ a mé li or er a pa s la s ol ut io n. On p o urr ai t en c on cl ur e q ue la re c he rche lo c al e ut i li -

sant le voi sina ge N t 1 ( S) est in util e, mais il faut au ssi co nsi dére r l’e ffort que re quie rt

l’exploration de ces d eux voisinage s.

Au début de la reche rche lo cale, on a généralement des solutions de qualité médio cre,

si l’ exp lora tio n de N t 1 (S ) est plus ra pide que ce lle de N t 2 ( S ), m ai s s i e ll e p e r m et

toutefois des améliorations imp ortantes à la solution, l’utilisation de la séquence t1

pu is t 2 pl ut ô t q u’ une s eu le de c es t ra ns fo rm at io ns e st j us ti fié e. Si on en j ug e pa r la

qualité de la solution obtenue, N t 1 (S ) est p eu t-ê tre mo ins p er form ant que N t 2 ( S),

mais il n’est pas néces sairement moins efficace p our autant.

S’ i l e xi st e de s s ol ut io ns de N t1 ( S ) qui n e sont dans N t2 (S ), et ré cip ro qu eme nt,

alors l’utilisation de ces deux transformations est pleinement justifiée.

Po ur a m é li o r e r la p er f o r ma n c e g lo b a l e de l ’ a lg o r i t hm e , i l es t s o uve nt j u di c i e u x

d’ ut i li se r l es v oi si na g es pl us s im pl es au dé b ut de la re c he rche , pu is de ne re c ou ri r a ux

vo is i n a g e s p l u s l o n g s à e x p l o re r q ue s i l e s p r e m ie r s é cho u e nt .

E xp lo it a nt ce pr in ci p e, la DVV c on si st e à e ffe ct ue r s éq ue nt ie l le me nt une re che rc h e

lo cale avec chacune des transformations, jus qu ’à ce qu’aucune d’elles n e p ermette

d’ a mé li or er la s ol ut io n c ou ra nt e. La de s ce nt e à v oi si na g es va ri ab le s e st dé c ri te pa r

l’algorithme 3.2 et p eut ê tre assimilée à une méta-rech e rche lo cale.

- 80 -


Al gorit hm e 3.2 Algorithme DVV

Donnée : S

Donnée : N t , t = 1 . . . T

Po so n s ame l ior e v r a i

tant que ame l ior e = v r a i faire

amelior e f aux

p ou r t out t = 1. . . T faire

S 0 R e c h er c h e L oc a l e (S , N t )

si S 0 meil leure que S alors

S S 0

amelior e v r ai.

retourner

S

3. 2. 2 Di ve rs ifi cat io n de la re ch er che

L’autre appro che p our améliorer la qualité de la solution obtenue par recherche

lo cale est de changer son p oint de départ.

3.2.2.1 Les recherches multiples

Une première technique consiste à multiplier les tentatives à partir d e diverses solutions

initiales aléatoires et ne garder que la meilleure solution obtenue. Ce mécanisme

est décrit par l’algorithme 3.3. C’est ce que nous app elons multi-start en an gla is.

Al gorit hm e 3.3 Algorithme Multi-start

Donnée : S

Po so n s S ⇤ S , la meille ur e solution connue.

rép

éter

So i t S

une s ol ut io n a lé at o ir e.

S 0 R e c h er c h e L oc a l e ( S

)

si S 0 meil leure que S ⇤ alors

S ⇤ S 0

ju squ ’à critère d’arrêt ;

retourner S ⇤

Si le pr ob lè m e a dm et un f ai bl e no m bre d’ o pt imums lo c au x et q ue c eu x- c is s on t a ss ez

él oig nés , le multi-start f on ct io nn e ra a ss ez bi e n. M al he ur eu se me nt , da ns la pl up ar t de s

ca s, le no mbre d’ opti mums lo caux et le urs ca rac tér isa tio ns font qu ’il est p eu pro bab le

que cette technique donne de b ons résultats .

Po ur i l l u st r e r c e tt e d i ffi cu l t é , s u p p os o n s d e ux p r o b lè m e s d ’ o pt i m i s a ti o n à u n e s e u le

var i ab le . L e s fi g ur es 3 .1 e t 3 .2 re p ré se nt ent l a va le u r d e l a f on c ti on ob j ec ti f à m i ni mi s er

en fo nct ion de la var iabl e x.

- 81 -


Figure 3.1 – Illustration du premier problème à une variable.

Figure 3.2 – Illustration du second problème à une variable.

En pr en a nt de s va le ur s i ni ti al es de x au hasard dans l’intervalle, les chances sont

assez bonnes de trouver la solution optimale du problème 1, mais c’est b eaucoup

moins évident dans le cas du problème 2, d’une part parce que les optimums lo caux

sont plus no mbre ux, mais sur tou t pa rce que la pl upart des so lut ions in itia le s mè nent

vers les mêmes optimums lo caux (celui de droite et celui de gauche). Il est facile

d’ i ma gi ne r q ue l ’a ug me nt a ti on de la di me n si on de l ’e sp ac e da ns l eq ue l on re c he rche ne

f er a q u’ am pl ifi er ce pr ob lè m e, de s or te q ue le multi-start est un très mauvais ch oix en

général, surtout si les optimums lo caux sont tous pro ches les uns des autres.

On p eut comme n cer par se demander si notre problème est plutôt de la nature du

pr ob lè m e 1 ou du pr ob lè m e 2. B ie n q u’ il n’y a it pa s de rè g le g én ér al e à ce s uj et , no us

de vo ns re c on na ît re q ue p o ur b e au co up de pr ob lè m es , l es o pt imums lo c au x pa rt a ge nt

un g ra nd no m bre de c ar ac té r is ti qu es c om mu ne s, ce q ui l ai ss e p e ns er q ue le pr ob lè m e 2

est plus re prés ent ati f (b ien qu ’il fa ill e to ujo urs être pru dent ).

P re no ns q ue lq ue s e xe mp le s .

– Le problème du voyageur de commerce, dans lequel un voyageur de comme rc e

do i t re nc o ntre r un c er ta in no m bre de c li en ts et c he rche l ’o rd re da ns l eq ue l il

devra leur rendre visite s’il veut minimiser la distance totale parcourue. Il est

p eu pr ob ab le , d an s u ne b o nn e s ol uti on , q ue l es d eu x c li ent s l es p lu s é lo ign és

- 82 -


soit suc ce ssi fs. De mê me, deux cl ien ts très pro ches se suc cè dero nt sans do ute .

Globalement, les optimums lo caux de ce problème comp orteront un certain

no mbre de c ar ac té r is ti qu es c om mun e s.

– La classification non sup ervisée vise à regroup er des ob jets de sorte que ceux

qui se ressemblent soient dans la même classe (critère d’homogénéité) alors que

des ob jets différents seront dans des classes différentes (critère de séparation). Il

ex ist e une mul tit ude de cr itè res p our éval uer la qu ali té d’une so lut ion, mais dans

tous les cas, nous observerons des faits similaires. Quel que soit l’optimum lo cal

co nsi déré , il est pl ausi ble que deux ob je ts très différ ent s so ien t dans des cl ass es

di ffé re nt es . À l ’o pp o sé , de u x ob j et s t rè s s im il ai re s s er on t pr ob a ble m ent t ou jo ur s

dans la même classe. Il semble donc que les optimums lo caux partagent des

ca rac tér ist ique s co mmu nes et que la différ enc e en tre ces op timums ne co nce rne

qu’un nombre mo déré d’ob jets. Là enc ore , les optimums lo caux de ce problème

co mp or tero nt un ce rta in nombre de ca rac tér ist ique s co mmu nes.

Il est bien sûr imp ossible de faire ici un inventaire complet des problèmes, mais

l’hyp othèse du problème 2, si elle ne p eut être vérifiée, semble réalis te.

L’utilisation du multi-start mènera alors aux optimums lo caux les plus faciles à

trouver et la qualité globale de l’optimisation sera mauvaise.

3.2.2.2 Perturbations

Afin de réduire cet effort de calcul, plutôt que d’utiliser des solutions aléatoires

co mme p oint de dé part des re che rches lo ca les , une au tre appro che co nsi ste à mo di fier

mo dérément la meilleure solution connue, ce que nous app elons perturbation.

Une métho de utilisant des recherches multiple s à partir de p erturbations se concentrera

sur des solution s pro ches de la meilleure solution connue et profite ra des caractéristiques

de cette dernière (informations précieuses sur la caractérisation des b onnes

so lut ions qui sont co mpl ète men t ig noré es par le multi-start).

C’est p our cette raison que la recherche à voisinages variables ne pro cède pas par

de s re c he rche s lo c al es à pa rt i r de s ol ut io ns a lé at o ir es , m ai s à pa rt i r de s ol ut io ns pro c he s

de la m ei ll eu re s ol ut io n c on nu e.

Le choix de l’amplitud e de la p erturbation à app orter à la meilleure solution avant

de pro c éd er à une no uv e lle re c he rche lo c al e e st i mp o rt an t. Si e ll e e st t ro p f ai bl e,

seul un ét roi t vo isi nag e de la so lut ion sera ex plo ré (à l’ ext rêm e, on ne tr ouve ra que

l’optimum lo cal courant). Si, au contraire, elle est trop imp ortante, les caractéristiques

de la m ei ll eu re s ol ut io n c ou ra nte s er on t i gn or ée s et la p e rt urb a ti on ne s er a pa s m ie ux

qu’une solution aléatoire. Pour pallier ce prob lè me, un paramètre k est ut ilis é qui

ca rac tér ise l’ ampl itu de de la p er turba ti on à ap pliq uer . Plus k sera él evé, plus la

so lut ion p er turb ée sera différ ent e de la so lut ion d’ orig ine . Les vo isi nag es ut ilis és p our

les p erturbations doivent donc avoir une magnitude reliée à la valeur k . De s vo is in ag es

imbriqués ou construits par une s u ccession de transformations aléatoires sont en général

appropriés comme le montre l’algorithme 3.4. Une métho de simple mais efficace consiste

à appliquer des transformation s uti lis ées d ans u ne re cherche lo c ale .

- 83 -


Al gorit hm e 3.4 Algorithme PERTURBE

Donnée : S

Donnée : k

Donnée : N

rép éter k fois

Choisir aléa toirement S 0 2 N ( S ),

p os er S S 0 .

retourner

S

Si le pr ob lè m e c om p o rt e de s c ont ra in te s ( im pl ic it e s ou e xp li ci t es ), il e st c on se il lé

que les transformations utilisée s n’aient pas d’impact sur la réalisabilité de la solu tion.

Pa r e x e m pl e , p o u r le p ro b l è m e d u voyag e u r de co m m e r ce , u ne t r an s f o r ma t i o n q u i

prov oq ue de s s ou s- to ur s ( so lu ti on c on si st ant en pl us ie u rs t ou rné e s di s jo in te s) ne s er a

pas consei llée. Il est à noter aussi que ce shéma est donné à titre indicatif, il est p ossible

p ou r ce rt ai nes ap pl ic ati on s q ue l a d éfin it io n d e vo is ina ge s imb riq ué s so it d iff ére nt e ou

qu’une autre définition soit plus adaptée.

3. 2. 3 La re cher ch e à voi si na ge s var ia bl es (RV V)

La recherche à voisinages variables fonctionne par une succession de recherches

lo cales et de p erturbations. Après chaque recherche lo cale infructueuse, l’amplitude de

la p erturbation k est au gme nté e p our p er met tre une ex plo rat ion plus la rge . Au delà

d’ un e va le ur m ax im al e kmax fix é e c om me pa ra m èt re , la va le ur de k sera à nouveau

réduite à son minimum p our éviter les ineffi

caces p erturbations trop grandes.

Se l on l es a ppl i ca ti o ns , il c onv ie nd ra de dé v el op pe r ou d’ a tr op hi er la re c he rche lo c al e,

ce qui donne li eu à di verses fo rmul ati ons de la re che rche à vo isi nag es var iabl es. En

effet, si la reche rche lo ca le p er met d’ amé lio rer la so lut ion co ura nte, el le est né anmo ins

ex ige ante en te rme s de ca lcu ls, et il y a un choix à fa ire entre la qu ali té de la so lut ion

et le te mps né ces sai re p our l’ obt enir . Le ch oix des tr ansf orm ati ons à ut ilis er lors de la

reche rche lo cale n’est donc pas ano din.

L’algorithme 3.5 décrit le fonctionneme nt de la rech e rche à voisinages variables de

ba s e.

À pa r ti r de l a st ru c tu re q u e pr op ose l a r ech er che à voi s in ag es var ia bl es , d eu x

ex te nsio ns sont en vis age abl es. D’ une part la re che rche à vo isi nag es var iabl es gé nér ale

fav or is e la q ua li té de la s ol ut io n au dé t ri me nt de l ’e ffo rt de c al cu l e t, au c on tr ai re , la

recherche à voisinages variables réduite vise à réduire l’eff

ort de calcul au détriment

de la q ua li té de la s ol ut io n.

3.2.3.1 La recherche à voisinages variables générale

Dans la re cherche à voisinages variables générale, la recherche lo cale est re mp lac ée

pa r la de s ce nt e à v oi si na g es va ri ab le s, c et te de rn iè re p o uva nt ê tr e c on si dé ré e c om me

une m ét a- re c he rche lo c al e. L ’a lg or it hm e 3 .6 dé c ri t la re c he rche à vo is in ag e s va ri ab le s

générale.

- 84 -


Al gorit hm e 3.5 Algorithme RVVB

Donnée : S

Noter S ⇤ = S la meilleu re solution connue.

Po se r k = 1

Définir kmax

rép

éter

S 0 P E R T U R B E (S ⇤ , k ),

S 0 R e c h er c h e L oc a l e (S 0 ).


S ⇤ S 0 ,

k 1.

sinon

k k + 1 .

si k > kmax alors

k 1.


retourner S ⇤ .

Al gorit hm e 3.6 Algorithme RVVG

Donnée : S

Po se r S ⇤ S la meilleure solution connue.

Po se r k 1

Définir kmax

rép

éter

S 0 P E R T U R B E (S ⇤ , k ),

S 0 D V V (S 0 ).


S ⇤ S 0 ,

k = 1 .

sinon

k k + 1 .

si k > kmax alors

k 1.


retourner S ⇤ .

- 85 -


Un des voisinages utilisés p our la descente à voisinages variables est généralement

ut i li sé p o ur la p e rt urb a ti on .

Ce type de recherche à voisinages variables convient quand l’effort de calcul n’est

pa s c ruc i al et q ue l ’e mp ha se do i t ê tr e m is e sur la q ua li té de s s ol ut io ns .

3.2.3.2 La recherche à voisinages variables réduite

À l’ o p p o sé de l a d e s ce nt e à vo is i n a g es va ri a b l e s , qu i d o n n e d e m ei l l e u r es s o l u t i on s

que la recherche lo cale de base, au p rix de calculs plus intensifs, certaines applic ations

vo nt n éc e s s i t e r d e r éd u i r e a u m a x imu m l ’ e ff o r t d e c al c u l d e l a r e ch e rch e lo ca l e . L a

reche rche à voisinages variables p eut fon ctionner sans recherche lo cale, la s u c cession

de p e rt urb a ti on s j ou an t à la f oi s le rô l e de di v er si fic at io n et de re c he rche s to c ha st iq ue .

Nous parlerons alors de recherche à voisinage s variables réduite (la recherche lo cale

ét ant él imi née ).

L’algorithme 3.7 décrit la rech e rche à voisinages variables réduite.

Al gorit hm e 3.7 Algorithme RVVR(S )

Donnée : S

Po se r S ⇤ S la meilleure solution connue.

Po se r k 1

Définir kmax

rép

éter

S 0 P E R T U R B E (S ⇤ , k ),


S ⇤ S 0 ,

k 1.

sinon

k k + 1 .

si k > kmax alors

k 1.


retourner S ⇤ .

3.3 Illustration et extensions

Afin d’illustrer la recherche à voisinages variables, nous allons en détailler le

f on ct io nn e me nt à pa rt i r d’ e xe mp le s. Le pr em i er e xe mp le c on si st e à i de nt ifi er de s g ra ph es

extrêmes. Cet exemple est directement inspiré de l’algorithme de recherche à voisinages

variables de la première version du logiciel AutoGraphiX [Cap orossi et al. 00].

Le second exemple est basé sur une extens ion p ossible d’un algorithme de classifica

tio n non sup er vis ée, k -means. Cet algorithme est considéré comme une référence

p our la classi fication automatique et est très utilisé. Il se trouve que cet algorithme

ne pro du it q u’ un o pt imum lo c al q ui dé p e nd f or te me nt de la s ol ut io n i ni ti al e ut i li sé e.

- 86 -

3.3 Illustration et exte nsions

Nous prop oserons ici une manière d’utiliser k -m ean s au sein d’un al gor ithm e de recherche

à voisinages variables. Cette adaptation est simple, mais p ermet d’imp ortantes

amélio rations de la p erformance de k -m ean s.

Nous montrerons ensuite comment adapter la recherche à voisinages variables p our

les cas d’optimisation d e problèmes avec des variables c ontinues.

3. 3. 1 Tro uv er des gr ap hes ex tr êm es avec la RVV

So i t G = ( V , E ) un g ra ph e c om p o sé de n = | V |

so mme ts (Vertices) e t m = | E

|

arêtes (Edges). Un exemple de graphe avec n = 6 et m = 7 est re prés ent é sur la

fig ur e 3 .3 . B ie n q ue no us ne t ra va il li on s pa s i ci sur de s g ra ph es av ec é ti qu et t es (p o ur

lesquels chaque sommet est caractérisé), les sommets sont numérotés de 1 à 6 afin de

f ac il it e r l es de s cr ip ti on s.

5

6

2

4

1

3

Figure 3.3 – Un graphe G à n = 6 sommets et m = 7

arêtes.

É ta nt do nn é q ue la re pr é se nt at io n du g ra ph e n’a pa s d’ i nflu en c e sur l es c al cu ls

que nous effectuerons (la p osition des sommets n’imp orte pas, ce qui signifie qu e la

di s ta nc e m es ur ée e nt re de s p o si ti on s de de u x s om me ts n’ e st pa s i mp o rt ant e) , le m êm e

graphe p eut tout aussi bien être représenté par sa matrice d’adjacence (voir figure 3.4)

A = {a ij} ave c a ij = 1 si les so mme ts i et j sont ad jac ent s, et a ij = 0 si non, ou par

une l is te i ndi q ua nt p o ur c ha qu e s om me t la l is te de s s om me ts q ui lui s on t a dj ac e nt s.

Le choix de la métho de de représentation (matrice d’adjacence, liste d’adjacence, ou

autre) ou le choix de la nu mérotation des sommets sont purement arbitraires et n’ont

aucun impact sur les calculs, l’ob jet étud ié n’étant pas relié à sa représentation.

Notons I ( G) une f on ct io n q ui a ss o c ie au g ra ph e G une va le ur i ndé p e nd am me nt

de la m an iè re do nt l es s om me ts s on t nu mé ro t és ou re pr é se nt és , une t el le f on ct io n e st

app elée invariant. Les nombres de somm et s n ou d’arêtes m sont des invar iant s.

- 87 -


1 2 3 4 5 6

1 0 1 0 0 0 0

2 1 0 1 0 1 0

3 0 1 0 1 1 0

4 0 0 1 0 1 0

5 0 1 1 1 0 1

6 0 0 0 0 1 0

Figure 3.4 – Matrice d’adjacence du graphe G.

Po ur d o nn e r d ’ a u t re s e xe m p l e s, c i to n s l e n o mbr e ch ro m a t i qu e ( G), n o mb r e

minimum de couleurs requises p our asso cier à chaque sommet une couleur en s’assurant

que deux sommets adjacents n’aient pas la même couleur. Ici, ( G) = 3 , et une

co lor ati on p ou rrai t co nsi ste r à affec te r le bleu aux so mme ts 1, 3 et 6, al ors que le

rouge serait affecté aux sommets 2 et 4. Le sommet 5 de vra avoir une autre couleur,

pa r e xe mp le le v ert. To uj ou rs à titre d’ e xe mp le , no us po uvo ns a j ou te r l ’é ne rg ie

d’ un g ra ph e E = n

i=1 | i | , so mm e de s va le ur s ab sol ue s de s va le ur s pr opr es d e la

matrice d’adjacence de G. Le n omb re d ’i nvar ia nts g ra ph iq ue s es t tr op g ra nd p o ur

p er me tt re d e l es é nu mé re r i ci , ma is l e l ec te ur p e ut se r éf ére r à [ Gross et al. 13 ] et

[ To de schini et al. 00] p o u r u n r e c e n se m e nt e x p l i ca t i f e t r e l at i ve m e nt e x h a us t i f d e s

invariants qui existent.

La recherche de graphes extrêmes p eut consister à trouver un graphe qui maximise

ou minimise u n invariant (ou une fonction d’invariants, qui est aussi un invariant),

éven tue lle ment avec des co ntra inte s.

Les solutions d e ces problème s sont des graphes, chaque graphe différent é tant une

so lut ion p os sibl e du pro blè me. Les gr aphe s ayant la me ill eure val eur de la fo nct ion

ob jectif (plus grande ou plus p etite selon que l’on maximise ou minimise) forment

l’ensemble des solutions optimales. C’est un graphe parmi cet ensemble que nous

ch er ch e r o n s à l ’ a i de d e l a RV V .

3.3.1.1 Quelles transformations utiliser ?

La recherche lo cale p ourrait être défin ie à partir de l’a jout et du retrait d’u n e

arête, mais on p ourrait considérer b eaucoup d’autres tran sformations telles que le

dé p la ce me nt d’ un e a rê te , ou d’ a ut re s t ra ns fo rm at io ns pl us c om pl ex e s. P ui sq ue le

vo is i n a g e d ’ u n g r a p h e ch a n ge s e l on l a t r a n sf o r m a t i on c o n si d é r é e , i l e s t p o s s ib l e q u ’ u n e

transformation ne p ermette pas d’amélioration de la solution courante, alors qu’une

autre le p ermettrait. Les transformations utilisées dans la descente à voisinages variables

de la pr em i èr e v er si on d’ AG X s on t dé c ri te s da ns [ Cap orossi et al. 00 ] e t s o nt p r é s e nt é e s

sur la figure 3. 5. On co nst ate par ex emp le que ce rta ins vo isi nag es pré ser vent le nombre

de s om me ts , a lo rs q ue d’ a ut re s le mo di fie nt. É ta nt do nn é q ue da ns la pl up ar t de s c as ,

le nombre d e s ommets du graphe é tait fixé , certains de ces voisinages n’avaient pas

d’ i nt ér êt .

- 88 -


Remove

Add

Move

Detour

Short cut

2 Opt

Insert pending

vertex

Add pending

vertex

Remove vertex

Figure 3.5 – Voisinages utilisés dans la version initiale d’AGX.

- 89 -


On re m arque aussi que la transformation 2 O pt est la se ule de la li ste à pré ser ver les

de g ré s de s s om me ts , e ll e s er a do nc la s eu le p e rt in en te si on c he rche de s g ra ph es e xt rê me s

réguliers et si le graphe courant a déjà cette propriété. Les autres transformations

p eu ve nt a lo rs p er me tt re d e t rou ve r u ne p re mi ère s ol ut ion r éa li sab le , m ai s l eu r u ti lit é

s’ arrê ter a là.

Toujo urs da ns le cas pr éci s où l’on se co nce nt re sur le s grap hes ré guli ers , il sera

p eu t- êt re p e rt in ent d ’inve nte r d ’a utr es tr an sf orm at ion s s p éc ifiq ue s c omm e c el le d éc rit e

sur la figure 3.6. Cette transformation, basée sur un sous-graphe à 5 sommets est

ex ige ante en ca lcu ls mais p eut être ju sti fiée par sa sp éc ific ité .

Figure 3.6 – Un exemple de trans formation sp écifique aux graphes réguliers.

3.3.1.2 Dans quel ordre utiliser les transformations ?

Considérons maintenant une transformation t1 qui consiste en l’a jout ou le retrait

d’ un e a rê te , et no t on s N t1 ( G ) le voisinage de G co rre sp o ndan t. On co nst ate que les

graphes de N t1 (G ) ont une arête de plus ou de moins que G . Une aut re tra nsf orma tio n

t2 qui consiste en le déplacement d’une arête définira un voisinage (notons le N t2 (G ))

co nst itué de gr aphe s co mp or tant le même no mbre d’ arêt es que G. Il est clair que ces

de u x voi si na ge s s ont e xc lu si f s, un g ra ph e ne p o uvant a ppa r te ni r a ux de u x.

On p eut maintenant envisager une troisième transformation t 3 qui c on s iste à

appliquer deux fois la transformation t 1 . À p ar ti r d e t 3 , o n p eu t c on s tr u ir e u n vo is i na g e

( N t 3 (G )) comp osé des graphes obtenus à partir de G pa r de u x a j ou ts , de u x s upp re ss io n s,

ou encore un a jout et une suppression. Comme un déplacement p eut être défini comme

un a j ou t s ui vi d’ un e s upp re ss io n , il s ’av èr e q ue N t 2 ( G) 2 N t 3 (G ). Le vo isi na ge

N t 2 (G ) sera in util e ap rès le vo isi nag e N t 3 (G) et on p ou rrai t p en ser qu ’il vaut mi eux

ut i li se r N t 3 ( G ) que N t 2 ( G ). Ce n’est p ourtant pas certain. Il est vrai que N t 3 (G )

p er me t d ’o bt eni r de s gr ap he s i na cc ess ib le s à l ’a id e d e N t 2 ( G), bi e n q u e l a r é ci p r o q ue

ne s oi t pa s v ra ie , m ai s l ’e xp lo ra t io n de N t 3 ( G ) est plus lo ngue . Sans te nir co mpt e

de s i so mo rp hi sm es ( do nt l ’i de nt ifi ca t io n e st e xt rê me m en t di ffic il e) , si

G co mp orte n

so mme ts et m arêtes, nous avons :

– |N t1 n( n1)

( G ) |

= 2 ,

– |N t 2 ( G ) | = m(

n( n1)

2 m),

– |N t3 ( G ) | = ( n( n1)

2 ) 2 .

- 90 -


Le temps passé à explorer un voisinage au s s i vaste que N t 3 (G) n’ e st p e ut -ê tr e pa s

j us ti fié . Au dé b ut de l ’o pt im is at i on , a lo rs q ue la s ol ut io n c ou ra nte n’ e st pa s b o nne , l es

vo is i n a g e s s i mp l e s e t r ap i d e s à e xp l o r e r s e mb le nt a pp r o p r i és c a r i l s p er m e t t ent u n e

amélio ration rapide d e la solution. À la fin, alors que l’explo ration se fait p armi de

b onnes solutions, il est imp ortant de fouiller plus en détail l’espace des solutions. C’est

da ns ce c on te x te q ue l es v oi si na g es c om pl ex e s s on t j us ti fié s.

3.3.1.3 Utilisation de la RVV de base

Po ur i l l u s tr e r l e f o nc t i o n n em e nt d e l a RV V d e b as e , p r e n on s l e g r a ph e G dé c ri t sur

la figure 3.3 comme solution in itiale . Sup p osons que le problème consiste à identifier

un g ra ph e c on ne xe à 6 s om me ts q ui m ini m is e l ’é ne rg ie , et q ue la re c he rche lo c al e s oi t

ba s ée sur la t ra ns fo rm at io n t qui consiste à a jouter ou supprimer une arête.

La valeur de la fonction ob jectif E ( G) = 7 .6655 p o ur c ett e so lu tio n in it ia le.

Nous remarquons d’ab ord que, comme le problème étudié e s t restreint aux graphes

co nne xes , ce rta ine s ar ête s ne p euvent pas être re tiré es de G (par exemple l’arête entre

les sommets 1 et 2, ou celle entre les sommets 5 et 6).

L’ensemble des graphes du voisinage N (G ) de G (représenté sur la figure 3.3) par

l’utilisation de la transformation t est re prés ent é sur la figure 3. 7.

En ra i so n de s i so mo rp hi sm es , il e st en g én ér al po s si bl e q u’ un de c es g ra ph es

pu is se ê tr e o bt en u de dive rs es m an iè re s à pa rt i r du m êm e g ra ph e en a ppl i qu ant

une t ra ns fo rm at io n do nn é e t, ma i s ce n’ e st l e c a s p o u r a uc u n d es g r a ph e s d e N (G )

représentés sur la figure 3.7, puisque l’énergie, indiqué e en des s ou s du graphe est

toujours diff

érente.

À ce s t a de , l a m e il l e ur e s o l ut i o n co n nue es t G, no u s p o so n s d on c G ⇤ = G et k = 1.

En c om pa ra nt l es va le ur s de l ’é ne rg ie de s g ra ph es de N (G ) à l a va l e u r E( G ) = 7. 6655

du g ra ph e i ni ti al G , o n co n s ta t e q ue G 1 , G 2 , G 3 , G 4 et G 5 sont des so lut ions me ill eure s

que G. La r ech er ch e lo c al e p our ra it d on c co nt inue r ave c n’ im p or te l aqu el le d e ce s

so lut ions . Si on ut ilis e le cr itè re du me ill eur d’ab ord, on ch ois ira G 3 . À l’ i té ra ti on

suivan te, nous au rons G 1 = G 3 co mme so lut ion co ura nte à l’ ité rat ion 1 et la val eur de

la fonction ob jectif sera E ( G 1) = E ( G 3 ) = 6 .4852.

En ré p é ta nt le pr oc es su s, l or s de l ’i té ra ti o n s ui vante ( it ér at io n 2 ), no us o bt en on s un

graphe G2 do nt l ’é ne rg ie e st E = 5. 81863 . À l ’ e x a m e n d u vo i s i n a g e d e G2 , N (G 2 ), nous

remarquons qu’aucun de ces graphes n’est meilleur que G2 qui est donc un optimum

lo cal pour l’a jout ou le retrait d’arêtes. Comme c’est alors la meilleure solution connue,

no us no t on s G ⇤ = G2 , k = 1 et la val eur de la fo nct ion ob je cti f Z ⇤ = 5 .81862 .

Dans la suite de l’algorithme, nous allons alors pro céder à une p erturbation de la

meilleure solution courante. Étant donné que k = 1, c e t t e p e r t u rb a t i o n p e u t c on s i s t e r

à a j o u t e r o u e n l eve r u n e a r ê te a u h a s a r d . A pr è s c e t t e p er t u r b a t i on , n o u s e ff e c tu e r o n s

à no u ve au un e re che r ch e l o c a le . S i ce t te r e ch er che l o cal e é ch o ue , n ou s a ug m ent er o ns l a

val e ur d e k de 1 avant de faire une nouvelle p erturbation. Cette fois, nous a jouterons ou

en lèver ons une ar ête au ha sard et rép èt ero ns ce tte p er turba ti on k f oi s ava nt d’e ffe ct ue r

la recherche lo cale suivante.

- 91 -


5

6

5

6

5

6

2

4

2

4

2

4

1

3

1

3

1

3

G 1 : E = 7 . 34249 G 2 : E = 7 . 41598 G 3 : E = 6 .4852

5

6

5

6

5

6

2

4

2

4

2

4

1

3

1

3

1

3

G 4 : E = 7 .20775 a G 5 : E = 7 . 30056 G 6 : E = 8 .1183

5

6

5

6

5

6

2

4

2

4

2

4

1

3

1

3

1

3

G 7 : E = 7 . 21743 G 8 : E = 7 . 98063 G 9 : E = 8 .18269

5

6

5

6

5

6

2

4

2

4

2

4

1

3

1

3

1

3

G 10 : E = 8 . 01883 G 11 : E = 8 . 1183 G 12 : E = 7 .73831

5

6

2

4

1

3

G 13 : E = 8 .04578

Figure 3.7 – Graphes du voisinage N t ( G)

- 92 -


Itération Graphe É ne rg ie

5

6

2

4

0

1

3

7.6655

5

6

2

4

1

1

3

6.4852

5

6

2

4

2

1

3

5.81863

Figure 3.8 – Graphe courant à chaque itération de la rech erche lo cale, ainsi que son énergie.

3.3.1.4 La descente à voisinages variables

Si l ’o n ava it o pt é p o ur la re c he rche à v ois in ag es va ri ab le s g én ér al is é e, au l ie u

d’ e nt re r da ns la ph as e de p e rt urb a ti on s j us te a prè s la re c he rche lo c al e ba s ée sur l es

a jo u t s / su p p r es s i o ns d ’ a r êt e s , n o us au r i o ns es s ayé d ’ au t r e s t ra n s f or m a t io n s ava nt .

Dans le cas qui nous intéresse, nou s aurions pu essayer de déplacer des arêtes en

pr en a nt le g ra ph e G 3 co mme p oint de dé part . On re marq ue al ors que dé plac er l’ arê te

entre les so mme ts 1 et 2 p our la pl ace r en tre les so mme ts 1 et 5 p er met tai t d’ amé lio rer

la solution à nouveau. Dans ce cas-ci, la solution obtenue alors e st une étoile à 6

so mme ts et son én erg ie est E = 4 . 47214 . C’est la solution optimale puisque nous savons

que E 2 p m, et que m n 1 p our les graphes connexes [Cap orossi et al. 99].


Comme nous le faisons souvent avec la recherche à voisinages variables, les p erturbations

p euvent être construites à partir des transformations utilisées p our la

de s ce nte à v oi sina g es va ri ab le s. P ar e xe mp le , une p e rt urb a ti on c on st ru it e à pa rt i r de

la transformation qui cons iste à a jouter ou enlever une arête p ourrait être construite

co mme in diqu é par l’ alg ori thme 3. 8.

- 93 -


Al gorit hm e 3.8 Algorithme PERTADDREM

Donnée : G

Donnée : k

rép éter k fois

Choisir une paire ( i, j )

de s om me ts de G.

si il existe une arête entre i et j alors

Mo di fie r le g ra ph e G en sup prim ant l’ arê te en tre i et

j .

sinon

Mo di fie r le g ra ph e G en a j ou ta nt une a rê te e ntre i et j .

retourner

G

Si le no mbre d’ a rê te s ava it é té fix é , la p e rt urb a ti on ba s ée sur de s a j ou ts et s uppr

es s io ns ne do nn e ra it pr ob a ble m ent pa s de b o ns ré s ul ta ts . On ut i li se ra it pl ut ô t une

transformation qui préserve le nombre d’arêtes comme M O V E qui déplace une arête,

co mme le dé crit l’ alg ori thme 3. 9.

Al gorit hm e 3.9 Algorithme PERTMOVE

Donnée : G

Donnée : k

rép éter k fois

Choisir une paire ( i, j )

de s om me ts no n a dj ac e nt s de G.

Choisir une paire (i 0 , j 0 ) de s om me ts a dj ac e nt s de G.

Mo di fie r le g ra ph e G en

a j ou t a nt u n e a r êt e ent r e i et j , et en

en levant l’ arê te entre i 0 et j 0 .

retourner

G

Si l es de g ré s ava ie nt é té fix é s, no us a uri o ns pa r e xe mp le c ho is i 2-opt co mme base à

la p erturbation, etc.

3. 3. 2 A mél i ore r k -means

Pa rm i l es a p pl i c a t i on s d e l a RV V , l a c l a s si fi c a t i on n o n s u p e r v i s é e e s t u n d o m a in e

imp ortant. L’algorithme de regroup ement le plus con nu est sans conteste k -m ean s, ou

k-moyennes [M ac Qu ee n 67 ]. Cet algorithme est disp onible dans la plupart des logiciels

d’ a na ly se de do nn é es et e st c on si dé ré c om me une ré f ér en ce .

Le critère utilisé par k -m ean s est la so mme des ca rré s des er reur s, ce qui si gnifi e

que la somme des carrés des écarts des observations au barycentre de leur classe es t

minimisée, tel que le décrit l’algorithme 3.10.

Po ur ce pr o b l èm e , un e s o l u t io n es t un e p a r t it i o n d e s ob s e rvat i o n s e n P cl ass es.

Cette partition peut être décrite par les valeurs de variables binaires zip = 1 si et

se ule ment si l’ obse rvat ion i appartient à la classe p. Un e so l u t i o n S du pr ob lè m e s er a

- 94 -


alors décrite par les valeurs zip . Chaque observation est décrite par un vecteur de

di me n si on m, xij ét ant la val eur de la var iabl e j p ou r l ’ob se rvat io n i . No u s no t on s µpj

la moyenne de la variable j da ns la c la ss e p , qu i d é fi n it l e s c o o rd o n n é es d u b a r y ce nt r e

de la c la ss e p tel que défini par l’équ ation 3.1.

i zip xij

µpj =

. (3.1)

i zip

Al gorit hm e 3.10 Algorithme k -m ean s

Donnée : S

Po se r amelior e v r ai

tant que ameliore = vrai faire

amelior e f aux

É ta p e 1 :

Calculer les valeurs µ pj se lon l’ équ ati on 3. 1.

É ta p e 2 :

p ou r t out i faire

Noter ptq z ip = 1

So i t dip la distance euclidienne entre l’observation i et le vec te ur µp.

si 9p 0 tq d ip 0 < dip alors

amelior e v r ai

Mo di fie r S : zip 0 et z ip 0 1.

retourner

S

L’algorithme 3.10 (K-means) n’est autre qu’une recherche lo cale. Il se trouve que

ce tte reche rche lo ca le donne une so lut ion dont la qu ali té dé p e nd fo rte men t de la so lut ion

initiale utilisée. Malheureusement, p our ce type de p rob lè me, le nombre d’optimums

lo caux est imp ortant et la solution que pro duit k -m ean s p eut se montrer très mauvai se,

ce qui p eut in duire ce rta ins ch ercheurs en er reur , convai ncus que l’ alg ori thme pro duit

la meilleure solution p ossible [Steinley 03].

Au lieu d’essayer de trouver une manière de construire la solution initiale à utiliser,

no us a ll on s pr op o se r i ci une m an iè re d’ a da pt er l ’a lg or it hm e en l ’i nt ég ra nt à la re c he rche

à vo isin ages var iable s. L’a lgor ithme q ue nou s prop o sero ns ici es t une ex tensi on nat urel le

de k -m ean s fa cil e à me ttr e en œuv re.

Po ur d e m e i ll e u r s r é s u lt a t s , l e l e c t eu r p eu t s e r é f é r er à j-m ean s [Hansen et al. 01b ],

mais nous prop oserons ici une manière simple d’intégrer k -m ean s dans une re che rche

à voisinages variables.

P ui sq ue no us di s p o so ns d’ un e re che rc h e lo c al e a ss ez ra pi de , il no us re s te à c on st ru ir e

de s p e rt urb a ti on s. Une pr em i èr e p e rt urb a ti on P E RT B AS E est dé crit e par l’ alg o-

rithme 3.11.

- 95 -


Al gorit hm e 3.11 Algorithme PERTBASE

Donnée : k

Donnée : S

rép éter k fois

Choisir aléa toirement une observation i.

Choisir aléa toirement une classe p 0 .

Po se r zip 0 8p = 1 . . . P .

Po se r z ip 0 1.

retourner

S

La p erturbation P E RT B AS E co nsi ste donc à dé plac er k f oi s une o bs er va ti on

de sa classe, vers une classe aléatoire. Cette p erturbation s’avérera p eu efficace en

pr at i qu e c ar e ll e ne mo di fie q ue p eu la s tr uc tu re de la s ol ut io n. On lui pr éf è re ra

de s p e rt urb a ti on s pl us s op hi st iq ué e s t el le s q ue P E R T S P L I T ou P E R T M E R GE

définies par les algorithmes 3.12 et 3.13 resp ectivement. Ces p erturbations mo difient

la solution, mais prennent en considération la natu re du problème et pro duisent une

so lut ion de na ture différ ent e mais co nsi sta nte .

Al gorit hm e 3.12 Algorithme PERTSPLIT

Donnée : k

Donnée : S

rép éter k fois

Choisir aléa toirement une classe p1.

Déplacer toutes les observations de p1 ve rs l a c l a s se l a p l u s p r o c he .


Affecter aléatoirement les obs e rvations de

p2 à p1 ou p 2 .

Appliquer l’algorithme k -m ean s re stre int aux ob servat ion s des cl ass es p1 et p2 .

retourner

S

L’algorithme P E R T S P L I T rép ète k f oi s le f ai t de v id er une c la ss e de s es é lé me nts

ava nt d e ch o i s ir u n e a u t r e c l as s e q u i s er a s ép a r é e e n d e u x p a r k -m ean s. Si le ch oix des

de u x c la ss es e st a ppr o pri é , et q ue l es c la ss es p 1 et p 2 sont pro ch es, il sera b ea uco up

pl us p e rt in ent q ue P E RT B AS E .

L’algorithme P E R T M E R GE pr en d de u x c la ss es et re di s tr ib ue l eu rs o bs er va ti on s

se lon l’ alg ori thme k -means. Comme dans le cas de P E R T S P L I T , si l e ch oi x d es d e u x

cl ass es est ap prop rié, et que les cl ass es p1 et p2 sont pro ch es, il sera b ea uco up plus

p er ti ne nt q ue P E RT B AS E .

Une des raisons qui font que ces deux p erturbations ont un b on p otentiel de

p er fo rm anc e ti ent a u f ait q u’ en g én éra l, l ’al go ri thm e k -m ean s fo nct ion ne bien qu and

le nombre de classes est mo déré. k -m ean s est ici ut ilis é p our op tim iser lo ca lem ent la

pa rt i ti on . L ’u ti li sa ti o n de la v er si on ré du it e de la re c he rche à v oi si na g es va ri ab le s e st

logiquement appropriée à ce type de problème, les p erturbations jouant elles- mê mes le

rôle de recherche lo cale.

Si la p erturbation PERTMERGE semble se comp orter légèrement mieux que

PERTSPLIT, la combinaison des deux paraît être toutefois une stratégie à privilégier.

- 96 -

3.4 Conclusion

Al gorit hm e 3.13 Algorithme PERTMERGE

Donnée : k

Donnée : S

rép éter k fois


Choisir aléa toirement une observation i de p1 .

Noter p2 la classe la plus pro che de i ho rm i s p1 .

Affecter aléatoirement les observations de

p1 ou p2 à p1 ou p2 (mélanger les classes

p1 et p2 ).

Appliquer l’algorithme k -m ean s re stre int aux ob servat ion s des cl ass es p1 et p2 .

retourner

S

3. 3. 3 A dap te r la RVV à des pr ob lè me s conti nu s

Bi en que nous n’ayons dé crit l’ appl ica tio n de la re che rche à voi sina ge s var iabl es

que dans le contexte de l’optimisation c ombinatoire, cette dernière p eut aisément être

ut i li sé e p o ur ré s ou dre de s pr ob lè m es d’ o pt im is at io n c on ti nue [ Ml ad en ovi ć et al. 08].

3.3.3.1 Recherche lo cale

Po ur d es p ro b l è m e s d ’o p t i m i sa t i o n c o nt inu e , l a r e ch e r ch e l o c al e n e p e u t p a s ê t r e

décrite de la même manière que nous venons de le voir. Il y a alors deux p ossibilités :

– soit la fo nct ion à op tim iser est dé rivable et une reche rche se lon la mé tho de du

gradient, ou si c’est p ossible, la métho de de Newton ou encore une métho de quasi-

Newton p eut être utilisée. La recherche à voisinages variables p eut aisément

être ad apt ée à n’ imp orte quel type de re che rche lo ca le, et l’ util isa tio n de la

de s ce nte à v oi si na g es va ri ab le s s er a pl us ou m oi ns p e rt in ent e, m êm e si e ll e p e ut

en pri nci p e être ut ilis ée . Nous ré fér ons le le cte ur à n’ imp orte qu ell e te chn ique

d’ o pt im is at io n c on ti nue , q ui p e rm et de t ro uver un o pt imum lo c al .

– So i t la f on ct io n à o pt im is er n’ e st pa s dé ri va bl e et le re c ou rs à de s m ét ho de s de

reche rche directe est nécess aire. Un exemple d’utilisation de la recherche à voisina

g es va ri ab le s c om bi né e à la re c he rche di re c te e st dé c ri te da ns [Audet et al. 08].


Dans le cas continu, les p erturbations peuvent être aussi simples que mo difier

d’ un e va le ur a lé at o ir e pr op o rt io nn el le à k la valeur de chaque variable, mais selon le

pr ob lè m e, il e st p o ss ib le q ue de s s tr at ég i es pl us c om pl ex e s ( ou pl us e ffic ac e s) s oi en t

né c es sa i re s.

3.4 Conclusion

Nous avons exposé dans ce chapitre les princip es généraux de la recherche à

vo is i n a g e s var i a b le s a i ns i q ue l e s p r i nc i p a l e s var i a nt e s d e l ’ a lg o r i t h m e , à s avo i r l a RV V

de ba s e, la RVV g én ér al e et la RVV ré du it e .

- 97 -


Comme le montrent les nombreux articles d’application, la RVV donne de très

b on s r és ul tat s e n un t em ps r ais on na ble . I l y a u n gr an d n ombr e d ’a pp lic at io ns p ou r

lesquelles la RVV donne de meille u rs résultats que les autres métahe u ristiques, et ses

p er fo rm anc es s ont t ouj ou rs t rès h on or abl es .

Comme on peut le voir dans la section des applications, particulièrement la manière

d’ a mé li or er la p e rf or ma nc e de l ’a lg or it hm e k -m ean s, la mise en œuvre de la re che rche à

vo is i n a g e s var i a b l e s e s t r e l a t i vem e nt a is é e , c om p a r a b l e i c i à c e ll e d e multi-start p o ur tant

co nsi déré co mme la ma niè re fa cil e de so rtir des op timums lo ca ux. Ma lgr é ce tte fa cil ité

de mise en œuvre, la RVV donne de très b ons résultats. C’est certainement l’asp ect le

pl us i mp o rt ant à re t en ir c ar la RVV p e rm et à de s c he rche u rs dé s ir eu x d’ o bt en ir de

b on s ré su lta ts d ’y p ar ven ir m êm e s an s u ne g ra nde e xp é ri enc e de p ro gr amm at io n d es

métahe uri stiques.

Po ur fi n ir , r a p p el o n s q u e l a RV V , c o m m e l a p l u p ar t d e s m ét a h e u r is t i q u e s, p r op o s e

avant tout un schéma général, une trame sur laquelle le chercheur p eut s’appuyer. Ce

schéma n’ est nul leme nt li mit ati f et ga gne so uve nt à être ad apt é ou mo difié se lon les

sp éc ific ité s de ch aqu e pro blè me.


[Hansen et al. 01c] : Il s’agit de l’article de référence par exce llence. Il donne une

de s cr ip ti on de la re c he rche à v oi si na g es va ri ab le s a in si q ue de s a ppl i ca -

tions telles que le problème du voyageur de commerce, le problème de

la p -m édi ane , le pro blè me de Web er mul tis ourc es , la cl ass ific ati on par la

minimisation de la somme des carrés (k -m ean s) et la pro gra mma tio n bi liné

a ir e av ec c on tr ai nt es bi l iné a ir es . Qu e lq ue s e xt en si o ns s on t e ns ui te dé c ri te s

pa rm i l es qu el le s la re c he rche à v oi si na g es va ri ab le s avec dé c om p o si ti on et

les recherches à voisinages variables imbriquées.

[Hansen et al. 01a] : Cette contribution app orte un complément d’information qui

est co nsa cré à la de scri pti on de dé vel oppe me nts asso ci és à la re che rche à

vo is i n a g e s var i a b l e s. U n e p r e m i è r e p a r t ie t r a i te d e l a m a ni è r e d e m e t t r e l a

métho de en pratique, particulièrement pour l’application à des problèmes de

grande taille alors qu’un certain nombre d’applications sont ensuite décrites

allant de la planification de tâch es sur des architectures multiprocesseurs

ave c d é l a i s d e c o m mu ni c a t i o n a u p r o bl è m e d e l a c l i q u e m ax i mu m e n p a s s a nt

pa r de s pr ob lè m es de lo c al is at i on ou le pr ob lè m e de t ro uver l ’a rb re de

recouvrement maximum avec contraintes de degrés.

[Mladenović et al. 08] : Cette contribution décrit en détail l’application de la recherche

à voi sin ag es varia bl es da ns un cont ex te où l es vari abl es s ont c ont inu es. L es

cas co ntra ints et non co ntra ints y sont tr ait és.

[Hansen et al. 08, Hansen et al. 10] :

P lu s ré c em me nt, c es de u x pu bl ic a ti on s o nt é té

dé d ié es à une re v ue de la l it té ra tu re c ou vr an t a us si bi e n l es t echn iq ue s

qu’une grande variété d’applications. En plus du texte assez exhaus tif , ces

de u x pu bl ic a ti on s pr op o se nt une va st e l is te de ré f ér en ce s c ou vr an t a us si

bi e n l es t ec hn iq ue s q ue l es a ppl i ca ti o ns .

- 98 -

Chapitre 4

Une procédure de recherche

itérative en deux phases :

la méthode GRASP

Michel Vasquez et Mirsad Bulju bašić

Centre de recherche LGI2P,

Pa rc s c ie nt i fi q u e G e or g e s B e s s e , 3 0 03 5 N îm e s c e d e x 1

michel.vasquez,mirsad.buljubasic@mines-ales.fr

4.1 Introduction

La métho de GRASP génère plusieurs configurations dans l’espace de recherche d’un

pr ob lè m e do nn é à pa rt i r de s qu el le s e ll e e ffe ct ue une ph as e d’ a mé li or at i on . De m is e en

œuvre relative m ent simple, elle a été ap pliquée à de nombreux p roblèmes d’optimisation

combi nato ire diffici les te ls que : l’ ordo nna nce ment [

Bi nat o et al. 01], l’affectation

quadratique [ P it so ul is et al. 01], le voyageur de commerce [ M ar in ak is et al. 05], la

pl a ni fic at io n d’ i nt er ve nt io ns d’ é qu ip es de m ai nt en an ce [ Hashimoto et al. 11 ] etc. Le

lecteur intéressé p eut consulter la bibliographie commentée de P. Festa et M.G.C.

Resende [Festa et al. 02] qui présente près de

200 références sur le sujet.

Pa r a i ll e u r s , l e s r é s u lt a t s p r o du i t s p a r c e t t e m é th o d e s o nt c o m p é t i t i fs p a r r a p p o r t

à d’autres ap pro ches heur istiques tel les que le recu it simulé, la r echerche tab ou ai nsi

que les algorithmes à p opulation.

Dans ce chapitre, nou s allons pré s enter les princip es de cette métho de et en donner

un e xe mp le d’ a ppl i ca ti o n au pr ob lè m e de la c ou ve rt ure m ini m al e a in si q u’ à c el ui de la

couver ture de p oids mi nimum.

99

Chapitre 4 – La métho de GRASP

4.2 Principe général de la méthode

La métho de GRASP consiste à rép éter une phase constructive suivie d’une phase

d’ a mé li or at i on t ant q u’ une c on di ti on d’ a rrê t n’ e st pa s s at is fa i te (le plus souvent, cette

condition correspond à une limite de temps de calcul exprimée en nombre d’itérations

ou en secondes par exemple) . L’algorith me 4 .1 ci-dessous dé cr it le co de génériq ue de

ce tte pro cé dure .

Al gorit hm e 4.1 P ro c éd ur e G RA SP

Données : ↵, germe aléatoire, te mp s lim ite .

rép

éter

X Glouton Randomisé(↵ )

X Recherche Lo cale( X , N

)

si z ( X ) meil leur que z ( X

⇤ )

alors

X ⇤ X

ju squ ’à temps cpu > temps limite

;

La phase constructive corresp ond à un algorithme glouton dont l’étap e de fixation

de la va ri ab le c ou ra nt e — et de sa va le ur — e st l ég èr em e nt mo di fié e a fin de p e rm et tr e

pl us ie u rs cho i x pl ut ô t q u’ un s eu l à cha q ue i té ra ti o n. L es c ho ix p o te nt ie l s c on st it ue nt

une l is te ( R C L p ou r restricted candidate list ) da ns laqu elle un ca ndida t sera ret enu

aléa toirement. Une fois le couple (variable, valeur) fixé, cette liste est mise à jour en

tenant compte de la configuration partielle courante. Cette étap e est itérée jusqu’à

l’obtention d’une configuration c omp lète. Le b énéfice asso cié au x couples (variable,

val e ur ) ( formalisé par la fonction heuristique H), p our les variables non encore affectées,

tient compte des changements app ortés par la sélec ti on des éléments précédents :

c’ est de ce tte pro prié té que le qu ali tat if Adaptive de la m ét ho de G RA SP pr ov i ent.

L’algorithme 4.2 résume cette phase de construction d ’u n e configuration. L’amélioration

de c et te c on fig ur at io n e st ré a li sé e pa r une re c he rche lo c al e t el le q u’ une s im pl e de s ce nt e,

une re c he rche tabou ou toute autre heuristique de modifications locales. La phase

d’ a mé li or at i on e st dé t er mi né e pa r le vo is in ag e N mis en œuvre p our tenter de progresser

de p uis la s ol ut io n c on st ru it e pa r l ’a lg or it hm e g lo ut on . E nfin , à c ha qu e i té ra ti o n, le

meilleur optimum lo cal au regard de N est mé mori sé.

Al gorit hm e 4.2 Glouton randomisé

Données : ↵ , germe aléatoi re .

X = {;}

répéter

Construire la R C L en fo nct ion de l’ heur ist ique H et de ↵

P re nd re au ha s ar d un é lé me nt xh da ns la R C L

X

= X [ {x h }

M et tr e à j ou r H

ju squ ’à ce que la configuration X soit complète

;

L’évalu ation de la fonction heuristique H dé t er mi ne l ’i ns er ti on de s c ou pl es (va ri ab le ,

val e ur ) d an s l a R C L (restricted candidate list ). La façon dont est pris en comp te ce

- 100 -

4.3 Problèmes de couv erture minimale

cr itè re influe no tab leme nt sur le co mp or tem ent de la pha se co nst ruct ive : si l’on ne

retient que le meilleu r couple (variable, valeur) au regard de H alors on obtiendra

souvent la même so lut ion et il sera p eu ut ile d’ ité rer la pro cé dure . Si l’on re tie nt

tous les candidats p ossibles, on ob tie nd ra un algorithme aléatoire qui pro duira des

co nfig urat ion s très différentes mais de qu ali té mé dio cre : il y a p eu de ch anc e que la

ph as e d’ a mé li or at i on su ffise a lo rs à pro du ir e de b o nne s s ol ut io ns . La t ai ll e de la

R C L

est donc un pa ramè tre dé ter mina nt de la mé tho de. Du p oint de vue pra tiq ue, il est

pl us f ac il e de g ér er un s eu il q ua li ta t if d’ a cc ep t at io n ( H( x j ) meil leur que ↵ ⇥ H ⇤ où

H ⇤ est le meil leur bénéfice possible et ↵ un coeffi cient compris entre

0 et 1), p our le

tirage aléatoire du nouveau couple (variable, valeur) à fixer, plutôt que d’impléme nter

une l is te de k ca ndid ats p ot enti els qui im pliq ue un tri ou du mo ins une st ruct ure de

do nn é es de c om pl ex i té sup é ri eu re à la re c he rche d’ un c ri tè re m ini m al (ou maximal

selon la fonction objectif du problème traité). Les term es anglo-s axons sont threshold

based R C L da ns le c as du s eu il d’ a cc ep t at io n et cardinality based R C L da ns l ’a ut re

ca s.

Dans les section s suivantes, nous voyons plus en détail les éléments de la méth o de

GRASP en l’appliquant à deux problèmes d’optim isation combinatoire pro ches.

4.3 Problèmes de couverture minimale

É ta nt do nn é e une m at ri ce ( à m lignes et n colonnes ) co mp osé e un i qu em ent de 0 et

de 1, i l s ’ a g it d e t r o u ve r l e n o mb re mi n i mu m d e c o l o n ne s d e m a n i è r e à c e q u e ch a q u e

ligne ait au moins un 1 da ns c es c ol on ne s. Une i ns ta nc e du pr ob lè m e de la c ou ve rt ur e

minimale p eut se résumer à la donnée d’une matrice d’incidence des colonnes sur les

lignes comme celle d e la figure 4.1.

⎛

⎞

0 1 1 1 0 0 0 0 0

1 0 1 0 1 0 0 0 0

1 1 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 1 1 0 0

0 0 0 1 0 1 0 1 0

c o v er =

0 0 0 1 1 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0 0 1 1

0 1 0 0 0 0 1 0 1

0 0 1 0 0 0 1 1 0

⎜

1 0 0 1 0 0 1 0 0

⎟

⎝

0 1 0 0 1 0 0 1 0 ⎠

0 0 1 0 0 1 0 0 1

Figure 4.1 – Matrice d’incidence pour un problème de couverture minimale

D’une manière plus générale on p rend en compte un vecteur coût c o s t de

di me n si on n à va leurs st rictem ent p osi tives. O n cherch e alors à mi nimise r la somme

de s c oû ts de s c ol on ne s q ui c ou vr ent t ou te s l es l ig ne s : c ’e st le pr ob lè m e de la c ou ve rt ur e

de p o id s m ini m al (Set Covering Problem). En voici un e formulation linéaire :

- 101 -


min z =

8i 2 [1, m]

nX

cost j ⇥ xj ,

j=1

nX

coverij ⇥ xj 1,

j=1

8j 2 [1, n] xj 2 {0, 1}.

Figure 4.2 – M o dè l e m a th é m a t i qu e p ou r l e Set Covering Problem

Po ur 1 apple j apple

n , l a va r i a b le d e d é c i s io n xj vau t 1 si la co lon ne j est re ten ue et

0 si non. Par ex emp le, p our l’ inst anc e de la figure 4. 1, x = < 1011 10100 > est une

so lut ion dont la val eur ob je cti f z est ég ale à

5.

Si c o s t j est ég al à 1 qu e l que soit j , alors nous avon s affaire a u probl ème de

la couverture minimale de coût unitaire (Unicost Set Covering Problem) én onc é

en dé but de se cti on. Le Unicost Set Covering Problem et

le

Set Covering Problem

sont des pro blè mes co mbi nato ire s NP -diffici les [ Garey et al. 79 ] et , d è s q u e l e u r t a il l e

est imp or tant e, il de vie nt imp os sibl e de les ré soud re en te mps ra iso nnab le par des

appro ches exactes. Cela justifie la mise en œuvre d’appro ches heuristiques telles que

la métho de GRASP p our traiter ces instances diffi

c ile s .

4.4 Un premier algorithme

Nous reprenons, dans cette section, le même algorithme que celui prop osé par T. Feo

et M. G.C. Re sen de d ans l’ une de le urs pre miè res ré fér ence s sur le suj et [ Feo et al. 95 ]

où la méthode GRASP est appliquée au problème de couverture de coût unitaire.

Nous montrons ensuite comment améliorer les résultats et étendre l’étude au problème

pl us g én ér al de la c ou ve rt ur e de p o id s m ini m al , en c om bi na nt G RA SP av ec la m ét a-

he u ris t iq ue

tabou.

4. 4. 1 P has e c ons tr uc tive

So i t x le vecte u r caractéristique de l’ensemble de colonnes X (x j = 1 si la

co lon ne j appartient à X et x j = 0 si non) , x est le vec te ur bi nair e du mo dèl e

mathématique de la figure 4.2. L’ob jectif de l’algorithme glouton est de pro duire une

co nfig urat ion x à n co mp os antes bi nair es dont l’ ense mbl e X de c ol on ne s c or re sp o nda nt

co uvr e to ute s les li gne s. À ch aqu e it éra tio n ( n au total), le choix de la colonne j à

a j ou t e r à X (x j = 1 ) dép end ra du nomb re de lig nes non encore couver tes que ce tte

co lon ne co uvr e. Par ex emp le au ve ct eur x =< 1011 10100 > , sol ution d e la p etite

instance de la figu re 4.1, corresp ond l’ensemble de colonnes X = { 0, 2, 3, 4,

6}.

Po ur u ne c o lo n n e j do nn é e, no us dé fi nis s on s la f on ct io n he u ris t iq ue H (j) co mme

suit :

⎧

⎨

C (X[{ j

}) C( X)

si x costj

j = 0

H(j ) =

⎩

C (X \{j }) C( X)

si costj

xj = 1

- 102 -

4.4 Un premier algorithme

où C (X) est le no mbre de li gne s co uve rte s par l’ ense mbl e de co lon nes X . La liste d e

ca ndid ats R C L est gé rée de ma niè re im plic ite : dans un pre mie r te mps , on ca lcu le

H ⇤ = H( j) maximum p our toutes les colonnes j telles que xj = 0 . En s u i t e o n ch o i s i t

au hasard une colonne h telle que xh = 0 et H (h ) ↵ ⇥ H ⇤ . Voici le pseudo-co de de

l’algorithme glouton randomisé :

Al gorit hm e 4.3 greedy(↵)

Données : Co efficient

↵ 2 [0, 1]

Résultat : ve c te u r x réalisabl e, carac téristique de l’ensemble X des colonnes retenues

X = {;}

répéter

j ⇤ colonne telle H (j ⇤ ) est maximum

seuil ↵ ⇥ H (j ⇤ )

r rand() modulo n

pour j 2 {r, r + 1, ..., n 1, 0, 1, ..., r 1} faire

si H( j

) seuil alors

break

X

= X [ {j} (a jouter la colonne j

à l ’ e n s e mb l e X , xj = 1)

jusqu’à ce que toutes les lignes soient couvertes ;

La fonction heuristiqu e H () , qu i c o n d i t i o n n e l ’ i n s e rt i o n d e c o l o n n e s d a n s l a R C L ,

est réévaluée à chaque étap e p our ne tenir compte que des lignes non couvertes. C’est

de c et te pr op ri ét é q ue pr ov i ent le c ar ac tè r e a da pt at if de la m ét ho de .

Considérons l’instance de la figure 4.1 à n = 45 co lon nes et m = 330 lignes. Cette

instance corresp ond au fichier de donn ée s data.45 (renommé S45) qui fait p artie de 4

pr ob lè m es de Unicost Set Covering, dérivés d es systèm es triples d e Steiner, a ccessibl es

sur le site de la OR-Library de J .E . B ea sl e y [J.E.Beasley 90]. En prenant les valeurs

0 , 0.2 , · · · 1 p o ur ↵ et 1, 2, · · · 100 p o ur le g er me d e l a s éq ue nce ps eu do -al éa to ire , n ou s

obtenons le tableau de résultats 4.1.

Tabl eau 4.1 – Occu rrences des solutions par valeur de z p o ur l ’i ns ta nc e S45

↵\z 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 total

0.

0 0 0 0 0 0 1 9 10 15 17 21 15 88

0. 2

0 0 0 1 3 15 34 23 18 5 1 0 100

0. 4

0 0 0 5 13 30 35 16 1 0 0 0 100

0. 6

0 2 2 45 38 13 0 0 0 0 0 0 100

0. 8

0 11 43 46 0 0 0 0 0 0 0 0 100

1. 0

0 55 19 26 0 0 0 0 0 0 0 0 100

Ce tableau indique le nombre de solutions dont la taille de la couverture z est

co mpri se en tre 30 et

41. La q u al i té d e s s ol u ti o n s es t c la i re m e nt co rr é l ée à l a va l eu r

du pa ra m èt re ↵. Pour le c as ↵= 0 (aff ectation aléatoire) , on o bserve que la fo nctio n

- 103 -


greedy() pro du it 12 so lut ions de ta ill e st ric tem ent sup ér ieur e à 41. Au c u n e s o l u t i o n

de c ou ve rture de t ai ll e o pt im al e 30 (connue pour cette instance) n’ e st pro du it e .

4. 4. 2 P has e d’ am él io rat io n

L’algorithme d’améli oration prop osé par T. Feo et M.G.C. [ Feo et al. 95 ] est une

si mple de sce nte sur un vo isi nag e N él éme nta ire . Soit x la configuration courante, une

co nfig urat ion x 0 appartient à N (x ) s’il ex ist e un uni que j tel que x j = 1 et x

0 j = 0 et

que 8i 2

[1 , m] nj=1

c o v erij ⇥ x 0 j 1. Entre deu x configurat ions voisin es x et x 0 ,

on a supprimé une colonne sup erflue du p oint de vue de la couverture des lignes.

Al gorit hm e 4.4 descente( x)

Données : ve c t e ur x caractéristique de l’ensemble X

Résultat : x réalisabl e sans colonne sup erflue

tant que il existe des colonnes redondantes faire

Trouver j 2 X

redon dante telle que costj so it ma xim um

si j existe alors

X

= X \ {j}

Le pseudo-co de 4.4 dé c rit cette phas e de descente et tient compte du coût de

ch aq u e c o l on n e , d a n s l e c r i t è re de s up p r e s si o n , p ou r ê t r e a pp l i q u é a u p r o b l èm e p l u s

général de la couverture de p oids minimal.

E nfin , la m êm e é tu de s ta ti st iq u e sur l es o c cu rr en ce s de s m ei ll eu re s s ol ut io ns de la

pr o c éd ure greedy() se ule (t abl eau 4. 1) est re con duit e avec l’a jout de la pro cé dure

descente() et donne les ré sult ats du ta ble au 4. 2. On ob serve un dé cal age vers la

gauche des o ccurrences de la valeur ob jectif z . Cela illustre bien l’intérêt de cette

ph as e d’ a mé li or at i on .

Tabl eau 4.2 – Amélioration des valeurs de z p o ur l ’i ns ta nc e S45

↵\z 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 total

0.

0 0 0 0 0 1 9 10 15 17 21 15 8 96

0. 2

0 0 1 3 15 34 23 18 5 1 0 0 100

0. 4

0 0 5 13 30 35 16 1 0 0 0 0 100

0. 6

2 2 45 38 13 0 0 0 0 0 0 0 100

0. 8

11 43 46 0 0 0 0 0 0 0 0 0 100

1. 0

55 19 26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 100

Ava nt d’ al ler plu s e n avant d ans les diver ses pha se s ex p ér im ent ale s, nou s pr és ent on s

les caractéristiques de notre banc d’essai.

- 104 -

4.5 Banc d’essai

4.5 Banc d’essai

Le benchmark ut i li sé p o ur l es e xp é ri me nta ti on s e st c on st it ué de q ua to rz e i ns ta nc es

di s p o ni bl es sur le s it e de la OR-Library de J .E . B ea sl e y [ Be as le y

et al. 93].

Tab leau 4.3 – Caract éristiques des instances

Inst. n m Inst. n m Inst. n m

G1 10000 1000 H1 10000 1000 S45

45 330

G2 10000 1000 H2 10000 1000 S81

81 1080

G3 10000 1000 H3 10000 1000 S135

135 3015

G4 10000 1000 H4 10000 1000 S243

243 9801

G5 10000 1000 H5 10000 1000

Les quatre instances data.45 , data.81 , data.135 et data.243 (renommées S45 ,

S81 , S135 et S243 ) constituent les jeux d’essai de l’article de référence de T. Feo et

M.G.C. [ Feo et al. 95] : ce s ont d es p ro bl è me s de c ou ve rt ur e mi ni ma le à c oû ts u ni ta i re s.

Les dix instances G1...G5 et H1 ... H5 sont des pro blè mes de co uve rtur e de p oids mi nima l.

Le tableau 4.3 indique, p our chaque jeu d’essai, le nombre n de c ol on ne s et le no m bre

m de l ig ne s.

La métho de GRASP a été exécutée 100 f oi s p o ur c ha cu ne de s 3 va le u rs d u c o e ffic ie nt

↵ = 0 .1 , 0. 5 et 0. 9. Le g e r m e g de la f on ct io n srand(g) pr en d l es va le ur s 1 , 2 , · · · ,

100.

Po ur ch a qu e e xé c u t i o n, l e t e m ps cpu est li mit é à 10

se con des . L’ ordi nat eur qui a se rvi

p ou r ce b an c d ’e ss ai d isp o se d ’u n p ro c es seu r i7 ca den cé à 3

. 4 GHz et d e 8

gigao ctets

de m ém oi re c en tr al e. Le s ys tè me d’ e xp lo it a ti on e st L in ux , Ub un tu 1 2. 10 .

4.6 Expérimentations greedy(↵)+descente

Voici le pse udo -co de de l a premi ère versio n de l a métho de GRASP, GRASP1 , que

no us e xp é ri me nt on s sur l es q ua to rz e j eu x de t es ts de no t re benchmark.

Al gorit hm e 4.5 GRASP1

Données : ↵, ge r m e a l é at o i r e seed, t e m p s li m i t e .

Résultat : z best

srand( seed)

z best + 1

répéter

x greedy ( ↵)

x descente ( x)

si z ( x) < z best alors

z best z ( x)

jusqu’à temps cpu > temps limite

;

- 105 -


Les fonctions srand() et rand() ut i li sé es da ns la ph as e e xp é ri me nt al e s on t c el le s

de s Numerical Recipes [ P re ss et al. 92 ]. Par aille u rs, signalons que le co dage de la

f on ct io n H est cr iti que : la mise en œuvre d’un ca lcu l in crém ent al est in disp en sabl e

p ou r o bt en ir d es te mp s d ’e xé cu tio n r el at ivem ent c ou rts . L e t ab le au d e va leu rs 4 .4

synth éti se les ré sult ats ob ten us par la pro cé dure GRASP1.

Tabl eau 4.4 – R és u l t a t s greedy( ↵)+descente

↵ = 0 .1 ↵ = 0 .5 ↵ = 0 .9

P zg

P zg

P zg

Inst. z ⇤ z # 100 z # 100 z # 100

G1 176 240 1 281.83 181 1 184.16 183 3 185.14

G2 154 208 1 235.34 162 7 164.16 159 1 160.64

G3 166 199 1 222.59 175 2 176.91 176 3 176.98

G4 168 215 1 245.78 175 1 177.90 177 5 178.09

G5 168 229 1 249.40 175 1 178.56 174 6 175.73

H1 63 69 1 72.30 67 29 67.71 67 5 68.19

H2 63 69 2 72.28 66 1 67.71 67 1 68.51

H3 59 64 1 68.80 62 1 64.81 63 34 63.66

H4 58 64 1 67.12 62 18 62.86 63 80 63.20

H5 55 61 1 62.94 59 2 60.51 57 99 57.01

S45 30 30 100 30.00 30 100 30.00 30 100 30.00

S81 61 61 100 61.00 61 100 61.00 61 100 61.00

S135 103 104 2 104.98 104 4 104.96 103 1 104.10

S243 198 201 1 203.65 203 18 203.82 203 6 204.31

Les principaux tableaux de résultats que nous donnons indiquent :

– le nom de l’instance de test,

– la meilleure valeur z ⇤ connue p our ce pro blè me puis,

– p ou r ch ac un e d es va leu rs d u c o effi ci ent ↵ = 0 . 1, 0. 5 et 0.

9 :

• la meilleure valeur z trouvée par la métho de GRASP,

• le nombre de fois # que cette valeur est atteinte parmi 100,

• la moyenne des 100 va l eu rs pr o du i te s p ar l ’a l go ri th m e.

Po ur s l e s qu a t r e in s t a n ce s S, la valeur affichée en colonne z ⇤ est op tima le

[ Ostrowski et al. 11]. En revanche, on ne c onnaît pas la valeur optimale p our les

dix a ut re s i ns ta nc es (G1 , ...G5 et H1, ...H5 ) : les valeurs de z ⇤ p ou r ce s d ix i ns ta nc es

sont les meilleures valeurs publiées dans l’article de Z. Na ji-Azimi et al [ Azimi et al. 10].

E xc ep ti o n f ai te de l ’i ns ta nc e S243, l es m e il le u rs r é su l ta t s so nt o bt e nu s ave c le s

val e ur s 0. 5 et 0. 9 du pa ra m èt re a l ph a de g es ti o n de la R C L. Pour l es qua tre in stan ces

dé ri vé es du pr ob lè m e de t ri pl et s de St e in er , on re t ro uve bi e n l es va le ur s pu bl ié e s

par T. Feo et M.G.C. [ Feo et al. 95]. Cep endant, si l’on compare aux travaux de Z.

Na ji- Azimi et al [ Azimi et al. 10 ], datant de 2010, ou même ceux de A. Caprara et al

- 106 -

4.7 Reche rche lo cale tab ou

[ Caprara et al. 98 ], datant de 2000, les résultats sont relativement loin des meilleures

val e ur s p ub li ée s .

4.7 Recherche locale tabou

Dans cette section, nous allons a jouter une phase de recherche tab ou à la métho de

GRASP afin d’obtenir des résultats plus comp étitifs au regard de la littérature. Ce

de rn ie r a lg or it hm e se c ar ac té r is e pa r :

– un e sp ac e de c on fig ur at io ns S no n ré a li sa bl es t el le s q ue z ( x) < z min ,

– un m ou ve me nt s im pl e ( de t yp e 1-change ),

– une l is te t ab ou s tr ic te .

4. 7. 1 E spa ce de reche rc he

À partir de la configuration x 0 pro du it e pa r la ph as e de de s ce nt e ( co rr es p o nda n t

à un e ns emble X de c ol on ne s g ar ant is sa nt la c ou ve rt ure de s l ig ne s) , la re c he rche

tabou va e x pl or er l ’e sp ac e d es c on fig ur at io n s x de va le ur ob j ec ti f z (x) inférieure à

z min = z (x min ) où x min est la me ill eure so lut ion ré ali sabl e tr ouvée par l’ alg ori thme .

L’espace de recherche S se dé finit donc fo rme lle ment co mme suit :

S = x 2 { 0, 1} n / z ( x )

< z (x min )

4. 7. 2 Éval ua ti on d’ un e c onfi gu rat io n

Bi en év ide mme nt, les co ntra intes de couve rture des li gne s sont re lax ées . La fo nct ion

d’ é va lu at io n H d’ un e c ol on ne

j a maintenant deu x comp o santes :

et

C (X [ {j }) C ( X )

si xj = 0

H1 (j ) =

C (X \ {j }) C ( X )

si xj = 1

c o s tj si x

H 2 (j ) =

j = 0

c o s t j si x j = 1

Il s’agit de réparer les contraintes de couverture (maximiser H1 ) au mo i n d r e c o û t

(minimiser H 2).

4.7.3 Gestion de la liste tab ou

C’est la métho de d’élimination inverse (Reverse Elimination Method) pr op o sé e

pa r F. G lo ver et M. L ag un a [ Glover et al. 97b ] qui es t mise en œuvre p o ur gér er de

manière exacte le statut tab ou des mouvements p otentiels : un mouvement est interdit

si et seulement si il conduit à une configuration déjà rencontrée. Cette liste tab ou est

di t e s tr ic te .

L’algorithme que nous décrivons ici est identiqu e à celui mis en œuvre avec succ ès

sur un au tre pro blè me co mbi nato ire en var iabl es bi nair es [ Neb el 01 ]. La running list

- 107 -


est une ta ble dans la que lle on en reg istr e, à ch aqu e it éra tio n, la co lon ne j aya nt f a i t

l’ob jet du dernier mouvement : xj = 0 ou xj = 1 . Cette colonne est l’attribut du

mouvement. La R C L (p ourResidual Cancel lation Sequence ) est une autre table d an s

laquelle on va a jouter ou bien supprimer des attributs. Le princip e consiste à lire un

pa r un, de p uis la fin de la running list les attributs des mouvements pas s é s , en les

a jo u t a nt à l a R C L s’ ils n’y sont pas, et en les re tira nt de la R C L s’ ils y sont dé jà. Nous

avo ns a l or s l ’é q u i val e n ce s u ivan te : | R C L |

= 1 , R C L [0] interdit. Nous renvoyons le

lecteur intéressé à l’article didactique de F. Dammeyer et S. Voss [Dammeyer et al. 93 ]

p ou r pl us d e d ét ai ls su r c et te m ét ho de .

Al gorit hm e 4.6 majTabu(j)

Données : j 2 [0, n 1]

running list[iter ] = j

i iter

iter iter + 1

répéter

j running list[ i]

si j 2 RCS alors

RCS RCS/{ j}

sinon

RCS RCS [ {j}

si | RCS |

= 1 alors

j = RCS [0 ] est tab ou

i i 1

jusqu’à i < 0;

4. 7. 4 Voi si na ge

Nous utilis on s un mouvement élémentaire 1-change : x 0 2 N (x ) si 9 ! j /x 0 j 6= xj .

Le voisin x 0 d’ un e c on fig ur at io n x ne di ffè re q ue d’ un e c om p o sa nt e m ai s s at is fa i t la

co ndit io n z (x 0 ) < z min où z min est la val eur de la me ill eure co nfig urat ion ré ali sabl e

rencontrée. Enfin, nous choisissons la colonne j no n tabou qui minimise le critère

hi é ra rchi q ue ( H1 (j ), H 2( j )) . Le pseudo-co de 4.7 dé cr it la f on ct ion d’évaluat ion de ce

vo is i n a g e .

4. 7. 5 A lgo ri th me tab ou

La pro cédure générale tabu() pr en d c om me a rg um en t la s ol ut io n x pro du it e pa r

la pro cédure descente() ainsi qu’un nombre d’itérations limite N. Le s li gne s 2 à 5 de

l’algorithme 4.8 corresp ondent à un mécanisme de diversification de la recherche. À

ch aq u e fo i s q u’ u n e c o n fi g u ra t i o n r é a l i sa b l e e s t p r o du i t e ( i . e . | X |

= m), la valeur z min

est mise à jour et la li ste tab ou est re mise à zé ro.

- 108 -

4.8 Exp ériment ations greedy (↵)+ descente+tab ou

Al gorit hm e 4.7 evalH( j 1, j 2)

Données : in t er va ll e de c ol on n es [ j 1, j 2]

Résultat : meilleure colonne trouvée j ⇤

j ⇤ 1

H ⇤ 1 1

H ⇤ 2 + 1

pour j 1 apple j apple j

2 faire

si j non tabou alors

si (xj = 1) _ ( z + costj < z min ) alors

si (H 1 ( j ) > H ⇤ 1 ) _ ( H 1 (j ) = H ⇤ 1 ^ H 2 ( j ) < H ⇤ 2 ) alors

j ⇤ j

H ⇤ 1 H1 ( j

)

H ⇤ 2 H2 ( j

)

Al gorit hm e 4.8 tabu(x, N)

Données : so lut ion ré alis ab le x, n o mb r e d ’ i t ér a t i o ns N

Résultat : z min , x min

1 z min z ( x)

iter 0

répéter

rand() modulo

2 r n

3 j ⇤ evalH(r, n

1)

4 si j ⇤ < 0 alors

5 j ⇤ evalH(0, r

1)

si xj ⇤ = 0 alors

a jouter la colonne j ⇤

sinon

enlever la colonne j ⇤

si | X |

= m alors

z min z ( x)

6 x min x

iter 0

effacer les statuts tab ou

majTabu(j ⇤ )

jusqu’à iter N ou j < 0;

Les référence s aux lignes 1 et 6 seront utiles pour expliquer l’algorithme de la

se cti on 4. 9.

4.8 Expérimentations greedy(↵)+descente+

tabou

Po ur c e t t e d e ux i è m e p h as e e x p ér i m e nta l e , l e benchmark est si mila ire à ce lui de

la section 4.5. Le temps total cpu est to ujo urs li mit é à dix se con des et le no mbre

maximum d’itérations sans amélio ration p our la pro cédure tabu() est ég al à la mo iti é

- 109 -


du no m bre de c ol on ne s de l ’i ns ta nc e t ra it ée ( n/ 2). Le pseudo-co de de la pro cédure

GRASP2 est pré cis é par l’ alg ori thme 4. 9.

Al gorit hm e 4.9 GRASP2

Données : ↵, ge r m e a l é at o i r e seed, t e m p s li m i t e .

Résultat : z best

z best + 1

srand( seed)

répéter

x greedy ( ↵)

x descente ( x)

z tabu( x, n/2)

si z < z best alors

z best z


;

Le tableau 4.5 illustre bien la contribution significative de la recherche tab ou à la

métho de GRASP. Toutes les valeurs de la colonne z ⇤ sont tr ouvées par ce tte ve rsi on

de la m ét ho de G RA SP. P ar ra pp o rt au t ab le au 4 .4 , on o bs er ve un e ffa ce me nt de

l’influence du paramètre ↵ sur les résultats. Il semble que ce soit plus la fonction

multi-start de la m ét ho de G RA SP q ui i mp o rt e p o ur la ph as e t ab ou q ue le c on trô l e de

la liste de candidats R C L .

Cep endant, comme le montre la phase exp érimentale suivante, il apparaît tout

de m êm e q ue la re l an ce c on tr ôl ée pa r le pa ra m èt re ↵ j ou e un rô l e dé t er mi na nt da ns

l’obtention de meilleurs ré s ultats.

Tab leau 4.5 – R és u l t a t s greedy( ↵)+descente+tabou

↵ = 0 .1 ↵ = 0 .5 ↵ = 0 .9

P zg

P zg

P zg

Inst. z ⇤ z # 100 z # 100 z # 100

G1 176 176 100 176.00 176 96 176.04 176 96 176.04

G2 154 154 24 154.91 154 32 155.02 154 57 154.63

G3 166 167 4 168.46 167 10 168.48 166 1 168.59

G4 168 168 1 170.34 170 35 170.77 170 29 170.96

G5 168 168 10 169.59 168 7 169.66 168 10 169.34

H1 63 63 11 63.89 63 2 63.98 63 5 63.95

H2 63 63 21 63.79 63 13 63.87 63 5 63.95

H3 59 59 76 59.24 59 82 59.18 59 29 59.73

H4 58 58 99 58.01 58 98 58.02 58 100 58.00

H5 55 55 100 55.00 55 100 55.00 55 100 55.00

S45 30 30 100 30.00 30 100 30.00 30 100 30.00

S81 61 61 100 61.00 61 100 61.00 61 100 61.00

S135 103 103 49 103.51 103 61 103.39 103 52 103.48

S243 198 198 100 198.00 198 100 198.00 198 100 198.00

- 110 -

4.9 Exp ériment ations greedy ( 1 ) +tab ou

4.9 Expérimentations greedy(1)+tabou

Po ur co n fi r m e r l ’ i nt é rê t d e l a m é t h o d e G R A S P, n ou s a l l o n s o b se r ve r l e c o mp o r -

tement de l’algorithme 4.10 : TABOU . Po u r ch a q u e va l e u r d u g e r m e d e l a f o n c ti o n

ps e udo - al éa t oi re rand() (1 apple g apple

100 p ou r l ’a pp e l à srand(g)), nous construisons

une s ol ut io n avec la pro c éd ur e greedy(1) , no u s s u p p r i m o n s l e s c o l o n n e s r ed o n d a nt e s

de x , p u i s n o u s b o u c l o n s s u r l a p r o c é d u r e tabu(x, n) tant que le temps cpu est

inférieur à dix sec ondes.

Tabl eau 4.6 – R és u l t a t s greedy(1)+descente+tabou

P zg

P zg

P zg

Inst. z

#

z

z

100 Inst. # 100 Inst. # 100

G1 176 95 176.08 H1 63 2 63.98 S45

30 100 30.00

G2 154 24 155.22 H2 63 4 63.96 S81

61 100 61.00

G3 167 19 168.48 H3 59 36 59.74 S135

103 28 103.74

G4 170 3 171.90 H4 58 91 58.09 S243

198 98 198.10

G5 168 20 169.39 H5 55 97 55.03

Po ur c e t t e d e r n iè r e p h as e e x p ér i m ent a l e , n o u s avo ns r e m p la c é l a l i g n e 1 d a n s

le pseudo-co de 4.8 p ar z min +1. A i ns i , t an t qu e l e t e mp s cpu n’ e st pa s é co ul é

la pro cédure tabu() repart de la meilleure solution qu’elle a pro duite à l’itération

précédente. Cette configuration est sauvegardée en ligne 6. Par ailleurs, la taille de la

running list est do ublé e.

Al gorit hm e 4.10 TABOU

Données : germ e aléatoire seed, t e m p s l im i t e .

Résultat : z best

z best + 1

srand( seed)

x greedy ( 1)

x min descente ( x)

répéter

x x min

z, x min tabu( x, n)

si z < z best alors

z best z


;

En va le ur a bs ol ue , l es ré s ul ta ts re p o rt és da ns le t ab le au 4 .6 s on t m oi ns b o ns q ue

ceux ob ten us par l’ alg ori thme 4.9 : GRASP2 . Cette version TABOU pr o du it l es va le ur s

de 167 et 170 p o ur l es in st an ce s G3 et G4 contre 166 et

168 (cf. tableau 4.5) pour

la version GRASP2 . Par ai lleu rs, la p lupa rt de s va leur s moye nnes d u tab leau 4 .6 sont

moins b onnes que celles du tableau 4.5.

- 111 -


4.10 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons présenté les princip es de la mé th o de GRASP et

dé t ai ll é l eu r m is e en œu v re p o ur la ré s ol ut io n d’ i nst a nc es de t ai ll e s ig ni fic at iv e d’ un

pr ob lè m e c ombi na t oi re di ffic il e.

Dans la s e ction 4.4.1, nous avons vu combien il était simple de mo difier l’heuristique

gloutonne prop osée par T.A. Feo and M.G.C. Resende :

C (X [ {j }) C ( X )

si xj = 0

H(j ) =

C (X \ {j }) C ( X )

si xj = 1

p ou r t en ir c om pt e du c oû t de s c ol onn es e t ap pl iq ue r la p ha se c on st ru cti ve , n on

se ule ment au pro blè me de la co uve rtur e mi nima le, mais au ssi à ce lui de la co uve rtur e

de p o id s m ini m um.

Nous avons également montré l’intérêt de re n f orc e r la phase d’amélioration en

a j ou t a nt, à l a b ou cl e g é n é ra l e d e l a m é t ho de G R A S P, un e r e ch e rch e l o ca l e t ab ou su r

un v ois in ag e é lé me nt ai re .

Nous avons constaté une nette diminution de l’influence du p aramè tre ↵ lors

de l’utilisation de la recherche tab ou. Ce comp ortement est fort probablement lié

aux instances traitées : les tableaux 4.1 et 4.2 montrent que, même p our la valeur

↵ = 1 , l’algo rithme glou ton constr uit des solu tions différ entes. Les e xp ériment ations

de s s ec ti o ns 4 .4 et 4 .5 i ll us tr en t c ep e nd an t bi e n l ’a pp o rt de la ph as e de c on st ru ct io n.

Et c el a t ant du p o in t de v ue de la di v er si fic at io n de l ’e sp ac e de re c he rche q ue de la

ca pac ité de la pro cé dure greedy(↵) à pr o d u i r e d es so l u t i on s i n i t i a l es d e q u a l i t é p ou r

la recherche lo cale tab ou. Nous avons donc là un b on mécanisme de relance.

E nfin , d’ a ut re s m ét ho de s t el le s q ue le Path-Relinking ont été prop osées p our la

ph as e d’ a mé li or at i on . Par a il le ur s, du po i nt de v ue de l ’i mp la nt at io n, la m ét ho de

GRASP se prête bien au parallélisme. Conce rn ant c es deux derniers p oints, le lecte ur

intére s sé se re p ortera avec profit aux référe n c es [ Aiex et al. 02] et [ Crainic et al. 13 ]

p ou r ne c it er q ue c ell es -c i.


[Binato et al. 01] : Dans cette référence, la métho de GRASP est utilisée p our résoudre

un pr ob lè m e de job shop scheduling. Il s’agit de minimiser le temps d’utilisa

tio n de la machine la plus so lli cit ée en durée (makespan). Les trava ux

(jobs) co rre spon dent à des sé que nce s d’op ér ati ons or donn ées . Du rant la

ph as e de c on st ru ct io n, l es op é ra ti on s i ndi v id ue ll es s on t pr og ra m mé es une

pa r une à cha q ue i té ra ti o n sur une m ac hi ne do nn é e. La l is te de c an di -

da t s p o ur c et te ph as e de c on st ru ct io n e st c on st it ué e de l ’e ns em bl e de s

op érations terminales triées dans l’ordre croissant de leur coût d’insertion

(valeur du makespan après insertion - valeur avant insertion). Cet ordre,

ainsi que la mémorisation de solutions élites, i n fl u e n t s u r l e ch o i x d e l a

no uve ll e op é ra ti on à pr og ra m me r. La ph as e d’ a mé li or at i on e st c on st it ué e

d’ un e re che rc h e lo c al e sur c on fig ur at io n pa rt i el le a in si q ue sur c on fig ur at io n

- 112 -


co mpl ète : il s’ agi t d’ écha nge s de tâ che s dans le graphe disjonctif do nt

l’ob j ectif est de réduire le makespan.

[Feo et al. 95] : Un des premiers articles didactiques sur la métho de GRASP. Les

pr in ci pe s de la m ét ho de s ont c la ir em e nt dé c ri ts et i ll us tr és pa r de u x

implantations diff

érentes : l’un e , dont nous nous sommes inspirés d an s ce

ch ap i t r e , p o u r ré s o u dr e l e p ro b l è m e de c o u ver t u r e mi n i m al e , e t l’ a u t re

p ou r r és ou dre l e p ro blè me d e l ’en se mb le i ndé p en da nt m ax ima l d an s un

graphe.

[Marinakis et al. 05] : Cet article présente une application de la méthode GRASP

au problème du voyageur de commerce (TSP). La phase de construction

ut i li se une l is te de c an di da ts dé t er mi né e pa r sa t ai ll e (c’est une cardinalitybased-RCL)

et non par un se uil de qu ali té. La pha se d’ amé lio rati on est

une re che rc h e lo c al e ut i li sa nt une va ri at io n de s v oi si na g es 2 -o pt et 3 -o pt .

Les structures de données sophistiquées sont mises en œuvre, les ré s ultats

obtenus sur des instances de la TSPLIB sont b ons.

- 113 -

Chapitre 5

Les algorithmes évolutionnaires

o

Alain Pétrowski* et

Sana Ben Hamida

* Telecom SudPa ris, E vry, France

Alain.Petrowski@telecom-sudparis.eu

o Université Paris Ouest, Nanterre, France


5.1 De la génétique à l’ingénierie

L’évolution biologique a engendré des êtres vivants autonomes extrêmement compl

e xe s q ui pe u ve nt ré s ou dre de s pr ob lè m es e xt ra or di nai re me nt di ffic il es , t el s q ue

l’adaptation continuelle à un environn e ment complexe, incertain et en con s tante trans -

f or ma ti on . P ou r c el a, l es ê tr es v ivants sup é ri eu rs , c om me l es m am mi fè re s, s ont p o urv u s

de c ap ac it é s i né ga lé e s de re c on na is sa nc e de f or me s, d’ a ppr e nt is sa ge et d’ i nt el li ge nc e .

La grande variété des situations auxquelles la vie s’est adaptée montre que le pro cessus

de l ’é vo lu ti on e st ro bu st e , c ap ab le de ré s ou dre de no m bre us e s c la ss es de pr ob lè m es .

Ceci laisse entrevoir au sp ectateur du monde vivant qu’il existe d’autres voies que

l’établissement d’un pro cessus précis, longuement p ensé à partir de b onnes connaissa

nce s de lois de la na ture p our que des sy stè mes co mpl exe s et p er form ant s pui sse nt

être él ab or és.

Selon C. Darwin [Darwin 59], les mécanis me s à l’origine de l’évolution de s êtres

vivants rep osent sur la comp étition qui sélectionne les individus les plus adaptés à leur

milieu en leur assurant une descendance, ainsi que sur la transmission aux enfants des

carac téristiques utiles qui ont p ermis la survie des parents. Ce mécanisme d’héritage

se fo nde no tam ment sur une fo rme de co op ér ati on mise en œuvre par la repro duc tio n

se xué e.

115

Chapitre 5 – Les algorithmes évolu tionnaires

L’hyp othèse que la théorie de Darwin, enrichie par les connais sances actuelles de

la génétique, rende compte des mécanismes de l’évolution n’est toujours pas justifiée.

Pe rs o n n e n e p e u t affi

r m e r a u j o u rd ’ hu i qu e ce s mé c a n is m e s so i e nt b i e n co m p ri s , ni

qu’il n’existe pas un phénomène essentiel re s té c aché. De la même façon qu ’il a fallu

attendre longtemps p our comprendre que si les oiseaux volent, ce n’est pas tant à

ca use du ba tte men t de le urs ai les , ma nif est ati on te lle men t vi sibl e et tr omp eu se, mais

pl ut ô t en ra i so n du pr ofi l de l eu rs a il es q ui c ré e le ph é no mè ne a ér o dy na m iq ue dé s ir é.

Quoi qu’il en soit, le néo-darwinisme est la seule théorie de l’évolution disp onible

qui n’ait pas été mise en échec jusqu’à présent. Le d é velopp ement des calculateu rs

él ect ron ique s ayant rendu ce tte th éori e ac ce ssib le à la si mula tio n, qu elq ues ch ercheurs

ont voulu la tester sur d es problèmes d’ingénierie d ès les années 1950. Mais ces

travaux n’ont pas é té probants en raison des connaissance s insuffi

santes, à l’ép o que,

de la g én ét iq ue na t ure l le et a us si en ra i so n de s f ai bl es p e rf or ma nc es de s c al cu la t eu rs

di s p o ni bl e s. D ’a ut re pa rt , l ’e xt rê me l ent eu r de l ’é vo lu ti o n s embl a it ré dh ib it o ir e à

b ea uc ou p p o ur s ong er à e xp lo ite r u ti le ment u n t el p ro c es sus .

Dans les années 1960 et 1970, dè s que des calculateurs de puissance plus crédible ont

co mme ncé à être ac ce ssib les , de no mbre use s te nta tives de mo dé lisa ti on de l’ évo lut ion

ont été entrep rises. Parmi celle s-ci, trois appro ches ont émergé indép endamment,

s’ igno rant mut uel lem ent ju squ’ au dé but des an née s 19 90 :

– les stratégies d’évolution ( evolution strategies, ES ’s ) , de H .P. S chwef el e t

I. Rechenb erg [ Rechenberg 65] [Beyer 01 ], qui ont été conçues dans la moitié

des années 1960 comme une métho de d’optimisation de paramètres variant

conti nûme nt ;

– la programmation évolutionnaire ( evolutionary programming, EP ) , d e L. J . Fo g e l

et al. [Foge l et al. 66] qui visait, d ans la moitié des a nnées 1960, à fai re évolu er la

st ruct ure d’ auto mat es à ét ats finis par une suc ce ssi on de sé lec tio ns et mut at ions ;

el le se vo ula it une al ter nat ive à l’ inte lli ge nce ar tific ie lle de l’ ép o que ;

– les algorithmes génétiques ( genetic algorithms, GA’s) , ont été prése ntés en 1975

pa r J .H . Ho l la nd [Holland 92], avec l’ob jectif de comprendre les mécanismes

so us- jac ents de sy stè mes ca pab les de s’ aut o-a dapt er à leur en viron neme nt.

Pa r l a s u i t e, c e s a p p ro ch es o nt c o n nu d e no mb r e u s es m o di fi c a t io n s s e l on l a var i é té

de s pr ob lè m es q ui se p o sa ie nt a ux f on da te ur s et à l eu rs é lè ve s . L es a lg or it hm es

génétiques sont devenus extrao rdinairement p opulaires après la publication en 1989

de “ Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning ” p ar D . E .

Goldb erg [ Goldb erg 89 ]. Ce livre diffusé mondialement a précédé de p eu un intérêt

cr ois sant exp on ent iel leme nt p our le do mai ne. De qu elq ues ce nta ine s de pub lic ati ons

auparavant sur une durée de 20 ans, il y en a aujourd’hui plusieurs centaines de milliers.

Les chercheurs des diff

érente s “éc ole s ” ont organisé des conférences internationales

co mmunes exp os ant et co mbi nant le urs différ ent es appro ches.

Algorithmes génétiques ou algorithmes évolutionnaires ? Le terme fédérateur

Evolutionary Computation, tradui sible pa r le néolog isme calcul évolutionnaire ,

est apparu en 1993 comme le titre d’une nouvelle revue publiée par MIT Press et

s’est ensuite imp osé par consensus. Cep endant, par abus de langage, b eaucoup de

sp éc ial ist es, co nti nuent à dé sig ner par le te rme “a lgo rit hmes gé nét iqu es” des te chn ique s

- 116 -

5.2 L’algorithme évolu tionnaire générique

évol uti onna ire s qui n’ont que p eu de p oi nts co mmu ns avec les prop os iti ons or igi nale s

de Ho l la nd et G ol db e rg .

Les différentes appro ches évolutionnaires s’appuient sur un mo dèle commun présenté

se cti on 5. 2. Les de scri pti ons de différ ent es var iant es d’op ér ate urs de sé lec tio n et

de va ri at io n, br iq ue s de ba s e de tout a lg or it hm e é vo lu ti o nna i re , f ont l ’o b j et de s

se cti ons 5.3 à 5. 8. Les al gor ithm es gé nét iqu es sont les plus “p op ulai res ” des al gor ithm es

évolutionnaires. C’est p ourquoi la section 5.9 leur est sp écialement consacrée.

E nfin la s ec ti o n 5 .1 0 pr és e nt e la stratégie d’évolution par adaptation de la matrice

de covariance ( Covariance Matrix Adaptation Evolution Strategy

— CMA-ES). Cette

métho de p erformante est à considérer lorsqu’un ou plusieurs optimums sont recherchés

da ns R n . Elle dérive directement des études visant à l’amélioration des stratégies

d’ é vo lu ti on , m ai s n’ e st pa s à pr op re me n t pa rl e r un a lg or it hm e é vo lu ti o nna i re .

Ce chapitre se termine par un mini-glossaire françai s/anglais de la terminologie

ut i li sé e c ou ra mm ent da ns le do m ai ne et une bi bl io g ra ph ie c om me nt é e.

5.2 L’algorithme évolutionnaire générique

Dans le monde des algorithmes évolutionnaires, les individus so umis à l’ évol uti on

sont des solutions, plus ou moins p erformantes, à un problème p osé. Ces s olutions

appartiennent à l’espace de recherche du problème d’op timisation . L’ensemble des individus

traités simultanément par l’algorithme évolutionnaire constitue une population .

E ll e évo lu e du ra nt une s uc ce ss io n d’ i té ra ti on s a pp e lé es générations j us qu ’à ce q u’ un

cr itè re d’ arrê t, qui prend en co mpt e a priori la qualité des solution s obtenue s , soit

vé ri fi é .

Durant chaque géné ration, une succ ession d’op érateurs e s t ap p liqu é e aux individus

d’ un e p o pul a ti on p o ur e ng en dr er la no uv e ll e po pu la t io n à la g én ér at io n s ui vant e.

Lorsqu’un ou plusieu rs individus sont u tilis é s par un op érateur, on convient de les

dé s ig ne r c om me de s parents. Le s in di vi du s ré su lt ant d e l’ ap pl ic at ion d e l’ op ér at eu r so nt

de s enfants. Ainsi, lorsque deux op érateurs sont appliqués en sé quence, les enfants

en gen drés par l’un p eu vent de ven ir des pa rent s p our l’ aut re.

5. 2. 1 Op ér at eur s de sé le ct io n

À chaque génération, des in dividus se repro duisent, s urv ivent ou disp ara iss ent de

la p opulation sous l’action de deux opérateurs de sélection :

– la sélection parentale ou sélection p our la repro duction, ou plus simplement

sélection, q ui d é t er m i ne c o mb ie n d e f o is u n i n di v i d u se r a r ep r o d u i t en u n e

génération ;

– la sélection environnementale, ou sélection p our le remplacement ou encore

pl us s im pl em ent : le remplacement, q ui dét ermi ne que ls ind ivid us dev ront

di s pa ra ît re de la p o pul a ti on à c ha qu e g én ér at io n de f aç on q ue , de g én ér at io n

en gé nér ati on, la ta ill e de la p op ulat io n re ste co nst ant e, ou plus ra reme nt, soit

contr ôlé e se lon une p ol iti que dé finie .

Conformément au credo darwiniste, un individu sera sélectionné p our se repro duire

ou survivre d’autant plus souvent qu’il est meilleur. Il se p eut, selon la variante

- 117 -


d’ a lg or it hm e, q u’ un de s de u x op é ra te ur s ne f avo ri se pa s l es b o ns i ndi v id us pa r ra pp o rt

aux autres, mais il est nécessaire que l’application de l’ensemble des deux op érateurs

du ra nt une g én ér at io n intro du is e un bi a is en fav eu r de s m ei ll eu rs . P ou r q ue la s él ec t io n

soit p os sibl e, une val eur de pe rfo rman ce, qui dép end évid emme nt de la fo nct ion

ob jectif, doit être attachée à chaque individu. Cela implique que, à chaque génération,

la p erformance des enfants soit évaluée, ce qui p eut être fort lourd en calculs. La

co nst ruct ion d’une b onne fonction de performance , o u f o n ct i o n d ’ a da p t a t i on , (fitness

function) à partir d’une fonct ion o b j ec tif n ’es t pas a priori triviale.

5. 2. 2 Op ér at eur s de var ia ti on

Po ur q u e l ’ a l g o ri t h m e p u i s s e t r o u ve r d e s s o l u t i on s m e i l le u r e s q u e c e ll e s r e p ré s e nt é e s

da ns la p o pul a ti on c ou ra nt e, il e st i ndi sp e ns ab le q u’ el le s s oi en t t ra ns fo rm ée s pa r

l’application d’opérateurs de variation ou encore opérateurs de recherche. O n p e u t e n

imaginer une grande variété. Ils sont classés en deux caté gories :

– les op érateurs de mutation , qui m o difient un ind ividu p o ur en fo rmer un au tre ;

– les op érateurs de croisement (crossover), q ui e n ge n dr ent u n o u pl us i eu rs e n fa nt s

à p a rt i r d e c o mb in a i s o ns d e d e u x pa r e nt s . L a dé s i g n at i o n d e c es o p é r a te u r s

s’ insp ire de la repro duc tio n se xué e des êt res vivan ts, à la différ enc e que, le

ca lcu l év olu tio nnai re ne co nna issa nt pas les co ntra intes bi olo giq ues , ils p eu vent

être gé nér ali sés à la co mbi nais on de plus de deux pa rent s, év entu ell eme nt à la

combi nais on de la to tal ité de la p op ulat io n.

La façon de mo difier un individu dép end é troite ment de la structure de la solution

qu’il représente. Ainsi, si on veut résoudre un problème d’op timis ation dans un es pace

conti nu, co mme un do mai ne de R n , alors i l sera a priori adéquat de choisir un vecteur

de R n p ou r r ep ré sent er u ne so lu ti on, e t l ’o p ér ate ur d e c ro ise me nt d oit i mp la nte r u n

moyen de faire corresp ondre deux vecteurs de R n p ou r le s pa re nt s à un (o u p lus ie urs )

ve c te u r ( s ) d e R n p ou r l’ en fant ( ou l es e nf ants ). D ’u n a ut re cô té , s i l’ on d és ire ut il is er

un a lg or it hm e é vo lu ti o nna i re p o ur ré s ou dre de s i ns ta nc es du pr ob lè m e du voya ge ur

de c om me rc e , il e st c ou ra nt q u’ un i ndi v id u c or re sp o nde à une t ou rné e . On p o urr a

la représenter sous la forme d’un vecteur d’entiers tel que chaque comp osante soit le

nu mé r o d ’ u ne v i l l e . L e s o p ér a t eu r s d e var i at i o n d e vr a i e nt a lo r s n ’ e ng e n d r er q u e d e s

tournées légales, c’est-à-dire des tournées p our lesquelles chaque ville du circuit ne soit

présente qu’une seule fois. Ces exemples montrent qu’il ne saurait être question de

concevoir des op érateurs de variation universels, indép endants du problème p osé. Ils

sont né ces sai rem ent li és à la représentation de s s ol ut io ns da ns l ’e sp ac e de re c he rche . En

règle générale, p our une représentation choisie, il est nécessaire de définir les op érateurs

de va ri at io n ut i li sé s, c ar i ls en dé p e nd en t é tr oi te me n t.

5. 2. 3 La b ou cl e gé né ra tio nn el le

À ch aq ue g én ér at io n , un a lg or it hm e évol u ti on na ir e eff ec tu e u n “t ou r de b ouc le ” q ui

encha îne l’ appl ica tio n de ces op ér ate urs sur la p op ulat io n :

1. sé lec tio n pa rental e, sé lec tio n des pa rent s pa rmi une p op ulat io n de µ individus

p ou r en ge ndr er en fants ;

- 118 -

5.2 L’algorithme évolu tionnaire générique

2. cr ois eme nt et mut at ion à pa rtir des individus sélectionnés engendrant les

en fan ts ;

3. éval uat ion des p er form anc es des en fan ts ;

4. sé lec tio n enviro nne men tal e de µ individus parmi les en fants et µ pa re nt s,

ou uniquement parmi les en fants, se lon le jeu de pa ramè tre s cho isi p our

l’algorithme, afin de former la p opulation à la génération suivante.

La figure 5.1 représente cette b oucle graphiquement e n y insérant le test d’arrêt et

en y a jo uta nt la pha se d’ init ial isa tio n de la po pula tio n. On no tera que les fo rme s

he x ag o na le s se ra pp o rt ent à de s op é ra ti on s dé p e nd an te s de la re pr é se nt at io n c ho is ie ,

tandis que les “rectan gles arrondis” figurent les op érateurs de sélection indép endants

de la re pr é se nt at io n.

Figure 5.1 – L’algorithme évolu tionnaire géné rique.

5. 2. 4 Ré so lu ti on d’ un pr ob lè me si mp le

En g ui se d’ i ll us tr at io n du f on ct io nn e me nt d’ un a lg or it hm e é vo lu ti o nnai re , c on si -

dé ro n s la m ax im is at i on de la f on ct io n C (x) = 256 x 2 p ou r x enti er ap part ena nt à

l’intervalle [16 , 16]. Il n’y a évidemment aucun intérêt pratique à utiliser ce type d’algorithme

p our résoudre un problème aussi simple, le but p oursuivi ici est exclusivement

didactique. Cet exemple sera repris et commenté tout au long de la partie présentant les

ba s es de s a lg or it hm es évo lu ti on na ir es . La fig ur e 5 .2 m on tr e la s uc ce ss io n de s op é ra ti on s

de p uis la ph as e d’ i nit i al is at i on de l ’a lg or it hm e j us qu ’à la fin de la pr em i èr e g én ér at io n .

Sur c et te fig ur e , un i ndi v id u e st re pr é se nt é pa r un re c ta ng le pa rt i ti on né en de u x z on es .

La zone du haut représente la valeur de l’individu x co mpri se en tre -16 et +16. La

zone ba sse co nti ent la val eur co rre sp on dant e de la fo nct ion ob je cti f C (x ) après qu ’elle

ait été calculée durant la phase d’évaluation. Quan d elle est inconnue, la zone est

grisée. Comme nous sommes confrontés à un problème de maximis ation et que le

- 119 -


pr ob lè m e e st t rè s s im pl e, la f on ct io n ob j ec ti f e st a us si la f on ct io n de p e rf or ma nc e. L es

dix i ndi v id us de la p o pul a ti on s ont re pr é se nt és sur une l ig ne t an di s q ue l ’a xe v er ti ca l

dé c ri t l ’e ncha î ne me nt t em p o re l de s op é ra ti on s.

Figure 5.2 – Application d’un algorithme évolu tionnaire sur une p opulation de µ = 10 parents

et = 8 enfants.

Choisir dix individus p our former une p opulation ne doit pas tromp er. Cela p eut

arriver en pratique lorsque le calcul de la fonction ob jectif p ren d b eaucoup de temps

incitant à réduire les temps de calcul en choisissant une p etite taille de p opulation. Cela

est p os sibl e au ssi p our les al gor ithm es co nçu s p our travai lle r avec de p et ite s p op ulat ion s.

Si no n, on pr éf è re ut i li se r de s p o pul a ti on s de l ’o rd re au m oi ns de la c en ta in e d’ i ndi v id us

p ou r a ug me nt er le s ch an ce s d e d éc ouv ri r u ne s ol uti on a cc ep tab le e n r éd ui sant l es e ffe ts

né f as te s de la dé ri ve g én ét iq ue ( vo ir la s ec ti o n 5 .3 .2 ) . Se l on l es pr ob lè m es t ra it és , la

- 120 -

5.3 Op érateurs de sélection

taille de la p opulation p eut dépasser la dizaine de milliers d’in dividus, ce qui exige

alors un traitement sur un calculateur multiprocesseur (jusqu’à plusieurs milliers) p our

que les temps d’e xécution ne soient pas rédhibitoires.

Notre algorithme évolutionnaire travaille ici en représentation entière. Cela signifie

qu’un individu représente un nombre entier et que les op érateurs d e variation doivent

en gen drer des nombres en tie rs à pa rtir des pa rent s. Pour la re che rche de l’ opt imum de

C ( x) = 256 x 2 , on a d é c i d é q u e l e c r o is e m e nt e n g e n dr e r a i t d e u x e n fa nt s à p a r t i r d e

de u x pa re n ts , c ha qu e e nf an t é ta nt un no m bre e nt ie r t ir é au ha s ar d da ns l ’i nt er va ll e

dé fi ni pa r l es va le ur s x de s pa re n ts . La m ut at io n n’ e st q ue le t ir ag e au ha s ar d d’ un

no mbre e nt ie r da ns l ’i nt er va ll e [ 16 , +16]. Le résultat de l a mutation ne dép en d pas

de la va le ur de l ’i ndi v id u ava nt m ut at io n, ce q ui p o urr ai t a ppa r aî tr e de s tr uc te ur .

Cep endant, on remarque d’après la figure 5.2 que la mutation n’est appliquée que

rarement dans notre mo dèle d’évolution, ce qui re n d cette p olitique acceptable.

5.3 Opérateurs de sélection

En t ou te g én ér al it é , la c ap ac it é d’ un i ndi v id u à ê tr e s él ec t io nn é, q ue ce s oi t p o ur la

repro duction ou le remplaceme nt, dép end de sa p erformance. L’op érateur de séle c tion

est ai nsi ch arg é de dé ter mine r un no mbre de sé lec tio ns p our ch aqu e in divi du en fo nct ion

de sa p e rf or ma nc e.

Dans notre exemple “fil rouge” (figure 5.2), les dix parents engen d re nt huit enfants.

Ce nombre est un paramètre de l’algorithme. Selon la figure, l’op érateur de sélection a

ainsi copié une fois les huit meilleurs parents p our f ormer la p opulation des enfants.

Ceux-ci sont engendrés par les op érateurs de variation à partir des copies. Puis

l’op érateur de remplace me nt intervient et sélectionne les dix meilleurs individus parmi

les parents et les enfants p our former la p opulation des parents à la génération suivante.

On remarque que quatre parents ont “survécu”, tandis que deux e n f ants, qui é taie nt

de t ro p m au va is e q ua li té , o nt di s pa ru de la no uv e ll e p o pul a ti on .

5. 3. 1 P res si on de sé le ct io n

Les individus ayant les meilleure s p erformances sont repro duits plus souvent que

les autres et remplacent les moins b ons. Si les op érateurs de variation sont inh ibés,

le meilleur individu devrait se repro duire plus rap id e ment que les autres, jusqu’à ce

que ses copies envahissent complè tement la p opulation. Cette observation conduit

à un e p r e mi è r e d éfi n i t io n d e l a p re s s i on de s é l ec t i o n pr o p o sé e p a r G ol d b e rg e t D e b

en 19 91 [ Goldb erg et al. 91]. Le temps de domination ⌧ ⇤ (takeover time) est dé fini

co mme le no mbre de gé nér ati ons né ces sai re au re mpli ssa ge de la p op ulat io n par des

co pie s du me ill eur in divi du sous l’ act ion des se uls op ér ate urs de sé lec tio n. La pre ssi on

de s él ec t io n s er a d’ a ut an t pl us é le vé e q ue ⌧ ⇤ sera fa ibl e.

L’intensité de sélection S est un au tre moyen, em prunté à la gé nét iqu e des p op ulations,

de définir la pression de sélection. Soit ¯f = µ

i=1 fi /µ la p erformance moyenne

de s µ individus de la p opulation avant la sélection, avec fi , l a p e rf o rm a n ce d e l ’i n d iv i du

i . Soit ḡ =

i=1 g i / la p erformance moyenne des en fants de la p op ulat io n ap rès la

sé lec tio n, avec g i la p erformance de l’individu i. Soi t V f la variance des f i . S mesure

- 121 -


l’augmentation de la p erformanc e moyenne des individus d’une p opulation d é terminée

ava nt e t a p r ès s é le c t i o n d i v is é e p a r l a va ri a n c e d e s p er f o r m a n ce s d es i n di v i d u s avant

sé lec tio n :

S = ḡ f

¯

V f

Les définitions ci-dessus sont générales, applicables à toute te chnique de sélection .

Il est p ossible de donner d’autres définitions, dont la validité est éventuellement limitée

à ce r t a i n e s t e ch ni q u e s , c o m m e n o u s l e ver r o n s c i - a p r ès e n c e q u i c o n c e r n e l a sélection

proportionnel le .

Avec un e p ress ion de s élec tion é levé e, il y a un gr and ri sque d e convergence

prématurée . Cette situation courante se pro duit lorsque les copies d’u n “sup er-individu”,

no n o pt im al m ai s q ui se re pr o du it bi e n pl us ra pi de m en t q ue l es a ut re s, e nva hi ss ent

co mpl ète ment la p op ulat io n. L’ exp lora tio n de l’ espa ce de re che rche de vie nt al ors lo ca le,

pu is q u’ el le se ra m èn e à une re c he rche au ha s ar d c en tr ée sur le “ su p e r- in di vi du ”, et il

y aura d e gros ri sque s que l’ optimum glo bal ne s oit pas appro ché en c as d’e xiste nce

d’ o pt imums lo c au x.

5. 3. 2 Dé ri ve gé né ti qu e

La dérive génétique est au ssi un co nce pt prove nant de la gé nét iqu e des p op ulat ion s.

Il s’agit d’une fluctuation aléatoire de la fréquence allélique dans une p opulation

de p e ti te t ai ll e, où un al lèle est un él éme nt d’une sé que nce d’ ADN 1 p os sé da nt u ne

f on ct io n sp é ci fiq ue . Po ur c et te ra i so n, de s c ar ac tè r es hé ré d it ai re s p e uv ent di s pa ra ît re

ou se fixer aléa toirement dans une p etite p opulation sans qu’il n’y ait aucune pression

sé lec tive.

Ce phénomène se retrouve dans le cadre des algorithmes évol ut ionnaires. À la limite,

même p our une p opulation formée d’individus différents mais de même p erformance,

en l’ abse nce de var iat ion en gen drée par les op ér ate urs du même nom, la p op ulat io n

converge vers un état où tous les individus sont identiques. C’est la conséquence de la

na t ure s to c ha sti qu e de s op é ra te ur s de s él ec t io n. La dé ri ve g én ét iq ue p e ut ê tr e éva lu ée

pa r le t em ps né c es sa i re à l ’o bt ent io n d’ un e p o pul a ti on ho m og èn e à l ’a id e d’ un e a na ly se

markovienne. Mais ces résultats sont des approximations et sont difficiles à généraliser

en dehors des cas étudiés dans la littérature. Cep endant, il est vérifié que le temps de

conve rge nce vers un ét at ab sorb ant est d’ auta nt plus long que la ta ill e de la p op ulat io n

est imp or tante.

Une autre technique d’évaluation de la dé rive génétique mesure la réduction de la

var i an ce d e l a p e r fo rm a nc e d an s l a p o p ul at i on à ch aq ue g én é ra ti o n, s ou s l a s eu le a c ti on

de s op é ra te ur s de s él ec t io n, t ou s l es pa re nts é ta nt s él ec t io nn és de f aç on é qu ip ro ba bl e.

Cette dernière condition doit être resp ectée p our être sûr que la réduction de variance

ne s oi t pa s due à la pr es s io n de s él ec t io n. D an s ce c as , A. R og er s et A. P rüg e l- Be nn e tt

[ Rogers et al. 99 ] ont m o nt r é q u e l a r é d u ct i o n d e var i a n c e r , dé fi n i e c o m m e l e r a p p o r t

de l ’e sp é ra nc e de la va ri an ce de la p e rf or ma nc e à une g én ér at io n do nn é e sur la va ri an ce

1. acide désoxyribonucléique : une molécule géante qui supp orte une partie des caractères héréditaires

des êtres vivants

- 122 -


à la g é n é ra t i o n pr é c é de nt e , ne d é p en d q ue d e l a var i a n ce Vs du no m bre de de s ce nd ants

p ou r ch aq ue i ndi vi du e t d e l a ta il le de la p op ul at ion P supp os ée co nst ante :

r = 1 V s

P 1

Vs est une ca rac tér ist ique de l’op ér ate ur de sé lec tio n. On voit que, p our ré duire la

dé ri ve g én ét iq ue , on p e ut a ug me nt er la t ai ll e P de la p o pul a ti on ou ré du ir e la va ri an ce

Vs de l ’o p é ra te ur de s él ec t io n.

L’effet de la dérive gén étique est prédominant lorsque la pression de sélection est

f ai bl e. Or, une dé ri v e g én ét iq ue pr éd o mi na nt e va c on du ir e à une p e rt e de di v er sit é.

Cela entraîne une convergence prématurée a priori él oig née de l’ opt imum pui squ ’el le

ne dé p e nd pa s de la p e rf or ma nc e de s i ndi v id us .

En ré s um é, p o ur q u’ un a lg or it hm e é vo lu ti o nna ire pu is se bi e n f on ct io nn e r, il f au t q ue

la pression de sélection ne soit ni trop imp ortante, ni trop faible, p our une p opulation

de t ai ll e su ffis an te , avec le c ho ix d’ un op é ra te ur de s él ec t io n c ar ac té r is é pa r une f ai bl e

var i an ce .

5. 3. 3 Sé le ct io n pr op or ti on nel l e

Ce type de sélection a été conçu à l’origine par J. Holland p our les algorithmes

génétiques. Cette sélection n’est utilisée que p our la repro duction. Le nombre esp éré

de s él ec t io ns i d’ un i ndi v id u i est prop or tio nnel à sa p er form anc e fi . Cela implique

d’ a b o rd q ue la f on ct io n de p e rf or ma nc e s oi t p o si ti ve da ns le do m ai ne de re c he rche et

qu’elle doit être maximisée, c e qui p eut déjà imp oser quelques transformations simples

de la f on ct io n ob j ec ti f p o ur re s p e ct er c es c on tr ai nt es . Si µ est la ta ill e de la p op ulat io n

et si est le no mbre to tal d’ indi vidu s en gen drés par l’op ér ate ur de sé lec tio n, i a p o u r

ex pre ssio n :

i = µ

j=1 fj fi

Le tableau 5.1 donne les nomb re s esp érés de sélections µi de c haq ue i ndi v id u i p ou r

= 8 de s ce nd ants au t ot al sur la p o pul a ti on de 10 i ndi v id us de no t re e xe mp le “ fil

rouge”.

Tabl eau 5.1 – Nombre esp éré de desc endants dans la p opulation de 10 individus.

i 1 2 3 4 5

fi 255 231 231 192 156

i 1.239 1.123 1.123 0.933 0.758

i 6 7 8 9 10

f i 135 135 112 112 87

i 0.656 0.656 0.544 0.544 0.423

- 123 -


Cep endant, le nombre effectif de descendants ne p eut être qu’entier. Par exemple, la

si tua tio n de la figure 5.2 a été ob tenue avec une te chn ique de sé lec tio n prop or tio nnel le.

E ll e m on tr e q ue l es i ndi v id us 8 et 1 0, do nt l es p e rf or ma nc es re s p e ct iv e s 1 12 et 87 s on t

pa rm i l es m oi ns b o nne s , n’ o nt pa s de de s ce nd an t. L es a ut re s i ndi v id us ne pa rt i ci p e nt

qu’une fois au pro cessus de c rois ement. Pour obtenir ceci, une métho de d’échantillonna

g e s to cha s ti qu e c on st it ue le c œu r de l ’o p é ra te ur de s él ec t io n pr op o rt io nn el le . D eu x

techn iqu e s se sont imp osées et sont décrites ci-dessous : la méthode de la roulette

(Roulette Wheel Selection, RW S) parc e qu’il s ’agit de l ’op ér ateur pr op osé à l ’origi ne

de s a lg or it hm es g én ét iq ue s , m ai s à f or te va ri an ce , et la méthode d’échantil lonnage

stochastique universel ( Stochastic Universal Sampling, SU S ) pa r c e q u ’ e ll e ga r a nt i t un e

var i an ce mi ni ma l e d u p ro c es su s d ’é cha nti l lo nn ag e [ Ba ker 87 ].

5.3.3.1 Algorithmes de sélection prop ortionnelle

La métho de RWS exploite la métaphore d’une rou le tte de casino biaisée, dont la

roue comp orterait autant de cases que d’individus dans la p opulation et où la taille

de c es c as es s er ai t pr op o rt io nn el le à la p e rf or ma nc e de c ha qu e i ndi v id u. Le j eu é ta nt

lancé, l’individu sélectionné est désigné par l’arrêt de la bille sur sa case. Si les cases

sont dé roul ées sur un se gme nt de dro ite , la sé lec tio n d’un in divi du re vie nt à ch ois ir

aléa toirement un p oint du segment avec une distribution de probabilité uniforme

(figure 5.3). La variance de ce pro cessu s est élevée. Par malchance, il est p ossible à la

limite que des ind ividus de mauvaise qualité soient sélectionnés p our la repro duction

autant de fois qu’il y a de descendants. Il est aussi possible qu’un individu ayant

une b onne valeur de p erformance ne soit jamais sélec tionné. Ce phénomène crée une

dé ri ve g én ét iq ue q ui p e rm et à c er ta in s i ndi v id us m éd io c re s d’ a vo ir de s de s ce nd an ts au

dé t ri me nt d’ i ndi v id us m ei ll eu rs . Po ur l im it er ce ri sq u e, la t ai ll e de la p o pul a ti on do i t

être suffisa mme nt gr ande .

Figure 5.3 – Métho de RWS : l’individu 4 est sélec tionné après tirage d’un nombre aléatoire.

C’est la métho de SUS qui a été utilisée dans notre exemple “fil rouge”. On considère

toujours un segment de droite partitionné en autant de zones qu’il y a d’individu s dans

la p opulation, chaque zone étant d e taille prop ortionnelle à la p erformance. Mais cette

f oi s l es i ndi v id us s él ec t io nn és s on t dé s ig né s pa r un e ns em bl e de p o in ts é qu id is ta nt s,

leur nombre étant égal au nombre de descendants (figure 5.4). À la différence de la

métho de RWS, un seul tirage aléatoire est nécessaire p our placer l’origine de la série de

p oi nt s é qu id ist ant s e t e ng en dre r ai ns i t ou s l es d es ce nda nt s d an s l a p op ul at ion . Se lo n l a

fig ur e , l es i ndi v id us 8 et 10 ne s on t pa s s él ec t io nn és , t an di s q ue l es a ut re s le s on t une

se ule fo is. Pour un no mbre esp éré de sé lec tio ns i de l ’i ndi v id u i, le n o mb r e e ff e c t i f d e

sé lec tio ns sera soit la pa rtie en tiè re in féri eur e de i , soit sa partie e ntière sup érie ure.

- 124 -


La variance du pro cessus étant plus faible qu’avec la métho de RWS, la dérive génétique

se ma nif est e b ea uco up mo ins et les me ill eurs in divi dus sont ce rta ins d’avoir au mo ins

un de s ce nd an t l or sq ue le no m bre de de s ce nd an ts est ég al ou sup ér ieur à la ta ill e de

la p opulation µ.

Figure 5.4 – Métho de SUS : les individus sélec tionnés sont désignés par les pointeurs équid is tants.

5.3.3.2 Sélection prop ortionnelle et pression de sélection

Dans le cas de la sé le c tion prop ortionnelle, le n ombre esp éré de sélections du

meilleur individu de performance ˆf pa rm i µ sé lec tio ns pour une p op ulat io n de µ

pa re nts c on vi ent p o ur dé fi nir la pr es s io n de s él ec t io n :

ps =

µ

µ

j=1 f ˆf = ˆf

j

¯f

ave c ¯f la moyenne des p erformances sur la p opulation. Si ps = 1, a lors tous le s

individus ont autant de chances les uns que les autres d’être sélectionnés, ce qui

indique une absence de pression de sélection.

Considérons la recherche du maximum d’une fonction continue comme f (x ) =

e xp (x 2 ). L e s i n d i vi d u s de la p o p u l a t i o n in i t i a l e s o nt s u p p o s é s ré p a r t i s un i f or m é m e nt

da ns le do m ai ne [2 , +2]. Certains d’entre eux ont une valeur pro che de 0, p osition de

l’optimum, et donc leur p erformance fˆ

sera pro che de 1. La p er form anc e moyenne de

la p opulation ¯f sera :

+1

¯f ⇡

1

f ( x) p( x)dx

où p (x) est la de nsit é de pro bab ilit é de pré sen ce d’un in divi du en x. On cho isit un e

de n si té un if o rm e sur l ’i nt er va ll e [2, +2], d’ o ù p (x) va ut 1

/4 sur cet intervalle et vaut

0 ailleurs. Ainsi :

¯f ⇡ 1 +2

e x2 dx

4 2

soit ¯f ⇡ 0 . 441, ce qui do nne un e press ion de sé lecti on de l’o rdre de ps = ˆf / ¯f ⇡ 2. 27.

Le meilleur individu aura donc un nomb re esp éré de desc endants pro che de deux

(figure

5.5a).

M ai nt en an t c on si dé ro ns q ue l es i ndi v id us de la p o pul a ti on s on t da ns un i nt er va ll e

b ea uc ou p p lu s p e tit au tou r d e l ’o pt imu m, pa r e xe mp le [ 0. 2; +0 . 2]. Ceci arrive

sp onta ném ent ap rès qu elq ues gé nér ati ons, en ra iso n de la pre ssi on sé lec tiv e, qui favor ise

la repro duction des meilleurs, ces derniers étant aussi les plus pro ches de l’optimum.

- 125 -

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2


Dans ce cas, ¯

f ⇡ 0. 986, et ps ⇡ 1. 01 (figure 5.5b). La pression sélec tive devient

quasiment inexistante : le meilleur individu a pratiquement autant de descendants

esp érés qu ’un au tre in divi du et c’ est la dé rive gé nét iqu e qui va emp êc her la p op ulat io n

de c on ve rg er ve rs l ’o pt imum, de f aç on a us si pr éc i se q u’ on le v ou dr ai t.

(a)

(b)

performance moyenne de la population = 0,986

f(x)

performance moyenne de la population = 0,441

f(x)

x

x

Figure 5.5 – Diminution de la pression sélective lorsque la p opulation se conc entre au voisinage

de

l’optimum.

Ce comportement indésirable de la sélection prop ortionnelle où la pression sélective

di mi nue f or te me nt q ua nd la po pu la t io n s ’a pp ro ch e de l ’o pt imum da ns le c as de

f on ct io ns c on ti nue s e st c om ba tt u pa r de s t ec hn iq ue s d’a j us te me nt dy na m iq ue de la

f on ct io n de p e rf or ma nc e.

5.3.3.3 Ajustement linéaire de la fonction de p erformance

Avec un e t echn ique de s éle ctio n p rop or tio nnel le, le no mbr e es p éré de s élec tio ns

d’ un i ndi v id u e st pr op o rt io nn el à sa p e rf or ma nc e. D an s ce c as , l es e ffe ts d’ un e pr es s io n

de s él ec t io n m al a j us té e p eu v ent ê tr e c om ba tt us pa r une t ra ns fo rm at io n a ffine de la

f on ct io n de p e rf or ma nc e br ut e f . La val e ur d e p e r f o r ma n c e a ju s t é e f 0 i d’ un i ndi v id u i

est ég ale à fi a , où a est une val eur p os iti ve si l’on veut au gme nter la pre ssi on, né gat ive

si non, id enti que p our tous les in divi dus, te lle que la pre ssi on de sé lec tio n moyenne soit

maintenue à une valeur mo dérée, ni trop grande, ni trop p etite, typiquement de l’ordre

de de u x. Av ec une t el le t ec hn iq ue , il f au t pr en dr e g ar de q ue l es va le ur s de f 0 ne s oi en t

j am ai s né g at iv e s. On p e ut é ve nt ue ll em en t l es b o rne r i nf ér ie ur em en t à 0, ou a lo rs à

une p e ti te va le ur p o si ti ve, de f aç on q ue t ou t i ndi v id u, m êm e de m au va is e q ua li té , a it

une p etite chance d’être sélec tionné. Cela particip e au maintien de la diversité dans la

p op ul at ion . En s up p os ant qu ’a uc un i ndi vi du n e d ev ie nne né ga ti f, la val eu r d e a p eu t

être ca lcu lée à ch aqu e gé nér ati on à pa rtir de la val eur de la pre ssi on sé lec tiv e dé siré e

ps :

a = ps ¯f ˆf

ps 1

Concernant l’exemple ci-dessus, si les individus sont uniformément répartis dans

l’intervalle [0.2; +0 . 2], al o r s a = 0. 972 p o ur u ne p res si on d e s él ec tio n dé si ré e ps = 2.

La figure 5.6 illustre l’effe t de la transformation

f 0 = f 0. 972. On r em ar q ue q u’ i l

- 126 -


ex ist e des val eurs de x p ou r le sq ue ll es l a f on ct ion f 0 est né gat ive ce qui est inter dit

p ou r un e sé le ct ion p ro p or tio nn el le. Po ur c or rig er c el a, l es p e rfo rm an ces de s in di vi dus

co nce rné s p eu vent être mi ses à zé ro, ou à une p et ite val eur p os iti ve co nst ant e, ce qui

a p our effet secondaire de diminuer la pre ssio n sélective.

0.03

0.025

0.02

0.015

performance moyenne ajustee de la population = 0,014

f(x)

0.01

0.005

0

-0.005

-0.01

-0.015

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

x

Figure 5.6 – Ajust ement de la pression sélective par sous traction d’une cons tante p ositive à

f ( x) .

5.3.3.4 Ajustement exp onentiel de la fonction de p erformance

P lu tô t q ue d’ o p é re r une t ra ns fo rm at io n l in éa ir e p o ur a j us te r la pr es s io n s él ec t ive,

il est aussi courant d’élever la fonction de p erformance à une puis s ance k adéquate

p ou r ob te nir l a pr es si on sé le ct ive dé si ré e :

f 0

i = f k i

Le paramètre k dé p en d du pr ob lè m e.

La sélection de Boltz mann [De La Maza et al. 93 ] es t un e au tre va ri ante , où la

p er fo rm anc e a j us té e a p o ur e xp res si on :

f 0

i = e xp (f i /T )

La valeur du paramètre T , di t d e “ te m p é ra t u re ” , d é te r m i ne l a p r e ss i o n sé l e c ti ve . T est

us ue l le me nt une f on ct io n dé c ro is sa nt e du no m bre de g én ér at io n s, f ai sa nt a in si c ro ît re

la pression sélective au fur et à me sure que le temps passe.

5.3.3.5 Sélection selon le rang des indiv idus

Ces techniques d’a justement de la pression de sélection pro cèdent par classement

de s i ndi v id us i se lon les val eurs des p er form anc es bru tes fi. Le s in di vid us s ont cl as sé s du

meilleur (premier) au moins b on (dernier). La valeur de p erformance fi 0

eff

ec tivem ent

- 127 -


attribuée à ch aque individu ne dép end que de son rang par valeur décroissante (figu re

5.7) selon, par exemple, la formule ci-dessous qui est usuelle :

f 0 r = 1 r p

µ

où µ est le no mbre de pa rent s, r est le rang de l’ indi vidu co nsi déré dans la p op ulat io n

de s pa re n ts a prè s c la ss em e nt . p est un exp os ant qui dép end de la pre ssi on de sé lec tio n

dé s ir ée . Av ec no t re dé fi nit i on de la pr es s io n ps, on a la relation : ps = 1 + p . Ainsi, p

do i t ê tr e sup é ri eu r à 0. On a ppl i qu e e ns ui te une s él ec t io n pr op o rt io nn el le en f on ct io n

de f 0 . Cette technique d’a justement de la performance n’est pas affectée par une

contr aint e de si gne : f i p eu t ê tr e p o si ti ve o u n éga ti ve . E ll e c onv ient a us si bi en à u n

pr ob lè m e de m ax im is at i on q u’ à un pr ob lè m e de m ini m is at io n, s an s q u’ il s oi t né c es sa i re

d’op érer une transformation. Cep endant, elle ignore l’imp ortance des différences de

p er fo rm anc e de s i nd iv idu s, d e so rt e q ue d es i ndi vi du s d e t rè s m au va is e q ua lit é, m ai s

qui ne sont pas en fin de classement p ourront p erdurer dans la p opulation. Ce n’est

pa s f or cé me nt un m au va is p o int c ar c el a c ont ri bue à une m ei ll eu re di v er sit é. En o ut re ,

ce tte mé tho de n’ exi ge pas la co nna issa nce ex ac te de la fo nct ion ob je cti f, mais de

simplement p ouvoir classer les individus les uns par rapp ort aux autres. Ces b onnes

pr op ri ét é s f ont q ue , g lo ba le m ent, e ll e a la pr éf é re nc e de s ut i li sa te ur s d’ a lg or it hm es

évol uti onna ire s par rapp ort à la te chn ique d’a ju ste ment li néa ire.

1

0,8

0,6

0,4

0,2

f’ r

(a)

f’ r

0 1 µ

rang

1

f’ r

(b)

0,8

0,6

0,4

0,2

0 1 rang

f’ r

µ

Figure 5.7 – Performance obtenue après classe ment. (a) : f 0 r = (1 r/µ) 2 — forte pression

sélec tive, (b) : f 0 r = p (1 r/µ) — faible pression sélec tive.

5. 3. 4 Sé le ct io n par to ur no is

La sélection par tournois est une alternative à la sélection prop ortionnelle qui,

co mme on l’a vu ci -de ssus , pré sen te des difficu lté s p our ma îtri ser la pre ssi on de sé lec tio n

au cours de l’évolution, tou t en étant relativement coûteuse en quantité de calculs.

- 128 -


5.3.4.1 Tournois déterministes

Le tournoi le plus simple consiste à choisir aléatoirement un nombre k d’ i ndi v id us

da ns la p o pul a ti on et à s él ec t io nn er po ur la re pr o duc t io n c el ui q ui a la m ei ll eu re

p er fo rm anc e. A u c ou rs d ’un e ét ap e de s él ec tio n, i l y a a uta nt d e t ou rn ois q ue d ’in di vi dus

sé lec tio nné s. Les in divi dus qui pa rtic ip ent à un to urno i sont re mis dans la p op ulat io n,

ou en sont retirés, selon le choix de l’utilisateur. Un tirage sans remise p ermet de faire

bN /kc

tournois avec une p opulation de N individus. Une copie de la p opulation est

ré-engendrée quand elle e s t épuisée, et ce autant de fois que nécessaire, jusqu’à ce que

le nomb re voulu de séle ctions soit atteint. La variance de c e pro cessus est élevée, ce

qui favorise la dérive génétique. Elle est cep endant plus faib le dans le cas de tirages

sans remise. Cette métho de de sélection est très utilisée, car elle est b eaucoup plus

si mple à me ttr e en œuvre qu ’une repro duc tio n prop or tio nnel le.

La p re s sion de séle c tion e s t a justée par le nombre de participants k à u n t ou r n o i. E n

effet, co nsi déro ns le cas où les pa rtic ipa nts à un to urno i sont re mis dans la p op ulat io n.

Alors la probabilité que le meilleur individu de la p opulation ne soit pas choisi en k

tirages est (( N 1)/N ) k . En f a i s a nt l’ hyp o t h è se q u e N est très gr and devant k, ce t t e

pr ob a bil i té e st a ppr o xi ma ti ve me nt 1 k /N pa r un dé v elo pp e me nt l im it é à l ’o rd re 1.

Ainsi, la probabilité que le meilleur soit tiré au moin s une fois dans un tournoi est

pro che de k /N . S’i l y a M tournois en une génération, le meilleur individu aura k M /N

sé lec tio ns esp ér ées , soit une pre ssi on sé lec tiv e de k , en r epr en ant la d éfin it io n qui avait

été prop os ée p our la re pro duct ion prop or tio nnel le (avec M = N ). Cette pression sera

né c es sa i re me nt sup é ri eu re ou é ga le à 2.

5.3.4.2 Tournois sto chastiques

Avec l e to ur noi bi nai re st o ch ast iq ue, su r d eu x in di vid us en co mp é tit io n, l e m eil le ur

gagne avec une probabilité p co mpri se en tre 0.5 et 1. Là en cor e, il est fa cil e de ca lcu ler

la pression de sélection e n ge ndrée par ce pro cessus. Le meilleur in d ividu p articipe à

un t ou rno i avec une pr ob a bil i té de 2/N (voir le paragraph e p ré cédent). Le meilleur

individu du tournoi sera choisi avec une probabilité p. Le s d eu x évé ne me nt s ét ant

indép endants, la probabilité que le meilleur individu de la p opulation soit choisi après

un t ou rno i e st do nc p · 2/N . S’ i l y a N tournois, le meilleur aura donc 2p de s ce nd ants

esp ér és. La pre ssi on de sé lec tio n sera donc co mpri se entre 1 et 2.

Une autre variante, le tou rn oi de Boltzmann, assure que la distribution des vale urs

de p er fo r ma nc e da ns une p o pul a ti on e st pro che d’ un e di s tri bu ti o n de B ol tz ma n n

[ De La Maza et al. 93]. Ceci p ermet de jeter un p ont entre algorithmes évolutionnaires

et re cuit si mulé .

5. 3. 5 Sé le ct io n dé te rm in ist e

Cette sélection est très simple à mettre en œuvre, puisqu’elle ne fait que choisir les

n meilleurs individus d’une p opulation, n ét ant un pa ramè tre que l’ util isa teu r doit

fix e r. Si l ’o p é ra te ur e st ut i li sé da ns le c ad re de la s él ec t io n p o ur la re pr o du c ti on , p o ur

en gen drer en fants à pa rtir des n pa re nts c ho is is, c ha qu e pa re n t a ura /n en fants.

- 129 -


Si l ’o p é ra te ur e st ut i li sé p o ur le re m pl ac em e nt et e ng en dr e a in si la p o pul a ti on de µ

individus à la génération suivante, alors n = µ .

5. 3. 6 Sé le ct io n envi ro nn em ent al e

La sélection environnementale ou encore : sélection pour le remplacement, déter mine

quels individus à la génération g, p a r m i le s p a r e nt s e t e n f a nt s , vo nt c o n s t i t u e r l a

p op ul at ion à l a gé né ra tio n g + 1.

5.3.6.1 Remplacement générationnel

Ce type de remplacement est le plus simple, puisque la p opulation des parents à

la génération g + 1 sera co nst itué e par tous les en fan ts, et se ule ment eux, en gen drés

à la g éné ra tio n g. Ai ns i : µ = . Le s al gor ith me s gén ét iqu es d ’or igi ne u til is ent un

remplacement

générationnel.

5.3.6.2 Remplacement des stratégies d’évolution “(µ, )–ES”

Une sélection déterministe des meille u rs µ individus parmi en fants fo rme la

p op ul at ion à l a gé né ra tio n s ui va nt e. U su ell em ent, est plus gr and que µ.

5.3.6.3 Remplacement stationnaire (steady state)

À chaqu e généra tion, q uelque s desce ndants (u n ou deux ) sont en gendré s et rempl

a ce nt un nom bre i nf ér ie ur ou é gal de pa re nt s, po ur f or me r la po pu la t io n à la

génération suivante. Cette stratégie est sp écialement utile lorsque la représentation

d’ un e s ol ut io n se ré pa r ti t sur pl us ie u rs i ndi v id us , é ve nt ue ll em en t la t ot al it é de la

p op ul at io n. D e ce tt e f aço n, l a d is pa rit io n d ’un p e tit n ombr e d ’i ndi vi du s à ch aqu e

génération, ceux qui sont remplacés par les descendants, ne p erturb e pas exce ssivement

les solutions, qui évoluent ainsi graduellement.

Le choix des parents remplacés ob éit à des critères variés. Avec le remplacement

un if o rm e, l es pa re nts re m pl ac és s ont dé s ig né s au ha s ar d. Le c ho ix p e ut a us si dé p e nd re

de la p e rf or ma nc e : le pa re nt le m oi ns p e rf or ma nt e st re m pl ac é, ou a lo rs il e st c ho is i

sto cha sti quem ent , se lon une di stri buti on de pro bab ilit é dép en dant de la p er form anc e

ou d’autres critères.

Le remp lac ement stationnaire engendre une p opulation où les individus connaissent

de g ra nd es va ri at io ns de du ré e de v ie en no m bre de g én ér at io n s et do nc en no m bre de

de s ce nd ant s. La va ri an ce é le vé e de c es g ra nd eu rs f avo ri se la dé ri v e g én ét iq ue , q ui se

manifeste d’autant plus que la p opulation est p etite [De Jong et al. 93].

5.3.6.4 Élitisme

Une stratégie élitiste consiste à conserver dans la p opulation, d’une génération à

l’autre, au moins l’individu ayant la meilleure p erformance. L’exemp le de la figure 5.2

implante une stratégie élitiste puisque les meilleurs individ u s de la p opulation formée

pa r l es pa re nts et l es e nf an ts s ont c ho is is p o ur f or me r la p o pul a ti on de s pa re n ts à la

- 130 -


génération suivante. La p erformance d u meilleur individu de la p opulation courante

est ai nsi mo not one cr ois sante de gé nér ati on en gé nér ati on. On re marq ue, p our cet

ex emp le, que qu atre pa rent s de la gé nér ati on 0 se re trou vent à la gé nér ati on 1.

Il existe diverses stratégies élitistes. Celle employée dans notre exemple “fil rouge”

est au ssi ce lle des st rat égi es d’ évo lut ion di tes “( µ + )–ES”. Dans d’autres variantes

co ura nte s, les me ill eurs pa rent s à la gé nér ati on g se re trou vent sy sté mat iqu eme nt dans

P( g + 1), la p opulati on à la géné ration g + 1. Ou enco re, si le me illeur i ndivid u de P( g )

est me ill eur que ce lui de P( g + 1), en rai son de l’ action d es op ér ateurs de va riatio n

ou de sélection, alors le meilleur de P (g) sera co pié dans P (g + 1), e n re mp l aç ant

ha bi t ue ll em e nt l ’i ndi v id u le m oi ns p e rf or ma nt.

Il apparaît que de telles stratégies améliorent considé ra blement les p erformances

d’ a lg or it hm es é vo lu ti o nna i re s p o ur c er ta in es c la ss es de f on ct io ns , m ai s s ’a vè re nt dé -

cevan tes p our d’ autr es cl ass es, en au gme nta nt le taux des conver gen ces pré mat uré es.

Pa r e xe m p l e , u n e s t r at é g i e é l i ti s t e e s t n é f a st e p o u r r e ch e r che r le m a xi mu m g l o b a l d e

la fonction f5 de De J on g ( fig ure 5 .8 ). En f ai t, une t el le s tr at ég i e f avo ri se l’ exploitation

de s m ei ll eu re s s ol ut io ns , se t ra dui s an t pa r une re c he rche lo c al e a cc e nt ué e, au dé t ri me nt

de l’ exploration de l ’e sp ac e de re c he rche .

Figure 5.8 – Fo n c t i on f5 de De Jong.

Choisir une stratégie non élitiste p eut être avantageux, mais il n’y a alors pas de

garantie que la fonction p erformance du meilleur individu soit croissante au cours de

l’évolution. Cela implique évidemment de garder en mémoire la meilleure solution

trouvée par l’algorithme depuis le début de l’évolution, sans toutefois que cette solution

particip e au pro cessus évol ut ionnaire. C’est d’ailleurs une précaution indisp ensable

p ou r to ut a lgo ri th me d ’op ti mis at io n s to cha st iqu e.

- 131 -


5. 3. 7 Fon ct io n de p er fo rm anc e

La fonction de p erformance as s o cie une valeur de p erformance à chaque individu

afin de déterminer le nombre de fois qu’il sera sélectionné p our être repro duit ou s’il

sera re mpla cé . Dans le cas de la fo nct ion C ( x) ch o i s i e c o m me e x em p l e ( s e c t i on 5 . 2. 4 ,

pa g e 1 19 ), la f on ct io n de p e rf or ma nc e e st a us si la f on ct io n ob j ec ti f de no t re pr ob lè m e

de m ax im is at i on . Ce g en re de s it ua ti on e st e xc e pt io nn el et il e st s ou ve nt né c es sa i re

d’ a cc or de r b e au co up de s oi n à la c on st ru ct io n de la f on ct io n de p e rf or ma nc e ré p o nda n t

à un problème donn é. La qualité de cett e fonction condit io nne p our une grande pa rt

l’efficacité d’un algorithme génétique.

5.3.7.1 Construction

Si une s él ec t io n pr op o rt io nn el le e st cho i si e, il f au t éve nt ue ll em e nt t ra ns fo rm er

le problème p osé p our qu’il devienne un problème de maximisation d’une fonc tion

nu mé r i q u e à val e ur s p o s it i ve s s u r s o n d o ma i n e d e d é fi n it i o n . Pa r e x em p l e , l a r é s ol u t i o n

d’ un s ys tè me d’ é qu at io ns S ( x) = 0 p o ur ra s e r ame ne r à l a r eche rch e d es m axi mu ms

de 1 /( a + |S( x)| ), où la no tatio n | V|

représente le mo dule du vecteur V . a est une

co nst ante p os iti ve non nul le.

La mise au p oint d’une b onne fonction de p erformance devrait tenir compte de la

représentation choisie et de la nature des op érateurs de variation afin qu’elle puisse

do nn e r de s i ndi c at io ns no n t ro mp e us es sur la pr og re s si on v er s l ’o pt im um . P ar e xe mp le ,

il faudrait s’eff

orce r de réduire la présence d ’op timums lo caux sur de larges pics d ans

la mesure où les c onnaissances a priori disp onibles sur le problème le p ermettent. Ceci

est re lat if à l’ étu de des pa ysa ges de p er form anc e qui se ront davan tag e év oq ués dans la

se cti on 5. 4.1 se rapp or tant aux op ér ate urs de var iat ion.

Une b onne fonction de p erformance doit en outre resp ecter plusieurs critères qui

se rapp or tent à sa co mpl exi té, à la sa tis fac tio n des co ntra intes du pro blè me, ai nsi

qu’à l’a justement de la pression de sélection durant l’évolution. Lorsque la fonction de

p er fo rm anc e ap pa raî t e xc es si vem ent c omp le xe , c on som ma nt u ne i mp or ta nt e p ui ssa nc e

de c al cu l, la re che rc h e d’ un e a ppr o xi ma ti o n e st s ou ha it ab le , q ue lq ue fo i s i ndi sp e ns ab le .

5.3.7.2 Réduire la puissance de calcul nécessaire

En g én ér al , da ns le c as de pr ob lè m es i ndu st ri e ls , l ’é va lu at io n de la f on ct io n de

p er fo rm an ce co ns om me d e l oi n l a p lu s g ran de p ar t d e l a p ui ss anc e de c al cu l d ur ant

une o pt im is at io n é vo lu ti o nna i re . Su pp o so ns q ue le c al cu l d’ un e p e rf or ma nc e pr en ne

30 secon d es, qu’il y ait 100 individus dans la p opulation, et que des solutions acce ptables

so ient dé cou ver tes ap rès un mi llie r de gé nér ati ons, ch acu ne im pliq uant à ch aqu e fo is

l’évalu ation de tous les individus, alors il faudra 35 jours de calculs. Or dans le cas de

pr ob lè m es i ndu st ri e ls , de s c al cu ls de p e rf or ma nc es ut i li se nt c ou ra mm en t de s m ét ho de s

nu mé r i q u e s l o ur d e s , p a r e x e m p le d e s m é th o d es d ’ él é m e nt s fi n i s . D e s s t ra t é g i e s d o ive nt

être ut ilis ée s p our ré duire ces te mps . On p eut p en ser à du ca lcu l pa rall èle , so lut ion

effica ce mais co ûte use en ma tér iel . On p eut au ssi p en ser à ca lcu ler des ap prox ima tio ns

de la p e rf or ma nc e, q ui s er on t a ffiné e s pr og re s si ve me nt, au f ur et à m es ur e q ue l es

générations passent. Ainsi, p our des métho des d’éléments finis par exemple, il est

- 132 -

5.4 Op érateurs de variation et repré sentatio ns

na t ure l de c om me nc e r pa r ut i li se r un m ai ll ag e g ro ss ie r, au dé b ut de l ’é vo lu ti o n. La

di ffic ul té e st a lo rs de dé t er mi ne r à q ue ls m om en ts a ffine r la f on ct io n de p e rf or ma nc e

p ou r n e p as c onver ge r p ré mat ur ém ent su r d e f au ss es s olu ti on s e ng end ré es p ar l es

approximations. Une autre solution p our simplifier le calcul p eut exploiter une sélection

pa r t ou rno i ou s el on le ra ng de s i ndi v id us ( se ct io n 5 .3 .3 .5 , pa g e 1 27 ). En e ffe t, da ns

ce ca s, il est inut ile de co nna ître les val eurs pré cis es de la fo nct ion ob je cti f, dans la

mesure où seul le classement des individus est signifiant.

5.4 Opérateurs de variation et représentations

5.4.1 Généralités sur les op érateurs de variation

Les op érateurs de variation sont classés en deux catégories :

– les op érateurs de croisement, qui utilisent plus ieurs parents (souvent deux) p our

cr éer un ou pl usie urs de sce ndan ts ;

– les op érateurs de mutation, qui transforment un se u l individu.

Ils p ermettent de créer de la nouveauté dans une population en construisant des

individus “de s cendants”, qui héritent en partie des caractéristiques d’individus “parents”.

Ils doivent être capables d’assurer deux fonctions imp ortantes durant la recherche d’un

optimum :

– l’exploration de l’espace de recherche, afin d’en découvrir les régions intéressante

s, qui ont de gr ande s ch anc es de conte nir les op timums gl oba ux ;

– l’exploitation de ces régions intéressantes, notamment lorsque l’op érateur utilise

la fonction de p erformance, de façon à y conc entrer la recherche et y dé c ou vrir

les optimums avec la précis ion requise, p our celles qui les contiennent.

Pa r e x em p l e , u n o p é r a t eu r d e var i a ti o n p u r e m ent a l é at o i r e , o ù d e s s o l u t io n s s o nt

tirées au hasard indép endamment le s unes des autres, aura d’excellentes qualités

d’ e xp lo ra ti o n, m ai s ne p o urr a pa s dé c ou vr ir un o pt im um da ns un t em ps ra i so nn ab le . Un

op érateur de recherche lo cal de type “montée de colline” pourra décou vrir efficacement

un o pt im um da ns une ré g io n de l ’e sp ac e , m ai s il y a ura un g ra nd ri sq u e p o ur q u’ il

soit lo cal et la so lut ion gl oba le ne sera pas ob ten ue. Un b on al gor ithm e de reche rche

d’ o pt imum de v ra do nc ré a li se r un é qu il ib re a dé qu at e nt re l es c ap ac it é s d’ e xp lo ra ti o n

et d’explo itation des op érateurs de variation qu’il utilise. Ce n’est pas aisé et dép end

f or te me nt de s pr op ri ét é s de s pr ob lè m es t ra it és .

L’étude des paysages de performance (fitness landscape) aide à comprendre p ourquoi

un op é ra te ur de va ri at io n s er a pl us e ffic ac e q u’ un a ut re p o ur un m êm e pr ob lè m e et un

même choix de représentation. La notion a été introduite dans le cadre de la génétique

théorique des années 1930 par S. Wright [ Wrig ht 32 ]. Un pays age de p erformances est

dé fi ni pa r :

– un e sp ac e de re c he rche ⌦

do nt l es é lé me nt s s ont a pp e lé s “ co nfi gu ra ti o ns ” ;

– une f on ct io n de p e rf or ma nc e f : ⌦ ! R

;

– une re l at io n de v oi si na g e ou d’ a cc es s ib il it é .

On remarque que la relation d ’accessibilité ne fait pas partie d u problème d’optimisation.

Cette relation dép end des carac téristiques des op érateurs de variation choisis. À partir

d’ un e c on fig ur at io n da ns l ’e sp ac e de re c he rche , l ’a pp li ca ti o n de c es op é ra te ur s, q ui s on t

- 133 -


st o c hast iqu es, donne p ot ent iel lem ent ac cè s à un en sem ble de co nfig urat ion s vo isi nes

ave c d i ff ér e nt e s p r o b ab i l i t é s. L a r e l a ti o n d ’a c c e s s ib i l i t é p eu t ê tr e f o rm a l i s ée d a n s l e

ca dre d’un es pac e ⌦ di s cr et pa r un hy pe r gr ap he o ri en té [ Gallo et al. 93, St a dl er 02],

do nt l es hy pe r ar cs s on t va lu és pa r l es pr ob a bil i té s d’ a cc ès à une c on fig ur at io n “ en fa nt”

à partir d’un ensemble de configurat ion s “par ents” .

Po ur l ’o p é ra t e u r d e mu t a t i on , l ’ hy p er g r a p he d e l a r e l at i o n d ’ a c c es s i b i l it é d e v i e nt

un g ra ph e o ri en té q ui , à un i ndi v id u, ou c on fig ur at io n X asso ciée à un sommet du

graphe, fait corresp ondre une nouvelle configuration X 0 , avec u n e pr o b a b i l i t é do n n é e

pa r la va lu at io n de l ’a rc ( X , X 0 ). Po ur un croisement entr e deux individu s X et Y

qui donnent un d e scendant Z , la probabilité d’engendrer Z sachant que X et Y sont

cr ois és est do nnée par la val uat ion de l’hyp er arc ({ X , Y }, { Z }).

La définition du paysage de p erformance ci-de s s us montre qu’il dép end à la fois du

pr ob lè m e d’ o pt im is at io n p o sé , de la re pr é se nt at io n c hoi si e dé fi nie pa r l ’e sp ac e ⌦ et de

la relation d’acc essibilité définie par les op érateurs de variation. Ce qui est évidemment

esp éré, c’ est que l’ appl ica tio n de ces de rnie rs offre une pro bab ilit é suffisa mme nt él evé e

d’améliorer la p erformance des individus d’une génération à l’autre. C’est ce p oint

de v ue q u’ il s er ai t b on d’ a do pt er l or s de la c on ce pt i on d’ o p é ra te ur s de va ri at io n

p er ti ne nts p ou r un e re pr és ent at io n e t u n pr ob lèm e do nn és , e n p ro fit ant de t ou te s l es

co nna issa nce s, fo rma lisé es ou non, dont on disp ose sur ce pro blè me.

Après quelques considérations générales sur les op érateurs de croisement et de

mu ta t i o n , l es p a r a g r ap h e s s u i vant s p r é s e nte nt d e s e x e mp l e s d ’ o p é r a t e ur s c l a s s iq u e s

applicables dans divers espaces de recherche :

– l’espace des chaînes binaires ;

– la représentation réelle d an s des domaines de R n ;

– les représ e ntations de p ermutations utilisables p our divers problèmes combi

na t oi re s, c om me le pr ob lè m e du voy ag eu r de c om me rc e , et de s pr ob lè m es

d’ o rdo nn a nc em ent ;

– la représentation d’arbres syntaxiques, pour la résolution de problèmes par

pr og ra m ma ti on a ut om at iq u e.

5. 4. 2 Le c roi se me nt

L’op érateur de croisement utilise deux parents p our former un ou deux des cendants.

L’op érateur est gé né ralement sto chastique, dans la mesure où le croisement rép été d’un

même couple de parents distincts donnera des descendants différents. Le croisement

de s a lg or it hm es é vo lu ti o nna i re s ne c on na is sa nt pa s de c on tr ai nt e bi o lo gi q ue , pl us de

de u x pa re nt s, à la l im it e la p o pul a ti on c om pl èt e , p e uv ent pa rt i ci p er à un c ro is em en t

[Eib en et al. 95].

L’op érateur resp ecte généralement les propriétés suivantes :

– Le croisement de de u x parents identiques donne ra d es descendants identiques

aux

parents.

– Pa r e x t e n si o n , u n i nd i c e d e p rox i m i té dé p e nd a nt d e l a r ep r é s e nta t i o n ch oi s i e

ét ant dé fini dans l’ espa ce de re che rche, deux pa rent s pro ches l’un de l’ aut re

da ns l ’e sp ac e de re che rc h e e ng en dr er on t de s de s ce nd ants q ui l eu r s er on t pro c he s.

- 134 -

5.4 Op érateurs de variation et repré sentatio ns

Ces propriétés ne sont pas absolues, dans la mesure où, dans l’état actuel des connaissa

nce s des al gor ithm es év olu tio nnai res, la co nst ruct ion d’un op ér ate ur de cr ois eme nt ne

suit pas de rè gle pré cis e. El les sont souvent resp ec té es par les op ér ate urs de cr ois eme nt

“c las siq ues ”, ex ce pté le cr ois eme nt d’ arb or esc enc es (s ect ion 5. 8.2 , page 15 5).

Le taux de croisement dé t er mi ne la pr op o rt io n de s i ndi v id us q ui s on t c ro is és pa rm i

ceux qui re mpla ce ront l’ anc ienn e gé nér ati on. Pour l’ exe mpl e de la figure 5. 2, ce taux

a é t é fix é à 1 , c ’ es t - à -d i r e q ue t o u t d es c e n da nt e s t o b te nu p a r c r o is e m e nt . Da n s l a

ve rs i o n l a p l us s i m p le d ’ u n a l go r i t h m e é vo l u ti o n n a i r e , l e s c o u p le s s o nt f o rm é s a u h a s ar d

pa rm i l es e nf an ts e ng en dr és pa r la s él ec t io n s an s t en ir c om pt e de s c ar ac té r is ti qu es

des individus. Cette stratégie p eut s’avérer néfaste lorsque la fonction de p erformance

p os sè de pl us ie urs o pt imum s. E n e ffe t, il es t gé nér al em ent p eu pr ob ab le qu e l e cr ois em ent

de b o ns i ndi v id us s it ué s sur de s pi c s di ffé re nt s do nn e de s i ndi v id us de b o nne q ua li té

(figure 5.9). Un croisement est dit létal s’il pro duit un ou deux de sce ndants ayant une

trop faible p erformance p our se repro duire.

Figure 5.9 – Croisement de deux individus placés sur des pics différents d’une fonction de

p erformance f

.

Une solution p our évite r une trop forte prop ortion de croisements létaux consiste à

apparier préférent iellement les individus qui se ressemblent. Une distance étant définie

da ns l ’e sp ac e de re c he rche , la f aç on la pl us s im pl e de pro c éd er c on si st e à s él ec t io nn er

de u x i ndi v id us s el on la di s tri bu ti o n de pr ob a bil i té de l ’o p é ra te ur de s él ec t io n, pu is à

ne c ro is er l es i ndi v id us q ue si l eu r di s ta nc e e st i nf ér ie ur e à un s eu il rc app elé rayon de

restriction . Si c e d e r n i e r es t p e t i t , c e c i va ab a i s s e r no t a b l e m e nt l e t a u x de c r oi s e m e nt

effectif, ce qui p eut être préjudiciable. Il est préférable alors de sélec tionner un premier

pa re nt pa r l ’o p é ra te ur de s él ec t io n, pu is , s ’i l e xi st e de s i ndi v id us da ns s on v oi si na g e,

d’ e n s él ec t io nn er un p o ur de v en ir le s ec on d pa re n t. Qu o i q u’ il en s oi t, si rc est ch ois i

trop p etit, c e la réduit notableme nt l’exploration de l’e s p ace de recherche en accentuant

la recherche lo cale et il p eut s’ensuivre des convergences prématurées. Cela est surtout

se nsib le au dé but de l’ évol uti on qu and le cr ois eme nt de deux in divi dus él oig nés l’un de

l’autre p ermet d’explorer de nouvelles régions de l’espace de recherche qui contiennent

- 135 -


p ot ent iel le me nt d es pi cs d e l a f on ct ion d e p er fo rm anc e. A in si, p o ur q ue l a t echn iq ue

soit effica ce , le pro blè me ma jeur co nsi ste à ch ois ir une b onne val eur p our

rc ; or elle

dé p e nd é tr oi te me n t du pay sa ge de la f on ct io n de p e rf or ma nc e, q ui n’ e st en g én ér al

pas connu. Il est aussi p ossible de p enser à un rayon rc var i ab le d é cr oi ss ant du ra nt

l’évolution.

5. 4. 3 La m utati on

Classiquement, l’op érateur de mutation mo difie aléa toirement un individu p our en

f or me r un a ut re q ui le re m pl ac er a. La pr op o rt io n de s i ndi v id us m ut és da ns la p o pul a ti on

est ég ale au taux de mutation . Son ord re de grande ur p eut varier n otableme nt selon

le mo dèle d’évolution choisi. Dans l’exemple de la figure 5.2, deux individus ont été

mu té s s u r l e s hu i t e n f a nt s p r o d ui t s p a r l a s é l e c ti o n . Po u r l e s a l g or i t h m e s g é né t i q u e s ,

la mutation est vue comme un op érateur mineur, ch argé de maintenir un minimum de

dive rs it é da ns la p o pul a ti on , ce q ue ne p e ut pa s a ss ur er le c ro is em ent. Av ec ce mo dè l e,

le taux de mutation est typiquement faible, de l’ordre de 0.01 à 0.1, alors que le taux

de c ro is em en t e st é le vé . Au c ont ra ir e, la m ut at io n da ns l es s tr at ég i es d’ é vo lu ti o n, t el le s

qu’elles ont été présentées à l’origine, est essentielle puisqu’il n’y a pas de croisement.

Le taux de mutation est alors de 100 %.

La plupart des mutations mo difient un individu de telle façon que le résultat de la

transformation lui soit pro che. De cette faç on , l’op érateur assure une recherche lo cale

aléatoire autour de chaque individu. Dans cet ordre d’idée, la mutation p eut améliorer

co nsi déra ble ment la qu ali té des so lut ions dé cou ver tes . En effet, le cr ois eme nt p erd

de s on i mp o rt an ce l or sq u’ un e g ra nd e pa rt i e de la p o pul a ti on e st lo c al is ée da ns l es

vo is i n a g e s d e s m a x imu m s d e l a f o nc t i o n d e p e r fo r m a n c e. D a ns c e c a s , l e s i n d i vi d u s

si tué s sur un même pic sont so uve nt id enti ques par le jeu de la repro duc tio n et ne

sub iss ent au cune mo di ficat io n, ou al ors , s’ ils ap part ien nent à des pics différ ent s, les

de s ce nd ants a uro n t g én ér al e me nt de f ai bl es p e rf or ma nc es . En re va nche , la re c he rche

aléatoire lo cale due aux mutations donne une chance à chaque individu de s’appro cher

de s p o si ti on s e xa ct e s de s m ax im um s, a ut an t q ue le p e rm et te nt l es c ar ac té r is ti qu es de

l’op érateur choisi.

La mutation avec u n taux suffi

samme nt élevé particip e au maintien de la diversité,

utile à une b onne exploration de l’espace de recherche. Cet op érateur p eut combattre

les eff

ets négatifs d’une forte pression de sélection ou d’une forte dérive génétique,

ph é no mè ne s q ui t en de nt à ré du ir e la va ri an ce de la di s tri bu ti o n de s i ndi v id us da ns

l’espace de recherche.

Si le t au x de m ut at io n e st é le vé et q ue , de pl us , la mut a ti on e st si f or te q ue

l’individu pro duit est quasiment indép endant de celui qui l’a engendré, l’évolution des

individus de la p opulation équivaut à une marche au hasard dans l’espace de recherche,

et l’ alg ori thme év olu tio nnai re me ttr a un te mps ex ce ssif p our conver ger .

L’utilisation de la mutation, en tant qu’op érateur de recherche lo cal, suggère

de le c om bi ne r avec d’ a ut re s t ec hn iq ue s lo c al es pl us e ffic ac e s, bi e n q ue dava nt ag e

dép endantes de la nature du problème, une technique de gradient par exemple. Ce

genre d’appro che conduit à la conception d’algorithmes évol ut ionnaires hybrides.

- 136 -

5.5 Repré sentation binaire

5.5 Représentation binaire

L’idée de f aire évoluer une p opulation dans un espace de vecteurs binaires provient

pr in ci pa l em ent de s a lg or it hm es g én ét iq ue s , q ui s ’i ns pi re nt de la t ra ns cr ip ti on génotype -

phénotype qui existe dans le mond e vivant. Dans le cadre des algorithmes gé nétiques,

le gé n otyp e est constitué d’une chaîne de symboles binaires, ou p lu s généraleme nt

de s ymb o le s d’ un a lp ha b et à f ai bl e c ar di na li té . Le ph é no typ e e st une s ol ut io n du

pr ob lè m e da ns une re pr é se nt at io n “ na tu re ll e” . Le g én ot yp e s ubi t l ’a ct io n de s op é ra te ur s

génétiques : sélections et variations, tandis que le phénotype ne sert qu’à l’évaluation

de la p e rf or ma nc e d’ un i ndi v id u.

Pa r e x e m p le , s i u n e s o lu t i o n s ’e x p r im e n a t u r el l e m e nt s o u s l a f or m e d ’ u n ve ct e u r

de no m bre s ré e ls , le ph é no ty pe s er a ce v ec te u r. Le g én otyp e s er a a in si une c ha în e

de s ym bo le s bi na i re s q ui co de ce v ec te u r. P ou r co de r l ’e ns em bl e de s va ri ab le s ré e ll es

d’ un pr ob lè m e nu mé ri q ue da ns une cha î ne de s ym bo le s bi na i re s, le pl us s im pl e e st de

conve rti r ch aqu e var iabl e sous fo rme bi nair e, puis ces nombres bi nair es sont co nca tén és

p ou r fo rm er l e gé no ty p e. E nfin , l a t echn iq ue l a pl us i mm éd iat e p o ur c o der u n n ombr e

réel sous forme binaire consiste à le représ e nter en virgule fixe sur un n ombre de bits

co rre sp o ndan t à la pré cis ion so uhai té e.

5. 5. 1 Cr oi se me nts

Po ur u n e r e p ré s e nt a t io n b in a i r e , i l e x i s te t ro i s var i a nt e s d e c r o i s em e nt c l a s s i q ue s :

– le croisement “un p oint” ;

– le croisement “deux p oints” ;

– le croisement uniforme.

Un couple d’individus étant constitué par tirage dans la p opulation, le croisement “ un

p oi nt ” [ Ho ll and 9 2] s e d ér ou le e n d eu x é tap e s :

1. ch oi x a l é a to i r e d ’ un p o int de co u p u r e i de nt i q ue su r l e s d e u x ch a î n e s b i n a i re s

(figure 5.10a) ;

2. co upur e des deux ch aîne s (fi gure 5. 10b ) et éc han ge des deux fr agm ent s si tué s à

dr oi t e ( fig ure 5 .1 0c ) .

1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0

⇒

⇒

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1

Choix d'un point Coupure et

a

de coupure

b

échange

c

Résultat

Figure 5.10 – Croisement “1 p oint” de deux géno types de 5 bits.

Ce processus produit deux descendants à partir de deux parents. Si un seul

de s ce nd ant e st ut il is é pa r l ’a lg or it hm e é vo lu ti o nna i re , il e st c ho is i au ha s ar d. Le

- 137 -


cr ois eme nt “un p oi nt” est le plus si mple et le plus cl ass iqu e p our des co da ges ut ilis ant

un a lp ha b et à f ai bl e c ar di na li té , c om me le co da g e bi na i re . Une g én ér al is a ti on i mm éd ia te

de c et op é ra te ur c on si st e à mult ip li er l es p o in ts de c ou pu re sur c ha qu e c ha în e. L es

cr ois eme nts “1 p oint” et “2 p oi nts ” sont co ura mmen t em plo yés en pra tiq ue p our leur

si mpli cit é et leur b onne effica cit é.

Le croisement uniforme [Ack le y 8 7] p eu t ê t r e v u c o m m e u n c r o i s e m e nt mul t i p o i nt

do nt le no m bre de c ou pu re s e st i ndé t er mi né a priori. Prat iquem ent, o n utili se un

“m asq ue de cr ois eme nt”, qui est un mot bi nair e de même lo ngue ur que les in divi dus. Un

“0” à la n ième p os it io n d u m as que l ai ss e i ncha ng és le s sy mb o le s à l a n ième p os it io n d es

de u x c ha în es , un “ 1” dé c le nc he un é ch an ge de s s ym bo le s c or re sp o nda n ts ( fig ure 5 .1 1) .

Le masque es t engendré aléatoirement p our chaque couple d’individus. Les valeurs “0”

ou “1” des éléments du masque sont généralement tirées avec une probabilité 0. 5.

1 1 0 1 0 masque

1 0 0 0 1 parent 1

0 1 0 0 0 parent 2

⇒

0 1 0 0 1

1 0 0 0 0

descendant 1

descendant 2

a

Choix des symboles

à échanger

b

Résultat

Figure 5.11 – Croisement uniforme.

5. 5. 2 M uta ti ons

Classiquement, l’op érateur de mutation sur des chaînes binaires mo difie aléatoirement

les symb oles d ’un génotyp e avec une faible probabilité, typiquement de 0.1 à 0.01

par individu, égale au taux de mutation. Il existe plusieurs variétés de mutation. Les

pl us c la ss iq ue s s on t la mutation déterministe et la mutation bit-flip . Avec l a mut a t i o n

“d éte rmin ist e”, un no mbre fixé de bits ch ois is au ha sard par in divi du muté sont inve rsé s,

c’ est -à- dir e qu ’un “1” de vie nt “0” et vice versa, tan dis qu ’avec la mutat ion “ bit -flip ”,

ch aq u e b it p eu t ê t r e i nve r s é i n d é p e n d a m m e nt d e s a u t re s ave c u n e f a i b le p r ob a b i l i t é. S i

le taux de mutation est trop élevé avec un grand n ombre de bits mutés par individu,

l’évolution des individus de la p op ulation équivaut à une marche au hasard dans

l’espace de recherche et l’algorithme génétique p erd de son efficacité.

Lorsqu’une chaîne binaire représente un vecteur de nombres entiers ou réels, les

effets p os iti fs de la mut at ion sont co ntré s par la difficu lté de fr anchi ssem ent des

falaises

de Hamming , q u i a p p a r a is s e nt e n r a i s on d u t r a n s c o d a ge d e s ch a î n e s b i na i r e s ve r s d e s

ve ct e u r s . Pa r e x e mp l e , c o n s id é r o n s l a f o nc t i o n D ( x ) dé d uit e de C ( x ) qui nous sert

d’ e xe mp le “ fil ro ug e ” ( se ct io n 5 .2 .4 ) :

C ( x) = 256 x 2 si x apple 0

D

( x) =

0 si non

- 138 -

5.5 Repré sentation binaire

Utilisons un e chaîne b( x ) = {b1 (x), . . . , b5 (x )} de c in q bi t s p o ur re pr é se nt er un i ndi v id u

x enti er qui varie entre -16 et +15, et p os sèd e donc 32 val eurs différ ent es p os sibl es.

b (x )

p eu t êt re s im pl eme nt d éfi ni e c om me l e n omb re x + 16 ex prim é en base 2. L ’ opt imum

de D (x ) est ob ten u p our x = 0 , qui corresp ond donc à b (0) = {1 , 0 , 0 , 0, 0 }. La valeur

x = 1, ob t enu e à pa r ti r d e la ch aî n e { 0, 1, 1 , 1 , 1 } , do n ne l a p lu s f or t e p e r fo r ma n ce e n

de h or s du m ax im um : c et te va le ur s er a do nc fav or is ée pa r l es op é ra te ur s de s él ec t io n.

Or, on remarque qu’il n’y a aucun bit commun entre {1 , 0 , 0, 0 , 0 } et {0 , 1 , 1 , 1, 1} . Cela

si gnifi e qu ’il n’ exi ste au cun au tre in divi du avec le que l {0 , 1 , 1 , 1, 1 } pu is se ê tr e c ro is é

p ou r d on ne r {1, 0 , 0, 0 , 0} . Q ua nt à l’ o p ér a te ur d e mu ta ti o n, i l de v ra ch an g er l es 5

bi t s du g én ot yp e { 0, 1 , 1, 1 , 1 } simul tané men t p our do nner l’ opt imum car la di sta nce

de Ha m mi ng 2 entre l’ opt imum et l’ indi vidu qui a la p er form anc e la plus pro che est

ég ale à la ta ill e des ch aîne s. On se tr ouve ici en pré sen ce d’une falaise de Hamming. Il

est très p eu pro bab le de la fr anchir avec une mut at ion “b it- flip” , et c’ est imp os sibl e

p ou r l a mut at io n “ dé ter mi ni st e” à m oi ns q u’ el le n ’inve rs e l a t ot ali té d es b it s d ’u ne

ch aî n e b i n a i r e , c e q u i n ’ e st j a ma i s ut i l i s é . M a i s l a mu t a ti o n p o u r ra f a ci l e m e nt d o n n er

l’optimum s ’il existe de s individus dans la p opulation qui ne diffèrent que d’un seul

bit de la c ha în e o pt im al e, i ci ce s on t l es i ndi v id us :

ch aî n e b( x) x D( x)

h0, 0, 0, 0, 0i

-16 0

h1, 1, 0, 0, 0i

8 0

h1, 0, 1, 0, 0i

4 0

h1, 0, 0, 1, 0i

2 0

h1, 0, 0, 0, 1i

1 0

Ils ont malheureusement tous une p erformance nulle et ont donc très p eu de chances

de “ su rv iv re ” d’ un e g én ér at io n à l ’a ut re .

Ce phénomène ennuyeux, qui entrave la progression vers l’optimum, peut être

comba ttu en ch ois issa nt un codage de Gray , q u i as s ur e q u e de u x en ti e rs s u c ce s si f s

auront une représentation binaire qui ne diffère que d’un seul bit. À partir de chaînes

b(x ) qui co dent des nombres entiers en binaire natu rel, il est facile d’obtenir un c o dage

de G ra y g ( x) = { g1 ( x ), . . . , g l ( x )} en effec tua nt, p our ch aqu e bit

i, l’o p ération :

g i (x) = b i ( x)

bi1( x)

ave c l ’ op é r a te u r qui effectue le “ou exclusif ” et

b 0 (x ) = 0. R é c i p r o qu e m e nt , l a ch a î n e

de l bi t s b(x ) = {b 1 ( x), . . . , b l ( x)} se re trou ve à pa rtir de la ch aîne

g ( x) = { g1 ( x ), . . . , g l ( x )} :

i

bi (x) =

j=1

gj ( x)

Les co des de Gray de { 0, 1, 1 , 1 , 1} et {1 , 0 , 0 , 0, 0 } sont resp ec tivem ent {0 , 1, 0, 0, 0 } et

{ 1 , 1 , 0, 0, 0 } . La mu t at i o n du bi t g1 suffit al ors p our at tei ndre l’ opt imum . Un co de de

Gray est don c souhaitable de ce p oint de vue. De plus, il mo difie le paysage de la fonction

2. Distance de Hamming : nombre de bits différents entre deux chaînes binaires de même longueur.

- 139 -


de p e rf or ma nc e en ré du is a nt le no m bre d’ o pt im um s lo c au x c ré és pa r le t ra ns co da g e

“vec te ur ré el” vers “c haî ne bi nair e”. On no ter a to ute foi s que les fa lai ses de Ha mmin g

ne s on t g én ér al e me nt pa s re s p o ns ab le s de chut e s dr am a ti qu es de s p e rf or ma nc es .

5.6 Représentation réelle

La représentation réelle fait op érer un algorithme évolutionnaire sur une p opulation

de v ec te u rs de R n da ns un do m ai ne de re c he rche ⌦. S u p p os o n s q u e , à u n e g é n é ra t i o n

do nn é e, l es i ndi v id us x d’ un e p o pul a ti on s oi ent t ir és da ns l ’e sp ac e de re c he rche s el on

une di s tri bu ti o n de pr ob a bil i té c ar ac té r is ée pa r une de n si té p(x), où x est un p oint de

⌦. On supp ose en outre qu e cette distribution p os sè de une esp érance :

E =

xp( x)dx

⌦

et une var ianc e :

V =

x 2 p( x)

dx E 2

⌦

V est au ssi la tr ace de la ma tric e de var ianc e- covar ianc e des co mp os ant es des ve ct eurs

x. S i l a t a i ll e de la p o pul a ti on de s de s ce nd an ts e st su ffis am me nt g ra nd e, c es g ra nd eu rs

sont appro chées par l’ esp ér anc e em piri que :

et la var ianc e em piri que :

i=1

xi

Ê =

i=1

V ˆ

x 2 = i

Ê2

La variance empirique p eut être considérée comme une mes u re de diversité dans la

p op ul at io n. Si e ll e e st nu lle , a lo rs t ou s l es i nd iv id us s e t rou ve nt e n u n m êm e p o int

de ⌦. E n a d op t a nt u n e a n a l o gi e m é c a n i q u e , Ê est le ce ntr e de gr avi té de la p op ulat io n,

tandis que ˆV est son mo men t d’ iner tie par rapp ort au ce ntre de gr avi té, en at tri buant

à chaque individu une masse unité. Il est intéressant d’évaluer ces grandeurs après

application des op érateurs de variation .

5. 6. 1 Cr oi se me nts

Considérons deux p oints x et y da ns l ’e sp ac e R n co rre sp o ndan t à deux in divi dus

sé lec tio nné s p our en gen drer des en fan ts. Apr ès ap plic at ion de l’op ér ate ur de cr ois eme nt,

un ou de u x e nf ants x 0 et y 0 sont ti rés au ha sard , se lon une di stri buti on de pro bab ilit é

qui dép end de x et y .

5.6.1.1 Croisement par échange de comp osantes

Il s’agit d’une généra lisation immédiate des croisements binaires, qui consiste à

écha nge r qu elq ues co mp os ant es ré ell es de deux pa rent s. On re trou ve ai nsi to ute s les

- 140 -

5.6 Repré sentation réelle

var i ant es d u c r oi se m ent b i na ir e , n o ta mm e nt le s c r oi se m ent s “ u n p o int ” , “ d eu x p o int s ” et

“u nifo rme ” (fi gure 5. 12) . La de rniè re var iante est au ssi app el ée “r eco mbin ais on di scrè te ”

da ns la t er mi no lo gi e de s stratégies d’évolution. Ce type de croisement ne mo difie ni

E ( X ) ni V ( X

).

Figure 5.12 – Croisement uniforme ; un individu résultant du croisement de x et y se situe sur

les sommets d’un hyp er-rec tangle de côtés parallèles aux axes dont une plus grande diagonale est

le se gm ent ( x, y ).

5.6.1.2 Croisement BLX-↵ volumique

L’op érateur BLX-↵ volumique en gen dre deux de sce ndan ts ch ois is uni for mém ent à

l’intérieu r d’un hyper- rectangle de côtés parallèles aux axes du rep ère choisi d an s R n ,

tel que les deux parents e t le co efficient

↵ dé fi nis s ent une de s es pl us g ra nd es di a go na le s

(figure 5.13). Soient x i et y i les comp osantes des d e ux parents x et y resp ectivement,

p ou r 1 apple i apple

n, u n descendant z aura p our comp osantes :

z i = x i ↵(y i x i ) + (1 + 2↵)( y i x i ) · U (0 , 1)

où U (0 , 1) dé s ig ne un no m bre a lé at o ir e t ir é un if o rm ém en t da ns l ’i nt er va ll e [0 , 1].

Le croisement BLX- ↵ vo lu m i q u e n e m o d ifi e p a s E( X), mais chan ge la val eur d e

V

( X

). Soit Vc ( X )

la variance de distribution de la p opulation après croisement :

Vc (X ) = (1 + 2 ↵)2 + 3

6

V

( X

)

La variance après croisement diminue si :

p

3

1

↵ < ⇡ 0.

366

2

- 141 -


Dans ce cas, on d it que le croisement est contractant et l’ appl ica tio n it éré e de l’op ér ate ur

seul ab ou tit à la co nce ntra tion de la p op ulat io n en son ce ntr e de gr avi té. No tam ment ,

si ↵ = 0, z se si tue dans l’hyp er -rec ta ngl e dont une plus gr ande di ago nal e est le

se gme nt de dro ite ( x, y ). Da n s c e c as , Vc (X ) = 2 3 V (X ). Ap r è s a pp l i ca t i o n it é r ée d e c e t

op érateur seul sur g générations, et p our une variance de p opulation initiale V0 ( X), la

var i an ce de vi ent :

g 2

Vcg (X ) =

V0 ( X

)

3

La variance tend rapidement ve rs 0 ! On voit donc que le risque de convergence

pr ém a tu ré e e st a ug me nt é avec un op é ra te ur B LX -0 .

Figure 5.13 – Croisement BLX-↵ volumique ; un individu résultant du croisement de x et y se

situe à l’intérieur d’un hyp er-rec tangle de côtés parallèles aux axes dont une plus grande diagonale

passe par x et y .

p

Dans le cas où ↵ > 31

2 , la var iance est c rois sante si l e domai ne est R n . En

pr at i qu e, p o ur un do m ai ne de re c he rche ⌦

de m es ur e fin ie , la va ri an ce se s ta bi li se à

une va le ur no n null e. L es “b o rds ” de l ’e sp ac e de re che rc h e p e uve nt ê tr e e xp lo ré s. L es

éven tue ls op timums qui s’y tr ouvent se ront plus fa cil eme nt tr ouvés et ma int enus. Une

val e ur u s ue ll e e st ↵ = 0 .5.

Il est aussi p ossible de montrer [Nomura et al. 01 ] qu e l ’ o p é r a t e u r r é d u i t le s éve n -

tuelles corrélations qui existent entre les comp osantes des vecteurs d e la p opulation.

So n a ppl i ca ti o n ré p é té e f ai t t en dre l es co e ffic ie nt s de c or ré la ti o n v er s z ér o.

5.6.1.3 Croisement BLX-↵

linéaire

L’op érateur BLX-↵ linéaire en gen dre deux de sce ndan ts ch ois is sur un se gme nt

de la dr oi t e pa s sa nt pa r l es de u x pare nt s , ↵ ét ant un param ètr e de l’al gor ithm e

évolutionnaire. Ce croisement se retrouve sous plusieurs dénominations, selon les

- 142 -


auteurs qui l’ont étudié, comme le croisement arithmétique , o u l a recombinaison

intermédiaire p o ur l es “ st rat ég ies d’ évo lut io n” , q ui s ont éq ui va le nt s a u B LX -0 .

So i ent x et y les p oints corre s p ondant à deux individus dans l’espace de recherche.

Un individu z résultant du croisement de x et y est cho isi se lon une di stri buti on

un if o rm e sur un s eg me nt de dr oi t e pa s sa nt pa r x et y :

z = x ↵( y x) + (1 + 2↵ )( y x) · U (0 , 1)

où U(0 , 1) dé s ig ne un no mbre a lé at o ir e t ir é un if o rm ém en t da ns l ’i nt er va ll e [0, 1]. Si

I est la lo ngue ur du se gme nt de dro ite [x, y ], z p ou rr a se tr ou ve r su r le s egm ent d e

longueur I · (1 + 2 ↵ ) centré sur le se gme nt [ x, y ]

(figure 5.14).

Figure 5.14 – Croisement BLX-↵ linéaire ; un individu résultant du croisement de x et y se

situe sur la droite définie par x et y , éven tuellement à l’extérieur du segment [ x, y ].

Le croisement BLX-↵ linéaire ne mo difie pas E ( X ), ma is ch an ge l a val eu r de

V ( X ) de f aç on s im il ai re au c ro is em en t B LX -↵ vo lu m i q u e . N o t o n s e n r e van ch e q u e l e s

éven tue lle s co rré lat ions ex ist ant entre les co mp os ant es des in divi dus d’une p op ulat io n

sont co nse rvé es par l’op ér ate ur li néa ire, ce qui est un co mp o rte men t fo nda ment ale ment

di ffé re nt de c el ui o bs er vé p o ur l ’o p é ra te ur vo lu mi qu e.


La mutation consiste généralement en l’addition d’une “p etite” valeur aléatoire à

ch aq u e c o m p os a nt e d ’ u n i n d i v id u , s e l o n u n e d i s t r ib u t i o n à m oye n n e nu l l e , é ve ntu e l l e -

ment de variance décroissante au cours du temps. De cette façon, il est assuré que l a

mu ta t i o n l a i s s e i n cha n g é l e c e nt r e d e g r av i t é d e l a p op u l a t i o n.

- 143 -


5.6.2.1 Mutation uniforme

La technique de mu tation la plus simple a joute à un individ u x appartenant à un

do m ai ne ⌦ de R n une va ri ab le a lé at o ir e de di s tri bu ti o n un if o rm e sur un hy pe r -c ub e

[a, +a ] n . Cep endant, une telle mutation ne p ermet pas à un individu piégé par un

optimum lo cal situé sur un pic plus large que l’hyp ercub e de s’en échapp er. Pour éviter

cet in convén ient, il est pré fé rabl e d’ util ise r une di stri buti on à supp ort non b or né.

5.6.2.2 Mutation gaussienne

La mutation gaussienne es t l’une des plus utilisées en représ entation ré elle. Elle

a j ou t e à u n i n d i v id u x une va ri ab le a lé at o ir e g au ss ie nn e N (0 , 2 ), de moyenne nulle

et d’ éca rt- typ e qui a p our densité de prob ab ilité

f

( y

) = 1

p 2⇡ e 1 2 ( y )2

Le problème est alors un choix adéqu at de supp osé identi que p our les n co mp os antes

du v ec te u r x , d an s le s ve rs io n s le s p lu s si m pl es d e l ’o p é ra t eu r. E n t hé o ri e, i l e st p os s ib le

de s ’é cha pp er d’ un o pt im um lo c al q ue ll e q ue s oi t la l ar ge ur du pic où il se t ro uve

pu is q ue le s upp o rt d’ un e di s tri bu ti o n g au ss ie nn e n’ e st pa s b o rné , m ai s il se p o urr ai t

que cela ne se réalise qu’après de trop nombre u s es tentatives, si est trop p et it.

Une solution serait d’utiliser des distributions à queues p lu s épaisses , telles que les

distributions de Cauchy ou de Laplace qui ont montré leurs avantages [ Yao et al. 96]

[Montana et al. 89].

Cep endant, la mutation gaussienne est souvent préférée, moyennant l’adaptation

de la va le ur de du ra nt l ’é vo lu ti o n, s el on dive rs es a ppr o c he s. L es pr oc é du re s de

mu ta t i o n s a ut o - a d ap t a t i ve s p r é s e nté e s c i - d es s o u s o nt é t é l a r g e m ent é t u d i é es p a r l e s

pr om o te ur s de s stratégies d’évolution.

5.6.2.3 Mutation gaussienne et règle des 1/

5

À par t i r d’ u n e é t u d e s u r de u x f o n c t i o n s de t e s t t r è s di ff é r e nt es ave c un e s t r a t é g i e

d’ é vo lu ti on é li ti st e (1 + 1) ES 3 , Re ch e nb er g [ Rechenberg 73] [ Beyer 01 ] a ca l c u l é u n

éc art -typ e op tima l p our ch acu ne des fo nct ion s et ob servé qu’à ces val eurs , approximativement

un cinquième des mutations p ermettent de progresser vers l’optimum.

Il en a déduit la règle suivante, dite des “un cinquième” p our adapter : si le taux

des mutations bénéfiques est plus grand que 1/5, augmenter , s’il est plus petit,

réduire . Pa r “ t au x d e s mu t a t io n s b én é fi q u e s ” , on e nt e n d l a p r o p o r t i on d e mu t a -

tions qui p ermettent d’améliorer la valeur de p erformance d’un individu. Schwefel

[Schwefel 81] a prop osé en pratique la règle suivante :

3. (1 + 1) -ES : la p opulation comp orte un seul individu parent qui engendre un seul enfant, le

meilleur des deux est conservé p our la génération suivante.

- 144 -


Al gorit hm e 5.1 Règle des “un cin qu ième”

n : dimension de l’e sp ac e de recherche

g : indice de la g én ér atio n courante

ps es tim ati on du taux de mut at ions b én éfiq ues sur 10n mu t a t io n s

si p s < 0.

2 alors

( g )

( g n) · 0.

85

sinon si p s > 0.

2 alors

( g )

( g n) / 0.

85

sinon

( g )

( g

n)

5.6.2.4 Mutation gaussienne auto-adaptative

La règle des “un cinquième” imp ose que ait la même valeur p our toutes les

co mp os antes d’un ve ct eur x . De c et te ma ni ère , le p as de p ro gre ss ion ve rs l’ op timu m est

le même selon toutes les directions : la mutation est isotrop e. Cep endant, l’isotropie ne

p er me t p as d ’a ppr o ch er l ’o pti mu m a us si r api de me nt q u’o n p ou rr ait l ’e sp é rer lo rs qu e,

pa r e xe mp le , l es i so va le ur s de la f on ct io n de p e rf or ma nc e pr en ne nt l oc al e me nt la f or me

d’ e ll ip so ïd es “ ap la ti s” au v oi si na g e de l ’o pt imum ( fig ure 5 .1 5) . Si le pa s e st bi e n a da pt é

da ns une di re c ti on , il ne le s er a pa s da ns l es a ut re s.

Po ur p r é ci s e r c e l a s u r un e x e mp l e , c o n s i d é ro n s la f o n c ti o n d e p er f o r ma n c e qu a d r a -

tique définie dans R n : f (x ) = 1 2 (x c )T H (x c

), où H est une ma tric e sy mét riq ue.

Cet exemple est intéressant car l’expression de f ( x) est le te rme du se con d ordre

d’ un dé v el op pe me n t de Tay lo r au v oi si na g e du p o int c de t ou te f on ct io n de u x f oi s

conti nûme nt différ ent iabl e, où

H est la ma tric e he ssie nne en c de c et te f on ct io n. f (x )

est mi nima le, ég ale à 0, p our x = c ave c H dé fi nie p o si ti ve. La fig ur e 5 .1 5 re pr é se nt e

l’ellipse d’isovaleurs pour une fonction de deux variables f( x1 , x2 ) = 1 /2 ob tenue

lorsque H est di ago nal e avec h 11 = 1 / 36 et h22 = 1 .

Figure 5.15 – Courb e d’isovaleurs f (x1 , x2 ) = 1/2 lorsque H est diagonale avec h11 = 1 /36

et h22 = 1.

- 145 -


On remarque que la f on ction quadratique f (x ) = f (x1 , . .. , xi , . .. , xn) dé fi nie pa r H

lorsqu’elle est diagonale est une fonction séparable, c’est-à-dire que l’on p eut en obtenir

le minimum global, lorsque H est dé finie p os iti ve, en ch erchant le mi nimum sur ch aqu e

di me n si on i ndé p e nd am me nt de s a ut re s. La re c he rche du m ini m um d’ un e t el le f on ct io n

conve xe sur R n , qu i se d éc om p o se e n la r eche rche d es m in imu ms d e n f on ct io ns c onv ex es

f (c1 , . .. , ci1, xi , c i+1, . .. , cn ) ave c l e s c on s t a nt e s c1 , . .. , ci1 , ci+1 , . .. , cn arbitrairement

fixées, est donc facile. Il suffit d’adapter les écart-typ es

i de s m ut at ions g au ss ie nn es

mono-dime nsionnelles avec par exemple la règle des “un cinquième” p our chacune des

var i ab le s x i indép endamment des autres. Les rapp orts des valeurs adaptées i / j

à

une g éné ra tio n don né e sont alo rs id éa lem ent de l’ ord re de g ra nde ur de s ra pp o rt s

hjj / p h ii , H ét ant ch ois ie di ago nal e.

On définit le nombre de conditionnement apple H co mme le rapp ort de la plus gr ande

val e ur pr op re d e H sur la plus p et ite : apple H = max / min . Da ns l e ca s re pré se nté

fig ur e 5 .1 5, la m at ri ce H ét ant déjà di ago nal e, ses val eurs pro pre s sont h 11 et h22 .

Po ur ce t e x e m p le , le no mb r e d e c o n d it i o n n em e nt e s t do n c 3 6 . Po u r d e s p r o b lè m e s

d’ o pt im is at io n re nc o nt ré s da ns la ré a li té , il p e ut a rri v er de re nc o nt re r de s no m bre s de

co ndit io nnem ent sup ér ieur s à 10 10 , so i t d e s r a p p o r t s d e l o n g u eu r s e nt r e l e p l u s g r a n d

axe et le plus p etit axe d’un hyper-ellipsoïde d’isovaleurs sup érieurs à 10 5 .

Lorsque la fonction de p erformance n’e st con nue que par les valeurs qu’elle prend en

ce rta ins po ints , il n’ est pas p os sibl e de fa ire l’ hypo thè se de la sé para bil ité pour dé cou vrir

effica ce ment son op tim um gl oba l. D’ aut re pa rt, qu and le nombre de co ndit io nnem ent

est él evé, les co nsi déra tio ns pré cé dent es sug gè rent d’ adap ter les éc art -ty pes i se lon

ch ac u n d e s a x es i , afin d e ré duire , qu and ce la e st p o ss ib le , le temp s de cal cu l néces saire

à la recherche de l’optimum.

Po ur m e t t re e n œ u v re c e t t e a d a p t at i o n , S chwe f e l a pr o p os é q u ’ un i n d i vi d u s o it

représenté sous la forme d’un c ouple de vecteurs ( x, ) [Schwe fe l 81 ]. Les i évol uent

au même titre qu e les variables du problème sous l’action de l’algorith me évol ut ionnaire.

est donc sus ce ptib le de subir des mut at ions . Apr ès mut at ion, le co uple ( x 0 , 0 ) est

tel que :

i 0

= i e xp (⌧0 N + ⌧ N (0 ,

1)) (5.1)

ave c ⌧ 0 ⇡ p 1

1

⌧ ⇡ p 2n 2 n

x 0 i = x i + N (0 , 0 i2 )

où N dé s ig ne une va le ur a lé at o ir e g au ss ie nn e de m oye nn e 0 et de va ri an ce 1, c al cu lé e

p ou r l’ en se mbl e de s n co mp os antes de , et N (0, v ) représente une variable aléatoire

gaussienne de moyenne 0, et de variance v . 0 i est mis à jour par ap plic at ion d’une

p er tu rb ati on l og -no rm al e ( équ at io n 5 .1) .

5.6.2.5 Mutation gaussienne corrélée

La mutation auto-adaptative décrite ci-dessus fonctionne au mieux lorsque la

matrice H est di ago nal e. Elle est p eu effica ce lo rsq u’il ex ist e des co rré lat ions entre

var i ab le s, c om me da ns l e c as d e l a f o nc ti on d e p e r fo rm an ce d ont la co u rb e d ’i sova -

leurs f (x ) = 1 /2 est représentée figure 5.16. Cette figure corresp ond à une matrice

- 146 -


H = ( DR) T (DR ) où D est la ma tric e di ago nal e des ra cine s ca rré es des val eurs

pr op re s de H et R

est une ma tric e de ro tat ion avec :

1/6

0

cos ✓

s in ✓

D =

0 1

et R =

s in ✓ cos

✓

ave c ✓ = ⇡ / 6 (5.2)

Le nombre de conditionn e ment apple H = ( s22/s11 ) 2 est donc égal à 36. Cette fonction f

p ou r la qu ell e il e xi st e d es c orr él ati on s e nt re va ria bl es n ’e st pa s sé pa rab le .

Figure 5.16 – Une courb e d’isovaleurs f ( x ) = 1/ 2 obtenue p our H = ( DR) T (DR ) où D et

R sont données par les expr essions (5.2).

La mutation corrélée est une généralisation de la mutation adaptative décrite

pr éc é de mm ent. Le v ec te u r m ut é x 0 est ob tenu à pa rtir de x pa r l ’a j ou t d’ un v ec te u r

aléatoire gaussien de moyenne nulle et de matrice de covariance C :

x 0 = x + N (0 , C)

La matrice C, qui e st symé triqu e défini e p ositive, p eu t toujo urs s’é crire c omme

C = ( SR) T (SR) où R est une ma tric e de ro tat ion dans R n , S est une ma tric e

di a go na le avec s ii > 0 [Rudolph 92 ] 4 . La m atri ce R p eu t ê tre c alc ul ée c om me un

pro du it de m at ri ce s de n( n 1) / 2 rotations élémentaires Rkl (↵ kl ) :

n1 n

R =

R kl (↵ kl )

k=1

l= k+1

Rkl (↵ kl ) est la ma tric e de ro tat ion d’ angl e ↵ kl da ns le pl a n e ng en dr é pa r l es v ec te urs

de ba s e k et l. Une te lle mat rice s ’écri t comm e la matr ice id entit é à l’exc epti on des

co effici ents :

r kk = r ll = cos(↵ kl ) et r kl = r lk = s in (↵ kl ).

Chaque individu disp ose de sa propre matrice de covariance C lui p ermettant de

mu te r . C est el le- mêm e ca pab le de s’ ada pte r par mut at ion des él éme nts d’ info rma tio n

p er me tt ant d e l a co ns tr ui re. U n i nd ivi du es t a ins i co ns ti tu é p ar u n tr ip le t (x, , ↵ )

4. à une p ermutation de colonnes près de la matrice R et des co efficients diagonaux corresp ondants

dans S

- 147 -


où est un vec te ur de n éc art s-typ es co mme dans le cas de la mut at ion ad apt ati ve

dé c ri te au pa ra g ra ph e pr éc é de nt . ↵ est un ve ct eur co mp osé a priori de n ( n 1) / 2

angles de rotations ↵ kl qui p ermettent de construire la matric e R. Pou r c o n s t r u i r e C

à partir de ces informations, on a sii = i , où sii est un co effici ent di ago nal de

S.

évolue sous l’ act ion de l’ alg ori thme év olu tio nnai re de la ma niè re dé crit e par

l’équation (5.1). Par ailleu rs , les angles de rotation ↵kl sub iss ent des mut at ions se lon

la formule suivante :

↵ 0 kl = ↵ kl + N (0 ,

1)

Schwe fe l s ug gè re de fix e r à une valeur pro che de 0. 087

radian, soit 5 de gré s.

En pr at i qu e, le v ec te u r m ut é x 0 est ca lcu lé se lon l’ exp ress ion suivante :

x 0 = x +

R 0 S 0 N (0 , I)

R 0 et S 0 sont resp ec tivem ent les ma tric es R et S obtenues après mutation des écartsty

p e s i et des an gle s ↵kl . N (0 , I) est un ve ct eur al éat oir e ga uss ien de moyenne nul le

et d’ éca rt- typ e 1 sur ch aqu e co mp os ant e i.

Cette technique de mutation, bien qu’elle soit puissante, est rarement utilisée

en ra iso n de la quantité de mé moi re ut ilis ée par un in divi du et de sa co mpl exi té

algorithmique de l’ordre de n 2 pro du it s m at ri ci el s p o ur un pr ob lè m e de n var i ab le s à

ch aq u e g én é r a t i o n. D e p l u s , l e g r a n d n o mb r e d e p a r a m è tr e s q ue l a mu t a t i on n é c es s i t e

p ou r ch aq ue i ndi vi du e xi ge un e ta il le d e p o pu lat io n i mp o rta nt e, d e l ’o rdr e de n 2 , où

n est la di mens ion de l’ espa ce de re che rche. La mé tho de p erd b ea uco up en effica cit é

lorsque la dimension n augmente. Il n’est guère p ossible de dépasser la dimension 10

[Hansen 06].

Les difficultés d’utilisation de la métho de de mutation corrélée ont suscité la

reche rche de nouvelles appro ches conduisant à une amélioration ma jeure des stratégies

d’ é vo lu ti on c on nue s ou s le no m de “ Covariance Matrix Adaptation Evolution Strategy”

(CMA-ES), présentée en section 5.10.

5.7 Exemples de représentations discrètes pour

les problèmes de permutation

Il existe de nombreux types de problèmes d’optimisation combinatoire et il n’est pas

p os si bl e d e le s dé cr ir e t ou s d an s un e sp ac e r es tr eint . No us c on sid ér er ons i ci s eul em ent

les problèmes de permutation (order based problems) qui consistent à déc ou vrir un ordre

da ns une l is te d’ é lé me nt s, m ax im is an t ou m ini m is ant un c ri tè re do nn é . Le pr ob lè m e du

voyageur de commerce en est un exemple. Connaissant un ensemble de “villes”, ainsi

que les distances entre ces villes, le voyageur de commerce d oit découvrir le circuit

le plus court p ossible passant par chaque ville une et une seule fois. Ce problème

NP-complet est classiquement utilisé comme test p ermettant d’évaluer l’efficacité d’un

algorithme. Typiquement, les problèmes considérés comp ortent plusieurs centaines d e

villes.

Une solution est représentée comme une liste de nombres entiers, asso ciés chacun

à une v ille . La li ste c omp or te au tant d ’él éme nts qu e de vi lle s et cha que v ill e asso ci ée à

- 148 -

5.7 Exemples de repré sentatio ns discrètes p our les problèmes de p ermutation

un é lé me nt do i t re s p e ct er la c on tr ai nte d’ un ic i té . On c ho is it de c on st ru ir e de s i ndi v id us

resp ectant la structure du problème et de s pécialise r éventuellement les op érateurs

génétiques.

5. 7. 1 Re pr és enta ti on or di na le

Il est tentant de considérer une liste d’entiers représentant un ordre, comme

un v ec te u r d’ e nt ie rs , et d’ a ppl i qu er a ux i ndi v id us de s c ro is em ents pa r é ch an ge s de

co mp os antes si mila ire s à ceux dé crit s dans les pa rtie s dé diée s aux re prés enta tio ns

bi na i re s ou ré e ll es ( se ct io n s 5 .5 .1 et 5 .6 .1 .1 ) . La re pr é se nt at io n o rdi na l e p e rm et de

resp ecter la contrainte d’unicité avec l’utilisation de ces croisements standards. Elle

s’ appu ie sur un ordre de ré fér ence , par ex emp le l’ ordr e na ture l des en tie rs. On co nst ruit

la liste des villes V resp ectant cet ordre de référence. La liste est lue de gauche à droite,

pa r e xe mp le . Le n ième enti er lu donne le num éro d’ ordre dans V de la n ième ville vis ité e.

Quand un e ville est visitée, elle est retirée de V. Pa r exe mp le, c ons idé ron s un pr ob lèm e

à 9 villes numérotées de 1 à 9. La liste de référence cho isie est V = (1234 56789) .

Considérons maintenant l’individu h4372 53311i

:

– Le premier entier lu vaut 4. La p re miè re ville visitée e st donc le qu atrième

él éme nt de la li ste de ré fér ence V, c’est-à-dire la ville 4. Cette ville est retirée

de V. On obtient alors V1 = (1235 6789) ;

– Le deuxième entier lu vaut 3. D’après V 1, la seconde ville visitée est 3. Cette

ville est retirée de V1 p ou r do nn er V2 = (1256789) ;

– Le troisième symb ole lu vaut 7. La troisième ville visitée est donc 9 et on obtient

V3 = (125678) qui servira de liste de référence p our l’étap e suivante.

On continue ainsi jusqu’à ce que l’individu soit entièrement interprété. Ce qui donne

p ou r ce t e xe mp le l e che mi n : 4 ! 3 ! 9 ! 2 ! 8 ! 6 ! 7 ! 1 ! 5.

M ai s, e xp é ri me nt al em e nt , c et te re pr é se nt at io n a ss o c ié e a ux op é ra te ur s de va ri at io n

standards ne donne pas de b ons résultats. Cela montre qu’elle n’est pas adaptée au

pr ob lè m e p o sé et q ue le s im pl e re s p e ct de la c on tr ai nte d’ un ic i té n’ e st pa s su ffis ant.

D’autres voies ont été exp lorées, qui permettent de faire hé rite r partiellement les

de s ce nd ants de l ’o rd re de s é lé me nt s, ou a lo rs de s re l at io ns d’ a dj ac e nc e, q ui e xi st e nt

ch ez l e ur s pa r e nt s .

5. 7. 2 Re pr és enta ti on de c hem in s ou de sé qu en ce s

Dans cette représentation, deux entiers successifs d’une liste représentent deux

nœuds adjacents dans le chemin représenté par un individu. Chaque numéro dans une

liste doit être présent une et une seule fois. L’information utile résid e dans l’ordre de

ces num éro s les uns par rapp ort aux au tres . De nombreux op ér ate urs de var iat ion ont

été prop os és p our ce tte re prés entat ion . Un cr ois eme nt pré ser vant l’ ordr e et un au tre

pr és e rva nt l es a dj ac e nc es , c ho is is pa rm i l es pl us c om mu ns da ns la l it té ra tu re , s ont

pr és e nt és c i- ap rè s.

- 149 -


5.7.2.1 Croisement uniforme de p ermutations

Le croisement uniforme d e p ermutations tend à faire hériter un descendant d’une

combi nais on des or dres ex ist ant dans deux sé que nce s “p are nts” . L’ opé rate ur a les

ava nta g e s d e l a s i m p li c i t é e t , s e l o n L . D avi s , l’ u n d e s e s p r o m o te u r s [Davis 91], il a

une b o nne e ffic ac it é . Le c ro is em en t se dé ro u le en t ro is é ta p es ( fig ure 5 .1 7) :

– Un masque binaire es t e n gendré aléatoirement (figure 5.17a).

– Deux parents sont appariés. Les “0” (resp ectivement “1”), du masque binaire défin

is se nt l es p o si ti on s pr és e rv ée s da ns la s éq ue nc e du pa re n t “ 1” ( re sp ec ti v em ent

“2 ”) (fi gure 5. 17b ).

– Po ur o b t en i r l e d e sc e n d a nt “ 1 ” ( r es p e c ti ve m e nt “ 2 ” ) , l e s é l é m ent s n o n p r és e r vé s

du pa re nt “ 1” ( re sp e ct ive me nt “ 2” ) s on t p e rm ut és de f aç on à re s p e ct er l ’o rd re

qu’ils ont dans le parent “2” (resp ectivement “1”) (figure 5.17c).

1 1 0 1 0 a masque

⇓

1 2 3 4 5 parent 1

5 4 3 2 1 parent 2

b Choix des symboles à

échanger

⇒

4 2 3 1 5

5 4 1 2 3

c Résultat

descendant 1

descendant 2

Figure 5.17 – Croisement uniforme de p ermut ations

5.7.2.2 Croisement par recombinaison d’adjacences

Cette classe d’op érateurs de croisement tend à faire hériter un descendant des

adjac ences existant dans les deux parents. Cela est utile p our le problème du voyageur

de c om me rc e no n o ri ent é, c ar le c oû t ne dé p e nd pa s du s en s de pa rc o ur s d’ un c yc le ,

mais dép end directement des p oids entre les nœuds adjacents d’un cycle hamiltonien.

L’op érateur de recombinaison d’adjacences a été amélioré par plusieurs auteu rs

sur pl usie urs an née s. La ve rsi on “e dge -3” de Ma thi as et Wh itle y [ M at hi as et al. 92] es t

pr és e nt ée c i- ap rè s. D eu x i ndi v id us s on t s él ec t io nn és p o ur ê tr e a ppa r ié s, pa r e xe mp le :

hg, d, m, h, b , j, f, i, a, k, e, ci et h c, e, k, a, g, b, h, i, j, f, m, di. La première action

co nst ruit un ta ble au des ad jac enc es (t abl eau 5. 2) tel qu’à ch aqu e nœud co rre sp ond

une l is te de s om me ts a dj ac e nt s da ns l es de u x pa re n ts : il y en a de de u x à q ua tr e. L es

adjac ences communes aux deux parents sont marquées d’une * dans le tableau.

Lors de l’action 2, u n nœud actif initial est choisi au hasard e t toutes les références

à ce nœud sont supprimées du tableau .

L’action 3 consiste à choisir l’arête qui, à partir d u nœud actif, conduit à un nœud

adjacent marqué par une * ou, à défau t, disp osant de la liste d’adjac ences la plus

co urte . S’il y a pl usie urs op tio ns éq uival ent es, le choix du pro ch ain nœud est effec tué

au hasard. Le nœud adjacent choisi devient le n ou veau nœud actif a jouté dans le tour

“e nfa nt”. Tou tes les ré fér ence s à ce nœud sont sup prim ées des li ste s d’ adja ce nce s du

tableau.

- 150 -

5.7 Exemples de repré sentatio ns discrètes p our les problèmes de p ermutation

Tab leau 5.2 – Un tableau d’adjacences (d’après [Mathias et al. 92]).

nœ ud s listes des adjacences

a

*k,g,i

b

*h,g,j

c

*e,d,g

d

*m,g,c

e

*k,*c

f

*j,m,i

nœ ud s listes des adjacences

g

a,b,c,d

h

*b,i,m

i h, j ,a ,f

j

*f,i,b

k

*e,*a

m

*d,f,h

L’action 4 construit une chaîne ou éventuellement un tour complet. Elle est constituée

par la rép étition d e l’action 3 tant que la liste d’adjacences d’un nœud actif est

no n v id e. Si e ll e e st v id e, a lo rs on re pa r t de l ’a ut re e xt ré mi té de la cha î ne en ré a ct iva nt

le nœud initial et, par ap plication rép étée de l’action 3, on arrive jusqu ’à un nœud

qui a u n e liste d’adjac e nces vide. Notons qu’il se p eut qu e le nœud initial ait une liste

d’ a dj ac e nc es v id e à ce s ta de de pa r le j eu de s s upp re ss io n s da ns l es l is te s.

Tant q ue l’a cti on 4 n’a pas pu en gen drer un t our com ple t, on rep art d’ un autr e

nœ ud a ct if i ni ti al cho i si au ha s ar d, pa rm i c eu x q ui ne f on t pa rt i e d’ a uc un t ou r pa rt i el ,

et l’ act ion 4 est re lanc ée .

L’application de l’op érateur se résume donc à l’enchaînement des actions 1, 2

et au tan t d’ act ion s 4 que né ces sai re. On esp ère que l’op ér ate ur cr éer a p eu de to urs

pa rt i el s, et do nc p eu d’ a rê te s é tr an gè re s a ux de u x pa re n ts . “ ed ge - 3” e st p e rf or ma nt de

ce p oint de vue.

Su pp o so ns q ue le no e ud a soit ch ois i al éat oir eme nt co mme ét ant ac tif in itia l

da ns l ’e xe mp le du t ab le au 5 .2 . Le t ab le au 5 .3 m on tr e un e xe mp le de dé ro u le me nt de

l’algorithme. La progression dans la construction du cycle hamiltonien est présentée

da ns la de rn iè re l ig ne . L es nœ ud s a ct if s s ont s ou li gn és . L or sq u’ un nœ ud a ct if e st

marqué (1), ce la signifie qu’il a dû être choisi aléa toirement en raison de l’existence

de pl us ie u rs p o ss ib il it és é qu iva le nt es . L or sq u’ il e st m ar qu é ( 2) , il s ’a gi t d’ un e fin de

ch aî n e : i l n ’ y a p l u s d ’ a d j a ce n c e p os s i b le , c e q u i i m p li q u e d e r e p a r ti r e n s e n s i nver s e e n

réactivant le nœud initial a . Il n’a été nécessaire d’appliquer qu’une seule fois l’action

4 q u i a d o n c e n g e n d r é u n t o u r c o m pl e t hj ,f ,i ,a , k, e, c, d, m, h, b, gi . A i n s i , à l ’ e x c e pt i o n

de l ’a rê te ( j g ), toutes les autres proviennent d’un des deux parents. Cet exemple est

repris de [Mathias et al. 92].

5.7.2.3 Mutations d’adjacences

La mutation “2-opt” est la plus commu n e p our la représentation de chemins. Elle

s’ util ise co ura mment p our le pro blè me du voya ge ur de co mme rce eu cli die n en ra iso n

de s es pr op ri ét é s g éo mé t ri qu es . E ll e c on si st e à c ho is ir de u x p o si ti on s au ha s ar d da ns

une s éq ue nc e , pu is à inv er se r la s ou s- sé qu e nc e dé l im it ée pa r l es de u x p o si ti on s. So i t

la s équence h 9876 54321i, on tir e deux p os itio ns au ha sard , soit 3 e t 8, alo rs la so ussé

que nce si tué e en tre les p os iti ons 3 et 8 est inver sée , ce qui donne la nouvel le sé que nce :

- 151 -


h98 4567321i. L a fi gu r e 5 . 1 8 mo nt r e l ’ e ffe t d e l ’ o p é r a te u r a p p li q u é à c e tt e s é q u en c e

p ou r l a r ep ré se nt ati on d’ un c irc ui t. L ’o p ér at eur p e ut ê tr e g én ér al isé e n ch oi si ssa nt

pl us de de u x p o si ti on s d’ i nve rs io n de s ou s- sé qu e nc es .

Tab leau 5.3 – Exemple de déro ulement de l’algorithme.

ét ap es : 1 2 3, 4 5

6, 7 8, 9 10, 11

a *k,g,i g,i g,i g,i g,i

b *h,g,j *h,g,j *h,g,j *h,g,j g,j

j j

c *e,d,g *e,d,g d,g

g g

d *m,g,c *m,g,c *m,g

g g

e *k,*c *c

f *j,m,i *j,m,i *j,m,i *j,i *j,i *j *j

g

b, c ,d b, c ,d b,d

b

h *b,i,m *b,i,m *b,i,m *b,i

i

h, j ,f h, j ,f h, j ,f h, j ,f j ,f j ,f

j

j *f,i,b *f,i,b *f,i,b *f,i,b *f,i *f

k *e *e

m *d,f,h *d,f,h *d,f,h f ,h

f f

a (1) a, k a,k,e, c a,k,e,c, a,k,e,c, a,k,e,c,

f (1) ,i,a,k,

tour : d (1) , d, m, h(1) d, m, h, b e, c,d ,m,

g (2)

h, b, g

8

7 6

5

8

7 6

5

9

4

9

4

1

2

3

1

2

3

Avant mutation

Après mutation

Figure 5.18 – U n e x e m pl e d e m u t a t i o n 2 -o p t .

5.7.2.4 Mutations de p ermutations

Si un i ndi v id u re pr é se nte une s éq ue nc e s ol ut io n d’ un pr ob lè m e d’ o rdo nn a nc em en t,

l’op érateur “2-opt” modifi e l’ordre d’un grand nombre d’élé me nts, en moyenne l / 2 si

l est la ta ill e d’une sé que nce . Or, le sens de pa rco urs d’une so us- séq uenc e, qui ét ait

indiff

érent p our le p rob lème du voyageur de commerc e , ne l’est plus dans ce nouveau

conte xte . Ai nsi, les mo di ficat io ns que la mut ati on d’ adja ce nce s app orte à une sé que nce

- 152 -

5.8 La repré sentatio n arbore scente p our la programmation géné tique

sont imp ortantes. Cep endant, une mutation devrait être capable d’engendrer souvent

de p etites p erturbations à une solution afin d’en explorer son voisinage pro che. C’est

p ou rq uo i d ’au tr es typ e s d e mu tat io ns o nt é té d éve lop p és . L a p lus s im pl e c on si st e

à ret ire r un é lém ent choisi a léa to ire ment d’u ne s équ en ce p o ur l’ in sér er à un e au tre

p os it io n. Pl us ie urs o p ér at eur s ont é té d écr it s d an s l a l it tér at ur e, co mm e l a mu ta ti on

pa r é ch an ge , où de u x p o si ti on s da ns une s éq ue nc e s on t c ho is ie s a lé at o ir em ent et l es

él éme nts en ces p os iti ons sont éc han gés . Les p er form anc es offer tes par les var iantes de

mu ta t i o n s d é p en d e nt é t r o it e m e nt d e s p r o p r ié t é s d u p r o b l è m e t r ai t é .

5.8 La représentation arborescente pour la

programmation génétique

La première utilisation des structures arb orescentes dynamique s dans un algorithme

génétique a été prop osée par Cramer en 1985 [ Cramer 85 ], dans le but de faire

évol uer des so us- prog ramm es sé que nti els d’un la nga ge al gor ithm iqu e si mple . Le mo teu r

d’ é vo lu ti on ut i li sé é ta it le Steady State Genetic Algorithm (SSGA) (section 5.3.6.3),

do nt la t âc he n’ é ta it pa s de re c he rche r l es va le ur s o pt im al es d’ un pr ob lè m e p o sé , m ai s

de dé c ou vr ir le pr og ra m me i nf or ma ti qu e q ui p o urr ai t le ré s ou dre .

John Koza a adopté cette représentation en 1992 [ Ko za 9 2 ] p o u r dé fi ni r l a pr o -

grammation génétique ou Genetic Programming (GP) comme un nouvel algorithme

évol uti onna ire . Son ob je cti f in itia l ét ait de fa ire év olu er des so us- prog ramm es du

langage LISP (figure 5.19a). Il a montré empiriquement que son appro che p ermet de

dé c ou vr ir de s pr og ra m me s p e rt in ents p o ur un g ra nd no m bre d’ e xe mp le s d’ a ppl i ca ti o ns,

do nt la c on ce pt i on d’ o b j et s c om pl ex e s c om me de s c ir cu it s é le ct ro ni q ue s, avec une

effica cit é no tab leme nt plus él evé e que ce que p er met trai t le ha sard . Grâ ce à l’ ouv rag e

de Ko z a [ Ko za 9 2 ], l’utilisation de la programmation génétique s’est étendue à la résolution

de nombreux types de problèmes dont les solutions p euvent être repré s e ntées

pa r de s s tr uc tu re s a rb o re sc en te s , c om me l es re pr é se nt at io ns f on ct io nn e ll es l in éa ir es

[Nordin 94] (figure 5.19b), les graphes [Teller et al. 95, Ryan et

al.

98], les structures

moléculaires [Wasiewicz et al. 01]...

Dans la représentation fonctionnelle, une solution est une fonction (f ), construite

à partir de :

1. un e ns emble de s ym bo le s t er mi na ux ou f eu il le s T qui p euvent être des variables,

de s c on st an tes un ive rs el le s, de s f on ct io ns s an s a rg um en ts ( rnd () , t im e( ). .. ) .

2. un e ns emble de s ymb o le s no n t er mi na ux ou nœ ud s (N ) qui p eu vent êtr e des

op érateurs : ⇤, , +, des fonction s avec argum ents : s i n, c o s ...

En t an t q ue s tr uc tu re s d’ a rbr es s yn ta xi q ue s, l es programmes génétiques requièrent

la donn ée de l’ensemble des nœuds et des symboles terminaux, décrivant alors l’espace

de s s ol ut io ns p o ss ib le s du pr ob lè m e à ré s ou dre .

Les ensembles des nœuds et des feuilles doivent resp ecter les propriétés de clôture

et de suffisa nce [ Ko za 9 2 ]. La propriété de suffi

sance exige que les séries de symboles

terminaux et non terminaux soient capables de représenter une solution au problème

p os é, a lor s q ue la p ro pr iét é d e c lôt ur e i mpl iq ue qu e ch aqu e n œu d do it a cc ept er , co mm e

- 153 -


argument, n’imp orte quels type et valeur qui p euvent être pro duits par un symbole

terminal ou non terminal.

(a)

(b)

N = { if , a nd , or } N = { ⇤, + , }

T = { d0, d 1, d 2 } T = {x 0, x 1, R}

Figure 5.19 – Exemple d’arbres synt axiques obtenus par programmation géné tique (a) où

l’espace exploré est l’espace des programmes LISP, et en repré sentatio n fonct io nnelle linéaire (b)

où l’espace exploré est celui des p olynômes réels à 2 variables.

Les structures des individus avec la programmation génétique sont très diff

érentes

de c el le s q ui o nt ´été évo qu ées pré cé demm ent p our d’ autr es re prés enta tio ns. Les

arb orescences doivent notamment disp oser d’un mé can isme de régulation de leur

taille. Dans le cas contraire, elles vont avoir tendance à croître indéfiniment au cours

de s g én ér at io n s, c on so mm ant a in si i nut i le me nt de pl us en pl us de m ém oi re et de

pu is sa n ce de c al cu l. Le m éc an is me de ré g ul at io n p e ut ê tr e s im pl em en t i mpl a nt é pa r la

do nn é e d’ un e pr of o nd eu r d’ a rbr e m ax im al e , ou a lo rs un no m bre m ax im um de nœ ud s

que les op érateurs génétiqu es doivent resp ecter.

5. 8. 1 Cr éa ti on de la p op ul at io n i nit ia le

Avec l a re pré se nta tio n ar b or esc ente , l a cr éat ion d e la p o pu lat io n i ni tia le ne r ép on d

pas aux mêmes règles qu’avec les représentations binaire et réelle. Chaque arbre est

construit en deux étap es : d’ab ord les nœuds, ensuite les feuilles. Cep endant, la forme

de l ’a rb re dé p e nd de l ’a pp ro c he a do pt ée . On dé n om bre pr in ci pa l em en t t ro is m ét ho de s :

– “ Grow ” : l es a r br es s ont d e fo r me s ir ré g ul iè r es ; à ch a qu e ét a p e , la s él ec t io n se

f ai t d’ un e f aç on un if o rm e da ns l es e ns embl e s de s nœ ud s et de s t er mi na ux , t ou t

en resp ec ta nt la pro fo ndeu r ma xim ale (fi gure 5. 20a ).

– “ Ful l ” : l e s ar br e s so nt éq ui l ib r és e t pl e in s ; p o u r un n œu d do n né , u n te rm i na l

n’ e st c ho isi q ue l or sq ue l ’o n e st à la pr of o nd eu r m ax im al e ( fig ure 5 .2 0b ).

– “ Ramped Half and Half ” : É t ant d on n é q u e le s de u x mé th o d e s p r éc éd e nte s

n’o ffre nt pa s une g ra nd e va ri ét é de f or me s et de t ai ll es d’ a rbr es , Ko z a [

Ko za 9 2 ]

a prop osé de combiner les deux métho des “ Full” et “Grow” en p ermettant la

cr éat ion d’un no mbre ég al d’ arbre s de pro fo ndeu rs ré guli ère men t éc hel onné es

- 154 -


qui varient entre 2 et la profondeur maximale . C’est la méthode préférée

actue llement.

(a) Métho de Grow

(b) Métho de Ful l

Figure 5.20 – Création d’un arbre cont enant 5 nœuds avec une profon deur maximale égale à 2

en utilisant les métho des Grow (a) et Full

(b).

5. 8. 2 Cr oi se me nt

Ty pi q u e m e nt , l a s t r a t ég i e d e c r o is e m e nt c o n s i s te e n u n é ch an g e d e d e u x s o u s- a r b r e s

de s de u x i ndi v id us à c ro is er , s él ec t io nn és a

priori

pa rm i l es pl us p e rf or ma nt s, do nc

conte nan t p ot ent iel lem ent des so us- stru ctur es in tére ssa nte s. Le ch oix des so us- arbre s à

écha nge r est gé nér ale men t fa it par ti rag e uni for me.

Ce princip e général présenté par Cramer en 1985 [Cramer 85] p eu t êt r e a ffi n é se l o n

dive rs p o ints de v ue . D ’a b o rd, il e st né c es sa i re de re s p e ct er la l im it e de t ai ll e i mp o sé e

aux arbres de la p opulation, afin qu’ils ne deviennent pas inutilement gigantesques.

Si l es p o in ts de c ro is em en t c ho is is ne la re s p e ct en t pa s , a lo rs le c ro is em ent ne p o urr a

avo ir l i e u e n é t at . L ’ a t t it u d e a d o p t ée d a n s c e c a s e s t u n p a ra m è t r e d u c r o i s e m ent . E l l e

p ou rr a ê tr e a u m oi ns l ’un e de s de ux s ui va nt es :

– sé lec tio nne r un no uve au co uple de pa rent s et te nte r de re fai re un cr ois eme nt

j us qu ’à ce q ue l ’o n t ro uv e de s de s ce nd ants q ui re s p e ct en t la c on tr ai nte de t ai ll e ;

– ou en core choisir des points de croisement différents sur les deux parents

sé lec tio nné s, ju squ’ à ce que l’on ob tie nne des de sce ndan ts sa tis fai sants.

- 155 -


Figure 5.21 – Exemple de croisement de deux arbres.


La programmation génétique “traditionnelle” prop osée par Koza [ Ko za 9 2] n’u ti lis e

pa s d’ o p é ra te ur s de m ut at io n. P ou r a ss ur er l ’a cc è s à t ou te s l es pr im it i ves du l an ga ge

de recherche (e.g. LISP) et assurer la diversité génétique, on utilise des p opulations de

très grande taille, p our qu’elles contiennent le maximum d’informations. C’est en 1996

que la mutation a été introduite par Angeline [ Angeline 96] da n s l e b u t d e r é du i r e l e s

tailles de p opulations.

On distingue de multiples sortes de mutations du fait de la complexité des structu res

arb orescentes, dont les capacités exploratoires p euvent être lo cales ou, à l’inverse, de

grande envergure. Parmi les différentes mutations, les plus courantes sont :

– la mutation par insertion (grow mutation) : on a joute un nœud e t de s feuilles

co mpl éme nta ire s n’ imp orte où dans l’ arbr e (fi gure 5. 22) .

– la mutation par promotion (shrink mutation) : u n n œ u d i nt er n e e s t ô t é e t l ’ u n

de s es fils re m on te pr en dr e sa pl a ce ( fig ure 5 .2 3) .

– la mutation d’un nœud (cycle mutation) : u n n œ ud d e l ’ a r b r e es t r e m p l ac é p a r

un a ut re nœ ud de m êm e a ri té ( fig ure 5 .2 4) .

– la mutation d’une branche : o n é l a g u e u ne br a n ch e d e l ’a r b r e e t o n l a r e m pl a c e

pa r un s ou s- ar br e g én ér é a lé at o ir em en t ( fig ure 5 .2 5) .

Dans le cas où les termi n aux p euvent pren d re des valeurs numériques, d’autres

mu ta t i o n s o nt é t é i nt r o du i t e s , d o nt :

– la mutation d e s constantes : quelques constantes sont mo difiées selon une loi

Gaussienne ou uniforme [Angeline 96],

– la mutation optimisée des constantes : on applique quelques itérations d’un hil l

climber aléatoire en vue d’affiner les constantes [Schoenauer

et al. 96b].

- 156 -


Figure 5.22 – Exemple de mutation par insertion d’un sous-arbre.

Figure 5.23 – Exemple de mutation par promotion d’un arbre.

Figure 5.24 – Exemple de mutation d’un arbre par remplac ement d’un nœud.

Figure 5.25 – Exemple de mutation d’une branche d’un arbre.

- 157 -


5. 8. 4 A ppl ic at io n à la ré gr es si on symb ol iq ue

É ta nt do nn é e u ne ba s e d’ a ppr e nt is sa ge sup e rv is é c on te na nt un e ns em bl e de

N co uple s de ve ct eurs ( xj , y j ) p ou r j 2 [1 , N ], l a régression symbolique co nsi ste

à découvr ir une expr ession sy mb olique S ca pab le d’ appro ch er du mi eux p os sibl e yj

co nna issa nt xj . Il n’y a pas a priori de c ont ra inte sur la s tr uc tu re de l ’e xp re ss io n

recherchée. Pour un vecteur xj , l’e xp re ss io n S p er me t d e ca lc ul er ŷj = S(xj ) do nt

l’écart avec y j do i t ê tr e m ini m is é p o ur t ou t j pa r mo di fic a ti on de la s tr uc tu re de

S .

John Koza [Ko za 9 2 ] a m on tr é q ue l a p r og r am m at i on g én é ti q ue p e u t êt r e ut i l i-

sée avantag eusement p our résoudre des problèmes de régression symbolique. Chaque

arbre d’une p opulation p eut en effet représenter une expression mathéma tique. Outre

les travaux de Koza, plusieurs étude s récentes montrent l’intérêt d e l’application de

la programmation génétique dans la résolution des problèmes de régression symbolique

[ Cai et al. 06 , Gustafson et al. 05 , Keijzer 04, Lew et al. 06 ]. De multiple s appl

i ca ti on s da ns di ffé re nt s do m ai ne s o nt é té pr és e nt ée s c om me la re c he rche a ut om a-

tique de la structure de filtres [ Oakley 94 ], l’exploration et la prédiction de charges

d’ hé l ic op tè re s [ Cheung et al. 12 ], la prévision de la pro duction des vach e s laitières

[ Chiu et al. 01], la détermination des asso ciations fonctionnelles entre group es de protéines

[ Garcia et al. 08 ]... Nous présentons ci-dessous un exemple d’application dans

le domaine de la finance.

Un des défis p osés aux marchés financiers est de disp oser de prévisions de qualité

co nce rna nt la vo lat ili té des ac tif s fina nci ers p our ob ten ir des pré dic tio ns ra iso nnab les

sur les ris que s p ot ent iel s. La vo lat ili té d’un ac tif est la tr ansf orm ati on de son re ndem ent

(son prix) p endant une durée donnée. Disp oser d’un e mesure de la volatilité p ermet

d’ e st im er l es ri sq u es e nc ou ru s d’ un e p e rt e de va le ur sur un c er ta in ho ri z on , et pr en dr e

les décisions adéquates comme la constitution des provisions de capital p our couvrir

ce type de ris que s (s elo n les ac co rds de Bâ le sur la ré gle men tat ion des ba nque s).

La volatilité des actifs, étant inobservable et é voluant d’un e façon aléatoire, est une

var i ab le t ot al e me nt i m pr év is ib le . C ep e n da nt , e ll e p e ut ê tr e m es ur ée i n di re ct em e nt à

partir des rendements observés. Comment faire de l’inférence sur la volatilité à partir

de s re nd e me nts et l ’u ti li se r p o ur de s pr év i si on s da ns le f ut ur pro c he a é té et re s te ra

un t hè me de re c he rche c en tr al en é co no mé t ri e fin an c iè re .

P lu si eu rs ré s ul ta ts o nt é té pr és e nt és da ns ce t hè me [Kab oudan 00 , Chen et al. 09 ,

Chidambaran et al. 02 ]... Nous décrivons ci-dessous un travail récent de Ab delmalek

et Ben Ha mida [ Ab delmalek et al. 09] qu i ont u ti li sé l a p ro gr am ma ti on g én é ti qu e

p ou r d éc ou vr ir d es m o dè le s d ’e st im at ion d e l a vo lat il it é im pl ic it e d es m ar ch és . L a

volatilité implicite (VI), selon plusieurs études, contient une information p ertinente sur

la volatilité future. Le mo dèle le plus utilisé actue lle m ent p our le calcul de volatilité

implicite est le mo dèle de B lach&Sch ole s (B&S ). Cep endant, cette formule ne tient

pa s c om pt e du c ar ac tè r e no n c on st an t de la vo la ti li t é, ce q ui p e ut bi a is er l es pr év i si on s.

L’ob je ctif de ce travail e st de chercher des mo d è le s plus génériques p ermettant de

co uvr ir le mo dèle Bl ach&S cho les afin de ga rde r ses at out s tout en am éli ora nt ses

ca pac ité s pré vis ion nel les .

- 158 -


Les données utilisées sont principalement des cours journaliers des options d’achat

eu rop ée nne s p or tant sur l’ indi ce S&P 500 négo ci ées sur la b ou rse am éri cai ne “ Chicago

Board Options Exchange” (CBOE) pour une pério de de 9 mois. À partir de ces

do nn é es , l ’o pt im is eu r é vol ut io nn ai re do i t che rc h er de s mo dè l es de f on ct io ns g én ér iq ue s

appro chant au maximum la volatilité implicite calculée à partir des données en entrée.

Il doit alors faire évoluer une population de modèles représentés par des arbres

synta xiq ues dont les nœuds sont des fo nct ion s li néa ires et les fe uil les sont des var iabl es

sé lec tio nné es ou ca lcu lée s à pa rtir des do nnée s d’ entrée.

Le critère de p erformance des mo dèles est l’erreur quadratique moyenne (EQM)

dé fi nie c om me la s om me de s c ar ré s de s é ca rt s e nt re l es va le ur s de s or ti es c ib le s y j (VI

de B &S de s do nn é es o bs er vé e s) et l es va le ur s de s or ti es g én ér ée s pa r le pr og ra m me

génétique ŷ j (VI données par les fonctions de GP ), divisée par le nombre d’observations

N :

E QM = 1 N

(yj ŷ j ) 2 (5.3)

N

j=1

Les nœuds des arbres syntaxiques sont sélectionnés à partir d’un ensemble de fonctions

unaires et binaires définies selon la nature du problème. L’en s emble sélectionné

da ns [ Ab de l ma le k et al. 09] est le suivant :

Fonctions binaires addition, soustraction, mutiplication, division protégée

Fonctions unaires sinus, co sin us, lo gar ithm e nép ér ien pro tég é (ln ),

racine carrée protégée, exp onentielle ,

f on ct io n de di s tri bu ti o n no rm a le s ta nd ar d c um ul at ive ⇥

Les terminaux (feuilles de l’arbre) sont définis à partir des variables observées dans

la base de données. Pour ce cas d’étud e, la série des terminaux es t comp osée du ratio

pr ix d’ o pt io n d’ a ch at di v is é pa r le pr ix d’ e xe rc ic e C K , du r a t i o p r i x d ’i n d i c e d i v i s é pa r

le prix d’exercice K S et de l’ éch éan ce à ma turi té ⌧ .

La base de donn ées en entrée a été divisée en 10 échantillons de p é rio de de un

mois chacun. Le GP apprend séparément sur chacun des neuf premiers échantillons

(S1...S9) et sa p erformance est évaluée sur un échantillon test provenant de la p ério de

suivan te. Des sé rie s de te sts avec ch aqu e éc hanti llo n ont p er mis d’ obte nir un en sem ble

de mo dè l es de f on ct io ns ( M1 S1 .. .M 9 S9 ) avec de s E QM t rè s f ai bl es . L es mo dè l es s on t

co mpa rés se lon les er eurs qu adra tiq ues non se ule ment par rapp ort à l’ écha ntil lon te st,

mais aussi par rapp ort à la base complète (EQM Totale) ainsi que les 8 échantillons

qui n’ont pas servi à l’apprentissage (EQM out-of-sample) afin d’évaluer la généricité

de s s ol ut io ns o bt enue s . La fig ur e c i- de ss o us i ll us tr e l es E QM s de s m ei ll eu rs mo dè l es

(en termes d’EQM Totale et d’ EQM out-of-sample).

Ci-dessous la fonction M4S4 ayant l’EQM totale la plus faible :

V I ( C K , S K , ⌧ ) = ex p ( l n ( ⇥ (

C

K )) ⇥ C

⌧ 2 ⇥

K + S K )

cos(

C

K )

- 159 -


Figure 5.26 – Performance des mo dèles par échantillon obtenu par la programmation géné tique

en se basant sur les erreurs quadr atiques moyennes totales et en dehors de l’échantillon.

Les mo dèles ainsi obtenus p euvent fournir une information utile aussi bien p our les

sp éc ula teu rs que p our les inves tis seu rs p our se pré muni r contre les ris que s du ma rché .

Les simulations des stratégies de sp éculation effectuées p our évaluer les profits que

p eu t r éal is er u n s p éc ula te ur e n s e b asa nt s ur l es p ré vi sio ns d e vo la til it é gé né ré es p ar le s

mo dèles obtenus par la programmation génétique ont montré que ces derniers p euvent

en gen drer des re ndem ent s sup ér ieur s à ceux des mo dè les cl ass iqu es [A bid et al. 12].

5.9 Cas particulier des algorithmes génétiques

Les algorithmes génétiques simples resp ectent le sché ma d’un algorithme évolutionna

i re t el q u’ il e st pr és e nt é fig ur e 5 .1 av ec une o ri gi na li té no t ab le : i ls s ’i ns pi re nt de

la transcription génotype – phénotype de la génétique naturelle. Cette transcription

pr éc è de la ph as e d’ é va lu at io n de s p e rf or ma nc es de s i ndi v id us . Un génotype est une

chaîne de symboles souvent binaires. Cette chaîne est déco dée p our construire une

so lut ion d’un pro blè me re prés entée dans son fo rma lism e na ture l : il s’ agi t du phénotype .

Ce dernier p eut alors être évalué p our donner une valeur de p erformance exploitable

pa r l es op é ra te ur s de s él ec t io n.

Le schéma d ’u n algorithme gén é tique simple est présenté figure 5.27. On remarque

qu’il me t en œuvre un op érateur de sélection prop ortionnelle (section 5.3.3) et un

remplacement générationnel, c’est-à-dire que la p opulation des enfants remplace

co mpl ète ment ce lle des pa rents. Une au tre ve rsi on cl ass iqu e ut ilis e un re mpla ce ment

st ati onna ire (steady state, section 5.3.6.3) .

Les op érateurs de variation travaillent sur les génotyp es. Comme ceux-ci sont

de s c ha în es bi na i re s, on ut i li se c la ss iq ue m en t l es op é ra te ur s de c ro is em en t et de

mu ta t i o n p r é s e nt és à l a s e c t i o n 5 . 5 r e l at i ve à l a r e p r és e nt a t i o n b i na i r e . L e c r o i s e m ent

est co nsi déré co mme l’op ér ate ur de re che rche es senti el. La mut at ion est ha bitu ell eme nt

appliquée avec un faible taux, de façon à maintenir un certain degré de d iversité dans

- 160 -

5.9 Cas particulier des algorithmes géné tiques

la p opulation. La représentation étant fondée s ur des chaînes binaires, la difficulté

est de dé cou vrir un b on co dage du gé not ype , tel que les op ér ate urs de var iat ion dans

l’espace des chaînes binaires pro duisent des descendants viables, resp ectant souvent

les contraintes du problème. Ce n’est généralement pas une tâche triviale. . .

Holland, Goldberg et une multitude d’autres auteurs ont travaillé sur un e formalisation

mathématique des algorithmes génétiques fondée autour d’un “théorème

de s sché m as ” [ Goldb erg 89], à l’utilité controversée. Il p ermet en première appro che

d’app orter des arguments au choix d’une représentation binaire. Cep endant les travaux

ut i li sa nt ce t hé or èm e se s ont avé ré s au b o ut du c om pt e p eu ut i le s p o ur mo dé l is er une

évol uti on. De no mbre ux co ntre -e xem ple s ont mo ntré que les co ncl usio ns fo rmul ées à

pa rt i r de c on si dé ra ti o ns dé d uit e s de ce t hé or èm e s on t di s cu ta bl es , en pa rt i cu li er le

ch oi x mê m e de l a r e p ré s e nt a t io n b in a i r e .

Évaluation

des µ

individus

Décodage

génotypes →

phénotypes

Initialisation

de la

population

de µ

individus

Sélection

proportionnelle

non

Stop ?

oui

meilleur(s) individu(s)

µ enfants

+

µ parents

µ

individus

Croisement

des µ

individus

sélectionnés

Remplacement

générationnel

Mutation

des µ

individus

sélectionnés

Décodage

génotypes →

phénotypes

Évaluation

des µ

enfants

Figure 5.27 – Un algorithme géné tique simple.

Les algorithmes gé né tiqu e s ont connu de nombreuses suggestions de mo difications en

vue d’améliorer leurs p erformances ou d’étendre leurs domaines d’utilisation. Ainsi, les

ch aî n e s b i n a i r es o nt é t é r e m p la c é e s p a r d e s r e p r é s ent a t i o n s p l u s p r o ch e s d u f o rm a l i s m e

de s pr ob lè m es t ra it és , é vi ta nt pa r l à- mê me l ’é pi ne us e q ue st io n de la c on ce pt i on d’ un

co dage effica ce , et on a vu par ex emp le des travaux ut ilis ant des “R eal Co ded Ge net ic

Algorithms” utilisant la représentation réelle évoquée section 5.6. Par ailleurs, la

sélection prop ortionnelle a souvent cédé la place à d’autres formes de sélection. Ces

mo difications sont suffisamment imp ortantes p our que les sp écificités des algorithmes

génétiques disparaissent par rapp ort à la diversité des autres appro ches évol ut ionnaires.

- 161 -


5.10 Stratégie d’évolution par adaptation de la

matrice de covariance

5. 10 .1 P rés en tat io n de la m éth o de

La “Stratégie d"Évolution avec Adaptation de la Matrice de Covariance” (Covariance

Matrix Adaptation Evolution Strategy : CMA-ES) a été conçue à l’origine p our

dé c ou vr ir l ’o pt im um g lo ba l d’ un e f on ct io n ob j ec ti f da ns un e sp ac e c on ti nu t el q ue

R n ave c un e p l u s gr a n d e effi

c a c i té q u e l es s t r a té g i e s d ’é vo l u t io n u t i l is a nt l a mut a -

tion c orré lé e (page 146). De façon similaire, la métho de effectue une évolution, en

co nst ruis ant à ch aqu e gé nér ati on g un é ch ant il lo n de s ol ut io ns de t ai ll e en gen drée s

aléa toirement selon la distribution gaussienne N (m(g ), C(g )) , de moyenn e m ( g) et de

matrice de covariance C( g )) . M ai s, à l a d iff ér e nc e de s m ét h o de s u ti li s ant d es mu t at io n s,

les µ meilleures solutions sont ensuite sélec tionnées dans cet échantillon afin d’en

es tim er une no uve lle di stri buti on ga uss ienn e N ( m (g + 1) , C (g + 1)) qui sera utilis é e à

la génération suivante. Il n’y a plus de dép endance “individuelle” entre une solution

“p are nt” et des so lut ions “e nfa nts”. La di stri buti on N (m (g + 1), C (g + 1)) est co nst ruit e

de f aç on à s ’a pp ro c he r ( on e sp è re su ffis am me nt ) de l ’o pt im um re c he rché . On re t ro uve

toutefois dans cette appro che la notion d’adaptation des paramètres des distributions

de s m ut at io ns dé c ri te s pa g e 1 45 et s ui vant es , a fin d’ a cc él é re r au m ie ux la c on ve rg en ce

ve rs l ’ op t i mu m .

Dans l’appro che CMA-ES, on préfère considérer trois paramètres m , et Ĉ

p er me tt ant d e d éfi ni r l a d ist ri bu ti on g au ss ien ne N ( m, 2 Ĉ), o ù 2 R+ est le pas

de progression. Cette décomp osition de la matrice de covariance C en deux te rme s

p er me t d ’ad ap te r s épa ré me nt le s d eu x pa ra mè tre s et Ĉ qui varient dans des échelles

de t em ps di ffé re nt es a fin d’ a cc él é re r la c on ve rg en ce v er s l ’o pt imum. L es s ec ti o ns q ui

suivent dé crivent l’ éta p e de sé lec tio n des so lut ions en gen dré es al éat oir eme nt ai nsi que

les mécanismes d’adaptation de m, et Ĉ.

5.10.1.1 Fonction de p erformance et sélection

Au début de la génération g, so lut ions xi (g ) 2 R n sont en gen drée s al éat oir e-

2

ment selon la distribution gaussienne N (m (g) , ( g )

Ĉ (g)) . Le rang i est a ff ec té à la

so lut ion xi de t el le f aç on q ue la va le ur ob j ec ti f F (xi ) soit me ill eure ou id enti que à

F ( xi+1 ), p our tout i. “Meill eur” si gnifie “p lus p eti t” p our u n problèm e de minim isation

ou “plus grand” p our un problème de maximisation. À chaque solution xi , p our

i 2 { 1 , . .. , µ } est asso ci ée une val eur de p er form anc e fi dé c ro is sa nte s el on l ’i nde x i :

8i 2 { 1 , . .. , µ }, f i > 0 , fi f i+1 , avec µ

i=1 fi = 1. Le s vale u rs fi ne dé p e nd en t q ue

du ra ng i et sont co nst ant es dur ant to ute l’ évo lut ion. Le plus si mple est de ch ois ir

fi = 1/µ . D’ aut re s fon ct ion s de p erfo rm anc e pl us é lab o ré es p e uvent am éli or er la

conve rge nce vers l’ opt imum .

La sélection est déterministe : elle conserve les µ meilleures solutions, c’est-à-dire

les solutions x 1 ( g )

à xµ ( g ).

- 162 -

5.10 Stratégie d’évolution par adaptation de la matrice de covariance

5.10.1.2 Adaptation de “m”

La valeur de m( g + 1)

p ou r l a g éné ra ti on s ui va nt e e st l a m oye nne p o nd éré e p ar le s

val e ur s d e p e r fo rm an ce f i de s µ so lut ions xi ( g )

sé lec tio nné es. De ce tte fa ço n, m se

dé p la ce de g én ér at io n en g én ér at io n s el on la tra j ec to i re o pt im is an te dé t er mi né e pa r la

suc ce ssi on des en sem bles des me ill eure s so lut ions x i qui ont été sélectionné e s. On a :

5.10.1.3 Adaptation de

m( g

+ 1) =

µ

i=1

fi xi ( g )

(5.4)

Le pas de progress ion ( g)

est ad apt é de fa ço n que les ve ct eurs suc ce ssi fs :

( g

+ 1) =

m( g + 1) m( g

)

( g

)

se lon g so ient dé cor rélé s au mi eux . En effet, si les ve ct eurs

( g) sont fo rte ment co rré lés

(co efficient de corrélation proche de 1), cela signifie que le pas

( g ) est trop p et it

pu is q ue c ha cu ne de s g én ér at io n s s uc ce ss iv e s c on du it à pr og re s se r da ns l ’e sp ac e de

reche rche quasiment dans la même direction . Ainsi, ( g ) do i t ê tr e a ug me nt é, ré du is a nt

le nombre d’évaluations de la fonction ob jectif p our une même progression. En revanche,

si les pas suc ce ssi fs (g ) sont anti -co rré lés (co effici ent de co rré lat ion pro che de -1 ), c ela

co ndui t à des var iat ions de m( g) de di re c ti on s q ua si me nt o pp o sé es de g én ér at io n en

génération, conduisant à des progressions très lentes dans l’espace de recherche. On

p eu t dé du ire de ce tt e s it ua tio n q ue ( g)

est trop gr and.

Po ur d é c id e r s i l e p a s d e p ro g r e s s io n ( g ) est trop p et it ou trop gr and, les co nce p-

teurs de la métho de ont introduit la notion de trajectoire d’évolution ( evolution path)

p(g ), qui p eut êtr e calculée co mme une moyen ne des (g ) sur qu elq ues gé nér ati ons.

E ll e e st c om pa ré e à la pr og re s si on moy en ne q ue p e rm et te nt d’ o bt en ir de s t ir ag es

gaussiens indép endants de même distribution que ( g ). Comme les tirages sont indép

en da nt s, i ls so nt d éc or rél és .

En p o sa nt µ f = 1 / µ

i=1 f i 2

, ( g + 1) est un vec te ur al éat oir e de di stri buti on

N (0, Ĉ/µ f ). E n pr a ti q u e , un ve c t e u r 0 (g + 1) de di s tri bu ti o n N (0, I/µ

f ) est ca lcu lé

co mme suit :

0 ( g + 1) =

Ĉ( g ) 1/ 2

( g + 1) =

BD 1 B T ( g

+ 1)

où B et D sont resp ec tiv eme nt la ma tric e des ve ct eurs pro pre s et la ma tric e di ago nal e

co rre sp o ndan te des ra cine s ca rré es des val eurs pro pre s de Ĉ(g ). Ai n s i , p µf 0 (g + 1) a

p ou r d is tr ib uti on N (0 , I). Les c once pteu rs de l a méth o de pr op os ent de c alcu ler u ne

moyenne p ondérée de p ( g )

et p µf 0 ( g + 1)

pa r ré c ur re nc e p o ur o bt en ir p ( g + 1)

:

p ( g + 1) = (1 c )p (g ) + ↵ p µ f 0 ( g

+ 1)

c 2]0, 1[ est un pa ramè tre de la mé tho de. Cho isi r c pr o c he de 0 c on du it à une

adaptation lissée mais lente de p : l’ e ff e t d e m é m o i r e e s t i m p or t a nt . ↵ est ca lcu lé de

- 163 -


f aç on q ue l or sq ue le pa s de pr og re s si on ( g) est bien ad apt é, p ( g) et p ( g + 1) sont

de m êm e di s tri bu ti o n N (0 , I). Or p µ f 0 (g + 1) est au ssi de di stri buti on N (0, I ). Par

co nsé que nt, il faut ↵ = 1 (1 c ) 2 afin que la matrice de covariance de p ( g + 1)

soit I. On obtient ainsi l’exp re ss ion de la tra ject oire d’évolu ti on p ( g ) ave c g 1

:

p( g + 1) = (1 c )p (g ) +

c (2 c )µ f BD 1 B T m(g+1) m(

g)

( g)

(5.5)

p(1) = 0

|| p ( g+1)|| est “c omp aré ” à E| | N (0, I )|| , es p ér a nc e d e l a no r me d e ve ct e u rs g a us s ie n s

aléatoires de distribution N (0 , I) , p our adapter la valeur d e de s or te q u’ el le :

– reste constante quand p ( g + 1) est de di stri buti on N (0 , I ),

– di mi nue l or sq ue || p ( g + 1) || est plus p et it que E| | N (0 , I ) || ,

– augmente lorsque || p ( g + 1) || est plus gr and que E| | N (0 , I ) || .

L’expression ci-dessous p ermet d’eff

ectuer efficacement cette adaptation :

c

|| p ( g + 1) ||

( g + 1) =

(g ) e x p

d E| | N (0 , I)|| 1 (5.6)

où d est un fa cte ur d’ amo rtis sem ent , dont la val eur est de l’ ordr e de 1. La val eur de

(0) est dép en dant e du pro blè me. c , d et (0) sont des pa ramè tre s de la mé tho de.

Une stratégie d’initialisation robuste de ces paramètres est prop osée e n page 168.

5.10.1.4 Adaptation de Ĉ

Les concepteurs de la méthode ont élaboré un estimateur Cµ ( g + 1)

p ou r l a

matrice de covariance C( g + 1)

à pa r t i r de s µ meilleures réalisations xi ( g )

obtenues à

la génération g :

Cµ ( g

+ 1) =

µ

f i (x i m(g ) ) ( x i m(g )) T

i=1

On notera d’une part que cet estimateur utilise la moyenne p ondérée m( g )

obtenue à

la génération pré c édente au lieu de m( g + 1)

. D’ a u t r e p ar t , l a c o ntr i b u t io n d e ch a qu e

terme (x i m(g )) est p on déré e par p f i .

Po ur s e r e nd r e c o m pt e s u r un e x e m p le d u b i en - f o n d é d e c e t e st i m a t e ur , o n c on s i d è r e

le cas µ = 1 :

C1 ( g + 1) =

f 1 (x 1 m(g ) ) ( x 1 m(g )) T

La matrice C 1( g + 1)

n’a do nc q u’ une s eu le va le ur pr op re no n nu ll e , p o ur un ve ct eu r

pr op re pr op o rt io nn el à ( x1 m( g )). Cela signifie que la distribution gaussienne de

di s tri bu ti o n N (m ( g + 1) , C1 ( g + 1)

) n’ e ng en dr er a de s ré a li sa ti o ns de xi ( g + 1)

que sur

la droite dont le vecteur directeur est ( x1( g ) m( g )

) pa s sa nt pa r le po i nt m( g + 1)

. Or

x1 ( g )

ét ant la me ill eure so lut ion ob ten ue à la gé nér ati on co ura nte, le ch oix he uris tiq ue

de la di re c ti on ( x1 ( g ) m( g )

) p o ur r eche rch er u ne m ei lle ur e s olu ti on x1 ( g

+ 1)

est

raisonnable. Cep endant, cette direction n’est pas a priori ce lle de l’ opt imum . Pour

assurer u n e b onne exploration de l’espace de recherche, µ do i t ê tr e su ffis am me nt g ra nd ,

- 164 -


en tout cas sup ér ieur ou ég al à n , p our qu e la matri ce de cova rianc e Cµ ( g

+ 1)

soit

dé fi nie p o si ti ve.

En t en an t c om pt e du pa s de pr og re s si on (g ), avec C( g ) = (g) 2 Ĉ (g ), on déduit

l’expression de Ĉµ ( g + 1)

:

Ĉµ ( g

+ 1) =

µ

x i m( g

)

xi m( g

) T

f i

( g

)

( g

)

i=1

Cep endant, donner à µ une g ra nd e va le ur a ug me nt e a us si le no m bre d’ é va lu at io ns

de la f on ct io n ob j ec ti f né c es sa i re s p o ur a tt ei nd re l ’o pt imum. P ou r p o uv oi r ré du ir e

la valeur de µ, tout e n assu rant q ue la m atric e Ĉ( g + 1)

reste définie p ositive, il est

p os si bl e d ’u til is er l a m atr ic e Ĉ( g )

obtenue à la génération précédente.

M is e à jo u r de r an g µ (rank-µ update). Les concepteurs de la métho de prop osent

que C( g + 1)

soit la moye nne p on déré e des ma tric es C( g )

et Cµ( g + 1)

, avec l e s p o i ds

resp ectifs 1 cµ et cµ, où c µ 2]0 , 1] est un pa ramè tre de la mé tho de :

C( g + 1) = (1 cµ) C(

g ) + cµ Cµ ( g

+ 1)

On obtient ainsi la définition par récurrence de la matrice Ĉ( g + 1)

p ou r g 1,

en re tira nt le co effici ent mul tip lica tif

( g + 1) 2 / ( g

) 2 , qui e st pri s en co mpt e par le

mécanisme d’adaptation de dé c ri t s ec ti o n 5 .1 0. 1 .3 :

Ĉ( g + 1) = (1 cµ )Ĉ(g ) + cµ Ĉµ( g

+ 1)

(5.7)

Ĉ(1) =

I

La matrice identité est choisie comme terme initial car elle est symétrique, définie

p os it ive . Pa r l a r el ati on d e r éc urr en ce , Ĉ( g + 1)

est une moyenne p on déré e à un

co effici ent près des ma tric es

Ĉµ ( i)

p o ur i 2 { 1, .. . , g + 1}.

Ainsi µ p eu t êt re b ie n p lu s p e tit q ue n tout en conservant les matrices Ĉ( g

+ 1)

dé fi nie s p o si ti ve s. Si cµ est ch ois i pro che de 0, la ma tric e Ĉ( g + 1)

dé p e nd f or te me nt

du pa s sé et p e ut a cc e pt er de f ai bl es va le ur s de µ . Ma i s l ’ é vol u ti o n s e r a le nt e . S i cµ est

ch oi s i p r o che d e 1 , l a m a t r ic e Ĉ( g + 1)

p eu t é vol ue r ra pi de me nt , à co nd it io n q ue µ

soit suffisa mme nt gr and p our as sure r que la ma tric e

Ĉ reste définie p ositive, ce qui

augmente finalement le nombre d’évaluations nécessaires de la fonction ob jectif.

L’expression (5.7) convient p our mettre à jour Ĉ( g )

, ma i s a u p ri x d ’ u n n omb r e d e

générations excessif avec une valeur de µ qui doit être choisie suffi

samment grande.

Po ur r é d u i re l e n o mb re d ’ é val u at i o n s n é ce s s a i r es d e l a f on c t i o n o b j e c ti f , u n m é c a n i s me

d’ a da pt at io n s upp lé m en ta ir e de Ĉ( g )

a été utilisé.

Mise a jour de rang 1 (rank-1 up date). Ce mécanisme d’adaptation de Ĉ

co nsi ste à en gen drer à ch aqu e gé nér ati on un ve ct eur al éat oir e pc (g + 1) de di s tri bu ti o n

N (0, Ĉ ). En sectio n 5.10.1.3 no us avions vu qu e (g + 1) = ( m (g + 1) m (g ))/(g ) a

- 165 -


p ou r di st ri but io n N (0, Ĉ/µ f ). De fa ç o n s i m il a i r e à p (g + 1), o n e x p ri m e pc ( g) p o ur

g 1 co mme une tra je cto ire d’ évo lut ion :

pc ( g + 1) = (1 c c)pc (g ) +

cc(2 c c )µf m(g+1) m(

g)

( g)

(5.8)

pc (1) = 0

L’expression de Ĉ(g + 1) qui d oit être de rang n est ex prim ée co mme une moyenne

p on dé ré e d e pc ( g + 1) pc( g + 1) T , qui est de rang 1 et de Ĉ( g ) , de rang n :

Ĉ( g + 1) = (1 c 1) Ĉ(g ) + c1p c( g + 1) pc ( g

+ 1) T

Ĉ(1) =

I

(5.9)

M is e à jo u r de Ĉ. La combinaison des expressions des mises à jour de rang µ

(équation 5.7) et de rang 1 (équation 5.9) donne l’e xp re s sion complète de la mise à

j ou r de Ĉ( g ), p our g 1 :

Ĉ( g + 1) = (1 c1 cµ ) Ĉ(g ) + c1 pc p T µ

c + cµ i=1 fi vi vT i

Ĉ(1) =

I

(5.10)

où vi = (xi m( g ))/( g). c c , c1 et cµ sont des pa ramè tre s de la mé tho de. Une st rat égi e

d’ i nit i al is at i on ro bu st e de c es pa ra m èt re s e st pr op o sé e en pa g e 1 68 .

5. 10 .2 L’ al go ri thm e CM A- ES

L’algorithme 5.2 met en œuvre la méthode CMA-ES, telle qu’elle a été prop osée par

[ Hansen 06]. À chaque génération, so lut ions in dép en dant es (p seud o-) alé at oire s xi

sont en gen drée s se lon la di stri buti on N (m, 2 Ĉ) do nt l es pa ra m èt re s ont é té dé t er mi né s

à la gé nération précédente. Les µ meilleures solutions sont triées et retournées par la

f on ct io n Selection (algorithme 5.3) sous la forme d’un e matrice x de n lignes et µ

co lon nes . La co lon ne i de x do nn e la s ol ut io n xi . Le tri d es colo nnes e st effe ctué d e

telle façon que si la valeur ob jectif Fi = F (xi ) est me ill eure que Fj = F (xj ), alors

i < j .

À pa rt ir de x , le s mis es à j our d es p ara mèt re s m , et Ĉ sont co nfié es aux fo nct ion s

MiseAJourM , MiseAJourSigma et MiseAJourC (algorithmes 5.4, 5.5 et 5.6).

Ces fonctions ne nécessitent pas de commentaires particuliers : leurs algorithmes

dé c ou le nt di re c te me nt de s e xp re ss io ns a na ly ti q ue s dé c ri te s da ns la s ec ti o n pr éc é de nt e.

So i t B la matrice dont les colonnes i sont les ve ct eurs pro pre s b i de Ĉ.

So i t D, l a ma t ri c e d ia g o na l e t el l e qu e dii est la ra cine ca rré e de la val eur pro pre

de Ĉ co rre sp o ndan t au ve ct eur pro pre bi . Les ma tric es B et D sont ca lcu lée s car el les

p er me tt ent no ta mm ent de f ac il it er le s t ir ag es i ndé p en da nt s d es s olu ti on s x se lon la

di s tri bu ti o n N (m, 2 Ĉ). - 166 -


Al gorit hm e 5.2 — L’algorithme CMA-ES

Donnée : m, , n // n : dimension de l’espace de recherche ⌦

, µ, f , µ f , c , d , cc , c1 , cµ Initial isation( n)

pc p 0

Ĉ B D I // I : matrice identité n ⇥

n

rép

éter

x, v Se l ec ti o n(, m, , B, D)

m, M is eA Jo urM ( m, µ , x, f

,

)

, p M is eA Jo ur Si gm a( , p , B,

D, , c , d , µ f )

Ĉ, pc MiseAJourC(Ĉ , pc , p , v,

f , , cc , c1 , cµ , µ , µ f )

B Vec teu rsP rop res ( Ĉ)

D Vale ur sPr opr es(Ĉ) 1/

2

. // D : matrice diagonale des racines carrées des valeurs propres

ju squ ’à critère d’arrêt satisfait

Al gorit hm e 5.3 — Fonction Se l ec ti o n(, m, , B, D)

p ou r i = 1 à faire

yi TirageAl éatoireGauss ien(0 , I) // yi est de distribution N (0 , I)

vi BDyi // vi est de distribution N (0 , Ĉ) avec Ĉ = BD 2 B T

xi m + v i // xi est de distribution N (m, 2 Ĉ)

Fi Ob jectif(xi ) // Fi est la valeur objectif associée à xi

x, v Tr i( x, v, F) // tri des colonnes xi et v i selon les valeurs Fi

retourner x,

v

Al gorit hm e 5.4 — Fonction M is eA Jo ur M(m, µ, x, f

,

)

m 0

m

m µ

i=1 fi xi

(m

m 0 )/

retourner m,

Al gorit hm e 5.5 — Fonction M is eA Jo ur Si gm a( , p, B,

D, , c , d , µ f )

c(2 c )µ f B · D1 · B T

p (1

c )p +

e xp c

||p ||

d E ||N (0,I)

|| 1

retourner , p

// E | | N (0 , I ) || ⇡ p n

1 4n 1 + 1

21n 2

La fixation des paramètres de l’algorithme par la fonction Initialisation dé p e nd

a priori du problè me à résoudre. Cep endant, une initiali sation par défaut, qui s’est

avé ré e r o bu s t e e t e ffi c ac e , u ti l i s a b le p ou r d e n o mb r e ux p r o b lè m e s , a é t é p r o p o s é e

pa r [Hansen 06 ]. Elle est mise en œuvre par la fonction InitialisationParDéfaut

- 167 -


Al gorit hm e 5.6 — Fonction MiseAJourC(Ĉ , pc , p , v,

f , , cc , c1, c µ , µ , µ f )

pc (1

c c )pc

si || p || < 1.

5 p

n alors

pc pc +

cc (2 cc )µ f

Ĉ (1

c 1 cµ )Ĉ + µ c1 pc pT c + cµ

i=1 f i vi vT i

retourner Ĉ, pc

(algorithme 5.7). Le s valeurs choisies p our les paramètres , µ , f = (f 1, . .. , fµ ), c , d ,

cc , c1 et cµ p eu ve nt ê tr e a da pté es a u p ro bl ème à ré so ud re. On n ot er a q ue l es val eu rs

pr op o sé e s p o ur et µ de v ra ie nt ê tr e c on si dé ré es c om me de s m ini m ums . D es va le ur s

pl us g ra nd es a mé li or ent la ro bu st e ss e de l ’a lg or it hm e , au pr ix t ou te fo i s d’ un pl us g ra nd

no mbre de g én ér at io n s.

Les valeurs initiales de m = ( m 1 , . .. , mn ) et de dé p e nd ent du pr ob lè m e. L or sq ue la

lo calisation de l’optimum est approximativement connue, ces valeurs initiales devraient

être dé ter miné es de fa ço n que l’ opt imum se situe dans le do mai ne dé fini par les

intervalles [m i 2, m i + 2 ] [Hansen 06] p our chaque co ordonnée i 2 {1, . . . , n }.

Al gorit hm e 5.7 — Fonction Initial isationParDéfaut( n)

4 + b3 l n nc

// bxc est la partie entière de

x

µ b /2c

p ou r i = 1 à µ

faire

ln( µ+1)ln

i

fi P µ

j=1 ln( µ+1)ln

j // f = ( f1 , . .. , fi , . .. , fµ )

µ f 1/ µ

i=1 f i

2

µf+2

c n + µ f+3

µf1

d 1 + 2 max

0, n+1 1 + c

cc 4 /( n

+ 4)

2

ccov

µf( n+

p 2) + 1 1

2µ 2 µ min

1, f 1

f (n+2) 2 +µ f

c1 c cov /µ f

cµ c cov c 1

retourner , µ, f , µ f , c , d , cc , c1 , cµ

5. 10 .3 Q uel qu es ré su lt ats de simul at io n

Comme toutes les métahe uri stiques, la métho de CMA-ES est conçue p our résoudre,

au moins de façon approchée, des problèmes d’optimisation difficile, en un temps

raisonnable. Toutefois, p our être convaincante, la métho de doit aussi avoir des p erformances

acce ptables sur des problèmes plus “fac iles”, évidemment sans utiliser leurs

pr op ri ét é s pa rt i cu li èr es q ui f ac il it e nt la re c he rche d’ un o pt im um c om me la c on ve xi té

- 168 -


ou la différentia blilité. Cette section a p our but de donner une idée de l’aptitude des

CMA-ES à découvrir les minimums d’un ensemble de fonctions quadratiques non

sé para ble s, mal co ndit io nnée s, de la fo rme F (x ) = (x c ) T H (x c), où c est l’ opt i-

mu m r e ch e r ché e t H est une ma tric e sy mét riq ue dé finie p os iti ve. Les hy per- surf ac es

d’ i sova le ur s de F ( x)

da ns R n sont des hy per- ell ips oïde s (p age 145 et suivan tes ).

5.10.3.1 Paramètres des fonctions quadratiques

Po ur cha q ue fo n ct i o n q u a d ra t i q u e F ( x) = (x c ) T H (x c

) ut i li sé e da ns l es

ex p é rime nta tio ns, ch aqu e co mp os ant e du ve ct eur c est la ré ali sat ion d’une var iabl e

aléatoire selon la distribution gaussienne de moyenne 0 et d’écart-type 10. H est

dé t er mi né e pa r l ’e xp re ss io n :

H = ( SR ) T ( SR )

ave c :

– S : u ne m at r ic e d ia go n al e q ui p e r me t de fi x er l e c on di t io n ne me nt d e H. L e

no mbre de c on di ti on ne me nt e st le ra pp o rt apple H = max / min de la pl us g ra nd e

val e ur p ro pr e s u r la p lu s p e ti te va le ur p ro p re d e H . Les co effici ents d iagonaux s ii

de S sont les ra cine s ca rré es des val eurs pro pre s de H . Pour les exp érimentations ,

ils ont p our expression :

1 i1

2 n1

sii = apple H

Ainsi, le plus p etit co efficient

s ii est 1, ta ndis que le plus gr and a p our val eur

p apple H .

– R : un e m at r i c e d e ro t a t i o n dé fi n i e c o m m e u n pr o d u i t de m a t r i c e s de ro t a t i o n

élémentaires Rkl dans le plan défini par les axes k et l , p our t out k 2 {1 , ..., n 1}

et l 2 { k + 1 , ..., n} (page 146). Pour les exp érimentations utilisant des fonctions

ob jectif s non séparables, l’angle de chaque rotation élémentaire est choisi

aléa toirement selon une distribution uniforme dans l’intervalle [⇡ , ⇡ ]. Lo r s q u e

les fonctions ob jectifs sont voulues séparables , la matrice de rotation R est la

matrice

identité.

5.10.3.2 Résultats

Une exp érimentation consiste à effectuer des recherches d’optimum avec l’algo-

rithme CMA-ES p our un ensemble de 30 fonctions ob jectifs quadratiques dans R n , n

étant un paramètre donné. Chaque fonction quadratique es t obtenue en engendrant

aléa toirement le vecteur c et /o u la ma tric e H , comm e déc rit e n sec tion p réc éde nte. L e

résultat d’une exp érimentation est une courb e de p erformance exprim ant la valeur

moyenne des 30 valeurs ob jectifs F ( x0 ) obtenues à chaque génération, en fonction du

no mbre d’ é va lu at io ns e ffe ct ué e s, où

x0 est la me ill eure so lut ion ob ten ue à la gé nér ati on

considérée p our chacune des fonctions ob jectifs. Comme la valeur optimale est 0, F( x0 )

est une me sure de l’ erre ur co mmi se par l’ alg ori thme . Le nombre d’éval uat ion s des

f on ct io ns ob j ec ti f s e st le pro du it du no m bre de g én ér at io n s et de = 4 + b 3 ln nc ,

co mme sp éc ifié par l’ alg ori thme 5. 7. Une sé rie d’ exp ér ime ntat ion s fo urni t les co urb es

de p e rf or ma nc e p o ur l es di me n si on s n = 2 , 5, 10 , 20 , 50 ,

100.

- 169 -


L’algorithme CMA-ES nécessite de fixer les valeurs initiales de m et . Pour toutes

les exp érimentations, m(0) est le ve ct eur nul et (0) = 1.0

Troi s séri es d’e xp é rim entati ons ont été eff

ect uée s : la prem ièr e p our de s fon cti ons

ob jectif s quadratiques non sép arab les, mal con d ition n ées avec apple H = 1 0 6 , la sec onde

p ou r de s fo nc ti ons sé pa ra ble s ma l co nd it ion né es avec appleH = 10 6 , la t r o i s iè m e p o u r d es

f on ct io ns q ua dr at iq ue s bi e n c on di ti on né e s avec appleH = 1 (f on c tion s “sphère”).

Fonctions mal conditionnées, non séparables. Les résultats de la première

sé rie d’ exp ér ime nta tio ns sont re prés ent és figure 5. 28. La conver gen ce vers l’ opt imum

a é t é ob t e nu e p o u r t ou s l e s t es t s ave c u n e e xc e l l en te p r é c is i o n d e l ’o r d r e de 10 20 .

Cette b onne précision des résultats est une qualité souvent constatée p our la métho de

CMA-ES. Elle est due à l’adaptation efficace à la fois de l’écart type global

et de

la matrice de covariance Ĉ. La puissance de calc ul r eq uis e reste mo dérée : le nombre

de g én ér at io n s né c es sa i re p o ur a tt ei nd re une pr éc i si on do nn é e e st un p eu pl us q ue

linéaire en fonction de la dimension n de l ’e sp ac e de re c he rche .

Figure 5.28 – Résultats de la première série d’exp ériment ations : valeurs moyennes de

F ( x0 ) = ( x0 c) T H (x0 c ) en fonction du nombre d’évaluations p our 30 fonctions objectifs

mal cond itionnées , non sépa rables, en dimensions 2, 5, 10, 20, 50, 100.

Fonctions mal conditionnées, séparables. Dans ce cas, la matrice de rotation

R est la ma tric e id enti té. Ai nsi, H = S 2 . L e s c ou r b e s o b t en u es p o u r c e t te s é r i e

d’ e xp ér im en ta t io ns s on t i ndi sc e rn ab le s de c el le s o bt en ue s p o ur la s ér ie pr éc é de nte

(figure 5.28) concernant les fonctions non séparables. L’adaptation de la matrice Ĉ

offerte par l’appro che CMA-ES est donc très efficace.

- 170 -

5.11 Conclusion

Fonctions bien conditionnées. La matrice H est choisie co mme la ma tric e id enti té

à u n c o effi c i e nt p r è s : H = 100 I p ou r ce tt e s ér ie d ’ex p ér im enta ti ons . Ai ns i apple H = 1. Le

co effici ent 100 a été cho isi afin que

F (x0 ) à l a pr em i èr e gé né ra ti o n so it d u mê m e or dr e

de g ra nd eu r q ue p o ur la s ér ie pr éc é de nt e. On no t er a q ue l or sq ue H / I, les fonctions

ob jectifs sont aussi séparables. Les résultats de cette série d’exp érimentations sont

représentés figure 5.29. Cette fois, contrairement aux cas “mal conditionnés”, le nombre

de g én ér at io n s né c es sa i re s p o ur a tt ei nd re une pr éc i si on do nn é e e st m oi ns q ue l in éa ir e

en fo nct ion de la di mens ion n de l’espace de recherche. Il est même un p eu moins que

linéaire par rapp ort au nombre d’évaluations de F ( x ).

Figure 5.29 – Résultats de la troisième série d’exp ériment ations p our lesquelles les fonctions

objectifs sont bien cond itionnées : appleH = 1

En c om pa ra is o n de s de u x s ér ie s d’ e xp é ri me nt at io ns pr éc é de nt es , on c on st at e q ue

le nombre d’évaluations nécessaires à l’obtention d’une préc ision donn ée néc e ssite bie n

moins d’effort de calcul lorsque la fonction quadratique est bien conditionnée. Ainsi,

en di mens ion 10 0, 460 000 éval uat ion s de F ( x) sont né ces sai res pour at tei ndre la

pr éc i si on de 10 10 da ns le c as m al c on di ti on né avec apple H = 10 6 alors que les fonctions

“s phèr e”, bien co ndit io nnée s avec apple H = 1 , ne nécessi te nt qu e 20 00 0 évaluatio ns pou r

atteindre la même précision, soit 23 fois moins.

5.11 Conclusion

Ce chapitre a présenté un ensemble de princip es et de techniques algorithmiques

p ou r im pl ante r le s d iff ér ents o p ér at eu rs q ui int er vi enn ent d an s u n a lg or ith me é vo lu -

- 171 -


tionnaire. Tels des briques, ils p euvent être choisis, configurés et assemblés selon le

schéma de l’ alg ori thme év olu tio nnai re gé nér ique (fi gure 5. 1) de fa ço n à ré soud re au

mieux un problème p osé. Évidemment, des choix sp écifiques d’op érateurs p ermettent

de re c on st it ue r un a lg or it hm e g én ét iq ue , une s tr at ég i e d’ é vo lu ti o n, ou un pr og ra m me

évol uti onna ire te ls que les ont co nçu s les pi onni ers du ca lcu l év olu tio nnai re dans les

années 1960 –70. Toutefois, les références à ces mo dèles originaux qui se sont aujourd’hui

f on du s en un s eu l pa ra d ig me un ifi ca t eu r ne de v ra ie nt pa s t ro ubl e r le pr at i ci en

dans ses choix. Celui-ci devrait au contraire se concentrer sur les questions essent ielles

que sont les choix d’une b onne représentation, d’une fonction d e p erformance corresp

on da nt bi en a u p ro bl èm e p o sé e t e nfi n d es o p ér at eu rs d e var ia ti on e ffic ace s s ur l a

représentation

choisie.

La résolution de problè me s industriels qui sont typiquement multicritères, qui

do i ve nt re s p e ct er de s c on tr ai nt es et q ui , t ro p s ou ve nt, ne p e uve nt pa s ê tr e c om pl èt e me nt

f or ma li sé s , né c es si t e la m is e en œu v re de m éc an is me s s upp lé m en tai re s au s ei n de s

algorithmes évol ut ionnaires. Ces aspects font l’ob jet des chapitres 10 et 11 de cet

ouvrage.

5.12 Glossaire

allèle (al lele) : d a ns l e c a d re d e s a lg o r it h m e s gé n é ti q u e s : un e va ri a nt e d ’u n g è ne ,

c’ est -à- dir e la val eur d’un sy mbo le en une p os iti on pré cis e du gé not ype .

chromosome (chromosome) : dans le ca dre des algor ithmes gén étiques : sy nonyme

d’ un “ gé no typ e ”.

croisement (crossover) : co mb in ai s on d e de u x in di v id us p o ur f or m er u n ou de u x

no uve au x i ndi v id us .

fonction d’adaptation (fitness function) : synonyme de “fonction d e p erforman ce ”.

fonction de p erformance (fitness function) : f o n c t i o n d o n n a nt l a va l e u r d ’ u n i n d i -

vidu.

génération (generation) : itér at ion de la b ouc le de base d ’un algorit hme évolut ionna

i re .

gène (gene) : dan s le cad re des algori thme s géné tique s : un élé ment d ’un gé notyp e,

c’ est -à- dir e un des sy mbo les d’une ch aîne de sy mbo les .

génotyp e (genotype) : d ans le cadr e des algor ithmes gén étiques : u ne cha îne de

symb ol es en gen dran t un phé not yp e lors d’une pha se de déco da ge.

in d iv id u (individual) : u ne i n s ta n c e de so l u ti o n à u n pr o b lè m e t ra i t é p ar u n a l go r i th m e

évol uti onna ire .

lo cus (locus) : da n s l e c a d r e de s a l g o r i t h m e s g é n é t i q u e s : p o s i t i o n d’ u n gè n e d a n s l e

génotyp e, c’est-à-d ire la p osition d’un symbole d an s une chaîne de symboles.

mutation (mutation) : mo difi ca tion aléat oir e d’un individu.

op érateur de recherche (search operator) : synonyme de “op érateu r de variation”.

- 172 -


op érateur de remplacement (replacement operator) : détermin e quel s indiv idus

de v ro nt di s pa ra it re d’ un e p o pul a ti on p o ur ê tr e re m pl ac és pa r l es de s ce nd ant s.

Il p ermet ainsi de créer la nouvelle p opulation p our la génération suivante.

op érateur de sélection (selection operator) : d éter min e combi en de f ois u n ind ivid u

“p are nt” en gen dre des in divi dus “d esc enda nts ”.

op érateur de variation (variation operator) : o pé rat eur mo d ifia nt l a str uc tur e d’u n

individu, tel que le croisement et la mutation.

phénotyp e (phenotype) : dans le cadre des algor ithmes gén étiques : e nsemble des

manife stations observables du génotype. Plus sp écifiquement, il s’agit d’une instance

de solution au problème traité, exprimée dans sa représentation naturelle

obtenue après déco dage du génotype.

p op ula ti on (population) : l ’ e n s e mb l e d e s i n d i v i d u s q u i é vo l u e nt s imu l t a n é m e nt s o u s

l’action d’un algorithme évolutionnaire.

recombinaison (recombination) : synonyme de “croiseme nt”.


[Baeck et al. 00a, Baeck et al. 00b] :

Une “encyc lopédie” du calcul évolutionnaire à

laquelle, comme il se doit, des sp écialistes parmi les plus reconnus du

do m ai ne ont c ont ri bué . La v is io n o ffe rt e pa r c es de u x t om es e st e ss en ti e ll e-

ment algorithmique. On p ourra regretter l’absence de partie dédiée à la

théorie.

[Eib en et al. 03] : Un ouvrage de référence relativement récent (réédité en 2010) dédié

au calcul évol ut ionnaire. Il ab orde notamment le problème imp ortant du

contr ôle des val eurs des pa ramè tre s p our les différ ent s op ér ate urs d’un

algorithme évolutionn aire. Quelques appro ches théorique s d u domaine sont

aussi

évoquées.

[Goldb erg 94] : Tradu cti on fran çai se de l’ex cel lent ou vra ge pion nie r [Goldb erg 89 ]

ayant fait connaître les algorithmes génétiques. Cep endant, ce livre datant

de 1 98 9, à l ’e xc e pt io n de s ba s es , s on c ont en u e st a uj ou rd ’hui dé p as sé .

[Koza 92, Koza 94] : Deux ouvrages de référence écrits par le pionnier le plus connu

de la pr og ra m ma ti on g én ét iq ue . Le pr em i er t om e e xp o se l es c on ce pt s de

ba s e de la pr og ra m ma ti on g én ét iq ue v ue pa r J. Ko z a. Le s ec on d i nt ro dui t

le concept de “fonctions automatiquement définie s” . La plus grosse partie

de c es l iv re s, q ui c om pt ent pl us de s ep t c ents pa g es c ha cu n, e st c on sa cr é e

à la de scr ipt ion d ’ex emp les d ’ap pli cat ion s iss us d’ une g ran de va rié té de

domaines. Ils sont bienvenus p our aider le lecteur à se rendre compte des

p otentialités de la programmation génétique. Il existe aussi un troisième

tome publié en 1999 qui contient une imp ortante partie dédiée à la synthèse

automatisée de circuits élec troniques analog iques.

- 173 -

Chapitre 6

Les fourmis artificielles

Nicolas

Monmarché

Université François Rab elais de Tours, Lab oratoire d’Informatique (EA6300)

64 Avenue Jean Portalis, 37200 Tours, France

nicolas.monmarche@univ-tours.fr

6.1 Introduction

Les fourmis sont des insectes so ciaux dont les caractéristiqu e s physiques ou comp ortementales

fascinent les humains depuis longtemps (on les retrouve dans la mythologie

grecque !). Les raisons de cette fasci nation sont souvent justifiées par les faits étudiés

pa r l es bi o lo gi st e s : l ’i mp ac t de l eu r a ct iv i té e st t ou t à f ai t o bs er va bl e, no t am me nt

l’ampleur de leurs construc tion s (les « fourmilières »), leu rs combats ou bien leurs

mo des d’alime nt ation (l’« agriculture » avec la culture d’un champignon, par exemple).

Comme le souligne Luc Passera [ Pa ss e r a 0 8], notre p enchant anthropomorphique nous

mène à une p osture généralement p ositive à l’égard des fourmis, en particulier devant

leur activité que l’on imagine incessante. Mais, parfois, les apparences p euvent être

tromp euses : dan s une colonie, en particulier dans celles qui sont p opuleuses, une

f ra ct io n a ss ez f ai bl e de s f ou rm is s ’a ct iv e ré e ll em e nt . Né a nm oi ns , no t re p e rc ep ti on

p os it ive d es f ou rm is e t l e c on st at q ue n ou s r ec onn ai ss on s v is ue lle me nt u ne f ou rm i

de p uis no t re e nf an ce , no us p e rm et tr ont d’ a b o rde r f ac il e me nt la m ét ap ho re de s f ou rm is

p ou r la r és olu ti on d e p ro blè me s c omb in ato ir es !

Les travaux des biologistes dans les années 1980, en p artic u lier autour de Jean-

Louis Deneub ourg [ Deneub ourg et al. 87, Goss et al. 89b ], ont introduit une vision

« algorithmique » du comportement des fourmis. Cela a p ermis d’introduire un

f or ma li sm e c on ci s da ns l es m o dè le s pr op o sé s, t ou t en re nd a nt l es hyp o th ès es a cc e ss ib le s

à l’explo ration informatique. C’est aussi l’ép o que où l’ordinateur s’installe comme outil

d’ e xp lo ra ti o n de s s ys tè me s c om pl ex e s, e t, no t am me nt, il de v ie nt p o ss ib le d’ é tu di er l es

f ou rm is in silico p ou r le ur c ap aci té à re li er le ur n id a ux s ou rce s d e n our ri tu re . Pa r

175

Chapitre 6 – Les fourmis artificielles

ex emp le, dans [ M an de ri ck et al. 88], il s’agissait d’étudier le parallélisme inhérent à

la distribution des décisions des fourmis dans leur espace, mais il n’était pas encore

question

d’optimisation.

C’est au début des années 1990 que l’on voit apparaître le lien entre optimisation

et simul ati on du co mp or tem ent des fo urmi s [ Colorni et al. 91] 1 . De l à d éc ou le ro nt

de no mbr eu x t ra va ux se ba s an t sur le c om p o rt em ent d’ e xp lo it a ti on d’ un e s ou rc e de

no ur ri tu re c he z l es f ou rm is p o ur la ré s ol ut io n de pr ob lè m es c om bi na to i re s. L ’o b j ec ti f

de ce c ha pi tr e e st de do nn e r un ap e rç u de c es t ra va ux et en pa rt i cu li er de c om pr en dr e

les mécanismes mis à profit dans ce type de métaheuristiqu e s bioinspirées.

Ava nt d ’ab ord er le s qu est io ns d’ op tim is ati on , n ou s a ll ons r eve ni r p lu s e n dé ta il su r

les comp ortements et les caractéristiques des fourmis .

6.2 L’intelligence collective des fourmis

6. 2. 1 Q uel qu es fa it s m arq uants

Les plu s anc ie nn es fourmis connues ont plus de 100 millions d’années et on connaît

envi ron 12 00 0 esp èc es de fo urmi s [ Pa ss e r a 0 8 ]. Ce nombre d’esp èces est étonnamment

ba s , re l at iv e me nt au m il li on d’ e sp è ce s d’ i nse c te s c on nu es , m ai s c et te c on tr e- pe rf o rm an ce

évol uti ve est à me ttr e en re gar d avec la sur repr ése nta tion num éri que des fo urmi s dans

de no m bre ux é co sy s tè me s. En pa rt i cu li er , le po i ds t ot al de s f ou rm is sur Te rre e st

pr ob a ble m ent du m êm e o rdr e de g ra nd eu r q ue le p o id s de s hum a in s e t, de l ’av eu m êm e

de s bi o lo gi st e s ( ce rt es ce s on t de s m yr mé co log ue s) : « l es f ou rm is re pr é se nt ent le pl us

grand succès écol ogique du monde » [Passera 08].

Les fourmis sont présentes dans pratiquement tous les écosystèmes terrestres et

sub iss ent, bien év ide mme nt, les mê mes co ntr aintes que les au tres or gan isme s vivants

sur Terre : se nourrir, se loger, se défendre et se repro duire. Ce qui caractérise les

f ou rm is e st q u’ el le s ré p o nde n t à t ou te s c es pr ob lé m at iq ue s de f aç on c ol le c ti ve. En e ffe t,

toutes les fourmis vivent en s o ciétés, et c’est d’ailleurs la principale raison évoquée p our

ex pli que r leur suc cè s. La co mpo san te co lle ct ive de le urs ac tiv ité s se tr adui t no tam ment

pa r le pa rt a ge du t ra va il ( pa r e xe mp le p o ur la c on st ru ct io n du nid ou l ’é le va ge de s

j eu ne s) , le pa rt a ge d’ i nf or ma ti on s ( pa r e xe mp le p o ur la re c he rche de no ur ri tu re ou

les alertes en cas d’agre s sion) et, c’est p eut-être le plus fascinant, le partage de la

tâche repro ductive (très p eu d’individus repro ducteurs p our une grande ma jorité de

st éri les ).

Il y aurait b eaucoup à décrire du comp ortement des fourmis selon la seule p ersp ective

de l’optimisation . Par exemple, la régulation des tâche s accomplies par les fourmis,

c’ est -à- dir e leur ma niè re de se di stri buer le travail de fa ço n dé cen tral isé e, re prés ent e

une aptitude à s’adapter à leur environnement. Cela p eut être considéré comme un

pr ob lè m e di s tri bu é ( to ut es l es op é ra ti on s à m en er s on t s it ué es à de s e nd ro it s di ffé re nt s)

et dy nami que (c ar les b es oin s p euvent év oluer dans le te mps ). Nous al lon s cep en dant

no us f o ca li se r da ns ce c ha pi tr e sur le pa rt a ge d’ i nf or ma ti on pa r l es f ou rm is , c ’e st -à - di re

la communication, ce qui représente déjà un vaste sujet.

1. Cette publication est liée à la thèse de Marco Dorigo [Dorigo 92].

- 176 -

6.2 L’intelligence collective des fourmis

6. 2. 2 La c om muni ca ti on c him iq ue chez les fo ur mi s

Le mo de d e communication le plus marquant chez les fourmis, sans être exclusif, est

leur utilisation de substances chimiques que l’on app elle phéromones. Les phéromones

sont des mé lan ges d’hydro ca rbur es sé cré tés par les fo urmi s, qui sont ca pab les de

dé p o se r c es o de u rs sur l eu r che m in et a in si c on st it ue r une t ra ce a tt ir an te p o ur l es

autres fourmis. L es phéromones, selon leur comp osition, ont la p ropriété de s’évap orer

pl us ou m oi ns ra pi de m en t avec le t em ps : une t ra ce q ui n’ e st pa s e nt re te nu e e st a me né e

à

disparaître.

L’utilisation de phéromones p eut être observée dans de nombreux cas et chez

de no m bre us e s e sp è ce s. P ar e xe mp le en c as d’ a le rt e, l es ph é ro mo ne s p e rm et te nt de

mobiliser un grand nombre de fourmis p our enclencher la défense du nid. L’utilisation

de m es sa ge s c hi mi qu es pa r l es f ou rm is e st p e rm is e pa r l eu r c ap ac it é de dé t ec ti o n ho rs

no rm e s de c es s ubs t an ce s : l eu rs a nt en ne s s ont de s c ap te ur s d’ un e pr éc i si on i né ga la bl e .

L’imp ortance de s o deurs, e t don c des phé romon e s , e s t telle que la notion d’identité

individuelle et coloniale de chaque fourmi est liée à sa capac ité de p orter un co cktail

ch im i q u e e n s u r f a ce d e s a c a r a pa c e .

L’exemple particulier que nou s allons développer dans ce chapitre concerne la

co mmuni cat io n des fo urmi s leur p er met tant de me ttr e en pl ace un re crut eme nt de

masse, c’est-à-dire impliquant un grand nombre d’individus, p our exploiter une source

de no ur ri tu re . L ’e xp lo it a ti on d’ un e s ou rc e de no ur ri tu re c on si st e à s or ti r du ni d, se

dé p la ce r da ns un e nv iro nn e me nt en p e rp é tu el le re c on fig ur at io n, v oi re da ng e re ux , p o ur

atteindre l’empla cement de la source de nourriture. La variété des régimes alimentaires

de s f ou rm is ne no us p e rm et pa s de dé t ai ll e r i ci c et te no t io n de s ou rc e de no ur ri tu re .

Cep endant, nous considérons que, sans trop de difficulté, la fourmi est capable de saisir

une p e ti te q ua nt it é de c et te no ur ri tu re , pu is de la ra pp o rt er au nid p o ur no ur ri r la

(souvent) nombreuse p opulation qui ne sort jamais. Le recrutement de masse apparaît

quand les fourmis ramenant la nourriture, dép osent sur leur chemin de retour des

ph é ro mo ne s : c et te t ra ce o ri ente a lo rs l es f ou rm is s or ta nt du nid ve rs la s ou rc e de

no ur ri tu re e t, pa r un ph é no mè ne d’ a mp li fic at io n l ié au no m bre de f ou rm is s or ta nt

du ni d, pl us l es f ou rm is s on t no m bre us e s à a ll er c he rche r de la no ur ri tu re , pl us e ll es

dé p o se ro nt de s ph é ro mo ne s et pl us le c he mi n s er a a tt ra ct i f. On c om pr en d bi e n q ue

tant que la colonie est capable de fournir des ouvrière s prêtes à sortir chercher de

la nourriture, la communication indirecte des fourmis par les phéromones p ermet de

réaliser une collecte de nourriture très efficace. Lorsque la source de nourriture disparaît

(par épuisement ou mo dification de l’environnement), les fourmis qui échouent dans

leur quête ne dép osent plus de phéromones lors de leur retour au nid. Au b out d’un

ce rta in te mps , la pi ste in fruc tue use est ab ando nné e, pro bab lem ent au profit d’ autr es

di re c ti on s de ve nu es e nt re t em ps a tt ra ct i ve s.

Le recrutement de masse tel que nous venons d e le décrire chez les fourmis est

en soit un mo dèle stimulant d’efficacité logistique. Cep endant, on p eut observer des

effets plus sub til s sur la ro ute co nst ruit e par les fo urmi s. En effet, les fo urmi s sont

capables d’optimiser la tra jectoire entre le nid et la source de nourriture. Cette

optimisation p eut prendre deux formes : tout d’ab ord, les tra jectoires qui minimisent

la distance parcourue par les fou rmis sont le plus souvent sélectionnées. Ensuite, si un

- 177 -


obstacle vient p erturb er une tra jectoire en place, un contournement sera rap id ement

mis en place. Cette dernière capacité des fourmis est liée à une mo dification de

l’environn e ment par une cause externe et cela fait référence à une notion de dynamique

da ns l es c on di ti on s du pr ob lè m e t ra it é pa r l es f ou rm is . P ou r l ’i ns ta nt , bi e n q ue c el a

représente un argument p otentiel en termes d’optim isation, nous allons considére r que

les conditions environnementales sont stables (on parle alors de problème statique).

Figure 6.1 – Disp ositif avec deux p onts entre le nid et une source de nourriture. Dans ce cas,

l’une des deux branches est bien plus avan t ageuse en termes de temps de trajet p our les fourmis.

Les conditions qui p ermettent aux fourmis de sélection n e r le meilleur chemin ont

été ét udié es en lab or ato ire par Goss et ses co llè gue s [ Goss et al. 89a ], en particulier

grâce à un disp ositif à deux p onts connectant, de façon exclusive, le nid à la source de

no ur ri tu re pr op o sé e a ux f ou rm is . La fig ur e 6 .1 m ontre sché m at iq ue me n t le di s p o si ti f

ut i li sé et p o ur l eq ue l il a é té o bs er vé q ue , da ns la g ra nd e ma j or it é de s c as , l es f ou rm is

fin is se nt pa r ut i li se r ma j or it ai re me nt le p o nt ( a) -( d) - (b ) et dé l ai ss en t le p o nt ( a) -( c )- (b ).

Ce comp ortement p eut être expliqué par le fait que les fourmis qui choisissent le chemin

pa s sa nt pa r ( d) a rri v ent pl us v it e à la no ur ri tu re . On p e ut f ai re l ’h yp o th ès e q ue l es

f ou rm is se dé p la ce nt à une m êm e v it es se c on st an te t ou t en dé p o sa nt de s ph é ro mo ne s.

Au départ, les fourmis qui sortent du nid arrivent au p oint de choix (a) et n’ont pas

d’information sur le meilleur choix de direction à prendre. C’est donc environ la moitié

du flux de fourmis qui va passer par (d) et l’autre moitié par (c). Celles qui ont choisi le

pl us c ou rt che m in ( sa ns le s avo ir : pr éc i so ns q ue l es f ou rm is s on t i ci c on si dé ré es c om me

ave u gl e s ) , a r r i ver o nt p l u s t ô t a u p oi nt ( b ) e t s a i s i r o nt p l u s t ô t d e l a n o u r r i tu r e p o u r

la ramener au nid. Ainsi, au retour elles se retrouveront au p oint (b) et, de nouveau,

auront un choix à faire p our revenir au nid. Comme elles dép osent régulièrement des

ph é ro mo ne s, il e st p o ss ib le q u’ une p e ti te di ffé re nc e, en t er me s de c on ce nt ra ti on en

ph é ro mo ne s s oi t a mp li fié e pa r le no m bre .

- 178 -

6.3 La mo délisation du comp ortement des fourmis

On retrouve dans cette exp érience tous les ingrédients d’un système auto-organisé :

– un m éc an is me de re nf o rc em e nt p o si ti f : l es ph é ro mo ne s a tt ir ent l es f ou rm is q ui à

leur tour en dép osent (on parle d’un comp ortement auto catalytique, c’est-à-dire

qui se renforce lu i-même) ;

– un m éc an is me de re nf o rc em e nt né g at if : l es ph é ro mo ne s s ’é vap o re nt, ce q ui

limite le phénomène et p ermet un oubli, voire la sortie d’un é tat stable ;

– un c om p o rt em en t a lé at o ir e, q ui pr ovo q ue de s flu c tu at io ns da ns l es é ta ts du

sy stè me ;

– et une mul tit ude d’ inte rac tio ns : les fo urmi s sont no mbre use s.

La manifestation d’une intelligence collective s’observe alors par l’émergence, ou

l’apparition, de structu re s temp orelles et/ou sp atiale s issues d’interactions mu ltip le s et

rép étées, directes ou indirectes , entre des individus appartenant à une même colonie ou

un même group e. Ici, il s’agit de la construction d’une route ma joritairement utilisée

pa r l es f ou rm is .

C’est donc bien le mécanisme de communic ation indirecte par les phéromones, qui

mène à un phénomène d’optimisation de route par les fourmis, qui sera adapté à la

pr ob lé m at iq ue de l ’o pt im is at i on c ombi na t oi re .

6.3 La modélisation du comportement des fourmis

Le travail d’analyse du c omp ortement des fou rmis précédemment décrit se traduit

da ns un mo dè l e de c om p or te me nt , q ui ne re pr é se nt e pa s o bl ig at o ir em en t la ré a li té de

ce qui se pa sse dans la tê te des fo urmi s, mais qui te nte ra de repro duire le phé nom ène

d’ o pt im is at io n avec la do nn é e de rè g le s l es pl us s im pl es p o ss ib le s.

6. 3. 1 Dé fin it io n d’ un e fo ur mi ar ti fic ie ll e

Ava nt de m o dé lis er le c omp ort eme nt de s f our mi s, at tar don s- nou s s ur le m o dè le d’ un e

f ou rm i, q ue l ’o n a pp e ll er a e ns ui te « f ou rm i a rt ifi ci el le ». R ep re no ns , da ns l ’i ntro du c ti on

de [ Mo nm ar ché et al. 09a], la définition prop osée :

Une fourmi artificiel le est un objet, virtuel ou réel (par exemple un agent

logiciel ou un robot), ou encore symbolique (comme un point dans un

espace de recherche) qui possède un lien, une similitude (c’est-à-dire un

comportement, une caractéristique commune) avec une fourmi réel le.

Cette définition est suffisamment générale p our couvrir de nombreux modèles de

f ou rm is . E ll e a tt ir e do nc l ’a tt en ti o n sur le f ai t q u’ une f ou rm i a rt ifi ci el le ne se l im it e

pa s à un s ys tè me c ap ab le d’ i mi te r le c om p o rt em ent d’ e xp lo it a ti on d’ un e s ou rc e de

no ur ri tu re .. .

6. 3. 2 Les fo ur mi s sur un gr ap he

Afin de préciser le comp ortement des fourmis, l’environnement que nous avons

dé c ri t, c ’e st -à - di re le do ub le p o nt , p e ut ê tr e mo dé l is é pa r un g ra ph e ( fig ure 6 .2 ).

- 179 -


Figure 6.2 – Mo délisation sous la forme d’un graphe du double p ont.

Le mo dèle de comp ortement p eut être le suivant :

– les f ou rmis partent du nœud « nid » et choisissent un chemin parmi les 2

di s p o ni bl es ;

– le choix de l’arc est in fl ue ncé par les phéromones prése ntes sur ces deux arcs :

en pro bab ilit é, la fo urmi ch ois it l’ arc dont le ma rqua ge est le plus fort ;

– les phéromones p euvent être modélis ée s par une valeur réelle qui peut être

assimilée à une conce ntration en phéromones de l’arc considéré ;

– la fourmi emprunte (et empreinte !) l’arc choisi en dép osant de s phéromones à

ch aq u e p a s s u r s o n t r a j e t ;

– une f oi s le nœ ud « no ur ri tu re » a tt ei nt , la f ou rm i re v ie nt au ni d, en s él ec t io nn ant

l’arc de retour selon le même mécanisme qu’à l’aller ;

– régulièrement, les phéromones s’évap orent : la valeur réelle représentant la

co nce ntr ati on

dé cro ît.

L’exemple du p ont est bien sûr très réduit (il n’y a que deux sommets !), mais

on p eut imaginer le même mécanisme de déplacement des fourmis dans un graphe

b ea uc ou p p lu s d ével op p é ( fig ure 6. 3) .

Figure 6.3 – Mo délisation sous la forme d’un graphe des chemins p ossibles p our une fourmi.

- 180 -

6.4 L’optimisation combinatoire avec les fourmis

La circulation d e plusieurs fourmis dans ce graphe va provo quer l’apparition de

ch em i n s p l u s m a r q ué s e n p h ér o m o n e s e t d o n c p l us u ti l i s é s p a r l e s f o u rm i s p o u r r e jo i n d r e

la nourriture (figure 6.4).

Figure 6.4 – Les fourmis circulent dans le graphe en dép osant des phér omones (l’épaisseur des

lignes repré sente la conc entration en phér omones d’un arc). Plus la conc entration est élevée, plus

les fourmis sont attirées par l’arc.

Le mécanisme que n ou s venons de décrire va maintenant être trans p osé p our

pr és e nt er une m ét ah eu ri st iq ue d’ o pt im is at io n c ombi na t oi re .


La structure de graphe utilisée p our accueillir le mo dèle de fourmis artificielles tel

que nous l’avons évoqué d an s la se c tion précédente va être développée. En partic u lie r,

co mme ce la a été mené dans les travaux de re che rche in itia ux, nous ut ilis ons un ex emp le

de pr ob lè m e c om bi na to i re q ui re pr e nd le g ra ph e t ou t en p e rm et ta nt de sp é ci fie r pl us

finement les mécanismes d’optimisation tirés des fourmis. Il s’agit du problème du

voya ge u r d e c o m m e r c e , q u e n o us a l l o n s r a p p el e r e n p r e m i e r d a n s c e t t e s e c ti o n . E n s ui t e ,

no us dé c ri ro ns en dé t ai l l es pr in ci pa ux a lg or it hm es de f ou rm is a rt ifi ci el le s c on çu s p o ur

résoudre ce problème.

6. 4. 1 Le pr ob lè me du voyag eu r de c om me rce

Le d éplacement des fourmis entre le nid et la nourriture, avec un retour au nid

s’ appa rente à la co nst ruct ion d’un cy cle dans un gr aphe . Si l’on a jo ute la co ntra inte que

le cyc le doit passer par tous les sommets du graphe une et une seule fois, le travail des

f ou rm is s ’a pp ar ente à la c on st ru ct io n d’ un c yc le ha m il to ni en . Si l ’o n c on si dè re l ’o b j ec ti f

d’ o pt im is er la l on gu eu r t ot al e de ce c yc le , la c on st ru ct io n d’ un c yc le ha m il to ni en de

longueur minimale s’appare nte à la résolution d’un problème combinatoire classique :

le problème du voyageur de commerce (PVC). Dans ce problème, les sommets du

graphe sont des villes, les arcs sont les routes d isp onibles entre les villes et l’ob jectif

- 181 -


est de dé cou vrir le tra jet de lo ngue ur mi nima le p our un voya ge ur de co mme rce qui

so uhai te vi sit er to ute s les vi lle s, en re ven ant à son p oint de dé part en fin de to urné e.

La figure 6.5 rapp elle le formalisme de ce problème et le calcul du coût d’un e solution.

Une instance du PVC est déterminée par :

– n, le nombre de villes

– la matrice des distanc e s d (i, j ) en tre les vi lle s i et j (on

p eu t r em ar que r q ue s i d( i, j) 6= d( j , i) le problème est dit

« a s ym é t r i q u e »)

Une solution au problème est représentée par une p ermutation

de s n villes : = (1 , . . . , n ). L ’ ob j e c t i f e st d e t r o u ve r un e

so lut ion qui mi nimi se la di sta nce to tal e pa rco urue :

n1

min

d(i , i+1) + d(n , 1 )

(6.1)

i=1

Figure 6.5 – Formulation du problème du voyageur de commerce (PVC).

À titr e d’exem ple, la fi gu re 6.6 re pr ésente le mêm e graph e qu e précé demment,

da ns l eq ue l une s ol ut io n e st m is e en va le ur . On v oi t q ue la no t io n de nid et de s ou rc e

de no ur ri tu re p e ut di s pa ra ît re pu is q ue l es p o in ts de dé p ar t et d’ a rri v ée ne s on t pa s

réellement imp ortants.

Figure 6.6 – Graphe dans lequel une solution, c’est-à-dire une p ermutation des sommets ou

encore un cycle, est repré sentée . Ici, la solution (1, 2, 8, 5, 10, 7, 9, 4, 3,

6)

est montrée.

L’intérê t de ce problème est qu’il est simple à énoncer tout en restant difficile à

résoudre dès que le n ombre de villes augmente : une exploration exhaustive de toutes

les solutions nous mènerait à générer et évaluer (n1)!

2 p er mu ta ti on s. L a fi gu re 6. 7

montre un exemple à 198 villes où l’on observe une répartition non uniforme des villes.

- 182 -


2000

d198

1800

1600

1400

1200

1000

800

600

400

200

0

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

Figure 6.7 – E x e m p le d ’ i n s t a n c e d e PV C « e u c l i d i en » à 1 9 8 v i l l es ( d 1 9 8 ) .

On p eut noter que le problème p eut être asymétrique : les arcs ont alors un sens de

pa rc o ur s et l es di s ta nc es ne s on t pa s o bl ig at o ir em en t l es m êm es à l ’a ll er et au re t ou r

entre deux so mme ts. Dans ce ca s, une so lut ion au PVC est un c ircu it ha milt oni en

da ns le g ra ph e.

6. 4. 2 La m éta he uri st iq ue ACO

Nous présentons dans cette partie plusieurs algorithmes inspirés du comp ortement

des fourmis p our résoudre le PVC. L’analogie entre la recherche du cycle de longueur

minimale et les fourmis qui optimisent leur tra jectoire entre le nid et la source de

nourriture est immédiate. Ces métahe uri stiques partagent la même source d’inspiration

qu’off rent les fourmis et sont regroup ées sous l’acronyme ACO p our

Ant Colony

Optimization .

6.4.2.1 L’algorithme Ant System

Nous présentons l’algorithme Ant System (AS), qui fut le premier à être prop osé

p ou r r és ou dr e un p ro bl èm e d ’op ti mi sa tio n c omb in ato ir e e n u ti lis ant d es fo ur mi s

artificielles [ Colorni et al. 91, Dorigo et al. 96 ]. Cet algorithme n’est pas le plus efficace

de sa c at ég o ri e, m ai s il p e rm et d’ i ntro du ir e l es pr in ci p es q ue l ’o n re t ro uv e da ns de

no mbr eu x a lg or it hm es ba s és sur l es f ou rm is a rt ifi ci el le s ut i li sa nt de s ph é ro mo ne s.

Pa r ra p p or t a u mo d èl e d e f o ur m i s p r éc é d e m me nt e x p os é , un c e r t ai n n o mb r e

d’ a rra ng e me nts s on t i nt ro dui t s, s oi t p o ur de s ra i so ns a lg or it hm iq ue s , s oi t p o ur de s

raisons d’effi

cacité de construction des solu tion s :

– la mémorisation des sommets traversés : la fourmi doit mémoriser le chemin

partiel déjà parcouru p our ne pas revenir sur un sommet déjà exploré. Cette

mémoire n’est pas nécessaire dans le mo dèle original, notamment car les fourmis

- 183 -


so rta nt du nid ch erchent à at tei ndre la no urrit ure et, une fo is la no urrit ure

trouvée, elles cherchent à atteindre le nid ;

– les phéromones sont dép osées après la construction de la solution : contrairement

aux fourmis réelles qui dép osent des phéromones indép endamment de la longueu r

du che m in q u’ el le s o nt t ro uv é, l es f ou rm is a rt ifi ci el le s dé p o se nt d’ a ut an t pl us

de ph é ro mo ne s q ue l eu r tra j et t ot al a é té c ou rt ;

– la vitesse de la fourmi n’est pas constante : elle passe d’un sommet à l’autre

en une unité de temps, quelle que soit la longueur de l’arc. Ce p oint facilite la

simul ati on du mo uve ment des fo urmi s car, en mo de sy nchr one où to ute s les

f ou rm is s on t c on si dé ré es à c ha qu e i té ra ti o n, on pr ovo qu e le m ou ve me nt de t ou te s

les fourmis à chaque itération . Pour comp enser cet artifice, le renforcement est

alors prop ortionnel à la qualité de la solution construite. Le facteur « temps de

dé p la ce me nt » de la f ou rm i e st a in si ré i nt ro dui t da ns l ’a lg or it hm e .

– les fourmis ne sont pas totalement aveugles : asse z rapidement, il est apparu

que des fourmis totalement aveugles mettaient b eaucoup de temps à dégager

de s s ol ut io ns i nt ér es sa nt es . La no t io n de v is ib il it é a do nc é té intro du it e : il

s’ agi t de pre ndre en co mpt e la di sta nce entre les so mme ts p our le dé plac em ent.

Ainsi, en plus d es phéromones, les choix de la fourmi s ont alors influencés par

la distance entre sommets consécutifs, ce qui signifie que les fourmis artificielles

ne s on t pa s a us si ave ug le s q ue le mo dè l e i ni ti al no us l ’ava it s ug gé ré .

Construction d’une solution. Chaque fourmi construit une solution, c’est-à-dire

une p e rmut a ti on de s n so mme ts- vil les , de fa ço n in crém enta le. Le so mme t de dé part

est ch ois i al éat oir eme nt, car le p oint de dé part n’a pas de rôle pa rtic uli er, ét ant donné

qu’une solution est un cycle dans le graphe.

Dans l’exemple de la figure 6.8, la fourmi a déjà con struit un chemin partiel et

s’ appr ête à ch ois ir en tre les so mme ts 4, 6

et

10.

Figure 6.8 – Graphe dans lequel une solution partiellement cons truite par une fourmi est

représe ntée : (1, 2, 8, 5) . La fourmi est sur le sommet 5 et a le choix entre les sommets 4,

6

et

10 . Les sommets 1 et

8 ne p euvent pas être cons idérés car ils font déjà partie du cycle en

cons truction .

- 184 -


On p eut re marque r que l’exemple u tilisé dans la figure 6.8 es t un cas particu lie r

car la co nst ruct ion du cy cle p eut me ner à une im pass e. En effet, si la fo urmi ch ois it le

so mme t 4 ou 6, elle ne p ourr a pas termi ner la con structi on d’un cy cle sans r epasse r

par un sommet déjà visité. Cette difficulté vient de l’exemple choisi qui comp orte

vo lo nt a i r em e nt p e u d ’a r c s a fi n d e r e s te r l i s i b l e. Da n s l a p r a t i qu e , l e s a l g or i t h m e s d e

f ou rm is o nt é té m is en œu v re sur de s g ra ph es c om pl et s, c ’e st -à - di re da ns l es qu el s

ch aq u e s o m m e t e s t r e l i é à t o u s l e s a u t r es s o mm e t s . C e l a p er m e t d ’ é v i te r l es i m pa s s e s

da ns la c on st ru ct io n du c yc le . Si la c on fig ur at io n du pr ob lè m e né c es si t e q ue c er ta in s

arcs soient évités, plutôt que de les éliminer, comme dans notre exemple, il su ffit de

leur affecter une longueur très grande, p our que les fourmis les empruntant soient très

dé s ava nt ag é es .

D’un p oint de vue pratique, à chaque arc (i, j ), o n as s o c i e u n e q u a nt i t é d e ph é r o -

mones notée ⌧ ij , et o n d éfi n i t la p r ob a bi l i té q u e la f o u rm i k pl a cé e en i ch oi s i s s e l a

ville j :

p k ij (t) = ⌧ij ( t)

↵ ⇥ ⌘ ij

⌧ i` ( t)

↵ ⇥ ⌘ (6.2)

i`

`2Ni

k

où :

– ⌘ij : représente la visibili té de la fo ur mi ;

– ↵ et sont deux pa ramè tre s qui p er met ten t de ré gle r l’ influ enc e re lat ive des

ph é ro mo ne s et de la v is ib il it é ;

– Ni k

: est l’ensemble des vill es qui n’o nt pa s en core été visitées par la fou rm i k

(c’est-à-dire sa mémoire) lorsque celle-ci se trouve sur le sommet i.

Au numérateur, le pro duit des phéromones ⌧ij pa r la v is ib il it é ⌘ij p er me t de t en ir

co mpt e de ces deux in form ati ons p our le dé plac em ent de la fo urmi . Dans le cas

du PVC, la visibilité p eut être estimée grâce à la longueur de l’arc ( i, j ) en p os ant :

⌘ ij = 1/d ij . L e d é nom i n at e u r p e r m et d e n or m a li s e r le s p r ob a b il i t és :

j2Ni

k

p k ij (t) = 1 .

Mise à jour des phéromones. À la fi n de la c ons tru cti on d’ un c ycl e, chaq ue

f ou rm i k dé p o se une q ua nt ité de ph é ro mo ne s k ij sur les arcs ( i, j) qu’elle a empruntés.

Cette quantité est prop ortionnelle à la qualité de la solution construite par la fourmi

(et donc inversement prop ortionnelle à la longueur du chemin complet fabriqué par la

f ou rm i) :

k 1/L

ij = k si ( i, j ) 2 T k

(6.3)

0 si non

où T k est le cy cle (a uss i ap pe l é « Tour ») effec tué par la fo urmi

k et L k en est la

longueur.

La quantité de phéromone de chaque arc ( i, j )

est al ors mise à jour :

⌧ij ( t + 1) (1 ⇢)

⌧ij (t) +

m

k ij (6.4)

où ⇢ 2 [0 , 1] est un pa ramè tre d’évap ora tio n et m le nombre de fourmis.

- 185 -

k=1


Algorithme complet La structure de l’algorithme est donnée par l’algorithme 6.1.

Al gorit hm e 6.1 Ant System (AS)

Initial isation des phéromones (⌧ ij )1applei,japplen

Pour t allant de 1 à tmax Fai r e

Pour ch a qu e f ou r m i s k Fa i r e

Construire un cycle T k ( t)

Calculer le coût L k ( t)

de T k ( t)

F in Pou r

Pour ch a qu e a rc ( i, j )

Fai r e

F in Pou r

F in Pou r

M et tr e à j ou r l es ph é ro mo ne s ⌧ij ( t)

Retourner la meilleure solution trouvée

Nous avons volontairement simplifié la présentation de l’algorithme p our montrer

sa st ruct ure . Voi ci, plus pré cis éme nt, les dé tai l de sa mise en œuvre :

– les valeurs des phéromones sont s to ckées dans une matrice car, dans le cas

général, on considère un graphe complet. L’initia lisation des phéromones, dans

le princip e, consiste, au d é p art, à ne pas influencer le choix des fourmis vers u n

arc plus qu’un autre. Ensuite, le s phéromones serviront de mémoire colle ctive

aux fourmis p our faire leu rs choix de déplacement dans le graphe ;

– le nombre d’itérations est fixé par le paramè tre tmax. B ie n e nt e nd u , c om m e p o u r

de no m bre us e s m ét ah eu ri st iq ue s d’ o pt im is at io n s to cha s ti qu e m an ip ul an t une

p op ul at ion d e so lu tio ns , l e c ri tè re d ’ar rê t d e l a b o uc le g éné ra le d e g én éra ti on d es

p op ul at ion s su cc ess ive s p e ut ê tr e a ffin é. Par e xe mpl e, l e n omb re d’ it ér ati on s p e ut

être basé sur des me sure s de p er form anc e des ré sult ats ob ten us par l’ alg ori thme ,

afin de le stopp er lorsque l’optimi sation ne progresse p lu s ;

– la cons truction d’une solution p ar une fourmi, c’est-à-dire dans le cas du

PVC, la construction d’un cycle, se fait sommet après sommet en utilisant la

f or mule 6 .2 . L ’a lg or it hm e n’ e xp li ci te pa s le dé t ai l de c et te c on st ru ct io n m ai s le

travail des fourmis p eut être organ is é de maniè re synchrone, c e qui signifi e que

ch aq u e f ou r m i fa i t u n p a s d ’ u n s o m m e t à u n a u t r e ch a c u ne à s o n t o ur , o u b i e n

asynchrone, ce qui signifi e que chaque fourmi construit son cycle sans être liée

à l’activité des autres fourmis ;

– le coût d’une solution, c’est-à-dire la longueur du cycle, p eut être calculé en

ut i li sa nt la f or mu le 6 .1 . B ie n é vi de mm en t , l ’o b j ec ti f é ta nt de t ro uv er le c yc le le

pl us c ou rt , l ’a lg or it hm e c on se rve ra en m ém oi re la s ol ut io n de c oû t m ini m al ;

– la mise à jour de s phéromones consiste à capitaliser les informations utiles à

l’optimisation de la longueur des cycles con s tru its par les fourmis. La mémoire

co lle ct ive est ai nsi mise à jour en ut ilis ant les formules 6.3 et 6. 4.

- 186 -


Choix des paramètres. Comme p our toute métahe uri stique, les choix des valeurs

p ou r l es p ar amè tr es d e l a m éth o de s ont im p or ta nts . L a p la ge d e va leu rs e st s ouve nt

obtenue après une phase exp érimentale. Pour l’algorithme AS appliqué au problème

PVC, les valeurs reconnues comme adaptées sont indiquées dans le tableau 6.1.

Tabl eau 6.1 – Paramètres et plages de valeurs reco nnues d’intérêt pour l’algorithme Ant

System. C représente une estimation du coût d’une solution et n le nombre de sommets du graphe

(c’est-à-dire la taille du problème).

symb ole pa ramè tre val eurs

↵ influence phéromones 1

influence visibilité [2; 5]

⇢ évap or ati on 0.

5

⌧0 val e ur i n it ia le de s p hé ro mo n es m/C

m no mbre de f ou rm is n

On p eut remarquer que le s valeurs indexées sur la taille du problème n sont

pr at i qu es à fix e r. La va le ur i ni ti al e de s ph é ro mo ne s f ai t a pp el à la va le ur C, qu i

co rre sp o nd au coût d’une so lut ion ob ten ue par une he uris tiq ue de type gl out on.

L’algorithme AS a été le p oint de départ de nombreuses améliorations. Nous allon s

pr és e nt er l es pr in ci pa l es .

6.4.2.2 Max-Min Ant System

M ax -M in Ant Sy s te m (M M AS) [ St üt z le et al. 97] a intro du it plus ieurs améliorations

qui ont été adoptées par la suite dans des variantes.

Tout d ’ab ord, l es ph éro mon es so nt bor née s : ⌧ ij 2 [ ⌧ min , ⌧max ] (d’où le nom de

l’algo rithme). Cela p ermet de faire en sorte que la différence entre les arcs favorisés,

c’ est -à- dir e fa isa nt pa rtie des me ill eure s so lut ions tr ouvé es , et les arcs né gli gés , ne

soit pas trop imp or tant e. En effet, sans li mit e sur les phé rom one s, les arcs né gli gés

ont u n e quantité de phéromones qui p eut tendre vers zéro et, ainsi, la probabilité

qu’une fourmi les sélectionne tend également vers zéro. Au final, les arcs n é gligés à

un m om ent de la re c he rche , ri sq u en t de ne j am ai s ê tr e e xp lo ré s à no uve au , ce q ui

emp êchera l’ alg ori thme de so rtir de l’ att rac tio n de mi nimu ms lo ca ux. Les val eurs ⌧min

et ⌧max p er me tt ent d e g ar anti r q ue t ou s le s ar cs r es ter ont a cc es sib le s a ux f ou rm is. Le

ch oi x d es val e u rs p ou r ⌧min et ⌧max p eu t évo lu er a u c ou rs d es i tér at io ns, pa r ex em pl e

en ba sant ⌧max sur la me ill eure so lut ion tr ouvé e ju squ’ alo rs.

Ensuite, la mise à jour des phéromones est faite de façon élitiste. C’est un mécanisme

qui p ermet d’accélérer la convergence de l’algorithme. La formule 6.4 est simp lifiée :

⌧ij ( t + 1) (1 ⇢)

⌧ij (t) + + ij (6.5)

pu is q ue s eu le la m ei ll eu re f ou rm i dé p o se de s ph é ro mo ne s : + ij = 1/L+ si ( i, j )

f ai t pa rt i e du c yc le c on st ru it pa r la m ei ll eu re f ou rm i. La m ei ll eu re f ou rm i de p uis le

lancement de l’algorithme, ou bien la meilleure fourmi de l’itération en cours, p eut

être co nsi déré e.

- 187 -


E nfin , t ou tes l es ph é ro mo ne s s ont i ni ti al is ée s à la va le ur ⌧max, et, en c as de

st agn ati on de la reche rche , les phé rom one s sont ré init ial isé es à ce tte val eur p our

relancer l’exploration et p ermettre une couverture comp lè te de l’espace de recherche.

Le tableau 6.2 donne les principales valeurs des paramètres utilisées en pratique.

Tab le au 6.2 – Paramètres et plages de valeurs reco nnues d’intérêt p our l’algorithme MMAS.

C représente une estimation du coût d’une solution et n le nombre de sommets du graphe

(c’est-à-dire la taille du problème). L ++ représente le coût de la meilleure solution trouvée depuis

le début de l’algorithme, et a est calculé par np 0.05(c 1)/(1 np 0.05), o ù c représente le

nombre moyen de choix s’offrant à la fourmi p our l’étap e de cons truction en cours.


↵ influence phéromones 1



02

⌧0 val e ur i n it ia le de s p hé ro mo n es 1/ ⇢C

m no mbre de f ou rm is n

⌧min b or ne i nf éri eu re d es p hér om on es ⌧ max/a

⌧max b or ne s up é rie ur e d es p hé ro mon es 1/ ⇢ L M M AS a été b eaucoup développ é , par exemple en exp érimentant des stratégies

de re nf o rc em e nt di ffé re nt es ou en s ’a tt aq u ant à di ffé re nt s pr ob lè m es . So n i nt ér êt ré s id e

da ns la pr éo c cu pa ti on de c ont rô le r ( et d’ ut i li se r) fin e me nt l es va le ur s de s ph é ro mo ne s,

ce qui n’ éta it pas ex pli cit eme nt fa it au para vant.

6.4.2.3 L’algorithme AS rank

L’algorithme ASrank [ Bu llnh eim er et al. 99] a intr o d u i t un e f o r m e d e c o nt r i b u t i o n

de s m ei ll eu re s f ou rm is a ux ph é ro mo ne s q ui s ’a pp ar en te à une s él ec t io n é li ti st e pa r le

rang, que l’on trouve dans d’autres métahe uristiques. Ainsi, les fourmis sont classées

pa r o rdr e dé c ro is sa nt de s l on gu eu rs L k de s c he mi ns o bt en us . La m is e à j ou r de s

ph é ro mo ne s t ie nt c om pt e du ra ng de s meilleures solutions :

⌧ ij (1

⇢) ⌧ ij + 1

L ++ +

⌧ij k

k=1

(6.6)

où L ++ représente la longueur du meilleur chemin trouvé depuis le début de l’algorithme

et la contribution des 1 meilleures fourmis de l’itération en cours est

ca lcu lée par :

( k)

⌧ij k si (i, j ) 2 T

=

k

L k (6.7)

0 sinon

Cet algorithme a p ermis d’améliorer les résultats obtenus avec AS.

- 188 -


6.4.2.4 Ant Colony System

L’algorithme Ant Colony System (ACS) a également été prop osé p our résoudre le

PVC [Dorigo et al. 97 ]. Il s’inspire des mêmes mécanismes que l’algorithme AS mais

pr en d de s di re c ti on s o pp o sé es sur c er ta in s c om p o rt em ents et se c on ce nt re de f aç on

pr ag m at iq ue sur la pr ob lé m at iq ue de l ’o pt im is at i on c ombi na t oi re . Ce t te v er si on e st

l’une des plus p erformantes, très souvent adaptée à de nouveaux problèmes. Nous

allons donc en détailler ch aque étap e.

Les fou rmis , comme dans AS, construisent un cycle dans le graphe de façon itérative

et pre nne nt le urs dé cis ions en fo nct ion des phé rom one s et de la vi sibi lit é.

Construction d’une solution. La règle de transition entre les sommets introduit

une bi f urc a ti on e nt re de u x s tr at ég i es c om pl ém ent ai re s et l ar ge me nt pr és e ntes da ns

les métho des d’optimisation sto chastiques : à chaque pas dans le graphe, les fourmis

p eu ve nt u ti lis er s oit u ne s tra té gi e d ’e xpl or at io n, so it un e st rat ég ie d’ ex pl oi tat io n.

L’algorithme 6.2 précise le mécanisme de choix de la ville suivante selon ce princip e.

Al gorit hm e 6.2 Construction d’une solution (choix de la ville suivante) dans Ant

Colony

System

So i ent :

– ⌘ij la visibilité du sommet j p o ur l a f ou rmi p la cé e s ur l e s om met i ;

– un pa ra m èt re q ui p e rm et de ré g le r l ’i nflu e nc e de la v is ib il it é ;

– Ni k

l’ensemble des villes qui n’ont pas encore été visitée s par la fourmi k

lorsque celle-ci se trouve sur le sommet i ;

– q0 2 [0 , 1] un pa ra m èt re re pr é se nt ant le ra t io e xp lo it a ti on /e x pl or at io n.

soit q , un réel tiré alé atoi re ment de fa çon unif or me d an s l’interva lle [0 , 1]

Si q apple q0 Alors (exploitation)

la ville j est cho isie de la fa ço n suivante :

j = arg max

⌧i` ⇥ ⌘

`2Ni

k i`

Sinon

(exploration)

la ville j est cho isie se lon la pro bab ilit é :

(6.8)

p k ij = ⌧ij ⇥ ⌘ ij

⌧ i` ⇥ ⌘

i`

`2N k i

(6.9)

F in Si

On y observe notamment le rôle du paramè tre q0 2 [0, 1] qui représente la probabilité

de cho i si r le s om me t s ui va nt en f ai sa nt de l ’e xp lo it a ti on , ce q ui s ig ni fie c ho is ir le

- 189 -


so mme t qui ma xim ise la quantité ⌧i` ⇥ ⌘ i`. La n o t i o n d e v i s i b i l i t é e st s i m i l a i r e à c e l l e

ut i li sé e da ns AS : la di s ta nc e e st ut i li sé e p o ur l ’é va lu er ⌘ij = 1 /d( i, j). Dans le ca s

de l ’e xp lo ra t io n, la f or mu le 6 .9 e st t rè s s im il ai re à c el le ut i li sé e da ns l es pr éc é de nt s

algorithmes (formule 6.2), la seule différence concerne la disparition du paramètre

↵

qui prenait toujours la valeur 1 (il s’agit donc plus d’une simp lifi c ation ).

Quand le nombre de sommets est imp ortant, en particulier au début de la construction

d’un circuit, on p erçoit la difficulté, en termes de temps de calcul, à considérer

tous les sommets acce ssibles (en particulier dans le cas d’un graphe complet). Cela

p eu t ê tr e r édu it e n u ti lis ant de s l is te s d e vi ll es c and id at es : p o ur ch aqu e v il le , la f ou rm i

co mme nce à ex plo rer une li ste de d villes sélectionnées parmi les plus pro ches. Si cette

liste ne p ermet pas de trouver une ville, la recherche est élargie .

Mise à jour des phéromones. La mise à jour des phéromones suit le schéma

él iti ste déjà pré sen té : se ule la me ill eure fo urmi dép ose des phé rom one s sur le ch emi n

qu’elle a emprunté :

⌧ ij (1

⇢) ⌧ ij + ⇢ 1

L + 8( i, j ) 2

T + (6.10)

Il faut ici noter une diff érence imp ortante : les arcs

(i, j ) ne f ai sa nt pa s pa rt i e du c he mi n

T + ne s ubi ss e nt pa s l ’é va p o ra t io n ⌧ij (1 ⇢) ⌧ij telle qu’elle était pratiquée dans les

autres algorithmes. Cela présente, en termes de comple xité, un intérêt particulier : à

ch aq u e m i s e à j o u r d es ph é r o m o n es , s e u l s n arcs sont mis à jou r alors que précédemment,

il fallait faire n 2 mises à jour.

En c on tr ep ar ti e , l ’é vap o ra ti on de s a rc s n’ a ppa ra i ss an t pl us , e ll e e st c om p e ns ée pa r

une éva po ra ti on à cha q ue pa s de f ou rm i ( on pa rl e ra d’ é va p o ra t io n lo c al e) : à cha q ue

pa s la f ou rm i dé p o se de s ph é ro mo ne s :

⌧ij

(1

⇠ ) ⌧ ij + ⇠ ⌧0 (6.11)

Cette évap oration des phéromones a p our effet de rappro cher la valeur

⌧ij de sa va le ur

initiale ⌧0 à chaque passage de fourmis. Cela signifie que l’utilisation des phéromones

pa r l es f ou rm is de v ie nt c on tr ai re à l ’u sa ge q ui en a é té f ai t j us qu ’a lo rs : pl us l es f ou rm is

pa s se nt sur un a rc , pl us l es ph é ro mo ne s se ra pp ro che n t de ⌧0 .

Dans ACS, l’effet attractif n’est donc plus uniquement recherché : la mei lleure

so lut ion tr ouvé e provoque bien un ac cro iss eme nt des phé rom one s sur les arcs la

co nst itua nt, mais le pa ssa ge d’un gr and nombre de fo urmi s p eut ém ous ser et go mme r

ces phéromones. Cela n’a plus grand-chose à voir avec le comp ortement des fourmis,

mais cela p ermet de maintenir une diversité dans les solutions construites. En effet,

une bo nn e s ol ut io n a tt ir er a l es f ou rm is m ai s, du p o in t de v ue de l ’o pt im is at i on , il

n’y a a uc un i nt ér êt à l es f ai re t ou te s pa s se r pa r le m êm e che m in . Ai ns i , si e ll es s on t

no mbr eu se s à s ui vr e la m êm e c on st ru ct io n, e ll es v ont dé c ou ra ge r l es s ui vant es de s ui vr e

ex ac tem ent le même ch emi n.

Recherche lo cale. Enfin, dernier asp ect distinctif de ACS par rapp ort aux métho des

antérieures : u n e h eu ristiqu e lo cale est utilisée p our améliorer les solutions générées

- 190 -


par les fourmis. Il s’agit d’appliquer un princip e largement reconnu dans le domaine

de s m ét ah eu ri st iq ue s : c ou pl er une t ec hn iq ue g én ér al e d’ e xp lo ra ti o n de l ’e sp ac e de

reche rche, garantissant une couve rtu re large de ce t espace, avec une technique dédiée

au problème considéré, qui sera capable d’exploiter le voisinage des solutions prop osées

pa r la m ét ah eu ri st iq ue .

Dans le cas de l’algorithme ACS appliqué au PVC, les techniques 2-opt et 3-opt

ont été app liqu ées. S an s trop détailler ces métho des assez simples, elles consistent à

tester des p ermutations dans une solution et à les re te n ir si elles améliorent le c oût de

la solution. Ces techniques p ermettent d’atteindre un minimum lo cal à partir d’une

so lut ion de dé part .

Choix des paramètres. Il y a, comme p our les métho des précédentes, des valeurs

p our les paramètres qui, toujours dans le cas du PVC, ont donné des résultats

en cou rag eants. Le ta ble au 6.3 montre ces val eurs . Le seul pa ramè tre qui se dé marq ue

des valeurs utilisées dans les autres métho des de fourmis es t le nombre de fourmis. Il

est fixé à 10 dans ACS, ce qui est étonnant car les autres algorithmes adaptaient ce

nombre à la taille du problème, alors que cela n’a pas montré d’intérêt p our ACS.

Tabl eau 6.3 – Paramètres et plages de valeurs reco nnues d’intérêt pour l’algorithme ACS.

C représente une estimation du coût d’une solution et n le nombre de sommets du graphe

(c’est-à-dire la taille du problème).




1

⌧0 val e ur i n it ia le de s p hé ro mo n es 1/nC

m no mbre de f ou rm is 10

⇠ évap or ati on lo ca le 0.

1

q0 ratio exploitation/exploration 0.

9

L’algorithme 6.3 donne la structure générale de ACS.

Résultats. Le tableau 6.4 montre les résultats obtenus par ACS [Dorigo et al. 97 ]

sur qu atre in sta nce s cl ass iqu es du PVC (on re trou ve l’ inst anc e d198 do nnée par la

figure 6.7). Les résultats obtenus par ACS sont comparés aux résultats obtenus par le

meilleur algorithme évolutionnaire à cette ép o que (STSP-GA). On constate que ACS,

sans être me ill eur que l’ alg ori thme év olu tio nnai re en te rme s de qu ali té de so lut ion

trouvée, soutient la comparaison (seule l’instance lin318 voit ACS égaler STSP-GA).

Les p erformances se dégrade nt quand la taille du problème augmente, mais le temps

de calcul reste très inférieur p our ACS.

Bi en que nous ne pré sen tio ns ici que très peu de ré sult ats , ce ux- ci il lust ren t

bi e n ce q ui a a tt ir é l ’a tt en ti on de no m bre ux c he rche u rs pa r la s ui te : en p eu de

temps (première publication en 1991), les algorithmes basés sur les fourmis p our

l’optimisation combinatoire étaient comp étitifs par rapp ort à des algorithmes dont les

- 191 -


pr in ci pe s ava ie nt é té i ma gi né s da ns l es a nné e s 1 96 0, et q ui ava ie nt re ç u b e au co up pl us

d’e ffo rt s et de dé v el op pe me n ts .

À partir d e ces résul tats enco urageants, de no mbreux trava ux sont app arus p ou r

améliorer les algorithmes mais aussi, principalement, p our les appliquer à de nombr

eu x pr ob lè m es d’ o pt im is at io n c om bi na to i re . No u s re nvoy on s le l ec te ur a ux o uv ra ge s

indiqués dans la b ibliographie commentée p our explorer ce tte diversité.

Al gorit hm e 6.3 Ant Colony System (ACS)

Initial isation des phéromones : ⌧ij ⌧0 8i, j = 1 , .. . , n

Pour t allant de 1 à tmax Fai r e

Pour ch a qu e f ou r m i k Fai r e

Construire un cycle T k ( t ) en ut ilis ant l’ alg ori thme 6.2 et en me tta nt à

j ou r l es ph é ro mo ne s à c ha qu e pa s de f ou rm i s el on la f or mu le 6 .1 1

Calculer le coût L k ( t)

de T k ( t)

E ffe ct ue r une re c he rche lo c al e p o ur t en te r d’ a mé li or er

T k ( t)

F in Pou r

So i t T + la meilleure solution trouvée depuis le débu t

Pour ch a qu e a rc ( i, j ) 2 T + Fai r e

M et tr e à j ou r l es ph é ro mo ne s ⌧ ij ( t)

se lon la fo rmul e 6. 10

F in Pou r

F in Pou r

Retourner la meilleure solution trouvée T +

Tabl eau 6.4 – Résultats comparatifs entre ACS et un algorithme évolu tionnaire sur quatre

instances de PVC symé trique. Les meilleurs résultats obtenus sont signalés en gras, les moyennes

sont obte nues sur 10 essais indép endants et le temps représente la moyenne des temps mesurés

p our l’obtention de la meilleure solution de chaque essai [Dorigo et al. 97].

problème AC S+3-opt STSP-GA

moyenne

temps (s) moyenne

temps (s)

d1 9 8 15781 . 7

238 15780

0

253

lin318 42029 537 42029 2054

att532 27718 . 2

810

27693 . 7

11780

rat783 8837. 9

1280 8807.

. 3

21210

6. 4. 3 Co nver ge nc e des al go ri th mes du typ e ACO

Les travaux théoriques p ermettant de comprendre le mo de de fonctionnement des

algorithmes de fourmis u tilisant les phéromones sont b eaucoup moins nombreux que les

- 192 -


ét ude s exp ér ime ntales ab or dant des pro blè mes di vers . En effet, la na ture sto cha sti que

de c es a lg or it hm es ne f ac il it e pa s l eu r a na ly se m ai s no us p o uv on s c ep e nd an t do nn e r

quelques éléments sur ces travaux.

En pa rt i cu li er , une de s pr em i èr es é tu de s da ns ce s en s [Gutjahr 00 , Gutjahr 02 ]

s’ est inté res sée à une ve rsi on ad apt ée de l’ alg ori thme AS (app el ée Gra ph- Bas ed Ant

Sy s te m) s ou s l es hy po t hè se s s ui va nt es :

1. il n’y a qu’u ne seule solution optimale (notée w ⇤ ) p ou r l’ i n s t a n c e d u pr o b l è m e

co nsi déré e ;

2. p ou r ch aq ue a rc ( i, j ) 2 w ⇤ on a : ⌘ij > 0 (la visibilité est toujours p ositive) ;

3. si f ⇤ = f ⇤ (m ) est la me ill eure éval uat ion tr ouvée au co urs des it éra tio ns

1 , . . . , m 1, a lo rs s e ul s l es ch e mi ns au m o in s a us s i p er f or m ant s qu e f ⇤ reçoivent

un re nf o rc em e nt ( on re t ro uv e la s tr at ég i e é li ti st e ).

So us c es c on di ti on s, G ut ja hr c on st ru it un pro c es su s m ar kov ie n do nt c haq ue é ta t e st

ca rac tér isé par :

– l’ensemble de valeurs des phéromones ;

– l’ensemble des chemins partiellement construits par les fourmis p our l’itération

en co urs ;

– la meilleure solution ren contrée au cours des itérations précédentes : f ⇤ ( m ).

Ceci lui p ermet d’établir un théorème : soit Pm , la p r o b a b il i t é q u ’ un a g e nt p a rt i c u l i er

pa rc o ur e le c he mi n o pt im al au c yc le m, les deu x as se rti on s suivante s so nt valides :

– p ou r to ut " > 0 et en fix ant les pa ramè tre s ⇢ et , et e n ch oi s i s sa nt u n n omb r e

N de f ou rm is su ffis am me nt g ra nd , on a

Pm 1 " p ou r t ou t m

m0 (m0 est

un e nt ie r dé p e nd ant de ") ;

– p ou r t ou t " > 0 et en fix ant les pa ramè tre s N et , et en cho isiss ant un fa cteur

d’ é vap o ra ti on ⇢ suffisa mme nt pro che de 0, on a

Pm 1 " p ou r to ut m m 0

(m0 est un en tie r dép en dant de ").

Cela signifie que si l’on choisit correctement la valeur du paramètre d’évap oration

ou bien le nombre de fourmis, la convergence de la métho de vers l’optimum est assurée.

Cep endant, il n’y a aucune indication sur la façon de choisir l’une au l’autre de ces

val e ur s n i l e t em ps qu e c el a va p re nd r e : l ’é tu de ex p é ri me nta l e r e st e i nd is p e ns ab l e.

Dans [Dorigo et al. 04 ], on trouve un résumé de résultats similaires mais qui

s’ appu ient sur les pro prié té s de la b orne in féri eur e ⌧ min , et q u i s o nt d on c a d a p t é s au x

algorithmes M MAS et ACS (même si, dans ce cas, les b ornes ⌧ min et ⌧max ne s on t pa s

ex pli cit es) . La conver gen ce en val eur est dé mont rée mais les ré sult ats ne fo urni sse nt

pa s d’ i ndi c at io n sur la du ré e né c es sa i re p o ur a tt ei nd re l ’o pt im um .

E nfin , da ns [ Neumann et al. 10], les auteurs prop osent des b ornes sup érieures en

temps p our découvrir l’optimum dans le cas des algorithmes ACO, entre autres, et

p ou r de s pr ob lè mes p réc is ( pa r e xe mp le p o ur l a r ech erch e d ’a rb res c ouv ra nt s d e p oi ds

minimum).

6. 4. 4 Ra pp ro c hem ents avec les al go ri th mes év ol ut io nna ir es

Conjointement à des travaux théoriques, tels que ceux évoqués dans la section

pr éc é de nt e, q ui p e rm et te nt de m ie ux pr éd ir e le c om p o rt em ent de s a lg or it hm es s to -

ch as t i q u es , i l e s t i nté r e s s ant d ’ é vo qu e r d es r a p p r o ch e m e nt s e nt r e l e s m é t h o d e s p ou r

- 193 -


mieux dis tinguer ce qui les carac térise. Si l’on s’intéresse à la notion de phéromone,

centrale dans les algorithmes ACO, on p eut remarquer que cette structure de données,

mise à jour en fonction de l’activité des fourmis et utilisée p our construire de nouvelles

so lut ions , est très si mila ire à des st ruct ure s prop os ées par d’ autr es pa radi gme s d’ opti misa

tio n sto ch ast ique . Par ex emp le, dans [ Dorigo et al. 04], on trouve un rapp rochement

des métahe uri stiques ACO avec les métho des Stochastic Gradient Ascent (SGA) et

Cross-Entropy

(CE).

Nous p ouvons également présenter un rappro chement avec les algorithmes évolutionnaires

qui manipulent une distribution de probabilités. En effet, on p eut noter que

les fourmis, en construisant leur réseau de phéromones, construisent une dis tribution

de pr ob a bil i té s, e ns ui te ut i li sé e p o ur pro du ir e de no uv e ll es s ol ut io ns . Ai ns i , no us

allons montrer que la matrice de phéromones joue le même rôle que la distribu tion

de pr ob a bil i té s ut i li sé e pa r de s a lg or it hm es é vo lu tio nna i re s pr éc u rse u rs da ns c et te

caté gorie, tels que PBIL (Population Based Incremental Learning [ Ba luj a et al. 95]) et

BSC (Bit Simulated Cross-over [ Sy s we rda 93]). Ces deux algorithmes ont été prop osés

p ou r l ’o pt im isa ti on nu mér iq ue : i l s ’a git d e m in im is er un e f on ct io n f dé fi nie sur un

so us- ense mble de R n et à val eurs dans R. Les co o rdonné es des p oint s de l’es pace de

recherche R n sont traduites en chaînes binaires (discrét isation sur chaque axe). Ces

algorithmes tentent de découvrir la meilleure distribution p our chaque bit des chaînes

bi na i re s ( ce n’ e st pa s t rè s e ffic ac e , m ai s t ou t de m êm e i nt ér es sa nt p o ur é tu di er l es

algorithmes). À la place d’une p opulation de solutions (i.e. de c ha îne s bi na i re s) c om me

da ns un a lg or it hm e g én ét iq ue c la ss iq ue , on m an ip ul e une di s tri bu ti o n q ui é vo lu e de

génération en génération (on parle donc d’algorithmes évol ut ionnaires à estimation de

di s tri bu ti o n) .

Si l’on veut comparer le comp ortement des algorithmes de type ACO à PBIL et

BSC, il nous faut définir une stratégie p our manipuler des chaînes binaires avec des

ph é ro mo ne s. La fig ur e 6 .9 m on tr e une s tr uc tu re de g ra ph e env is ag e ab le p o ur ut i li se r

un algorithme de type ACO afin de générer des chaînes binaires.

0

0 0 0 0

1

1 1 1 1

Figure 6.9 – Graphe p ermettant de générer des chaînes binaires : à chaque sommet, les fourmis

ont le choix entre deux arcs, l’un génère un « 0 » et l’autre un « 1 » . Dans le cas exp osé ici,

une fourmi a cons truit une solution 010...00 en parcourant le graphe de gauche à droite.

En muniss ant ACO de ce graphe, cela nous p ermet de définir un cadre algorithmique

commun aux algorithmes ACO, PBIL et BSC [M on ma rché et al. 00 ], dont les deux

st ruct ure s de do nnée s pri nci pale s sont :

- 194 -


– un ve ct eu r de ré e ls V = (p1 , . . . , pm ), d o nt ch a q u e co m p o s an te pi 2 [0, 1]

représente la probabilité de générer un « 1 ». Ce vecteur corresp ond à la

distribution de probabilités ou, p our ACO, à la matrice de phéromones ;

– un e ns em ble de s ol ut io ns P = ( s1 , . . . , sn ), ave c si 2 { 0 , 1} m qui représente une

p op ul at ion d e n ch aî n e s b i n a i r es d e l o n gu e u r m ou, p our ACO, l’ensemble des

so lut ions co nst ruit es par les n f ou rm is .

Les trois algorithmes p euvent ains i être décrits par un même schéma algorithmique,

pr és e nté da ns l ’a lg or it hm e 6 .4 . L ’é ta p e de g én ér at io n c ré e un é ch ant il lo nn ag e de la

p op ul at ion en ut il is ant la d ist ri but io n d e pr ob ab ili té V . En s u i t e , l ’ é va l u a t io n c o n s i s t e

à ca lc ul er l a val eu r de l a fo nc t io n f à op ti mi se r p our cha qu e éch anti ll on . E nfi n, l ’é ta p e

de m is e à j ou r ( ap p e lé e re nf o rc em e nt q ua nd il s ’a gi t de ph é ro mo ne s) c ont ie nt la s eu le

différence entre les trois métahe uri stiques. Cette étap e, qui n’est pas détaillée ici,

co nce rne la mise à jour de V en fonction des solutions construites. Pour ACO, on

retrouve les mêmes formules de mise à jour des phéromones que celles présentées p our

AS et ACS.

Al gorit hm e 6.4 Algorithme commun ACO, PBIL et BSC

Initialisation V = ( p 1, . . . , p m) (0 . 5, . . . , 0.

5)

Tant Q ue la condition d’arrêt n’est pas vérifiée Fa ir e

Générer P = (s1 , . . . , sn ) suivant V

Évaluer f ( s1 ), . . . , f (sn )

Mettre à jour V se lon ( s1 , . . . , sn ) et f ( s 1 ), . . . , f (sn )

F in Tan t Qu e

À ti t r e d e c o m p a r a i s o n , o n p e u t é t u d i e r ex p é r i me nt a l e m e nt l ’ i m p a c t de s f o r mu l es

de m is e à j ou r de V selon ACO par rapp ort à BSC et PBIL. Par exemple, considérons

la fonction à minimiser :

f ( x) = 50 +

5

i=1

(xi 1) 2 10 cos (2 ⇡ ( x i 1))

ave c xi 2 [ 5. 12, 5. 11]

(6.12)

La figure 6.10 donne les résultats obtenus p our la recherche d’un minimum

p ou r l a f on ct ion f en ut ilis ant l’ alg ori thme 6.4 avec les 4 var iant es de mise à jour

de V . Pour cha qu e di me ns io n, l es r ée ls o nt été c o dés sur m = 10 bi t s. On c on st at e

que les algorith mes de fourmis se distinguent par une convergence rapide (a) et en

particulier p our la version ACS. Cela se comprend facilement à cause de la nature

élitiste du renforcement des phéromones dans ACS. Les deux algorithmes BSC et PBIL

se co mp or tent de fa ço n si mila ire : leur conver gen ce est le nte mais el le leur p er met

de t ro uv er une s ol ut io n m ei ll eu re q ue AS. Le g ra ph iq ue ( b) re pr é se nte la q ua nt it é

d’ i nf or ma ti on pr és e nt e da ns le v ec te u r V , c’est-à-dire son écart par rapp ort à 0. 5

(au départ, tou te s les comp osantes de V sont in itia lis ée s à 0 . 5 ce qui se tr adui t par

une q ua nt it é d’ i nf or ma ti on nu ll e ). On c on st at e une di ffé re nc e i mp o rt ante da ns le

sto ckage d’ info rma tio n dans la ma tric e de phé rom one s et en pa rtic uli er, on co nst ate

- 195 -

40

35

30

25

20

15

10

5

0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0.5

0.45

0.4

0.35

0.3

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


que AS acquiert lentement de l’information d an s V . Cela p eut expliquer ses faibles

p er fo rm an ces . B ie n s ûr , c es r ésu lt at s n e c on cer ne nt q u’ un e s eul e f on ct io n et p o ur

un p etit nombre de générations. Il faut mener des exp ériences bien plus vastes p our

dé g ag e r une a na ly se c om pa ra ti ve de s m ét ho de s .

F3 - n=100

bsc

pbil

as

acs

F3 - n=100

bsc

pbil

as

acs

Performance moyenne

Convergence de V

Nombre d'itérations

(a)


(b)

Figure 6.10 – Évolution au cours du temps (c’est-à-dire des géné rations, ici de 0 à 100) de (a)

la meilleure solution connue et de (b) la quantité d’information dans le vecteur V (c’est-à-dire la

matrice de phér omones) p our chacune des quatre métho des BSC, PBIL, AS et ACS.

6.5 Conclusion

Ce chapitre a donné un rapide ap erçu des métahe uri stiques inspirées des fourmis

p ou r l ’o pt im isa ti on c ombi na to ire . L es a lg ori th me s d e b as e o nt é té pr és ent és da ns l e

cas du PVC, mais nous renvoyons le lecteur vers les ouvrages de la bibliographie

co mme ntée p our dé cou vrir des var iantes al gor ithm iqu es et de no mbre ux pro blè mes

traités.

Dans le cadre des problèmes combinatoires traités par le s fourmis, il faut n oter

que le cas du routage dans les réseaux constitue un exemple intére ssant de résolution

par les fourmis. Ce type de problème présente en effet l’attrait d’être intrinsèquement

di s tri bu é , ce q ui c or re sp o nd bi e n à l ’e nv ir on ne me nt de s ( vr ai es ) f ou rm is .

Il faut noter que l’une des premières applications industrielles a été développée

à par tir d e 199 8 dan s le ca dre d e la pr o du cti on de b arr es d’ alu min ium , au Qu éb e c

[ Gravel et al. 09]. Dans ce cas, il s’agit de couler des alliages à b as e d’aluminium

da ns de s m ou le s s el on de s sp é ci fic at i on s d’ a ll ia ge et de t ai ll e va ri ée s. L es f ou rm is s on t

ut i li sé es po ur t ro uv er l ’o rd re de t ra it em en t de s c om ma nd es q ui p er me t 1) de m ini m is er

les p ertes (à chaque changement d’alliage, il faut purge r et nettoyer le système), 2)

de m ini m is er l es re t ar ds de f ab ri ca ti o n et 3) de m ax im is er le re m pl is sa ge de s c am io ns

de l iv ra is on . Le pr in ci p e e st le s ui va nt : c ha qu e s om me t du g ra ph e re pr é se nte une

co mma nde et ch aqu e fo urmi co nst ruit donc un encha înem ent de co mma nde s. Les

- 196 -


ph é ro mo ne s dé p o sé es pa r c et te f ou rm i dé p e nd en t de la q ua li té de s on e nc ha în em ent

relativeme nt aux trois ob jectifs fixés.

Dans le cadre de l’optimisation par colonie de fourmis, les solutions prop osées par

les algorithmes ne sont pas garanties d’être optimales. Les travaux théoriques ont

p er mi s d e c om pre nd re qu e l es a lg ori th me s d e f our mi s c onve rg ent ve rs l ’op ti mu m e t l es

travaux e xp érimentaux l’ont vérifié, mais l’enjeu reste de savoir choisir les valeurs de s

pa ra m èt re s de la m ét ho de , da ns le c as g én ér al m ai s en pa rt i cu li er en s ’a da pt ant a ux

instances des prob lè mes considérés [ St üt z le et al. 12]. De nombreuses métaheuristiques

se re joi gne nt sur ce tte qu est ion.


[Bonab eau et al. 99] Ce livre ab orde de nombreux asp ects de l’intel ligence colle ctive

et ne se limite pas à l’optimi sation. C’est un b on p oint de départ p our

ab order la mo délisation de systèmes n atu rels colle ctifs.

[Dorigo et al. 04] : Ce livre représente une b onne synthèse de ce qui a été prop osé en

optimisation combinatoire par la métaheuristique ACO. Les princip es de

ba s e sur le P VC s on t pr és e nt és , l es pr em i er s dé v el op pe me n ts t hé or iq ue s

ainsi qu’un panorama des problèmes ab ordés jusqu’alors et en particulier

le routage dans les réseaux.

[Abraham et al. 06] Cet ouvrage collectif élargit la notion de communic ation indirecte

(app elée « stigmergie ») à d’autres systèmes collectifs (les termites, les

es sai ms pa rtic ula ire s, et c.) .

[Solnon 08] Ce livre présente en détail la métaheuristique ACO avec l’intérêt de donner

de s c on se il s sur l ’i mp lé me nt at io n de s a lg or it hm es . É ga le m en t, une pa rt i e

de l ’o uv ra ge t ra it e de l ’u ti li sa ti o n de s c ol on ie s de f ou rm is da ns le c ad re de

la programmation par contraintes.

[Monmarché et al. 09a, Monmarché et al. 09b]

Ces deux volumes colle ctifs présentent

un é ta t de l ’a rt ré c en t de s trava ux a ut ou r de s f ou rm is a rt ifi ci el le s . Le

pr em i er vol ume se c on sa cr e à l ’o pt im is at i on en pr és e nt ant l es c on ce pt s de

ba s e a in si q ue de no m bre ux e xe mp le s . Le de u xi èm e v ol um e e st dé d ié à de s

travaux sur les fourmis artificielles plus éloignés de l’optimisation.

- 197 -

Chapitre 7

Les essaims particulaires

Maurice

Clerc

Ingénieur consultant, Annecy, France

Maurice.Clerc@WriteMe.com

Dans ce chapitre, le lecteur est supp osé avoir quelques notions de base au sujet des

algorithmes d’optimisation itératifs, en particulier ce qu’est un espace de définition et

une di s tri bu ti o n s ta ti st iq u e. L es s ec ti o ns i nt it ul ée s For m a l i sm e p eu ve nt ê tre i gn oré es

en pre miè re le ctu re.

P réa mbu le

Au début, elles cherchent au hasard. Puis, chaque fois que l’une d’entre e lle s trouve

un s it e pr om e tt eu r, e ll e le s ig na le à d’ a ut re s e xp lo ra tr ic e s. Pas t ou jo ur s à t ou te s en

même temps, mais toutes, de pro che en pro che, sont tôt ou tard effectivement informées

et ti rent pa rti de ces re nsei gne men ts. Ai nsi, p eu à p eu, par ce tte co lla b or ati on sans

ex clu sive, leur qu ête est en gé nér al co uro nnée de suc cè s.

7.1 Parce que l’union fait la force

At te s t é e c o m m e d e v i s e o ffi c ie l l e d e s f u tu r s Pay s -B a s d è s 1 5 50 p a r l ’ e xp r e s s i o n l a t in e

Concordia res parvae crescunt et mê me, en fa it, chez Sa llus te vers l’an -40 [ Sa l lu st e 02 ],

ce tte formule a co nnu un b eau suc cè s en tre au tres en p ol iti que et en so ci olo gie , mais

aussi, et c’est ce qu i nous intéresse ici, en éthologie, plus précisément dans le domaine

de l ’é tu de de s so c ié té s a ni ma le s. En e ffe t, s i, en o pt im is at io n , l es pr in ci p es bi o lo gi q ue s

de s él ec t io n, c ro is em en t et m ut at io n o nt i ns pir é de p uis l on gt em ps c er ta in es m ét ho de s ,

en pa rtic uli er les al gor ithm es gé nét iqu es, ce n’ est que re lat ivem ent ré cem men t que

d’ a ut re s m ét ho de s t ent en t avec pl us ou m oi ns de b o nhe u r de m et tr e à pr ofi t de s mo dè l es

co mp or tem entaux qui ont pro uvé leur effica cit é quant à la sur vie et au dé vel oppe me nt

de s p o pul a ti on s bi o lo gi q ue s q ui l es ut i li se nt . À c et é ga rd , l ’o pt im is at i on pa r e ss ai m

199

Chapitre 7 – Les essaims particulaires

pa rt i cu la ir e ( ou Particle Swarm Optimisation , en a nglai s) est l a toute p remi ère, e n

1995, à avoir été fondée sur des co op érations sans sélection.

Comme son nom le laisse entendre, cette métho de fait app el à une p opulation

d’ a ge nt s, q ui s on t a pp e lé s “ pa rt ic ul es ” , c ec i pa rc e q ue la m ét ap ho re s ou s- ja c ente e st

que lors de leur reche rche commune d’un optimum, ils se déplacent, tels des particules

phy si qu es s ou mi se s à de s f or ce s d’ a tt ra ct i on . M ai s ce n’ e st j us te me nt q u’ une m ét ap ho re

aidant l’intuition (et la trompant aussi parfois) et plusieurs autres “ingrédients” sont

né c es sa i re s p o ur é la b o re r une m ét ho de e ffic ac e .

7.2 Les ingrédients de l’optimisation par essaim

particulaire (OEP)

Comme souvent en la matière et après la remarquable p ercée conceptuelle de ses

inventeurs, James Kennedy et Ru ssel Eb erhart [Kennedy et al. 95 ], ce n’est qu’après

pl us ie u rs a nné e s d’ e xp é ri me nt ati on s et de ré fle x io ns t hé or iq ue s q u’ ont é té dé g ag é s l es

él éme nts es sen tie ls de la mé tho de, qui p eu vent être re gro up és en tr ois cl ass es : des

objets, de s relations en tre ces ob je ts, et des mécanismes

de g es ti o n de s é lé me nt s de

ces deux classes. Ces distinctions sont certes un p eu arbitraires, mais p ermettent une

pr és e nt at io n g én ér al e et mo du la i re , c ha cu ne de s c om p o sa nt es du s ys tè me p o uva nt ê tr e

mo difiée p our construire des variantes de l’algorithme.

7. 2. 1 Les ob je ts

Rapp elons que le problème à résoudre se présente sous la forme d’un ensemble

d’ é lé me nts ( so uv ent l es p o ints d’ un s ou s- es pa c e ré e l m ult idi me n si on ne l) , l’ espace de

définition, et d ’ u n e m ét h o d e ca p a b l e d’ a s s i gn e r u n e va l e ur nu m é ri q u e à ch ac u n d e c e s

él éme nts. Dans de no mbre ux ca s, il s’ agi t d’une fo nct ion ca lcu lab le par une fo rmul e

un iq ue , m ai s ce p e ut ê tr e a us si un mo dè l e de pro c es su s i ndu st ri e l, v oi re ce pro c es su s

lui-même.

Les ob jets de l’algorithme sont de trois sortes :

– les exploratrices , particu les censées p arcourir l’esp ace de définit io n. À chaque

ex plo rat rice sont asso ci ées sa p os iti on et la val eur de ce tte p os iti on. So uve nt,

on lui asso cie également une “vitesse” (en fait un déplace ment), que l’on p eut

co nsi dére r al ors co mme une var iabl e in term édi aire ma nipu lée par l’ alg ori thme

p ou r c alc ul er l es p os it ion s s ucc es si ve s ( vo ir 7. 2.3 .3 ). M ai s ce n’ es t p as to u-

j ou rs le c as , il e st é ga le m en t p o ss ib le de c al cu le r di re c te me nt la no uv e ll e p o si -

tion [ Kennedy 03]. Par ailleu rs , une exploratric e p ossède des caractéristiques

co mp or tem enta les (en pra tiq ue des co effici ent s num éri que s év entu ell eme nt va-

riables) qui sont utilisés p our calculer son déplacement à chaque itération

(cf. 7.2.3.3).

– les mém oriseurs , a g e nt s m ém o r is a nt c ha c un a u m oi n s un e “ b o n ne ” p o s it i on

trouvée par les exploratrices, ainsi que sa valeur. Historique me nt et enc ore très

souvent, se ule la de rniè re me ill eure p os iti on tr ouvé e est ai nsi ga rdé e en mé moi re.

- 200 -

7.2 Les ingrédients de l’optimisation par essaim particulaire (OEP)

M ai s, là e nc or e, il p e ut ê tr e i nt ér es sa nt d’ e n c on se rv e r pl us ie u rs p o ur éva lu er

une t en da nc e et a da pt er en c on sé qu e nc e la s tr at ég i e de dé p la ce me nt .

– les générateurs de nombres , qu i se ro nt e n pa rt ic uli er s ol li ci té s lor s du c al cu l de s

dé p la ce me nts de s e xp lo ra tr ic e s.

Notons qu’il est parfois utile de définir aussi un espace d’évolution p o ur l es ex pl ora tr ic es,

pl us l ar ge q ue l ’e sp ac e de dé fi nit i on . P ui sq ue le pr in ci p e de l ’o pt im is at i on i té ra ti ve e st

de c he rche r une s ol ut io n da ns l ’e sp ac e de dé fi nit i on , il p e ut s em bl er c uri e ux de l ai ss er

de s e xp lo ra tr ic e s se dé p la ce r en de h or s de c et e sp ac e. M ai s no us v er ro ns q ue c ’e st une

option qui a son intérêt (cf. 7.2.3.5).

Le nombre d’exploratrices et celui de mémoriseurs n e sont pas nécessairement

co nst ants. Dans les ve rsi ons pri mit ive s d’ OEP et dans les ve rsi ons st anda rds c’ est

le cas et c e sont des paramètres de l’algorithme défin is par l’utilisateur, mais dans

ce rta ine s ve rsi ons ad apt ati ves il ex ist e des st rat égi es d’ augm entat ion et de di minut ion

en fo nct ion de l’avan cem ent du pro ce ssu s d’ opti mis ati on (c f. la se cti on 7. 2.3 ).

Dans la mesure où un mémoriseur “p ossède” une p osition qui p eut varier au c ou rs

du t em ps , il e st pr at i qu e de c on si dé re r q ue c ’e st a us si une pa rt i cu le , d’ un t yp e sp é ci al .

Un ensemble de particules formant un essaim , o n p o u rr a d o nc a i n si p a r le r d ’ un

essaim-explorateur

et d’un essaim -mémoire

[Clerc 06b , Li 07 ]. Classiquement il n’y a

qu’un seul essaim de chaque typ e , mais en utiliser simultané me nt plusieurs est parfois

intéres s

ant.

Dans les premières versions d ’OE P, le générateur est unique et pro duit des nombre s

ce nsé s être al éat oir es dans un in tervalle donné se lon une di stri buti on uni for me. Des

ve rs i o n s u l t é r i eu r e s g a r d e nt l e c a ra c t è r e p s e u d o- a l é a t o ir e m a i s u t i l i s ent a u m o i n s u n

générateur supplémentaire, avec une distribution non uniforme (gaussienne, d e Lévy,

et c.) . Enfin, ce rta ine s re che rches sug gè rent qu ’il est p os sibl e d’ util ise r des gé nér ate urs

qui ne sont plus aléatoires mais se contentent de “lire” cycliquement une courte liste

de no mbr es pr éd é fini s. D an s ce c as , l ’a lg or it hm e , ha bi t ue ll em e nt c on si dé ré c om me

sto chastique, devient déterministe [Clerc 12].

7. 2. 2 Les re la ti ons

Nous verrons que les mémoriseurs reçoivent des informations de la part des exploratrices

et que, inversement, les exploratric es utilisent les informations en p ossess ion des

mémoriseurs p our orienter leurs déplacements (cf. 7.2.3.3). De plus, on p eut envisager

que le s mémoris e u rs eux-mê mes échangent des informations. Par conséquent, il est

né c es sa i re de dé fi nir de s l ie ns de c om mu ni ca ti o n entre t ou te s l es pa rt i cu le s, au s en s

large. Dans la forme la plus générale de l’algorithme, ces lien s sont :

– dy na m iq ue s, c ’e st -à - di re q u’ il s ne s on t pa s f or cé me nt l es m êm es à de u x i ns ta nt s

di ffé re nts ;

– pr ob a bil i st es , c ’e st -à - di re va lu és pa r une pr ob a bil i té , e ll e- mê m e é ve nt ue ll em en t

var i ab le , d e tr a ns me tt r e o u n on un e i nf or ma t io n.

Néanmoins, dans presque toutes les versions d’OEP, le nombre de mémoriseurs est

ég al à ce lui des ex plo rat rice s et ch aqu e ex plo rat rice en tre tie nt un li en d’ info rma tio n

bi di re c ti on ne l p e rm an en t avec “ so n” m ém or is eu r. On s im pl ifi e a lo rs la de s cr ip ti on en

di s ant q u’ il n’y a q u’ un s eu l typ e de pa rt i cu le , q ue l ’o n p o urr ai t a pp e le r “ co mp o sé e” ,

- 201 -


cumul ant les fo nct ion s d’ expl ora tio n et de mé mori sat io n. Dans tout ce qui suit et sauf

indication contraire, nous nous placerons dans ce cas de figure et ce qualificatif sera

omis. Dè s lo r s, s i un l i en d ’i nf o rm at io n e xi st e e ntre u n e pa rt i cu le ve rs u ne a u tr e, l ’o r ig in e

du l ie n e st s upp o sé e ê tr e la pa rt i e m ém oi re de la pr em i èr e, a pp e lé e informatrice, et

son ex trê mit é est supp os ée être la pa rtie ex plo rat rice de l’ aut re.

Po ur d é cr i r e l e f o n c t i on n e m e nt , i l e s t u t i l e d e d é fi n ir l a n o ti o n de voisinage d’ un e

pa rt i cu le (à un i ns ta nt do nn é ) : c ’e st l ’e ns em bl e de s pa rt i cu le s q ui o nt un l ie n d’ i nf or -

mation avec elle. L’ensemble de tous les voisinages forme la top ologie du système. Par

ex emp le, si “t out le mo nde p eut in form er tout le mo nde” , on pa rler a de la top ol ogi e

globale. Toutes les autres top ologies sont dites lo cales. Historiquement, la p remière top

ol og ie l o ca le a é té c el le d it e “ en an ne au ”, r ep rés ent ée s ur l a fi gu re 7 .1 (b ) D ’a utr es , p lu s

co mpl exe s et pa rfo is var iabl es, ont été dé vel oppé es en suit e, co mme ce lle s pré senté es

sur la figure 7. 2.

(a) Forme détaillée. (b) Forme simplifiée.

Figure 7.1 – Top ologie en anneau entre les explo ratrices et les mémoris eurs. Dans la repré sentation

simplifiée, on est supp osé savoir que chaque lien entre deux particules comp osées va en

fait de la partie “mémoire” de l’une vers la partie “explor atrice” de l’autre.

For m a l i sa t i o n

À un ins tant do nné, l ’ense mble d es rela tions p eut êt re repr ésent é par un g raph e

val u é G ( t) = ( S ( t ) , L ( t)) où les nœuds S co rre sp o nden t aux pa rtic ule s et les arcs L

aux liens d’information. Un arc est lui-même défini par trois éléments : son origine,

son ex trê mit é et sa val eur de pro bab ilit é.

En pr at i qu e, p o ur l es c al cu ls , on re pr é se nt e s ou ve nt la t op o lo gi e pa r une m at ri ce

ca rré e T de di me n si on s n ⇥ n, où n est la ta ill e de l’ ess aim et où l’ élé ment T (i, j ) est la

pr ob a bil i té q ue la pa rt i cu le i informe la particule j . Da ns de n ombr eus es ver si ons , cet te

pr ob a bil i té ne p e ut pr en dr e q ue l es va le ur s 0 ou 1 et l ’o n c on si dè re q u’ une pa rt i cu le

s’ info rme to ujo urs el le- mêm e. Le no mbre to tal de top ol ogi es est al ors de 2 n2n .

- 202 -


(a) Polyédrique (fixe) (b) Fo u r c l u st e r s (structure fixe, affec-

tation des nœuds variable)

Figure 7.2 – Deux exemples de top ologies. Les particules sont repré sentée s par des cercles. Tous

les liens sont bidirec tionnels. Pour 7.2(b) la stru cture est fixe, mais les particules sont affectées aux

nœuds du graphe en fonction des valeurs de leurs p ositions. C’est une top ologie semi-dy namique.

7. 2. 3 Les m éc ani sm es

7.2.3.1 Gestion des particules

Au minimum, il doit y avoir un mécanisme créant les particules nécessaires au

dé m ar ra ge de l ’a lg or it hm e ( pha s e d’ i nit i al is at i on ). É ve nt ue ll em en t , il p e ut en e xi st e r

un ou pl us ie u rs a ut re s p o ur c ré er de no uv e ll es pa rt i cu le s ul t ér ie ur em en t ou p o ur en

dé t rui re . No t on s q ue da ns ce de rn ie r c as on s ’é lo ig ne un p eu de la ph il o so ph ie i ni ti al e

de l ’O EP ( co op é ra ti on s s an s s él ec t io n) , pu is q ue , en g én ér al , on s upp ri me a lo rs de s

pa rt i cu le s c on si dé ré es c om me “ ma uva is es ”.

Po ur l a c r é a ti o n i n it i a l e , l a m é t h o d e l a p l us cl as s i q u e e s t d e d o n ne r à ch a q u e

pa rt i cu le une p o si ti on au ha s ar d da ns l ’e sp ac e de dé fi nit i on e t, s ou ve nt, a us si une

“v ite sse ”, ég ale me nt al éat oir e. Pl usie urs ét ude s ont donné à p en ser qu ’il ét ait in tére ssa nt

de pro c éd er à l ’i ni ti al is a ti on de s p o si ti on s no n pa s s el on une di s tri bu ti o n un if o rm e,

mais selon une distribution plus “régulière” (de faible divergence, en termes techniques).

Néanmoins, d’autres travaux in d iqu ent que l’effet de la distribution initiale s’estomp e

très vite, après quelques itérations et que, en pratique, les p erformances de l’algorithme

ne s on t pa s s ig ni fic at iv e me nt a mé li or ée s .

7.2.3.2 Gestion des liens d’information

Un mécanisme de coopération do i t a ss ur er t ro is f on ct io ns c on ce rn an t l es l ie ns

d’ i nf or ma ti on : c ré at io n, s upp re ss io n , va lo ri sa ti o n ( as si gn er une pr ob a bil i té ). P lu -

si eurs var iant es d’ OEP ut ilis ent un es sai m de ta ill e co nst ante et une top ol ogi e ég a-

lement constante. Dans ce cas, il suffi

t de créer initialement une fois p our toutes

les liens nécess aires à la top ologie choisie. Mais comme on p eut s’y attend re , cette

métho de n’est pas très efficace si les problèmes à traiter sont trop variés. On utilise

- 203 -


alors des top ologies adaptat ives, fondées sur des critères mathéma tiques, pseudogradient

ou autres [ M oh ai s 07, Lane et al. 08], ou inspirées de comp ortements so ciaux

ou biologiques [Richards et al. 03

, Janson et al. 05 , Bird et al. 06 , Jordan et al. 08,

Carvalho et

al.

09, Clerc 13].

D’ailleurs tout mo dèle de coop ération défini dans un autre contexte p eut être

adapté à l’OEP. Par exemple, les cinq mo des définis dans [ Nowak 06 ] inspir ent ceux

ut i li sé s da ns [ Clerc 13]. Ils sont resp ectivement fondés sur la récipro cité, la proximité,

la p are ntèle, la répu tation , ou l’altruisme complet (ce dernier étant équivalent à la

top ologie globale).

7.2.3.3 Déplacement des particules

Le princip e est que ch aqu e particule est soumis e à plusieurs tend ances :

– sui vre sa vi tes se pro pre ;

– aller vers les p ositions mémorisées p ar ses informatrices.

En pr at i qu e, le c al cu l du dé p la ce me nt se f ai t en t ro is é ta p es :

– Sé l ec ti o n, da ns le v oi sina g e de la pa rt i cu le , de s p o si ti on s m ém or is ée s q ui s er ont

effec tivem ent pri ses en co mpt e. So uve nt on ne co nse rve que la me ill eure , mais

ce p eut être plus et pa rfo is même to ute s [M ende s et al. 04].

– Po ur ch a c u n e , d é fi n i ti o n d ’ u n p o i nt “ p r o che ” ( e n g é n ér a l a u h a s ar d ) , p u is d u

dé p la ce me nt v ir tu el q ui c on du ir ai t la pa rt i cu le en ce p o in t. No t on s q ue , au

moins originel lement, “pro che” signifiait dans un domaine limité d’un côté par

la p osition courante e t de l’autre par un p oint u n p eu au-delà de la p osition

mémorisée utilisée (voir la figure 7.3).

– Combinaison de ce ou de ces déplacements et d’une fraction de la vitesse propre,

ce qui donne le dé plac em ent ré el.

– Application de ce d éplacement réel à la particule.

– Éve nt ue ll em e nt, si la pa rt i cu le s or t de l ’e sp ac e de dé fi nit i on , a ppl i ca ti o n d’ un

mécanisme de confinement (cf. 7.2.3.5).

Figure 7.3 – Illustration de la définition de “proche” p our le calcul d’un déplac ement.

La figure 7.4 visualise ce calcul. La définition d’un p oint “pro che” fait appel à

un g én ér at e ur de no m bre s . Qu a nd il s ’a gi t de no m bre s a lé at o ir es i ss us d’ un e l oi no n

un if o rm e, on ut i li se ty pi qu em en t une di s tri bu ti o n do nt la de n si té dé c ro ît avec la

di s ta nc e. La c om bi na is on de s dé p la ce me nt s v ir tu el s et de la v it es se e st ha bi t ue ll em e nt

une c ombi na i so n l in éa ir e. Ap pl iq ué à la p o si ti on c ou ra nt e, ce dé p la ce me nt do nn e

la nouvelle p osition ou, plus préc isément, une nouvelle p osition p armi toutes celles

- 204 -


p os si bl es d u f ai t d e l ’u ti li sat io n d u g én ér at eu r d e n omb res . Pou r c et e ns emb le d e

p os it io ns, o n pa rl era de distribution des prochaines positions possibles (DPPP).

Figure 7.4 – Déplac ement d’une particule dans le cas d’une seule informatrice utilisée et

d’une combinaison linéaire des déplac ements virtuels. On ajoute trois vect eurs repré sentant trois

tend ances : vers la meilleure p osition renc ontrée, vers la meilleure connue dans le voisinage et

vitesse propre (en ralentis sant).

7.2.3.4 Gestion des paramètres

Le calcul du déplac e m ent utilise généraleme nt deux ou trois paramètres numériques

(cf. 7.3.1). Dans le cas le plus simple, ils sont constants et définis par l’utilisateur,

mais de très nombreux typ es de variations ont été prop osés. Les plus rudimentaires

sont ju ste des évol uti ons en fo nct ion du seul no mbre d’ ité rati ons , les plus so phis tiq ués

adaptent les valeurs en fonction d es informations recueillies au cours du pro cessus

[ Xie et al. 02, Ueno et al. 05, Iwasaki et al. 06 , Pa rs o p ou l o s et al. 07 , Zhan et al. 09 ,

Al-Sharhan et al. 12]. Un axe de recherche est la mise au p oint d’un algorithme le plus

adaptatif p ossible, dans lequel l’utilisateur n ’au rait à a juster lu i-même aucun des mécani

s me s [ Clerc 03 , Co oren et al. 08, Dos Santos Co elho et al. 09 , Pa rs o p ou l o s et al. 10 ,

So ua d L ar ab i et al. 10, Mekni et

al.

11].

7.2.3.5 Confinement et contraintes

Le type d’optimisation considéré ici est toujours sous contraintes, en ce sens

que la solution est recherchée dans un espace de d é finition b orné. Généralement, on

se conte nte de do nner pour ch aqu e var iabl e un in tervalle ou une li ste des val eurs

admissibles, mais les contraintes p euvent être plus compliquées et présentées sous la

f or me de dé p e nd an ce s e nt re va ri ab le s.

- 205 -


Quand un e particule atteint une p osition qui ne resp ecte pas toutes les contraintes,

on a deux options :

– Laisser faire et ne pas évaluer la nouve lle p osition. Du p oint de vue de la

pa rt i cu le , t ou t se pa s se c om me si l ’e sp ac e de dé fi nit i on é ta it é te nd u en un e sp ac e

d’ é vo lu ti on c on st it ué d’ un pl a te au . D an s la m es ur e où e ll e e st c on st am me nt

attirée par des p ositions mémorisées dans l’espace de définition, elle y reviendra

tôt ou tard. Cette méthode a ceci d’intéressant qu’elle ne nécessite pas de

pa ra m èt re s né c es sa i re me nt pl us ou m oi ns a rbi t ra ir es , m ai s sa c on ve rg en ce e st

souvent as sez lente ;

– Appliquer une métho de de confinement, soit immédiat e t complet, soit progressif.

La plupart de ces métho des sont utilisables par tout algorithme itératif et ne sont

donc pas présentées ici. Cep endant, certaines sont sp écifiques à l’OEP, en particulier

pa rc e q u’ el le s a gi ss en t no n s eu le me nt sur la p o si ti on , m ai s a us si sur la v it es se , é lé me nt

qui n’existe pas dan s tous les algorithmes. Les plus simples arrêtent la particule à la

f ro nt iè re de l ’e sp ac e de dé fi nit i on et s oi t a nnu le nt sa v it es se , s oi t, pl us g én ér al e me nt,

réduisent sa valeur absolue et inversent sa d irection, parfois plus ou moins au hasard

(cf. [Clerc 06a][Helwig et al. 07]).

7.3 Quelques versions d’OEP

Nous avons maintenant tous les éléments p our décrire le fonctionnement de quelques

versions d’OEP. Il n’est évidemment pas p ossible de les présenter toutes. Pour le lecteur

intéres s é, plusie urs synthèses plus ou moins complètes ont été publiées (cf. par exemple

[ E l- Ab d 08, Pa rs o p ou l o s et al. 10 , E sl am i et al. 12 ]). Ici, nous allons seulement détailler

des versions successives que l’on p eut qualifier de “standard”, c ar restant trè s

pro che s de la v er si on hi s to ri qu e [ Ke nn ed y et al. 95].

7. 3. 1 19 98 . Une ve rs io n de ba se

Les caractéristiques sont les suivantes :

– La taille de l’essaim est constante et donnée par l’utilisateur.

– L’initialisation des p ositions et des vitesses se fait au hasard selon des distributions

uniformes.

– Chaque particule mémorise la meilleure p osition rencontrée (au début, évidemment,

c’est la même que la p osition initiale).

– La top ologie est globale, c ’e st-à-dire que chaque particule informe et est informée

pa r t ou te s l es a ut re s.

– L’information transmise est la meilleure p osition mémorisée dans le voisinage

(qui comprend la particu le elle-même).

– Le déplacement d’une particule est calculé indépendamment pour chaque

di me n si on de l ’e sp ac e d’ é vo lu ti o n, en c om bi na nt l in éa ir em en t t ro is é lé me nt s :

la vites se courante, la p osition mémorisée et la meilleure p osition mémorisée

da ns le vo is in ag e ( do nc , i ci , da ns l ’e ss ai m t ou t e nt ie r) , à l ’a id e de coeffi

ci ent s

de confiance . L e c o effi c i e nt p o u r l a v i t e s se , a p p e l é e a u s s i s o u ve nt inertie , es t

co nst ant. Les deux au tres sont ég aux et val eurs ma xim ale s d’une var iabl e

- 206 -


aléatoire uniforme. Si nécessaire, le déplacement est diminué, afin que sa valeur

absolue ne dépasse pas un seuil prédéfini (notion de “vitesse” maximale). En

effet, sans ce tte pré ca utio n, il n’ est pas rare que l’ ess aim te nde à “e xpl ose r”.

– Les critères d’arrêt sont un n ombre maximum d’itérations prédéfini ou une

val e ur m i ni ma le at te int e .


On supp ose que l’on cherche le minimum global d’une fonction f do nt l ’e sp ac e de

dé fi nit i on e st E = D

d=1

xmin,d , x max,d

.

Éléments

Position d’une particule i à l’instant t :

x i (t) = x i,1 ( t )

. . . , xi,D ( t)

Vitesse d’une particule i à l’instant t :

vi (t) = vi,1 ( t )

. . . , xvi,D ( t)

Meilleure position mémorisée d’une particule k à l’instant t :

p k (t) = pk,1 ( t )

. . . , pk,D ( t)

Indice de la particule mémorisant la meilleure position de

tout l’essaim : g

( t)

Paramètres

Taille de l’essaim : n

Déplacement maximum en valeur absolue : vmax

Inertie (coefficient de confiance “en soi”) : 0 < w <

1

Coefficient de confiance cognitive : c1 > 1

Coefficient de confiance sociale : c2 = c1

Des ordres de grand eurs classiques sont 0. 72

p o ur w et 1. 2

p o ur

c1 et c2 .

Initialisation

Pour chaque particule i de position et chaque dimension

d

x i,d (0) = U x min,d , x max,d

(U = distribution uniforme)

p i,d (0) = x i,d (0)

v i,d (0) = U x min,,d , x max,d

xi,d (0) /2

(dans certaines variantes on a v i,d (0) = 0)

Indice de la meilleure position mémorisée initiale : g (0)

Po ur a ll é g e r l e s f o r mu le s , o n n ot e r a c i - d e ss o u s s i m p l e me nt g au lieu de g ( t)

Déplacement

Pour chaque particule

i et chaque dimension

d

v i,d ( t + 1) =

w v i,d (t) + c 1 pi,d ( t)

x i,d ( t)

+ c 2 pg,d ( t)

x i,d ( t)

v i,d ( t + 1)

> vmax ) v i,d ( t

+ 1) =

vmax

v i,d ( t + 1)

< vmax ) v i,d ( t + 1) = v max

x i,d ( t + 1) =

x i,d (t) + v i,d ( t)

Confinement

Pour chaque particule

i et chaque dimension

d

- 207 -


x i,d ( t + 1)

> x max,d ) x i,d ( t + 1) =

x max,d et v i,d ( t

+ 1) = 0

x i,d ( t + 1)

< x min,d ) x i,d ( t + 1) =

x min,d et v i,d ( t

+ 1) = 0

Mémorisation

Pour chaque particule i

si x i 2 E

f

( x i ( t + 1)) < f ( p i (t)) ) p i ( t + 1) =

x i ( t

+ 1)

(sinon p i ( t + 1) =

p i ( t ))

f

( p i ( t + 1))

< f pg ( t)

) g = i (sinon g ne change pas)

Itération

Itérer les phases Déplacement et Mémorisation

tant qu’aucun critère d’arrêt n’est satisfait.

7. 3. 2 De ux ve rsi ons “s ta nd ard ” am él io ré es

L’utilisation de la version de base a ré vélé quelques défauts, en particulier :

1. du f ai t de la t op o lo gi e g lo ba le , il y a s ou ve nt c on ve rg en ce pr ém a tu ré e ve rs un

p oi nt q ui n ’e st mê me p as f or cém ent u n m in imum l o ca l [ La ngd on et al. 07] ;

2. né c es si t é de dé fi nir a rbi t ra ir em ent un dé p la ce me nt m ax im um et c on st at du f ai t

que changer sa valeur p eut changer les p erformances ;

3. le comp ortement de l’algorithme dép end du système de co ordonnées choisi.

Ce dernier p oint mérite quelques précisions, tant il prête à des interprétations variées

[ Wilke et al. 07, Auger et al. 09 ]. Le rep ère p eut être pivoté ou trans laté, ou les

de u x. La s en si bi li té à la ro t at io n v ie nt du f ai t q ue le c al cu l du dé p la ce me nt se f ai t

indép endamment p our chaque dimension. Cep endant, comme l’espace de définition

n’ e st q ua si me nt j am ai s une hy pe r sph è re c en tr ée sur le c en tre de ro t at io n, f ai re pi v ot er

le repère mo difie le paysage d e la fonction dont on cherche l’optimum. D’ailleurs ,

cet op timum p eut même so rtir du no uve l es pac e de dé finit ion et être donc re mpla cé

pa r un a ut re . Au tr e me nt di t , le pr ob lè m e pi v ot é n’ e st pa s i de nt iq ue au pr ob lè m e

initial et toute c omparaison des p erformances es t alors sans grande signification.

De plus, évidemment, une rotation p eut aussi b ie n induire un e amélioration de la

p er fo rm an ce qu ’u ne d ét ér io rat io n, d’ au ta nt qu e, p ou r d es ra is on s m ath ém at iqu es

assez subtiles, l’algorithme de base trouve plus facilement une solution si elle est près

d’ un a xe de co o rdo n né es ou m êm e d’ un e di a go na le – et a fortiori si c’ est l’ orig ine

[Monson et al. 05, Clerc 06a, Sp ears et al.

10].

Le p oint 1 a rapideme nt conduit à l’utilisation de top ologies lo cales constantes,

co mme ce lle en an nea u vue plus ha ut, et bien d’ autr es, dont un ré cap itul ati f p eut être

trouvé dans [ M en de s 04]. Pour traiter efficacement de plu s larges classes de problèmes,

on a ensuite défini et utilisé des top ologies variables.

Le p oint 2 a sus cité des études montrant qu’il est p ossible de s’affranchir de la notion

de dé p la ce me nt m ax im um à c on di ti on de ne pa s c ho is ir i ndé p e nd am me nt l es co e ffic ie nt s

de c on fia nc e ( no ti on de c on st ri ct io n ). La pl us a nc ie nn e a é té di ffus é e i nf or me ll em e nt en

1999 (mise en ligne sur Internet), puis utilisée [Eb e rha r t et al. 00 , Carlisle et al. 01 ],

ava nt d ’ ê t r e p u b l i é e [ Clerc et al. 02]. D’au tres travaux l’ont simplifiée [ Trel ea 03 ] ou

él arg ie [Van den Be rgh 02, Po li 08 b].

- 208 -


Le p oint 3 a été partiellement pris en compte également as s ez tôt (vers 2003), mais

da ns u ne va ri an te t ot al e me nt a da pt at ive ( pa rt ic ul es , t op o lo gi e , pa ra m èt re s nu mé ri q ue s)

qui s’éloigne sensiblement de la version de base [Clerc 03 , Co oren et al. 09]. Nous

pr és e nt on s i ci d’ a b o rd une v er sion q ui mo di fie a m ini m a la v er si on de ba s e p o ur t ra it er

au moins partiellement les p oints 1 et 2, puis une version qui a joute le traitement du

p oi nt 3 , ce qu i né ce ss ite d e m o di fier l es f ormu le s d e c al cu l d es d ép la cem ent s. Pou r ce s

de u x ve rs io ns , a pp e lé e s re s p e ct ive me nt SP SO 2 00 7 et SP SO 2 01 1 (Standard Particle

Swarm Optimisation) les co des en différents langages sont disp onibles, parmi d’autres,

à partir du Particle Swarm Central [PSC 13].

7.3.2.1 SPSO 2007

La top ologie n’est plus constante, mais mo difiée après toute itération qui n’a pas

app orté d’améli oration de la meilleure p osition connue. Dans ce cas, chaque particule

génère un nombre donné de liens (typiquement entre trois et cinq) vers des particules

choisies au hasard. Il en résulte que le voisinage de chaque particule (l’ensemble de

ses in form atr ice s) a une ta ill e p ouvant al ler de 1 à la ta ill e de l’ ess aim co mpl et, mais

se lon une di stri buti on st ati sti que non uni for me (une co urb e en clo che avec les val eurs

extrêmes p eu probables), comme on p eut le voir sur la figure 7.5. Cette métho de a été

dé fi nie da ns [ Clerc 05 ] et s’est révélée être un cas particulier de l’“étoile sto chastique”

pr és e nt ée da ns [ M ira n da et al. 08], même si la stratégie utilisée par ce s auteurs est

inverse, c’est-à-dire que la top ologie n’est mo difiée que si, au contraire , il y a eu

amélio ration

globale.

Les co efficients de confiance ne sont pas choisis arbitrairement. Selon les variantes,

ils sont soit liés par une relation de constriction [Clerc et al. 02 ], soit définis directement

pa r une a na ly se t hé or iq ue de la s ta gn at i on [ Clerc 06c, Po li 0 7 ]. Autrement dit, il n’y

a plus qu’une seule valeur à définir par l’u tili sat eur , l’au tre p o uvant s’en d édu ire .

Figure 7.5 – SPSO 2007. Distrib utions de probabilité p our la taille du voisinage d’une particule

à un instant donné. Le paramètre K est le nombre de liens d’information sortants générés par

les autres particules. La taille de l’essaim est de 20. Plus K est grand, plus la disp ersion est

imp ortante, ce qui, dans une certaine mesure, p eut être b énéfique.

- 209 -



Po ur l a c o n s tr i c t i o n s i m pl e , o n ch o is i t l ’ i n e r ti e w , typ i q u e m e nt ent r e 0 . 7 e t 0. 9 , e t

on en déduit les autres co efficients :

c1 = c 2 = ( w + 1) 2

(7.1)

2

Une valeur classiquement utilisée est w = 0 . 72, ce qu i d on ne c 1 = c2 = 1.48. No t on s

que la formule 7.1 est souvent présentée sous la forme inverse plus comp liquée de w en

f on ct io n de c1 . Pa r ai ll eu r s, l e cr it è re d e co ns t ri ct io n t hé or iq ue e s t en f ai t u ne i né ga li t é

c1 + c2 apple ( w + 1) 2 . So us c et te f or me , il p eut f ac il em ent êt re é te nd u au x vari ante s avec

pl us ie u rs i nf or ma tr ic e s e ffe ct iv e me nt ut i li sé es [

M en de s et al. 04 ]. En effet, s’il y en a

m, la formule de calcul du déplacement devient :

m

v i,d ( t + 1) =

w v i,d (t) +

c k p ↵( k ),d

( t)

x i,d ( t)

k=1

m

et la co ndit io n de vie nt

c k apple ( w

+ 1)

2 .

k=1

Po ur l e s c o effi

c i e nt s i s s u s d ’ un e a n a l y se d e s t a g n a ti o n , S P S O 2 0 0 7 r e ti e nt l e c o u pl e

suivant :

1

w = 2 ln(2)

' 0.

721

c1 = c2 = 1 2 + ln (2) ' 1 193

On remarquera que, p our une même valeur de w, les c ont u ne valeur plus faible

qu’avec la constriction simple. L’exploration de l’espace de recherche est plus prudente,

do nc pl us l en te , m ai s le ri sq u e de ne pa s “vo ir ” une p o si ti on i nt ér es sa nte e st pl us ré du it .

7.3.2.2 SPSO 2011

Il est identique à SPSO 2007 p our la top ologie et les paramètres, mais l’initia lisation

de s v it es se s e st un p eu di ffé re nt e. E ll e e st f ai te de m an iè re à ê tr e c er ta in q ue la pa rt i cu le

ne va pa s q ui tt er l ’e sp ac e de dé fi nit i on dè s la pr em i èr e i té ra ti o n. La mo di fic a ti on

es senti ell e p orte sur le ca lcu l du dé plac em ent : il n’ est plus fa it di mens ion par di mens ion ,

mais de manière vecto rielle, à l’aide d’hypersphères. Dès lors, le comp ortement de

l’algorithme (la séquence des p ositions explorée s) ne dépend plus du système de

co or donn ées . Le ca lcu l co mpl et se fa it en pl usie urs ét ape s, dé crit es dans la se cti on

Form al isa ti on cide ss ou s. L’é ta p e du choix d’u n p oi nt a u hasa rd dan s une hyp e rsp hè re

p eut se faire selon plusieurs distributions statis tiques. Il semble qu’une distribution

no n un if o rm e, de de n si té dé c ro is sa nt e avec la di s ta nc e au c en tr e, s oi t la pl us e ffic ac e .

Po ur p lu s d e d é ta i l s , vo i r l e c o de so u r c e ( [ P S C 1 3 ]) .


On n’indique ici que les diff

érences d’avec SPSO 2007.

- 210 -

7.4 Applications et variantes

Si nécessaire, l’espace de définition est normalisé pour

être un hypercube [x min , xmax ] D .

Initialisation de la vitesse :

v i,d (0) = U x min x i,d (0) , xmax x i,d (0)

Déplacement

Pour chaque particule i

Centre de l’hypersphère G :

xi (t)+pi( )

si i = g, G

= t

2 , sinon G = xi(t)+pi(t)+pg ( t)

3

Rayon r

= kxi ( t)

Gk

Sélection d’un point x 0 au hasard

dans l’hypersphère de centre

G et de rayon

r

Ajout d’une portion de la vitesse x i ( t + 1) =

x 0 + w v ( t)

Nouvelle vitesse v i ( t + 1) =

x i ( t + 1) x i ( t)

Figure 7.6 – S PS O 2 0 11 . C a lc u l d ’u n d é pl a c em e n t. G est le centre de gravité des trois p ositions

utilisées dans la version de base. On choisit un p oint au hasard dans l’hyp ersphère de centre G et

de rayon r , déplacé ensuite parallèlement à la vitesse cour ante, p our tenir compte de l’inertie.

7.4 Applications et variantes

Recenser tous les typ es d’applications n’est pas le but de ce chapitre. Régulièrement

pa ra i ss ent de s l is te s ré c ap it ul at i ve s et de s a rt ic le s m ont ra nt l ’é te nd ue et la va ri ét é de s

do m ai ne s da ns l es qu el s l ’O EP a é té ut i li sé e [ Po li 0 8a , AlRashidi et al. 09, Zou et al. 10 ,

Kulkarni et al. 11 , Ko th a r i et al. 12]. Ceci est dû entre autres au fait que les prérequis

p ou r l’ ap pli ca ti on de la mé th o de s ont tr ès s im pl es : i l s uffi t, co mm e i nd iq ué en 7. 2. 1,

d’av oi r un e sp ac e de dé fi nit i on et de s avo ir a tt ri bu er une va le ur à c ha cu n de s es

él éme nts. Né anmo ins , bien sûr, pour plus d’e ffica cit é, il est souvent né ces sai re de

mettre au p oint des variantes.

Les plus simples consistent à ne mo difier que les co efficients de confiance, par

ex emp le une in erti e dé cro issa nte avec le te mps [ Shi et al. 98]. Plus ie u rs autres sont

pr és e nt ée s da ns [ E sl am i et al. 12 ]. Certaines sont sp écialement conçues p our un type

- 211 -


do nn é de pr ob lè m e, pa r e xe mp le m ult i -ob j ec ti f [Reyes-Sierra et al. 06

] ou d y n a m i q u e

[ Bl ackw ell et al. 02, Li 10 ] ou d is cre t ou m êm e comb ina to ire . Da ns c e de rni er

ca s, les var iant es les plus effica ce s né ces sit ent de dé finir différ emm ent les

“d épla ce ments” (qui de vie nnen t des p ermut ati ons d’ élé ment s) et le urs co mbi nais ons

[ Clerc 04, Deroussi et al. 06 , P ie ro bo m et al. 11 ]. D’autres, au contraire, cherchent à

être ut ilis abl es sur un la rge sp ec tre de pro blè mes , par l’ util isa tio n de mé can ism es

d’adaptation [Helwig et al. 09, Co oren

et al. 09, Yasuda et al. 10, Ismail

et al.

12].

Po ur le s pr o b lè m e s co nt inu s , di s c re t s ou hé t ér o g è n es (à l’ e x c lu s i o n , d o n c , d e s

pr ob lè m es c om bi na to i re s) , l es ve rs io ns s ta nd ar ds pr és e nt ée s pl us ha ut o nt e xp li ci t em ent

p ou r o b j et d ’ê tr e d es mé th o de s d e r éf ére nc e q ue t ou te var ia nt e s e d oi t d e s ur pas se r

p ou r êt re i nt ér es sa nt e. E lle s so nt do nc p ar e ss en ce a ss ez f ac ile s à a mé lio re r. À t it re

d’ e xe mp le une va ri ante s im pl e de SP SO 2 01 1 e st pr és e nt ée en An ne x e.

7.5 Pour approfondir

Outre le Particle Swarm Central [P SC 13 ], déjà cité, le lecteur intéressé p ourra

co nsul te r avec profit d’ autr es so urce s d’ info rma tio n, plus co mpl ète s, y co mpri s, bien sûr,

les nombreux autres articles ou livres qu’il p ourra trouver sur Internet, en particulier

ceux dé diés à des ap plic at ions sp éc ifiq ues .

Les premiers ouvrages , relativement anciens, mais restant utiles p our comprendre

les princip es de base :

– Swarm Intel ligence [Kennedy et al.

01] (par les inventeurs de la métho de) ;

– L’optimisation par essaims particulaires. Versions paramétriques et adaptatives

[Clerc 05].

Des livres ultérieurs, au contenu enrichi par de nombreux travaux, tant th é oriques

qu’exp érimentaux :

– Particle Swarms : The Second Decade [Poli et al. 08] ;

– Particle Swarm Optimization and Intel ligence : Advances and Applications

[Parsop oulos et al. 09].

Des livres et thèse s présentant des développements plus récents :

– Dev elopment of Efficient Particle Swarm Optimizers and Bound Hand ling

Methods [Padhye 10] (thèse) ;

– Particle Swarm Optimization in Stationary and Dynamic Environments [Li 10 ]

(thèse) ;

– Particle Swarms for Constrained Optimization [Helwig 10] (thèse) ;

– Dev elopment and testing of a Particle Swarm Optimizer to hand le hard unconstrained

and constrained problems [Innocente 10] (thèse) ;

– Particle Swarm Optimization : Theory, Techniques and Applications [Olsson 11 ]

(livre) ;

– Handbook of Swarm Intel ligence [Panigrah i et al. 11] (livre).

- 212 -

7.6 Annexe

7.6 Annexe

7. 6. 1 Un ex em pl e si mp le

La fonction Trip o d est définie sur [ 100,

100]

2 pa r la f or mu le s ui vante :

si x 2 < 0 alors

f

( x1 , x2 ) = |x1 | + | x 2 + 50|

sinon, si x1 < 0 alors

sinon

f

( x1 , x2 ) = 1 + |x 1 + 50 | +

|x 2 50|

f

( x 1 , x 2 ) = 2 + |x 1 50 | +

|x 2 50|

E ll e a un m ini mum g lo ba l en (0 , 50) (vale ur 0) et deux minimums lo caux, ( 50,

50)

(valeur 1) et (50, 50)

(valeur 2), dont les bassins d ’attrac tion sont resp ectivement

[ 100, 100] ⇥ [0 , 50] , [0 , 100] 2 et [ 100, 0] ⇥ [0 , 100] . La taill e du premier é ta nt le

do ub le de c el le de s a ut re s, on c on si dè re q u’ un b on a lg or it hm e do i t a tt ei nd re un t au x

de ré us s it e sup é ri eu r à 50 % dè s q ue l ’e rr eu r a dm is si bl e e st i nf ér ie ur e à 0 .0 00 1 et le

no mbre de p o ints é ch ant il lo nn és ( et do nc le no m bre d’ é va lu at io ns ) e st sup é ri eu r à

10000. Ce n’est pas si facile (voir par exemple SPSO 2007 dans le tableau 7.1). Sur ce

genre de prob lème, l’OEP classique cumule deux handicaps. L’un, commun à toutes les

métho des sto chastiques, est le risque de convergence vers un minimum lo cal. L’autre,

pl us sp é ci fiq ue , e st dû au f ai t q ue , grosso modo, tou te s le s vit es se s tendent vers zéro.

Si c et te dé c ro is sa nc e e st t ro p ra pi de , la pa rt i cu le c on ce rn ée p e ut c on ve rg er ve rs un

p oi nt q ue lc onq ue , c om me s ur la fig ur e 7 .7 (b ).

(a)

(b)

Figure 7.7 – SPSO 2011 sur Trip o d. Deux trajec toires. Le p oint de départ est et le p oint

d’arrivée . Sur 40 particules, une dizaine seulement conv ergent vers la solution, comme en

7.7(a), les autres vers un p oint qui n’est même pas un minimum lo cal, comme en 7.7(b).

- 213 -


7. 6. 2 SP SO 20 11 avec c orr él ati on s di st an ce -val eu r

Dans les ve rs ions vues p lu s haut, les probabilités p ondérant les liens d’in f ormation

sont si mple ment 0 ou 1 et les li ens sont pur eme nt so ci aux sans au cune ré fér enc e à

une di s ta nc e. Une pa rt i cu le p e ut en i nf or me r une a ut re t ou t a us si bi e n en é ta nt t rè s

pr o c he q ue t rè s é lo ig né e . P ou rt an t, il p e ut a rri v er q ue pl us une pa rt i cu le s ’a pp ro c he

d’ un e b o nne p o si ti on , pl us sa pr op re va le ur s ’a mé li o re . En f ai t, p o ur t ou t a lg or it hm e

itératif classique, il est nécessaire que ce tte c ondition soit vraie en probab ilité p our

qu’il ait une certaine efficacité [

Clerc 07 ]. Il est donc tentant de tirer parti de ce genre

d’ i nf or ma ti on . P ar e xe mp le , da ns [Pe ra m et al. 03 ], on calcule des rapp orts “distance

sur val eur” pour ch aqu e di mens ion et on co nst ruit une no uve lle p os iti on à pa rtir des

pa rt i cu le s o ffra nt l es m ei ll eu rs ra pp o rt s. P ou r SP SO 2 01 1, et p o ur re s te r da ns l ’e sp ri t

d’ un a lg or it hm e i ndé p e nd ant du s ys tè me de co o rdo n né es , on p e ut t ou t s im pl em en t

éval uer une co rré lat ion di sta nce -val eur au tou r d’une b onne p os iti on et mo di fier en

co nsé que nce le ce ntr e et le rayon de l’hyp er sphè re supp ort de la DP PP. L’ idé e est que

pl us la c or ré la ti o n e st g ra nd e, pl us il e st pr ofi ta b le de c on ce nt rer la re c he rche a ut ou r

de la b o nne p o si ti on .


Sélection des

D particules

(x↵1 , . . . , x↵D )les plus proches de pg ( t ) .

Les valeurs de leurs positions sont (f↵1 , . . . , f↵D )

Calcul des distances euclidiennes d↵j = x↵j pg ( t)

Calcul du coefficient de corrélation moyen

P ⌘

D

j=1⇣

f↵

⇢ =

j

f( pg(t))

d↵ j

var (f↵ 1 f( pg(t)),...,f↵ D

f( pg(t)))var (d↵ 1 ,...,d↵ D )

Centre de l’hypersphère dépendant de ⇢ :

si ⇢ 0,

sinon

G

(⇢) = G

(0) + ⇢ pg ( t) G (0)

,

G (⇢) = G (0) ⇢ ( x ( t) G

(0)),

où G (0) est le centre G tel que calculé dans SPSO 2011

Rayon de l’hypersphère dépendant de ⇢ :

r

(⇢) = rmax ⇢+1

2 rmax

où rmax est le rayon r tel que calculé dans SPSO 2011

Dans cette formalisation linéaire rud i me ntaire, le rayon est nul en cas de corrélation

pa rf a it e ( ⇢ = 1 ). La particule se contente de se déplace r dan s la mê me direction, en

ralentiss ant.

7. 6. 3 Co mp ar ais on de tr oi s var ia ntes si mp le s

Le tableau 7.1 donne les taux de réussite (sur cent exécutions) des trois algorithmes

que nous avons vus , à savoir SPSO 2007, 2011 et sa variante avec corrélation dis-

- 214 -

7.6 Annexe

tance/valeur, p our treize problè me s . Le détail d e ces problèmes est ici sans imp ortance

(les six derniers se trouvent dans [ Su ga nt ha n et al. 05], à part le fait que les deux

de rn ie rs ne s on t pa s pi v ot és ) , ce q ui c om pt e é ta nt l es va ri at io ns de s t au x de ré us s it e.

M êm e s i, en m oye nn e, l ’a mé li o ra ti on s emble e ffe ct ive, ce n’ e st pa s t ou jo ur s le c as

p ou r ch aq ue p rob lè me p ris in di vi due ll em ent. D e f ai t, c e j eu d ’e ssa i a pr éc is éme nt é té

co nst ruit p our ce la, afin de me ttr e en év ide nce l’ imp or tanc e du ch oix des pro blè mes qui

le comp osent (voir la discus sion en 7.6.4.3). On constate au passage que ces versions

ne s on t pa s a da pt ée s a ux pr ob lè m es bi na i re s ( Ne two rk ) ou t rè s di ffic il es ( Shi f te d

Rastrigin), d’où la nécessité de variantes sp écifiques.

7. 6. 4 De qu el qu es pi èg es

Des pièges concernant l’OEP p euvent guetter les chercheurs ou les utilisateurs ...

ou les deux ! D’ailleurs ces différentes sortes de chausse-trappe s se retrouvent p our

bi e n d’ a ut re s m ét ho de s . P ou r un c he rche u r, le c ar ac tè r e t ro mp e us em ent int ui ti f de la

métho de p eut inciter à tenir p our acquis tel ou tel comp ortement, alors qu’il ne se

vé ri fi e p as e n r é a l i té . U n u t i l is a t e u r , e s t im a nt , s u r l a f o i d ’ u n a r t i c le p u b li é , q u’ u n e

ce rta ine var iant e de vra it être effica ce p our son cas de fig ure, p eut être dé çu, car le

j eu d’ e ss ai ut i li sé da ns l ’a rt ic le n’ e st pa s su ffis am en t re pr é se nt at if de s pr ob lè m es ré e ls .

Po ur l e s d e u x , l ’ u ti l i s a ti o n d u p s e u do - a l é a t oi r e p e u t c o n d ui r e à q u e l qu e s s ur p r i s e s, c a r

les différents générateurs ne sont pas équivalents. Donnons ici juste quelques exemples.

7.6.4.1 Exploitation et exploration

Deux fonctions imp ortantes d’un algorithme itératif sont l’exploration (de l’espace

de re c he rc he ) et l ’e xp lo it a ti on ( au to ur d’ un e p o si ti on pr om e tt eu se ) , pa rf o is a pp e lé es

dive rs ifi ca ti o n et i nt en si fic at io n . On a ffirme pa rf o is q ue l ’é qu il ib re e nt re l es de u x

est cr ucia l p our l’e ffica cit é, sans le vé rifie r à l’ aide d’une dé finit ion me sura ble de

ces no tio ns. Dans le co nte xte de l’ OEP, c’ est p ou rtan t as sez fa cil e, car les p os iti ons

prometteuses sont les meilleures p ositions mémorisées par les particules. Il suffit donc de

f or ma li se r l ’e xp re ss io n “ au to ur de ” p o ur dé fi nir l ’e xp lo it a ti on e t, pa r c om pl ém en t ar it é,

l’exploration. Quand l’algorithme travaille dimension par dimension, comme dans de

no mbr eu se s v er si ons, on ut i li se pa r e xe mp le un hy pe r pa ra ll él ép ip è de c on te na nt la

p os it io n p ro me tte us e. Qu an d l ’al go rit hm e e st i nd ép e nda nt d u s ys tè me d e c o or don né es ,

on utilise une hypersphère. On p eut alors calculer u n rapp ort exploi tation/ex ploration,

sui vre son év olu tio n et ch ercher s’il y a co rré lat ion en tre ce lle -c i et l’e ffica cit é.

Le p oint imp ortant est que, exp érimentalement, p our l’OEP, nulle corrélation de

ce ge nre ne semble ex ist er. Le ra pp o rt p eut pa rfa ite ment évol uer de ma niè re très

dé s éq ui li br ée et l ’a lg or it hm e ê tr e p o urt a nt t rè s e ffic ac e , l ’i nve rs e é ta nt é ga le m en t v ra i.

C’est qu’en fait l’optimum p eut être trouvé de plusieurs manières différentes, aus si bien

“en pa ssa nt”, par une se ule pa rtic ule de vi tes se non né gli gea ble , que co lle ct ive ment,

pa r un e ns em bl e de pa rt i cu le s de v it es se s t en da nt v ers z ér o. Le pi è ge e st i ci p o ur le

ch er ch e u r qu i , me t t a nt au p oi nt un e n o uve l l e var i a nt e, e s t im e i nt ui t i ve me nt , m ai s

p eu t- êt re à t ort , q u’ el le am él io re l’ éq ui lib re e xp loi ta ti on/ ex pl ora ti on.

- 215 -


Tabl eau 7.1 – Comparaison de SPSO 2007, SPSO 2011, SPSO 2011 avec corrélation distanc

e/valeur. Taux de réussite en % p our 13 problèmes. Il n’y a pas forcément amélioration p our

chacun d’eux, mais, en moyenne, chaque variante est proba blement meilleure que la préc édente.

E sp ac e de Éva lu at io ns SP SO SP SO 2 01 1

dé fi nit i on pr éc i si on 2007 + c o r r é l .

Trip o d [ 100, 100] 2 10000 49 79 62

0.0001

Network { 0, 1}

38 5000 0 0 0

⇥ [0 , 20] 4 0

St e p

10

[ 100,

100]

2500 100 99 100

0.0

Lennard-Jones [ 2, 2] 15 635000 94 50 100

(5 atomes) 10 6

Gear train

4

{ 12, . . .

60}

2. 7 ⇥ 10 8 58 30

(entier)

10 13

Pe rm

5

{ 5, . . . ,

5}

10000 14 36 49

(entier) 0

Compression {1, . . . , 70} ⇥ [0 . 6,

3] ⇥ 20000 35 81 88

spr ing [0 . 207, 0. 208, . . . , 0.

5] 10 10

Sh if t ed

30

[ 100,

100]

200000 100 100 100

Sp he re 0.0

Sh if t ed

10

[ 100,

100]

100000 71 50 74

Rosenbro ck 0.01

Sh if t ed

30

[ 5. 12, 5.

12]

300000 0 0 0

Rastrigin 0.01

Sh if t ed

10

[ 100,

100]

100000 100 100 100

Schwe fe l

10 5

Sh if t ed

10

[ 600,

600]

100000 7

39 33

Griewank 0.01

Sh if t ed

10

[ 32,

32]

100000 99 100 100

Ack le y 10 4

Moyenne 52.07 60.9 63.02

- 216 -

7.6 Annexe

Formalisation dans le cas dimension par dimension

Po ur ch a qu e d im e n s i o n d , on c l a s s e l e s c o o r d o n n é e s de s “ b o n n e s ” p o s it i o n s mé m o -

risées p j ( t)

pa r o rdr e c ro is sa nt . On a a lo rs :

x min,d apple p ↵d(1),d ( t ) apple . . . apple

p ↵d( S ),d apple x max,d

Pa r c o nve nti o n , o n n o te r a p ↵d(0),d = x min,d et p ↵d(S+1),d = x max,d . On d i r a a lo r s

que x i ( t + 1)

est un p oint d’ expl oit at ion au tou r de p j ( t)

si, p our to ute di mens ion d ,

si ↵ d (k ) = j , alors :

pj,d ( t)

pj,d ( t)

p ↵(k1),d ( t)

apple x i,d ( t + 1) apple p j,d (t)+

p ↵(k+1),d ( t)

p j,d ( t)

où est un co effici ent in féri eur à

1/ 2

(typiquement 1/

3).

7.6.4.2 Le taux de réussite

Quand il y a utilisation de nombres aléatoires, on p eut calcule r une estimation du

taux de réussite p our un problème donné en exécutant plusieurs fois l’algorithme, aprè s

avoir défini ce que “réussite” veut dire. Classiquement, en cas de minimisation, il s’agira

de t ro uver da ns l ’e sp ac e de dé fi nit i on une p o si ti on do nt la va le ur s oi t i nf ér ie ur e à un

se uil pré défi ni. Si l’on ex éc ute M f oi s l ’a lg or it hm e et q u’ il y a m réussites, l’e stimation

du t au x e st m/M , ma i s qu e ll e e s t la c o n fia n ce q u e l ’o n p eu t l u i ac c or d e r ? S i , p o u r

un pr ob lè m e do nn é et un a lg or it hm e do nn é on t ra ce la c ou rb e Ta ux de ré us s it e vs

Nombre d’exécu tion s , très générale me nt elle os c ille avant de se stabiliser plus ou moins,

pa rf o is a prè s s eu le me nt de no m bre us e s e xé c ut io ns , c om me le m ontre la fig ur e 7 .8 .

Il est donc utile d’estimer sa distribution statistique et, au minimum, sa moyenne

et son éc art -typ e. Pour ce fa ire , on p eut par ex emp le la nce r 100 fo is 100 ex éc utio ns

(bien sûr sans réinitialiser le ou les générateurs aléatoires). Les 100 taux obtenus nous

p ermettent de tracer une courb e comme celle de la figure 7.9. Il n’est pas rare que

p ou r 3 0 ex éc ut io ns, l ’é ca rt- ty p e s oit d ’a u mo in s 1 0 % e t, p ou r q u’ il s oi t in fé ri eu r à

1 %, i l f a u t p a r f o i s p l us d e 1 0 0 0 e x é c u t i on s . A i n s i , p o u r u n pr o b l è m e d o n n é , si l ’ o n

lance 30 fois l’algorithme A, p our u n taux de réussite de disons 60 %, puis 30 fois

l’algorithme B, p our un taux de 55 %, en conclure que A est meilleur que B est p our

le moins risqué.

7.6.4.3 Le jeu d’essai

Aucun jeu d’essai ne p eut refléter la diversité des problèmes réels. Né an moin s, on

p eu t t ente r d e l e r en dre s uffis am me nt re pr és enta ti f p o ur q ue , s i l es r és ul tat s d ’u n

algorithme sont satisf aisants s u r lui, il y ait de b onnes chances que cela soit aussi

le cas sur les problèmes de l’utilisateur final. À ce t égard, comme d éjà signalé, de

no mbr eu se s va ri an te s de l ’O EP pr és e nt ent l ’i nc on vé ni ent de t ro uv er pl us f ac il e me nt

la solution si elle a une p osition “sp éciale”, par exemple su r un axe ou une diagonale

de l ’e sp ac e de dé fi nit i on , o u, a fortiori, au c ent re . De te ls prob lè me s so nt di ts biaisés

[Sp ears et al. 10] et s ont donc totalement à proscrire d ans un jeu d’essai.

- 217 -


Pa r a i l l eu r s , i l e s t t r è s f ac i l e , vo i r e t rè s t e nt a nt, d ’ avo ir u n j e u d ’ e s sa i q u i s u r e s t im e

les capacités d’un algorithme. Par exe mple, s i l’on considère celui utilisé p our le tableau

7.1 et que l’on enlève les problèmes 4, 9 et 13, l’on p ourra conclure que SPSO 2011 est

toujours largement meilleur qu e SPSO 2007, ce qui est faux.

Figure 7.8 – Évolution typique d’un taux de réussite en fonction du nombre d’exé cutions. Après

30 exéc utions, le taux estimé est de 73 %, alors que la valeur réelle est d’environ 61 %.

Figure 7.9 – Distribution stat is tique typique d’un taux de réussite. Estimation d’après 100

séries de 100 exéc utions. Ici, l’écart-typ e reste encore sup érieur à 4 %.

- 218 -

7.6 Annexe

7. 6. 5 De l ’i mp or ta nc e des gé né ra teu rs de nombr es

P re sq ue t ou te s l es v er si on s d’ OE P s on t s to c ha st iq ue s et pr és um e nt q ue l eu rs

générateurs aléatoires sont parfaits. Cela est évidemment faux lorsqu’il s’agit de

pr og ra m me s et no n de s ys tè me s m at ér ie ls ( qu an ti que s , pa r e xe mp le ) . Par e xe mp le ,

tous les générateurs purement logiciels sont cycliques. Deux conséquences de ce

ca rac tèr e im parf ait sont à pre ndre en co mpt e. D’ une pa rt, les ré sult ats des te sts

st ati sti que s qui supp os ent l’ indé p en danc e des ex éc utio ns suc ce ssi ves sont à co nsi dére r

ave c p r é c a ut i o n c a r , d è s q u e l e n o mb r e d e n o mb r e s g é n é r é s e s t e nv i r o n é g a l à l a m o i t ié

de la l on gu eu r du c yc le , l es e xé c ut io ns p e uv ent pr éc i sé me nt ne pl us ê tr e va la bl em e nt

co nsi déré es co mme in dép en dant es. D’ aut re pa rt, p our un même pro blè me et un même

algorithme, l’utilisation de générateurs différents p eut donner des résultats eux-mêmes

se nsib lem ent différents, co mme le mo ntre nt le ta ble au 7.2 et la figure 7. 10. Ai nsi que

l’écrit Hellekalek [Hellekalek 98] :

Ne faites pas confiance à des résultats obtenus avec un seul type de

générateur ; vérifiez-les avec plusieurs générateurs largement différents

avant de les prendre en compte série usement.

Tab le au 7.2 – Comparaison des résultats obtenus par SPSO 2011 sur 13 problèmes, avec deux

géné rateurs aléatoires, KISS [ Marsaglia et al. 93 ] et Mersenne Twister [Mats umoto et al. 98]. Le

taux de réussite est en %. Pour certains problèmes (Gear Train, Shifted Griewank), les écarts sont

imp

ortants.

P ro bl èm e KISS Mersenne Twister

Taux de E rre ur

Taux de

E rre ur

réussite moyenne réussite

moyenne

Trip o d 79 0.146 72 0.154

Network optimisation 0 108.7 0

111.8

St e p 99 0.01 99 0.01

Lennard-Jones 4 2.027 1

2.151

Gear train 58 1. 9 ⇥ 10

46 2. 6 ⇥ 10

Pe rm f u nc t i o n 36 308.78 29 342.79

Compression spring 81 0.0033 79 0.0035

Sh if t ed Sp he re 100 0 100

0

Sh if t ed R os enbro c k* 0 208.49 0

51.16

Sh if t ed R as tr ig in 0 51.2 0

48.7

Schwe fe l 100 8. 63 ⇥ 10 100 9. 81 ⇥ 10 Sh if t ed G rie wa nk 39 0.0216 32 0.0223

Sh if t ed Ack le y 100 8. 76 ⇥ 10 100 8. 86 ⇥ 10 Moyenne 53.5 % 50.6 %

* Po ur c e p r ob l èm e , l es va le u rs m oye n ne s n e s ont p a s s ig n ifi c a ti ve s, c a r s ur l e s

100 exécutions, la disp ersion est énorme.

- 219 -


Figure 7.10 – SPSO 2011. Écarts relatifs d’erreurs moyennes sur 13 problèmes, sur 100

exéc utions, avec les géné rateurs aléatoires KISS et Mersenne Twister.

7.7 Glossaire

exploratrice : part icu le parc ou rant l’ es pace de recherche.

générateur de nombres : m é ca n i s me q u i , i nt er r o g é , re t o u rn e u n e va l e ur n um é r i qu e .

Le plus souvent, il s’agit d’une o ccurrence d’une variable aléatoire selon une

di s tri bu ti o n pr éd é fini e ( uni f or me , g au ss ie nn e, e tc .) .

mémoriseur : parti cule m émori sant u ne ou pl usieu rs "b o nnes " p osit ions tr ouvé es

pa r de s e xp lo ra tr ic e s.

OEP : Op timi sa tion par E ss aim Pa rti cu lai re .

PSO : Parti cle Swarm Op tim is atio n.

top ologie : en s emb le d e s voi si n ag es d a ns u n es s ai m de p a rt ic u le s ou , d e fa ço n

éq uival ent e, en sem ble des pa rtic ule s et de le urs li ens d’ info rma tio n.

voisinage d’une particule : en s e mbl e d e s pa r t i cu l e s ayant un l i e n d ’i n f o rm a t io n

ve rs c e l le - c i .


Pa rm i l es n o mb re u s e s r é f é r e nc e s d on n é e s d a n s c e ch ap i t r e , o n p e u t e n s é l e c ti o n n e r

un p e ti t no m bre q ui , l ue s da ns l ’o rd re c hro n ol og iq u e, de v ra ie nt do nn e r une b o nne

co nna issa nce de la mé tho de. En effet, en sui vre la ge nès e et ses dé vel oppe me nts est

ut i le p o ur m ie ux la c om pr en dr e.

[Kennedy et al. 95] : l’article fondateu r des inventeurs de la métho de. Les formules

ut i li sé es s on t p eu e ffic ac e s, m ai s l es pr in ci pe s de ba s e v ont re s te r l es m êm es

da ns l es v er si on s ul t ér ie ur es .

[Kennedy et al. 01] : pa r l es m êm es a ut eu rs , un g ro s l iv re ( prè s de 5 00 pa g es ), q ui

pr és e nte pl us ie u rs a sp e ct de l ’“ in te ll ig e nc e en e ss ai m” . Un c ha pi tre e st é vi -

de m me nt c on sa cr é à l ’o pt im is at i on pa r e ss ai ms pa rt i cu la ir es , m ai s re pl a cé e

da ns un c on te x te pl us g én ér al .

- 220 -


[Clerc et al. 02] : un article (primé par l’IEEE), contenant la première analyse mathématique

de la métho de . Un p eu ardu, mais avec des conséq uences pratiques

imp ortantes et encore largement u tilis ées (règles dites “de constriction”).

[Mendes 04] : un t ra va il d’ e nv er gu re ( th ès e de do c to ra t) a na ly sa nt de no mbr eu se s

top ologies statiques et les p erformances induites.

[Clerc 05] : le premier livre sp écifiquement consacré à la métho de. Présente entre

autres la version qui sera la base des standards successifs (2006, 2007,

2011), avec une top ologie variable. En français et il existe une version en

anglais ([Clerc 06b] )

[Mohais 07] : une a ut re t hè se de do c to ra t p o rt an t sur l es t op o lo gi e s, m ai s dy na m iq ue s.

[Parsop oulos et al. 09] : après quatorze ans d’études et d’ap plications, il y a largement

matière à une sorte de bilan. Les 300 pages de ce livre n’y suffisent pas,

mais donnent quand même une b onne idée de l’état de l’art.

Po ur ce u x p l u s s p éc i a le m e nt i nt é re s s é s p a r l ’o p t i m is a t i o n mu lt i - o b j e ct i f , l e l i vr e

[ Reyes-Sierra et al. 06] reste e ncore la rgement d’act ualité . Enfin, p our s e tenir au

co ura nt des de rniè res avan cée s, des pro gra mme s dé vel oppé s, des ch ercheurs co nce rné s,

il convient de mentionner le p ortail Internet Particle Swarm Central (http ://particl

eswar m.in fo) .

- 221 -

Deuxième partie

Variantes, extensions et conseils

méthodologiques

223

Chapitre 8

Quelques autres

métaheuristiques

I lh em

B ou ss aï d

Université des Scienc e s et de la Technologie Houari Boumediene, Bab-Ezzouar, 16111

Alger,

Algérie

ilhem.boussaid@u-pec.fr

8.1 Introduction

Le domaine des métaheuristiques suscite depuis déjà plus ie u rs années un intérêt très

grand dans la communauté scientifique. Nous nous prop osons de retracer quelques unes

de s pr in ci pa l es é ta p es aya nt m ar qu é l ’h is to ir e de s m ét ah eu ri st iq ue s . Une c on tr ib ut io n

pi o nni è re e st la pr op o si ti on de la m ét ho de du re c ui t s im ul é pa r Ki rk pa t ri ck , G el at t

et Vecchi en 19 83 [ Kirkpatrick et al. 83 ]. En 1986, la métho de tab ou est développée

pa r G lo ver [ Glover 86 ]. La même année, Farmer, Packard et Perelson travaillent sur

les systèmes immunitaires artificiels [ Farm er et al. 86]. En 1988, Koza dép ose son

pr em i er br ev e t sur la pr og ra m ma ti on g én ét iq ue , pu bl ié pl us t ar d en 1 99 2 [ Ko za 9 2 ].

En 1 98 9, G ol db e rg pu bl ie un de s l iv re s l es pl us c on nu s sur l es a lg or it hm es g én ét iq ue s

[ Goldb erg 89]. En 1992, Dorigo termine sa thèse de do ctorat, dans laquelle il décrit son

travail novateur sur les algorithmes de colonies de fourmis [ Dorigo 92 ]. En 1993, Walker,

Hallam et Willshaw prop osent le p re mier algorithme basé sur les colonies d’ab eilles

[ Walker et al. 93]. Un autre progrès imp ortant est le développement de l’optimisation

pa r e ss ai m pa rt i cu la ir e pa r Ke n ne dy et Eb e rha r t en 1 99 5 [ Kennedy et al. 95]. La même

année, Hansen et Ostermeier prop osent la métho de CMA-ES (Covariance Matrix Adaptation

Evolution Strategy) [Hansen et al. 95 ], et Feo et Re s e nde prop osent la métho de

GRASP (Greedy Randomized Adaptive Search Procedure). E n 19 96 , M üh le nb e in e t

Pa aß p r o p os e nt l e s a l g o r it h m e s à e st i m a t i on d e d i s t ri b u t i o n [ M ühl e nb e in et al. 96 ]. En

225

Chapitre 8 – Quelques autres métah euristique s

1997, Storn et Price prop osent u n algorithme à évolution différentielle [ St o rn et al. 97].

En 2 00 1, G ee m et al., inspirés par le pro cessus d’imp rovisation des musiciens, prop osent

l’algorithme Harmony Search [ Geem et al. 01 ]. En 2002, Passino intro duit l’algorithme

d’ o pt im is at io n BFO (Bacterial Foraging Optimization algorithm), qu i m o d él is e l e

co mp or tem ent de reche rche de no urrit ure et de repro duc tio n des ba cté rie s [Pa ss i n o 0 2 ].

En 2 00 6, un no uvel a lg or it hm e, Group Search Optimizer (GSO), basé sur le mo dèle

“pro duc te ur-cha pard eur 1 ” e st p ro p os é pa r [He et al. 06 ]. En 2008, Simon prop ose un

algorithme d’optimisation b asé sur la théorie de la biogéographie insulaire [ Si mo n 08].

En 2 00 9, Ya ng et al. pr op o se nt l ’a lg or it hm e

Cuckoo Search (CS) qui s’inspire du

co mp or tem ent qu ’ont ce rta ine s esp èc es d’ oise aux à “s qua tte r” le nid d’ autr es esp èc es

en y p on dant le urs pro pre s œuf s. La même an née , un nouvel al gor ithm e d’ opti mis ati on

basé sur la loi de la gravit ation universelle de Newton, nommé Gravitational Search

Algorithm (GSA), est prop osé par Rashedi et al.

[Rashedi et al. 09

]. Puis en 2010,

Yang [Yang 10 a] p ro p os e un e no u ve ll e mé ta h eu ri st iq ue b as é e su r le c om p or t em ent

d’ é cho l o c at io n c he z l es c ha uve s- so ur is , Bat-Inspired Algorithm .

Les métho des les plus connues ont été présentées dans les pre mie rs chapitres de

ce livre. Ce chapitre ne prétend pas l’exha ustivité mais il esp ère ab order et présenter

quelques autres métaheuristiqu e s :

– sy stè mes im munita ire s ar tific ie ls ;

– l’évolution différentielle ;

– l’algorithme BFO (Bacterial Foraging Optimization Algorithm) ;

– l’algorithme BBO (Biogeography Based Optimization) ;

– les algorithmes culturels ;

– les algorithmes co évolutionnaires.

Certaines de ces métho des sont qualifiées d’algorithmes évol ut ionnaires, bien qu’elles

n’en utilisent pas tous les concepts. C’est le cas par exemple des algorithmes à évolution

di ffé re nt ie ll e, de s a lg or it hm es co é vo lu ti o nna i re s et de s a lg or it hm es c ul tu re ls .

8.2 Systèmes immunitaires artificiels

Les travaux sur les systèmes immunitaires artificiels (AIS, Artificial Immune

Systems ) o nt c o m m e n c é da n s l e m i l i e u d e s an n é e s 1 9 8 0 ave c l ’ a r t i c l e de Fa r m e r ,

Pa ckar d e t Pe r e l so n [ Farm er et al. 86]. Ils sont inspirés du fonct ionnement du système

immunitaire

humain.

Le système immunitaire est un réseau de cellules, de tissus et d’organes qui

travaillent ensemble p our défendre le corps contre les attaques d’agents étrangers,

no t am me nt i nf ec ti e ux , s usc e pt ib le s de m en ac er s on b on f on ct io nn e me nt ou sa s urv i e.

L’organisation du sys tè me immunitaire en réseau de communication, lui confère trois

pr op ri ét é s e ss en ti el le s : ( 1) une i mp o rt an te c ap ac it é d’ échanges d’informations ; ( 2 )

une f or te régulation p e rme tt ant d e p ré ser ve r e n p er ma ne nc e l’ éq ui li bre d u sy st èm e

immunitaire p our ab outir à une rép onse immunitaire adaptée ; et ( 3 ) u n r ôl e effecteur

1. Les animaux utilisent différentes stratégies p our se nourrir : soit consacrer leurs efforts à chercher

leur nourriture seuls (stratégie pro ducteur), soit attendre que les producteurs réussissent à trouver la

nourriture p our les y rejoindre (stratégie chapardeur).

- 226 -

8.2 Syst èmes immunitaires artificiels

p er fo rm ant ca pa bl e d e p ro tég er l ’i nt égr it é d e l ’o rga ni sm e. De s tr ava ux r éce nt s e n im -

mu no l o g i e c a ra c t é r i s ent l e s y s t è m e i m mu n i t ai r e à l a f o i s c o m m e u n s ys t è m e b i o lo g i q u e

mais aussi comme un réseau cognitif. En ce sens, le système immunitaire partage

de s pr op ri ét é s du s ys tè me c og ni ti f c om me la plasticité (ou capacité d ’ac qu is ition)

d’ i nf or ma ti on , la reconnaissance, l’ apprentissage et la mémoire . Ansp ach et Varela

[ Anspach et al. 92 ] sout ienn ent l ’idé e que “ le système immunitaire est, lui aussi, un

réseau cognitif, non seulement parce qu’il manifeste des propriétés cognitives similaires,

ou au moins comparables, à cel les du cerveau, mais, de façon plus intéressante, parce

que dans les deux cas il s’agit de propriétés émergentes, qui résultent d’états globaux

du réseau biologique ” [ Four nie r 11] La métaphore, dont sont issus les algorithmes AIS,

met en plus l’accent sur le caractère hautement distribué et auto-organisé du s ys tè me

immunitaire.

On classe habituelleme nt les cellules immunitaires en cellules de l’immunité innée

(ou naturelle, non sp écifique, sans mémoire, mais de décle n chement rapide ) et cellules de

l’immunité adaptative (dite acquise ou sp écifique). Les cellules de l’immu n ité innée sont

de de u x t yp es . On di s ti ng ue de s c el lu le s c ap ab le s de c ap te r et de dé t rui re l es é lé me nt s

ét rang ers (i mpli ca tio n sur tou t des phagocytes ) e t d e s c e l l u l es c a p a b l e s d e c a p t e r ,

d’ a ppr ê te r et de pr és e nt er l ’a nt ig èn e ( im pl ic at i on s s urt o ut de s cel lules dendritiques ).

Les cellules de l’immunité adaptative sont les lymphocytes. O n distingu e deux typ es

de lympho cytes : les lympho cytes T, resp onsables de la rép onse immune cellulaire, et

les lympho cytes B pro duisant les anticorps (rép onse humorale). Les lympho cytes B

et les ly mpho cy tes T sont ca pab les de re con naît re sp éc ifiq uem ent des an tig ène s par

leurs récepteurs BCR (B cel l receptor) ou TCR (T cel l receptor)

resp ectivement, créés

au cours de leur pro cessus de maturation. Cette acquisition se fait dans les organes

lymphoïdes primaires, que sont la mœlle osseus e (bone marrow) p o ur l es l ym ph o cyt es

B, et le thymus p our les ly mpho cy te s T, d’où leur nom. La figure 8.1 fa it ap para îtr e la

liaison d’un antigène à son récepteur sp écifique exprimé à la s urface du lympho cyte.

Les princip es puisés dans les systèmes immunitaires, comprenant la reconnaissance

de motifs, l ’ hypermutation, l a sélection clonale, l a théorie du danger, l a théorie des

réseaux immunitaires et bien d’ autr es, ont in spiré b e auc oup de che rche urs dans la

co nce pti on d’ outi ls d’ ingé nie rie p our ré soud re des tâ che s co mpl exe s.

La famille des AIS p eut être divisée en quatre types d’algorithmes :

1. les algorithmes de s é le c tion négatifs [Forrest et al. 94] ;

2. les réseaux immunitaires artifi c iels [Jerne 73] ;

3. les algorithmes de sélection clonale [de Castro et al.

02] ;

4. la théorie du danger [Aikelin et al. 02 ] e t l e s al g o r i th m e s d e c e l lu l e s d e n d ri t i q u e s

[Greensmith et al. 05].

- 227 -


Antigène

Récepteur du lymphocyte B (BCR)

Épitopes

Antigène

Lymphocyte T

Cellule présentatrice

d'antigène (CPA)

(a) lympho cyte B réagissant avec un

antigène (Ag) libre en solution

(b) un antigène pathogène est présenté

par la CPA au lympho cyte T

Figure 8.1 – La reco nnaissance de motifs dans le système immunitaire (l’épitop e est une

région de l’antigène reconnue par des réce pteurs membranaires des lympho cytes : le BCR des

lympho cytes B ou le TCR des lympho cytes T).

Une discuss ion détaillée de ces algorithmes p eut être trouvée dans

[ Timmis et al. 08] et [ Dasgupta et al. 11 ]. Le lecteur p ourra également se référer à

[ Hart et al. 11, Zheng et al. 10 , Timmis et al. 10 , Hart et al. 08 ] p o u r u ne s y nt h ès e

due à pl us ie u rs a ut eu rs et à [ Dasgupta et al. 11] p ou r une b ibl iog raph ie ex ten sive.

Citons aussi quelques ouvrages de référence [ Dasgupta 98 ] et [de Castro 02] qui offr ent

une b onne introduction aux AIS.

8. 2. 1 A lgo ri th me s de sé le ct io n né ga ti ve

La sélection négative est le principal mécanisme dans le thymus qui élimine les

ce llu les au to- réa cti ves , c’ est -à- dir e les ly mpho cy te s T p or teur s de ré cep teu rs ayant une

trop forte affinité p our les antigènes du soi. Identiquement, dans les systèmes immuni-

taires artificiels, le pro cessu s de sélection négative gén è re des détecteurs p ermettant la

reconnaissance du non- s oi.

L’algorithme de sélection négative a été initialement introduit par Forrest et al.

en 19 94 [ Forr est et al. 94]. Le p oint de départ de cet algorithme est de pro duire un

en semble d’ élé ment s du soi, ( S ), qui définissent l’état normal du s ys tè me . L’idée est

alors de gén érer un ensemble de détecteu rs, (D ), c ap ables de recon n aître le n on - s oi.

Chaque détecteur généré est comparé avec les éléments du soi. S’il en détecte un, il est

supprimé, sinon il est gardé. Cet algorithme p eut être résumé dans l’algorithme 8.1.

Une variété d’algorithmes de sélection négative a été élab orée et a été largement

ut i li sé e en dé t ec ti o n d’ a no ma li es [ Ji et al. 07, Timmis et al.

08].

- 228 -


Al gorit hm e 8.1 Sé l ec ti o n né g at ive

Donnée : S = un en semble d’éléments du soi, T a = un seuil d’affinité

Résultat : D = un e ns embl e de détecteurs p ermet tant l a re co nn ais sance du non-soi

rép

éter

Générer aléatoirement des dé tecteurs p otentiels e t les place r dans un ensemble

( P

)

Déterminer l’affinité de chaque élément de (

P ) avec les éléments d u soi dan s (S )

si au moins un détecteur de ( P ) recon naît u n éléme nt du soi d ans (S ), selon un

se uil Ta alors

Le détecteur est rejeté

sinon

Le détecteur est a j ou té à l’ensemble des détecteurs (D )

ju squ ’à le critère d’arrêt est satisfait

8. 2. 2 La sé le ct io n c lo nal e

La théorie de la sélection clonale p ermet d’expliquer comment une rép onse immunitaire

est activée en présence d’un antigène du non-soi. Cette théorie stipule que

les cellules de l’immunité ont à leur surface des récepteu rs sp écifique s capables de

reconnaître les antigène s . Quand un antigène se lie à son récepteur sp écifique exprimé à

la surface du lympho cyte, ce dernier est activé et commence à se diviser, donnant ainsi

na i ss an ce à de no m bre us e s c el lu le s fil l es i de nt iq ue s, ce q ue l ’o n a pp e ll e expansion

clonale . L es cl o n e s a u t o - ré a c t i f s s o nt é l i mi n é s l o r s d e l e u r d é ve l o p p em e nt e t s o nt d o n c

absents d u rép ertoire des lymph o cytes matures. Tou t clone des cellules activées est

ca pab le de se différ enc ier soit en ce llu les effec tri ces à co urte durée de vi e, di spar ais sant

après éradication de l’agresseur, soit en cellules mémoire. Ce pro cessus survient à la

f oi s av ec l es l ym ph o c yt es T m ai s a us si avec l es l ym ph o c yt es B. La s eu le di ffé re nc e

est que les ce llu les B sub iss ent une hypermutation so mat iqu e dur ant leur pro lif éra -

tion contrairement aux cellules T. Ces mutations entraînent surtout une maturation

d’a ffini t é p o ur l ’a nt ig èn e re nc o ntré . La fig ur e 8 .2 i ll us tr e le pr in ci p e de la s él ec t io n

cl ona le.

Cette théorie de la sélection clonale a inspiré de nombreux algorithmes. Le plus

connu, nommé CLONALG [ de Castro et al. 02 ], est basé sur les mécanismes immunitaires

adaptatifs des lympho cytes B. L’algorithme 8.2 illustre les différentes étap es de

la sélection clonale dans CLONALG. De nombreux autres algorithmes basés sur la

sé lec tio n cl ona le ont été prop os és dans la li tté rat ure et ont été ap pliq ués à un la rge

éven tai l de pro blè mes d’ opti mis ati on et de cl ass ific ati on [ Hart et al. 08]. Une description

des caractéristiques de base de ces algorithmes et de leurs domaines d’application

est pré sen tée dans [U luta s et al. 11].

- 229 -


Expansion clonale et diérenciation

M

Sélection

Maturation des

M

récepteurs

Cellules mémoire avec

récepteurs à forte anité

Antigènes du non-soi

Cellules plasma

Figure 8.2 – Princip e de la sélection clonale.

Al gorit hm e 8.2 Algorithme de sélection clonale

Donnée : S = ens emble de m otif s à rec onn aît re, n= nombre de s élé ments le s plu s

mauvais à sélec tionner p our le remplacement

Résultat : M = ensemble des déte ct eu rs mémoi re

Créer une p opulation aléatoire d’anticorps ( A)

rép

éter

Déterminer l’affinité de chaque motif d’antigène dans (

S ) ave c ch acu n de s anti co rp s

da ns

( A).

Sé l ec ti o nne r l es a nt ic or ps ay ant la m ei ll eu re a ffini t é av ec l ’a nt ig èn e.

Générer des clones des anticorps sélectionnés. Le nombre de clones est prop ortionnel

à la mesure d’affinité.

Mutation : L’ensemble des anticor ps dupl iqu és subit des mutations a fin d e mieux

rép ondre aux antigènes. Le taux de mutation est inversement prop ortionnel à leur

affinité (plus l’affinité est grande plus le taux de mutation est faible).

Ajouter les clones mutés dans la p opulation ( A).

Les anticorp s avec la plus grande affinité sont sélectionné s comme anticorps mé-

moires et sont placés dans l’ensemble (M ).

Remplacement : R e m p la c e r l es (n ) a nt i c or p s av ec l a p l u s f ai b l e a ffi ni t é p a r de s

anticorps générés aléa toirement.


- 230 -


8. 2. 3 Ré se au i mmun it ai re ar ti fic ie l

La théorie du réseau immunitaire, énoncée par Jerne au début des années 1970

[ Jerne 73], stipule que le système immunitaire est u n réseau dans lequel tous les élé -

ments, lympho cytes, plasmo cytes, anticorps, reconnaissent non seulement les agents

ét rang ers à l’ org anis me, mais au ssi se re con nais sen t en tre eux et par là sont in terco

nne cté s. Les ré act ion s immuni tai res y sont dé crit es , non pas co mme une rép onse

sp éc ifiq ue à un stimulus ex te rne, mais co mme la ré sult ant e d’ inte rac tions co mpl exe s

entre les éléments du système. Ce sont donc les interactions entre les cellules qui

do nn e nt l ie u à l ’é me rg e nc e de ph é no mè ne s c om pl ex e s t el s q ue la mémoire, la tolérance

et la réactivité.

Les travaux de Farmer et al. [Farm er et al. 86 ] s ont c o n s i d é r é s c o m m e p i o n n i e r s e t

ils s ont à l’origine de la plupart des algorithmes de réseau immunitaire. Un algorithme

qui a reçu b eaucoup d’attention est aiNet, d’ab ord développé par de Castro et Von

Zub en [de Castro et al. 00 ]. Il a été par la suite sp écialisé dans une série d’algorithmes

d’ o pt im is at io n et de data-mining

da ns b e au co up de do m ai ne s. Le pro c éd é de l ’a lg o-

rithme aiNet est très similaire à celui de la sélection clonale (CLONALG), sauf qu’il

ex ist e un mé can ism e de sup pres sio n dé trui sant les ce llu les qui ont un ce rta in se uil

d’a ffini t é e nt re e ll es . L ’a lg or it hm e 8 .3 i ll us tr e l es é ta p es de a iN et . D ’a ut re s mo dè l es de

réseau immunitaire artificiel p euvent être trouvés dans [Dasgu p ta et al. 11].

Antigène

Reconnaissance de l'antigène

(Activation du réseau)

1

2 Molécule d'anticorps

2

Reconnaissance d’idiotope

(Suppression du réseau)

Idiotope

Figure 8.3 – La théorie du réseau immunitaire. La reco nnaissance de l’antigène par un anticorps

(réc epteur des cellules) conduit à l’activation du réseau, tandis que la reco nnaissance d’un idiotype

par un autre anticorps se traduit par la supp ression du réseau. L’anticorps Ab2 est considéré

comme l’image interne de l’antigène externe Ag, c ar Ab 1 est capable de reco nnaître l’antigène,

et aussi Ab 2 .

- 231 -


Al gorit hm e 8.3 AiNet

Donnée : S = en sem ble des mo tif s à re con naît re, nt = se uil d’a ffinité ré sea u,

ct = se uil d’a ffinité avec l’ ant igè ne,

h = no m bre de c lo ne s aya nt la pl us

f or te a ffini t é,

a = no m bre de s no uve au x a nt ic or ps à intro du ir e

Résultat : N = en sem ble des dé tec teu rs mé moi res

Créer un ensemble aléatoire initial du réseau d’anticorps, ( N

)

rép

éter

p ou r t out M ot if da ns ( S ) faire

Déterminer l’affinité de chaque motif dans (

S) avec ch ac u n d e s a nti c o r p s d an s

( N

)

Sé l ec ti o nne r un e ns emble d’ a nt ic or ps da ns ( N ) en fonct ion de leu r affinité avec

l’antigène .

Générer des clon es des anticorps sélectionnés prop ortionnellement à l’affi

nité.

Mutation : L’ense mble des anticorp s clonés subit d es mutations avec u n ta ux

inversement prop ortionnel à leur affinité.

Sé l ec ti o nne r l es ( h ) antic orps avec l a plu s gra nde a ffini té co mme a nticorps

mémoires et les placer dans l’ensemble (C ).

É li mi ne r t ou s l es é lé me nts de (C ) do nt l ’a ffi n i t é avec l ’a nt i gè n e e s t i nf é r i eu r e à

un s eu il pr éd é te rm in é ( ct ).

Incorp orer les éléments restants de (C ) dan s (N ).

Déterminer l’affinité entre chaque paire d’anticorps dans (

N ) et éliminer tous les

anticorps dont l’affinité est inférieure au seuil ( nt ).

Générer aléatoirement (a) nouve aux a ntic orp s et les a jouter à l’ensemble (N ).


8. 2. 4 A lgo ri th me s i nsp ir és de la th éo ri e du da ng er

La théorie du danger, développée par Polly Matzinger [M at zi ng e r 01], stipule que

ce n’ est plus le pa radi gme de la di stin cti on en tre le soi à pro tég er et le no n-so i à

comba ttre (c ara ctè re ét rang er) qui dé cle nche la rép onse immuni tai re, mais le ca rac tèr e

reconnu comme p otentielleme nt dangereux d’un constituant. La rép onse immunitaire

se déclenche parce que le système immunitaire reçoit des signaux de danger. Ces

si gna ux sont émis par des ré cep teu rs le uco cy ta ires lors de leur in tera ct ion avec des

motifs moléculaires asso ciés aux pathogènes (PAMP, Pathogen Associated Molecular

Pattern ). La rép onse immunitaire ne se déclenche donc pas en présence d’antigènes du

soi, et en ab senc e de si gna l de da nge r.

- 232 -

8.3 L’évolution différentielle

Les algorithmes qui s’inspirent de la théorie du danger sont encore à leurs balbutiements.

Les premiers travaux qui prop osaient une application de la théorie du danger

ont été publiés en 2002 par Aickelin et Cayzer [ Aikelin et al. 02 ]. Le pro jet interdiscipl

i na ir e “ Danger Project ”, in itié en 20 03 par Aickel in et al. [ Aickelin et al. 03], vise

à la compréhensio n, d ’u n p oint de vue immunologi que, des mécanismes d e détection

d’intrusion dans le système immunitaire humain et l’application des résultats à l’AIS,

en vue de l’ amé lio rat ion des ap plic at ions dans la sé curi té in form ati que .


L’algorithme à évolution diff érentielle (DE :

Diff erential Evolution

) a été prop os é

pa r R. St o rn et K. P ri ce da ns l es a nné e s 1 99 0 [ P ri ce et al. 05 , St o rn et al. 97] afi n

de ré s ou dre le pr ob lè m e d’a j us te me nt pa r p o ly nô me s de Tc he by ch ev (Chebyshev

polynomial fitting problem).

Al gorit hm e 8.4 É vol ut io n di ffé re nt ie ll e ( DE )

Donnée : N : nombr e d’in divid us par p op ulati on, f : fonc tion ob je ctif, F : Facteu r

de m ut at io n, C R : taux de croisement.

Résultat : ~Xopt minimisant f

Initialisation : Tirage aléatoire uniforme des individus dans le domaine de recherche

Éva lu at io n de c haq ue i ndi v id u de la p o pul a ti on

rép

éter

p ou r i = 1 à N

faire

Mutation : Création de nouveaux individus, Vi,g ~ , en a j o u t ant u n e p e r t u r b a t i o n

à un individu de référence ( rand ou be st )

Croisement : Création du vecteur d’essai ( trial individual

), U ~ i,g , en m él an ge ant

de s pa ra m èt re s de l ’i ndi v id u pr ove na nt de la p o pul a ti on pr in ci pa l e, ~X i,g , et

ceux de l’ indi vidu provenant de la mut at ion ~ Vi,g

fin

p ou r i = 1 à N

faire

Éva lu at io n du ve ct eu r d’ e ss ai ~U i,g

Sélection : Conservation de l’individu dont l’ob jectif est le meilleur entre la

p op ul at ion p ri nc ipa le e t l a p op ul ati on m o di fiée

si f ( ~U i,g ) < f ( ~X i,g ) alors

~ ~Xi,g+1

Ui,g

fin

fin


retourner la meilleure solution trouvé e ~Xopt

- 233 -


Comme tout algorithme évol ut ionnaire, une p opulation initiale est générée par

tirage aléatoire uniforme sur l’e n s e mble des valeurs possibles de chaque variable.

Après l’initialisation, l’algorithme effectue une série de transf ormations (mutation et

cr ois eme nt) sur les in divi dus, afin de fa ire évol uer la p op ulat io n de ma niè re pro gre ssi ve,

jusqu’à obtenir des solutions satisfaisantes. Chaque individu ~X i,g de la p op ul at i on

est ca rac tér isé par un ve ct eur ( X i,1,g , . . . , X i,D,g ) à l a généra tion g , où D dé s ig ne

la dimension de l’esp ac e de recherche. À chaque ité ration du pro cessus d’évolution,

ch aq u e in d i v i d u e s t d ’ a b o r d mut é , p ui s c ro i s é ave c s on mu t a nt. L a p h a s e d e sélection

intervient juste aprè s , par comp étition entre l’individu p ère ~X i,g et son de sce ndan t ~U i,g ,

le meilleur étant conservé p our la génération suivante ( g + 1). Ce pro cessus est rép été

p ou r ch aq ue i nd ivi du d e la p o pu la tio n in it ial e, e t mè ne d on c à la c ré ati on d ’u ne n ouve ll e

p op ul at ion d e ta il le i dent iqu e. L a mé th o de D E e st r ésu mé e p ar l ’a lgo ri thm e 8. 4.

Différentes variantes de DE ont été suggérées par Price

et al. [P ri ce et al. 05 ] et

sont cl ass iqu eme nt app el ées DE/x/y/z, o ù DE dé s ig ne l ’é vo lu ti o n di ffé re nt ie ll e ,

x f ai t

référence au mode de sélection (aléatoire ou non) du vecteur de référence p our la

mu ta t i o n , l a var i a b l e y est le no mbre de différ enc iat ions ut ilis ée s p our la p er turba ti on

du v ec te u r c ib le x et z dé s ig ne le s ch ém a de c ro is em en t , q ui p e ut ê tr e

binomial ou

exponentiel.

8. 3. 1 Les sché ma s de m uta ti on

La p h ase de mutation implique que, p our chaqu e individu de la p opulation ~ Xi,g

(target individual), u n nouve l indivi du ~ V i,g (mutant individual ) est gén éré, en a jou tant

à se s c o m p o s ant e s u n e d iff é r e n c e p on d é r é e d ’ a ut r e s i n d i vi d u s p r i s a l éa t o i r e m ent d a n s

la p opulation. Nous présentons ci-après les schémas de mutation les plus couramment

ut i li sé s.

DE/rand/1 : Pour chaqu e vec teur Xi,g ~ de la g én ér at io n g, on con stru it le ve cte ur

mu ta nt ~V i,g à p ar ti r d e tr o is ve ct e ur s ~Xr 1,g , ~Xr 2,g et ~Xr 3,g aléa toirement choisis

da ns le re s te de la p o pul a ti on , t ou s di ffé re nt s et di ff é re nt s de

~Xi,g . Le facte ur

F co ntrô le l’ ampl itu de du vec te ur d’ expl ora tio n ( Xr2,g ~ Xr3,g ~ ) :

~Vi,g = Xr ~ 1,g + F (

Xr2,g ~ Xr3,g) ~ (8.1)

DE/rand/2 : Pour créer le vecteur mutant ~V i,g , p ou r chaque vecteu r ~X i,g , un total

de c in q a ut re s v ec te u rs e st a lé at o ir em en t c ho is i da ns le re s te de la p o pul a ti on ,

mu tu e l l e m e nt d i ffé r e nt s e t d i ff é r e nts d e

~X i,g .

~V i,g = ~Xr 1,g + F (

~Xr 2,g Xr ~ 3 ,g ) + F ( ~Xr 4 ,g Xr ~ 5,g ) (8.2)

DE/b est/1 : La cr éat ion du n ouvel in divi du, ~ Vi,g , es t réal isé e en a jou tant un e

p er tu rb at ion a u me il le ur i nd iv id u de l a p op ul ati on , à t rave rs d eu x au tr es

individus choisis aléatoirement.

~Vi,g = Xbest,g ~ + F (

Xr1,g ~ Xr2,g ~ ) (8.3)

- 234 -


DE/b est/2 : Dans ce s chéma d e mutati on, le vec teur mu tant es t créé en a jout ant

une pe rt ur ba t io n au m ei ll eu r i ndi v id u à t ra ve rs de u x di ffé re nc es po nd é ré es

d’ i ndi v id us s él ec t io nn és a lé at o ir em ent da ns le re s te de la p o pul a ti on .

~Vi,g = ~X best,g + F (

~Xr1,g Xr2,g ~ ) + F ( ~X r3,G X ~ r 4,G ) (8.4)

DE/current to b est/1 : Le ve cte ur mut ant e st cr éé à l ’a ide d e de ux vec te ur s cho is is

au hasard, ainsi que le meilleur vecteur de la génération courante.

~Vi,g = Xi,g ~ + F (

Xbest,g ~ Xi,g ~ ) + F ( Xr1,g ~ Xr2,g ~ ) (8.5)

DE/rand to b est/2 : Le ve c t e u r mu t a nt e s t c r é é à l ’ a i d e de c i n q ve c t e u r s sé l e c t i o n n é s

aléa toirement dans le reste de la p opulation, ainsi que le meilleur vecteur de la

génération

courante.

~V i,g = Xr ~ 1,g + F (

Xbest,g ~ Xi,g) ~ + F ( Xr ~ 2,G Xr ~ 3,G ) + F ( Xr ~ 4 ,G Xr ~ 5,G ) (8.6)

DE/current to rand/1 : Un ve ct eu r mut ant e st p ro dui t en u ti l is ant la f o rmul e

suivante :

~V i,g = ~X i,g + K (

~Xr 1 ,g X ~ i,g ) + F 0 ( ~Xr 2,g Xr ~ 3,g) (8.7)

où K est le cœ ffici ent de co mbi nais on, ch ois i avec une di stri buti on uni for me

da ns l ’i nt er va ll e [0, 1] et F 0 = K . F . Pour c et te mutat io n partic ulièr e, l a so lu ti on

mu té e n e s u bi t p as d e c r o is e m e nt .

DE/rand/1/either-or : Le s ch ém a de g én ér at io n de ve ct eu rs d ’e ss ai p e ut ê tr e dé cr it

co mme suit :

X ~ r ~V i,g = 1,g + F (

~Xr 2,g Xr ~ 3,g ) si U (0 , 1)

< P F

~X r3,g + K (

Xr1,g ~ + X ~ r2,g 2 X ~ r3,g ) si non

(8.8)

Po ur un e val e ur do n n é e d e F , le p a ra m èt r e K est ég al à 0 . 5(F + 1)

[P ri ce et al. 05 ]. Comme p our la DE/c urre nt-to-rand/1, lorsque cette mutation

est ap pliq uée , el le n’ est pas sui vie d’un cr ois eme nt.

Les ind ices r1 , r2 , r3 , r4 et r5 sont gé nér és par ti rag e al éat oir e uni for me dans

l’intervalle [1 , N ] et do ive nt être mut uell eme nt différ ent s et différ ent s de l’ indi ce co ura nt

i ; F 2 [0, 1] est app elé facteur d’amplification ; X ~ best,g est la me ill eure so lut ion tr ouvée

à la génération g .

- 235 -

,

,

,


X1

X1

Xr2,

g

Xr2,

g

Vi,

g

Vi,

g

Xr3,

g

F(X r2, g - X r3,

g)

F(X r2, g - X r3,

g)

Xr3,

g

Xr 1, g

Xr4,

g

F(X r4, g - X r5,

g)

Xr1,

g

Xr5,

g

X0

X0

(a)

DE/rand/1

(b)

DE/rand/2

X1

X1

Xr1,

g

Xr1,

g

Vi,

g

Vi,

g

Xr2,

g

F(X r1, g - X r2,

g)

F(X r1, g - X r2,

g)

Xr2,

g

Xbest , g

Xr3,

g

F(X r3, g - X r4,

g)

Xbest , g

Xr4,

g

X0

X0

(c) DE/b est/1

(d) DE/b est/2

X1

Xr1,

g

X1

Vi,

g

Xr2,

g

Xr2,

g

F(X r1, g - X r2,

g)

Xr1,

g

F(X r2, g - X r3,

g)

Xi,

g

Vi,

g

Xi,

g

Xr3,

g

F(X best, g - X i g)

Xbest , g

F(X best, g - X i g)

Xbest , g

Xr4,

g

F(X r4, g - X r5,

g)

Xr5,

g

X0

X0

(e) DE/current to best/1

(f ) DE/rand to b est/2

X1

Xr2,

g

X1

Xr3,

g

K . F(X r2, g - X r3,

g)

Xr2,

g

V1i,

g

V2i,

g

Xi,

g

Vi,

g

(F+1)(X r2, g - X r3, g)/2-X r1,

g)

K(X r1, g - X i g)

Xr 1, g

Xr1,

g

Xr3,

g

F(X r2, g - X r3,

g)

X0

X0

(g) DE/current to rand/1

(h)

DE/rand /1/either-or

Figure 8.4 – Quelques schémas de mutation de l’algorithme DE [Weber 10].

- 236 -


La figure 8.4 illu s tre la distribution des vecteurs mutants dans l’espace de recherche.

Les schémas de mutation, présentés ci-de s s us, p euvent être clas sés en fonction de

l’emplacement des vecteurs générés comme suit :

– Les schémas où le vecteur qui présente la meilleure p erformance ( ~ X best,g ) est

utilisé comme vecteur de référence, tels que DE/b est/1 et DE/best/2. Ces

sché mas ont te nda nce à gé nér er des de sce ndan ts au tou r des me ill eurs in divi dus.

– Les schémas utilisant un vecteur aléatoire comme vecteur de référence, te ls que

DE/rand/1, DE/rand/2 et DE/rand-to-b est/2. Les vecteurs mutants p euvent

être gé nér és p ot entie lle men t n’ imp orte où dans le vo isi nag e de la p op ulat io n.

– Les schémas u tilis ant la solution courante comme vecteur de référence, comme

DE/current-to-rand/1 et DE/current-to-best/1, p euvent être considérés comme

une c at ég o ri e i nt er mé di ai re e nt re l es de u x c at ég o ri es pr éc é de nt es , du f ai t q ue

les vecteurs mutants sont gén érés dans le voisinage d u p oint courant.

– Les schémas impliqu ant la me ille ure solution san s l’uti liser c omme p oint de réfé -

rence. Ces schémas considèrent la direction du meilleur individu sans restreind re

la zone explorée à son voisinage immédiat.

8. 3. 2 Le c roi se me nt

Après la mutation, un e op ération de croisement binaire forme le vecteur d’essai

fin al ~U i,g se lon le ve ct eur ~X i,g de la p o pul a ti on à la g én ér at io n g et le ve ct eur mutant

co rre sp o ndan t ~Vi,g :

Vi,j,g si (r a nd(0 , 1) apple C R) ou ( j =

jrand)

Ui,j,g =

(8.9)

Xi,j,g

si non

La constante de croisement C R 2 [0, 1] ; l’ i n d i c e j rand est un en tie r tiré al éat oir eme nt

da ns l ’i nt er va ll e [1 , N ] et ga ran tit que le vec te ur d’ essa i ~Ui,g conti ent au mo ins une

de s c om p o sa nt es du ve ct eu r m ut ant ~ Vi,g ; r an d (0, 1) est un no mbre al éat oir e tiré

un if o rm ém ent da ns [0 , 1] et j = 1 , 2, . .. , D . La constante de croisement C R dé t er mi ne

la distance séparant le vecteur d’essai engendré ~Ui,g du v ec te u r de ré f ér en ce ~Xi,g . Ave c

une f ai bl e va le ur , pro che de z ér o, la pl up ar t de s c om p o sa nt es de ~ Ui,g sont identi que s

à ce l l e s d u vec t e u r de r é f é r e nc e . S i a u c ont r a i re l a val e ur d e C R est pro che de 1, l e

ve c te u r d ’ e s s a i ~ Ui,g sera très si mila ire au ve ct eur mut ant ~ Vi,g qui, selon le schéma de

mu ta t i o n s é l e c t io n n é p e u t ê t r e s i t ué l o in d u ve c t e u r d e r é f é re n c e , p e rm e t t a nt a i n s i u n

pl us l ar ge ra yon d’ e xp lo ra ti o n de l ’e sp ac e de re c he rche .

Le principal avantage de DE est qu’il n’a pas b eaucoup de paramètres de contrôle.

On en compte trois, à savoir la taille de la p opulation N , la c on s ta nt e de d iff ér en ci at io n

F , qui contrôle l’amplifi cation de la varia tio n di ffé re ntielle, et le paramètre de cro is eme nt

C R . Dans l’al gori thme DE ori gina l, ce s para mèt res s ont fix és pa r l’ut ili sate ur et n e

changent pas au cours du pro cessus d’optimisation. Il est par conséquent imp ortant,

p ou r cha qu e p rob lè me p o sé , de t rou ve r l e je u de p ara mè tr es q ui c on du is e à d es

p erformances optimales de l’algorithme. Cep endant, cette tâche est fastidieuse et

co ûte use en te mps , sur tou t p our les ut ilis ate urs no vic es. Pour s’a ffranchir de ce type de

réglage, des recherches ont été m enées p our prop oser des algorithmes dits adaptatifs,

- 237 -


où les valeurs des paramètres ne sont plus figées, mais sont mo difiées, en fonction des

résultats collectés durant le pro cessus de recherche .

DE est actuelle ment l’un des algorithmes les plus p opulaires p our résoudre des

pr ob lè m es d’ o pt im is at io n m on o- ob j ec ti f da ns l es e sp ac es de re c he rche c ont in us . G râ ce

à ce s u cc è s, s o n ut i li s at io n a é té é t en d ue à d ’ au t re s typ es d e pr o bl è me s , te ls q u e

l’optimisation multi-ob jectif [ M ez ur a- Mo nt es et al. 08]. Plusieurs adaptations de cette

métho de ont été faites p our en améliorer les p erformances. Nous convions le lecteur

à se référer à c es quelques e xemples de la li ttérature [ Chakrab orty 08 , Neri et al. 10 ,

Das et al. 11].

8.4 L’algorithme d’optimisation BFO

L’algorithme d’optimisation BFO (Bacterial Foraging Optimization Algorithm),

intro duit en 2002 par Passino, mo délise le comp ortement individuel et collectif des

ba c té ri es du typ e Escherichia Coli (abrégé en E. Coli), qui vit couramment dans les

intestin s de l’homme [Passino 02].

Les bactéries interagissent avec leur environnement chimique à travers la consommation

de nutriments et leur orientation dans des directions favorables à cette consommation.

Pour trouver leur nourriture, les bactéries effectuent une marche aléatoire

da ns l eu r env ir on ne me nt en a lt er na nt e nt re de s dé p la ce me nt s re c ti li gn e s, s el on un

pr o c es su s a ppe l é la na g e (sw imming), e t de s ch ang eme nt s alé at oir es d’ ori enta tio n,

app elés culbutes (tumbling)

ou p ivotements, avec une fréquence qui dépend de la

co nce ntr ati on envi ronn ant e et qui favor ise les di rect io ns de gr adie nt de co nce ntra ti on.

Cette alternance entre les deux types de mobilité est app elée étap e chimiot actique.

Cep endant, grâce à la chimiotaxie, les bactéries sont en mesure de biaiser légèrement

leurs déplacements p our, en moyenne, se diriger vers un milieu plus favorable.

Dans un milieu liquide ou semi-solide, les bactéries n age nt en se propulsant à l’aide

de p etites structures app elées flagelles ou cils. C’est la rotation des flagelles qui assure

la propulsion bactérienne, à l’instar des hélices d’un bateau. Le sens de rotation des

fla g el le s p e ut dé t er mi ne r le typ e de m ou ve me nt de la ba c té ri e : l or sq ue l es fla g el le s

tournent dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, la bactérie se déplace se lon

un m ou ve me nt re l at iv e me nt re c ti li gn e ; si le s en s de ro t at io n e st inve rs é ( se ns ho ra i re ),

la bactérie réalise des changements directionnels aléatoires, ou culbutes. Lorsque la

rotation dans le sens anti-horaire est rétablie, la cellule se déplace alors dans une

nouvelle direction (cf. figure 8.5). Cette capacité des bactéries à changer de direction, par

inversion du sens de rotation du flagelle est une conséquence de la voie de signalisation

du c hi mi ot ac t is me sur le c om pl ex e d’ i nve rs io n. P ar c on sé qu e nt , en pr és e nc e d’ un

gradient p ositif de substances attrac tives, les pivotements sont supprimés et la bactérie

pr og re s se ve rs le s ig na l c hi mi ot ac t iq ue . En re va nche , l or sq u’ un e ba c té ri e s ’é lo ig ne

d’ un a tt ra ct a nt , ou si e ll e se di ri g e a cc id en t el le me nt v er s une m ol éc ul e ré pu ls i ve , l es

p ér io d es d e na ge s ont i nt err om pu es p ar d es p ivot em ents b ref s qu i cha ng ent a u h as ard

la direction de la nage, jusqu’à ce que le mouvement soit réorienté correctement.

L’essaimage (swarming) est une al ter nat ive à la nage qui est ob servée lo rsq ue

des bactéries sont présentes sur un milieu solide. Ce mouvement collectif p ermet

- 238 -


aux bactéries de se diriger vers des zones qu’elles seraient incapables de coloniser

individuellement. Après avoir collecté une quantité suffi

sante de nutriments, la bactérie

p eu t s ’au to -r epr o du ire e t s e d ivi se r e n d eux . L a p o pu lat io n de b act ér ie s p e ut é ga le ment

subir un pro ce ssu s d’ éli mina tio n, par l’ appa rit ion d’une sub sta nce nui sibl e, ou de

di s p e rs io n, s ou s l ’a ct io n d’ un e a ut re s ubs t an ce .

Sur la ba s e de c es c on ce pt s bi o lo gi q ue s, l ’a lg or it hm e B FO e st f or mu lé et se c om p o se

de s é ta p es s ui vant es : la chi mi o ta xi e , l ’e ss ai ma g e, la re pr o du c ti on et l ’é li mi na ti o n-

di s p e rs io n. La pro c éd ur e g én ér al e de B FO e st pr és e nt ée da ns l ’a lg or it hm e 8 .5 .

+

-

Natation rectiligne ( Swimming)

Culbute ( tumble)

+ Sens inverse des aiguilles d’une montre

- Sens des aiguilles d’une montre

Swimming

Figure 8.5 – Mouv ement des bactéries E. Coli à l’aide des flagelles.

8. 4. 1 Ch im io ta xi e

La chimiotaxie est le pro cessus suivant lequel les bactéries s’orientent et se déplacent

da ns un g ra di ent de no ur ri tu re ou pl us g én ér al e me nt ve rs l es m il ie ux l es pl us fav or ab le s

à l eu r su r vi e . La m ob i li té de s b ac té r ie s p e u t êt re o r ie nté e , en f o nc ti o n de l a c om p o si t io n

du m ic ro env ir on ne me nt , et ré s ul te r d’ un e a tt ir an ce v er s de s s ubs t an ce s nut ri t iv es ou

au contraire, d’une répulsion devant des substances nuisibles.

Su pp o so ns q ue no us vo ul io ns t ro uv er le m ini m um de J (✓ ), o ù ✓ 2 R D est la p os iti on

d’ un e ba c té ri e da ns un e sp ac e de di me n si on D et la fo nct ion coût J (✓ ) est un profil

attrac tif-répulsif (par exemple, il représente l’endroit où les nutriments et substances

nu is i b l e s s o nt s i t ué s ) . A l o r s J (✓ ) apple 0 représente un environnement riche en nutriments,

J (✓ ) = 0 repré s ente un milieu neutre et J (✓ ) > 0 représente des subs tan ces nuis ibles.

So i t ✓ i ( j , k , l ) , la i ème ba c té ri e (i = 1 , . . . , S ) à la j ème ét ap e chi miot ac tiq ue, à la k ème

ét ap e de repro duc tio n et à la l ème ét ap e d’ éli mina tio n-di sp er sio n. La p os iti on de la

ba c té ri e à l ’é ta p e c hi mi ot ac t iq ue ( j + 1) est ca lcu lée en fo nct ion de sa p os iti on à l’ éta p e

ch im i o t a ct i q u e p r é c éd e nt e e t d e l a t a i l l e d u p a s C (i ) (app elé aussi run length unit )

appliqué dans une direction aléatoire ( i )

:

✓ i (j + 1, k , l ) = ✓ i ( j , k , l ) + C ( i) ( i )

(8.10)

- 239 -


Al gorit hm e 8.5 BFO

Initialiser les paramètres : D , S ,

Nc, Ns , Nre, N ed , P ed , C

( i) ,

✓ i (i = 1 , 2, . . . , S )

tant que le critère d’arrêt n’est pas atteint faire

p ou r l = 1 , . . . , Ned (Étapes d’élimination-dispersion) faire

p ou r k = 1 , . . . , Nre (Étapes de reproduction) faire

p ou r j = 1 , . . . , Nc (Étapes chimiotactiques) faire

p ou r t out e ba c té ri e i = 1 , . . . , S faire

Évaluation de la fonction objectif J (i, j, k , l ) en ut ilis ant l’ équ a-

tion 8.12

J last = J ( i, j, k, l

)

Pivotement (Culbute) : Génération aléatoire du vecteur ( i) 2 R D

Déplacement : Calcul de la p osition de la bactérie ✓ i (j + 1, k , l ) à

l’étap e chimiotactique ( j + 1)

en ut ilis ant l’ équ ati on 8. 10

Évaluation de la fonction objectif J (i, j + 1 , k , l ) en ut ilis ant l’ équ a-

tion 8.12

Nage : m = 0

tant que m < Ns faire

m

= m

+ 1

si J (i, j + 1, k , l ) < Jlast alors

J last = J ( i, j + 1, k , l )

Déplacement : Calcul de la p osition de la bactérie

✓ i (j + 1, k , l ) à l’ét ap e chimi otacti que ( j + 1) en ut ilis ant

l’équation 8.10

Évaluation de la fonction objectif J (i, j + 1 , k , l ) en ut ilis ant

l’équation 8.12

sinon

m

= Ns

p ou r i = 1 , . . . , S faire

Reproduction :Jhealth (i) = Nc+1

j=1 J (i, j, k , l )

Trier les bac tér ies par ordr e décroi ssa nt de J health . Les b act éri es le s plu s

mauvaises meurent et les meilleures bactéries se divisent chacune en deux

ba c té ri es , q ui s on t pl a cé es à la m êm e p o si ti on .

p ou r i = 1 , . . . , S faire

Élimination-dispersion : él imi ner et disp er ser la i ème ba c té ri e, av ec une

pr ob a bil i té

Ped.

- 240 -


La fonction (i ) p e rm et tant de d éc rir e l es ch ang em ent s d ir ec ti onn el s al éa to ir es

(tumble ) est donnée par :

(i)

(i) = (8.11)

T ( i) ( i)

où ( i) 2 R D est un ve ct eur dont les co mp os antes sont gé nér ées al éat oir eme nt dans

l’intervalle [ 1, 1]. Le coût de chaque p osi tio n es t déterminé par l’équati on s uivante :

J (i, j, k , l ) = J (i, j, k, l ) + Jcc

✓

, ✓ i ( j , k , l )

(8.12)

On peut noter à travers l’équation 8.12 que le coût relatif à une p osition donnée

J (i, j, k , l ) est affec té par les fo rce s at tra cti ves et ré puls ives ex ist ant en tre les ba cté rie s

de la p o pul a ti on , do nn é es pa r J cc (cf. équation 8.13). Si le c oû t asso cié à la p osition

de la i ème ba c té ri e à l ’é ta pe chi mi o ta ct i qu e ( j + 1), noté J (i, j + 1 , k , l ), est meil leur

(inférieur) que c e lu i de la p osition ✓ i (j , k , l ) à l a j ème ét ap e, al ors la ba cté rie va effec tue r

une a ut re é ta p e c hi mi ota ct iq ue de t ai ll e C (i ) da ns la m êm e di re c ti on . Le no m bre

d’ é ta pe s ne do i t pa s dé p as se r Ns .

8. 4. 2 E ssa im ag e

La mob ilité par essaimage (swarming) p e rm et à de s ce ll ule s de s e d ép lac er e n g ro up e ,

co lon isa nt ai nsi de ma niè re co or donn ée et ra pide des sur fac es en tiè res . L’ exp ress ion

de s f or ce s a tt ra ct i ves et ré pu ls i ve s e xi st a nt e nt re l es ba c té ri es de la p o pul a ti on e st

do nn é e pa r :

2

J cc (✓ , ✓ i (j , k , l )) =

s

i=1 d attractant e xp

w Dm=1

attractant ✓m ✓ i m

w Dm=1

repellant ✓m ✓ i 2

m

+ s

i=1

hrepellant e xp

(8.13)

où ✓ = [✓1 , ✓2, . . . , ✓ D ] T est un p oint dans l’ espa ce de re che rche de di mens ion D ;

dattractant , wattractant , h repellant et w repellant sont des co effici ents qui doivent être

ch oi s i s ju d i c i e u se m e nt p o u r u n p r o b lè m e d on n é ; ✓ i m est la di mens ion m de la p o si ti on

de la i ème ba c té ri e.

8. 4. 3 Re pr o du ct io n

Après Nc ét ap es ch imio ta cti que s (c omp rena nt le mo uve ment et la dé ter mina tio n

du c oû t de c ha qu e p o si ti on de la ba c té ri e) , l es ba c té ri es re nt re nt da ns l ’é ta p e de la

repro duction ( Nre ét ap e s) . Dans l’ éta p e de la repro duc tio n, les ba cté rie s sont tr iée s

da ns l ’o rd re dé c ro is sa nt de l eu r c oû t c um ul at if :

J health (i) =

Nc+1

J (i, j, k , l ) (8.14)

j=1

Les bactéries dan s la moitié inférieure de la liste meurent, ce sont les bactéries

qui ne pourraie nt pas recueillir suffi

samment de nutriments au cours des étap es

- 241 -


ch im i o t a c t iq u e s . L ’ a u t re m o i ti é d e s b a c té r i e s s e r ep r o du i t d e f a ç on a s e xu é e p ar fi s s io n

bi na i re : c ha qu e ba c té ri e se di v is e en de u x ba c té ri es i de nt iq ue s, pl a cé es da ns la m êm e

p os it io n q ue l a b ac tér ie m èr e.

8. 4. 4 É li mi nat io n et di sp er si on

Les con d ition s environnementales jouent un rôle très imp ortant dans la prolifération

et la disp er sio n des ba cté rie s. Ai nsi, lo rsq ue des ch ang eme nts en viro nne mentaux se

pr o du is en t, pr og re s si ve me nt ( pa r e xe mp le via la consommation d e nutriments) ou

so udai nem ent en ra iso n par ex emp le d’une au gme nta tio n si gnifi cat ive de la te mpé rat ure,

toutes les bac té rie s dans une région p euvent mourir ou se disp erser dans une nouvelle

partie de l’environnement. Cette disp ersion a p our effet de détruire tous les pro cessus

ch im i o t a ct i q u e s p r é c é de nt s . D ’ u n a u t r e c ô té , e l l e p er m e t d e f avo r i se r l a c o l o ni s a t i on

de no uv e lles ré g io ns riche s en nu tr im e nt s.

So i t N ed le nombre d’étap es d’élimina tion-dispersion. Chaque bactérie dans la

p op ul at ion es t so um is e à u ne él im in ati on -d isp e rs io n avec u ne p rob ab ili té P ed , de te l l e

so rte que, à la fin, le nombre de ba cté rie s pré sen tes dans la p op ulat io n re ste co nst ant

(si une bactérie e st éliminée, une autre est disp ersée à un emplacement aléatoire).

Des variantes de l’algorithme B FO ont également vu le jour à travers notamment

de s hy br id at i on s avec d’ a ut re s m ét ah eu ri st iq ue s . On t ro uv er a un é ta t de l ’a rt da ns

[Das et al. 09].

8.5 L’algorithme à base de biogéographie

Les esp èces animales et végétales ne sont pas réparties uniformément à la surface

du g lo b e. Ch a cu ne y o cc up e une a ir e q ui lui e st pr op re . La bi o gé og ra p hi e a p o ur

ob jet l’étude de la répartition spatiale de s o rg an is me s et la m is e en é vi de nc e de s

ca use s qui ré gis sent ce tte ré part iti on. La ré part iti on ac tue lle des or gan isme s ré sult e

de l ’i nflu e nc e, t an t pa s sé e q ue pr és e nt e, de f ac te ur s i nt er ne s, pr op re s a ux o rg an is me s

(capacité de propagation, amplitude écologique, aptitudes évolutives), et externes, liés

à leu r envir on neme nt ( co nd itio ns c li mati qu es , appa ri ti on de pa ra si tes ou d e pr édate urs,

et c.) .

L’algorithme à base de biogéographie (BBO, Biogeography-Based Optimization ),

dé ve lo pp é pa r D an Si mo n en 2 00 8 [ Si mo n 08 ], trouve ses origines dans la théorie de

l’équilibre dynamique (app elée aussi théorie de la biogéographie insulaire

), élab orée

pa r M cA rt hu r et W il so n [ M ac Ar thur et al. 67 ]. Cette théorie explique la constitution

et l’ évo lut ion des bio cœ nos es in sula ire s par la co njo nct ion de deux phé nom ène s antagonistes

: l’immigration d’esp èces nouvelles et l’extinction d ’e spèce s existant dan s

l’île 2 . M c Ar t hu r e t W i l s o n o nt é t a b l i un sy s t è m e d ’ é q u a t i o n s e t l e s c o u r b e s c o r r e s p on -

da nt es q ui dé c ri ve nt la ri c he ss e sp é ci fiq ue de s p e up le me nts i ns ula i re s c om me le p o in t

d’ é qu il ib re de s pro c es su s d’ immigration et d’ extinction

(figure 8.6).

2. Ce q ue cette appro che désigne sous terme d’“île” n’est pas nécessairement une île au sens

propre du terme. Les lacs p euvent être assimilés à des milieux insulaires, de même que des fragments

d’habitat isolés. La théorie de la biogéographie insulaire a d’ailleurs été étendue aux p éninsules, aux

baies et à d’autres régions qui ne sont isolées que partiellement.

- 242 -

8.5 L’algorithme à base de biogé ographie

Taux d’immigration

Taux d’extinction

Taux

L’équilibre

Nombre d’espèces

Figure 8.6 – Théorie de l’équilibre dynamique.

Le taux d’immigration va diminuer au fu r et à mesure que de n ouvelles esp èces

coloniseront l’île, tandis que le taux d’extinction augmente avec ce nombre. Certaines

esp èc es sont d’ aill eur s mi eux ou til lée s que d’ autr es p our co nqu érir de nouveaux

territoires, elle s ont donc des capacités de c olon isation des milieux insulaire s plus

grandes que d’autres. Les interactions compét itives sur l’île tendent par contre à

accélérer les extinctions. Le croisement de ces deux processus dynamiqu es permet

d’ e xp li qu er la riche s se a ct ue ll e du p e up le me nt. À l ’é qu il ib re , il y a un re m pl ac em e nt

co nst ant des esp èc es.

L’algorithme BBO manip u le une p opulation d’individus app elés îles

(ou habitats

).

Chaque île représente une solution p ossible au problème à résoudre. La “ fitness ” d e

ch aq u e î l e e st d é t e r mi n é e p a r s o n H S I (Habitat Suitability Index), une me sur e de la

qualité d’une solution candidate, et chaque île est représentée par des SIVs (Suitability

Index Variables). Une b onne s ol ution au pr ob lè me d’opti mi sation es t un e île avec

un g ra nd no mbre d’ e sp è ce s, ce q ui c or re sp o nd à une î le avec un f ai bl e HSI . S elon la

théorie de MacArthur et Wilson, le nombre d’esp èces présentes sur une île dép end

es senti ell eme nt d’un éq uil ibre entre le taux d’ immi gra tio n de no uve lle s esp èc es et

le taux d’émigration 3 de s e sp è ce s dé j à é ta bl ie s sur l ’î le . D an s B BO , c ha qu e ha bi t at

a s o n p r o p re t a u x d ’ i m m i g r a t io n ( ) – a r r i vé e s ve n a nt d e l ’ e x t é r i e u r – e t so n t a u x

d’ é mi gr at io n ( µ) – départs vers l’extérieur. Ces paramètres sont influencés par le

no mbre d’ e sp è c es ( S ) présentes su r l’îl e.

Le taux d’immigration () décro ît avec l ’aug mentat ion du n ombre d’esp è ces ( S )

dé j à pr és e nt es sur l ’î le . P lu s le no m bre d’ e sp è ce s dé j à i ns ta ll ée s sur l ’î le a ug me nt e,

moins d’immigrants appartenant à une nouvelle espèce rejoignent l’île. Mais, au fur et à

mesure que le nombre d’esp èces déjà présentes sur l’île diminue, le taux d’immigration

augmente. Le taux d’immigration maximal ( I ) est atte int lors que l’î le est vid e. Une

3. Pour l’algorithme BBO, on utilise le terme émigration à la place du terme extinction.

- 243 -


f oi s q ue t ou te s l es e sp è ce s s on t pr és e nt es sur l ’î le , a lo rs S = Smax (capacité maximale

de l ’î le ) et le t au x d’ i mm ig ra ti on t om be à z ér o, ne f avo ri sa nt pl us l ’i ns ta ll at i on de

no uve au x a rri va nt s ( pl us l ’î le e st p e up lé e, m oi ns l es e sp è ce s é tr an gè re s o nt de c ha nc es

de s ’y i mpl a nt er ). Le t au x d’ i mm ig ra ti on , q ua nd il y a S esp èc es sur l’ île , est donné

pa r :

S = I

1 S

Smax

(8.15)

Le taux d’émigration ( µ) a ug m ent e ave c l e no mb r e d’ e sp è ce s (S ) p ré s ent e s s ur

l’île. Le taux d’émigration maximum ( E ) se p r o du i t lo r s qu e t o ut e s l es e s p èc e s s ont

pr és e nt es sur l ’î le ( S = Smax ), et devient nul si les esp èces présentes sur l’île s’éteignent

(ou quittent l’île). Le taux d’émigration quand il y a S esp èc es sur l’ île est donné par :

S

µS = E

(8.16)

Smax

I

Taux d’immigration

λ S

=I-(I/S max

)S

E

Taux

Taux d’émigration

μ S

=(E/S max

)S

S *

Nombre d’espèces (S)

S max

Figure 8.7 – Relation entre la richesse sp écifique d’un p euplement insulaire, le taux d’immigration

et le taux d’extinction.

La figure 8.7 représente graphiquement le mo dèle d’équilibre du nombre d’esp èces

sur les îl es. Le nombre d’ espè ce s déjà ét abl ies sur une île a un effet né gat if sur

l’immigration (comp étiteurs, prédateurs et parasites déjà prés ents, moins d ’e s pèces

qui restent à immigrer) et un effet p ositif sur l’émigration (moins de ressources par

esp èc e, fo rte co mp ét iti on in ters péc ifiq ue) . La ric hes se en esp èc es d’une île sera él evée

si le taux d’ immi gra tio n est él evé et si le taux d’ émig rat ion est fa ibl e. Une île sera

pa uv r e en e sp è ce s si le t au x d’ i mm ig ra ti on e st f ai bl e et si le t au x d’ é mi gr at io n e st é le vé.

Le taux d’immigration chute rapidement au début lorsque les meilleurs colonis ateurs

s’ éta bli sse nt sur l’ île . Le taux d’ émig rat ion s’ acc roî t plus ra pide men t avec un no mbre

él evé d’ esp èc es déjà pré sen tes sur l’ île . Le no mbre d’ esp èc es à l’ équ ilib re sur l’ île

- 244 -


( S ⇤ ) est dét ermi né par l’ inter sect ion des c ourb e s d’ém igrat ion (E ) et d’im migr ation

( I). Le mo dèle de la figure 8.7 représente l’évolution du taux d’immigration (resp .

d’ é mi gr at io n) pa r une f on ct io n l in éa ir e dé c ro is sa nte ( re sp . c ro is sa nt e ) du no m bre

d’esp èces présentes sur l’île. Il existe toutefois différents mo dèles mathéma tiques de

la biogéographie qui comprennent des variables plus comp lexes [ M ac Ar thur et al. 67].

Il y a, en effet, d’autres facteurs importants qui influencent les taux de migration

entre les ha bita ts, te ls que la di sta nce en tre les ha bita ts, la ta ill e de l’ habi tat , les

var i at io ns c li m at iq ue s (p l uv io mé tr ie , t em p ér a tu re ), l a di ver s it é vé gé ta l e e t an i ma le ,

en plus de l’activité humaine. Ces facteurs rendent les courb es d’immigration et

d’ é mi gr at io n pl us c om pl ex e s, c on tr ai re me nt à c el le s dé c ri te s da ns le do c um en t o ri gi na l

sur BBO [Si mo n 08 ]. Pour examiner l’influence de différents mo dèles de migration sur

les p erformances de BBO, Haiping Ma [Ma 10 ] a ét udi é le co mp or tem ent d e six d ’entr e

eux. Les ré sult ats exp ér ime ntau x mo ntre nt cl air eme nt que les mo dè les de mi gra tio n

les plus pro ches de la nature (c’est-à-dire non linéaires) sont n ettement meilleurs que

les mo dèles linéaires.

Considérons à présent la probabilité P S que l’île abrite exactement S esp èc es. Le

no mbre de s e sp è ce s c ha ng e p e nd ant l ’i nt er va ll e de t em ps [t, t + t[ se lon l’ équ ati on

suivante :

P S (t + t ) = P S (t) ( 1 S t µ S t) + P S1 S1 t + P S+1 µ S+1 t (8.17)

L’équation (8.17) stipu le que le nombre des esp èces sur l’île dép end du nombre total des

esp èc es déjà ét abl ies sur l’ île , de la fr équ enc e à la que lle les nouvel les esp èc es ar rivent

et de la fr équ enc e à la que lle les an cie nnes di spar ais sent . Nous supp os ons ici que t

est as sez p et it p our que la pro bab ilit é que deux ch ang eme nts ou plus se pro dui sen t

p en da nt u n t el int er va ll e e st nu ll e. A fin de d is p os er de ( S) esp èc es à l’ins tant ( t + t),

l’une des conditions suivantes doit être remplie :

– Il y a S esp èc es à l’ inst ant t, et aucune i mmigratio n ni émigrati on n’a eu lieu

entre l’ inst ant t et l’ inst ant

t + t.

– Il y a S 1 esp èc es sur l’ île à l’ inst ant t, e t un e nouvelle esp èce s’y ins ta lle .

– Il y a S + 1 esp èc es sur l’ île à l’ inst ant t, et une e sp èce quitte l’île.

La limite de 8.17 quand t ! 0 est do nnée par l’ équ ati on 8. 18.

⎧

⎨ ( S + µ S )P S + µ S+1 P S+1 si S = 0

Ṗ S = (

⎩ S + µ S )P S + S1 P S1 + µ S+1 P S+1 si 1 apple S apple

Smax 1

( S + µ S )P S + S1 P S1 si S = S max

(8.18)

On p eut écrire l’équation (8.18) sous forme matricielle :

⎡ ⎤ ⎡

⎤

Ṗ0

(0 + µ0 ) µ1 0 . . .

0

⎡ ⎤

P0

Ṗ1

.

0 (1 + µ1 ) µ2 . . .

.

P 1

.

=

.

⎢

⎣

⎥

.

. . . . . . . . . .

. ⎦ ⎢

⎣

.

.

.

⎥ ⎢

. ⎥

. n2 (n1 + µn1 ) ⎦ ⎣

. ⎦

µn

˙

Pn

0 . . . 0

n1 (n + µn )

Pn

(8.19)

- 245 -


Pa r s o uc i d e c on c i s i o n d a n s l e s n o ta t i o n s , n ou s é cr i vo n s s i m p le m e nt n = Smax .

L’algorithme BBO p eut être décrit globalement par l’algorithme 8.6. Les deux

op érateurs de base qui régissent le fonct ionnement de BBO sont la migration et la

mutation. En plus , une str atégie d’élit isme es t adopté e dans l’ algori thme BB O, afin de

garder dans la nouvelle p opulation la meilleure solution.

Al gorit hm e 8.6 BBO

Donnée : N : taille de la p opulation, f : fonction ob jectif, I : taux d’immigration

maximale, E : taux d’émig ratio n maximale.

Résultat : ~ Xopt minimisant f

Générer aléatoirement un ensemble de solutions initiales (îles)

tant que le critère d’arrêt n’est pas atteint faire

Éva lu er la fitness (HSI) de chaque solution

Calculer le nombre d’esp èces S , le tau x d’imm igrat ion et d’ émig rat ion µ p ou r

ch aq u e s o l u t i o n

Migration :

p ou r i = 1 à N faire

Utiliser i p ou r dé ci der , de m an iè re p rob ab ili st e, d ’im mi gr er à Xi

~

si r a nd(0 , 1) < i alors

p ou r j = 1 à N

faire

Sé l ec ti o nne r l ’î le d’ é mi gr at io n ~X j ave c u n e p r o ba b i l i t é / µ j

si r a nd(0 , 1) < µ j alors

Remplacer une variable de décision (SIV ) ch o is i e a lé a to i r em e nt d a n s

~X i pa r la va ri ab le c or re sp o nda nte da ns ~X j

Mutation : muter les ind ivi du s au taux de mutation donné p ar l’ équ at ion (8.20)

Remplac ement de la p opulation par les descendants

Implémenter

l’élitisme

retourner la meilleure solution trouvé e ~ Xopt

L’idée générale de la migration (figure 8.8) est l’échange de caractéristiques entre

les îles. Les taux d’immigration ( ) et d ’é mi gr at io n (µ) de ch aq ue î le s ont ut il is és

p ou r tr an sme tt re , d e m an ièr e pr ob abi li st e, le s ca ra cté ri st iqu es e nt re l es îl es , r an d (0, 1)

est un no mbre al éat oir e uni for mém ent di stri bué dans l’intervalle [0 , 1] et Xi,j est

le j ème SIV de la solution Xi ~ . L a st ra té gi e d e mi gr at io n de B B O es t si mi la i re à l a

recombin ais on des stratégie s d ’évolution (ES) [ Bäck 96], d an s laquelle plus ie u rs parents

sont re com binés en tre eux p our fo rme r un uni que en fan t. La pri nci pale différ enc e ré side

da ns le f ai t q ue la re c om bi na is on e st ut i li sé e p o ur c ré er de no uv e ll es s ol ut io ns , t an di s

que la migration est utilisée p our mo difier des solutions existantes (voir figure 8.8).

- 246 -


Îles sujettes à l’émigration

(Emigrating islands)

Îles sujettes à l’immigration

(Immigrating islands)

Figure 8.8 – Le proc essus de migration dans BBO.

Le HSI d’ un e î le p e ut cha ng e r br us qu em e nt, en ra i so n d’ é vé ne me nt s a lé at o ir es : de s

ca ta stro phe s na ture lle s (t emp êt es, ou rag ans, in cend ies . . . ) ou des ép idém ies , et c. BBO

mo délise ce phénomène comme une mutation des SIV, et u t il is e le s p ro ba b il it és de

no mbre d’ e sp è ce s (species count probabilities P S ) p o ur dé te rm ine r l es t aux d e mu tat io n.

La mutation est utilisée p our améliorer la diversité de la p opulation, emp êchant ainsi

la re cherche de stagner. La probabilité qu’une solution donnée S ex ist e a

priori

co mme

une s ol ut io n p o ur le pr ob lè m e c on si dé ré e st sp é ci fié e pa r la pr ob a bil i té du no m bre

d’ e sp è ce s ( P S ). Si une île S est sé lec tio nné e p our la mut at ion, al ors une var iabl e SIV

est mo di fiée de fa ço n al éat oir e en fo nct ion de sa pro bab ilit é P S . Dans ce contexte, il

convi ent de re marq uer que des so lut ions avec des val eurs de HSI très élevées ou très

f ai bl es ont une f ai bl e pr ob a bil i té d’ e xi st er . Ta ndi s q ue l es s ol ut io ns avec un HSI moyen

sont re lat ive ment pro bab les . Si une so lut ion do nnée a une pro bab ilit é fa ibl e, el le est

sus ce ptib le d’ être mut ée en do nnan t une au tre so lut ion. À l’ inver se, une so lut ion avec

une f or te pr ob a bil i té e st m oi ns s usc e pt ib le d’ ê tr e muté e. Le t au x de m ut at io n m (S )

est inver sem ent prop or tio nnel à PS :

m( S ) = mmax

1 P

S

(8.20)

Pmax

où mmax est un pa ramè tre dé fini par l’ util isa teu r, et Pmax = max

S P S , S = 1. . . Smax .

Si une île est sélec tionnée p our la mutation, alors un SIV choisi au hasard dans l’île

est si mple men t re mpla cé par une var iabl e al éat oir e gé nér ée dans son intervalle de

dé fi nit i on .

L’algorithme BBO a été appliqué avec succès dans de nombreux domaines [Simon 13].

P lu si eu rs ré f ér en ce s s on t di s p o ni bl es da ns Dan Simon Bibliography of biogeographybased

optimization and related material (voir http://embeddedlab.csuohio.edu/

BBO/).

- 247 -


8.6 Les algorithmes culturels

Le terme culture a été intr o duit par l’anthrop ol ogue Edward Burnett Ty lo r dans

son li vre , “ Pr imit ive Cu ltu re ” [ Ty lo r 2 4]. Dès le début de son ouvrage, Tylor donn a une

dé fi nit i on de la c ul tu re q ui a é té pa r la s ui te c it ée de no mbr eu se s f oi s : “ ce t ens em bl e

complexe qui comprend les connaissances, les croyances, l’art, le droit, la morale, les

coutumes, et toutes les autres aptitudes et habitudes qu’acquiert l’homme en tant que

membre d’une société ”. Les algorithmes culturels (CA, Cultural Algorithms

), intro duits

pa r R ob e rt G. R ey no ld s, c or re sp o nde n t à de s mo dé l is at io ns i ns pir é es de l ’é vo lu ti o n de

la culture humaine [Reynold s 94].

Des mé c anismes issus de la génétique, comme les mutations ou la sélection naturelle,

p ou rr ai ent s’ ap pl iq uer a u d om ai ne d e l a c ult ur e. D e c e f ai t, de m êm e q ue l ’o n p arl e

d’ é vo lu ti on bi o lo gi q ue c om me ré s ul ta t d’ un e s él ec t io n s ’e xe rç a nt sur la va ri ab il it é

génétique, on p eut parler d’une évolution culturel le résultant d’une sélection s’exerçant

sur la var iabi lit é cu ltur ell e. De ce tte id ée, Re yno lds a dé vel oppé un mo dèle dans le que l

l’évolution culturelle est considérée comme un pro cessus de transmission d’exp érience

à deux niveau x : un niveau micro-évolutionnaire en te rme s de tr ansm iss ion de ma tér iel

génétique entre in d ivid u s d’une p opulation et un niveau macro-évolutionnaire en

termes de connaissance s acquises sur la base des e xpérien ces individuelles. Le niveau

macro-évolutionnaire est basé sur la notion de carte cognitive (mental map ) ou v i si o n

du m on de . L es c ar te s i ndi v id ue ll es p e uv ent ê tr e a ss embl é es p o ur f or me r une c ar te

co lle ct ive (group map), afi n d’ ori ente r le s ac ti on s fut ur es d u gr ou p e e t de s es i nd ivi du s.

Les CA se comp osent de trois éléments :

1. Un espace de population (Population Space), a u n i vea u m i c r o , co r r e s p on d a nt à

un e sp ac e dé c ri vant une p o pul a ti on d’ i ndi v id us, q ui é vo lu e g râ ce au m éc an is me

de re pr o du c ti on de s a lg or it hm es é vo lu ti on na ir es .

2. Un espace de croyance (Belief Space), a u nivea u ma cro , qu i rep ré se nt e le s

co nna issa nce s qui ont été ac qui ses par la po pula tio n au co urs du pro ce ssus

d’ é vo lu ti on [ Re yn ol ds et al. 03].

3. Un proto cole de communication qui est utilisé p our détermin e r l’interaction

entre la p op ulat io n et les croyan ces . Les in tera ct ions entre ces deux ni vea ux

sont dé crit es d’une part par une validation / acceptation

d’ un e é vo lu ti o n de la

p op ul at ion ver s l ’es pa ce de c roya nc e et d ’a utr e p art p ar l ’influence de s c ro ya nc es

sur la p op ulat io n.

Le CA de base est illustré par l’algorithme 8.7. À chaque géné ration, les individus

da ns l ’e sp ac e de p o pul a ti on s on t d’ a b o rd éva lu és en ut i li sa nt la f on ct io n (Evaluate()).

Une fonction d’accep tation (Accept()) est en suit e ut ilis ée p our dé ter mine r le squ els

de s i ndi v id us de la p o pul a ti on c ou ra nt e p o urr on t a pp o rt er l eu rs c on na is sa nc e s à

l’espace de croyance. Les exp ériences des individus sélectionnés sont alors a joutées

au contenu de l’espace de croyance via la fonction Update(). La f onc ti on Generate ()

ut i li se l ’i nflu e nc e de s c ro ya nc es p o ur la g én ér at io n de no uve au x i ndi v id us . La f on ct io n

I nfl ue nce () agit de telle sorte que les individus issus de l’application des op érateurs de

var i at io n ( c’ es t -à -d ir e l a r ec o mb in ai s on et la mu ta t io n) te nd e nt à s e r ap pr o ch er du

comp ortement souhaitable tout en restant à l’écart de comp ortements indésirables. Ces

- 248 -

8.7 Les algorithmes co évolu tionnaires

co mp or tem ents dé sira ble s et in dési rabl es sont dé finis en te rme s de l’ info rma tio n sto ckée

da ns l ’e sp ac e de c ro ya nc e. L es de u x f on ct io ns Accept () et I nfl ue nce () co nst itue nt

le lien de communic ation entre l’espace de p opulation et l’espace de croyance. Ceci

appuie l’idée d’un héritage double en ce que la p opulation et l’espace de croyance sont

mis à jour, à chaque pas, en fonction de la rétroaction des uns et des autres. Enfin,

da ns la ph as e de re m pl ac em e nt, une f on ct io n de s él ec t io n (Select ()) est ré ali sée à

pa rt i r de la p o pul a ti on c ou ra nte a fin de f or me r une no uv e ll e p o pul a ti on .

Al gorit hm e 8.7 Algorithme culturel (CA)

Donnée : P OP : une p o pul a ti on d’ i ndi v id us, B el ie f s : e ns em ble de c ro ya nc es

Résultat : ~Xopt

Initialiser le compteur des générations g = 0

Initialiser la p opulation (POP(g))

Initialiser l’espace de croyance (Beli efs(g))

rép

éter

Éva lu er la p o pul a ti on : Evaluate (POP(g))

Update

(Beliefs(g),

Accept

(POP(g)))

Generate (POP(g), I nfl ue nce (Beliefs(g)))

g

= g

+ 1

Select (POP(g) à partir de POP(g-1))

ju squ ’à cr itè re d’ arrê t sa tis fai t

retourner la meilleure solution trouvé e ~ Xopt

Les CA intègrent à la fois la recherche évolutionnaire et le raisonnement symbolique.

Ils sont particulièrement utiles p our des problèmes dont les solutions nécessitent une

co nna issa nce ap prof ondi e du do mai ne.

8.7 Les algorithmes coévolutionnaires

En bi o lo gi e , on pa rl e de coévolution lorsque les évolutions des esp èces en interaction

– pa r e x e m p l e , p r é d at e u r s e t p r o i e s , h ôt e s e t p a r a s i t e s o u in s e c t e s e t l e s fl e u r s qu ’ e l l e s

p ol li ni sent – s ’i nfl ue nce nt r éc ip ro qu em ent. La c o évo lu ti on bi ol og iqu e, r en co ntr ée d an s

de no mbr eu x pro c es su s na t ure l s, a é té une s ou rc e d’ i nsp ir at i on p o ur l es a lg or it hm es

co évolutionnaires (CoEA, CoEvolutionary Algorithms ), où deux ou plusieurs p opulations

d’individus, ch ac u ne s’adaptant aux ch an ge me nts de l’autre, sont en interaction

co nst ante et co -é voluent simul tané men t, en contr ast e avec une se ule p op ulat io n dans

les EA traditionnels.

D’imp ortantes recherches sur les CoEA ont commencé au début des années 1990

ave c l e s t r avau x f o nd a t e u r s d e H i l l i s [ Hillis 90] sur les réseaux de tri. Contrairement

aux EA conventionnels, dans lesquels les individus sont évalués indép endamment les

- 249 -


uns de s a ut re s pa r une m es ur e d’ a da pt at io n a bs ol ue , la fitness

d’ un i ndi v id u da ns

les CoEA est subjective, en c e se ns qu’ el le e st u ne f on ct ion d e se s inte ra ct io ns avec

d’ a ut re s i ndi v id us .

De nombreuses variantes des CoEA ont été mises en œuvre, et elles se répartissent

en deux ca té gori es : les CoEA concurrentiels et les CoEA coopératifs. D a n s l e c as d e s

appro ches concurrentiel les, le s d i ffé r e nt e s p o p ul a t io n s s ont e n c o mp é t it i on p o u r la

résolution du problème auquel elles sont confrontées et les individus sont récomp ensés

au détriment de ceux avec lesquels ils interagissent. Une métaphore biologique est celle

de la co é vo lu ti o n pr oi e -p ré da te ur , da ns l aq ue ll e au f ur et à m es ur e q ue l es pr éd a te ur s

améliorent leur p erformance contre les proies, celles-ci mo difient leur comp ortement

p our diminuer leur vulnérabilité. Ce comp ortement rend plus p erformants les individus

de s de u x p o pul a ti on s, m ai s a us si l es re nd da vant ag e sp é ci al is é s f ac e à un e nv iro nne m en t.

Dans le cas des appro ches coopératives, l e s d i ve r s es p o p u l a t i on s i s o l é e s c o - é vol u e nt

de c on ce rt p o ur ré s ou dre le pr ob lè m e. L es i ndi v id us s on t ré c om p e ns és q ua nd i ls

f on ct io nn e nt bi e n e ns em bl e et pu ni s q ua nd i ls é ch ou ent e ns em bl e [ Po tt e r et al. 94].

Les différentes p opulations évoluent simultanément, mais de façon indép endante les

un e s de s a ut re s, et n’ i nt er ag is se nt q ue p o ur o bt en ir la va le ur de la f on ct io n ob j ec ti f

[Wiegand 04].

8.8 Conclusion

Nous avons présenté dans ce chapitre quelques mé taheuristiques d’optimisation,

en me tta nt l’ acc ent sur les ré cen ts pro grè s. Les mé tah euri sti que s sus cit ent un in térê t

grandissant depuis une vingtaine d’années et ce chap itre ne fait que confirmer cette

tendance à travers la présentation de nouvelles métho des. Bien sûr, ce chapitre n’atteint

pa s l ’e xh au st iv i té et il se l im it e s eu le me nt à pr és e nt er q ue lq ue s m ét ah eu ri st iq ue s q ui

sont en cor e, p our la pl upart , à le urs ba lbut iem ents. Nous nous so mme s en ou tre li mit és

à citer quelques nouvelles métaheu ris tiqu es s ans a ller jusqu ’à don ner leur des crip tio n

dé t ai ll é e, à sav oi r l es m ét ho de s Harmony Search, Group Search Optimizer, C uc koo

Search, Gravitational Search Algorithm et Bat-Inspired Algorithm. Nou s i nvi t o ns d o n c

le lecteur à se référer aux articles cités p our de plus amples informations.


[de Castro 02] : Ce livre offre une introduction aux systèmes immunitaires artificiels

(AIS) accessible à tous. Il donne une définition claire d’un AIS, énonce

les fondements (y compris les algorith me s de base), et analyse la manière

do nt le s ys tè me i mm uni t ai re se ra pp ro c he d’ a ut re s s ys tè me s et pro c es su s

bi o lo gi q ue s. Au c une c on na is sa nc e pr éa l ab le de l ’i mm uno l og ie n’ e st né c es -

sa ire – to ute s les in form ati ons de base es sen tie lle s sont couver tes dans les

ch ap i t r e s i nt r o d u c t i f s.

[Dasgupta 98] : Ce livre offre un ap erçu des AIS et de leurs applications.

[Price et al. 05] : Ce livre traite de la métho de à évolution différentielle (DE). Les

auteurs affirment que ce livre est conçu p our être facile à comprendre et

- 250 -


si mple à ut ilis er. En effet, ils ont at tei nt leur but. Le li vre est ag réa ble à

lire, entièrement illustré avec des figures et des pseudo-co des. Il est avant

tout adressé aux ingénieu rs. Par ailleurs, les p ersonnes intéressées par les

algorithmes évol ut ionnaires le trouveront certainement à la fois intéressant

et ut ile .

[Simon 13] : On retrouve dans cet ouvrage récent la description de plusieu rs algorithmes

évolutionnaires, d ont l’algorithme à base de biogéograp h ie (BBO)

et les al gor ithm es cu ltur els .

[Wiegand 04] : Cette thèse offre une analyse détaillée des algorithmes co évol ut ionnaires

co op éra tif s.

- 251 -

Chapitre 9

Les autres algorithmes

d’insectes sociaux

Sébastien Aupetit et

Mohamed Slimane

Université François Rab elais Tours, Lab oratoire Informatique (EA6300)

64 Avenue Jean Portalis, 37200 Tours, France

{aupetit,slimane}@univ-tours.fr

La nature ne cesse d’inspirer la recherche dans le domaine de l’op timisation. Alors

que la gé n étique, les fourmis et les essaims p artic u laire s en sont des exemples célèbres,

d’ a ut re s a lg or it hm es d’ o pt im is at io n i ns pir é s de la na t ure é me rg en t ré g ul iè re me nt.

Dans ce chapitre, nous allons dres s er un panorama des nouvelles inspirations les plus

pr om e tt eu se s .

Afin de simplifier l’expression des algorithmes suivants, nous considèrerons, sauf

mention contraire, que l’espace des solutions S est conti nu, de di mens ion D et le

résultat du pro duit c artésien d’intervalles [ li ; u i]. L a fo n c t i o n ob j e c t i f s e r a f : S 7! R.

Finalement, p our ne pas surcharger les algorithmes , nous considè rerons que si des

so lut ions gé nér ées ne sont pas dans l’ espa ce ad miss ibl e S alors celles-ci y sont ramenées

pa r un moy en q ue lc on q ue . On no t er a U(X ) la fonction gén é rant aléatoirement une

val e ur u ni f or mé m ent r ép a rt ie d an s X et R(X ⇠ Y

) la fonction générant aléatoirement

une va le ur da ns X en resp ec ta nt la di stri buti on de pro bab ilit és Y . Pou r de s ra is on s de

si mpli cit é d’ écri ture , nous co nsi dère ron s que la val eur de la fo nct ion ob je cti f f n’ e st

ca lcu lée qu ’une se ule fo is par so lut ion gr âce à une mé mori sat io n de la val eur.

9.1 Les abeilles

Il existe de nombreux algorithmes d’optimisation directement inspirés du comp ortement

des ab e illes [Karab oga et al. 12 ]. Deux type s principaux de comp ortements

ont été exploités : l’acc oup lement et le fourragement. L’explo itation de l’accou p le-

253

Chapitre 9 – Les autres algorithmes d’insectes so ciaux

ment a conduit principalement aux algorithmes du typ e Honey Bee Mating Optimization

(HBMO) [Haddad et al. 06 ] pu i s à se s n omb re us e s évo lu t io ns e t a mé li o -

rations. Le comportement de fourragement des ab eilles est celui qui a été le plus

souvent expl oit é provoq uan t l’ appa rit ion de nombreux al gor ithm es te ls que Be e-

Hive [ Wedd e et al. 04 ], B eeAdHo c [Wedd e et al. 05 ], Virtu al Bee [ Yang 05 ] ou ABC

[ Karab oga 05 ].

Ce dernier est celui qui a attiré le plus d’attention de la part des chercheurs

[ Karab oga et al. 12 ]. Dans la suite, nous nous fo calisons sur l’algorithme de fourragement

Artificial Bee Colony (ABC) prop osé par Karab oga [Karab oga 05].

9. 1. 1 Le fo ur rag em ent des ab ei ll es m éll i fèr es da ns la na tu re

Les ab eilles méllifères s ont des ab eilles so ciales vivant au sein d’une colonie matérialisée

sous la forme d’une ruche. Cette colonie est comp osée de trois castes d’ab eilles :

la reine, les mâles et les ouvrières. La reine est l’unique femelle de la colonie à être

f er ti le et a p o ur un iq ue rô l e d’ a ss ure r la s urv i e de la c ol on ie en do nn a nt na i ss an ce a ux

no uve ll es ab e il le s. L es ab e il le s m âl es o nt p o ur un iq ue f on ct io n de f éc on de r la re i ne .

Les ouvrières, femelles stériles, s’o ccup ent de tou t le reste : entretien de la colonie,

él evage des couvai ns, ré cep tio nnem ent de la no urrit ure et ap provis ionn eme nt de la

co lon ie en no urrit ure .

Le fourragement s’appuie princ ip ale ment sur quatre comp osantes : les s ou rc e s de

no ur ri tu re ( du ne c ta r ou du p o ll en ), l es o uv ri èr es é cl ai re us e s (scout bees), les ou vriè res

sp ec ta tric es (onlooker bees) et les ou vriè res ex plo ita nte s (employed bees) .

Les sources d e nourriture sont évaluées par les ab eilles selon plusieurs critères tels

que la distance les séparant de la colonie, la quantité de nourriture disp onible et la

facilité d’extra ction de la nourriture. Ces critères p euvent être résumés sous le terme

“inté rêt ” de la so urce de no urrit ure . La sur vie dans la na ture d’une co lon ie d’ab ei lle s

né c es si t e la ré du c ti on a ut an t q ue p o ss ib le de s c oû ts é ne rg ét iq u es de s on a ct iv i té . Ai ns i ,

les effforts de fourragement se concentrent sur les sources de me ille ure qualité en

pr io ri t é ( fig ure 9 .1 ).

Une ouvrière exploitante est chargée d’exploiter une source de nourriture en

rapp ortant à la ruche du nectar ou du p ollen. À son retour, après avoir dép osé sa

récolte, elle se rend dans une partie de la ruche communément app elée “la piste de

danse” (figure 9.2). Cette salle a été balisée chimiquement [ Taut z 09 ] par les ab eill es

afin d’attirer les sp ecta trices n’ayant pas encore de source de nourriture à exploiter et

les exploitantes. Sur la piste de danse, l’ab eille exploitante pe u t informer le s autres sur

l’intérê t de la sourc e de nourriture qu’elle exp loite . Sur la piste de danse, toutes les

ab eilles qui souhaitent exprimer l’intérêt d’une source de nourriture p euvent le faire

en se mettant à danser. Cette danse p ermet d’indiquer aux sp ecta trices à la fois la

di re c ti on , la di s ta nc e, la c om p o si ti on et l ’i nt ér êt d’ un e s ou rc e de no ur ri tu re . En f on ct io n

de l eu rs o bs er va ti on s e t, no t am me nt , de l ’i nté rê t, l es sp e ct at ri c es se ré pa r ti ss en t l es

sources et sortent les exploiter. Ce mécanisme de recrutement est essentiel à la colonie

p ou r m in im ise r se s e ffo rt s d e f ou rra ge me nt. L or sq u’u ne e xp loi ta nt e r entr e à l a ru ch e

et que sa so urce de no urrit ure ne co mp orte plus d’ inté rêt al ors el le l’ oubl ie et ne da nse

pa s . À ce m om ent, e ll e de v ie nt s oi t une sp e ct at ri c e, s oi t une ab e il le é cl ai re us e . L ’a b ei ll e

- 254 -

9.1 Les abeilles

éc lai reu se est une ou vriè re ch arg ée de tr ouve r une nouvel le so urce de no urrit ure . À son

retour à la ruche avec la c onn aissance d’une source de nourriture, l’ab eille éclaireuse

de v ie nt une e xp lo it a nt e. En g én ér al , on c on si dè re q u’ il y a 5 % à 10 % d’ a b e il le s

éc lai reu ses dans une ruche [K arab oga 05 ].

Figure 9.1 – Exploitation et évaluation de l’intérêt de champs de fleurs par des abeilles.

Figure 9.2 – Deux exploitantes dansantes pendant que les spectatrices regardent.

- 255 -


Les capacités d’auto-organisation et d’émergence dans le comp ortement de fourragement

des ab eilles proviennent principalement des effets suivants :

– P lu s une s ou rc e de no ur ri tu re e st int ér es sa nt e , pl us le no m bre d’ a b e il le s sp e c-

tatrices recrutées p our l’exploiter est imp ortant. Cela p ermet à la colonie de

co nce ntrer ses efforts sur les so urce s les plus pro lifi que s.

– Lorsqu’une source de nourriture n’est p lu s intére ssante, il n’y a plus de recrutement

de sp ecta trices et l’explo itante finit par l’abandonner. Cela p ermet à la

co lon ie d’ aban donn er les so urce s ta rie s.

– Les éclaireuses assurent la déc ouverte de nouvelles sources. La colon ie répartit

do nc s es e ffo rt s sur pl us ie u rs l ie ux et a ss ur e le re no u ve ll em e nt de s on a ppr ov i-

si onne ment.

– La danse des ab eilles p ermet le partage des informations et le recrutement

pr op o rt io n ne l à l ’i nt ér êt de s s ou rc es de no ur ri tu re .

9. 1. 2 Le mo dè le c las si qu e ABC et son i mpl ém enta ti on

Po ur l ’ a l go r i t h me Artificial Bee Colony (ABC), les sources de nourriture sont

de s z on es da ns l ’e sp ac e de s ol ut io ns S us ue l le me nt re pr é se nt ée s pa r un p o in t de

S . L ’ e x p l o i t a t i o n d’ u n e s o u r c e c o n s i s te à é va l u e r l ’ i n t é r ê t d ’ u n po i n t d e S da ns un

vo is i n a g e d e c e t t e s o u r c e. L a c o lo n i e d ’ a b ei l l e s e s t c o m p os é e d e t r o i s ty p es d ’ a b ei l l e s

ouvrières : les éclaireuses, les sp ecta trices et les exploi tantes. Une éclaireuse devient

une e xp lo it a nt e dè s l or s q u’ el le a une s ou rc e de no ur ri tu re à e xp lo it e r. Une e xp lo it a nte

de v ie nt é cl ai re us e dè s l or s q u’ el le dé c id e d’ a ba nd on ne r sa s ou rc e de no ur ri tu re . On

no t e N la taille de la colonie, N exploitante le nombre d’exploitantes, N spectatrice le

no mbre de sp e ct at ri c es et N éclaireuse le n ombre d’éc laireuses. L’algorithme ABC se

résume par l’algorithme 9.1.

Al gorit hm e 9.1 L’algorithme Artificial Bee Colony (ABC)

N exploitante so urce s de no urrit ure sont ch ois ies

tant que le critère de fin n’est pas vérifié faire

Les exploitantes sortent de la ruche p our exploiter les sources de nourriture.

Les sp ectatrices sortent exploiter les source s de nourriture en se répartissant en

f on ct io n de l ’i nt érêt de c es de rn iè re s .

Les exploitantes décident éventuellement d’abandonner de s sources de nourriture.

Des exploratrices décident éventuellement d e chercher de nouvelles sources de

no ur ri tu re .

On notera S = {s 1 , . . . , s | S |

} l’ensemble des sources de nourriture et q : R ! R + la

f on ct io n de m es ur e de l ’i nt ér êt d’ un e s ou rc e de no ur ri tu re . No u s c on si dè re ro ns q ue

q p os sè de le m êm e m éc an is me d e m ém ori sa ti on d e l a va le ur q ue f p er me tt ant d e

n’ é va lu er sa va le ur q u’ une s eu le f oi s pa r s ol ut io n. La m ei ll eu re s ol ut io n t ro uv ée pa r

l’algorithme est nommée s ⇤ .

- 256 -

9.1 Les ab eilles

9.1.2.1 Choix des sources initiales de nourriture

Pa r d é f au t e t s a ns e x p lo i t a ti o n s up p l é m ent a i r e d e c o n n a is s a n c e s u r l e pr o b l è me

d’ o pt im is at io n , le c hoix i ni ti al de s s ou rc es de no ur ri tu re s ’e ffe ct ue a lé at o ir em en t et

un if o rm ém ent sur l ’e sp ac e de re c he rche . Po ur cha q ue s ou rc e, un c om pt eu r de s uc cè s

d’ e xp lo it a ti on ( e i ) est maintenu à jour au cours de l’algorithme. Initialement, il est

dé fi ni à 0. Le dé t ai l de l ’i mp lé me nt at io n e st do nn é pa r l ’a lg or it hm e 9 .2 .

f

Al gorit hm e 9.2 Choix des sources initiales de nourriture dans ABC

p ou r i = 1 à | S|

faire

si U ( S

)

ei 0

s ⇤ = max

( s)

s2S[{ s }

9.1.2.2 Sortie des ab eilles exploitantes de la ruche

L’exploitation d’une source néce ssite de choisir une solution dans le voisinage de

la source de nourriture ( si ). Dans l’implémentation clas s ique, la nouvelle solution

vi = ( vi,1 , . . . , vi,D ) 0 est ca lcu lée à pa rtir de la p os iti on de la so urce en la mut ant

légèrement. Cette mutation est obtenue en mo difiant une co ordonnée aléa toirement

se lon l’ équ ati on suivante :

v i,k = s i,k + U ([1; 1]) ⇤ ( s i,k s n,k )

ave c s i la p osition de la source, s n une a ut re s ou rc e c ho is ie a lé at o ir em en t et k la

co or donn ée mo di fiée ch ois ie al éat oir eme nt. Le dé tai l de l’ impl éme nta tio n est donné

pa r l ’a lg or it hm e 9 .3 .

Al gorit hm e 9.3 Calcul des nouvelles sources dans ABC

p ou r i = 1 à | S|

faire

sn U (S { si }) // Choix de la source influente

k U ( J1 : DK )

// Choix de la dimension à muter

vi

s i

v i,k s i,k + U ([1; 1]) ⇤ ( s i,k s n,k ) // Mutation de la solution

Si l ’i nt ér êt de la no uve ll e p o si ti on v i est sup ér ieur à ce lui de la p os iti on de la so urce s i

alors v i remplace s i da ns la m ém oi re de l ’o uv ri èr e. Le c om pt eu r de s uc cè s d’ e xp lo it a ti on

est mis à jour : il vaut 0 si l’ exp loi tat ion a été fr uctu eus e ( q( f (vi )) > q(f ( si )) ) et

il est incrémenté dans le cas contraire. Le détail de l’implémentation est donné par

l’algorithme 9.4.

- 257 -


Al gorit hm e 9.4 M ém or is at i on de s no uv e ll es s ou rc es i nt ér es sa nt es da ns AB C

p ou r i = 1 à | S|

faire

si q ( f ( si )) < q ( f ( vi )) alors // La nouvelle solution est meilleure

si v i

e i = 0

sinon

// La nouvelle solution est pire

ei e i + 1

9.1.2.3 Les ab eilles sp ectatrices

Les sp ectatrices, en observant la danse des ab eilles, vont choisir les sources les

pl us pr om e tt eu se s en pr io ri t é. P ou r mo dé l is er ce m éc an is me , une ré pa r ti ti on de s

sp ec ta tric es prop or tio nnel lem ent à l’ inté rêt des so urce s de no urrit ure est en gé nér al

effec tué e par une affec ta tio n al éat oir e se lon une di stri buti on de pro bab ilit és

P . Il existe

de no mbr eu se s f aç on s de dé fi nir c et te di s tri bu ti o n. L or sq ue la dé fi nit i on c la ss iq ue de

la fonction d’intérêt q d’ un e s ou rc e s est dé finie par :

1

q ( f ( s)) = 1+f( s)

1 + | f

s

|

( ) si non

si f ( s)

0

alors la probabilité de choisir la source s i est p i et el le p eut être dé finie par :

p i = q ( f ( s i ))

q ( f ( s))

s2S

La définition de la d is trib u tion P est fo rte men t dép en dant e de la fo rme de la fo nct ion

d’ é va lu at io n de l ’i nt ér êt q (cf. algorithme 9.5).

Al gorit hm e 9.5 Calcul de la probabilité d’explo itation des sources dans ABC

p ou r i = 1 à | S|

faire

p i = P

q( f( s i ))

q( f( s))

s2S

Chaque sp ectatrice est affectée à une source de nourriture suivant la distribution P .

E ll e e xp lo it e a lo rs la s ou rc e de f aç on t ot al e me nt s im il ai re a ux e xp lo it a nt es : c ho ix

d’ un e s ol ut io n da ns le v oi si na g e de la s ou rc e, m is e à j ou r de la p o si ti on de la s ou rc e et

du c om pt eu r de s uc cè s. F in al em en t, la m ei ll eu re s ou rc e t ro uv ée j us qu ’à m ai nt en ant

est mé mori sée . Le dé tai l de l’ impl éme nta tio n est donné par l’ alg ori thme 9. 6.

- 258 -

9.1 Les ab eilles

Al gorit hm e 9.6 E xp lo it a ti on de s s ou rc es da ns AB C

// Les spectatrices exploitent les sources de nourriture

p ou r i = 1 à N spectatrice faire

xi R (J1 : | S|

K ⇠ P ) // Les xi sont distribuées selon P

sn U (S { sxi }) // Choix de la source influente

k U ( J1 : DK )

// Choix de la dimension à muter

wi s xi

wi,k s xi,k + U ([1; 1]) ⇤ ( s xi ,k s n,k ) // Mutation de la solution

// Mise à jour des sources et des compteurs de succès

p ou r i = 1 à N spectatrice faire

si q ( f ( sxi f ( wi )) alors

ex i = 0 // La nouvelle solution est meilleure

sx i

w i

sinon

ex i e xi + 1 // La nouvelle solution est pire

f

// Mémorisation de la meilleure source

s ⇤ = max

( s)

2S[{ s } s

9.1.2.4 Abandon des sources taries et mise en œuvre des exploratrices

Dans l’impléme ntation standard de l’algorithme ABC, seul un nombre limité d’expl

o ra tr ic es s on t a ut or is ée s à a ba nd on ne r une s ou rc e de no ur ri tu re . P ou r c el a, l es s ou rc es

p ou r l es qu ell es l e c om pte ur d ’é ch ecs a d ép as sé un n ive au ma xi mu m fi xé (e Max ) sont

co nsi déré es. Les N éclaireuse so urce s ayant le plus gr and no mbre d’ éche cs sont ou blié es

et les exploi tantes asso ciées deviennent des éclaireuses. Chaque éclaireuse choisit une

no uve ll e s ou rc e de no ur ri tu re et re de v ie nt une e xp lo it a nt e. Ai ns i , a prè s c et te ph as e ,

l’ensemble des sources est reconstitué. Dans l’impléme ntation classique de l’algorithme,

N éclaireuse = 1 . Le détail de l’im pl éme nta tio n est donné par l’algorithm e 9. 7.

Al gorit hm e 9.7 Abandon des sou rc e s taries et mise en œuvre des exploratrices

x = 1

C = i 2 1.. | S|

ei > = e

Max // Les sources candidates

tant que x apple N écla ireu se et C 6 = ; faire

i = arg maxj2C {ej } // La plus tarie des sources

si U ( S

)

// Renouvellement de la source

C = i 2 1.. | S|

ei > = e

Max

x x + 1

9. 1. 3 P ara mé tra ge et évol ut io n de l ’al go ri th me c las si qu e

Dans sa version classique, l’algorithme ABC ne nécessite que p eu de paramètres.

Le nombre d e sources de nourriture est le nombre d’exploitantes qui est en général

- 259 -


fix é à la m oi ti é de la p o pul a ti on de la c ol on ie . P ar c on sé qu e nt , on a :

N exploitante = N spectatrice = N 2

Le nombre de sources de nourriture aband on nées par itération de l’algorithme est

fix é à 1 do nc N éclaireuse = 1 . Apr ès une é tude ex p érime ntale [ Karab oga et al. 09], le

no mbre d’ é che c s d’ e xp lo it a ti on m ax im um d’ un e s ou rc e a é té dé t er mi né c om me é ta nt

adapté p our :

e Max = D ⇤ N

2

L’unique paramètre restant est alors le critère d’arrêt de l’algorithme, souvent exprimé

sous la fo rme d’un no mbre ma xim um d’ ité rati ons .

Depuis sa création, ABC a suscité b eaucoup d’intérêt et a été appliqué dans de

très n ombreux domain e s . Rapidement, il a été montré qu’il était aussi p erformant

vo ir e m ei l l e u r q u e d ’ a u t re s m ét a h e u r i s ti q u e s p o p ul a i r e s t o u t e n n é c e s s it a nt m o i n s d e

réglages. Initialement conçu p our des problèmes continus, plusieurs extensions ont été

pr op o sé e s p o ur l ’a da pt er à de s pr ob lè m es di s cr et s, c om bina t oi re s et m ult i -ob j ec ti f s. De

no mbr eu se s a mé li or at i on s et hy br id at i on s av ec d’ a ut re s m ét ah eu ri st iq ue s lui o nt p e rm is

de re s te r pa rm i l es m ei ll eu rs . F in al em en t, de pa r sa s tr uc tu re , il se pr êt e bi e n à la

pa ra l lé li sa t io n et do nc à l ’a pp li ca ti o n à de t rè s g ro s pr ob lè m es . P ou r pl us de dé t ai ls , no us

en gag eo ns fo rte men t le le cte ur à se ré fér er à [ Karab oga et al. 12 ]. Finalement, p our

sui vre l’ act ual ité de l’ alg ori thme ABC, le site web http://mf.erciyes.edu.tr/abc/

co nst itue un b on p oint de dé part .

9.2 À la recherche de l’harmonie musicale parfaite

La musique fait partie de la civilisation humaine depuis son origine. De tout

temps, l’homme a cherché à créer des mélo dies aux accords p arf aits . De façon usuelle,

pl us ie u rs i ns tru me nts é me tt a nt s im ul ta né me nt c ha cu n une no t e s on t c on si dé ré s p o ur

la création d’un accord esthétique . La recherche d’un tel acc ord s’effectue en a justant

pr og re s si ve me nt l es no t es p o ur o bt en ir la c om p o si ti on la pl us e st hé ti q ue . L or s du

pro c es su s de re c he rche , l es m usi c ie ns m ém or is en t l es a cc or ds l es pl us e st hé ti q ue s.

Le choix d’un nouvel accord p eut être obtenu de différentes façons p our chacun

de s i ns tru me nt s. La pr em i èr e p o ss ib il it é c on si st e à cho i si r la no t e de l ’i ns tr um ent de

f aç on a lé at o ir e pa rm i la g am me de no t es p e rm is es . La de u xi èm e p o ss ib il it é c on si dè re

un iq ue m ent l es no t es de s a cc o rds l es pl us e st hé ti q ue s a ct ue ll e me nt m ém or is és : une

no t e e st c ho is ie e t, é ve nt ue ll em ent, une mo di fic a ti on de la t on al it é e st e ffe ct ué e . Le

no uvel a cc or d o bt en u e st j ou é et c om pa ré de f aç on e st hé ti q ue a ux m ei ll eu rs a cc or ds

connus. Le pro ce ssu s est rép été ju squ’ à ce que les mus ici ens ai ent ob ten u un ac co rd

sa tis fai sant (fi gure 9. 3).

La recherche harmonique (Harmonic Search ou HS) [ Geem et al. 01], créée par

Z. W. Geem, a été conçue à partir de ce pro cessus itératif de recherche de l’accord

pa rf a it . Le v ec te u r de pa ra m èt re s du pr ob lè m e re pr é se nt e l es no t es de s i ns tru me nts

co mp os ant un ac co rd. La fo nct ion num éri que à op timi ser joue le rôle de me sure de

- 260 -

9.2 À la rech erche de l’harmonie musicale parfaite

l’esthétisme d’un accord. L’algorithme de la recherche harmonique dans sa version la

pl us s im pl e se ré s um e à l ’a lg or it hm e 9 .8 .

Mémoire 1

Mémoire 2

Mémoire 3

Improvisation

Choix dans la mémoire

Choix dans la mémoire et

augmentation de la tonalité

Choix aléatoire

dans la gamme de notes

15/20

11/20

9/20

14/20

Remplacement de la moins

bonne harmonie par

l'improvisation

Figure 9.3 – Princip e de l’improvisation dans la rech erche d’harmonies.

Al gorit hm e 9.8 L’algorithme Harmony Search

Initialiser la mémoire des accords


Improviser un nouvel accord

Remplacer le plus mauvais accord de la mémoire si le nouvel accord est meilleur

9. 2. 1 In it it ial is at io n de la m ém oir e

La mémorisation des meilleurs accords est matérialisée sous la forme d’un ensemble

d’ a cc or ds de t ai ll e fix e . En no t an t M = {m1 , . . . , m | M |

} la m é moire , le détail de

l’implémentation est donné par l’algorithme 9.9.

Al gorit hm e 9.9 Inititia lisation de la mémoire dans HS

p ou r i = 0 à | M|

faire

m i U ( S

)

9. 2. 2 Im pr ov isat io n d’ un no uv el ac co rd

Les capacités d’exploration et d’exploitation de la recherche harmoniqu e résident

pr in ci pa l em ent da ns l ’i mp rov is at io n d’ un no uv e l a cc or d. P ou r c ré er un no uvel a cc or d,

- 261 -


il y a deux p ossibilités : exploiter la mémoire des meilleurs accords connu s ou pas.

Cette exploi tation s’effectue instrument par instrument (dimension par dimension)

en fo nct ion d’une pro bab ilit é ⌧ mémoire 2 ]0 : 1[. Dans le cas de l’e xploi tation p our

l’instrument j , un e vale u r e s t cho i s i e al é a t oi r e m e nt et u n i fo r m é m ent d a n s le s n o t e s de

l’instrument corresp ondant dans la mémoire c’est-à-dire dan s l’ensemble :

m 1,j , m 2,j , . . . , m | M | ,j .

Ainsi, plus une caractéristique est présente parmi les meilleurs accords, plus elle a

de c ha nc es d’ ê tr e c ho is ie p o ur le no uv e l a cc or d. La va le ur a in si c ho is ie s ubi t a lo rs

une mo di fic a ti on de t on al it é s el on la pr ob a bil i té ⌧ tonalité 2 ]0 : 1[. Cet a justement est

alors une valeur aléatoire choisie dans [ ; ] ave c > 0. Dans la littérature, est

dé s ig né t ra di ti on ne ll e me nt s ou s le t er me bandwidth et plus ré cem men t sous le te rme

fret width et co rre sp ond à la qu ant ité de mut at ion app or tée lors de l’ impr ovi sat ion

avec la mémoire. Cette mutation p ermet d’app orter une certaine variabilité dans

l’improvisation . Lorsque la mémoire n’est pas exploitée, la note d e l’instrument es t

ch oi s i e u n i f o rm é m e nt d a n s l a g a m m e d e n o t e s c ’e s t - à - d ir e d an s [lj : uj ]. Les trois cas

p os si bl es et le ur s p ro ba bil it és d e s él ect io n s ont r ésu mé s p ar l e t ab le au 9. 1.

Tabl eau 9.1 – Probabilités asso ciées à l’improvisation pour l’algorithme Harmony Search

Improvisation

Probabilité

m U | M|

K),j (1 ⌧ tonalité )

(J1: ⌧ mémoire ⇤

m U (J1: | M|

K),j + U ([ ; + ]) ⌧mémoire ⇤ ⌧ tonalité

U ([ l j : uj ]) 1 ⌧ mémoire

Dans la littérature, diff érents choix ont été prop osés p our

⌧ tonalité et . Pour l e

cas où S j est di scre t, en gé nér al = 1. D a n s l e c as o ù l ’ e s pa c e d e s s ol u t i o ns ( [ lj : u j])

est symb ol iqu e, l’a ju ste ment de to nal ité doit être vu co mme une au gme nta tio n ou une

di mi nut i on de t on al it é . P ar e xe mp le , da ns le c as d’ un e no t e de m usi q ue , l ’a j us te me nt

de t on al it é de la no t e mi do nn e ra it l ’u ne de s de u x no t es

ré ou fa. D ans le cas o ù S j

est un intervalle ré el, de no mbre use s prop os iti ons ont été fa ite s et co nti nuent d’ être

f ai te s [ Al ia et al. 11].

Dans les travaux originaux sur la recherche harmonique, les diff

érents paramètres

⌧ mémoire , ⌧ tonalité et sont fixés au début de l’algorithme. Il s’agit de la stratégie

originale prop osée par Z. W. Geem [ Geem et al. 01 ]. Rapidement, des stratégies plus

évol uée s l’ont re mpla cé e. La st rat égi e la plus co nnue a été fo rma lisé e sous le nom

de Improved Harmony Search (IHS) [ M ah davi et al. 07 ]. Dans ce cas, la probabilité

augmente lin éairement en fonction du temps et la quantité d’a justement de tonalité

dé c ro ît e xp o ne nt ie ll e me nt en f on ct io n du t em ps . En no t an t t 2 J 0 : T Max K le numéro

de l ’i mp rov is at io n, on a :

- 262 -

9.2 À la rech erche de l’harmonie musicale parfaite

et

⌧ tonalité (t) = ⌧ tonalité min

+ ⌧ tonalité max ⌧ tonalité

min

t

T Max

t

(t) =

max min T Max .

max

Bi en ente ndu, ap rès mo dific ati on de la to nal ité , si la val eur ob tenue n’ est pas

da ns l ’e ns em ble de s va le ur s a dm is si bl es , a lo rs e ll e e st à no uv e au mo di fié e p o ur y ê tr e

ramenée, par exemple, en utilisant les b ornes de l’intervalle.

La phase d’improvisation est résumée par l’algorithme 9.10.

Al gorit hm e 9.10 Improvisation d’un nouvel accord dans HS

p ou r j = 1 à D

faire

si U ([0 : 1]) apple ⌧ mémoire alors

i U ( J1 : | M|

K )

// Choix d’un accord dans la mémoire

si U ([0 : 1]) apple ⌧ tonalité alors

v j m i,j + U [ 1 : 1] ⇤ // Ajustement de la tonalité

sinon

vj mi,j // Exploitation de la mémoire uniquement

sinon

v j U ([ l j : u j ]) // Choix d’une note au hasard

9. 2. 3 M ise à jo ur de la m ém oir e avec le no uvel ac co rd

Dans sa définition classique, la mise à jour de la mémoire consiste à comparer

l’esthétisme du nouvel accord avec ceux présents dans la mémoire. Si l’accord est p lus

sa tis fai sant que le mo ins sa tis fai san t de la mé moi re al ors il le re mpla ce . Dans le cas

contr aire , il est ig noré . D’ aut res st até gie s p eu vent être ut ilis ée s p our par ex emp le

emp êcher l’ appa rit ion de do ublo ns dans la mé moi re, p our mainte nir une diver sit é

minimum des accords. . . Ce qui est résumé par l’algorithme 9.11.

Al gorit hm e 9.11 M is e à j ou r de la m ém oi re avec le no uv e l a cc or d da ns HS

m arg max

f

( m ) // Le plus mauvais accord de la mémoire

m2M

si f ( v

) < f ( m)

alors

m v // Remplace le plus mauvais accord de la mémoire

- 263 -


9. 2. 4 P ara mé tra ge et évol ut io n de l ’al go ri th me c las si qu e

Le paramétrage de l’algorithme est dép endant du problème à résoudre. Cep endant,

les expérimentations menées depuis sa création font apparaitre des tendances . La

mémoire a en moyenne une taille de 30

mais elle p eut facilement être étendue à une

taille de 100 en fonction du problème. ⌧ mémoire pr en d en g én ér al une va le ur a ss ez

ha ut e ( en tr e 0 . 70 et 0. 98) p ou r p er me ttr e l’ ex plo it ati on d e la m émo ir e. L a moye nne d es

val e ur s d e ⌧ mémoire semble se tr ouve r à 0 .9. Le t a u x d ’a ju s t e m ent d e t o na l i t é ⌧ tonalité

pr en d en g én ér al une va le ur i nf ér ie ur e à 0 .5 ave c u n e m oye n n e à 0

.3. est dép en dant

du pr ob lè m e m ai s se s it ue en g én ér al e nt re 1 % et 10 % de l ’a mp li tu de de s va le ur s.

Po ur r éd u i r e l a d i ffi cu l t é d u ch o i x d e s p a ra m è t r e s , p l u s i e ur s tr avau x r é c e nt s t el s q u e

[ Hasançebi et al. 10], [Wora suchee p 11] o u [ Four ie et al. 13 ] o nt c h e rc h é à c o n c e vo i r

une a da pt at io n a ut om at iq u e de s pa ra m èt re s et de l ’a lg or it hm e au pr ob lè m e.

La recherche harmonique a été étendue en incorp orant d’autres métaheuristiques

ou en étant intégrée à d’autres métahe uri stiques. Le lecteur dé sirant approfondir

ces asp ec ts p ourra se ré fér er à [ Geem 10a, Geem 10b, Alia et al. 11 ]. Finalement,

p ou r s ui vr e l ’a ctu al it é d e l a r ech erch e h ar mon iq ue , l e s it e we b www.hydroteq.com/ 1

co nst itue un b on p oint de dé part .

9.3 L’écholocalisation des micro chauves-souris

Les chiroptères, communément nommés chauves-souris, tienn e nt une place très

pa rt i cu li èr e pa rm i l es m am mi fè re s. E ll es s on t l es s eu le s do ué e s de la c ap ac it é de vol a ct if ,

co mme la pl upart des oi sea ux, et, ap rès les ro nge urs, il s’ agi t de l’ ordr e co mp or tant le

pl us d’ e sp è ce s c he z l es m am mi fè re s ( prè s de 1 0 00 ). On di v is e c la ss iq ue m ent c et o rdr e

en deux gr oup es : les mi cro chi ropt ère s et les mé gac hir optè res . Les mi cro chi ropt ère s

sont de p et ite s ta ill es et ca pab les d’ écho lo cal isa tio n. La ma jo rit é d’ entr e el les sont

insectivores et, bien que p ossédant la vue, elles s’appuient surtout sur l’écholo calisation

p ou r ch as se r d es i nse ct es p ri nci pa le ment l a nu it .

L’écholo calisation est réalisée grâce à la présence d’une forme mutée de la protéine

pr es t in e au s ei n de l ’o re il le p e rm et ta nt a in si la p e rc ep ti on de s ul t ra so ns . L or sq u’ un e

ch au ve - s o u ri s é m e t d e s u l t ra s o n s p a r s a g u eu l e o u s o n n e z , c e ux - c i s o nt r é fl éch i s p a r l e s

di ffé re nts o bs ta cl e s pu is s on t c ap té s pa r l es o re il le s ( fig ure 9 .4 ). G râ ce à c es ul t ra so ns ,

la chauve-souris est capable de reconstituer un mo dèle 3D fidèle de son environnement.

La plupart d e s micro chauves-souris mo dulent les ultrasons lors de leurs déplacements

en fo nct ion de le urs pro pre s mo uve ments, de la st rat égi e de ch ass e sui vie , de la di sta nce

de leurs proies et de l’environnement. Cette mo dulation consiste à adapter la puissance,

la fréquence et le rythme de s rafales d’ultrasons qu’elles émettent afi n d’obtenir

une g ra nd e pr éc i si on l eu r p e rm et ta nt de s ’a da pt er e ffic ac e me nt . La mo dé l is at io n du

co mp or tem ent de ch ass e par écholo ca lis ati on de ces mi cro cha uve s-s ouri s a co ndui t à la

cr éat ion de l’ alg ori thme des ch auves -so uris (Bat algorithm) pa r X. - S. Ya ng [ Yang 10 a].

1. Lien alternatif : https://sites-google-com.passerelle.univ-rennes1.fr/a/hydroteq.com/www/

- 264 -

9.3 L’écholo calisation des micro chauv es-souris

Figure 9.4 – Réflexions des ultrasons émis par une chauv e-souris sur une proie.

Cet algorithme s’appuie sur l’hypothèse que seule l’écho localisat ion est utilisée p our

la chasse des proies, la p erception des distances et la p erception de l’environnement.

On considère que les chauves-souris se déplacent en volant et que les solutions de

l’espace de recherche S sont des p os iti ons de l’ espa ce . À ch aqu e in sta nt t, chac une d es

N ch au ve s - s ou r i s p o s s è d e un e p os i t i o n d a n s l ’ es p a c e xi et u ne vi tes se vi . Au cou rs

de s es dé p la ce me nt s , c ha qu e c ha uve -s ou ri s é me t de s ul t ra so ns av ec une pu is sa n ce

Li 2 [Lmin : Lmax ] à un e f ré q ue n ce fi 2 [fmin : fmax ]. L es é m is s io n s d’ u lt r as o n s

s’e ffec tue nt en ra fal e se lon le taux d’ impul sio ns

⌧ i 2 [0 : 1]. Lor squ e la pr oie e st p ro che

de la c ha uve -s ou ri s, e ll e é me t pl us f ré qu em me nt de s ul t ra so ns av ec une pu is sa n ce f ai bl e

( ⌧ i grand et L i p etit). Inversement, lorsque la proie est éloignée, les émissions sont moins

f ré qu ent es m ai s pl us pu is sa n te s p o ur p e rm et tr e d’ a ppr é he nde r de s c ib le s é lo ig né e s.

La structure générale de l’algorith me d’écholocalisation par les micro chauves-souris

p eu t ê tr e r és um ée p ar l ’al go ri th me 9 .1 2. D an s la s uit e, n ous n ot ero ns f : S 7! R la

f on ct io n ob j ec ti f à m ini m is er et x ⇤ la meilleure solution connue. Les grandes étap es de

l’algorithme, qui seront détaillées ci-après, sont donné e s par :

Al gorit hm e 9.12 L’algorithme d’écholocalisation p ar les micro chauves-souris

Initialiser les p ositions, les vitesses des chauves-souris

Initialiser les propriétés d’émission des ultrasons des chauves-souris


Déplacer les chauves-souris

M et tr e à j ou r l es pr op ri ét é s d’ é mi ss io n de s ul t ra so ns de s c ha uve s- so ur is

M et tr e à j ou r la m ei ll eu re s ol ut io n

9. 3. 1 In it ia li sat io n

À l’initialisat ion, les chauves-s ouris sont par déf au t réparties uni formément dans

l’espace de recherche. La vitess e initiale est en général nulle. Dans la plupart des

implémentations, la pu issance d’émission es t choisie dans l’intervalle [0 : 1] c’ est -à-

- 265 -


di re Lmin = 0 et Lmax = 1. L a val e u r in i t i a l e d e l a pu i s s a n c e d ’ é m i s s i on et du ta u x

d’ i mpu ls io n e st s ou ve nt fix é e à une va le ur pro c he de 0 .5 . D an s ce c as , une c ha uve -s ou ri s

a 50 % de chanc e de choisi r un déplac ement aléa toire ini tialeme nt (cf. sec tion 9.3. 2)

et, en cas d’ amé lio rati on de la me ill eure so lut ion, de me ttr e à jour ses pro prié té s

d’émissions des ultrasons. Il est également possible d’initialiser Li et ⌧i de f aç on

aléatoire et différente p our chaque chauve-souris. L’étap e d’initial isation est donnée

pa r l ’a lg or it hm e 9 .1 3.

Al gorit hm e 9.13 Initial isation dans BA

⌧max 0.

5


xi U ( S

)

vi 0

⌧ i ⌧ max

L i 0.

5

9. 3. 2 Dé pl ac em ent des c hau ves -s ou ri s

Le déplacement d’une chauve-souris ob éit à un e règle simp le : soit elle continue

son mo uve ment ac tue l, soit el le ch ang e ab rupt eme nt de di rect io n.

Dans le premier cas, on utilis e un princip e similaire à celui d e l’optimis ation par

es sai m pa rtic ula ire (O EP) . La no uve lle vi tes se est ob tenue en so mma nt la vi tes se

actuelle et un vecteur de vitesse directionnelle externe. Dans le cas de la forme de

ba s e de l ’a lg or it hm e , c et te v it es se di re c ti on ne ll e e xt er ne e st en g én ér al o bt en ue en

mu lt i p l i ant l a f r é qu e n c e d ’ é mi s s i o n f i et la di rect io n en tre la p os iti on ac tue lle et la

p os it io n d e l a m ei ll eu re so lu ti on. L a fr éq ue nc e d ’ém is si on e st gé né ré e u ni fo rmé me nt

da ns l ’i nt er va ll e [ f min : fmax ] et p er met de co ntrô le r le ry thme du dé plac em ent. Le

dé p la ce me nt s ’e ffe ct ue en a j ou ta nt à la p o si ti on c ou ra nt e la no uv e ll e v it es se .

Dans le second cas, la p osition est obtenue à partir de la p osition actuelle d’une

chauve-souris choisie aléa toirement. Cette p osition subit une p erturbation aléatoire

pr op o rt io n ne ll e à la pu is sa n ce m oye nn e de s ul t ra so ns é mi s pa r t ou te s l es c ha uve s- so ur is .

Po ur c o nt rô l e r l e ch o i x d e t e l l e o u t e l l e s t r a t ég i e d e m o u vem e nt , l e t a u x d ’ i mp u l s i o n

⌧i est ut ilis é. Plus ce taux est él evé , plus la ch auve so uris ex plo ite sa vi tes se ac tue lle

ainsi que l’information externe p our définir sa nouvelle position . Plus le taux est faible,

pl us l es m ou ve me nts a lé at o ir es s on t a ut or is és . Ce t au x j ou e un rô l e s im il ai re à c el ui de

la temp érature dans le recuit simulé et détermine un équilibre entre l’exploitation des

p os it io ns ac tu el les e t l’ ex pl ora ti on d e l ’e spa ce . L a p ha se d e d ép la cem ent e st r ésu mé e

pa r l ’a lg or it hm e 9 .1 4.

- 266 -

9.3 L’écholo calisation des micro chauv es-souris

Al gorit hm e 9.14 Déplacement des chauves-sou ris dans BA

p ou r i = 1 to N faire

si U ([0 : 1]) > ⌧i alors // Changement de direction

k U ( J1 : N K)

P Nj=1

Lj(t1)

x i x k +

N ⇤ U ([1 : 1] D )

sinon

// Poursuite du mouvement

f i U ([ f min : f max ])

v i v i + (x i x ⇤ ) ⇤ f i

x i x i + v i

9. 3. 3 M ise à jo ur des pr op ri été s d’ ém is si on des ul tr as ons

Si la p o si ti on s ol ut io n e st m ei ll eu re q ue la m ei ll eu re s ol ut io n c on nu e a ct ue ll e me nt

alors la mise à jour des propriétés d’émission des ultrasons est effectuée en fonction de la

pr ob a bil i té L i . Da ns ce c as , la p ui ss a nc e d’ ém is si on e st r éd ui te p ar u n f ac te ur ↵ 2]0 : 1[

et le taux d’ impul sio n ⌧ i est au gme nté et ca lcu lé se lon la fo rmul e ⌧max (1 e t ) ave c

t le numéro de l’itération et 2]0 : 1[. La d iminu tion p rog res sive de L i prov oq ue

une di mi nut i on de la pr ob a bil i té d’ a ug me nter ⌧ i . L ’ au g m e nt a t i on d e ⌧ i di mi nue

la probabilité de recourir à un déplace ment aléatoire des ch au ves-souris e t p ermet

d’ a ug me nt er pr og re s si ve me nt l ’e xp lo it a ti on de s s ol ut io ns a ux dé p e ns de l ’e xp lo ra t io n

de l ’e sp ac e . L es pa ra m èt re s ↵ et sont en gé nér al ch ois is ég aux et ont p our val eur 0. 9.

L’étap e de mise à jour est donnée par l’algorithme 9.15.

Al gorit hm e 9.15 M is e à j ou r de s pr op ri ét é s d’ é mi ss io n de s ul t ra so ns da ns BA


si U ([0 : 1]) < Li et f ( xi ) < f (x ⇤ ) alors

Li

↵ ⇤

Li

⌧i ⌧ max(1 e t )

9. 3. 4 M ise à jo ur de la m eil l eur e so lu ti on

La mise à jour de la meilleure solution s’e ffectue classiqu ement en conservant la

meilleure p osition des chauves-souris (cf. algorithme 9.16).

Al gorit hm e 9.16 M is e à j ou r de la m ei ll eu re s ol ut io n da ns BA


si f ( x i ) < f (x ⇤ ) alors

x ⇤ x i

- 267 -


9. 3. 5 É vol ut io ns

Cet algorithme est relativement récent dans le domaine des métahe uri stiques.

X.-S. Yang [ Yang 10 a ] lo r s d e l a c r é a t i o n d e c e t a l g or i t h m e ch e r ch a i t à i nc o r p o r e r l e s

ca rac tér ist ique s pri nci pale s de pl usie urs mé tah euri sti que s ex ist ant es. A l’ aide d’un

pa ra m ét ra ge a da pt é, il e st p o ss ib le de le ré du ir e à une f or me s im pl e de l ’o pt im is at i on

pa r e ss ai m pa rt i cu la ir e ( OE P) ou à une re c he rche ha rm o ni qu e. D an s [ Yang 10 a ],

l’auteur supp ose que cette métaheuristique est p otentiellement meilleure que les deux

pr éc é de nt es ( AB C et HS ).

Cet algorithme commence à attirer l’attention des chercheurs et des prop ositions

d’ a mé li or at i on s a ppa r ai ss en t. D an s [Fari tha Ba nu et al. 13 ], les auteurs étendent l’algorithme

afin d’a jouter la prise en compte de l’effet Doppler lors d es déplacements.

Dans [ Carbas et al. 13 ], l’algorithme est mo difié principalement lors du pro cessus de

sé lec tio n des no uve lle s p os iti ons (du type ( µ + µ)-ES) et dans la pha se de mise à jour

de pa ra m èt re s d’ é mi ss io n de s ul t ra so ns . D an s [ Wang et al. 12 ], l’algorithme se voit

a j ou t e r l a n ot i o n d e mu ta t i o n . [ Nakamura et al. 12 ] prop ose un e ada ptat ion au c as

d’ un e sp ac e de s ol ut io ns bi na i re . [ Gandomi et al. 12 ] évalue le s capac ités de pr ise en

co mpt e de co ntra intes sous la fo rme de fo nct ion de pé nali té . Dans [ Lin et al. 12a ],

l’algorithme est enrichi avec une marche aléatoire du type Chaotic Lévy Flight. Cela

no us f ai t di re q ue c et a lg or it hm e t ro uv er a d’ a ut re s a mé li or at i on s i nt ér es sa nt es da ns

l’avenir.

9.4 La nature est source de beaucoup d’autres

inspirations

Les ab eilles, la musique et les chauves-souris ne sont que trois exemples de sources

d’inspiration provenant de la nature. Il en existe b eaucoup d’autres. Nous p ouvons

ci ter qu elq ues au tres in spira ti ons en al lan t du plus p et it (l es ba cté rie s) au plus gr and

(les

coucous).

9. 4. 1 Bacterial Foraging Optimization

Le premier exemple provient de la mo délisation du comp ortement de fourragement

et de déplacement de colonies de bactéries. Cette mo délisation a donné naissa

nce à l’ alg ori thme Bacterial Foraging Optimization (BFO/BFOA) [ M ul le r et al. 02 ,

Liu et al. 02 , Das et al. 09 ]. Dans cet algorithme, le s bactéries se déplacent au sein

de l ’e sp ac e de s s ol ut io ns en pr en a nt en c om pt e s im ul tané m en t la f on ct io n ob j ec ti f

et la proxi mit é des au tres ba cté rie s. Par des ét ap es suc ce ssi ves de dé plac em ents, de

morts et de naissances par disp ersion de nouvelles bactéries, la p opulation de bactéries

reche rche un optimum du problème.

- 268 -

9.4 La nature est source de b eaucoup d’autres inspirations

9. 4. 2 Slim Mold Optimization

Le Dictyostelium discoïdeum, un organisme eucaryote du group e des Amo eb ozoa,

est une amib e se nourrissant de bactéries et de levures. Cette amib e, bien qu’étant

un o rg an is me un ic e ll ul ai re , e st c ap ab le de f on ct io nn e r c om me un o rg an is me m ult i

ce llu lai re p our as sure r sa sur vie . La mo dé lisa ti on du co mp or tem ent de ce tte amib e

di t e “ so c ia le ” a i ns pir é l ’a lg or it hm e Slim Mold Optimization (SMO) [ M on is mi th 08 ,

M on is mi th et al. 08, Becker et

al.

10].

9. 4. 3 Les ve rs l uis ants et les l uci ol es

Les vers luisants et les lucioles sont des colléoptères appartenant à la famille

pl us g én ér al e de s L am py ri da e. L es i ns ec te s de c et te f am il le o nt la pa rt i cu la ri té de

pr es q ue t ou s é me tt re de la l umi è re g râ ce à une m ol éc ul e , la l uc if ér in e, q u’ il s pr od ui se nt .

Cette lumière intervient principalement dans la formation des couples d’insectes où le

cl ign ote ment de ce lle -c i est ut ilis é p our at tir er le pa rten air e. Deux al gor ithm es sont

di re c te me nt i ns pir é s de ce ph é no mè ne de c li gn ot e me nt : l ’a lg or it hm e Firefly Algorithm

et l’ alg ori thme Glowworm Swarm Optimization.

L’algorithme Firefly Algorithm a ét é pro p o sé pa r X.- S. Ya ng [Yang 10 b, Yang 10 c].

Dans cet algorithme, des lucioles se déplacent dans l’espace des solutions. Chaque

luciole émet un clignotement dont l’intensité e s t directe ment liée à la qualité de la

so lut ion qu ’el le re prés ent e (f onc tio n ob je cti f ). À ch aqu e it éra tio n, les lu cio les p er çoi vent

les autres lucioles et la quantité de lumière qu’elles émettent. Chaque luciole compare

son inte nsi té lu mine use à ce lle des au tres . Lo rsq u’el le tr ouve une au tre lu cio le ayant

une intensité lumineuse plus forte, elle se déplace dans la direction de celle-ci. Ce

dé p la ce me nt dé p e nd de l ’a tt ra c ti vi té de la c ib le q ui e st c al cu lé e en f on ct io n de l ’i nt en si té

de la p o si ti on c ib le et de la di s ta nc e à c el le - ci . Le pro c es su s se ré p è te p o ur l ’e ns em bl e

de s l uc io le s a ut an t de f oi s q ue né c es sa i re .

L’algorithme Glowworm Swarm Optimisation a été prop osé p ar Krish nanand e t

Ghose [ Krishnanand et al. 05, Wu et al. 12]. Comme p our l’algorithme précédent, la

luminosité du ver luisant est directement liée à la qualité de la p osition de celui-ci

(fonction ob jectif ). Chaque ver luisant ne voit que les vers situés dans son voisinage

et est attiré par les voisins qui ont une luminosité plus forte que la sienne. Chaque

itération de l’algorithme se divise en trois sous - étapes : la mise à jour de l’intensité

lumineuse, le déplac e ment des vers luisants et la mise à jour du rayon de voisinage.

La mise à jour de l’intensité lumine u s e consiste à l’atténuer puis à la réaugmenter en

f on ct io n de la q ua li té de la p o si ti on a ct ue ll e . P ou r le dé p la ce me nt, un ver l ui sa nt du

vo is i n a g e e s t ch oi s i a l éa t o i r e m e nt s e l on u n e p r o b a b i li t é d i re c t e m e nt l i é e à l a d i ff é r en c e

d’ i nt en si té l umi ne u se et la p o si ti on e st mo di fié e p o ur ra pp ro che r le ver de la c ib le

ch oi s i e . F i n al e m e nt , l e r ayo n d e vo is i n a g e e s t m o d i fi é p o ur t en i r c o m p t e d u n o mbr e d e

vo is i n s r é e l s e t d e c e lu i vo ul u . L e p r o c e s s u s s e r é p èt e a ut a nt d e f o is q u e n é c es s a i r e .

- 269 -


9. 4. 4 Les te rm it es

D’autres insectes moins connus ont également servi de sources d’inspiration. Les

termites artificiels, utilisés principalement p our la résolution de problématiques réseaux,

ont donné naissance à des algorithmes similaires aux algorithmes de fourmis tels que

ACO [ M ar ti n 05 , Ajith et al. 06 , Roth 06 , Hedayatzadeh et al. 10 , Zungeru et al. 12 ,

Sh ar va ni et al. 12].

9. 4. 5 Les c afa rd s

La mo délisation de l’infestation de cafards a conduit à la cré ation de l’algorithme

Roach Infestation Optimization [Havens et al. 08].

9. 4. 6 Les m ous ti qu es

Dans [ Feng et al. 09], le problème du voyageur de commerce es t résolu par l’algorithme

Mosquito Host-Seeking Algorithm dé ri vé du c om p o rt em ent de c has se de s

moustiques.

9. 4. 7 Les gu êp es

De leur côté, les guêp es ont inspiré l’algorithme Wasp Swarm Optimization

[Theraulaz et al. 90, Cicirello et al. 01, Cicirello

et al. 04, Pinto et al. 07].

9. 4. 8 Les ar ai gné es

Les araignées s o ciales ont également servi d’inspiration par exemple dans la détec -

tion de région dans les images [ Bo urjo t et al. 03] ou la sécu risatio n des rése aux sans

fil [ Be na hm ed et al. 12].

9. 4. 9 Les c ouc ou s

Le comp ortement d’animaux so ciaux tels que les coucous (oiseaux de la famille

de s c uc ul id ae ) a é ga le m en t i ns pir é l es c he rche u rs. L es c ou co us o nt p o ur pa rt i cu la ri té

de pa ra s it er le nid d’ a ut re s e sp è ce s en y p o nda n t l eu rs o e uf s. L es a ut re s o is ea ux o nt

alors deux p ossibilités : soit ils s’ap erçoivent de la sup ercherie et détruisent les o eufs,

soit ils ne s’en ap er çoi vent pas. Pour as sure r la sur vie de leur pro gé nitu re, les co uco us

ch er ch e nt d o n c à l e s p l a c er d an s le s n id s o ù i ls o nt l e p l us d e ch a nc e s d e s ur v i e . L a

Cuckoo Search s’ insp ire di rect eme nt de ce pa rasi tis me [Yang et al. 09].

9.5 Conclusion

Comme nous venons de le voir tout au long de ce chapitre, la nature est une source

riche d’inspiration p our la résolution de problèmes. Les descriptions succinctes de ce

ch ap i t r e n ’ o nt pa s vo ca t i o n à c o u vr i r l ’i nt é g r al i t é d e s t r avau x i n sp i r é s d e l a n a t u r e

mais à montrer que ceux-ci sont variés. Même si de nombreux algorithmes inspirés de

- 270 -


la natu re ont déjà été inventés, gageons que les années à venir seront probab le me nt

aussi riches de nouveautés.


[Karab oga et al. 12] : Cet article prop ose un panorama assez large des algorithmes

d’ o pt im is at io n i ns pir é s de s ab e il le s.

[Karab oga 05] : Il s’agit de l’article fondateur de l’algorithme Artificial Bee Colony

(ABC) prop osé par Karab oga.

[Geem et al. 01] : Dans cet article, Z. W. Geem introduit les princip es fondateurs de

la recherche harmonique (Harmonic Search ou HS).

[Yang 10a] : Dans cet artic le , X.-S. Yang dé crit les princip es de l’écholocalisation des

ch au ve s - s o u ri s et l ’ al g o r i t hm e d ’o p t i m i sa t i o n q u i e n e s t d é r i vé.

- 271 -

Chapitre 10

Extensions des algorithmes

évolutionnaires à l’optimisation

multimodale et l’optimisation

multi-objectif

Alain

Pétrowski

Tele com Su dParis, E vry, Fra nce

Alain.Petrowski@telecom-sudparis.eu

10.1 Introduction

Les problèmes industriels p euvent rarement être formalisés complè tement. Certaines

dé c is io ns dé p e nd en t de l ’i ma ge q ue v eu t se do nn e r une e nt re pri se , de la p o li ti qu e q u’ el le

ve ut a p p li q u e r v i s - à - vi s d e s a c li e nt è l e e t d e s e s c o n c u r re nt s , d e s o n e nv i r o nn e m e nt

éc ono miq ue, lé gis lat if, et c. Ses dé cis ions en ma tiè re de co nce pti on d’un no uve au pro dui t,

de sa f ab ri ca ti o n, de s on l an ce me nt , dé p e nd en t de di a lo gu es , de né g o c ia ti o ns, avec de

mu lt i p l e s a c t e ur s . Tou t c e c i s e p r ê te d i ffi ci l e m e nt à u n e f o r m a li s a t i on e n v ue d ’ u n e

résolution complète sur un calculateur.

Dans le contexte de l’op timisation, un problème présente souvent plusieurs solutions

optimales de valeur équivalente. Cela se rencontre lorsque la fonction ob jectif d’un

pr ob lè m e d’ o pt im is at io n e st m ult i mo da le , c ’e st -à - di re l or sq u’ el le pr és e nt e pl us ie u rs

optimums globaux de même valeur mais p our des solutions différentes. Cela se ren-

contre au ssi dans le do mai ne de l’ opt imis ati on mul ti- ob je cti f qui co nsi ste à op timi ser

simul tané men t pl usie urs ob je cti fs, co ndui san t en gé nér al à de voi r fa ire des co mpro mis

entre ces de rnie rs.

273

Chapitre 10 – Optimisation multimo dale et optimisation multi-objectif

Une seule solution suffit en théorie. Cependant, lorsque des facteurs, qui n’ont

pa s pu ê tr e f or ma li sé s , n’ o nt pa s é té int ég ré s da ns l es c ont ra in te s ou l es f on ct io ns

ob jectifs d’un problème, cela n’est pas p ertinent. Il est alors précieux de disp oser d’un

écha ntil lon re prés enta tif de la di vers ité d es so lut ions de val eurs éq uival entes p our l’ algorithme

de résolution, afin qu’un décideur puisse choisir celle qui lui paraît la meilleure.

Ce chapitre est ainsi consacré à la présentation d’extensions des algorithmes

évol uti onna ire s p our tr ait er les pro blè mes :

– d’ o pt im is at io n m ult i mo da le ;

– d’ o pt im is at io n m ult i -o b j ec ti f .

10.2 Optimisation multimodale

10 .2 .1 Le pr ob lè me

L’optimisation multimodale consiste à lo caliser de multiples optimums globaux et

éven tue lle ment les me ill eurs op tim ums lo ca ux, d’une fo nct ion ob je cti f. Les al gor ithm es

évol uti onna ire s sont de b ons ca ndid ats p our ac co mpli r ce tte tâche car ils ma nipu lent

une p o pul a ti on d’ i nst a nc es de s ol ut io ns q ui p e uv ent ê tr e ré pa r ti es e nt re l es di ffé re nts

optimums. Notons qu’il existe des métho des de recherche de plusieurs optimums, comme

le nichage sé qu entiel [Be asl ey et al. 93 ], qui n’exigent pas un algorithme de p opulation

p our fonctionner. Mais elles présentent de piètres p erformances. Cep endant, si une

f on ct io n ob j ec ti f mul t im o da l e e st s ou mi se à un a lg or it hm e é vo lu ti o nna i re s ta nd ar d,

no n é li ti st e , l ’e xp é ri me nt at ion et la t hé or ie m on tre nt q ue la p o pul a ti on e st a tt ir ée

pa r un s eu l de s m ax imums de la f on ct io n de p e rf or ma nc e, et pa s né c es sa i re me nt un

maximum global. Par exemple, considérons une fonction comp ortant deux pics d’égale

ha ut e ur . On c on st ru it une po pu la t io n i ni ti al e où l es i ndi v id us s on t dé j à l oc al is é s,

moitié -moitié, sur les deux optimums. Après quelques générations, l’équilibre sera

rompu en rais on de la dérive génétique. À partir de ce m ome nt, le croisement amp lifie

le déséquilibre jusqu’à ce que l’essentiel de la p opulation ne soit plus lo calisé que sur

un s eu l pi c . Le pr ob lè m e de l ’o pt im is at i on mul t im o da l e s er ai t c or re ct e me nt ré s ol u

si un mé can ism e p ouvait st abi lise r des so us- p op ulat io ns lo ca lis ées sur les plus ha uts

pics de la fonction de p erformance. Il s’agit de la spéciation , qui p ermet d e class er

les individus d’une p opulation en différentes

sous-populations , e t d u nichage

, qu i

st abi lise des so us- p op ulat io ns au sein de niches écologiques co nte nant les op tim ums de

la fonction ob jectif. Il existe de nombreuses métho des de sp éciation et de nichage. Les

métho des pionnières qui sont à la base de travaux ultérieurs, ou les plus efficaces sont

dé c ri te s

c i- de ss o us.

10 .2 .2 Ni c hag e par la m éth o de du pa rt age

La n otion s u ggérée par J.H. Holland [Holland 92 ], d e “ partage de ress ou rc es limitées

au sein d’une niche écologique ”, co nst itue l’ une des appro ches les plus effica ce s p our

cr éer et ma intenir des so us- p op ulat io ns st abl es sur des pics de la fo nct ion ob je cti f avec

un a lg or it hm e é vo lu ti o nna i re . Le c on ce pt de ni c he é co lo g iq ue pr ov i ent de l ’é tu de de la

- 274 -

10.2 Optimisation multimo dale

dynamique des p opulations. Il a été élab oré par Hutchinson en 1957 [ Hutchins on 57],

qui le définit comme un hyper-volume d’un espace à n di me n si on s, cha c un e d’ e ll es

représentant des con ditions de vie (quantité de nourriture, temp érature, taille du

do m ai ne v it al , e tc .) . Une ni c he é co lo g iq ue ne p e ut ê tr e o c cu p ée pa r pl us ie u rs e sp è ce s

simul tané men t. I l s’ agi t du pri nci p e em piri que d’exclusion compétitive , q u i n ’ a j am a i s

été mis en dé fau t ju squ’ à ma inte nant. Les re sso urce s au sein d’une ni che ét ant li mit ées ,

la taille d’une p opulation qui l’o ccup e se stabilise, après une éventuelle situation

transitoire où elle varie rapid ement.

Goldb erg et Richardson [Goldb erg et al. 87 ] o nt p r op o sé e n 1 98 7 u ne a d ap t at i on d e

ce co nce pt p our les al gor ithm es gé nét iqu es, gé nér ali sabl e di rect eme nt à tout al gor ithm e

évol uti onna ire . La techni que est co nnue sous le nom de méthode du partage (sharing

method). Un e n o t i on d e d i s s i m il a r i t é e ntr e i n d i vi d u s d o i t ê tr e i nt r o d u i t e . Par e x e m p l e ,

si les in divi dus sont des ch aîne s bi nair es, la di sta nce de Ha mmin g p eut conven ir. S’ ils

sont des ve ct eurs de R n , la distance eu clidienne es t a priori un b on cho i x. La va le ur

de di s si mi la ri té p e rm et de dé c id er si de u x i ndi v id us a ppa r ti en ne nt à la m êm e niche

ou non. La métho de consiste à attribuer à chaque individu une performance partagée

ég ale à sa p er form anc e bru te, di visé e par une qu ant ité d’ auta nt plus gr ande qu ’il y a

d’ i ndi v id us q ui lui re s se mb le nt. La p e rf or ma nc e pa rt a gé e e st v ue c om me re pr é se nt ant

une q ua nt it é de re s so ur ce di s p o ni bl e p o ur c ha qu e i ndi v id u d’ un e ni c he . La s él ec t io n

est id éal eme nt prop or tio nnel le, de fa ço n que le no mbre de de sce ndan ts d’un in divi du

soit prop or tio nnel à sa p er form anc e pa rtag ée . Ai nsi, à p er form anc e brute ég ale , un

individu isolé aura nettement plus de desc endants qu’un individu ayant de nombreux

vo is i n s d a ns u n e m ê m e n i ch e . À l ’ é q u il i b r e , l e n o mbr e d ’ i nd i v i d u s l o c al i s é s s u r ch a qu e

pic de v ie nt pr op o rt io nn el , en pr em i èr e a ppr o xi ma ti o n, à la p e rf or ma nc e a ss o c ié e à ce

pic ; d’ o ù l ’a pp ar it io n de sous-populations st abl es dans chaque ni che. La p er form anc e

pa rt a gé e d’ un i ndi v id u i a p our express ion :

où sh est de la forme :

ave c :

˜f

( i) = µ

f

( i)

d i, j ))

j=1 sh( (

↵

1 ds si d < s

sh(d) =

0 si non

sh : f on ct io n de pa rt a ge ;

d(i, j ) : di s ta nc e e nt re l es i ndi v id us i et j , qu i d é p e nd d e l a r e p ré s e nt at i o n cho i s i e ;

s : rayon de niche , ou seuil de d iss im ila rité ;

↵ : pa ra m èt re de “ dur e té ” ;

µ : taille de la p opulation.

Su pp o so ns q ue ↵ soit cho isi très gr and, te nda nt vers l’ infin i, al ors ( d/s) ↵ tend vers

0 et sh (d ) va ut 1 s i d < s , ou 0 da ns le ca s contrai re. Alo rs µ

j=1 sh ( d ( i, j )) est

un c om pt eu r du no m bre d’ i ndi v id us s it ué s da ns une b o ul e de ra yon s centrée sur

- 275 -


l’individu i. La p e rfo rma nce p art agé e es t don c, da ns ce c as, l a p erf orm an ce br ute

de l ’i ndi v id u i, divisée par le nombre de ses voisins. Ce mo de de nichage fonctionne

pa rf a it em e nt, du m om ent q ue l es di s ta nc es e nt re l es pi c s s on t i nf ér ie ur es au ra yon de

niche s . Or , p o ur u n p r o bl è m e d ’o p t im i s a ti o n d on n é , s au f e x c ep t i o n, l e s d i st a n ce s

entre les pics ne sont pas co nnue s a priori, e t si le rayon est chois i trop gr and, a lors

les optimums ne p ourront pas être tous découverts par le s individus de la p opulation.

Une solution imparfaite à ce problème difficile consis te à faire en sorte que la b oule

qui définit un e niche ait une frontière floue. Ainsi, les individus j do nt l es di s ta nc es à

l’individu i sont pro ches de s ont une contribution p lu s faib le à la valeur de sh(d (i, j ))

que les autres. De cette façon, si par “malheur” la niche déjà supp osée centrée sur un

pic de va it c on te ni r un a ut re pic pro che de sa f ro nt iè re , il s er a m oi ns pr ob a ble q ue ce

de rn ie r p e rt urb e la p e rs is ta nc e de la pr és e nc e d’ i ndi v id us sur le pic c en tr al . La “ dur e té ”

de la f ro nt iè re de s niche s e st c on tr ôl ée pa r le pa ra m èt re ↵ , auq uel o n do nne p ar d éfa ut

la valeur 1.

Considérons maintenant le cas où le rayon s est ch ois i trop p et it par rapp ort aux

di s ta nc es e nt re pi c s. Al o rs il va y avo ir pl us ie u rs niche s pa r pi c . En t hé or ie , ce n’ e st

pa s g ên an t, m ai s en pr at i qu e c el a i mpl i qu e de ré pa r ti r b e au co up pl us d’ i ndi v id us q ue

né c es sa i re pa rm i l es niche s et do nc c el a va né c es si t er une t ai ll e de p o pul a ti on pl us

grande que ce qu’il faudrait, d’où u n gaspillage de ressources de calcul. Si la p opulation

n’ e st pa s de t ai ll e su ffis an te , l es ri sq u es de ne pa s dé c ou vr ir t ou s l es o pt im um s g lo ba ux

de la p o pul a ti on s on t g ra nd s. La b o nne e st im at i on de s est d’ imp o rta nce . On fera

da ns la s ui te de s s ug ge st io n s p e rm et ta nt d’ a ppr o c he r c et ob j ec ti f .

Figure 10.1 – (a) : sélection sans partage : les individus conv ergent vers un seul des optimums.

(b) : sélection avec partage : les individus conv ergent vers plusieurs optimums.

Les figures 10.1a et 10.1b montrent la répartition des individus sur les pics d’une

f on ct io n m ult i mo da le dé fi nie da ns R 2 , ap rè s co nve rge nc e de l ’a lg or it hm e évol ut io nn ai re

ave c e t s a n s p a r t ag e d e l a f o n c t i on d e p er f o r m a n ce . L e s i n d iv i d u s s o nt p r o j e t é s s u r l e

pl a n pa ra l lè le a ux a xe s x et y, si t u é à l a ha u t e u r de s o p t i mum s , d e fa ç o n q u ’i l s s o ie nt

pl us v is ib le s.

- 276 -


10.2.2.1 Dérive génétique et méthode du partage

Su pp o so ns q ue l es i ndi v id us se s oi en t ré pa r ti s sur t ou s l es pi c s g lo ba ux de la

f on ct io n de p e rf or ma nc e a prè s un no mbre de g én ér at io n s su ffis an t.

N ét ant la ta ill e de

la p opulation et p le nombre de p ic s , chacun d’eux sera o ccup é par une sou s-pop ulation

co mpt ant ap prox ima tivem ent N /p individus. Supp osons aussi que les p erformances d e

tous les individus soient pro ches de la p erformance des optimums globaux. Comme on

a at t ei nt u n e si t ua t io n d ’é q ui l ib r e, l e s so u s- p o p ul a ti o ns à l a g én é ra t io n s ui vante a u ro nt

approximativement la même taille. Par conséquent, chaque individu a un nombre

esp éré de de sce ndants pro che de un. Dans ce ca s, le no mbre effec tif de de sce ndan ts

d’ un i ndi v id u o bt en u pa r une t ec hn iq ue de s él ec t io n s to c ha st ique p o urr a ê tr e z ér o avec

une pr ob a bil i té no n né g li ge a bl e. M êm e avec un é ch ant il lo nn ag e de va ri an ce m ini m al e

co mme la sé lec tio n SUS (p age 12 4), un in divi du p ourra avoir zéro ou un de sce ndan t

effec tif si le no mbre esp éré de de sce ndan ts est lé gèr eme nt in féri eur à un. Ai nsi, il ex ist e

un ri sq u e, d’ a ut an t pl us g ra nd q ue la p o pul a ti on e st p e ti te , q u’ une s ou s- p o pul a ti on

co uvr ant un pic pui sse di spar aît re en ra iso n de fluc tua tio ns sto ch astiq ues . Pour ré duire

ce ris que à un ni vea u ac ce pta ble, il faut at tri buer à ch aqu e pic un no mbre d’ indi vidu s

él evé, si bien que la mé tho de du pa rtag e ex ige a priori de g ra nd es t ai ll es de p o pul a ti on .

10.2.2.2 Qualités et difficultés d’application de la métho de

La métho de du partage jouit d’une excellente stabilité si la taille de la p opulation

est suffisa nte p our co mba ttre la dé rive gé nét iqu e. Avec des op ér ate urs de var iat ion

ca pab les d’ assu rer une b onne di vers ité, la di stri buti on de la p op ulat io n ap rès qu elq ues

générations ne dép end pas de la p opulation initiale. La principale difficulté d’application

de la m ét ho de ré s id e da ns le b on c ho ix du ray on de ni c he s . Un a ut re d éf au t es t re la ti f

à la complexité algorithmique qui est en O (µ 2 ), où µ est la ta ill e de la p op ulat io n.

Comme la métho de requiert de grandes tailles de p opulation, cela est p énalisant à

moins que le calcul de la fonction de p erformance ne soit très long. La métho de du

pa rt a ge n’ e st pa s c om pa ti bl e avec l ’é li ti sm e . E nfin , e ll e ne f on ct io nn e c or re ct e me nt

qu’avec une technique de sélection prop ortionnelle. Divers auteurs ont prop osé des

so lut ions p our at ténuer ces in convén ients. L’ anc ienn eté de la mé tho de du pa rtag e et

son effica cit é dans le ma int ien de la di vers ité font qu ’el le es t, en cor e au jou rd’hu i, la

techniqu e de nichage la plus connue et la plus utilisée.

10 .2 .3 Ni c hag e par la m éth o de de su rp eu pl em ent dé te rm in ist e

La première métho de de nichage par surpeuplement (crowding method) a é t é

pr és e nt ée pa r De J on g en 1 97 5 [ De Jong 75]. Elle utilise une valeur de distance, ou

du m oi ns de di s si mi la ri té e nt re i ndi v id us , c om me la m ét ho de du pa rt a ge , m ai s e ll e

intervie nt au n iveau d e l’op érateur d e s élection environnementale. De Jong suggère

qu’à chaque génération le nombre d’enfants soit de l’ordre du dixième du nombre de

pa re nt s. Une va le ur sup é ri eu re di mi nu e l ’e ffic ac it é de la m ét ho de . Une va le ur i nf ér ie ur e

fav or is er ai t t ro p la dé ri v e g én ét iq ue . To us l es e nf an ts se re t ro uve nt da ns la p o pul a ti on

de s pa re n ts à la g én ér at io n s ui va nte, et il f au t do nc c ho is ir l es pa re nts q u’ il s re m pl ac ent.

L’op érateur de sélection environnementale s électionne un parent qui doit “mourir”

- 277 -


pa r l ’e nf an t q ui lui re s se mb le le pl us . Né a nm oi ns , l es c om pa ra is o ns de s im il ar it é ne

sont pas sy sté mat iqu es, et un en fan t ne sera co mpa ré qu’à un p et it éc hanti llo n de

CF pa re nts t ir és au ha s ar d da ns la p o pul a ti on . C F est le fa cte ur de surp eu plem ent

(crowding factor). De Jong a montré, sur quelques fonctions de test, qu’une valeur

de CF fix é e à de u x ou t ro is do nn e de s ré s ul ta ts i nt ér es sa nt s. De ce f ai t, l es i ndi v id us

tendent à se répartir sur les différents pic s de la fonction de p erformance, en préservant

la diversité préexistant dans la p opulation.

Cep endant, la métho de commet de fréquentes erreurs de remplacement dues à

la faible valeur de C F , ce qui est p ré ju dic ia ble à l ’e ffet d e ni che. Mais un e valeu r

él evée de C F réduit trop fortement la pression de sélection. En effet, des parents

remplacés similaires aux enfants ont presque la même p erformance si la fonction

est co nti nue. Leur re mpla ce ment n’ amé lio re donc que p eu les p er form anc es au sein

de la p o pul a ti on . Au c ont ra ir e, la pr es s io n de s él ec t io n e st pl us f or te si de s e nf an ts

p er fo rm ants re mp la ce nt d es p ar ents q ui l e so nt m oi ns , c ’e st -à -di re s i de s er re ur s d e

remplacement sont commises, ce qui implique que C F do i t ê tr e f ai bl e.

En 1 992, S. W . M ah fo ud [ M ah fo ud 92] prop os a la méth od e du surpeuplement

déterministe (deterministic crowding) co mme une am éli ora tio n ma je ure de la mé tho de

de De J on g. L ’i dé e pr in ci pa l e e st q u’ un c ou pl e d’ e nf an ts e1 et e2 obtenu après croisement

et mut at ion en tre en co mp ét iti on se ule ment avec ses deux pa rent s p1 et p2 . Il y a deux

p os si bi lit és d e r em pl ace me nt :

(a) : e1 remplace p 1 et e 2 remplace p2 ;

(b) : e1 remplace p 2 et e 2 remplace p1 .

Le choix (a) est sélectionné si la somme des dissimilarités d(p1 , e1 ) + d ( p2 , e2 ) est

pl us f ai bl e q ue d (p1 , e2 ) + d (p2, e1 ) ; s in o n c ’e s t l e ch oi x ( b ) qu i e s t e ffe c t ué . E n fi n,

le remplacement d’un parent par un enfant n’est e ff

ectif que si le parent e s t moins

p erformant que l’enfant : il s’agit d’un tournoi déterministe. Cela implique que la

métho de est élitiste, car si le meilleur individu se trouve dans la p opulation des parents

et pas ce lle des en fan ts, il ne p ourra pas di spar aît re de la p op ulat io n à la gé nér ati on

suivan te.


Le surp euplement déterminis te ne nécessite pas de découvrir la valeur de paramètres

dé p e nd ant du pr ob lè m e t el s q u’ un ra yon de ni c he . En f ai t, s eu le la t ai ll e de p o pul a ti on

est si gnifi ante, se lon un cr itè re très si mple : on la ch ois ira d’ auta nt plus gr ande qu ’il

y a d’ o p t i mu m s d é s i r é s à tr o u ve r . L e n o mb r e d e c a lc u l s d e d i s t a n c e s à e ff e c t u e r e st

de l ’o rd re de la t ai ll e de la p o pul a ti on , ce q ui e st i nf ér ie ur d’ un o rdr e de g ra nd eu r

par rapp ort à la métho de du partage. Il n’existe que des dép endances de calcul entre

co uple s d’ enfa nts et de pa rent s. Ai nsi, la pa rall éli sat ion de la mé tho de est à la fo is

si mple et effica ce . Elle l’ est d’ auta nt plus que, le re mpla ce ment favor isa nt les me ill eurs

individus, la sélection p our la repro duction p eut être absente, c’est-à-dire réduite

à sa plu s simp le exp ress ion : u n pare nt pro duit t oujo urs u n seul e nfant, que lle qu e

soit sa p er form anc e. Tou tes ces qu ali tés sont in tére ssa nte s, mais le surp eu plem ent

dé t er mi ni st e ne ré du it pa s no t ab le me nt la dé ri v e g én ét iq ue pa r ra pp o rt à un a lg or it hm e

- 278 -


sans nichage. Cette métho de est de ce p oint de vue moins p erformante que la métho de

du partage. Cela implique que, si effectivement les pics sont maintenus p endant un

ce rta in no mbre de gé nér ati ons, la p op ulat io n finira par conver ger vers un seul op tim um.

Cet inconvénient lui fait souvent préférer des métho des à faible dérive génétique, même

si leur ut ilis ati on est mo ins si mple .

10 .2 .4 Pro c édu re d’ éc la ir ci ss em ent

La procédure d’éclaircissement (clearing procedure) a é té p ro p osé e en 1 99 6 pa r

A. Pétrowski [ Pe tr ow s k i 9 6]. Elle se fonde sur le partage de ressources limitées au sein

de ni c he s é co lo g iq ue s, c om me la m ét ho de de G ol db e rg et R ic ha rd so n, à la di ffé re nc e q ue

la répartition des dites ressources n’es t pas équitable parmi les individus. La pro cédure

d’ é cl ai rc i ss em ent va a in si a tt ri bu er t ou te s l es re s so ur ce s d’ un e niche , t yp iq ue me nt à

un s eu l i ndi v id u, dé s ig né c om me le do m in an t. L es a ut re s i ndi v id us de la m êm e ni c he

n’ a uro nt ri e n, c ’e st -à - di re q ue s eu l le do m in an t p o urr a se re pr o du ir e p o ur e ng en dr er à

lui seul une s ou s - population à la génération suivante. L’algorithme détermine donc

les sous-p opulations au sein desquelles les dominants sont identifiés. La métho de la

pl us s im pl e c on si st e à c ho is ir une di s ta nc e d si gnifi ante p our le pro blè me et as sim ile r

les niches à des b oules de rayon c centr ées sur les do mina nts. La val eur de c do i t

être in féri eur e à la di sta nce entre deux op timu ms de la fo nct ion de p er form anc e p our

qu’ils puissent être distingués et maintenus séparément. Le problème consiste donc

maintenant à découvrir tous les dominants d’une p opulation. La p opulation est d’ab ord

triée selon les p erformances décroissantes. Une étap e de l’algorithme se déroule en

trois temps p our pro duire u n e niche :

1. Le premier individu de la p opulation est l’individu le plus p erformant. Cet

individu est nécessaireme nt un dominant.

2. Les distances de tous les individus au dominant sont calculées. Les in d ivid us

si tué s à une di sta nce in féri eur e à c appartiennent à la niche centrée sur le

dominant. Ils sont dominés et voient donc leurs p erformances mises à zéro.

3. Le dominant et les dominés sont retirés virtuellement de la p opulation. La

pro c éd ur e e st a lo rs ré - ap pl iq ué e à pa rt i r du p o int 1 sur la no uve ll e p o pul a ti on

ainsi

réduite.

L’op érateur comp orte autant d’étap es que l’algorithme trouve de dominants. Ceux-ci

co nse rvent la p er form anc e qu ’ils avai ent avant l’ appl ica tio n du nicha ge. L’op ér ate ur

est ap pliq ué ju ste ap rès l’ éval uat ion des p e rfo rma nce s et avant l’ appl ica tio n de la

sé lec tio n.

10.2.4.1 Élitisme et dérive génétique

La pro cédure d’éclaircissement se prête facilement à l’implantation d’une stratégie

él iti ste : il suffit de co nse rver les do mina nts des me ill eure s so us- p op ulat io ns p our

les injecter dans la p opulation à la génération suivante. Si le nombre d’optimums à

dé c ou vr ir e st c on nu à l ’a va nc e, le m êm e no m bre de do m in an ts e st pr és e rv é. D an s le c as

contr aire , une st rat égi e si mple , pa rmi d’ autr es, co nsi ste à co nse rve r dans la p op ulat io n

- 279 -


les dominants dont la p erformance est s u p érieure à la moyenne d es p erformances des

individus de la p opulation avant écla ircissement. Il faudra quand même prendre garde

à ce q u e l e n omb r e d’ i n d iv i d u s pr é s e r vés n e s oi t p a s t ro p g r a nd p a r r a pp o r t à l a ta i l l e

de la p o pul a ti on .

Si l es do m in an ts o nt lo c al is é l es o pt im um s de la f on ct io n à une g én ér at io n do nn é e,

l’élitisme les maintiendra indéfiniment sur les pics. L’algorithme est parfaitement

st abl e, co ntrai rem ent aux mé tho des vues pré cé demm ent . La dé rive gé nét iqu e n’a pas

d’effet destructeur dans ce contexte ! Cela p ermet de réduire les tailles de p opulation

né c es sa i re s pa r ra pp o rt a ux a ut re s m ét ho de s .

10.2.4.2 Rayon de niche

La détermination du rayon de niche c suit en pre miè re appro che les mê mes rè gle s

que p our la métho de du partage. Il devrait en théorie être inférieur à la distance

minimale entre tous les optimums globaux pris deux à deux p our les découvrir tous.

Cep endant, le choix d’un rayon de niche trop grand n’a pas les mêmes effets qu’avec

la métho de du partage, où cette situ ation engendre des instabilités avec une dérive

génétique accrue. Si cela se pro duit avec l’écl aircissement, certains optimums seront

oubliés par l’algorithme, sans que sa convergence vers ceux qui seront maintenus ne

soit p er turb ée. Aus si, le cr itè re de dé ter mina tio n du rayon p eut être différ ent . En effet,

l’utilisateur d’un algorithme d’optimisation multimodale n e demande pas à connaître

la totalité des optimums globaux, ce qui est d’ailleurs imp ossible lorsque ceux-ci sont

en no mbre infini dans un do mai ne co nti nu, mais pl utôt un éc hanti llo n re prés ent atif

de la di v er si té de c es o pt im um s. L oc al is e r de s o pt imums g lo ba ux c or re sp o nda n t à

de s i ns ta nc es de s ol ut io ns pr es q ue i de nt iq ue s s er a p eu ut i le , m ai s en re va nche , il s er a

dava nt ag e i nt ér es sa nt de di s p o se r d’ i nst a nc es de s ol ut io ns o pt im al es é lo ig né e s l es un e s

de s a ut re s da ns l ’e sp ac e de re che rc h e. Au ss i , la dé t er mi na ti o n de c dé p e nd pl us

de la di s ta nc e m ini m al e re q ui se e nt re l es s ol ut io ns o pt im al es dé s ir ée s, i nf or ma ti on

indép endante de la fonction de p erformance, que de la distance min imale entre les

optimums, qui en dép end fortement et qui est le plus souvent inconnue. Si toutefois la

dé c ou ve rt e de t ou s l es o pt im um s g lo ba ux e st re q ui se , il e xi st e de s t echn iq ue s p e rm et ta nt

d’estimer le rayon de niche automa tiquement en estimant la largeur des pics. Il est

aussi p ossible de construire des niches qui ne soient pas des b oules, en mettant en

œuvre une sp éciation explic ite (voir la section 10.2.5, page 281).


La principale qualité de la métho de réside dans sa grande résistance à la p erte

de di v ers it é pa r dé ri ve g én ét iq ue , pl us pa rt i cu li èr em e nt da ns sa v er si on é li ti st e . P ou r

ce tte ra iso n, el le ac ce pte des ta ill es de p op ulat io n re lat ive ment mo de ste s, d’où une

éc ono mie no tab le en pui ssa nce de ca lcu l. Le rayon de ni che est un pa ramè tre qui p eut

être dé fini non pas en fo nct ion du pa ysa ge de la fo nct ion de p er form anc e, co mme dans

le cas de la métho de du partage, mais plutôt en fonction de la dive rs ité désirée des

mu lt i p l e s s o l u ti o n s .

La pro cédure d’éclaircissement nécessite de l’ordre de O( cµ) ca lcu ls de di sta nce s

en dé sig nant par c le nombre de niches et µ la taille de la p opulation. C’est plus

- 280 -


f ai bl e q ue la m ét ho de du pa rt a ge , m ai s pl us é le vé q ue la m ét ho de du s urp e up le me nt

dé t er mi ni st e.

S’ i l a ppa r aî t, du ra nt l ’é vo lu ti o n, q ue le no m bre de do m in ants e st du m êm e o rdr e

de g ra nd eu r q ue la t ai ll e de la p o pul a ti on , c el a s ig ni fie :

– soit que la ta ill e de la p op ulat io n est insu ffisa nte p our dé cou vrir les op timums

ave c l e p a s d ’ é ch ant i l l o n n a ge fi x é p a r l e r ayo n d e n i ch e ;

– soit que ce pas est trop p et it, par rapp ort aux re sso urce s de ca lcu l at tri buée s

à la résolution du problème. Il est alors préférable d’augmenter ce rayon, de

f aç on q ue l es o pt im um s dé c ou ve rt s se ré pa r ti ss en t au m ie ux da ns l ’e sp ac e de

reche rche.

La métho de s’accommo de mal d’une restriction du croisement utilisant un rayon de

restriction inférieur ou égal au rayon de niche (voir la section 5.4.2, page 134). Le

cr ois eme nt sera al ors in util e, car il ne p ourra affec te r que des in divi dus se mbla ble s :

les individus sélectionnés, qui sont d e s copies d ’un même dominant. Pour lever ce

pr ob lè m e, il y a au m oi ns de u x s ol ut io ns : s oi t e ffe ct ue r une m ut at io n à f or t t au x ava nt

le croisement, afin de restaurer de la diversité au se in de chaque niche, soit augmenter

le rayon de restriction . Dans ce dernier cas, l’e ffet d’exploration du croisement devient

pl us m ar qu é. En e ffe t, il se p e ut q u’ en tr e de u x pi c s, il se t ro uv e de s ré g io ns i nt ér es sant e s

que le croisement aura des chances d’explorer. Mais cela engen dre aussi un taux de

cr ois eme nts lé tau x imp or tant, ré duis ant la vi tes se de conver gen ce de l’ alg ori thme .

10 .2 .5 Sp éc ia ti on

La sp éciation a p our tâche d’identifie r les n iches existantes dans un espace de

recherche, sans autre but. Dans la mesure où une seule esp èce p eut o ccup er une

niche , on c on vi en dr a q ue l es i ndi v id us d’ un e p o pul a ti on q ui l ’o c cu p ent a ppa r ti en ne nt

à une es pè ce o u une sous-population . Une f ois dét erminé e par la sp éc ia tion, c et te

de rn iè re p o urr a e ns ui te ê tr e s ta bi li sé e pa r la m is e en œu v re d’ un e t echn iq ue de ni c ha ge .

Ou alors, on y pratiquera la restriction du croisem e nt, qui, outre l’am é lioration due

à l a r éd u c t i on d u n o mb r e d e cr o i s e me nt s l é t a ux , s e c o n fo r m e a i ns i à l a m é t ap h o r e

bi o lo gi q ue , q ui ve ut q ue de u x i ndi v id us d’ e sp è ce s di ffé re nt es ne p e uv ent pro c ré er .

Les b oules utilisées dans les techniques de nichage décrites ci-dessus p euvent être

vues comme des niches créées par une sp éciation implicite. La mé th ode du partage et

la pro cédure d’éclaircissement fonctionn e nt aussi si les niches leur sont fournies a priori

pa r l ’a pp li ca ti o n e xp li ci t e et au pr éa l ab le d’ un e m ét ho de de sp é ci at i on . P ou r c el a, une

telle métho de doit fournir une partition de la p opulation S = {S1 , S2 , . . . , Sc , } en c

so us- p op ulat io ns. À pa rtir de là, il est en suit e fa cil e d’ appl ique r, par ex emp le :

– un ni c ha ge pa r la m ét ho de du pa rt a ge , en dé fi nis s ant la p e rf or ma nc e pa rt a gé e

co mme :

˜f

( i) = f ( i)

card (Sj ) , 8i

2 S j

p ou r to ut e s ou s-p o pu la tio n Sj ;

– un ni c ha ge pa r la pro c éd ur e d’ é cl ai rc i ss em en t, en c on se rva nt la p e rf or ma nc e

du m ei ll eu r i ndi v id u de t ou te s ou s- p o pul a ti on Sj et en me tta nt à zéro les

p er fo rm anc es d es a ut res i nd iv idu s ;

- 281 -


– une re s tr ic ti on du c ro is em ent, q ui s er a l im it é a ux s eu ls i ndi v id us de t ou te

so us- p op ulat io n Sj .

En o ut re , une t echn iq ue de sp é ci at i on e xp li ci t e e st c om pa ti bl e av ec l ’é li ti sm e : l es

individus d’une sous-p opulation étant clairement identifiés, il est p ossible de préserver

le meilleur de chacune d’elles d’une génération à l’autre.

10.2.5.1 Sp éciation par étiquettes

W.M. Sp ears a prop osé en 1994 [Sp e ar s 94 ] u n e t e ch n i q ue s i m p l e d e s p é c i a t i o n

ut i li sa nt de s bits d’étiquettes ( tag-bits

), où un nombre entier appartenant à un ensemble

T = {T 0 , T1 , . . . , Tk1 } est asso cié à ch aqu e in divi du d’une p op ulat io n. La val eur de

l’étiquette Ti dé s ig ne la s ou s- p o pul a ti on Si à la q ue l l e ap p ar t i en n e nt to us l e s i nd i vi d u s

ét iqu eté s T i . k est le no mbre ma xim al de so us- p op ulat io ns qui p eu vent ex ist er dans la

p op ul at ion . L a d és ig nat io n d e l a mé th o de p rovi ent d u f ai t q ue , à l ’o rig in e, S p ear s ava it

pr op o sé sa m ét ho de da ns le c ad re de s a lg or it hm es g én ét iq ue s et q ue l es é ti qu et t es é ta ie nt

représentées par des chaînes binaires. Lors de la con s truction de la p opulation initiale,

les étiquettes attachées à chaque individu sont tirées au hasard dans l’ensemble T .

Durant l’évolution, les étiquettes p euvent muter, par tirage au h asard d’une nouvelle

val e ur d an s T . L a mu t a t i o n c o r r e s p o n d d a n s c e c a s à u n e migration d’ un e s ou s-

p op ul at ion ve rs un e au tr e. A pr ès q ue lqu es g én ér ati on s, l es s ou s-p o pu la tio ns s e pl ac ent

sur les pics de la fonction de p erformance en raison de la pression sélec tive. Cep endant,

il n’y a aucune garantie que chaque pic contenant un optimum global soit maintenu par

une et une seule sous-p opulation. Certains d’entre eux p euvent être oubliés, tandis que

d’ a ut re s p e uve nt ê tr e o c cu p és pa r pl us ie u rs s ou s- p o pul a ti on s. La m ét ho de m an qu e de

fia bi l it é. E ll e e st c it ée i ci c ar e ll e e st bi e n c on nu e da ns le m on de du c al cu l évo lu ti on na ir e.

10.2.5.2 Mo dèles d’îles

Le mo dèle d’îles est aussi un classique du calcul évol ut ionnaire. Ce mo dèle fait

évol uer pl usie urs so us- p op ulat io ns Si au cours d’une succession d’ép o ques. Durant

ch ac u n e d ’ e l le s , l e s so u s - p op u l at i o n s é vo l ue nt i nd é p en d a m m ent l e s u n es d e s a u t re s ,

p en da nt un n ombr e d onn é d e g éné ra ti ons Gi . À la fi n de cha q ue é p o que , de s i nd iv id us

se dé plac ent en tre les so us- p op ulat io ns au co urs d’une pha se de migration, s u i v i e d ’ u n e

éventuelle phase d’assimil ation. Cette dernière a p our but d’effectuer des op érations

d’ i nt ég ra ti o n de s m igra nt s da ns l eu rs s ou s- p o pul a ti on s d’ a cc ue il pa r e xe mp le , en

st abi lisa nt le urs ta ill es. Le pro ce ssu s est it éré tant que le cr itè re d’ arrê t de l’ alg ori thme

n’ e st pa s v ér ifi é. La m ig ra ti on n’ i nt er vi ent pa s l ib re me nt e nt re l es s ou s- p o pul a ti on s,

mais selon une relation de voisinage définie entre les différentes sous-p opulations. La

pr op o rt io n de s i ndi v id us m ig ra nt s e st dé t er mi né e pa r un t au x de m ig ra ti on fix é pa r

l’utilisateur.

À l’origine, le mo d èle ava it é té mis a u p oint comme un mo dè le de p ar allélisation

d’un algorithme génétique. Cela p ermet de l’implanter efficacement sur des calculateurs

mu lt i p r o ce s s e u r s à m é m o ir e d i s t r ib u é e , o ù ch a q u e p r o ce s s e u r p re n d e n ch a rg e u n e s o us -

p op ul at ion [ Coho on et al. 87]. On remarque que, sur un plan logique, le pro cessus est

si mila ire à une sp éc iat io n par ét iqu ett es, avec une mut ati on des ét iqu ett es co ntra inte

pa r l es re l at io ns de v oi sina g e. La mut a ti on de s é ti qu et t es a l ie u un iq ue m en t à la

- 282 -

10.3 Optimisation multi-objectif

fin de chaque épo que. Comme la spéciation par étique ttes, la méthode manque

de fia bi l it é da ns la ré pa r ti ti on de s s ou s- po pu la ti o ns sur l es pi c s de la f on ct io n de

p erformance. Cep endant, le fait que les sous-p opulations évoluent indép endamment

du ra nt pl us ie u rs g én ér at io n s, l or s de c ha qu e ép o q ue , o ffre l ’a va nt ag e d’ un e re c he rche

lo cale plus accentuée des optimums.

10.2.5.3 Sp éciation par clustering

Lors d’une évolution, les individu s d’une p opulation tendent à se regroup er dans

les régions de l’espace d e recherche à p erformances élevées sous l’action de la press ion

sélective. Ces régions ont de bonnes chances de contenir des optimums globaux.

L’application d’une méthode de clustering cl ass iqu e (a lgo rit hme des k- moyen nes,

algorithme LBG, etc.) partitionne l’espace de recherche en autant de régions qu’il est

détecté d’amonce llements d’individus. Chaque région détectée est assimilée à une niche,

et les in divi dus qui s’y tr ouve nt co nst itue nt des so us- p op ulat io ns [Yin et al. 93 ]. La

métho de est fiable, mais ne fonctionne qu’avec des tailles de p opulation imp ortantes,

car une niche ne p eut être id enti fiée que si el le co nti ent un re gro up em ent suffisa mme nt

imp ortant d’individus. Ce nombre p eut être réduit notablement si l’algorithme de

sp éc iat io n ex plo ite les val eurs de p er form anc e des in divi dus de ch aqu e ré gio n, de

f aç on à m ie ux y re c on na ît re l ’e xi st e nc e d’ é ve nt ue ls pi c s [ Petrowski et al. 99 ]. Il est

intére s sant de combiner u n e sp éciation par clustering ave c u n m o dè l e d ’ î le s , a fi n d e

b én éfi ci er d es avant ag es de s d eu x m ét ho d es : un e r ech er ch e gl ob al e fi ab le de s p ic s

les plus hauts, qui intervient d u rant les phases de migration, et une recherche lo cale

améliorée des optimums globaux, durant les ép o ques [Bessaou et

al.

00].


L’optimisation multi- ob jectif, ou multicritère, traite le cas de la présence simultanée

de pl us ie u rs ob j ec ti f s, ou c ri tè re s, s ou ve nt c on tr ad ic to i re s. So i t f (x ) un v ec te u r de

c ob jectif s asso cié à une instance de solution x d’ un pr ob lè m e d’ o pt im is at io n m ult i -

ob jectif. Chacune de ses comp osantes fi(x) est ég ale à la val eur du i ème ob j ectif p our

la solution x. Sa n s p er t e de gé n é ra l i té , o n c o ns i d ér e r a d an s l e s s ec t i on s s u i vant es l e c a s

où tous les ob jectifs d’un problème doivent être minimisés. En effet, il suffit de changer

le signe des ob jectifs qui d oivent être maximisés, p our se ramener à des min imisations.

10 .3 .1 For ma li sa tio n du pr ob lè me

10.3.1.1 Dominance de Pareto

Considérons deux vecteurs d’ob jectifs v et u. Si toutes les comp osantes de v sont

inférieures ou égales aux comp osantes de u, avec a u moi ns u ne c om po sante str ic te ment

inférieure, alors le vecteur v co rre sp o nd à une me ill eure so lut ion que u. Dans ce cas,

on dit que v

domine u

au sens de Pareto. De façon plus formelle, on écrit :

v < p u.

v < p u () 8 i 2 { 1, .. . , c }, v i apple ui et (9j 2 { 1, .. . , c } : vj < uj )

- 283 -


La figure 10.2 re p ré sente les relations de domination entre 6 vecteurs ob jectifs dans

un e sp ac e à de u x di me n si on s. a , b et e sont des in divi dus non do miné s. c est do miné

pa r a, b

et e. d

est do miné par e. f

est do miné par b, d

et

e .

objectif 2

c

a

b

d

f

e

objectif 1

Figure 10.2 – Dominations au sens de Pareto dans un espace d’objectifs de dimension 2.

10.3.1.2 Optimum de Pareto

L’ensemble des vecteurs ob jectifs qui ne p euvent être dominés constitue les valeurs

optimales du problème au sens de Pareto. Ces vecteurs appartiennent au front de

Pareto, ou surface de compromis , noté P :

P = { f ( x ) | x 2 ⌦, 6 9 y 2 ⌦, f ( y

) < p f ( x)}

L’ensemble Pareto-optimal X ⇤ est dé fini co mme l’ ense mbl e des so lut ions dans l’ espa ce

de re c he rche ⌦

do nt l es v ec te u rs ob j ec ti f s a ppa r ti en ne nt au f ro nt de P are to :

X ⇤ = { x 2 ⌦|

f ( x)

2 P }

10.3.1.3 Algorithmes d’optimisation multi-ob jectif

L’optimisation multi-ob jectif consis te donc a priori à co n s t r u i r e l ’ e n se mb l e Pa r e t o

optimal X ⇤ . Cep endant, X ⇤ p eu t co nt en ir u n no mb re i nfi ni d e s ol ut ion s si l ’es pa ce d e

reche rche est continu. Même si ⌦ est fini, l’ ense mbl e X ⇤ p eu t êt re t rop gr an d p ou r q u’ un

dé c id eu r pu is se l ’e xp lo it e r e ffic ac e me nt . Ai ns i , on a tt en d de l ’a lg or it hm e d’ o pt im is at io n

mu lt i - o b j e c ti f q u ’ i l p u i s s e e xh i b er u n e n s e mbl e d e s o l u ti o n s n o n d om i n é e s, pa s t r o p

grand, d e telle façon qu’elles soient la meilleure approximation p ossible du front de

Pareto. Ces solutions doivent être les plus pro ches p ossibles du front de Pareto et elles

do i ve nt le re c ou vr ir le pl us un if o rm ém en t et le pl us c om pl èt e me nt p o ss ib le [ De b 0 1] .

- 284 -


10 .3 .2 Les i ndi ca te urs de qu al it é

On dédu it des théorèmes “ No Free Lu nch” [Wolp ert et al. 97 ] que s i un a lg ori thm e

a 1 pr és e nte une p e rf or ma nc e pl us é le vé e sur une c la ss e de pr ob lè m es q u’ un a lg or it hm e

a 2 , al o rs l a p e rf o r ma n c e de a 1 sera plus fa ibl e que ce lle de a 2 p ou r d’ au tr es c las se s de

problèmes. Il existe ainsi un grand choix d’algorithmes d’optimisation multi-ob jectif,

ch ac u n d ’ e u x aya nt s e s d o ma i n e s d ’ a p pl i c a t i on p ri v i l é g ié s , q u i n e s o nt d ’ a il l e u r s q u e

rarement bien caractérisés . De plus, ces algorithmes utilisent souvent des paramè tre s

do nt l es va le ur s p e uve nt f or te me nt i nflu er sur la q ua li té de s ré s ul ta ts a lo rs q u’ el le s

sont diffici les à dé ter mine r p our at tei ndre au mi eux les ob je cti fs de l’ util isa teu r. Dans

ces co ndit io ns, trop so uve nt, le pra tic ie n n’ aura pas d’ autr e moyen p our sé lec tio nne r

l’appro che qui lui convient le mieux, qu e de comp arer les résultats fournis par plusieurs

algorithmes et jeux de paramètres. Il est donc imp ortant qu’il puisse disp oser

d’ i ndi c at eu rs de q ua li té a fin de f ac il it e r l ’a na ly se de s p e rf or ma nc es de s a ppr o ch es

testées.

Il existe de n ombreux indicateurs de qualité p our l’optimi sation multi-ob jectif

[ Knowles et al. 02, Zitzler et al. 03]. Trois indicateurs d’usage courant sont décrits

ci -de sso us. Les deux pre mie rs sont dé crit s car ils sont év oq ués en se cti on 10 .3. 5.3 .

Le troisième indicateur est décrit en raison de ses b onnes propriétés bien qu’il soit

co ûte ux en qu ant ité de ca lcu ls.

10.3.2.1 La distance générationnelle (generational distance)

Cette métrique [Van Veld huizen 99] donne la dis tance entr e le front de Par eto et

un e ns em bl e de n so lut ions non do miné es. Son ex pre ssio n est do nnée c i-de sso us :

Dp = ( n

i=1 d i p ) 1/p

n

où d i est la di sta nce entre le vec te ur d’ob je cti fs asso cié à la so lut ion i et le p oint le

pl us pro c he du f ro nt de P ar et o. p est une co nst ant e no rmal eme nt ch ois ie ég ale à 2. La

val e ur p = 1 est au ssi ut ilis ée .

Cette métrique a l’avantage de présenter un faible coût en quantité de calculs.

Cep endant, la difficulté dans son utilisation est que, sauf exception, le front de Pareto

n’ e st pa s c on nu à l ’a va nc e. D an s ce c as , si une a ppr o xi ma ti o n pa r dé f au t (p o ur une

minimisation des ob jectifs) est disp onible, elle p eut remplacer le front de Pareto.

Une telle approximation p ourrait être obtenue, par exemple, avec une relaxation de

contr aint e(s ). Év ide mme nt, dans ce ca s, la val eur de Dp n’ e st pl us s ig ni fia nt e en

el le- mêm e mais p er met de co mpa rer les ré sult ats do nnés par pl usie urs op tim iseu rs.

Un autre défaut de cette métrique est qu’elle ne tient pas compte de la qu alité de la

couver ture du front de Pa ret o par l’ ense mbl e des so lut ions non do miné es ob ten ues

ave c u n o p t i mi s e u r .

- 285 -


10.3.2.2 La métrique de couverture ou “métrique C

”

Cette métrique a été prop osée par [Zitzler 99]. Soient A et B , deux ensembles de

ve c te u r s , C est une fo nct ion de ( A, B)

ve r s l ’ i nte r val l e

[0 , 1] :

C (A, B) = |{ b 2 B|

9 a 2 A, a < p b }|

| B|

De façon moins formelle, il s’agit du taux d’éléments de B do m in és pa r un ou pl us ie u rs

él éme nts de A. Si C (A , B

) = 1, c ela sign ifie qu e tou s les é léments de B sont do miné s

pa r c eu x de A. Dans ce cas, C (B , A

) = 0. Si A et B conti enne nt se ule ment des él éme nts

du f ro nt de P ar et o, a lo rs C ( A, B) = C (B , A) = 0. Il n’existe pas en général de relation

si mple en tre C ( A, B) et C (B , A

). Ain s i , p o u r co m p a r e r ave c l a m é t r i q u e C les qualités

de de u x e ns em bl es de s ol ut io ns no n do m in ée s A et B , qui sont des app roximations du

f ro nt de P ar et o, c el a né c es si t e a priori de c al cu le r C ( A, B) et C ( B, A

). On p eut d ire

que A est me ill eur que B si

C ( A, B)

> C

( B, A)

.

Un avantage de cet ind icateur est qu’il ne nécessite pas la connaissance du front de

Pa re t o P . Il présente aussi un faible coût en quantité de calculs et il n’est pas affecté

pa r l es di ffé re nc es d’ o rdr es de g ra nd eu rs e nt re l es ob j ec ti f s. L ’i ndi c at eu r do nn e de s

résultats conformes à l’intuition lorsque les ensembles A ou B sont de ca rdin ali tés

si mila ire s et si leur ré part iti on est uni for me. Lo rsq ue ce n’ est pas le ca s, l’ indi cat eur

p eu t ê tr e t ro mp e ur (fi gu re 10 .3 ). D e p lus , on p re ndr a ga rd e à n e p as c ons id ér er qu e

la relation “est meille ur que” au sens de la métrique C soit une re lat ion d’ ordre . En

effet, on p eut avo ir des co nfig urat ion s où p our tr ois en sem bles

A, B et C, o n a :

C (A , B) < C (B , A

), C( B, C) < C (C , B), C (A , C

) > C (C , A

). C’est à dire que C se rai t

meilleur que B , B se rai t me ill eur que A et A meilleur que C, ce q ui e s t co nt r ad ic t oi re

avec la transitivité d’une relation d’ordre [Knowles et al. 02, Zitzler

et al. 03].

10.3.2.3 La mesure de l’hyp ervolume ou “métrique S

”

So i ent ⇢ = ( ⇢ 1 , . .. , ⇢c ), u n p oi nt d e ré fé re n ce d an s l ’e sp a ce d es o b j ec ti f s et a =

( a 1 , . .. , ac ), un élément d’un ense mble A de vecteurs d’ob jectifs non dominés. Il faut

a i < ⇢ i p ou r un p ro bl ème d e mi ni mi sat io n d es o b j ec tif s. ⇢ et a p er me tt ent de dé fin ir

un hyp e r- re ct a ng le do nt l es a rê te s s on t pa ra l lè le s a ux a xe s du re p è re de l ’e sp ac e de s

ob j ectifs. Son hypervolume a p our expression : v (a,

⇢) = c

i=1 (⇢ i a i ).

L’ensemble A et le p oint ⇢ dé fi nis s ent un hy pe r vo lu me v( A, ⇢) da ns l ’e sp ac e

de s ob j ec ti f s pa r l ’u nio n de s hy pe r -r ec ta ng l es a ss o c ié s a ux é lé me nt s de A (figure

10.4). ⇢ est fixé de fa ço n que ch acu ne de ses co ord onné es ma jore les co or donn ées

co rre spon dant es de tous les p oints de A (p our une minimisation des ob jectifs). La

mesure de l’hypervolume v (A, ⇢) est un b on in dica te ur de co mpa rais on d’ ense mbl es

no n do m in és , c ar il e st s tr ic te me nt m on ot on e s el on la re l at io n de do m in an ce de P ar et o

[Knowles et al. 02]. C’est-à-dire que si tout élément d’un ensemble

B est do miné par

au moins un élément de A , alors l’hyp e rvolume v (B, ⇢ ) est in féri eur à l’ hype rvo lume

v (A, ⇢ ). À ce jou r, l’i ndica teur v ( A, ⇢) est le seul qui p os sèd e ce tte pro prié té de

monotonie, ce qui explique l’intérêt qui lui est p orté.

L’hyp ervolume maximum est obtenu lorsque A est le front de Pareto. Cet indicateur

est plus si gnifi ant que la “d ista nce gé nér ati onne lle ” ou la mé triq ue C . En effet, u ne

- 286 -


val e ur v (B, ⇢ ) pro che du m ax imum s ig ni fie q ue l es v ec te u rs no n do m in és d’ un e ns emble

A sont pro ches du fr ont de Pa ret o, avec une ré part iti on de b onne qu ali té.

Il existe plusieurs appro ches de calcul d’hyp ervolumes. On p eut citer

[Fonseca et al. 06] comme l’une des références récentes en ce domaine.

Figure 10.3 – C ( A, B

) = 1/4, C ( B, A ) = 0 : selon la métrique C, A est meilleur que B .

Lorsque les ensembles A et B sont de cardinalités trop différentes et/ou ne sont pas uniformément

distrib ués, la métrique C

p eut donner des résultats tromp eurs.

Figure 10.4 – L’hyp ervolume v( A, ⇢ ) avec A = {a1, ..., a 6} est repré senté par la surface de la

région grisée p our un problème de minimisation à deux objectifs.

- 287 -


10 .3 .3 A lgo ri th me s év ol uti on na ire s m ult i- ob je ct if s

La classe de métaheuristiques incontestablement la plus employée en optimisation

mu lt i - o b j e c t i f e s t c e ll e d es a lg o r i t h m es é vo lu t i o n n a ir e s , q u i s e p r ê t e nt b i e n — d e p a r

leur traitement simultané d’un e p opulation d’instances de solutions — à la recherche

d’ un e ns em bl e de s ol ut io ns o pt im al es .

L’appro che évolutionnaire néc e ssite a priori l’implantation d’une archive des solutions

non d ominées découvertes au cours d’une évolution complète. En effet, on

n’a pa s de g ar ant ie q u’ à la fin de l ’é vo lut i on , l es s ol ut io ns q ui se s on t a ppr o c hé es au

mieux de l’ensemb le Pareto optimal ont été conservées dans la p opulation. Ainsi, à

la fin de chaque génération de l’algorithme évolution n aire , la p opulation est copiée

da ns l ’a rc hi ve, pu is l es i ndi v id us do m in és en s on t é li mi né s. To ut ef oi s , la g es ti o n d’ un e

archive p eut être inutile p our les algorithmes d’optimisation multi-ob jectif qui mettent

en œuvre une fo rme d’ éli tism e.

Deux types d’appro ches évolutionnaires sont largement présentés dans la littérature

:

– les métho des utilisant un classement de Pareto p o ur é va lu er l a f on ct ion d e

p er fo rm anc e.

– les métho des d’agrégation (ou scalarisation) q ui t ra ns fo rme nt un p ro bl èm e

d’ o pt im is at io n m ult i -o b j ec ti f en une c ol le c ti on de pr ob lè m es m on o- ob j ec ti f s. La

résolution de chaque problème mono-ob jectif donne alors un p oint du front de

Pa re t o .

Les métho des parmi les plus utilisé es actuellement ou qui sont représ e ntatives des

di ffé re nts t yp es d’ a ppr o c he s, ou q ui f ure n t de s j al on s du do m ai ne s on t dé c ri te s da ns

les sections suivantes.

10 .3 .4 M éth o des ut il is an t un “c l ass em ent de Par et o”

Ces métho des ont été les premières à montrer leur efficacité dans l’échantillonnage

un if o rm e d’ un f ro nt de P ar et o. L es i ndi v id us d’ un e p o pul a ti on c or re sp o nde nt à de s

instances de solutions dans l’espace de recherche. Ils sont affectés par une valeur de

p er fo rm anc e sc al air e, c al cu lée à pa rt ir d es vec te ur s d ’o b j ect if s a ss o ci és a ux in di vi dus ,

telle que les individ us non dominés seront plus souvent sélectionnés que les autres.

L’échantillonnage uniforme du front de Pareto, ou du moins de son voisinage le

pl us pro che p o ss ib le , e st o bt en u pa r un m éc an is me de pr és e rva ti on de la di v er si té au

sein de la p op ulat io n, qui p eut être une mé tho de de sp éc iat io n/ni chage (s ect ion 10 .2,

pa g e 2 74 ).

Dimen sionnalité de l’espace des ob jectifs. Il existe une difficulté d’application

de s t ec hn iq ue s f on dé es sur la do m in an ce de Pa re to , l ié e à la di me n si on na li té de l ’e sp ac e

de s ob j ec ti f s. P lu s il y a d’ o b j ec ti f s à o pt im is er , et q u’ ai ns i la di me n si on de l ’e sp ac e de s

ob jectif s est grande, plus le front de Pareto est vaste, et moins il y a de chances que

de s i ndi v id us s oi en t do m in és pa r d’ a ut re s. Si da ns ce c as , on a tt ri bu e une p e rf or ma nc e

maximale aux individus non dominés dans une p opulation, de façon à favoriser leur

repro duction, alors de nombreux individus auront cette p erformanc e , faisant ainsi

- 288 -


chu te r l a pr e s s io n s é l ec t i ve , et d o nc l a v it e s s e de c o nve rg e n c e de l ’ al g o r i th m e . L es

st rat égi es ut ilis ant les cl ass eme nts de Pa ret o de vro nt, par co nsé que nt, s’e ffor cer d’ évi ter

au maximum ce problème. Actuellement, l’appro che “classement de Pareto” ne p ermet

guère d’aller au delà de problèmes à quatre ob jectifs.

Une première appro che a été décrite par D.E. Goldb erg dans son célèbre ouvrage

[ Goldb erg 89]. Cep endant, il n’en a présenté aucune implantation concrète, et évide

m me nt a uc un ré s ul ta t de p e rf or ma nc e. L ’i dé e a c ep e nd an t i ns pir é de no m bre ux

ch er ch e u r s d an s l e s a n n é es q ui s ui v i r e nt. E ll e a d on n é n a i s sa n c e à l a p r e m iè r e g é -

né ra t io n de m ét ho de s m ult i -o b j ec ti f s ut i li sa nt un c la ss em e nt de P ar et o, c on st it ué e s

es senti ell eme nt par les al gor ithm es MOGA (1 993 ), NPGA (1 994 ) et NSGA (1 994 )

pr és e nt és

c i- de ss o us.

Dans les années 2000, ces appro ches ont été améliorées par l’intro duction de

l’élitisme, soit par la sélection, soit par l’utilisation d’une p opulation secondaire, ce qui

a donné nai ssance à la d euxième g énérati on des méth o des multi -ob je ctifs dont nous

pr és e nt on s en dé t ai l l es a lg or it hm es NS GA -I I ( qu i e st une a mé li or at i on de la m ét ho de

NSGA), SPEA et SPEA2. Plusieurs autres appro ches de la même génération ont

été pub lié es co mme PAES (Pareto Archived Evolution Strategy) [ Knowles et al. 00 ],

M OM GA (Multi-Objective Messy Genetic Algorithm) [van Ve l dhu iz en et al. 00 ] e t s on

extension MOMGA-I I [Zydallis et al. 01].

10.3.4.1 Le “classement de Pareto” de Goldb erg

Calcul des p erformances des indiv idus. Dans la prop osition originale de Goldb

er g, le c alc ul es t f ond é s ur l e c las se me nt d es in di vi dus s elo n l a r el at ion d e d om in ati on

ex ist ant en tre les so lut ions qu ’ils re prés ent ent. Tout d’ab ord, on donne le rang 1 aux

individus non d omin és de la totalité de la p opulation : ils appartiennent au front non

dominé. Ces individus sont alors fictivement retirés de la p opulation et on détermine les

no uve au x i ndi v id us no n do m in és , q ui o bt ie nn ent le ra ng 2. On di ra q u’ il s a ppa r ti en ne nt

au front dominé de rang 2. On pro cède ainsi jusqu’à ce que tous les individus soient

cl ass és. La val eur de p er form anc e de cha que in divi du est en suit e ca lcu lée co mme une

f on ct io n dé c ro is sa nte du ra ng de c haq ue i ndi v id u de f aç on s im il ai re à l ’a pp ro c he dé c ri te

au paragraphe 5.3.3.5, page 127, en pren ant garde à donner à chaque ex-aequo la

même p erformance.

Nichage. Goldb erg a choisi la métho de du partage (sec tion 10.2.2, page 274), éventuellement

renforcée par une restriction des croisements (section 5.4.2, page 134).

Goldb erg ne précise p as si le nichage est implanté dans l’espace de recherche, ou

l’espace des ob jectifs.

10.3.4.2 La métho de “Multiple Objective Genetic Algorithm ” (MO GA)

Fonse ca et Flem ing pro p os ère nt l’ algo rit hme MOG A en 1 993 [Fons eca et al. 93 ],

inspiré de l’appro che s u ggérée par D. Goldb erg. Lors de l’évaluation des adaptations,

ch aq u e i n d i v i du r e ço i t u n r an g é ga l au n o mbr e d ’i n d i v i du s q ui l e d o m in e nt . P u i s u n e

- 289 -


sé lec tio n se lon le rang est ap pliq uée , co nfo rmé ment à l’ idé e de Go ldb erg. Le ni chag e

est effec tu é dans l’ espa ce des ob je cti fs, ce qui p er met une ré part iti on uni for me des

individus au voisinage du front de Pareto, mais pas dans l’ensemble Pareto-optimal.

Ce choix interdit donc de faire une optimisation à la fois multimodale et multi-ob jectif.

La valeur du rayon de niche s de v ra it ê tr e c al cu lé e de f aç on q ue la ré pa r ti ti on de s

µ individus de la p opulation soit uniforme sur tout le front de Pareto. Fonseca et

Fleming donnent une métho de p our en estimer la valeur [Fonseca et al. 93].

10.3.4.3 La métho de “Niched Pareto Genetic Algorithm’ ’

Po ur l e s m é t h o d e s d e “ c la s s e m e nt d e Pa r e t o ”, l a s é l e c ti o n s e l on l e r a n g p eu t ê t r e

remplacée par un e sélection par tournois entre les individus class és. Horn et al (1994)

[ Horn et al. 94 ] prop osèrent la métho de “ Niched Pareto Genetic Algorithm’ (NPGA)

qui effectue les tourn ois directement selon les relations de dominance, évitant ainsi un

cl ass eme nt pré ala ble , co ûte ux en ca lcu ls, de to ute la p op ulat io n. App liq uer un si mple

tournoi binaire (section 5.3.4.2, page 129), n’est pas satisfaisant en raison de la faible

pr es s io n s él ec t ive da ns ce c on te x te . P ou r l ’a cc ro î tr e, l es a ut eu rs o nt c on çu un t ou rno i

bi na i re i nha bi t ue l : le tournoi de domination.

So i ent de u x i ndi v id us x et y tirés au hasard dans la p opulation p our particip er à

un tournoi. Ceux-ci sont comparés à un échantillon de comparaison , lui au ssi t iré

au hasard et comp ortant t dom individus. Le gagnant du tournoi est x s’il n’ est pas

do m in é pa r au m oi ns un de s i ndi v id us de et si y est en revanche do miné . Le ga gna nt

est y da ns le c as c on tr ai re . Si m ai nte na nt x et y se tr ouve nt dans la même si tua tio n :

soit do miné s, soit non do miné s, le ga gna nt du to urno i est ce lui qui p os sèd e le mo ins

de vo is in s da ns une b o ul e de ray on s da ns l ’e sp ac e de s ob j ec ti f s. Ce t te de rn iè re

op ération a p our effet d’appliquer une forme de nichage, dans le but de réduire la

dé ri ve g én ét iq ue q u’ au ra it ent ra în é le c ho ix d’ un g ag na nt au ha s ar d. En e ffe t, une

dé ri ve g én ét iq ue i mp o rt an te s er ai t né f as te à une ré pa r ti ti on ré g ul iè re de s i ndi v id us

no n do m in és , a

priori

pro c he s de l ’e ns em bl e P ar et o- o pt im al .

Les paramètres t dom et s do i ve nt ê tr e fix é s pa r l ’u ti li sa te ur . t dom est un pa ramè tre

d’a j us te me nt de la pr es s io n de s él ec t io n. Ho r n et al ont remarqué su r quelques exemples

que si t dom est trop fa ibl e, plus p et it que un p our cent de la p op ulat io n, il y a trop de

so lut ions do miné es et les so lut ions pro ches de l’ ense mbl e Pa ret o op tim al ont mo ins de

ch an c e s d ’ ê tr e d é c o u ver t e s . S ’i l e s t p l u s g r an d q u e v i n gt p o u r c e nt , l es c onve r g e n ce s

pr ém a tu ré es s on t f ré qu en te s, du e s à une pr es s io n de s él ec t io n t ro p é le vé e . Une va le ur

de l ’o rd re de dix p o ur c en t s er ai t a dé qu at e p o ur ré pa r ti r au m ie ux l es i ndi v id us à

prox im it é du f ro nt de P ar et o. Le pa ra m èt re s s’avère relativement robuste. Il p ourra

être d’ auta nt plus p et it que la p op ulat io n est gr ande , et vice versa, d a n s l a m e s u r e

où l’ob jectif est seulement de recouvrir les régions pro ches du f ront de Pareto le plus

régulièrement p ossible. Une estimation de sa vale u r est donnée dans [ Fons eca et al. 93 ]

ou [Horn et

al.

94].

- 290 -


La métho de NPGA b énéficie d’une faible complexité algorithmique. Elle a été l’une

de s pl us ut i li sé es da ns l es a nné e s q ui s ui vi re nt sa pu bl ic a ti on . E ll e f ut s upp la nt é e pa r

la prop osition d’appro ches élitistes par divers auteurs dan s les années 2000.

10.3.4.4 La métho de “Non Dominated Sorting Genetic Algorithm ”

La métho de “ Non Dominated Sorting Genetic Algorithm” (NS G A) a ét é pr és e nt é e

en 19 94 par Sri nivas et Deb [Sr in ivas et al. 94 ] et s’i nspi re dire ctem ent de l’idé e de

Goldb erg. Elle u tilis e le même classe ment de Pareto p our évaluer les p erformances des

individus. En revanche, elle effectue un nichage différe nt d e celui utilisé par MOGA.

La métho de du partage est en effet appliquée front par front dans l’espace de recherche

ave c u n p ar a m è t re d e d ur e t é ↵ ég al à de ux. Le rayon de ni che doit être es tim é par

l’utilisateur de l’algorithme, c e qui est une diffi

c u lté dans sa mise en œuvre.

La c omp lexité algorithmique d u c las sement de Pareto utilisé e s t élevée. En effet,

p ou r dé te rmi ne r s i un e so lu tio n es t do mi née ou no n, e ll e d oi t ê tr e c om par ée , o b j ec ti f

par ob jectif, à toutes les autres solutions. Il faut donc µc co mpa rais ons d’ob je cti fs,

où µ est la ta ill e de la p op ulat io n et c est le no mbre d’ob je cti fs. Ai nsi, il faut µ 2 c

co mpa rais ons p our dé cou vrir to ute s les so lut ions non do miné es de rang 1 dans la

p op ul at ion . E nfi n, i l f aut r ép é ter c et te r eche rch e p ou r o bt eni r l es i nd iv idu s n on do mi né s

p our chaque rang de domination. Il y a au plus µ rangs dans la p opulation, ce qui exige

da ns le pi re de s c as O (µ 3 c ) co mpa rais ons p our effec tue r le tri de tous les in divi dus

selon leur rang de domination. Cela implique un b esoin de puissance de calcul élevé

p ou r de g ra nd es ta il le s d e p o pu lat io n.

10.3.4.5 NSGA-I I

La métho de NSGA-I I [Deb et al. 02a] a été p r é s e nt é e e n 20 0 2 c o m m e u n e a m é l i o -

ration de NSGA sur les p oints suivants :

– co mpl exi té al gor ithm iqu e ré duit e à O (µ 2 c),

– remplacement de la métho de du partage, par un e technique de nichage sans

pa ra m èt re ,

– mise en œuvre de l’élitisme (section 5.3.6.4, page 130) afin d’accélérer la

conve rge nce de l’ alg ori thme .

Réduction de la complexité algorithmique du classement de Pareto. Le

cl ass eme nt de Par eto de NSG A-I I se dé roul e en deux pha ses : une pha se d’ init ial isa tio n

sui vie d’une pha se d’a ffec ta tio n des ra ngs. Du rant la pha se d’ init ial isa tio n dé crit e par

l’algorithme 10.1, à chaque individu i de la p o pul a ti on P sont asso ci és :

– un c om pt eu r de do m in at io ns ↵i do nn a nt le no mbre d’ i ndi v id us q ui do m in ent i ;

– l’ensemble des individus Si do m in és pa r i.

Les individu s p our lesquels ↵ i est nul co nst itue nt l’ ense mbl e des in divi dus non do miné s

de ra ng 1, no t é F 1 . Les co nstru ctio ns de Si et les ca lcu ls de ↵i p ou r t ou s l es i ndi vi du s

ex ige nt µ 2 c co mpa rais ons .

- 291 -


Al gorit hm e 10.1 Classement de Pareto de NSGA-I I : initiali sation

p ou r chaque individu i 2 P faire

Si ;

↵i 0

p ou r chaque individu j 2 P faire

si i p < j alors

Si Si [ {j }

sinon si j p < i alors

↵ i ↵ i + 1

si ↵i = 0 alors

F 1 F 1 [ {i}

À c e t te p h a s e d ’ i n i ti a l i s a t io n s u c c è d e l a p ha s e d ’ a ff e c ta t i o n d e s r a ng s d e n o n

do m in at io n p o ur t ou s l es i ndi v id us de la p o pul a ti on ( al go ri th me 1 0. 2) . Si l ’o n s upp o se

que l’ensemble Fr de s i ndi v id us no n do m in és de ra ng r a ét é c o n s t r u i t , i l es t p o s s i b l e

de dé t er mi ne r l es i ndi v id us no n do m in és de ra ng r + 1 de la f aç on s ui vante : p o ur

tout individu i appartenant à Fr , les compteur s ↵ j de s i ndi v id us j do m in és pa r i sont

dé c ré me nt és . L es i ndi v id us j p ou r l es qu els ↵j = 0 co nst itue nt l’ ense mbl e Fr+1 . La

co mpl exi té de cet al gor ithm e est là au ssi O (µ 2 c ). L a val e u r d ’ a d a p ta t i o n d ’ u n i n d iv i d u

est do nnée par son rang que l’ alg ori thme év olut ionn aire tend à mi nimi ser .

Al gorit hm e 10.2 Classement de Pareto de NSGA-I I : affectation des rangs

r 1

tant que F r 6 = ;

faire

F r+1 ;

p ou r chaque individu i 2 Fr faire

p ou r chaque individu j 2 Si faire

↵j ↵j 1

si ↵j = 0 alors

F r+1 F r+1 [ {j }

r r + 1

Nichage. La métho de d e nichage utilise une sélection par tournois b in aire s (section

5.3.4, page 128) sp écifique à NSGA-I I que l’on désignera par “ tournois de surpeuplement”

(crowded tournament). Ce tournoi est conçu p our favoriser la sélection d’individus

de m êm e ra ng de do m in at io n da ns l es z on es p eu de n se s s oi t de l ’e sp ac e de s ob j ec ti f s,

soit de l’ espa ce de re che rche ⌦, se lon le choi x de l’ util isa teur . Les e xpl icat ion s dans

les lignes suivantes se rapp ortent à l’espace des ob jectifs. L’adaptation à l’espace de

reche rche est directe.

Le tournoi de surp euplement est fondé sur un op érateur de c omp araison dit de

“s urp eu plem ent” (crowded-comparison operator), no té n. À ch aq ue i nd iv id u i, qu i es t

- 292 -


un p o in t da ns l ’e sp ac e de s ob j ec ti f s, e st a ss o c ié e la “ di st an ce de s urp e up le me nt ” di

(crowding distance) en ce p oint qui re prés ent e une es tim ati on de la di sta nce de i à

ses vo isi ns dans l’ espa ce des ob je cti fs. Soit ri le rang de domination de l’ind ividu i.

L’op érateur de comparaison de surp euplement est défini ci-dessous :

i n j () ri < rj ou (ri = rj et di > dj )

Le tournoi de surp eupleme nt entre deux individus i et j sé lec tio nne i si

i n j .

Les concepteurs de la métho de prop osent de calc u le r la distance de surp euplement

di de la f aç on s ui va nt e. So i t f m (i ) la valeur de l’ob jectif m p ou r l ’in di vi du i de Fr ,

ave c r do nn é , on dé fi nit :

– f max m : maximum de l’ob je ctif m da ns la p o pul a ti on ;

– f min m : minimum de l’ob jectif m da ns la p o pul a ti on ;

– f + m (i) : p lus pr oche val eur de f m (i ) da ns F r telle que f m + (i ) f m (i ). Po ur

les individus i ex trê mes avec f m ( i ) de va le ur m ax im al e da ns F r , o n fix e

f + m (i) = 1 p ou r l’ un d ’e nt re e ux e t f m + (i) = 0 p o ur l es é ve nt ue ls a ut res .

Cette disp osition est utile p our que des individus extrêmes puissent être sélectionnés

avec une probabilité suffi

samment élevée afin d’explorer le u rs voisinages

ave c l e s o p é r a t e u r s d e var i a t io n ( mut a t i o n e t c r o i s em e nt ) ;

– f m ( i )

: plus pro che valeur de fm( i )

da ns Fr telle que f m ( i)

apple f m ( i ) . Pour les

individus i ex trê mes avec fm ( i) de va le ur m ini m al e da ns Fr, on fi x e fm (i ) = 1

p ou r l’ un d ’e ntr e eu x e t fm (i) = 0 p o ur l es é ve nt uel s au tr es.

La distance de su rpeup lement d i a p our expression

d i =

c

f m + ( i)

fm ( i)

f

m=1 m

max fmin m

La figure 10.5 m ontre u n exemple de calc u l de la distance de surp euplement p our un

individu i da ns un e sp ac e d’ o b j ec ti f s à 2 di me n si on s.

L’algorithme 10.3 décrit le calcul de d i p ou r la so us -p o pu lat io n Fr de s i ndi v id us i

no n do m in és de ra ng r . Il p ermet de déduire la complexité algorithmique du calcul

de s di s ta nc es de s urp e up le me nt q ui e st O (cµ log µ ). Le c a l c u l de c e s d i s ta n c e s s uc c è d e

à l’affectat ion des rangs a ux individu s qui est de comp lexité O( µ 2 c), par consé quent

la complexité globale de ces deux op érations est O (µ 2 c).

Al gorit hm e 10.3 Calcul des distances de surp euplement d i p ou r to ut i nd iv idu i de F r

l |Fr | // l est le no mbre des in divi dus non do miné s de rang

r

p ou r chaque individu i 2 Fr faire

di 0

p ou r chaque objectif m faire

T tri (Fr, m ) // T est un ta ble au d’ indi vidu s de Fr triés selon l’ob jectif m

d T[1] d T[ l ] 1

p ou r k = 2 à l 1 faire

d T[ k ]

d T[ k ]

+ (fm( T[ k + 1]) f m ( T[ k 1])) /(

f max m fmin m )

- 293 -


Figure 10.5 – Calcul de la distance de surp euplement dans un espace de deux objectifs p our

un individu i de rang 2 : di = f + 1 ( i)

f 1 ( i)

+ f+ f

1

max f min

2 ( i)

f 2 ( i)

.

f

1

2

max f min

2

Élitisme. Po ur u n e g é n é ra t i o n g > 0, on o bt i ent l a no u vel le g é né r at i on e n c ré a nt

une p o pul a ti on d’ e nf ants Qg à pa r t i r d e l a p o p u l a t i o n Pg pa r a ppl i ca ti o n en s éq ue nc e

de l ’o p é ra te ur de s él ec t io n pa r t ou rno i de s urp e up le me nt, du c ro is em en t et de la

mu ta t i o n ( fi g u re 10 . 6 ) . L a t a i l l e d e Qg est ch ois ie par les au teu rs id enti que à ce lle

de Pg , c’est-à-di re µ. Le classement de Pareto décr it p récédemment e st appliqué sur

la réunion de Qg et Pg , ce qu i pe rmet d e calcu ler le s rangs de do mi nati on r i de s

individus et d’engendrer les sous-p opulations F r. Les par ents et e nfants p artic ipant

au même classement, cela assure l’élitisme.

Op érateur de sélection environnementale. La p opulation Pg+1 , construi te par

l’op érateur de sélection environnementale est comp osée d ’abord des individus des

so us- p op ulat io ns F 1 à F k , où k est le plus gr and en tie r po ssib le de so rte que la so mme

de s t ai ll es de c es s ou s- p o pul a ti on s s oi t i nf ér ie ur e ou é ga le à µ. Pou r c o mp l é t e r Pg+1 à

µ individus, les individus de F k+1 sont cl ass és avec l’op ér ate ur de co mpa rais on n

et les me ill eure s so lut ions sont in séré es dans la p op ulat io n P g+1 j us qu ’à ce q u’ el le

conti enne µ individ u s.

La p opulation initiale. La p opulation initiale P0 est en gen drée par une mé tho de

sp éc ifiq ue au pro blè me ou à dé fau t, par co nst ruct ion d’ indi vidu s al éat oir es. Le cl ass e-

ment de Pareto est ensuite appliqué sur P0 p ou r ca lc ule r le s val eu rs d ’ad ap tat io n d e

ses individus. Cela est différent des autres générations où ce classement est appliqué

sur la ré unio n de Pg et Qg .

- 294 -


La b oucle générationnelle. La figure 10.6 représente la b oucle générationnelle de

NSGA-I I. Les deux étap es du calcul des adaptations comp osites (ri , di ) de s i ndi v id us

i ont été mises en évidence.

Figure 10.6 – La b oucle géné rationnelle de NSGA-I I.

En conclusion. La métho de NSGA-I I est reconnue comme étant d’une grande

effica cit é. Elle est au jou rd’hu i une des mé tho des de ré fér ence p our l’ opt imis ati on

mu lt i - o b j e c ti f é vo l u t io n n a i re . U n e var i a nt e d e s a l g o ri t h m e s d ’ évo l u t i on d iff

é r e nt ie l l e

ut i li sa nt NS GA -I I a é té pr op o sé e [Kwa n et al. 07].

10.3.4.6 La métho de “Strength Pareto Evolutionary Algorithm ” (SPEA)

Cette métho de, présentée en 1999 par E. Zitzler et L. Thiele [Zitzler et al. 99], a

p ou r o rig in al it é d ’u ti lis er l’ ar ch ive d es so lu ti on s n on do mi né es d éc ou ve rt es d ur ant

l’évolution d’une p opulation. Elle a p our but d’intensifier la recherche de nouvelles

solutions non dominées e t de s’appro cher ainsi davantage du front de Pareto. Il s’agit

d’ un e f or me d’ é li ti sm e. L es a ut eu rs pr op o se nt en o ut re une no uv e ll e t ec hn iq ue de

nicha g e s an s pa ra m èt re dé d ié e à l ’o pt im is at i on m ult i -o b j ec ti f .

Se u l l ’o p é ra te ur d’ é va lu at io n de l ’a da pt at io n de s i ndi v id us e st sp é ci fiq ue à SP E A.

L’op érateur de sé lection p our la reproduction met en œuvre des tournois binaires

ave c r e m i s e d a n s l a p op u l a t io n . L ’ a d ap t a t i on fi d’ un i ndi v id u i est dé finie de fa ço n

qu’elle soit minimisée. Ainsi, deux individus i et j pa rt i ci pa nt à un t ou rno i bi na i re ,

i

est sé lec tio nné p our la repro duc tio n si fi < f j .

- 295 -


Calcul des adaptations des indiv idus. Lors de l’application de l’op érateur d’évaluation

des individus, en premier lieu, la p opulation P 0 reçoit les individus non dominés

de P. Les éventuels individu s de P 0 qui se trouveraient alors dominés en sont retirés

ainsi que les individus ayant des vecteurs d’ob jectifs identiques. Si la taille de P 0

dé p as se un s eu il , q ui e st un pa ra m èt re de la m ét ho de , la p o pul a ti on e st ré du it e pa r

clustering. Le clustering a p our eff et de remp lacer u n group e d ’indiv idus voi sins par

un s eu l, q ui e st le c entre de g ra vi té du g ro up e. De c et te f aç on , la pu is sa n ce de c al cu l

n’ e st pa s g as pi ll ée en c om pa ra is o ns re do n da nt es .

À ch a qu e g én é r at i o n, l e s a da p t at i o ns d e s i nd i v id u s d an s l a p o p u la t io n P et l’ archive

P’ sont dé ter miné es de la fa ço n suivante :

É ta p e 1 : L’adaptation f i de t ou t i ndi v id u i de P’ est ég ale à sa fo rce (strength) s i :

f i = si et si = ↵i

µ + 1

où ↵ i est le no mbre de so lut ions do miné es par i da ns la p o pul a ti on P et µ est

la taille de P, s i est né ces sai rem ent co mpri s en tre 0 et 1.

É ta p e 2 : L’adaptation fj de t ou t i ndi v id u j de P est ég ale à la so mme des fo rce s

de s i ndi v id us de P’ qui le dominent, a joutée à un :

f j = 1 +

s i

i,i p <j

fj est ai nsi plus gr and ou ég al à 1, et par co nsé que nt plus gr and que les

adaptations des solutions de P’.

Ainsi, un in d ivid u a d’autant moins de chance s d’être sé le c tion né qu’il est dominé

pa r un pl us g ra nd no m bre d’ i ndi v id us de P’ . La fig ur e 10. 7 ill ust re le c alc ul de s

adaptations sur un exemple.

Le saut de p erformance de SPEA par rapp ort aux métho des qui f ais aient référence

avant 1999 s’explique essentiellement par l’élitisme qu’engendre l’utilis ation de

l’archive

P’.

10.3.4.7 La métho de “Strength Pareto Evolutionary Algorithm 2 ” (S PEA 2)

La métho de “Strength Pareto Evolutionary Algorithm 2” [Zitzler et al. 02 ] a été

pr op o sé e en 2 00 1 p o ur a mé li or er SP E A sur l es p o in ts s ui va nt s :

– Le calcul des adaptations des individus a été mo difié de façon à mieux guider

la recherche vers l’optimum de Pareto en réduisant le nombre d’ind ivid u s

p os sé da nt l a m ême va le ur d ’ad ap tat io n. N ota mm ent, l es va leu rs d ’a dap ta ti on

ca lcu lée s avec SP EA2 ti enne nt co mpt e des de nsit és lo ca les de p op ulat ion dans

l’espace des ob jectifs.

– L’op érateur de sélection environnementale a été mo difié de façon à mieux

ex plo rer le vo isi nag e des p oi nts ex trê mes du fr ont de Pa ret o, al ors que le

clustering mis en œuvre sur P 0 da ns la pr em i èr e v er si on ava it au c on tra ir e p o ur

effet de sup prim er ces p oi nts .

- 296 -


Figure 10.7 – Exemple de calcul des valeurs d’adaptation des solutions dans P et P’ avec la

mé th ode SP EA .

On note P 0 la p opulation des parents à un e génération donnée et P la p opulation

de s e nf an ts e ng en dr ée pa r l ’a pp li ca ti o n en s éq ue nc e de s op é ra te ur s de s él ec t io n p o ur

la repro duction, de croisement et de mutation sur P 0 . Dans l a termi nolog ie de SP EA2,

P 0 est au ssi dé sig née co mme ét ant l’ archive qu i retient les “meilleurs” individus non

do m in és o bt enus au c ou rs d’ un e é vol ut io n de p uis la pr em i èr e g én ér at io n . Le s en s de

“m eil leu rs” sera pré cis é dans les pa rag raphe s suivants.

Calcul des adaptations des indiv idus et nichage. Le calcul des valeurs d’adaptation

des individus de la p opulation P 0 [ P est effec tué en deux ét ap es. La pre miè re

ét ap e donne à ch aqu e in divi du une val eur d’ adap tat ion brute (raw fitness) à p a r t ir

de s re l at io ns de do m in an ce de P ar et o e ntre l es i ndi v id us . La s ec on de é ta p e c al cu le une

es tim ati on de de nsit é de p op ulat io n au vo isi nag e de ch aqu e in divi du, qui est a jo uté e à

son ad apt ati on brute p our do nner sa val eur d’ adap tat ion effec tiv e.

Le calcul des adaptations brutes néce s site la détermination de la force s i asso ciée

à chaque individu i. Cette force est le nombre d’individus dominés par i

:

s i = card ({ j | j 2 P 0 [ P et i < p j })

On obtient l’adaptation brute bi de c ha qu e i ndi v id u i en so mma nt les fo rce s des

individus j

qui le dominent :

b i =

s j

j2P 0 [P,j p <i

La figure 10.8 montre un exemple de calcul des forces et adap tation s brutes dans

le contexte de la minimisation de deux ob jectifs. Les individus non dominés ont

une a da pt at io n br ut e é ga le à 0. En re va nc he , l es i ndi v id us q ui s on t do m in és pa r de

- 297 -


nombreux autres individus ont une valeur d’adaptation brute élevée. Cette métho de

de c al cu l de s bi effec tue une fo rme de ni chag e. En effet, s’il y a des ré gio ns de l’ espa ce

de s ob j ec ti f s où la p o pul a ti on e st de n se , l es i ndi v id us do m in és de c es ré g io ns o nt de s

val e ur s de bi élevées. Ces individus ont alors p eu de chances d’être sélec tionnés p our

la repro duction. A contrario, s’il y a un seul individu dominé par un seul individu

no n do m in é da ns une ré g io n, s on a da pt at io n br ut e s er a bi = 1, l u i d o n n a nt davanta g e

de c ha nc es d’ ê tr e s él ec t io nn é p o ur la re pr o du c ti on . La c om pl ex i té a lg or it hm iq ue du

ca lcu l de b i p ou r t ous l es i nd ivi du s de l a p o pu la tio n e st O(( µ + ) 2 ), où ↵ = µ +

avec : taille de la p opulation des enfants P, µ : taille de la p opulation des parents P 0 .

Figure 10.8 – Un exemple d’affectation de valeurs d’adaptation brute bi à d es i n d i v i d u s a v ec

SPEA2 p our un problème de minimisation de deux objectifs.

Cep endant, surtout quand le nombre d’ob jectifs est grand, il est possible qu’il

y ai t p eu d ’i n di v id u s d om i né s a u se i n de la p op ul a ti o n . La p l up a rt d e s in d iv i d us

auraient alors un e adaptation bi = 0 et la re che rche de l’ opt imum de Pa ret o re vie ndra it

quasiment à une simple reche rche au hasard. Pour éviter ce phénomène, une densité

lo cale de popu lation di est es tim ée au vo isi nag e de cha que in dividu i se lon une

ve rs i o n a d a p té e d e l a m é t h o d e d u k ième pl us pro c he vo is in ut i li sé e en s ta ti st iq u es

[Silverman 86] :

1

di =

i k + 2

où k i est la di sta nce de l’ indi vidu i à so n k ième pl us pro c he vo is in . d i est ai nsi co mpri s

entre 0 et 0. 5. La val eur co ura nte k = b p + µc est ch ois ie. Le ca lcu l de d i ex ige

de c al cu le r, p o ur c ha qu e i ndi v id u, s es di s ta nc es à t ou s l es a ut re s. k i est ob tenu en

effec tua nt un tri sur ces di sta nce s. La co mpl exi té al gor ithm iqu e du ca lcu l des

di est

O (↵ 2 log( ↵)) ave c ↵ = +

µ.

- 298 -


La valeur d’adaptation de l’in dividu i est fina lem ent :

f i = b i + d i

Op érateur de sélection environnementale. À l a gé n é r at i o n g , c et o p ér a te u r

sé lec tio nne µ individus dans P 0 g [ P qui est de taille +µ p ou r c on str ui re la p o pul at io n

P 0 g+1 à la génération su ivant e. Les ↵ individus non dominés d e P 0 g [ P co nst itue nt

une s ou s p o pul a ti on Q. Trois cas se présentent :

– Si µ = ↵ :

P 0 g+1 = Q.

– Si µ > ↵ : Q do i t ê tr e c om pl ét é e pa r µ ↵ individus dominés p our constituer

la p opulation P 0 g+1. Po ur c e la , l es i nd i vi d us d o mi n és d e P 0 g [ P sont tr iés

se lon les ad apt ati ons cr ois sant es. Les µ ↵ pr em i er s i ndi v id us t ri és s on t a j ou té s

da ns Q p o ur c ons ti tu er P 0 g+1 .

– Si µ < ↵ : ↵ µ individus de Q do i ve nt ê tr e re t ir és pa rm i c eu x q ui s on t s it ué s

da ns l es ré g io ns l es pl us de n sé me nt p e up lé es de l ’e sp ac e de s ob j ec ti f s p o ur

co nst itue r P 0 g+1 .

La métho de est itérative. À chaque étap e, un individu est retiré de Q . S ’i l y a u n

seul in divi du i qui a la plus p etite distance i 1

à son premier plus pro che voisin,

il est retiré de Q . Si p lu si eu rs i nd iv id us i ont les mêmes valeurs minimales p our

i 1 à i k1

, avec un seul p our lequ el k i est mi nima le, ce de rnie r est re tiré de

Q. S ’ i l y a p l u s i e u r s in d i v i d u s q u i o nt l e s m ê m e s va l e u r s m i n i m a l es i k

p ou r

tout k, l ’u n d ’ en tr e e ux e s t r et i r é de Q . Cela arrive notamment lorsque des

individus ont des vecteurs d’ob jectifs identiques. De façon formelle, un individu

i

est ch ois i p our être re tiré si i 4d j , 8j 2

Q, avec :

i 4 d j , 8 0 < k < ↵ :

k i = k j ou

9 0 < k < ↵

:

( 8 0 < l < k :

l i = l j ) et k i < k j

La figure 10.9 illustre ce pro cessus sur un exemple.

La complexité algorithmique de l’op érateur d e sélection environnementale est en

moyenne O (↵ 2 log( ↵)) ave c ↵ = +

µ.

La b oucle générationnelle. La fi gu re 10.10 représente la b oucle générationn e lle

de SP E A2 . L es de u x é ta p es du c al cu l de s a da pt at io ns fi de s i ndi v id us i à partir des

adaptions brutes bi et des de nsit és di ont été mises en évidence.

En conclusion. La méth ode SPEA2 es t reconnue p our son efficacité. Elle es t,

ave c N S G A - I I l’ u n e de s m é t h o de s de ré f é re n c e p o u r l ’ o p t im i s a t i on mul t i - o b j e ct i f

évol uti onna ire . Face à un pro blè me do nné, l’ une p ourra se mo ntre r plus effica ce que

l’autre, que ce soit en vitesse de convergence ou en termes de qualité d e s solutions

obtenues.

- 299 -


Figure 10.9 – Op érateur de sélection enviro nnement ale : un exemple de cons truction d’une

p op ul at io n P 0 g+1 de 5 individus à partir d’une p opulation Q de 9 individus.

Figure 10.10 – La b oucle géné rationnelle de SPEA2.

- 300 -


10 .3 .5 M éth o des de sc al ar is ati on

10.3.5.1 Scalarisation des ob jectifs

Une solution simple p our obtenir une solution non dominée, largeme nt utilisée dans

le domaine de la décision multicritère, consiste à ramen er les critères, ou ob jectifs fi (x),

à un s e u l p a r s o mm a t i o n p o nd é r é e . A i n si , l e p r o b l èm e e s t t r a n sf o r m é e n c a l cu l a nt u n e

fonction d’agrégation des objectifs G1( x|w)

do nt on c he rche le m ini m um :

c

G1 (x|w) =

w i f i ( x)

À ch a qu e ve c t eu r d e p o i d s w = (wi), ave c wi > 0 et c

i=1 wi = 1 co rre sp ond une

solution Pareto optimale. Cep endant, cette appro che linéaire ne p ermet pas d’obtenir

de s s ol ut io ns Pa re to o pt im al es s it ué es sur l es pa rt i es c on ca ves du f ro nt de P ar et o p o ur

un pr ob lè m e de m ini m is at io n de s ob j ec ti f s, q ue ll es q ue s oi en t l es va le ur s de s p o id s. En

effet, de te lle s so lut ions ne p eu vent pas mi nimi ser une so mme p on déré e d’ob je cti fs

(figure 10.11).

i=1

Figure 10.11 – Scalarisation des objectifs avec la métho de de la somme p ondérée : le minimum

de G 1 (x|w ) est 4 p our w = (2/3, 1/3) au vecteur d’objectifs a = (2, 8) . Les p oints du front de

Pareto situés entre b1 et b2 ne p euvent pas minimiser G 1 ( x|w ), q u e l q ue s o i t w .

Po ur é v i t e r q u e d e s p a r t i es d u f r o nt d e Pa r e t o s oi e nt é c a rt é e s d e l a r e ch e r che , o n

p eut utiliser une méthode de minimisation de la distance de Chebyshev pondérée

G1 ( x|w, ⇢)

en tre le ve ct eur d’ob je cti fs f( x) et un p oint de réf ére nce ⇢ :

G1 (x|w, ⇢) = max

c

w i |f i ( x)

⇢ i |

i=1

- 301 -


Ce dernier est souvent choisi comme le point idéal do nt cha q ue co o rdo n né e ⇢i est le

minimum de fi (x) indép endamment d e s autres critè re s. Le problème de minimisation

mu lt i - o b j e c ti f re vi e nt d o n c à mi n im i s e r u n s e u l o b j e c ti f qu i e s t c e t te di s ta n c e d e

Chebyshev. Cette fois, tous les p oints du front de Pareto sont atte ignables, p ourvu

que des vale urs adéquates soient données au x p oids wi. Cep endant, il est p ossible que

de s s ol ut io ns do m in ée s m ini m is en t a us si c et te di s ta nc e c om me i ndi q ué fig ur e 1 0. 12 .

Figure 10.12 – Scalarisation des objectifs avec la distance de Cheb yshev à un p oint de référence :

le min imu m de G 1 (x|w, ⇢) est 21/8 p our w = ( 1/4 , 3/4) et ⇢ = ( 2, 1) au vecteur d’objectifs

a = ( 1 2 .5, 4. 5) . On n ot e qu e le s egm en t ] b1, b2 ] représente les vect eurs dominés qui sont optimaux

p ou r G 1( x|w, ⇢)

avec w = (2/ 5, 3/

5) .

La distance de Chebyshev p ondérée est un cas particulier des distances asso ciées aux

no rm e s L p p ondérées. Il est ainsi p ossible de définir d’autres fonctions d’agrég ation :

c

Gp(x|w, ⇢) = p (wi(fi ( x)

⇢i )) p (10.1)

i=1

ave c ⇢i apple fi ( x ), 8i

2 { 1, .. . , c }. Les valeurs de p les plus courantes sont :

– p = 1 : d istan ce de Man hatta n, dont la m inimis ation r evient à mi nimis er une

so mme p on déré e dans le cas d’une mi nimi sat ion des ob je cti fs,

– p = 2 : distance eucl id ie nn e,

– p = 1

: distance de Chebyshev.

Les métho des présentées ci-dessus sont des métho des simples et largement utilisées

de “ sc al a ris a ti on ” ou “ ag ré ga t io n” de s c ri tè re s. M al gr é la l im it at io n de la m ét ho de de s

so mme s p on déré es co nce rna nt les év entu ell es pa rtie s co ncaves d’un fr ont de Pa ret o,

el le p eut po ssé der de me ill eure s pro prié té s de conver gen ce vers le fr ont de Pa ret o

- 302 -


que la métho de de la distance de Chebyshev lorsque le front de Pareto est convexe.

Il existe d’autres méthodes de scala risation comme les appro ches d’intersection de

f ro nt iè re s [ Das et al. 98 , M es sa c et al. 03 ]. Pour obtenir plusieurs solutions ten dant

ve rs l ’ e n s e mb l e Par e t o o p t i ma l , l ’ a p p ro ch e n a ïve c o n s i s t e à ch oi s i r d e s ve c te u r s d e p oi d s

di ffé re nts a ut an t de f oi s q ue dé s ir é et re l an ce r l ’a lg or it hm e d’ o pt im is at io n p o ur c ha cu n

d’ e ux . Une t el le a ppr o c he né c es si t e c ep e nd an t une pu is sa n ce de c al cu l e xc e ss ive.

10.3.5.2 La métho de "-M OEA st ation nai re

Les métho des de classement de Pareto présentées précédemment utilisent des

algorithmes complexes de calcul des p erformances et de préservation de la diversité.

M ai s i ls o nt l ’a va nt age de dé c ou vr ir de s s ol ut io ns no n do m in ée s de b o nne q ua li té ,

pro che s de l ’e ns em bl e P ar et o- op ti ma l. La m ét ho de "-M OEA , te lle qu ’el le est pré sentée

pa r s es a ut eu rs [ Deb et al. 03], vise à découvrir rapidement un ensemble de solutions

no n do m in ée s do nt l es v ec te u rs ob j ec ti f s s on t re pr é se nt at if s du f ro nt de Pa re to . E ll e e st

f on dé e sur la no t io n d’ "-domination combi née avec une sc ala ris ati on (ou ag rég ati on)

de s ob j ec ti f s.

"dominance. À to u t vec te ur d ’ ob j ec ti f s f = ( f 1 , . .. , fc ) est as soc ié un ve ct eur

d’ i de nt ifi ca ti o n B( f

) = (B 1 (f 1 ), . . ., Bc(fc ), tel que :

fi m i

Bi (f i ) =

(10.2)

"i

où :

– mi est un mi nora nt des val eurs pri ses par l’ob je cti f f i ,

– " i est la to lér anc e asso ci ée à l’ob je cti f i, paramètre de la métho d e.

Définition : So i ent de u x v ec te u rs d’ o b j ec ti f s f , g 2 R c , f " -d omi ne g , noté f < " g, si

et se ule ment si :

B( f

) < p B( g)

Chaque vecteur B dé fi nit une b o ît e da ns l ’e sp ac e de s ob j ec ti f s s ou s la f or me d’ un

hy p e r - r e ct a n g l e q u i e s t l e p r o d u i t c a r té s i e n d e s i nte r val l e s [ Bi "i + mi , ( Bi + 1) "i + mi [

p ou r i 2 {1, . .. , c } . La fi g ur e 10 . 13 r e pr és e nt e l es b oî te s d éfi n ie s p ar l e s ve ct e ur s B sous

la forme d’une grille dans le plan engend ré par deux ob jectifs, ainsi que les régions

" -d omi née s par l’ ense mbl e des so lut ions non "-d omi née s. Sur ce tte fig ure, a et c sont

asso ciés au même vecteur d’identification : B( a) = B( c) = ( 3, 2).

On notera que cette définition de l’" -d omi nanc e n’ est pas identi que à ce lle do nnée

da ns [ La um an ns et al. 02] bien qu’elle en soit d érivée.

L’algorithme. La méth o de utilise deu x p opulations A et P qui é voluent simultané

m ent. La p o pul a ti on P conti ent les so lut ions do miné es ou non do miné es ob ten ues

se lon le schéma d’un al gor ithm e év olu tio nnai re st ati onna ire (v oir se cti on 5. 3.6 .3,

pa g e 1 30 ) po ur l eq ue l, à cha q ue g én ér at io n , un s eu l e nf an t e st e ng en dr é, L es op é ra te ur s

de s él ec t io n s on t sp é ci fiq ue s, f ai sa nt a us si i nt er ve ni r la p o pul a ti on A.

- 303 -


Figure 10.13 – "-dominance entre les b oîtes et relation de préférence au sein d’une b oîte.

Figure 10.14 – La b oucle géné rationnelle de l’algorithme "-MOEA stat io nnaire.

La p opulation A est une ar chive co nte nant ex clu sivem ent les me ill eure s so lut ions

no n "-d omi née s dé cou ver tes de puis le dé but d’une év olu tio n. De plus cha que b oî te de

A ne p e ut c ont en ir au m ax im um q u’ une s eu le s ol ut io n : c el le q ui m ini m is e une f on ct io n

d’agrég ation des ob jectifs. Il s’agit là du mécanisme de nichage de l’algorithme "-

M OE A. P ar a il le ur s, A est in itia lis ée se lon l’ alg ori thme 10 .5, pre nan t co mme ar gume nt

c

ch a qu e s ol u t i o n d e l a p o pu l a t i o n P

initiale.

- 304 -


La figure 10.14 résume l’algorithme "-M OEA . On note que les sé lec tio ns pa rent ale s

da ns A et P ne dé p e nd ent pa s l ’u ne de l ’a ut re et p e uv ent do nc ê tr e ré a li sé e s en pa ra l lè le .

Il en est de même p our les sélections environnementales. La sélection parentale dans P

est un tournoi de domination décrit par l’algorithme 10.4. Elle donne une solution r . La

sé lec tio n pa rent ale dans A co nsi ste à y ch ois ir al éat oir eme nt une so lut ion a . a et r sont

en suit e cr ois ées et mut ée s p our do nner une so lut ion c. Le s s él ec t io ns e nv ir on ne m ent al e s

qui succèdent aux op érateurs de variation ont p our ob jet d’insérer c da ns A et P

quand cela est b énéfique. Ces sélections sont détaillées ci-après.

Al gorit hm e 10.4 — fonction tournoiDom( P)

p U ( P ) // U ( P ) : tirage équiprobable d’une solution de P

q U ( P)

pf f ( p) // f : fonction multi-objectif

qf f ( q)

p

si p f < qf alors

r

p

p

sinon si q f < pf alors

r

q

sinon

r U ( p, q)

// tirage équiprobable de p ou

q

retourner

r

Remplacement dans l’archive A.

L’algorithme 10.5 décrit l’op érateur de rempl

a ce me nt da ns l ’a rc hi ve A. Cet algorithme vise d’une part à assurer que cette archive

ne c on ti en ne à t ou t m om en t q ue de s s ol ut io ns no n "-d omi née s. Ai nsi, si la so lut ion c

obtenue après mutation est "-d omi née par au mo ins une so lut ion de A,

c

est re jet ée.

D’autre part, l’op érateur de remplac e me nt de l’archive introduit une fonction de

pr éf é re nc e e nt re s ol ut io ns d’ un e m êm e b o ît e a fin de ne c on se rver q u’ une s eu le d’ e nt re

el les . La fo nct ion de pré fé renc e est une fo nct ion d’ agré ga tio n des ob je cti fs. Les au teu rs

pr op o se n t d’ ut i li se r G2 (x | w, ⇢ ) (équation 10.1, page 302) avec w = (1 , . .. , 1) = (1) et

⇢ = B (x). Si l’ inse rti on d’u ne so lut ion c co ndui t à ce qu ’il y ait deux so lut ions non

" -d omi née s dans une b oî te dé finie par le ve ct eur d’ iden tific at ion B( a) = B(c ), seule

est co nse rvé e la so lut ion qui mi nimi se G 2( x| (1), B )

(algorithme 10.5).

Le cas es t représenté fi gu re 10.13, page 304, p our les p oints a et c. Se l o n l a fi g ur e ,

la distance eu c lidienne G2 (a|(1) , B( a )) en tre a et B (a ) est in féri eur e à G2 ( c| (1), B( c)) .

Pa r c o ns é q u e nt , a est co nse rvé e dans l’ arc hive, c

est re jet ée.

Remplacement dans la p opulation P.

Cet op érateur n’a pas de sp écificité particulière.

Il doit seulement favoriser les b onnes solutions, en gardant une taille constante

à P . Les au teurs p rop o sent l’ algor ithm e 10.6. S i la solu tion c n’ e st pa s do m in ée pa r

une s ol ut io n de P, elle est insé ré e dans la p opulation. c remplace alors de préférence

un de s i ndi v id us de P qu’elle domine. Si elle ne domine aucun individu, elle remplace

un i ndi v id u de P ch o i s i a u h a s a rd .

- 305 -


Al gorit hm e 10.5 — pro cédure remplacementArchive( A,

c)

cf f ( c)

c" (c f m)./" // “./” : division composante par composante

Bc b c"c // selon l’équation (10.2), page 303

rejeté Fa u x

p ou r t out a 2 A

faire

a f f ( a)

a" (a f m)./"

Ba b a " c

p

si Bc

< Ba alors

A A \ { a}

si Bc = Ba alors

si G 2 (c" |(1), Bc ) < G2 (a" |(1), Bc ) alors

A A \ { a} // G2 ( x| w, ⇢ ) : équation (10.1), page 302

sinon

rejeté Vr a i

p

si Ba

< Bc alors

rejeté Vr a i

si non rejeté alors

A A [ { c}

Al gorit hm e 10.6 — pro cédure remplacementPopulation( P,

c)

c f f ( c)

rejeté Fa u x

D ; // D : ensemble des solutions dominées par c

p ou r t out p 2 P

faire

pf f ( p)

si c f

p

< p f alors

D D [ { p}

si p f

p

< cf alors

rejeté Vr a i

si non rejeté alors

si D 6 = ;

alors

r U ( D )

sinon

r U ( P)

P P \ { r}

P P [ { c}

// tirage équiprobable d’un élément de D

- 306 -


Performances. Les auteurs [Deb et al. 03 ] ont effectué de s compara isons entre

" -MOEA, SPEA2 et NSGA-I I p our cinq fonctions de test à deux ob jectifs ZDT1, ZDT2,

ZDT3, ZDT4 et ZDT6 prop osées en 2000 par Zitler, Deb et Thiele [ Zitzler et al. 00 ] et

sur cinq fonctions de test à trois ob jectifs DTLZ1, DTLZ2, DTLZ3, DTLZ4 et DTLZ5

prop osées en 2002 par Deb, Thiele, Laumanns et Zitler [Deb et al. 02b ]. Pour chaque

co nfig urat ion de te st, cinq évol uti ons avec des p op ulat ion s in itia le s différ ent es ont été

effec tué es. Les ré sult ats sont des moyen nes ob ten ues p our ch aqu e co nfig urat ion de

test.

L’approximation du front de Pareto s’est avéré e satisfaisante p our toutes les

fonctions de test et toutes les métho des à l’exc eption de DTLZ4 p our laquelle le front

de P ar et o n’a pa s pu ê tr e a ppr o c hé p o ur 50 % de s é vo lu ti o ns , et ce q ue ll es q ue s oi en t

les métho des, "-MOEA, SPEA2 et NSGA-I I.

L’avantage notab le qui a été constaté p our "-M OEA ré side dans les fa ibl es dur ées

de c al cu l pa r ra pp o rt a ux de u x a ut re s m ét ho de s . Se l on [ Deb et al. 03], "-M OEA est

en moyenne :

– 16 f oi s pl us ra pi de q ue NS GA -I I et 390 f oi s pl us ra pi de q ue SP E A2 p o ur l es

fonctions ZDT1, ZDT2, ZDT3, ZDT4 et ZDT6 ;

– 13 f oi s pl us ra pi de q ue NS GA -I I et 640 f oi s pl us ra pi de q ue SP E A2 p o ur l es

fonctions DTLZ1, DTLZ2, DTLZ3, DTLZ4 et DTLZ5.

Toute foi s, l’ava nt age essentie l de "-M OEA ré side dans son effica cit é fa ce à des

pr ob lè m es c om pr en an t 4 ob j ec ti f s ou pl us . [Wagn er et al. 07 ] ont c o m pa r é l e s q ua l i t é s

de s a ppr o xi ma ti o ns du f ro nt de Pa re to p o ur "-MOEA, SPEA2 et NSGA-I I, sur les

fonctions DTLZ1 et DTLZ2 comprenant de 3 à 6 ob jectifs. Deux métriques de qualité

(section 10.3.2, page 285) ont été utilisée s , dont la mesure de l’hypervolume (sec tion

10.3.2.3, page 286). Pour ces deux métriques, l’avantage à "-M OEA ap para ît cl air eme nt

au delà de 4 ob jectifs, les deux autres métho des étant incapables d’appro cher le front

de

P ar eto.

Conclusion. " -M OEA se ré vèl e être une ap proc he intér ess ante , d’une part p our

obtenir des approximations de b onne qualité du front de Pareto, même p our un nombre

d’ o b j ec ti f s re l at ive me nt é le vé et d’ a ut re pa rt , pa r la ra pi di t é de s c al cu ls m is en œu v re .

Cela est dû à la mise en place de deux mécanismes efficaces :

– l’un de préservation de la diversité (n ichage) par la répartition de s solutions

da ns de s b o ît es f or ma nt une hy pe r -g ri ll e ;

– l’autre de scalarisation d es ob jectifs mise en œuvre au se in de chaque b oîte.

En re va nc he , la m ét ho de e st s en si bl e à la fix a ti on du v ec te u r de t ol ér an ce s " qui a une

imp ortance critique sur la qualité des résultats.

10.3.5.3 MOEA/D : un algorithme évolutionnaire multi-ob jectif par

décomp

osition

La métho de MOEA/D (Multi-Objective Evolutionary Algorithm based on Decomposition)

[ Zhang et al. 07 ] a été choisie p our être décrite dans ces lignes parmi d’autre s

ut i li sa nt une a ppr o c he s im il ai re [ Pa qu e t e et al. 03 , Ishibuchi et al. 98 ] en r a i so n d e s a

- 307 -


si mpli cit é et de sa b onne effica cit é. La mé tho de ut ilis e une appro che de dé com p osi-

tion du problème d’optimisation multi-ob jectif en un ens e mble de µ so us- probl ème s

mono-ob jectifs P i obtenus par scala risation des ob jectifs. Les sous-problèmes sont

résolus simultanément et donnent p our chacun d’eux un vecteur d’ob jectifs tendant

vers le front de Pareto. La distance de Chebyshev p ondérée est choisie comme fonction

d’ a gr ég at i on p o ur c et te pr és e nt at io n. Ai ns i , c ha qu e s ou s pr ob lè m e P i reche rche x ⇤ i 2 ⌦

qui minimise la fonction ob jectif :

G1(xi |w i, ⇢) = c

max

j=1 wij |f j (xi ) ⇢ j|

ave c wij et ⇢j do nn é s. c est le no mbre d’ob je cti fs. La mé tho de ut ilis e un en sem ble de

ve c te u r s d e p o i d s W = {w 1, . . . , wµ } . Ceux-ci restent constants durant la recherche

de l’optimum de Pareto. Ce sont eux qui p ermettent de préserver la diversité des

so lut ions sur le fr ont de Pa ret o, s’ ils sont cho isis de fa ço n ad équ ate .

Al gorit hm e 10.7 Une version simple de l’algorithme MOEA/D utilisant la distance

de

Chebyshev

Paramètres : µ ,

!

Résultat : P

Initialiser W = { w1 , . . . , wµ }

Initialiser Vi de t ai ll e ! , 8i 2 { 1, .. . , µ }

Initialiser P = { x 1 , . . . , xµ }

Initialiser ⇢

// Boucle générationnelle

rép

éter

p ou r i = 1 à µ

faire

Repro duction : sélection au h asard de deux indices k 2 V i et l 2 V i

y cr ois eme nt(x k , x l )

y

mu t at i o n ( y)

y

amélio ration( y)

// Ajustement du point de référence ⇢

p ou r j = 1 à c

faire

si ⇢j > fj ( y)

al ors

⇢ j f j ( y)

// Sélection environnementale élitiste

p ou r chaque index j 2 Vi faire

si G1 (y| wj , ⇢) < G1(xj |wj , ⇢) al ors

xj y

ju squ ’à critère d’arrêt respecté

M OE A/ D se j us ti fie avec l ’h yp ot hè se q ue si l es po i ds wk et wl sont vo isi ns, al ors les

so lut ions op tima le s x ⇤ k et x⇤ l sont aussi voisines. Ce n’est pas toujours vrai, notamment

- 308 -


lorsque le front de Pareto est discontinu. Si cette hypothèse sur les voisinages n’es t

pa s v éri fié e, la c on ve rg en ce ve rs le f ro nt de P ar et o s ’e n t ro uv er a ra l en ti e.

So i t P une p o pul a ti on de s ol ut io ns de t ai ll e µ. À une génération donnée, MOEA/D

assure que la solution xi de P est la me ill eure qui ait été dé cou ver te p our le ve ct eur

wi de p uis la pr em i èr e g én ér at io n . L ’a lg or it hm e 1 0. 7 ré s um e l ’a pp ro c he M OE A/ D.

Initialisation. Les vecteurs de p oids wi sont co nst ruit s de fa ço n qu ’ils so ien t unif

or mé me nt di s tri bu é s da ns l ’e sp ac e de s p o id s. La m ét ho de né c es si t e de c on si dé re r l es

! pl us pro che s vo is in s de c ha qu e wi . Pou r mémoriser les relations de voisinage, un en -

semble Vi de c ar di na l ! est co nst ruit lors de l’ init ial isa tio n p our ch aqu e wi . Vi conti ent

les indices dans W de s pl us pro c he s v oi si ns de wi , au sens de la distance euclidienne.

! est un pa ramè tre qui p er met d’a ju ste r les ca pac ité s d’ expl ora tio n/e xpl oit ati on de

l’algorithme. S’il est trop p etit, la recherche de l’optimum de chaque sous-problème

sera es sen tie lle ment lo ca le, ré duis ant ai nsi la pro bab ilit é de dé cou vrir un op tim um

global. S’il est trop grand , les solutions obtenues après application des op érateurs de

var i at io n s er ont tr op so uve nt m au vai se s , r a le nt i ss ant no ta bl e me nt la c o nve rg en c e. L a

reche rche d’une valeur convenable p our ! est a

priori

em piri que . Les exp ér ime ntat ion s

dé c ri te s pa r l es a ut eu rs ut i li se nt de s va le ur s de ! entre 10 et 20 p our des ta ill es de

p op ul at ion µ va ri ant d e 1 00 à 50 0.

La p opulation de solutions P est in itia lis ée de pré fé renc e se lon une he uris tiq ue

dé p e nd ant du pr ob lè m e, s ’i l en e xi st e un e . Si no n, l es s ol ut io ns xi sont en gen drée s

aléa toirement. Une première estimation du p oint de référence ⇢ est ca lcu lée se lon une

métho de sp écifique au problème.

La b oucle générationnelle. E ll e e st ré p é té e j us qu ’à s at is fa c ti on d’ un c ri tè re d’ a rrê t

dé fi ni s el on l es b e so in s de l ’u ti li sa te u r. D ura nt une g én ér at io n et p o ur c ha qu e s ou s-

pr ob lè m e P i , d eu x i nd i ce s k et l sont sé lec tion né s au ha sard dans Vi . L es d e ux

so lut ions co rre sp on dantes xk et xl do nn e nt une no uv e ll e s ol ut io n y après application

de s op é ra te ur s de va ri at io n : c ro is em en t , m ut at io n. x k et x l ét ant les me ill eure s

so lut ions qui ai ent été dé cou ver tes durant l’ évol uti on p our les ve ct eurs de p oids voi sins

wk et wl, il y a a i ns i u n e p ro b ab i l it é r e la t i vem e nt él evé e q ue y soit au ssi de b onne

qualité p our wi et ses plus pro ches voi sins , si xk et xl sont vo isines se lon l’ hypo thè se

de c on ti nui t é é no nc ée c i- de ss us .

L’op érateur d’amélioration qui transforme la solution y obtenue après croisement et

mu ta t i o n e s t o p t i on n e l . D a n s l e c a s d ’ o pt i m i s a t io n so u s c o nt r a i nt es , i l f ai t a p p e l à u n e

he u ris t iq ue sp é ci fiq ue au pr ob lè m e q ui e ffe ct ue la ré pa r at io n de s s ol ut io ns i rré a li sa bl es

p ou r l es t ran sf or mer e n s ol uti on s r éal is ab les ( vo ir la s ec tio n 1 1. 4.1 , p ag e 3 27) . D e p lu s,

l’op érateur d’amélioration p eut aussi mettre en œuvre une heuristique d’optimisation

lo cale, là aussi sp écifique au problème, si cela s’avère utile p our améliorer la convergence

ve rs l e f r o nt d e Pa r e t o .

Les c o ordonnées du p oint de référence doivent ensuite être a justées si certaines

co or donn ées de f ( y) sont in féri eur es à ce lle s du p oint de ré fér ence co ura nt, p our un

pr ob lè m e de m ini m is at io n de s ob j ec ti f s.

- 309 -


En fin de g én ér at io n , l ’o p é ra te ur de s él ec t io n env ir on ne me nt ale e st a ppl i qu é à

ch aq u e s o u s -p r o b lè m e P i . Il remplace xj da ns la p o pul a ti on P pa r y à la condi tion

que y soit me ill eure que xj se lon la fo nct ion d’ agré ga tio n G1 (x | wj , ⇢), p o u r to u t

j 2 V i . Il s’agit d’un op érateur élitiste.

10.3.5.4 Comparaisons entre MOEA/D et NSGA-I I.

Complexité algorithmique. La complexité d’un e génération est donnée par celle

de l ’o p é ra te ur de s él ec t io n e nv ir on ne me nt al e, s oi t O(µ ! c

), où c est le no mbre d’ob je cti fs.

! est in féri eur à µ . Cette complexité est donc inférieure à celle de NSGA-I I, qui est

O (µ 2 c). Le s e xp ér im e nta ti o ns q ui o nt é té r éa l is é es [ Zhang et al. 07 ] mo nt re nt qu e

M OE A/ D c on so mm e de 1. 7 à 8. 5

fois moins de temps de calcul que NSGA-I I.

Comparaisons exp érimentales. Les auteurs [Zhang et al. 07] ont e ffe ct ué d es

co mpa rais ons entre MO EA/ D et NSG A-I I p our les cinq fo nct ion s de te st à deux

ob jectifs ZDT1, ZDT2, ZDT3, ZDT4 et ZDT6 évoquées en section précédente et

sur les deux fonctions de test à trois ob jectifs DTLZ1 et DTLZ2. Les métriques de

co mpa rais on ch ois ies sont la distance générationnel le et la métrique C (section 10.3.2,

page 285). La p erformance p our le te st ZDT1 a été mesurée p our une p opulation de

taille µ = 100 et une au tre de ta ill e µ = 20. Po ur l e s a u t r es t e s t s , µ = 100 da ns le c as

des fonctions ZDT2 à ZDT6, µ = 300

p our les fonctions DTLZ1 et DTLZ2.

Dans le cas µ = 20, MOEA /D s’est montr é p erforma nt avec une b onn e approximation

du front de Pareto, alors que NSGA-I I a éch oué. Avec les tests ZDT1 à ZDT6 et

µ = 100, NSGA-I I et MOEA/D offrent une b onne approximation du front de Pareto,

ave c u n l é g er avant a g e à N S G A - I I 4 f o i s s u r 1 0 t es t s . M O EA / D s ’ e st m o nt r é n o t a -

blement meilleur que NSGA-I I avec les fonctions DTLZ1 et DTLZ2 p our la métrique

C . Les auteurs n’ ont pas présenté de ré sultat p our des f onctions comp renant plus de

quatre ob jectifs alors que c’est p our de telles fonctions que MOEA/D devrait vraiment

montrer ses qualités. Le tableau 10.1 résume les résultats rapp ortés par les auteurs.

Tabl eau 10.1 – Score de MOEA/D contre NSGA-I I sur 30 évolutions indép endantes p our

chaque fonction de test, selon [Zhang et al. 07 ]. “4/5” en colonne 3, par exemple, signifie que

MOEA/D est meilleur que NSGA-I I p our 4 fonctions de test sur les 5. c est le nombre d’objectifs

Fonc tio ns Sc o re de M OE A/ D c on tr e NS GA -I I s el on

de t es t µ métrique C

di s ta nc e g én ér at io n ne ll e

ZDT1 (c = 2) 20 1/1 1/1

ZDTx (c = 2) 100 4/5 2/5

DTLZx (c = 3) 300 2/2 2/2

MOEA/D app orte aussi un gain en temps de calcul par rapp ort à NSGA-I I, surtout

sensible p our les fonctions DTLZ1 et DTLZ2, moins imp ortant toutefois que le gain

observé p our "-M OEA (s ect ion 10 .3. 5.2 ).

- 310 -

10.4 Conclusion

10.3.5.5 Métho des de scalarisation : conclusion

L’avantage essentiel des métho des de scalarisation réside dans le ur capacité à

co nse rver de b on nes p er form anc es p our des pro blè mes co mp or tant de no mbre ux obj

ec ti f s ( pl us de q ua tr e) , du m om en t q u’ el le s i nc or p o re nt un m éc an is me de pr és e rva ti on

de la diversité efficace. Cet avantage des algorithmes fondés sur la scala risation des

ob j ectifs est confirmé par [Wagner et

al.

07] p our la métho de MSOPS [Hughes 05].

10.4 Conclusion

Nous avons présenté dans ce chapitre quelques rép onses à des questions de h au te

imp ortance p osées par les problème s d’optimisation mo dernes : comme nt obtenir

pl us ie u rs s ol ut io ns di v er se s, m ai s de va le ur s é qu iva le nt es , po ur p e rm et tr e e ns ui te

une décision fine, en fonction de critères qui n’ont pas pu être formalisés ? Comment

dé c ou vr ir l es m ei ll eu re s s ol ut io ns de c om pr om is l or sq ue pl us ie u rs c ri tè re s do i ve nt ê tr e

optimisés simultanément ?

L’optimisation multi-ob jectif évolutionnaire est un domaine fois on nant où l’innovation

est p ermanente. Des métho des ou des appro ches reconnues à ce jour p our leur

efficacité ou p our leurs qualités sp écifiques ont été présentées. Celles fondées sur un

cl ass eme nt de Par eto ont montré le urs ca pac ité s à dé cou vrir de b on nes approxi mat ion s

d’ un f ro nt de P ar eto av ec de s du ré e s de c al cu l ra i so nn ab le s, t an t q ue la di me n si on

de l ’e sp ac e de s ob j ec ti f s e st i nf ér ie ur e ou é ga le à q ua tr e. L es m ét ho de s f on dé es sur

la scalarisation des ob jectifs p euvent traiter des problè mes comp ortant davantage

d’ o b j ec ti f s. Al o rs q u’ el le s se m ont ra ie nt dé c eva nt es da ns le pa s sé p o ur l es pr ob lè m es

co mp or tant p eu d’ob je cti fs, el les pe uve nt pré sen ter au jou rd’hu i des pe rfo rman ces

co mpa rabl es ou même me ill eure s que les mé tho des de cl ass eme nt de Pa ret o.

D’autres appro ches font aussi l’ob jet de recherches actives , toujours dans le but

de p o uvo ir t ra it er e ffic ac e me nt de s pr ob lè m es c om p o rt an t de no m bre ux ob j ec ti f s. On

p eu t c it er p ar e xem pl e l es m éth o de s f on dé es su r l’ ut ili sa ti on d’ in di cat eu rs d e q ua lit é

en gu ise de fo nct ion de p er form anc e à op tim iser , co mme la me sure de l’ hype rvo lume

[Bader et al. 11].


[Deb 01] : Le premier ouvrage de référence dans le domaine de l’optimisation multiob

j ectif par algorithmes évol ut ionnaires.

[Co ello et al. 06] : Ce livre de plus de 800 pages est un autre ouvrage de référence, plus

récent, dans le domaine de l’optimi sation multi-ob jectif évol ut ionnaire. Il

conti ent no tam ment des di scus sio ns ap prof ondi es et des ex emp les d’ appl ica -

tions. De nombre u s e s appro ches de résolution de problème s multi-ob jectifs

ave c d ’ a ut r e s m é t a h e ur i s t i q u e s y s o nt a u s s i r a p id e m e nt p r é s e nté e s . L e l iv r e

ab orde en outre la problématique de la décision multicritère qui, notamment,

succède à l’optimi sation multi-ob jectif p our choisir la meil leure de s

so lut ions non do miné es du p oint de vue du dé cide ur.

- 311 -

Chapitre 11

Extensions des algorithmes

évolutionnaires à l’optimisation

sous contraintes

Sana Ben Hamida

Université Paris Ouest, Nanterre, France


11.1 Introduction

Les problèmes d’optimis ation issus du monde industriel doivent souvent resp ecter

un certain nombre de contraintes. Celles-ci se traduisent par un ensemble de relations

que doivent satisfaire les variables de la fonction à optimiser. Ces relations sont

généralement exprimées sous forme d’équations et d’inéquations. Le problème général

est al ors fo rmul é co mme suit :

tel que :

optimiser f ( x)

,

x = ( x1 , . . . , xn ) 2 F ✓ S ✓ R n ,

gi ( x) apple 0, p ou r i = 1, . . . , q (contraintes d’inégalité)

hj (x) = 0 , p o ur j = q

+ 1, . . . , m (contraintes d’égalité)

où f , g i et h j sont des fo nct ion s ré ell es dans R n , F est le do mai ne ré ali sabl e et S est

l’espace de recherche.

Dans tou t ce qui suit, nous ne considérons que de s problèmes de minimisation.

Po ur l a m a xi m i s a t io n , l a co r r e s p on d a n ce s e f a i t e n i nve rs a nt l e cr i t è r e f ( x ).

313

Chapitre 11 – Optimisation sous cont raintes

L’espace d e recherche S ✓ R n est dé ter miné par les b or nes sup ér ieur es et in féri eur es

de s do m ai ne s de s va ri ab le s :

l( i) apple x i apple u( i) p ou r 1 apple i apple

n

La satisfaction de l’ensemble des contraintes ( g j , ( j = 1 · · · q ), h j , (j = q + 1 · · · m ))

dé fi nit l ’e sp ac e de s s ol ut io ns a dm is si bl es , dé n om mé le do m ai ne ré a li sa bl e F . Tou te

so lut ion ap part ena nt à F est une so lut ion “r éal isa ble” , si non, el le est “i rréa lis abl e”. La

recherche de l’optimum réalisable est d’autant plus diffi

cile que la taille de l’espace

réalisable est p etite et sa forme est complexe (par exemple de p etites régions disp ersées).

Le rapp ort entre la taille de l’espace réalisable et celle de l’espace de re cherche |F | / |S |

p eut être utilisé comme un indice de difficulté du problème [Michalewicz

et al. 96b].

La recherche de l’optimum est souvent plus facile quand il est à l’intérieur du

domaine réalisable que quand il est sur sa frontière. Ce dernier cas se présente si une

(ou plusieurs) contrainte(s) du problème est active au n iveau de la solution globale.

C’est souvent le cas p our les problèmes réels.

Figure 11.1 – L’espace de rech erche S

et ses parties réalisables et irréalisables.

Il n’y a pas une métho de évolutionnaire standard pour déterminer l’optimum

global d’un problème contraint. La question qui se pose est : comment traiter les

individus irréalisables ? Deux stratégies se sont formées en rép ondant à cette qu e s tion :

la première ne considère que les individus réalisables, et donc la fonction d’adaptation

n’ e st éva lu ée q ue da ns le do m ai ne ré a li sa bl e, et la de u xi èm e c on si dè re t ou s l es i ndi v id us

da ns l ’e sp ac e de re c he rche , m ai s né c es si t e une f on ct io n d’ é va lu at io n sp é ci al e p o ur l es

individus irréalisables. Le choix de la b onne stratégie dép end de la nature du problème

(par exemple si la fonction ob j e c tif est définie dans le domaine irréalisable ou n on ).

Une multitude de métho des ont été prop osées dans les deu x stratégies qui p euvent

être cl ass ées dans l’ une des ca té gori es suivan tes :

– métho des de p énalisation ;

– métho des fondées sur la sup ériorité des individus réalisables ;

– métho des fondées sur la recherche des solutions réalisables ;

– métho des fondées sur la préservation de la faisabilité de s s ol ut io ns ;

– métho des fondées sur les techniques multi-ob jectifs ;

– métho des hybrides.

- 314 -

11.2 La p énalisation

11.2 La pénalisation

La ma jorité des métho des de prise en compte des contraintes sont fondées sur le

co nce pt de fo nct ion s de p én ali té, qui p én ali sent les in divi dus dans la p op ulat ion qui

violent le s contraintes p osées. Le problème initial avec contraintes est alors transformé

en un pro blè me sans co ntra inte :

minimiser

f (x) + p( x)

= 0 si x 2 F

p( x)

> 0 si non

(11.1)

La difficulté ma jeure dans cette catégorie de métho des résid e dans la définition

de la f on ct io n de pé n al it é p (x ). Plu sieu rs techn ique s ave c diffé rentes a ppro ches e t

di ffé re nt es he u ris t iq ue s ont é té pr op o sé es . L ’h eu ri st iq ue la pl us p o pul a ir e re p o se sur la

mesure de violation de contraintes :

m

p(x) = F

(

↵j v j (x)) (11.2)

j=1

où F est une fo nct ion cr ois sant e, ↵j sont les co effici ents de p én ali sat ion,

est un

pa ra m èt re ( so uv ent é ga l à 2) et v j (x) est la me sure de vi ola tio n de la j ème contr aint e

du pr ob lè m e p o sé ( di st an ce au do m ai ne F ), calculée comme suit :

max (0, gj (x)) , pou r 1 apple j apple

q (les contraintes d’inégalité)

v j (x) =

(11.3)

|h j ( x ) |, p o u r q + 1 apple j apple

m (les contraintes d’égalité)

La somme des violations vj ( x) co nst itue la me sure de vi ola tio n to tal e de la so lut ion

x) dé fi nie pa r : V ( x) = m

j=1 vj (x ). L’u til isat ion de l a mes ure de v iola tio n des

contr aint es dans la p én ali sat ion aide à différ enc ier les in divi dus irr éal isa ble s. En effet,

ceux qui ont une me sure de vi ola tio n très él evé e sont p én ali sés davan tag e que ceux

qui ont des faibles violations, ce qui p ermet de les repro duire principalement dans

l’espace réalisable. Cep endant, cette mesure est généralement insuffisante p our définir

la fonction de p énalisation, surtout si l’écart entre les valeurs de la fonction ob jectif

et les me sure s de vi ola tio n est très él evé (par ex emp le avec une fo nct ion ob je cti f de

l’ordre de 10 5 et les me sure s de vi ola tio n de l’ ordr e de 10 1 ). Des coefficients de

p én al is ati on s ont a lor s ut il isé s p ou r ré gl er l a q ua nt ité à a jo ut er à l a f on ct ion ob j ec ti f.

La définition de ces co efficients p our un problème donné est une mission très délicate.

Avec d es p et its co e ffici ents , l’al gori thm e risq ue de pr o dui re b ea ucou p de so luti ons

violant les contraintes, si la p erformance des irréalisables est meilleure que celle des

réalisables, malgré la p énalisation. Par ailleurs, une p énalisation trop forte tend à

interdire la présence de solutions dans l’espace irréalisable et augmente les risques de

la convergence prématurée, sp écialement si F est non convexe ou s’il est di sjo int.

P re no ns un e xe mp le s im pl e, où l ’o n che rc h e à m ini m is er f (x) = 0 .5 s in (x ) + 5,

ave c 0 apple x apple

10. Le problème es t soumis à une se ule contrainte tr ès simple : x apple 3. 5.

L’optimum de c e problème est x ⇤ = 3. 5. La f o nc t io n d e p é n al i sa t io n e st d é fin i e c om m e

suit :

p ( x) = ↵ max(0, x 3.

5)

- 315 -


M al gr é la s im pl ic it é du pr ob lè m e, un a lg or it hm e évo lu ti on na ir e ri sq u e d’ é ch ou er da ns

sa ré sol utio n si la val eur de ↵ n’ e st pa s a dé qu at e . La fig ur e 1 1. 2a i ll us tr e la c ou rb e

de la f on ct io n ob j ec ti f f( x) et ce lle de la fo nct ion de p er form anc e f ( x) + p(x ) da ns

le domaine irréalisable, avec ↵ = 0 . 1. On y voi t clai reme nt que l e mini mum p o ur la

f on ct io n de p e rf or ma nc e e st x ⇤ = 4.5, qui est une solution irréalisable. C’est la solution

retournée par l’algorithme après l’évolu tion . Un co efficient de p énalité de 0.1 est donc

trop faible p our garantir la faisabilité de s s ol ut io ns t ro uv ée s.

Po ur r e m éd i e r à c e p r ob l è m e , i l f a u t u t i li s e r u n c o e ffic i e nt d e p é n a li s a t i o n p l us é l evé .

Pa r c o nt re , u n e val e u r t r ès g r a nd e r é s ul t e e n u n r e j e t b r u s qu e d e t o u s l e s i r r é a li s a b l e s

de la p o pul a ti on dè s le dé b ut de l ’é vo lut i on . D an s ce c as , l ’e xp lo ra t io n e st p é na li sé e ,

pu is q u’ on i nt er di t t ou t pa s sa ge pa r l ’e sp ac e i rré a li sa bl e. La fig ur e 1 1. 2b i ll us tr e la

co urb e de f( x) et ce lle de f ( x) + p( x) da ns le do m ai ne i rré a li sa bl e, avec ↵ = 1. 7. La

p ent e d e la c ou rb e d e l a f on cti on d e p e rf or man ce p o ur x 3. 5 est très él evé e, ce qui

induit une faible repro duction des solutions lo calisées dans cette partie de l’espace de

reche rche.

(a) ↵ = 0 .1 (b) ↵ = 1. 7

Figure 11.2 – Courb es de la fonction objectif f (x ) = 0. 5s in (x ) + 5 et de la fonction de

p erformance f ( x ) + ↵ m ax (0, x 3.

5) , a v e c ↵ = 0.1 (a) et ↵ = 1.7 (b).

É ta nt do nn é q ue l ’o pt im um e st sur la f ro nt iè re , l ’a lg or it hm e a ura de s di ffic ul té s à

engendrer des solutions qui s’en appro chent avec une grande précision. Il y a toujours

pl us de c ha nc es de lo c al is er l ’o pt im um q ua nd l es a le nt ou rs de la f ro nt iè re s on t e xp lo ré s

de s de u x c ôt és q ue d’ un s eu l c ôt é.

Aussi, si l’espace réalisable F est non convexe ou di sjo int, la pré sen ce de so lut ions

irréalisables dans la p opulation améliore les capacités d’exploration de l’algorithme,

amenant ainsi des individus dans les différentes parties d e

F .

Le choix de la méthode de p énalisation doit prendre en c ompte les proprié té s

top ologiques de l’espac e réalisable, le nombre de contraintes actives au niveau de

l’optimum, le rapp ort entre la taille de F et ce lle de S, ain si q ue le typ e de la fo nc tio n

ob j ectif et des contraintes.

On distingue quatre appro ches p our définir la f onction de pénalité , l’appro che

st ati que , l’ appr o c he dy nami que , l’ appr o che ad apt ati ve et l’ appr o che au to- ada pta tiv e.

- 316 -


Avec l ’a ppr o ch e s ta tiq ue , l es co effi

c ients d e p éna lit é so nt de s p ar amè tre s de l’ al gor it hme

do nt l es va le ur s s ont c on st ant es du ra nt s on e xé c ut io n. P ar c on tr e, av ec l es a ut re s

appro ches, leurs valeurs sont mo difiées tout au long de l’évolution, selon un schéma

dé fi ni au pr éa l ab le p o ur l ’a pp ro c he dy na m iq ue , et s el on l ’é ta t hi s to ri qu e e t/ ou c ou ra nt

de la p o pul a ti on po ur l es a ppr o c he s a da pt at ives et a ut o- ad a pt at ive s. La f on ct io n

de p é na li té dy na m iq ue e st g én ér al e me nt c ro is sa nt e a fin d’ a ss ure r la faisabilité

de s

so lut ions à la fin de l’ évol uti on, mais le sc hém a de mo di ficat io n n’ est pas si mple à

dé t er mi ne r et dé p e nd du pr ob lè m e p o sé . En ce q ui c on ce rn e l es m ét ho de s a da pt at iv e s

et au to- ada pta tiv es, el les mo di fient les co effici ents de p én ali té en se ba sant sur des

informations extraites de la p opulation, essentiellement la faisabilité du m ei ll eu r ou

d’ un e c er ta in e pr op o rt io n de la p o pul a ti on .

11 .2 .1 La m éth o de de la “p ei ne de m ort ”

C’est une métho de très simple qui ne fait que rejeter les solutions irréalisables de la

p op ul at ion [ Bäck et al. 91]. En fait, elle ne ressemble pas exactement à une métho de

de p é na li sa ti o n pu is q ue le re j et se f ai t au c ou rs de la s él ec t io n, m ai s e ll e p e ut ê tr e v ue

co mme une mé tho de de p én ali sat ion avec une p én ali té in finie :

p(x) = +1

La qualité des résultats donnés par cette métho de dép end fortement :

– du ra pp o rt |F | / |S |

; notamme nt elle es t inappli cable lo rsque F est de me sure

nu ll e ;

– du sché m a d’ i nit i al is at i on , ce q ui c au se la no n- s ta bi li té de la m ét ho de et

augmente la disp ersion des solutions retournées dans la mesure où la direction

de re c he rche p e nd an t l ’é vo lu ti o n dé p e nd e ss en ti e ll em ent de la p o pul a ti on de

dé p ar t.

C’est p our ces raisons que cette métho de a généralement une p erformance très faible.

11 .2 .2 P éna li té s st at iq ues

Avec l’a ppr o che sta tiq ue, les co e ffici ents de p én ali sati on

↵j sont des pa ramè tre s

de l ’a lg or it hm e . L eu r dé t er mi na ti o n e st pr ob lé m at iq ue au vu de s ri sq u es de s ur/ s ou s-

p én al is at ion e xp o sé s c i- des su s. D ans u ne t enta ti ve d ’é vit er c e r is que , H om ai fa r, La i

et Qi ont prop osé en 19 94 [ Homaifar et al. 94 ] une mé tho d e sop hist iqué e qui dé fini t

p ou r ch aq ue co nt ra inte u ne f ami ll e d ’i nte rva lle s de v io lat io n d ét erm in ant ch ac un u n

co effici ent de p én ali té ap prop rié. L’ alg ori thme de la mé tho de se ré sume dans les ét ap es

suivan tes :

– p ou r ch aq ue c ontr ai nte , cr ée r u n c er ta in n omb re ( l )

de t au x de v io la t io n ;

– p ou r cha qu e ta ux de v iol at io n e t p o ur ch aqu e c ontr ai nte , c ré er u n co e ffic ie nt d e

p én al it é ↵ij (i = 1 , 2 , · · · , l , j = 1 , 2, · · · , m) ; le s co e ffi ci e nts ayant l es val eu r s

les plus grandes sont affectés aux taux de violation les plu s élevés ;

– la p opulation initiale est générée aléatoirement sans tenir compte de la faisabilité

de s i ndi v id us ;

- 317 -


– f ai re évo lu er la p o pul a ti on ; cha q ue i ndi v id u e st éva lu é av ec la f or mu le s ui va nt e :

m

ev al ( x ) = f ( x) +

↵ ij v 2 j ( x)

Le grand inconvénient de cette mé th o de es t le nombre d e paramètres à d é fi n ir

ava nt l ’ é vol u t i o n . E n e ff et , p ou r

m contr aint es, la mé tho de né ces sit e au to tal m (2l + 1)

paramètres. Ce grand nombre de paramètres rend la qualité des résultats de la métho de

très dép endante des valeurs choisie s .

11 .2 .3 P éna li té s dy na mi qu es

Avec la s trat égie d yna miqu e, les valeu rs de s c o effi

ci ent s d e p é nali té aug ment ent

pr og re s si ve me nt au l on g de l ’é vo lu ti on, a fin d’ o bl ig er l ’a lg or it hm e à re t ou rn er de s

so lut ions ré ali sabl es. Joines et Houk [ Joines et al. 94 ] ont prop osé de f aire évolue r la

p én al it é c om me su it :

m p(x) = ( C ⇥ t)

j=1

j=1

v j ( x)

où C , , e t sont des co nst ant es. t est la gé nér ati on co ura nte. Un b on ch oix de ces

pa ra m èt re s ra pp o rt é pa r J oi ne s et Ho u ck [ Jo in es et al. 94] est C = 0 .5, = = 2 .

Cette métho de nécessite b eaucoup moins de paramètres que celle des p énalités

st ati que s et donne de me ill eurs ré sult ats gr âce à la pre ssi on cr ois sant e sur les in divi dus

irréalisables due au terme ( C ⇥ t) de la fonction de p énalité. Cep endant, souvent,

le facteur (C ⇥ t

) augmente très rapidement, la pression devient trop forte et p eut

gêner ainsi le pro cessus d’exploration, ce qui réduit les chances d’échapper d’éventuels

optimums lo caux.

Une autre appro che fondée s u r les p énalités dynamiqu e s a été prop osée par Michalewi

cz et At t ia [Michalewicz et al. 94] qui a é té intro duite dans son système Geno cop I I .

Geno cop I I est une deuxiè m e version du système Gen o cop (GEnetic algorithm for

Numerical Optimization of COnstrained Problems) . Ce dernier avait le handicap de ne

p ou vo ir t rai te r q ue l es c ontr ai nt es li né ai res ( cf . s ec ti on 1 1.5 .1 ).

L’algorithme commence d’ab ord par différencier les contraintes linéaires

LC de

ce lle s non li néa ires N C . Il construit ensuite une p opulation initiale qui doit satisfaire

l’ensemble LC . L a faisabilité de la p o pul a ti on pa r ra pp o rt à LC est ma inte nue au

co urs de l’ évo lut ion gr âce à l’ ense mbl e des op ér ate urs sp éc iau x du sy stè me Geno cop

(cf. section 11.5.1), qui transforment une solution réalisable en une autre réalisable.

Po ur pr en d r e e n c o m p te le s c o ntr a i nt e s n on li n éa i r e s , Michalewicz et At t ia

se

sont in spiré s de la st rat égi e de la te mp ér atur e de re froi dis sem ent du re cuit si mulé

p ou r d éfi ni r u ne fo nc tio n d e p é na li sa tio n, ut il is ée p ou r l ’é va lu ati on de s i nd iv id us

irréalisables :

m

p(x, ⌧ ) = 1 2⌧

j=1

- 318 -

v 2 j ( x)


où ⌧ est la te mp ér atur e du sy stè me qui est un pa ramè tre de l’ alg ori thme . ⌧ est di minué e

à ch aque gé nérati on, sel on un schéma de “re froid isseme nt” défini au pré alabl e. Son

ob j ectif est d’augmenter la pression sur les individus irréalisables au fil de l’évolution.

L’algorithme s’arrête quand ⌧ atteint la temp érature minimale ⌧f qui est aussi un

pa ra m èt re de l ’a lg or it hm e .

Des exp érimentations faites par les auteurs [ Michalewicz et al. 94] mo nt re nt q u e l eu r

algorithme p eut converger en quelques itérations avec un b on choix du schéma de

“r efro idi sse ment”, co mme il p eut do nner des ré sult ats p eu sa tis fai san ts avec d’ autr es

sché mas .

11 .2 .4 P éna li té s ad ap tat ives

L’idée principale des métho des fondées sur des p énalités adaptatives est d’introdu

ir e da ns la f on ct io n de p é na li sa ti o n un c om p o sa nt dé p e nd an t de l ’é ta t du pro c es su s

de re che rc h e à une g én ér at io n do nn é e. Ai ns i , le p o id s de la p é na li té e st a da pt é à

ch aq u e i t é ra t i o n e t il p e u t ê t r e a u g me nt é o u d i m inu é s e l o n l a q u a l it é d e s s o l ut i o n s

da ns la p o pul a ti on . De no m bre us e s m ét ho de s o nt é té pr op o sé e s da ns c et te c at ég o -

rie. Trois sont présentées dans ce chap itre : la métho de d e Hadj-Alouane et

Bean

[ Hadj-Alouane et al. 97], la métho de de Smith et Tate [ Sm it h et al. 93] e t la m é t h o de

de Ben Hamida et Schoenauer [Ben Hamida et al. 00, Ben Hamida et al.

02].

Métho de de Hadj-Alouane et Bean, 1 99 2

Avec c ette m étho d e, le p o ids de l a p é nali té dép en d d e l a q ual ité de l a me ill eure

so lut ion tr ouvée à la gé nér ati on t. La foncti on d e p énalité est définie c omm e su it :

m

p( x) = ↵ ( t)

v 2 j ( x)

où ↵( t)

est mise à jour à ch aqu e gé nér ati on t

co mme suit :

⎧

⎨

(1 / 1 ). ↵ ( t ), si x b 2 F durant les k

dernières générations

↵( t

+ 1) =

⎩ 2 . ↵ ( t)

si x b 2 (S F ) durant les k

dernières générations

↵( t)

si non,

où xb est la me ill eure so lut ion de la p op ulat io n co ura nte et 1, 2 > 1 (avec 1 6= 2

p ou r é vi te r l es cy cl es) . Au tre me nt di t, ce tt e m ét ho d e d im inu e la val eu r d e l a c om p osa nt e

↵ (t + 1) à l a g é n ér a t io n t + 1 si to ute s les me ill eure s so lut ions p en dant les k de rn iè re s

générations étaient réalisables et l’augmente dans le cas inverse (toutes les meilleures

so lut ions ét aie nt irr éal isa ble s). Par co ntre , si p en dant ces k générations il y a eu à

la fois d e s me ille u re s solutions réalisab le s e t d’autre s irré alis ab les, ↵( t + 1) garde la

même valeur que ↵( t ).

Le but de Hadj-Alouane et Bean est d’ augm ent er les p én ali tés se ule ment si el les

p osent un problème p our le pro cessus de recherche, sinon elles sont diminuées. Cep enda

nt, la s tr at ég i e d’ a da pt at io n ne re p o se q ue sur l ’é ta t du m ei ll eu r i ndi v id u p e nd ant

les k de rn iè re s g én ér at io n s. E ll e ne t ie nt pa s c om pt e de l ’é ta t g én ér al de la p o pul a ti on .

j=1

- 319 -


Métho de de Smith et Tate, 19 93

La fonction de p énalisation adaptative prop osée par Smith et Tate incorp ore, comme

la métho de précédente, une comp osante in d iquant l’état d’évolu tion du pro cessus de

reche rche, ainsi qu’u ne comp osante indiquant le degré de violation des contraintes. La

pr em i èr e c om p o sa nt e dé p e nd de la q ua li té de la m ei ll eu re s ol ut io n t ro uvée p e nd an t

l’évolution (jusqu’à l’itération courante t ). La deuxième comp osante est déterminée par

la distance des meilleures solutions irréalisables au domaine réalisable. Le but de cette

f on ct io n e st d’ é la rg ir l ’e sp ac e de re c he rche en intro du is a nt l es s ol ut io ns i rré a li sa bl es

intére s santes (pro ches d u domaine réalisable), ce qui p eut faciliter le pro cessus de

reche rche quand l’optimum se trouve sur les b ords de F .

La fonction de p énalité est définie comme suit :

m

p(x) = ( F feas ( t)

F all (t))

(vj( x )/q j(t)) k

j=1

où Fall (t ) est la val eur de la fo nct ion ob je cti f (s ans p én ali sat ion) de la me ill eure

so lut ion tr ouvé e p en dant l’ évo lut ion (j usq u’à la gé nér ati on co ura nte t), F feas ( t ) est

l’évaluation d e la meilleure solution réalisable trouvée p endant l’évolution, q j (t ) est

l’estimation du seuil d’extension de faisabilité p ou r ch aqu e c ont rai nt e j ( 1 apple j apple

m), et

k est une constante qui p ermet d’a juster la “sévérité” de la fonction de p énalisation. Il

f au t no t er q ue l es s eu il s q j ( t) sont dy nami que s ; ils sont a ju sté s dur ant le pro ce ssu s de

reche rche. Par exemple, il est p ossible de définir q j (t) = q j (0) /(1 + j .t), où q j (0) est

le seuil maximal et j un paramètre à définir manuellement. Cep endant, les auteurs

co nse ill ent de mo di fier la te chn ique d’a ju ste ment de qj ( t ) se lon la na ture du pro blè me.

Comme p our la métho de de Hadj-Alouane et Bean, l a f o n ct i o n d e p é n al i s at i o n

ne t ie nt pa s c om pt e de l ’é ta t g én ér al de la p o pul a ti on . Se u le s l es p e rf or ma nc es de s

meilleures solutions réalisables et irréalisables sont prises en compte. Par ailleurs, cette

métho de a une difficulté supplémentaire due aux ch oix à faire p our l’a justement de la

co mp os ante q j ( t ).

Métho de de Ben Hamida et Schoenauer, 2 00 0

Ben Hamida et Schoenauer

[Ben Ha mida et al. 00 ] o nt p r o p o s é u n a lg o r i t h m e

adaptatif p our l’optimi sation sous contraintes : ASCHEA, Adaptive Segregational

Constraint Hand ling Evolutionary Algorithm, dont l’ob jectif est d’inte nsifier la recherche

aux alentours des frontières de F en favor isa nt la diver sific ati on de la po pula tio n

dans les domaines réalisable et non réalisable. Pour ce faire, ASCHEA utilise trois

ingrédients :

1. Une fonction de p énalisation adaptative qui a juste les co efficients de p é-

na l it é en se ba s an t sur la pr op o rt io n de s i ndi v id us ré a li sa bl es da ns la p o pul a ti on

à la génération t no t ée ⌧t .

m

p( x) = ↵ ( t)

v j ( x )

(11.4)

- 320 -

j=1


où vj ( x)

j = 1 . . m sont les me sure s de vi ola tio n des co ntra intes (f orm ule 11 .3) .

La valeur du co efficient de p énalisation

↵(t ) cr oît ou dé cro ît d’un ce rta in taux

automa tiquement, selon la formule suivante :

si (⌧t > ⌧target ) ↵( t + 1)( x ) = ↵ ( t )/f act

si non ↵( t + 1)( x) = ↵( t)

⇤ f a ct

(11.5)

ave c ⌧target est la prop or tio n de so lut ions ré ali sabl es désirée da ns la p o pul a ti on

et f act > 1 un paramètre d’ASCHEA permettant de contrôler le degré de

var ia ti o n d u c o effi ci ent d e p é na li s at io n. A in si , s i l e t au x d e

faisabilité de la

p op ul at ion e st f ai ble , la p é na li sat io n a ug ment e, s in on, e ll e d im inue .

2. Un croisement fondé sur une stratégie de séduction/sélection , où d ans

ce rta ins ca s, les indivi dus ré ali sabl es ne pe uve nt se repro duire qu ’avec les

irréalisables, en vue d’explorer les régions aux alentours de la frontière du

do m ai ne F :

si (0 < ⌧ t < ⌧target ) et (x1 ) est réalisable

sélectionner ( x 2) parmi les individus irréalisables (selon

sa fonction objectif)

sinon sélectionner (x2 ) selon sa performance

3. Une sélection ségrégationnelle qui a p our but de maintenir la faisabilité

d’ un e c er ta in e pr op o rt io n ⌧ select de la p o pul a ti on t ou t au l on g de l ’é vo lu ti o n.

Cette prop ortion de la nouvelle p opulation est sélec tionnée avec remise, parmi les

individus réalisables, en se basant sur leurs p erformances. La sélection du reste

de la p o pul a ti on se f ai t en a ppl i qu an t la s él ec t io n s ta nd ar d dé t er mi ni st e s el on l es

p er fo rm anc es ( ave c p é nal is at ion ), e t s an s t en ir co mp te d e l eu r faisabilité. Ain si,

se ule une prop or tio n ⌧ select de s i ndi v id us ré a li sa bl es e st c on si dé ré e sup é ri eu re à

tous les irréalisables.

Les deux premières comp osantes d’ASCHEA rep osent sur un seul paramètre ⌧target .

En e ffe t, ce pa ra m èt re p e rm et de dé fi nir l ’é vo lu ti on de la p é na li sa ti o n et de dé c id er

de l ’a pp li ca ti o n de la s tr at ég i e de s éd uc ti on /s é le ct i on p o ur le c ro is em en t . La t ro is èm e

co mp os ante rep ose sur le pa ramè tre ⌧ select p er me tt ant d e d éc id er d u t au x d e f ais ab il ité

minimal de la p opulation. Les auteurs recommandent de fixer ⌧target à 0. 5 et ⌧ select à

0.3.

Dans une version améliorée d’ASCHEA [ Ben Hamida et al. 02], chaque contrainte j

a son propre co effic ie nt de p énalisati on ↵ j (t), qu i décide du taux d e participati on de

ce tte co ntra inte à la p én ali sat ion des so lut ions irr éal isa ble s. La fo nct ion de p én ali sat ion

est al ors :

m

p(x) =

j=1

↵ j ( t)

v j ( x)

Chaque co efficient

↵j est a ju sté se lon la prop or tio n ⌧t( j) de s i ndi v id us s at is fa i sa nt

la contrainte j à la gé né ra ti on c our ante t en resp ec ta nt le même pri nci p e que dans

l’équation 11.5 avec f ac t co mmu n à to ute s les co ntra inte s.

- 321 -


Une autre comp osante a été intro duite dans la version améliorée d’ASCHEA

[ Ben Ha mida et al. 02 ] lu i p er met tant d e mie ux p ren dr e en co mp te le s co nt rai nt es

d’égalité. Cette comp osante transforme les égalités hj ( x) = 0 en un co uple de

contr aint es d’ inég ali té s : ✏ j (t) apple h j (x) apple ✏ j ( t) , et el le pro cè de en suit e à la rédu

c ti on pr og re s si ve de l ’e sp ac e ré a li sa bl e F hj (t ) dé fi ni pa r ce c ou pl e de c ont ra in te s

(figure 11.3) en a justant automatiquement la valeur de ✏j à chaque génératio n t. Les

so lut ions irr éal isa ble s à la gé nér ati on t sont al ors fo rcé es vers le nouvel es pac e ré ali sabl e

F hj (t + 1) grâce à la p énalisation et la stratégie de séductio n/sélecti on.

(t)

(t)

(t)

(t)

F F F

h

(t) h

h

(t)

Reduction

Reduction

=0

Figure 11.3 – Réduction progr essive de l’espace réalisable Fh j corresp ondant à la contrainte

d’égalité hj par ajustement automatique de la valeur de ✏j à chaque génération t.

À la fi n de l ’évol ut ion , ✏ j (t) pr en d de t rè s p e ti te s va le ur s pro c he s de 0, ce q ui ,

nu mé r i q u e me nt , s a t i s f a it l a c on tr a i nt e d ’ é ga l i t é .

Grâce à ses comp osantes, ASCHEA disp ose d’une grande capacité d’exploration

et d’ expl oit at ion des me ill eure s so lut ions , ré ali sabl es et non ré ali sabl es, sp éc ial eme nt

en fin d’évolution. Il a donné de b ons résultats p our plusieurs cas testés, mais reste

co ûte ux en te rme s de no mbre d’éval uat ion s.

11 .2 .5 P éna li té s au to -ad ap tat ives

La principale caractéristique des méthodes des p énalités auto-adaptatives est

qu’elles ne n é cessitent pas de paramètres. En effet, les p énalisations sont adaptées en

se ba sant uni que men t sur des in form ati ons is sues de la p op ulat io n. Deux cl ass es de

métho des ont été prop osées dans cette catégorie : celles qui considèrent l’état de la

p opulation p endant plusieurs générations comme la métho de de Co ello [ Co ello 99 ]

qui est la première technique publiée dans cette catégorie, et celles qui ne considèrent

que l’état de la p opulation à la gén é ration en cours comme la métho de de Farmani et

Wright (2003) [ Farm ani et al. 03 ] et c el le de Tess ema et Yen (2006) [Tess ema et al. 06 ].

Nous présentons ci-dessou s une métho de dans ch aque classe.

Métho de de Coello , 1 99 9

E ll e se ba s e sur le pr in ci p e de co é vo lu ti o n, où la p o pul a ti on de s p é na li té s co é vo lu e

ave c l a p op u l a t io n d es s o lu t i o n s . L a p op u l a t i on d e s s o lu t i o n s P 1 est éval uée se lon la

f or mule s ui va nt e :

m

ev al ( x ) = f ( x) ( ↵1 ⇥

v j (x)) + ↵2 ⇥ ✓ (x))

j=1

- 322 -


où m

j=1 vj (x ) est la somme des mesures de violation des contraintes par la solution x ,

✓ (x) est le no mbre de co ntra intes vi olé es par x et ↵1 et ↵2 sont deux co effici ent s de

p én al is ati on .

Une p opulation P 2 de v ec te u rs de c o e ffic ie nt s de p é na li sa ti o n

A j = (↵1 , ↵2) est

maintenue et co évolue en parallèle avec la p opulation des solutions P 1. Chaque vecteur

Aj de P 2 est ut ilis é p our éval uer tous les in divi dus de P 1 p e nd ant u n ce rt ai n no mb re d e

générations, au b out desquelles on calcule la p erformance du vecteur Aj co rre sp o ndan t

en ut ilis ant la fo rmul e suivante :

N

ev al(x

'(Aj) =

i )

+ Nf

N

i=1 f

où ' (A j ) est la p er form anc e moyenne de A j , N et N f sont resp ec tivem ent la ta ill e de

la p opulation P 1 et le no mbre de ses so lut ions ré ali sabl es. Les me ill eure s p er form anc es

co rre sp o nden t aux ve ct eurs Aj aya nt p er m i s d ’ e n g e nd r e r p lu s d e s o l u ti o n s r é a l i s a bl e s

et plus pro ches de l’ opt imum .

Les op érateurs génétiques sont appliqués à la p opulation P 2 une f oi s q ue l es p e rf or -

mances de tous les vecteurs Aj sont ca lcu lée s. Ai nsi, les co effici ent s de p én ali sat ion sont

a j us t é s a u to m a t iq u e m ent s e l o n l ’ in f o r ma t i o n f ou r n i e p ar l’ é vo l ut i o n d e l a p op u la t i o n

de s s ol ut io ns P 1.

L’inconvénient ma j e ur d e ce tte métho de est son coût d û au grand nombre d’évaluations.

Métho de de Tessema et Yen, 2 00 6

La métho de SAPF (Self-Adaptif Penalty Function) de Tessema et Yen

[ Tess ema et al. 06] s e b as e s u r l a d is t r i bu t i o n d e la p op u l a t io n c o u r ant e d a n s l ’e s -

pa c e de re c he rche p o ur l ’a j us te me nt de la p é na li sa ti o n. L es q ua tr e é ta p es s ui vant es

résument l’algorithme de la métho de :

1. Normaliser les valeurs de f ( x) p o ur to ut es l es s ol uti on s d e la p o pu la tio n se lo n

la formule suivante :

f ( x)

minx f ( x)

f (x) =

maxx f ( x)

minx f ( x)

où min x f( x) et max x f (x) co rre sp o nden t aux p er form anc es sans p én ali sat ion

de , re s p e ct ive me nt , la m ei ll eu re et la pi re s ol ut io n da ns la p o pul a ti on .

2. Normaliser les mesures de violation des contraintes v (x) p o ur t out es le s s olu ti ons

de t el le f aç on q ue v ( x)

2 [0 ,

1].

3. Po ur ch a qu e s ol u t i o n x, calc ul er la dist an ce d( x)

co mme suit :

v( x)

si to ute s les so lut ions sont irr éal isa ble s

d(x) =

f ( x)

2 + v ( x)

2 si non

- 323 -


4. Éva lu er l es s ol ut io ns avec la f or mu le s ui vante :

ev al( x) = d(

x) + ( 1 rt )↵1 (x) + rt↵ 2( x)

où rt est la prop or tio n de faisabilité de la p o pul a ti on à la g én ér at io n t dé fi nie

pa r le ra t io du no m bre de s ol ut io ns ré a li sa bl es pa r la t ai ll e de la p o pul a ti on , et

↵1 et ↵2 sont deux fo nct ion s de p én ali sat ion dé finie s co mme suit :

0 si rt = 0

0 si x est ré ali sabl e

↵1 (x) =

v( x)

si non

↵2 (x) =

f ( x)

si non.

Les étap es décrites ci-d essus p ermettent à la métho de S APF d’adapter automatiquement

les p énalisations selon la distribution de la p opulation dans l’espace de recherche

en te nan t co mpt e :

– de la pr op o rt io n de s s ol ut io ns a ppa r te na nt au do m ai ne ré a li sa bl e,

– de s va le ur s de la f on ct io n ob j ec ti f f ( x ),

– de s di s ta nc es de s s ol ut io ns i rré a li sa bl es au do m ai ne F

.

Cette technique a donné de b ons résultats p our plusieurs cas test. Cep endant, elle

a un e fai bl e p e rf orm an ce e n pr és enc e d’ un d om ain e ré al is abl e p e ti t ou d e mes ur e nu lle ,

pu is q ue l ’a lg or it hm e se c on ce ntre pl us sur la re c he rche de s ol ut io ns ré a li sa bl es q ue sur

l’optimisation de la fonction ob jectif.

11 .2 .6 Segregated Genetic Algorithm (SGGA)

Le SGGA a été prop osé par Le Riche et al. en 19 95 [Le-Riche et al. 95 ] comme

une no uv e ll e a ppr o c he de pr is e en c om pt e de s c on tr ai nt es pa r p é na li sa ti o n, q ui ut i li se

de u x p é na li té s di ffé re nt es en m êm e t em ps do nt une p e rm et d’e ffe ct ue r de s f ai bl es

p én al is ati on s a lo rs q ue l ’a ut re a ppl iq ue d es p é na li tés f ort es . L ’o b j ec tif de SG GA e st de

désens ibiliser la métho de aux choix des p oids de p énalisation. SGGA établit à partir

de la p opulation deux group es d’individus co existant et co op érant entre eux. Chaque

group e est évalué en utilisant un des deux co efficients de p énalité définis comme des

pa ra m èt re s de l ’a lg or it hm e . L es de u x g ro up es s on t s ép ar és ( segregated) p en dant l’é tap e

de la s él ec t io n, où c ha qu e i ndi v id u e st c la ss é da ns une l is te ut i li sa nt une de s de u x

p én al is at ion s, m ai s l es o p éra te ur s d e va ria ti on t ravai ll ent su r l a r éu ni on d es de ux

group es. La nouvelle p opulation est constituée par la sélection des meilleurs dans les

de u x l is te s.

Deux avantages résultent de cette stratégie :

1. L’espace de recherche est exploré par deux tra jectoires différentes, une par

group e et, grâce à l’hybridation des deux group es, la p opulation p eut éviter les

optimums lo caux.

2. Dans les problèmes d’optimisation sous contraintes, souvent l’optimum global

est sur la fr ontière en tre les do mai nes ré ali sabl e et irr éal isa ble . L’ hybr idat ion

entre les deux gr oup es favor ise l’ exp lora tio n des fr onti ère s et l’ opt imum gl oba l

est ai nsi lo ca lis é as sez fa cil eme nt.

Cet algorithme a été testé dans [ Michalewicz et al. 96a ] et a m o nt r é d e m e il l e u r e s

p erformances qu’une technique de p énalisation statique. Cep endant, la qualité des

résultats reste sensible aux choix des c o efficie nts de p énalisation.

- 324 -

11.3 Sup ériorité des individus réalisables

11.3 Supériorité des individus réalisables

L’appro che de la supé riorité des individus réalisables rep ose sur le princip e suivant :

“toute solution réalisable est meilleure que toute solution irréalisable”. Cette propriété

n’ é ta it pa s g ar an ti e da ns le c as de s m ét ho de s de p é na li sa ti o n e xa mi né e s c i- de ss us . La

pr em i èr e m ét ho de à ut i li se r ce pr in ci p e e st c el le de Powel l et Skolnick

pu bl ié e en 1 99 3

[ Powe ll et al. 93 ] ; il y a e u e n s u i te l a m é t h o d e d e Stochastic Ranking de R una rs s on et

Yao [ Runarsson et al. 00], mais la plus simple à implémenter est celle de Deb publiée

en 20 00 [D eb 00 ].

11 .3 .1 M éth o de de Powell et Skolnick, 1 9 9 3

La métho de de Powel l et Skolnick ut i li se a us si l es f on ct io ns de p é na li té , m ai s avec

un pr in ci p e mo di fié . En e ffe t, en pl us de s m es ur es de v io la t io n de s c on tr ai nt es , e ll e

ut i li se l ’é va lu at io n de s s ol ut io ns ré a li sa bl es .

m

p(x) = r

v j ( x) + ✓( t, x)

j=1

où r est une co nst ant e pa ramè tre de l’ alg ori thme . La comp osante ✓( t, x ) est une

fonction dép endante de la p opulation à la génération t en co urs, et el le a une gr ande

influence sur l’évaluation de s individus irréalisables :

0, si x 2 F

✓(t, x) =

max {0, } , si non

ave c :

⎧

⎫

⎨

m

= m ax

{f ( y )}

min

y2F y2(SF ) ⎩ f

(y) + r

⎬

vj ( y)

⎭

j=1

Avec cet te h euri stiq ue s upp léme ntai re, les p erf orm ance s de s so luti ons i rré alis able s

dé p e nd ent de c el le s de s s ol ut io ns ré a li sa bl es : e ll es ne p e uve nt pa s ê tr e m ei ll eu re s q ue

la pire p erformance des solutions réalisables (maxx2F { f ( x )}).

Cette métho de nécessite le choix d’un seul paramètre r . L’utilisation d’une p etite

val e ur p e rm e t à l ’a lg o ri th m e d ’e xp l or er l e d o ma in e i rr é al is a bl e e n p ar al l èl e d u d om ai n e

réalisable, mais si r est gr and, p eu de p oints irr éal isa ble s sur viv ent dans la p op ulat io n.

En pa rt i cu li er , si F est trop p et it, la mé tho de p eut éc hou er.

11 .3 .2 M éth o de de Deb, 2 0 0 0

La métho de prop osée p ar Deb [Deb 00] év i t e l e c a l c u l d e l a f o n c t i on o b j e c t if d a n s

le domaine irréalisable. L’appro che prop osée se base sur la sélection par tournoi de

taille 2, où deux solutions sont comparées selon les critères suivants :

1. Tout e solu tio n réal isa ble es t meil leu re que t out e solu tio n irré ali sab le.

2. Pa rm i d e ux s o l ut i o n s r é a l is a b l e s, c e l le aya nt l a m e il l e u re p er f o r m an c e e st

sé lec tio nné e.

- 325 -


3. Pa rm i d e u x s o l u ti o n s i rr é a l i sa b l e s , c e l l e aya nt l a m e s u r e d e v i o la t i o n l a p l u s

p et it e e st s él ect io nn ée.

L’évaluation des irréalisables n’utilise pas de co efficients de p énalisation, mais se

ba s e sur l es m es ur es de v io la t io n de s c ont ra in te s et la p e rf or ma nc e de s ré a li sa bl es :

f ( x)

,

si x 2 F

ev al(x) =

fmax + m

j=1 v j ( x ), si non

où fmax est la val eur de la fo nct ion ob je cti f de la pire so lut ion ré ali sabl e dans la

p op ul at ion . Po ur m ai nt eni r la d ive rsi té d an s l e do ma in e r éa lis ab le, la m éth o de u ti lis e

une t ec hn iq ue de ni c ha ge ( se ct io n 1 0. 2, pa g e 2 74 ) a ppl i qu ée p e nd an t l ’é ta p e de s él ec t io n.

Cette méthode a l’avantage de ne pas nécessiter de paramètres supplémentaires. De

pl us , e ll e ne c al cu le pa s la f on ct io n ob j ec ti f da ns le do m ai ne i rré a li sa bl e, m ai s, c om me

la métho de précédente, elle échoue si le rapp ort |F | / |S |

est trop p et it.

11 .3 .3 Stochastic Ranking

P ro po sé e pa r Runarsson et Yao en 20 00 [ Runarsson et al. 00], ce tte métho de

pr op o se une no uv e ll e a ppr o c he p o ur c ré er un é q ui li br e e nt re la f on ct io n ob j ec ti f et la

f on ct io n de p é na li sa ti o n, f on dé e sur un c la ss em e nt s to c ha st iq ue de s i ndi v id us , dé c ri t

ci -de sso us. Si l’on co nsi dère que les in divi dus sont éval ués avec l’ équ ati on 11 .1, al ors

la fonction de p énalisation est définie comme suit :

m

p(x) = rt.

vj (x) = rt✓( x)

j=1

où rt est le co effici ent de p én ali té et ✓ ( x)

est la so mme des vi ola tio ns.

Po ur c o m pa r e r d e u x so l u t i o ns a d j ac e nt e s xi et xi+1 , Runarsson et Yao ont introduit

la notion de co efficient d e p énalisation critique :

˜ri = f (xi+1 ) f ( x i )

, p ou r ✓ (xi ) = (

✓(xi ) ✓ ( x i+1 ) 6 ✓ x i+1 )

Po ur u n ch o i x d on n é d e rt > 0, trois typ es de comparais on s ont p ossibles :

1. Comparaison dominée par la fonction ob jectif :

f (x i ) apple f ( x i+1 ), ✓(

x i ) ✓ ( x i+1 ) et 0

< rt < ˜r i ;

2. Comparaison dominée par la fonction de p énalité :

f (x i ) f ( x i+1 ), ✓(

x i ) < ✓ (x i+1 ) et 0 < ˜r i < rt ;

3. Comparaison non dominée : f (x i) < f (xi+1) , ✓(

x i ) < ✓ (xi+1 ) et ˜ri < 0.

Si rt et r t sont, resp ec tivem ent , le plus gr and et le plus p et it co effici ent de p én ali té

cr iti que ca lcu lés à pa rtir des in divi dus ad jac ent s cl ass és se lon la fo nct ion ob je cti f, al ors

il faut que r t < rt < rt p ou r q ue l a p é na li sa tio n s oit s ig nifi ca ti ve . S i rt < r t , a l o rs

toutes les comparais on s sont basées sur la fonction ob jectif : cas de sous-pénalisation.

Pa r c o nt re , si rt > rt, a lo r s to u t es l e s co m p ar a is o ns s o nt b as é e s su r l a fo n c ti o n de

p én al is ati on s eu lem ent : c as d e sur-pénalisation.

- 326 -

11.4 Reche rche des solutions réalisables

Chercher une b onne stratégie p our a juster rt à cha q u e g é né r a t i o n , t ou t e n é v i t a nt

la sous-pénalisation et la sur-pénalisation, est en s oi un probl ème d’opti misation .

Po ur é v i t er l e p a ss a g e p ar c e t t e ét a p e, Runarsson et Yao pr op o se nt le c la ss em e nt

sto chastique. Ils définissent une probabilité Pf qui sert à décider d’utiliser la fonction

ob j ectif ou la fonction de p énalisation p endant la comparaison. Ainsi, deux individu s

adjacents xi et xi+1, dont a u mo i n s un es t i r r é a l i s a b l e , o nt un e pr o b a b i l i t é Pf d’ ê tr e

co mpa rés se lon le urs val eurs de la fo nct ion ob je cti f, et une pro bab ilit é (1 P f ) d’ ê tr e

co mpa rés se lon le urs me sure s de vi ola tio n des contr aint es. Si les deux in divi dus sont

réalisables, P f = 1 .

Cette métho de a été testée sur un ensemble de fonctions de référence. Les meilleurs

résultats ont été enregis tré s avec P f = 0 .45.

11.4 Recherche des solutions réalisables

L’ob je ctif général de cette catégorie de méthodes est de ramener les individus

irréalisables dans le domaine réalisabl e F . Elle se di vise en de ux sous -catégo ries : la

réparation des individus irréalisables et l’échantillonnage de l’espace réalis ab le. Une

métho de est présentée ci-dessous dans chaque sous-c atégorie.

11.4.1 Réparation des individus irréalisables : Geno cop I II

C’est la troisième version du système Geno cop prop osée par Michalewicz et Nazhiyath

en 19 95 [Michalewicz et al. 95 ]. Elle est fondée sur l’idée de réparation de s

individus irréalisables et introduit aussi quelques concepts de co-é volution. Cette

métho de incorp ore le système Geno cop d’origine (décrit dans la section 11.5.1) et

el le l’ éte nd en fa isa nt év olu er deux p op ulat io ns sé paré es , où le dé vel oppe me nt d’une

p op ul at ion i nfl ue nce l ’é va lu at ion d es i nd ivi du s d an s l ’a utr e. L a p re miè re p o pu lat io n

Ps co mp orte des po ints qui sa tis font les contra inte s li néa ires du pro blè me et sont

app elés les p oints de recherche. La faisabilité de c es po i nt s ( pa r ra pp o rt a ux c on tr ai nt es

linéaires) est maintenue par les op érateurs sp éciaux du système Geno cop (cf. section

11.5.1). La deuxième population P r co mp orte des p oints qui sa tis font to ute s

les contraintes du problème (linéaires et non linéaires) et sont app elés les p oints de

référence. Les p oints de référence ri de Pr , ét a nt r é a l i s a b l e s , s ont é val u é s d i r e c te m e nt

ave c l a f o nc t i o n o b j e c t if (ev al (r ) = f (r )). Par contre, les p oints de recherche de Ps qui

ne s on t pa s ré a li sa bl es s on t ré pa r és ava nt d’ ê tr e éva lu és . Le pro c es su s de ré pa r at io n se

f ai t c om me s ui t :

Soit un point de recherche s 2 Ps.

Si s 2 F, alors ev al ( s ) f ( s ),

sinon (s 62 F),

rép

éter

sélectionner un point de référence

r de

P r

tirer un nombre aléatoire

a dans l’intervalle

[0 , 1]

z

a. s

+ (1 a ).

r

tant que (z est irréalisable)

- 327 -


ev al ( s )

ev al

( z ) f ( z)

remplacer s par z dans

Ps avec une probabilité pr

si f ( z )

< f ( r ),

alors remplacer r par z dans

Pr

s est re mpla cé par z da ns la p o pul a ti on Ps ave c u n e c e r t ai n e p r o b a bi l i t é d e r em -

pl a ce me nt pr . On n o te a u s si q u ’i l y a u ne ce r ta i ne a s ym é t ri e e nt r e l’ é vo l u ti o n de s d e ux

p op ul at io ns Ps et Pr. En effet, l’a pplicati on des op érat eurs de rep ro duction e t de la

pro c éd ur e de s él ec t io n à la p o pul a ti on P s se fa it à cha que gé nér ati on, al ors qu ’el le ne

se fa it que to ute s les k générations p our la p opulation Pr, où k est un pa ramè tre de la

métho

de.

La stratégie de co-évolution des deux p opulations est donnée par la procédure

générale du système Geno cop I I I présentée ci-dessous.

Pro cédure Geno cop I I I

t 0

initialiser P s ( t ), P r ( t)

évaluer Ps ( t ), Pr ( t)

Tant qu e (non Condition fin) faire

t t + 1

sélectionner Ps ( t)

de Ps (t 1)

Reproduction de Ps( t)

évaluer Ps ( t)

si t mod k = 0 alors

fin tant que

fin pro cédure

reproduction de Pr ( t)

sélectionner Pr( t)

de Pr (t 1)

évaluer Pr ( t)

On remarque que l’étap e de repro duction précède la sélection dans la pro cédure

d’ é vo lu ti on de Pr , d u fa i t de l a fa i bl e p ro ba b il i té d ’e n ge n dr er u n e nf a nt r é al i sa bl e .

Ainsi, d’ab ord les enfants sont créés, ensuite les meilleurs individus réalisables parmi

les parents et les enfants sont sélectionnés p our former la nouvelle p opulation.

L’avantage avec Geno cop I I I est qu’il n’é value pas la fonction ob jectif dans l’espace

no n ré a li sa bl e et q u’ il re t ou rn e t ou jo ur s une s ol ut io n ré a li sa bl e. P ar c on tre, l ’a lg or it hm e

a b e a u co u p d e d iffi c u lt é s à c ré e r l a p op u l at i o n de s p o int s d e ré f é re n c e s i le r a p p o r t

|F | / |S |

est très p et it.

En pa rt i cu li er , si l ’e sp ac e ré a li sa bl e e st no n c on ne xe et si la p o pul a ti on P r a été

initialisée dans une seule comp osante de F , al ors le s yst èm e aur a de s diffi cu lté s à

en gen drer de no uve aux in divi dus ré ali sabl es dans les au tre s co mp os antes de F .

- 328 -

11.5 Prés ervation de la faisabilité des solutions

11 .4 .2 M éth o de de la m ém oir e c om p or te me nta le

Cette métho de a été prop osée par Schoenauer et Xanthakis

en 19 93

[ Scho e na ue r et al. 93]. Elle est fondée sur la notion de mémoire comp ortementale

(Behavioral memory) de la p o pul a ti on : “ la p o pul a ti on ne c on ti ent pa s s eu le me nt de s

informations sur le strict optimum, mais au s si des informations sur son comp ortement

da ns le pa s sé ”.

Le but principal de cette métho de est d’échantillonner l’espace réalisable en traitant

les diff

érentes contraintes du problème une p ar une et dans un ordre particulier.

L’algorithme part d’une p opulation aléatoire. Ensuite, p our chaque contrainte, il fait

évol uer la p op ulat io n ju squ’ à ce qu ’un ce rta in p ou rce ntag e de la p op ulat io n de vie nne

réalisable p our la contrainte en cours, tout en continuant à resp ecter les contraintes

précédentes. Il y a q + 1 ét ap e s p our q contr aint es à sa tis fai re. La p op ulat io n ob ten ue à

la fin de chaque étap e sert de p oint de départ à l’évolution p our la contrainte suivante.

Un ordre de prise en compte des contraintes doit être défini. Pour les q pr em i èr es

ét ap es, la p er form anc e à l’ éta p e i est une fo nct ion M (gi (x)) qui est maximale lorsque la

contr aint e gi (x) apple 0 n’ e st pa s v io lé e . L es i ndi v id us q ui ne re s p e ct ent pa s l es c on tr ai nt es

g 1 à g i1 di s pa ra is se nt de la p o pul a ti on en l eu r a tt ri bu ant une p e rf or ma nc e nu ll e .

On passe d’une étap e à la suivante lorsqu’une prop ortion suffi

samment élevée de la

p op ul at ion s e tr ou ve d ans le d om ai ne r éal is ab le.

La fonction ob jectif est optimisée dans la dernière étap e en utilis ant le princ ip e de

la “p eine de mort” (death penalty) p o ur l es i nd iv idu s ir ré al is abl es . À ce tt e é ta p e, l a

p op ul at ion p e ut ê tre si tu ée d ans u n do ma ine t rè s r éd ui t d e l ’es pa ce d e r eche rch e d u

fait du pro cessus de traitement des contraintes d’une façon séquent ielle. Ce problème

p eu t êt re r és ol u p ar u ne p ro c édu re d e ni ch ag e p o ur m ai nt en ir la di ve rs it é à ch aq ue

ét ap e.

Cette métho de a l’avantage d’éviter l’évaluation de la fonction ob jectif dans le

do m ai ne i rré a li sa bl e, m ai s e ll e p e ut é ch ou er si le do m ai ne ré a li sa bl e e st t rè s p e ti t ou

di s p e rs é . Par a il le ur s, la pr oc é du re d’ é ch ant il lo nn ag e né c es si t e le cho i x d’ un o rdr e

linéaire p our le traitement des différentes contraintes du problème. Ce choix a une

grande influence sur la qualité des résultats.

11.5 Préservation de la faisabilité des solutions

Tout es l es mé th o d es de c et te ca té gor ie o nt un but c ommun qu i es t de co ns er ver la

faisabilité de la p o pul a ti on . E ll es ut i li se nt de s op é ra te ur s de re pr o du c ti on sp é ci fiq ue s

qui p ermettent d’enge ndrer, à partir d’individus réalisables, d’autres individu s qui

sont au ssi ré ali sabl es (op ér ate urs fe rmé s sur F ).

11.5.1 Le système Geno cop

La premiè re version de Geno cop ( GEnetic algorithm for N umerical O ptimization

of CO nstrained P roblems) a été développ ée en 1991 pa r Michalewicz et Janikow

[Michalewicz et al. 91].

- 329 -


Le système Geno cop ne traite que les problèmes avec des contraintes linéaires. Il

co mme nce par él imi ner les co ntra intes d’ éga lit é par él imi nat ion d’un ce rta in no mbre

de va ri ab le s du pr ob lè m e, q ui s ont re m pl ac ée s pa r de s c om bi na is on s l in éa ir es de s

var i ab le s r es t ant es . Le s c ont ra i nt e s d ’i n ég al i té s ont a l or s r e fo rmu l ée s en re mp l aç ant l es

var i ab le s é l im in ée s pa r le u rs c omb in ai so n s l in éa i re s. L es c ont ra i nt es r es t ant es , é ta nt

linéaires, forment un espace de faisabilité convex e. Ai nsi, il est as sez fa cil e de dé finir

de s op é ra te ur s f er mé s q ui m ai nt ie nn ent la faisabilité

de s s ol ut io ns .

Pa r e x e m p le , le c ro i s e m e nt a r i t h mé t i q u e d e d eu x in d i v i du s ré a l i s ab l e s x et y

en gen dre un en fan t z = ax + (1 a) y, o ù a = U [0, 1] est un no mbre al éat oir e tiré

un if o rm ém ent da ns [0 , 1]. Il est alors garanti que z da ns un do m ai ne c on ve xe e st

toujours

réalisable.

Un autre croisement a été a jouté, app elé croisement heuristique. Cet op érateur

en gen dre un en fan t z à pa r t i r d e s p a r e nt s x et y sé lec tio nné s te ls que la p er form anc e

f

( y)

est me ill eure que f

( x)

en ap pliq uant la rè gle suivante :

z = r. ( y x) + x, où r = U [0 ,

1]

Cette op ération est rép étée jusqu’à w f oi s t an t q ue l ’e nf an t o bt en u n’ e st pa s

réalisable, sinon l’op érateur ne retourne pas d’en fant.

Pour la mutation, Geno cop pro cède en deux étap es. Il détermine d’ab ord le domaine

réalisable p our chaque comp osante de l’individu à muter à partir des b ornes de l’espace

de re c he rche et de s c on tr ai nt es du pr ob lè m e. L es no uv e ll es va le ur s s on t a lo rs pr is e s à

l’intérieu r de ces domaines .

Cette métho de a donné de b ons résultats p our des problèmes dont l’espace F

est convex e. Par co ntre , el le p eut être re lat ive ment co ûte use , dans la me sure où le

cr ois eme nt he uris tiq ue et le cr ois eme nt uni for me p eu vent né ces sit er pl usie urs it éra tio ns

ava nt d ’ e ng e n d r e r u n e n f a nt r é a l is a b l e .

11 .5 .2 Re ch er che sur la fr onti èr e de la ré gi on ré al is abl e

So uve nt , p o ur l ’o pt im is at i on s ou s c ont ra in te s, une pr op o rt io n de s c on tr ai nt es

est ac tiv e au ni vea u de l’ opt imum. Ai nsi, l’ opt imum se si tue sur la fr onti ère du

do m ai ne ré a li sable F . Michalewicz et Schoenauer ont proposé une appro che originale

qui p ermet une exploration efficace de la frontière de la région réalisable

[ Scho e na ue r et al. 96a, Scho e na ue r et al. 97, Scho e na ue r et al. 98 ]. Ils ont introduit

un a lg or it hm e évo lu ti on na ir e, q ui pa rt d’ un e p o pul a ti on i ni ti al e c on st it ué e de p o in ts

sé lec tio nné s al éat oir eme nt sur la fr onti ère de F , et l e s f a i t é vo l u e r t o u t e n c on s e r vant

leur faisabilité grâce à des op érateurs génétiques fermés sur F .

La frontière recherchée est s up p osée être une surface régulière S de di me n si on n 1

da ns l ’e sp ac e R n .

Les op érateurs utilisés doivent être capables de construire des p oints de la surface

S (figure 11.4) et doivent resp ecter les conditions suivantes :

1. Le croisement doit être capable de construire les p oints dans le voisinage d es

de u x

pa re n ts.

2. La mutation doit être ergo dique et doit resp ecter le princip e de forte causalité :

une p e ti te m ut at io n ne do i t c au se r q u’ une p e ti te mo di fic a ti on de p e rf or ma nc e.

- 330 -

11.5 Prés ervation de la faisabilité des solutions

Figure 11.4 – Opérateur de croisement de surface.

Schoenauer

et Michalewicz

ont prop osé plusieurs op érateurs fermés dont l’applica

tio n dép end du typ e de la sur fac e de la fr onti ère de F , comme les o p érate urs de

cr ois eme nt et de mut at ion sph éri que en pré sen ce des sur fac es sph éri que s et les op érateurs

géométriques en présence d’une s urf ace d’hyp e rboloïde [Scho e na ue r et al. 96a ,

Scho e na ue r et al. 97]. Pour des surfaces quelconques de l’espace R n do nt la f or me a na ly -

tique est donnée, d’autres op érateurs plus génériques ont été prop osés

[ Scho e na ue r et al. 98]. On peut citer comme exemple les op érateurs basés sur des

co urb es de la sur fac e : à pa rtir d’une co urb e tr acé e sur la sur fac e jo ign ant deux p oi nts

di ffé re nt s, on p e ut dé fi nir un op é ra te ur de c ro is em en t en c ho is is sa n t c om me e nf an t

un p o int sur c et te c ou rb e ). On p e ut a us si c it er l es op é ra te ur s ba s és sur l es c ou rb es

géo désiques ou les courb es engendrées par l’interse ction de la surface S ave c d e s p l an s .

Cette métho de a l’inconvénient de ne traiter que les problèmes dont l’optimum est

sur la fr onti ère , en plus des difficu lté s qui p eu vent être re nco ntrées dans la co nce pti on

de s op é ra te ur s g én ét iq ue s q ui ne p e uv ent ê tr e q ue sp é ci fiq ue s au pr ob lè m e à ré s ou dre .

11 .5 .3 Homomorphous mapping

P ro p o s ée en 1 99 9 pa r Koziel et Michalewicz [Ko zi e l et al. 99 ], cette métho de utilise

de s dé c o de u rs a fin de t ra ns fo rm er un pr ob lè m e c on tr aint en un a ut re s an s c on tr ai nt es .

E ll e f ai t é vo lu er une p o pul a ti on d’ i ndi v id us co dé s , où cha c un c or re sp o nd à une s ol ut io n

da ns l ’e sp ac e de re c he rche ré e l. Po ur g ér er l es c on tr ai nt es avec l es dé c od eu rs , la

techniqu e doit satisfaire les conditions suivantes :

1. Po ur ch a qu e s ol u t i o n s 2 F , il y a un e solution co dée d.

2. Chaque solution co dée d co rre sp ond à une so lut ion ré ali sabl e s.

3. Tout es les so lut ion s dans F do i ve nt ê tr e re pr é se nt ée s pa r le m êm e no m bre de

co

des.

4. La pro cédure de co dage/déco dage T ne doit pas être trop complexe et doit être

rapide en temps de calcul.

5. Tout p etit chan geme nt dans l a sol uti on co dée ne doit enge ndr er qu ’un p eti t

ch an g e m e nt d a n s l a s o l u ti o n r é e l l e c o rr e s p on d a nt e .

Le “ homomorphous mapping” es t u n e te ch ni q u e de c o d ag e / d éc o d a ge e ntr e u n es p a c e

de re c he rc he ré a li sa bl e F quelconque et le cub e unitaire de dimension n : [1, 1] n

- 331 -


(figure 11.5). La solution co dée y0 2 [1, 1] n du p o in t x0 2 F est ob ten ue gr âce à

une pro c éd ur e de pro j ec ti o n e nt re le de m i- se gm e nt dé fi ni pa r le p o in t y0 et le ce ntr e

du c ub e O et le de mi- seg ment dé fini par le p oint x0 et un p oint de ré fér ence r0 2 F .

Ainsi, le p oint co dé y0 2 F co rre spon dant à x0 est dé fini par : y0 = (x0 r 0 ).⌧ , où

⌧ = ||y M ||

||x M r0 || . y M est dé ter miné avec une pro cé dure de re che rche di chot omi que .

Figure 11.5 – Exemple de projection de p oints entre le cub e [ 1, 1] n et l’espace de faisabilité

F (cas bidim ensionnel).

Cette technique n’est applicable que p our les espaces F conve xe s, mais une gé nér a-

lisation a été prop osée p our les cas d’espace n on convexes en introduisant un e étap e

de co dage/déco dage supplémentaire. Cep endant, cette technique de co dage généralisée

p eu t v io le r l e c in qu ièm e p oi nt d es c on di ti on s n éce ss ai re s d e va li dit é d ’u n d éc o de ur

p or ta nt s ur l a f or te ca us al ité , d ’o ù l es l im ite s de l a mé th o de .

11.6 Méthodes multi-objectifs

L’idée avec l’appro che multi-ob jec tif est de minimiser simultanément la fonction

ob jectif f et les fo nct ion s de vi ola tio n des différentes co ntra intes du pro blè me

vj

( j = 1 , · · · , m). L’algorithme évolutionnaire aura ainsi à minimiser simultanément les

co mp os antes de ce ve ct eur d’ob je cti fs v = ( f , v1 , · · · , v m).

L’appro che multi-ob jectif a été introduite p ar Parmee et Purchase

[Pa rm e e et al. 94]

da ns le do m ai ne de dé v el opp e me nt de s t ec hn iq ue s de l ’o pt im is at i on de f or me s s ou s

contraintes. Ils utilisent la métho de multi-ob jectif prop osée par Schaffer

[

Scha ff er 85

],

no m mé e “Ve ct or Eva lu at ed G en et ic Al g or it hm ” ( VE GA ), q ui e st ut i li sé e no n pa s p o ur

ch er ch e r l e s s ol u t i o n s o p t im a l e s , m a i s p ou r l o c a l i s e r d e s p oi nt s ré a l i s a b le s p er m e t ta nt

de c ré er à la s ui te un e ns em bl e de ré g io ns de re che rc h e lo c al es da ns F . La f o n c t i o n

ob jectif est alors optimisée séparément par un algorithme génétique utilisant des

op érateurs sp éciaux afin d’aider l’algorithme à rester dans les régions réalisables.

Cette métho de fut compliquée à mettre en œuvre, mais l’idée a inspiré plusieurs

ch er ch e u r s e t a do n n é n a i s sa n c e à t o u te u ne gé n é r a t io n d e m é t h o d e s mu l t i- o b j e c t i fs

de pr is e en c om pt e de s c ont ra in te s do nt no us c it on s la m ét ho de de Surry et al. (1995)

[ Su rr y et al. 95 ], la métho de de Kamponogara et Talukdar. [Camp onogara et al. 97 ],

la méthode de Ray et al. [ Ray et al. 00

], la méthode de Coel lo [ Co ello et al. 02],

l’algorithme IDEA de Singh et al. [

Si ng h et al. 08 ]. Nous avons sélectionné trois

métho des à présenter dans ce chapitre que nous jugeons simples à implanter.

- 332 -

11.6 Métho des multi-objectifs

11 .6 .1 M éth o de de Surry et al.

La technique prop osée par Surry et al. en 19 95 [Su rr y et al. 95 ], app elée CO-

M OG A ( Constrained Optimization by Multi-Objective Genetic Algorithms), tra i t e l e s

contr aint es co mme des cr itè res d’un pro blè me mul ti- ob je cti f et el le op tim ise si mult ané -

ment la fonction ob jectif d’une manière classique. Pour ce faire, elle asso cie à chaque

so lut ion un rang de Pa ret o R et une fo nct ion de p er form anc e

f :

I R (x) = ( R (v 1,··· ,v m) ( x ),

f ( x ))

Le rang d’une solution n’est calculé qu’avec les mesures de violation des contraintes vj

et il est ég al au nombre de p oi nts que la so lut ion co rre sp on dant e do mine (p rinc ip e du

Classement Non Dominé prop osé par Fonseca et Fleming en 19 95 [Fon sec a et al. 95],

vo ir s e c t io n 1 0 .3 . 4 . 2 ) . L a s é l e c t io n e nv ir o n n e m e nt a le p ou r l a g é né r a t i o n s u i va nt e s e f a i t

en deux ét ap es : d’ab ord, pcost ⇥ N individus sont sélectionnés en utilisant la sélection

pa r t ou rno i ba s ée sur la p e rf or ma nc e f , e n s u it e l e s a u t r e s i n d i v i d u s ( ( 1 pcost ) ⇥ N )

sont sé lec tio nné s li néa irem ent se lon leur rang R.

Po ur é vi t e r l a c o nve rg e n c e ve r s u ne s o lu t i o n i r ré a l i s a bl e , l a val e u r d e pcost est ad aptée

à chaque génération selon la prop ortion d’individus réalisables dans la p opulation

co ura nte par rapp ort à un taux de ré fér ence ⌧ . Le sch é m a de c e t t e mé th o d e e s t ré s u m é

da ns l es é ta p es s ui vant es :

1. Calculer les mesures de violation des contraintes vj p ou r to ut es le s so lu ti ons .

2. Calculer les rangs de Pareto R p ou r t out es l es s ol ut ion s e n s e b as ant s ur l es

mesures de violation.

3. Éva lu er la f on ct io n de p e rf or ma nc e f .

4. Sé l ec ti o nne r une pr op o rt io n pcost de s pa re n ts pa r t ou rno i en se ba s an t sur f et

le reste prop ortionnellement à R .

5. Appliquer les op érateurs d e croisement et de mu tation .

6. Ajuster pcost : si la prop o rtion de s individ us réali sables e st infér ieure au t aux

de ré f ér en ce ⌧ , d i m in u e r pcost : pcost (1 ✏ )pcost , s i n on a u g m e nt e r pcost :

pcost 1 (1

pcost) ( 1 ✏), où 0 < ✏ < <

1.

La métho de a été testée sur un prob lè me de conception d’un réseau d e gaz (disp

os it io n e t ty p e de s tu ya ux ) [ Su rr y et al. 95 ] et elle a donné des rés ul tat s de bon ne

qualité.

Cep endant, elle n’a pas obtenu le même degré de précision p our d’autres tests sur

de s f on ct io ns de ré f ér en ce .

11 .6 .2 M éth o de de Kamponogara et Talukdar

Kamp onogara et Talukdar [Camp onogara et al. 97 ] pr op os ent d e tra ite r le pr o-

bl è me d’ o pt im is at io n s ou s c on tr ai nt es avec un a lg or it hm e é vo lut i on na ir e m ult i -o b j ec ti f

aya nt d e u x o b j e c t i f s : l e p r e m ie r e s t l a f o n c t i o n o b j e c t i f f du pr ob lè m e et le de u xi èm e

- 333 -


est une ag rég ati on des co ntra intes :

m

⇥ ( x) =

(vj (x)) ; où vj ( x)

est ca lcu lée avec la fo rmul e 11 .3, page 315

j=1

Une fois le problème ainsi redéfini, un en s emble de solutions non dominées est construit.

Ces solutions définissent une nouvelle direction de recherche qui tend à minimiser

xi xj

tous les ob jectifs : d =

|x i x j | , où xi 2 S i et xj 2 S j ave c S i et S j sont des fronts

de P ar et o. Une re c he rche l in éa ir e e st a lo rs a ppl i qu ée da ns la di re c ti on de re che rc h e

dé fi nie pa r d da ns le but d’ e ng en dr er une m ei ll eu re s ol ut io n

y qui domine x i et x j .

Cette technique est simple à mettre en œuvre mais elle a des difficultés p our

pr és e rver la dive rs it é de la p o pul a ti on .

11 .6 .3 La M éth o de ID EA de Singh et al.

Singh et al. on prop osé en 2008 la métho de IDEA,

Infeasibility Driven Evolutionary

Algorithm [ Si ng h et al. 08]. S on idée est non se u lement de considé re r le s c ontraintes

co mme des ob je cti fs mais au ssi de ma int enir dans la p op ulat io n les me ill eure s so lut ions

irréalisables afin d’es s ayer d’appro cher l’optimum de deux c ôté s réalisable / irréalisable

de l’espace de recherche. IDEA transforme alors le problème sous contrainte en un

pr ob lè m e d’ o pt im is at io n bi - ob j ec ti f c om me s ui t :

f ( x)

M in im is er

⇥ ( x) = m

j=1 (Rj (x))

IDEA attribue à chaque solution x de la p o pul a ti on m rangs R j (x) p ou r l es m

contr aint es du pro blè me ba sés sur les me sure s de vi ola tio n v j . Pou r une c ont rainte j , le

rang 0 co rre sp ond aux so lut ions resp ec ta nt ce tte contr aint e, le rang 1 à la so lut ion ayant

la mesure de violation minimale, et les autres solutions auront des rangs ascendants

se lon les me sure s de vi ola tio n. ⇥ ( x) est al ors la so mme des ra ngs R j attribués à la

so lut ion x . Le cla sse ment d e Pare to est u tili sé en suit e par le s op ér ateu rs gé néti ques

avec le même princip e que dans la métho de NSGA-I I.

Au cours de l’étap e de remplacement, une prop ortion de la no uv e ll e p o pul a ti on

est sé lec tio nné e pa rmi les so lut ions ayant ⇥ ( x ) > 1 da ns l ’o b j ec ti f de g ar de r au c ou rs

de l ’é vol ut io n l es m ei ll eu re s s ol ut io ns i rré a li sa bl es .

Grâce à cette comp osante supplémentaire, IDEA b énéficie d’une capacité de

conve rge nce sup ér ieur e aux au tres mé tho des dans la même ca té gori e. La mé tho de a

dé m ontré une g ra nd e p e rf or ma nc e et une c on ve rg en ce ra pi de da ns l ’a pp li ca ti o n de

référence effectué e par Singh

et al. [ Si ng h et al. 09 ] su r u n p r ob l è me d ’ o p ti m i s at i o n

dy na m iq ue .

11.7 Méthodes hybrides

L’ob j ectif général de s métho des hybrides est de traiter les contraintes par d’autres

he u ris t iq ue s ou a ppr o c he s m at hé ma ti q ue s a lo rs q ue la f on ct io n ob j ec ti f e st t ou jo ur s

- 334 -

11.8 Conclusion

traitée par un algorithme évolutionnaire. On trouve dans la littérature deux appro ches

p os si bl es p o ur ré al is er c et te s ép ar ati on . L a p re miè re tr ai te l es c ont ra inte s avec d es p ro -

cé dure s d’ opti mis ati on num éri que s dé ter mini ste s, al ors qu ’avec la de uxiè me appro che,

el les sont tr ait ées par des he uris tiq ues év olu tio nnai res .

Dans la p remière approche, on cite comme exemple la métho de de M yu ng

[ M yu ng et al. 98] q u i c o mb i n e u n e t e ch n i q ue d e c a l cu l é v o lu t i o n n a i r e f o n dé e s u r l a

représentation réelle avec la métho de des multiplicateurs de Lagrange.

Comme exemple de la deuxième appro che, on cite la métho de de Leguizamon

et Co ello [ Leguizamón et al. 07 ] qu i u ti l is e l e s co l on i e s de f o ur m i s p o u r ex p l or e r le s

f ro nt iè re s du do m ai ne ré a li sa bl e. P lu si eu rs m ét ho de s ré c en te s da ns la m êm e a ppr o c he

ont été publiées pendant la dernière décennie en ma jorité décrites dans le livre

[Mezura-Montes 09].

11.8 Conclusion

Ce chapitre a présenté un ensemble de mécanismes p our la prise en compte des

contr aint es p our un pro blè me d’ opti mis ati on par les al gor ithm es év olu tio nnai res .

Les princip es de ces mécanismes varient de la simple fonction de p énalisation aux

métho des hybrides. Le choix d’une technique appropriée dép end de plusieurs critères

do nt pr in ci pa l em en t la na t ure du pr ob lè m e. P lu si eu rs q ue st io ns do i ve nt ê tr e p o sé es

da ns ce c ad re c om me :

– La fonction ob jectif est-elle définie dans le domaine irréalisable ? Si elle ne l’est

pa s , pl us ie u rs t ec hn iq ue s ne p e uve nt pa s ê tr e a ppl i qu ée s do nt une g ra nd e pa rt i e

de s m ét ho de s de p é na li sa ti o n.

– Y-a-t-il des contraintes actives au niveau de l’optimum ? Si les contraintes ne

sont pas ac tives, les mé tho des ba sée s sur la re che rche à la fronti ère du do mai ne

réalisable ne p euvent pas être choisies.

– Quel est le type de contraintes ? Par exemple, si au moins une des contraintes

est une in éga lit é non li néa ire, les mé tho des qui ne tr ait ent que les co ntra intes

linéaires sont exclues, comme la métho de GENOCOP.

– Le rapp ort entre la taille de l’espace réalisable et celle de l’espace de recherche

es t-i l trop p et it ? Si le pro blè me est so umis à des co ntra intes d’ éga lit é ou si

le rapp ort |F | / |S |

est trop p et it, il est pré fé rabl e d’ évi ter ce rta ine s mé tho des

qui ont démontré un e p erformanc e faib le p our ce type de problèmes, comme

ce rta ine s appro ches ba sée s sur la sup ér iori té des so lut ions ré ali sabl es.

D’autres critères sont au s s i pris en compte dans le choix d e la métho de, dont l’efficacité

da ns la ré s ol ut io n de s pr ob lè m es de ré f ér en ce . En e ffe t, la p e rf or ma nc e de c er ta in es

appro ches a été prouvée dans plusieurs études compara tives, ce qui p eut conduire

au choix de la technique corresp ondante. Cep endant, l’efficacité de la métho de est

souvent do miné e par deux au tre s cr itè res de sé lec tio n, que sont la co mpl exi té et la

di ffic ul té de m is e en pl a ce du m éc an is me .

- 335 -


En c on cl us io n, il n’y a pa s a ct ue ll e me nt une a ppr o c he g én ér al e p o ur la pr is e en

co mpt e des co ntra intes par les al gor ithm es évol uti onna ire s ca pab le de tr ait er tout type

de problème. Ce sujet continue à être le centre de plusieurs travaux de recherche dans

le

domaine.


[Mezura-Montes 09] : Ce livre est une colle ction d’articles sur des recherches récentes

de prise en compte des contraintes par les algorithmes évol ut ionnaires. Il

co uvr e es sen tie lle ment les mé tho des mul ti- ob je cti fs, les mé tho des hy bride s,

l’optimisation sous contraintes par les systè me s immunitaires et l’évolution

di ffé re nt ie ll e, a in si q ue d’ a ut re s é tu de s ré c en te s et de s a ppl i ca ti o ns ré e ll es .

[Ben Hamida 01] : Une thèse qui décrit, outre l’étude détaillée de la métho de ASCHEA,

une g ra nd e va ri ét é de m ét ho de s é vo lu ti o nna i re s d’ o pt im is at io n s ou s

contr aint es.

- 336 -

Chapitre 12

Techniques de modélisation et

comparaisons de méthodes

Éric D. Taillard

Professeur, HEIG-VD, Yverdon-l es-Bains, Suisse

Eric.Taillard(at)heig-vd.ch

12.1 Introduction

Au risque de décevoir le lecteur qui aura patiemment lu cet ouvrage jusqu’ici et

qui se demanderait, de façon tout à fait légitime, quelle métaheuristique il devrait

essayer d’ appl ique r en pre mie r p our le pro blè me pa rtic uli er qu ’il che rche à ré soud re,

no us s om me s o bl ig és de c on fe ss e r q ue no us ne s au ri on s lui re c om ma nd er t el le ou

telle technique. Nous avons vu que les maigres résultats théoriques connus sur les

méta- heuristiques ne sont d’aucune utilité pratique. En effet, ces théorèmes affirment

que, p our ê tre (presque) sûr de trouver l’optimum, il faut examiner un nombre de

so lut ions sup ér ieur au no mbre to tal de so lut ions du pro blè me. En d’ autr es te rme s,

ils recommandent l’usage d’une mé thode e xac te si l’on désire absolument obtenir un

optimum global (La Palice n ’es t pas loin !). Par contre, nous allons essayer dans ce

ch ap i t r e d e d on n e r d es l i gn e s d i re c t r i c es p ou r é la b o re r u n e m é t ho d e h e ur i s t i q ue b a s ée

sur ce rta ins des pri nci p es exp os és plus ha ut.

Au niveau métho dologique, ce qui es t le plus imp ortant p our résoudre un problème

est d’ util ise r une mo dé lisa ti on ad équ ate , no tam ment de se p os er la qu est ion s’il faut

ab order le problème sous l’angle de l’optimi sation, de la classi fication ou du multicritère.

Le choix d’une b onne mo délisation est essentiellement intuitif, mais on p eut tenter

de dé g ag e r c er ta in s pr in ci p es g én ér au x. Le pr em i er é ta nt , c om me dit l ’a da ge , diviser

pour régner. La première p artie de ce chapitre se ra donc con sacrée aux m étho des de

dé c om p o si ti on , q ue ce s oi t la dé c om p o si ti on d’ un pr ob lè m e c om pl ex e en une s ér ie de

337

Chapitre 12 – Techniques de mo délisation et comp araisons de métho des

so us- probl ème s plus si mple s ou la dé com p os iti on d’un pro blè me de gr ande ta ill e en

so us- probl ème s plus p et its .

Une fois la mo délisation choisie, il f aut évaluer s’il est p ossible de constru ire heuristiquement

des solutions qui p ourraient être a priori de q ua li té a cc e pt ab le , c ’e st -à - di re ,

si des ch oix gl out ons p our la co nst ruct ion d’une so lut ion se mble nt s’ imp os er. Si c’ est

le cas, l’implantation d’une technique de type GRASP p eut être recommandée, en

pa rt i cu li er p o ur un dé b ut an t, c ar l es c ol on ie s de f ou rm is a rt ifi ci el le s s on t pl us dé l ic at e s

à par am étr er . Dan s le c as c ontra ire , il f aut p lu tôt s ’o ri enter vers d es t echni que s de

recherche lo cale. Le recuit simulé ou la recherche avec tab ous sont alors recommanda

bl e s, de m êm e q ue la re c he rche à v oi si na g e va ri ab le , no t am me nt en ra i so n de s on

f ai bl e no mbre de pa ra m èt re s.

Lorsque les techniques de recherche lo cale se fo calisent trop rapidement vers des

optimums lo caux de mauvaise qualité, il convient de les hybrider avec une couche

d’ a ppr e nt is sa ge , p o ur ab o ut ir à ce q ui e st a pp e lé programmation à mémoire adaptative.

Pa rm i le s mé t h o de s à m é m o ir e ad a p t a ti ve , un e de s pl u s si m p l es à im p la nt e r es t

ce rta ine ment une GR ASP avec ch emi n de li ais on.

Finalement, la mise au p oint d’un algorithme basé sur les métaheuristiques né cessite

d’a j us te r de s pa ra m èt re s et de f ai re de s cho i x sur c er ta in es o pt io ns a lg or it hm iq ue s .

Dans la seconde partie de ce chapitre, nous nous p encherons sur quelques techniques

de c om pa ra is o ns d’ he ur is t iq ue s i té ra ti ve s.

Comme p our la recherche avec tab ous, nous allons illustrer nos prop os à l’aide

d’ un pr ob lè m e pa rt i cu li er d’ o pt im is at io n , c el ui de l ’é la b o ra ti on de t ou rné e s de vé hi -

cu les . Par so uci de si mpli cit é, nous nous li mit eron s à une ve rsi on très si mple de ce

pr ob lè m e, c on nu s ou s le no m de Vehicle Routing Problem (VRP) dans la littérature

anglo- saxonne, ainsi qu’à un de ses sous-problèmes, le voyageur d e commerce, et une

de s es e xt en si o ns , le pr ob lè m e de lo c al is at i on -r ou ta g e.

Problème d’élab oration de tournées de véhicules. Un problème académique,

qui constitue une simplification de problème s réels d’élab oration de tournées de véhi

c ul es , p e ut ê tr e dé c ri t c om me s ui t : un e ns em bl e no n l im it é de v éh ic ul es p o uva nt

transp orter un volume V de m ar ch and is e s do i ve nt l iv re r n co mma ndes de bi ens chez

de s c li en ts à pa rt i r d’ un dé p ôt un iq ue de m an iè re à m ini m is er la di s ta nc e t ot al e

qu’ils parcourent. Chaque commande i (ou client, par abus d e langage) a un volume

vi (i = 1 , . . . , n) et on co nna ît les di sta nce s di rect es dij entre les cl ients i et j

( i, j = 0 , . . . , n), 0 repré se ntant l e dé pôt. L es véhicu le s eff ec tuent de s to ur né es T k ,

( k = 1, 2, . . . ), qu i p a r t e nt d u dé p ô t e t q u i y r e v ie n n e nt . U n e va r i a nte d e c e p r o b l è m e

imp ose de plus que la longueur des tournées soit b ornée sup érieu re ment par une valeur

L do nn é e. La fig ur e 1 2. 1 i ll us tr e l ’a ll ur e d’ un e s ol ut io n sur un e xe mp le de pr ob lè m e

eu cli die n de la li tté rat ure [ Christofides et al. 79] ave c 7 5 c l ie nt s ( c e rc l e s , d on t la s u r f ac e

est prop or tio nnel le au vo lum e de mand é) et un dép ôt (d isq ue no ir, dont la sur fac e est

pr op o rt io n ne ll e au vo lu me de s v éh ic ul es ) .

Une solution de ce problème p eut donc être vu e comme une partition de l’ensemble

de s c li en ts en un c er ta in no m bre de s ou s- en se mb le s o rdo n né s, l ’o rd re dé fi nis s an t la

sé que nce dans la que lle ch aqu e vé hic ule rend vi sit e aux cl ients co nst itua nt sa to urné e.

Le problè me d’élab oration de tournées de véhicules contient comme sous-problème

- 338 -

12.2 Métho des de décomp osition

ce lui du voyag eur de co mme rce . En effet, co nna issa nt un so us- ense mbl e de cl ien ts à

de s se rv ir da ns la m êm e t ou rné e , il s ’a gi t de t ro uver c el le do nt la l on gu eu r e st la pl us

p etite. Inversement, le problème d’élab oration de tournées de véhicules est un souspr

ob lè m e de c el ui de localisation-routage da ns l eq ue l il f au t dé t er mi ne r s imul t an ém en t

l’emplacement des dép ôts (l’ouverture d ’un dép ôt ayant un certain coût) et les tourné es

de s v éh ic ul es , ce q ui s ig ni fie de c ho is ir , p o ur c ha qu e t ou rné e , le dé p ôt a uq ue l e ll e s er a

rattachée .

Figure 12.1 – Meilleure solution connue d’un p etit problème académique de distribution de

biens avec 75 clients. Il n’est pas encore prouvé que cette solution soit optimale.

12.2 Méthodes de décomposition

12 .2 .1 Dé co mp os it io n en c haî ne

Le premier ré fl e xe que l’on a lorsqu’on doit résoudre un problème complexe est de

dé c om p os er ce pr ob lè m e en une s uc ce ss io n de s ou s- pr ob lè me s pl us s im pl es . D an s le

cas du pro blè me de lo ca lis ati on- rout ag e, on p eut tout d’ab ord ch ercher des gr oup es de

cl ients pro ches les uns des au tres et te ls que la so mme des vo lum es ne dé pass e pas

ce lui d’un vé hic ule . Une fo is ces so us- ense mbles dé ter miné s, par ex emp le en ré sol vant

un pr ob lè m e de la p-m édi ane avec ca pac ité , on p eut co nst ruire une to urné e pour

ch aq u e g r o u p e, l e s c e nt r e s d u p ro b l è m e d e l a p-m édi ane ét ant des p os iti ons où il est

p os si bl e d ’o uv rir u n d ép ô t. F in al eme nt , o n li mi te l e n omb re e t p ar c ons éq ue nt l es

co ûts d’ ouve rture des dép ôts en ra tta cha nt pl usie urs to urné es au même dép ôt.

Cette technique est illustrée en figure 12.2 p our un ensemble de clients situés entre

la Corse et la Sardaigne.

- 339 -


(a)

(b)

Figure 12.2 – Décomp osition d’un problème de lo calisatio n-routage en une succ ession de

problèmes plus simples. On commence par résoudre un problème de la p -médiane p our identifier

des group es de clients qu’il serait logique de placer sur une même tournée. Ensuite, on limite le

coût d’ouv erture des dép ôts en rattachant plusieurs tournées au même dép ôt.

- 340 -


Po ur u n m êm e p r o b lè m e , l a s u c c es s i o n d e s o u s -p r o b l è m es p eu t var i er . Pa r e x e m p l e,

p ou r c el ui d e l oc al is at ion -r ou ta ge, p lu tô t q ue d ’avo ir l a s uc ce ss io n p-m édi ane !

voya ge u r d e c om m e r c e ! pl a ce me nt de dé p ô ts , on a ura i t pu ré s ou dre un pr ob lè m e

de p-m édi ane avec un no mbre de ce ntr es co rre sp on dant à ce lui des dép ôts à ou vrir et,

p ou r ch aq ue g rou p e de c li ents ra tt aché a u mê me c ent re- dé p ôt , r éso ud re u n p ro blè me

d’ é la bo ra ti o n de t ou rné e s de v éh ic ul es .

Toujo urs p our l e mêm e pro blè me, p lut ôt qu e de ré sou dre u n pro blè me de

p -m édi ane , d’ autr es au teu rs ont pro pos é de tr ouver une to urné e de voya ge ur de

co mme rce sur l’ ense mble des cl ien ts, de dé com p os er en suit e ce tte to urné e par pro gra m-

mation dynamique en tronçons dont le volume est compatible avec celui des véhicules,

p ou r fin al eme nt r és ou dre un p ro bl ème de p-m édi ane p our lo ca lis er les dép ôt s.

Cette technique de décomp osition en chaîne est naturellement heuristique. Elle

n’ e st pa s f or cé me nt a ppl i ca bl e e ffic ac e me nt à t ou s l es pr ob lè m es et né c es si t e, de la pa rt

de s on c on ce pt e ur, une b o nne i nt ui ti on sur ce q ue p e uve nt ê tr e l es c ar ac té r is ti qu es de

b on ne s s ol ut ion s.

12 .2 .2 Dé co mp os it io n en so us -p rob lè me s de p et it e ta il le

Lorsqu’on doit résoudre des problèmes de grande taille, u n réflexe naturel est de

pro céder par décomp osition en sous-problèmes indép endants. Ces derniers p euvent

en suit e être ré sol us au moyen d’une pro cé dure ap prop riée . De ce tte ma niè re, les

pr ob lè m es de g ra nd e t ai ll e p e uv ent ê tr e a ppr o c hé s de m an iè re p e rt in en te , c ar la

co mpl exi té gl oba le de la mé tho de cr oît très fa ibl eme nt, ty piq ueme nt en O (n ) ou

O ( n log( n)) , si n est la ta ill e du pro blè me.

Cep endant, si l’on pro cède à une décomp osition du problème a priori, i l y a de

f or te s c ha nc es p o ur q ue l es s ol ut io ns a in si o bt en ue s s oi en t de pi è tr e q ua li té , c ar l es

so us- probl ème s ont été cr éés plus ou mo ins ar bitr aire me nt. En effet, il n’ est pas aisé de

dé c om p o se r de m an iè re c onv en ab le un pr ob lè m e s an s av oi r une int ui ti on sur la s tr uc tu re

des b onnes solutions. L’idée à la base de POPMUSIC est d’optimiser lo calement des

pa rt i es d’ un e s ol ut io n a posteriori, lorsqu’un e solution globale est con nue .

Ces optimisations lo cales p euvent être rép étées jusqu’à ce qu’un optimum lo cal

— relativement à un voisinage très sp écial — soit obtenu. Ce qui est app elé ici

POPMUSIC, l’abrévi ation de “Partial optimiz ation meta-heuristic under sp ecial intensi

fica tio n co ndit io ns” [ Tail lar d et al. 02 ] a été pro p osé par d ’autr es aute urs sou s une

f or me l ég èr em e nt di ffé re nt e, pa rf o is m oi ns g én ér al e , et s ou s d’ a ut re s dé n om in at io ns ,

co mme LOPT (Lo cal op timi za tio ns [Tai lla rd 03 a]) , LNS (L arg e sc ale ne ighb ourh o o d

[ Shaw 98]), shuffle, MIMAUSA [

M au to r et al. 97], VNDS [Hansen et al. 99 ], recherche

ave c t a b o u s hy b r i d é e ave c u n e t e ch n i q ue d e b r a nch e m e nt e t é val u a t i o n, e t c.

P lu s ré c em me nt, on c on st at e q u’ un b on no m bre de m ét ho de s de m at he ur is ti qu es

partagent de fortes similarités avec POPMUSIC. L’avantage de cette technique est de

n’av oi r q u’ un s eu l pa ra m èt re , c on di ti on na nt la t ai ll e de s s ou s- pr ob lè me s à ré s ou dre .

Pa r c o n s éq u e nt , s i l ’o n di s p os e d’ u n e mé t h o d e de r é so l u t io n e ffic a c e p o u r l e s so u s -

pr ob lè m es , jusqu’à une tail le donnée, un e b onne valeu r p our l’uni que paramè tre de

POPMUSIC est évidente à fixer.

- 341 -


Po ur b i e n d e s p ro b l è m es d ’ o p t im i s a t io n c o mb i na t o i r e, u n e s o l u ti o n S p eu t ê tr e

représentée par un ens emble de parties s1 , . . . , sp . Pour le problè me d’é lab oration de

tournées de véhicules une partie p eut corresp ondre, par exemple, à une tournée. Les

relations qui existent entre chaque paire de parties sont variables. Ainsi, deux tournées

co mp or tant des cl ients pro ches les uns des au tres au ront une inte rac tio n plus fo rte

que deux tournées situées géographiquement de part et d’autre du dép ôt.

L’idée fondatrice de POPMUSIC est de construire un sous-problème avec une

partie-germe s i et un ce rta in nombre r < p de pa rt i es s i1 , . . . , s ir qui sont sp éciale me nt

en re lat ion avec la pa rtie -g erme s i . Ces r pa rt i es f or me nt un s ou s- pr ob lè me R i , plus

p et it q ue l e pr ob lè me i nit ia l, q u’i l es t p os si bl e d e r és ou dre ave c u ne m ét ho de ad hoc. S i

à cha qu e a m é li o r at i o n du so u s- p r ob l è m e R i co rre sp o nd une am éli ora tio n du pro blè me

co mpl et, on p eut ai nsi dé finir la tr ame d’une re che rche lo ca le re lat ive à un vo isi nag e

co nsi sta nt à op timi ser des so us- probl ème s. Ai nsi, en mé mori san t dans un en sem ble

O les parties qui ont servi de germe p our construire un sous-problème dont on n’a

pa s ré us s i à a mé li or er la s ol ut io n ( qu i s on t do nc “ op ti ma le s ”) , on s ai t q ue l ’o n p e ut

s’ arrê ter dès que O conti ent les p pa rt i es q ui c on st it ue nt la s ol ut io n c om pl èt e . On

ab outit ainsi à une métho de d’améli oration qui est paramétrée par r , le nombre de

pa rt i es c on st it ua nt un s ou s- pr ob lè me .

POPMUSIC( r

)

1. Ent ré e : So l ut io n S co mp os ée de pa rtie s s1, . . . , sp

2. Po se r O = ;

3. Tant q ue O 6= { s1 , . . . , sp } rép éter

(a) Sé l ec ti o nne r si /2 O

(b) Créer un sous-problème Ri co mp osé des r pa rt i es s i1 , . . . , sir les plus en

relation avec s i

(c) Optimiser Ri

(d) Si Ri a été amélioré, p oser O O \{ s i1 , . . . , } sir , mettre S à jour (ainsi que

l’ensemble des parties).

Si no n, p o se r O O [ { s i }

Cette technique corresp ond tout à fait à une méthode d’améli oration, qui, partant

d’ un e s ol ut io n i ni ti al e, s ’a rr êt e dè s q u’ un o pt imum lo c al , re l at ive me nt à un vo is i-

nage de très grande taille, est obtenu. C’est p ourquoi cette méthode a été app elée

LOPT dans [ Tail lar d 03a] et L NS da ns [ Shaw 98]. Lorsque la pro cédure d’optimisation

(étap e 3c) est une métho de exacte, on a une matheuristique.

En e ffe t, la s tr uc tu re du vo is in ag e a in si c on st ru it e c on ti ent t ou te s l es s ol ut io ns

s 0 qui diffèrent de

s se ule ment par le so us- probl ème R i , i = 1, . . . , p , c e q u i si g n i fi e

que la taille du voisinage est définie par le nombre de solutions contenues dans les

so us- probl ème s. Ce no mbre est na ture lle men t très gr and et cr oît exp on ent iel leme nt

ave c l e p a r a m èt r e r (on p eut remarquer que p our r = p, le sous -prob lème en gendr é

est le pro blè me co mpl et) .

- 342 -


Parties. Lorsque l’on désire procéd e r à l’intensification d’une recherche à l’aide

d’une technique de type POPMUSIC, il faut tout d’ab ord définir ce qu’est une partie

d’ un e s ol ut io n. D an s le c as du pr ob lè m e d’ é la b o ra ti on de t ou rné e s de v éh ic ul es , une

tournée (c’est-à-dire l’e n s emble des clients desservis par un même véhicule) p eut très

bien définir une partie. Cette appro che a par exemple été utilisée dans [ Tail lar d 93,

Ro chat et al. 94

, Ro chat et al. 95

]. On p eut au s s i envisager de consid é re r chaque client

co mme une pa rtie , ai nsi que l’a fa it [ Shaw 98]. Si l’exemple de problème comprend

un no mbre re l at ive me nt é le vé de t ou rné e s, c on si dé re r une de c el le s- c i c om me une

pa rt i e pr és e nt e l ’a va nt ag e q ue l es s ou s- pr ob lè me s dé fi nis à l ’i nt ér ie ur de la t ra me de

POPMUSIC sont des problèmes d’élab oration de tournées qui p euvent être résolus

co mpl ète ment in dép en damm ent.

Partie-germe. Le second p oint non sp écifié précisément dans le pseudo-co de de

POPMUSIC est la manière dont la partie-germe est sélec tionnée. La p olitique la plus

si mple est de la ch ois ir sy sté mat iqu eme nt au ha sard . Une au tre p os sibi lit é est de gé rer

les parties en pile et d e tenter des optimisations en p riorité où il y a eu des mo difications

da ns la s ol ut io n. D an s le c as d’ un e o pt im is at io n pa ra l lè le de s s ou s- pr ob lè me s, on a ura

intérêt à sélectionner des parties -ge rme s aussi distantes les unes des autres que poss ible

afin de minimiser les interactions qui p ourraient exister entre les sous-problèmes.

Relations entre parties. La définition des relations qui existe nt entre les d iff

é rentes

parties est le troisième p oint laissé ouvert dans la trame de POPMUSIC. Dans certains

ca s, ce tte re lat ion est fa cil e à dé finir. Par ex emp le, dans le cas où les pa rtie s sont les

cl ients d’un pro blè me d’ éla b or ati on de to urné es, la di sta nce en tre ch aqu e pa ire de cl ien ts

est une do nnée du pro blè me et co nvi endr a pa rfa ite ment p our me sure r la pro xim ité

entre deux pa rtie s. Pour ce même pro blè me, si une to urné e est co nsi déré e co mme

une pa rt i e, la no t io n de pr ox i mi té p e ut ê tr e pl us dé l ic at e à dé fi nir . D an s [ Tail lar d 93,

Ro chat et al. 95

], qui traitent d e problèmes euclidiens, cette proximité est mesurée

co mme s’il s’ agi ssa it du centre de gr avi té des to urné es, la qu ant ité de mand ée par

ch aq u e cl i e nt é t a nt i nt e r p r ét é e c o m m e u n e m a s s e . L a fi g u r e 1 2 . 3 i l l u st r e l e p ri n c i p e d e

cr éat ion d’un so us- probl ème à pa rtir d’une to urné e-g erm e. Dans [Alvim et al. 12 ], la

prox im it é de 2 t ou rné e s e st m es ur ée pa r la di s ta nc e m ini m al e s ép ar ant de u x c li en ts

appartenant à chacune des tournées.

Pro cédure d’optimisation. Finalement, le quatrièm e p oint non sp écifié dans la

trame de POPMUSIC est la procédure utilisée pour optimiser les sous-problèmes.

Dans [ Tail lar d 93, Ro chat et al. 95

], cette procédure est une recherche avec tab ous relativement

sommaire. [ Shaw 98] ut i l is e u n e m ét h o d e ex a c t e ba s é e s ur l a p r og r a mm a t i on

pa r c ont ra in te s, ce q ui en f ai t une m at he ur is ti qu e.

Complexité de POPMUSIC. Un asp ect essentiel dans l’appro che de problèmes

de g ra nd e t ai ll e e st la c om pl ex i té a lg or it hm iq ue de la m ét ho de de ré s ol ut io n. En e ffe t,

il n’est guère envisageable d’utiliser un algorithme en O (n 2 ) p o ur u n p rob lè me do nt l a

taille dépasse la c entaine d e milliers ou un algorith me en O (n 3 ) si la ta ill e dé pass e le

- 343 -


millier. Empiriquement, POPMUSIC rép ète les op érations 3a à 3d un nombre de fois

qui croît quasi linéairement en fonction de la taille du problème. La partie de man dant

le plus gros effort de c alc ul est l’optimisation des sous-problèmes (étap e 3c). Pour une

val e ur do nn é e d u p ar am è tr e r, cha c u ne d e c e s o p t im i s a ti o n s p r en d u n t e m p s co n s t ant .

Cela signifie qu’avec des structures de donn ées appropriées p our la réalisation en temps

co nst ant des op ér ati ons 3a, 3b et 3d, on p eut op tim iser une so lut ion do nnée en un

temps quasi linéaire.

Figure 12.3 – Exemple de définition d’un sous -problème où la partie (to urnée)-ge rme est

représe ntée par une ligne épaisse, les tournées les plus en relation avec la tour née-germe par des

lignes moyennes et les tournées qui ne sont pas cons idérées dans l’optimisation d’un sous -problème

par des lignes de traits. Les trajets en partance du dép ôt et ceux y reto urnant ne sont pas dess inés,

par souci de clarté.

- 344 -

12.3 Mo délisation du problème

Figure 12.4 – Complexité empirique de POPMUSIC p our une adaptation au problème de

lo calisatio n-routage. Le temps de cons truction de la solution initiale croît plus rapidement que le

temps de l’optimisation des sous-problèmes, qui semble quasi linéaire mais qui reste prép ondérant

lorsqu’on a moins que 2 millions de clients.

La plus grosse difficulté dans une appro che de type POPMUSIC est donc de réussir

à co n s t r ui r e u n e s ol u t i o n in i t i a le d e q u a l it é a c c e pt a b l e ave c u n e ff o rt d e c a l c ul m o i n d re

que O(n 2 ). Dans [ Alvim et al. 12 ], on trouvera une te chnique basée sur la résolu tion

de pr ob lè m es de la p -m édi ane p our gé nér er en O (n 3/ 2

) une s ol ut io n a cc e pt ab le à un

pr ob lè m e de lo c al is at i on -r ou ta g e. La fig ur e 1 2. 4 i ll us tr e l ’é vo lu ti o n du t em ps de c al cu l

en fo nct ion de la ta ill e du pro blè me p our les ét ap es de co nst ruct ion d’une so lut ion

initiale et son amélio ration avec la trame POPMUSIC, les sous-problèmes étant des

pr ob lè m es d’ é la b o ra ti on de t ou rné e s de v éh ic ul es m ult i dé pô ts q ui s on t ré s ol us pa r une

reche rche avec tab ous de base. Dans cette figure, on remarque bien que la construction

d’ un e s ol ut io n i ni ti al e e st d’ un e c om pl ex i té pl us é le vé e q ue s on a mé li or at i on , m êm e si

l’effort de calcul p our la construction reste négligeable p our des problèmes de moins

de 2 m il li on s de c li en ts .

12.3 Modélisation du problème

Un élément-clé pou r résoudre avec su c c è s un problème es t de le mo déliser de

manière adéquate. Tout d’ab ord, il faut préciser ce qu’est l’ensemble de définition S

de s s ol ut io ns a dm is si bl es : en e ffe t, il p e ut a rri ver q ue c et e ns em bl e s oi t t rè s “ dé ch iq ue t é”

c’ est -à- dir e que, sans la dé finit ion d’un vo isi nag e p ot ent iel lem ent très la rge , il soit

imp ossible de générer toutes les solutions admissible s, ou plus précisément qu’il ne soit

- 345 -


pa s p o ss ib le d’ a rri v er à une s ol ut io n o pt im al e en pa rt a nt d’ un e s ol ut io n q ue lc on q ue .

Dans ce cas, p our éviter que le vois in age ne soit gigantesque p our certaines solution s

(et donc qu’une itération n é c e ssite un temps de calcul prohibitif ), alors que ce voisinage

se rai t ré duit p our des so lut ions avec une ma jo rit é de co ntra intes sa turé es, on ét end le

do m ai ne de dé fi nit i on de s s ol ut io ns a dm is si bl es t ou t en p é na li sa nt l es s ol ut io ns v io la nt

de s c on tr ai nt es du pr ob lè m e i ni ti al . On mo di fie ra do nc le pr ob lè m e a in si :

min

f ( s) + p( s)

s2S

étendu

où S ⇢ S étendu , p (s) = 0 p ou r s 2 S, et p( s) > 0 si s /2 S . Cette technique de

p én al is ati on , in sp ir ée d e l a r ela xa tio n l ag ran gi enn e, e st t rè s ut il e p o ur d es ap pl ic ati on s

où le seu l fait de trouver une solution admissible est déjà problématique, par exemple

la confection d’horaires scolaires, p our lesquels la diversité des contraintes à prendre

en co nsi déra tio n est im pres sio nnante. Un au tre cas de figure où une te lle mo dé lisa ti on

s’ imp ose est lo rsq u’on a un ob je cti f de type min max, s o i t l o rs q u ’ o n ch e r c he à m i n i m i s e r

un m ax im um , pa r e xe mp le m ini m is er la pl us l on gu e t ou rné e .

Po ur l e p ro b l è m e d ’ é la b o ra t i o n d e t o u r né e s d e vé h i c u le s d on n é e n e x e m p l e , o n p e u t

fix e r a priori le nombre de véhicules et accepte r des solutions où certain s clients ne

f ont pa rt i e d’ a uc un e t ou rné e , m ai s av ec u ne p é na li sa ti o n. De c et te f aç on , la c ré at io n

d’ un e s ol ut io n a dm is si bl e ( ma is no n ré a li sa bl e) e st t ri vi al e. La va le ur de la p é na li té

de no n l iv ra is on d’ un e c om ma nd e p e ut ê tr e s im pl em en t le c oû t d’ un a ll er -r et o ur du

dé p ôt v er s le c li en t.

On p eut aussi mo difier les p énalités en c ours de recherche : si, p endant les dernière s

itérations, une contrainte a été systématiqueme nt violée, on augme nte la p énalité qui

lui est asso ciée ; si au contraire elle n’a jamais été violée, on p eut diminuer son p oids.

Cette technique a notamment été utilisée dans le cadre de l’élab oration de tournées

de v éh ic ul es [ Gendreau et al. 94]. Elle est particulièrement bien adaptée au cas où

l’on ne relaxe qu’une contrainte, car si plusieurs de ces dernières sont intro duites

simul tané men t dans l’ob je cti f, on co urt le ris que de ne vi sit er que des so lut ions non

admissibles. En effet, les différents p oids asso ciés aux contraintes p ourraient varier en

opp osition de phase, de sorte qu’il y en ait toujours au moins une de violée.

Un problème n’est pas forcément facile à mo déliser car le choix de la fonction à

minimiser et de la fonction de p énalité p eut être délicat. En particulier, ces fonctions

de v ro nt pr en dr e un no m bre de va le ur s di ffé re nt es a us si g ra nd q ue p o ss ib le sur l eu r

do m ai ne de dé fi nit i on p o ur q ue la re c he rche pu is se ê tr e p e rt in em me nt di ri g ée : c om me nt

p ou rr ai t-o n en e ffe t d éc id er q uel m ou ve me nt cho is ir l ors qu ’i l e xi ste u n gr an d n omb re

de s ol ut io ns v oi si ne s de c oû t i de nt iq ue ? Po ur y re m éd ie r, on c ho is ira pa r e xe mp le , p o ur

la fonction de p énalité, un indicateur de l’imp ortance des violations des contraintes

pl ut ô t q u’ un c om pt eu r du no m bre de c ont ra in te s v io lé e s. Le but de l ’i nt ro du ct io n de s

p én al it és e st e n q ue lqu e so rt e d e “ li ss er” la f on ct ion o b j ec ti f p o ur d im inu er l e no mb re

d’ o pt imums lo c au x.

Cette dernière remarque implique que l’on a supp osé a priori que l’on fera usage

d’ un e re c he rche lo c al e. Or, l es a lg or it hm es é vo lu tio nna i re s ou l es c ol on ie s de f ou rm is

artificielles, du moin s dans leurs versions les plus éléme ntaires, ne font pas référence à

une recherche lo cale. Cep endant, il faut noter que pratiquement toutes les implantations

- 346 -

12.4 Gestion de p opulation et programmation à mémoire adaptative

effica ce s in spiré es des pri nci p es prop os és dans ces mé tah euri sti que s in corp ore nt une

reche rche lo cale, ne fût-ce qu’une méthode d’amélioration. On observe donc une sorte

d’ un if o rm is at io n de di v er se s m ét ah eu ri st iq ue s , q ui p e uv ent a lo rs ê tr e dé c ri te s pa r une

trame plus générale, la programmation à mémoire adaptative.

12.4 Gestion de population et programmation à

mémoire adaptative

En o bs er va nt l ’é vo lu ti o n ré c en te de s a lg or it hm es évo lu ti on na ir es , de la re c he rche

pa r di s p e rs io n ou de s c ol on ie s de f ou rm is a rt ifi ci el le s , on se re nd c om pt e q ue t ou te s

ces te chn ique s se mble nt te ndre vers la même tr ame , qui a été app el ée Programmation

à mémoire adaptative [Taillard 98, Taillard et al. 98]. Cette trame est la suivante :

Métho de à mémoire adaptative

1. Initialiser la mémoire

2. Rép éter, tant qu’un critère d’arrêt n ’est pas satisfait :

(a) Construire une nouvelle solution en s’aidant de la mémoire

(b) Améliorer la solution à l’aide d’une recherche lo cale

(c) M et tr e à j ou r la m ém oi re av ec l es i nf or ma ti on s a pp o rt ée s pa r la no uv e ll e

so lut ion

M ai nt en an t q ue la t ra me e st p o sé e, on p e ut j us ti fie r p o urq u oi di v ers es m ét ah eu ri st iq ue s

la

suivent.

12 .4 .1 A lgo ri th me s év ol uti on na ire s ou m im éti qu es

Po ur l e s a l g o ri t h m e s é vo l u t io n n a i r es , o n p e ut c o n si d é r e r q u e l a p op u l a ti o n d e s o l u -

tions est une mémoire. En effet, de génération en génération, certaines caractéristiques

de s s ol ut io ns — on e sp è re q u’ il s ’a gi t de s m ei ll eu re s — se re t ro uv ent et s ’a mé li o re nt .

Les implantations récentes et efficaces d’algorithme s évolutionnaires font de plus en

pl us a bs tr ac ti o n de la m ét ap ho re de la “mut a ti on a lé at o ir e” da ns l ’i mp la nt at io n de

l’op érateur de mutation.

Au lieu d’eff

ectuer un certain nombre de mo difications lo cales e t aléatoires d e la

solution obtenue après croisement, un optimum lo cal est recherché. Il est évidemment

p os si bl e d ’e xé cu ter u ne r ech erch e pl us ap pr of on die a u m oye n d ’u ne r ech er ch e ave c

tab ous ou d’un recuit simulé. Dans la littérature, ce type de méthode est app elé

“a lgo rit hme gé nét iqu e hybride” ou en cor e “a lgo rit hme mi mét ique ” [M osc ato 99 ].

Un autre élément-clé des algorithmes mimé tique s est une gestion “intelligente” de

la p opulation. Une p opulation de faible taille implique une convergence rapide d’un

algorithme génétique. C’est à la fois un avantage — on p erd p eu de temps à générer des

so lut ions de très mauvaise qu ali té — et un in convén ient — la so lut ion vers la que lle on

conve rge n’ est pas très b o nne . Pour al lie r les avan tag es d’une p op ulat io n de fa ibl e ta ill e

à ceux d’une vaste p opulation, il a été prop osé de fractionner une grande p opulation

en îl ots qui vont év olu er in dép en damm ent p en dant un ce rta in te mps . Pé rio diq ueme nt,

- 347 -


un ou pl us ie u rs i ndi v id us d’ un î lo t, pa rm i l es m ei ll eu rs , vo nt m ig re r v er s un a ut re î lo t,

ce qui p er met d’ app or ter un sang no uve au et év ite ou re tard e fo rte men t la conver gen ce

de la p o pul a ti on g lo ba le .

12 .4 .2 Re ch er che par di sp er si on

La recherche par dispersion ( scatter search

da ns la l it té ra tu re a ng lo -s a xo nn e) e st

pr es q ue a us si a nc ie nn e q ue l es a lg or it hm es g én ét iq ue s , pu is q u’ el le a é té dé c ri te , t ou t

à fa i t in dé p e nd a mm ent , en 1 9 77 d éj à [Glover 77 ]. Ce n’est qu’à la fin des années

1990 qu’elle s’est répandue dans la commun au té académique. On p eut appréhend e r la

recherche par disp ersion comme un algorithme évolutionnaire sp écial pré sentant les

pa rt i cu la ri té s s ui va nt es :

1. Les vecteurs binaires sont remplacés par des vecteurs d’entiers.

2. L’op érateur de sélection p our la repro duction p eut élire plus de deux solutionspa

re nt s.

3. L’op érateur de croisement est remplacé par une combinais on linéaire convexe

ou non convexe de vecteurs.

4. L’op érateur de mutation est remplacé par un op érateur de réparation ou de

pro j ec ti o n q ui ra m èn e la s ol ut io n no uve ll em en t c ré ée da ns l ’e sp ac e de s s ol ut io ns

admissibles.

Ces particularités p euvent également être considérées comme des généra lisations des

algorithmes évol ut ionnaires, qui ont été prop osées et exploitées ultérieurement par

dive rs a ut eu rs , en pa rt i cu li er [ Mü hl en be in et al. 88] :

1. L’usage d’op érateurs de croisement différents de l’é change de b its ou de sous-

ch aî n e s .

2. L’application d’une reche rche locale p our améliorer la qualité des solutions

pro du it e s pa r l ’o p ér at eu r de c ro is em en t.

3. L’usage de plus de deux parents p our créer l’enfant.

4. La sub division de la p opulation à l’aide de mé th odes de classification automatique

en lieu et place d’un op érateur d’élimination élémentaire.

Dans la recherche par disp ersion, la pro duction de nouveaux individus à p artir de

so lut ions de la p op ulat io n est une gé nér ali sat ion du cr ois eme nt dans les al gor ithm es

évol uti onna ire s. Les al gor ithm es gé nét iqu es “p urs” ne co nsi dère nt les so lut ions d’un

exemple de problème donné que sous la forme de chaînes de bits de longueur fixée. Il

est s o uve nt p eu na ture l de co der une so lut ion sous la fo rme d’un ve ct eur bi nair e et,

suivant le sc hém a de co dage ch ois i, un al gor ithm e gé nét iqu e p eut pro duire des ré sult ats

très différents, ce qui n’est pas vraiment souhaitable. Dans les vers ions initiales des

algorithmes génétiques, le p oint-clé était de choisir un b on schéma de co dage, les

autres op érateurs faisant partie d’un ensemble standard . La recherche par disp ersion

recommande au contraire de co der les solutions de manière naturelle, ce qui implique

de c on ce v oi r de s op é ra te ur s de “ cr oi se me n t” ( gé né ra t io n de no uv e ll es s ol ut io ns à pa rt i r

de c el le s de la p o pul a ti on ) f or te me nt dé p e nd an ts du pr ob lè m e à ré s ou dre .

- 348 -


Comme le croisement de solutions représentées de façon naturelle ne p ermet pas

f or cé me nt d’ a b o ut ir à une s ol ut io n ré a li sa bl e, il c on vi ent de l es ré pa r er et de l es

améliorer à l’aide d’autres op érateurs. Dans la recherche par disp ersion, on essaie

do nc de g ér er au m ie ux une p o pul a ti on de s ol ut io ns en m ai nt en ant un ensemble de

réf ére nce co mp osé d’une part des me ill eure s so lut ions tr ouvé es par la reche rche (l es

so lut ions -él ite s) et d’ autr e part des so lut ions au ssi disp er sée s que p os sibl e dans l’ espa ce

de s s ol ut io ns . La t ra me de la re c he rche pa r di s p e rs io n e st la s ui vante :

1. Générer une p opulation de solutions aussi disp ersée que p ossible. Initialement,

les solutions ne sont pas forcément réalisables, mais elles sont réparées et

améliorées au moyen d’un op érateur ad-hoc.

2. Tant q ue la p o pul ati on se mo d ifie , rép éter

(a) E xt ra ir e de la p o pul a ti on un no uv e l e ns emble de ré f ér en ce c om p o sé de

quelques s olu tion s-élites et de solutions aussi différentes que p ossible des

so lut ions -él ite s.

(b) Générer tous les sous-ensembles p ossibles (de plus d’une solution) de l’ensemble

de ré fér ence .

(c) Combiner, p our chaque sous-ensemble, les solutions et réparer/a méliorer

ce tte tentat ive de so lut ion.

(d) Ajouter toutes les solutions ainsi obtenues à l’ensemble de ré f é rence, ce qui

co nst itue la no uve lle p op ulat io n

12 .4 .3 Co lo ni es de fo ur mi s

Dans l’esprit de la programmation adaptative, on p eut considérer les traces de

ph é ro mo ne de s c ol on ie s de f ou rm is c om me une f or me de m ém oi re . On f ai t a pp el à

ce tte mé moi re p our co nst ruire de no uve lles so lut ions , en suivant les rè gle s pro pre s au

co mp or tem ent si mulé des fo urmi s ou, en d’ autr es te rme s, en ap pliq uan t la formule

magique, les préceptes ou les croyances intimes des concepteurs de l’optimi sation par

colonies de fourmis. Initialement, ce pro cessus n’incorp orait pas de recherche lo cale.

Cep endant, on s’est très vite rendu compte qu’il devenait b eaucoup plus efficace

si l’on en a jo uta it une. On p eut donc re gre tte r que, dans les pse udo -co des qu ’ils

pr op o se n t p o ur dé c ri re l es c ol on ie s de f ou rm is a rt ifi ci el le s , l es c on ce pt e urs a ie nt m as qu é

ce tte co mp os ant e sous la fo rme d’une “a cti on du dé mon” qui, p ot ent iel lem ent, p eut

représenter n’imp orte quoi !

12 .4 .4 Co ns tr uct io n de vo c abu la ire

La construction de vocabulaire est ég ale me nt un co nce pt qui a été prop osé par

[ Glover et al. 97a], mais dont les princ ip es ont certainement été utilisés , sous d ’au tres

app ellations, par d ifférents auteurs. On p eut considérer la construction de vocab u laire

co mme une te chn ique de typ e GR ASP ou une co lon ie de fo urmi s ar tific ie lle s do tée d’une

mémoire particulière, le dictionnaire. Plutôt que de construire une nouvelle solution

él éme nt par él éme nt, on la co nst ruit fr agm ent par fr agm ent. Au li eu de mé mori ser des

so lut ions co mpl ète s, se uls des fr agm ent s (des mots ) s o nt r e t en us , f o rm a nt l e vocabulaire,

- 349 -


mémorisé dans un dictionnaire. Une nouvelle solution (une phrase ) e s t o b t en u e e n

combi nant divers fr agm ents. Dans le ca dre de l’ éla bora tio n de to urné es de vé hic ule s, un

fragment — ou une partie de solution, p our reprendre la terminologie de POPMUSIC —

p eu t êt re d éfi ni c omm e un e to ur né e. O n p o ur ra al or s a pp li que r la p ro cé du re su iva nt e

p ou r co ns tr uir e un e n ou ve ll e s ol uti on s, où M est un en sem ble de to urné es, ch aqu e

tournée T ét ant fo rmé e d’un en sem ble de cl ien ts.

Construction d’une nouvelle solution

1. s = ;

2. Rép éter, tant que M 6 = ;

:

(a) Choisir T 2

M

6

(b) Po se r s s [ T

(c) Po se r M M \ T 8T 0 2 M telle que T \ T = ;

3. Si la s ol ut io n s ne c on ti ent pa s t ou s l es c li en ts , la c om pl ét e r pu is l ’a mé li o re r

ave c u n e r e ch er ch e l o c a le .

L’idée est donc de construire une solution en choisissant successivement des tournées

appartenant à un ensemble de tournées mémorisées. Les tournées choisies ne doivent

pa s c om p o rt er de s c li en ts dé j à c on te nus da ns la s ol ut io n pa rt i el le me nt c on st ru it e.

Po ur l e p r ob l è m e d ’é l a b or a ti o n d e t ou r n é e s de vé h i cu l e s , c et t e t e chn i q u e a ét é

appliquée p our la première fois dans [ Ro chat et al. 95] e t el l e a p e r m is d ’ o bt e n ir

no mbre de s m ei ll eu re s s ol ut io ns c on nu es à ce j ou r p o ur de s j eu x de pr ob lè m es de la

littérature. Cette méthode fonctionne particulièrement bien p our la raison suivante :

on a remarqué qu’une recherche avec tab ous élémentaire, englob ée dans un pro cessus

de type POPMUSIC, p ermet de trouver très rapidement certaines des tournées des

meilleures solutions connues. Ceci est illustré en figure 12.5. Par conséquent, on

s’ épa rgne be auc oup d’e fforts en as sembl ant des to urné es ex ist antes sans avo ir à

co nst ruire ces de rniè res de puis le dé but.

12 .4 .5 Ch em in de l iai so n

Un chemin de liaison ( path relinking

[Glover et al. 97a ] dans la litt érature ang losa

xon ne) est une au tre te chn ique d’ util isa tio n d’une p op ulat io n de so lut ions , ég ale me nt

pr op o sé e pa r G lo ver da ns le c ad re de la re c he rche av ec t ab o us . Une t ra duc t io n pl us

littérale de “relinking” serait “re- re lier”. L’idée initiale était de mémoriser un ensemble

de b onnes solutions visitées au cours d’une recherche avec tab ous. Cette dernière a

do nc re l ié c es s ol ut io ns pa r un c er ta in c he mi n. On va t ent er de re l ie r à no uv e au de s

pa i re s de s ol ut io ns , m ai s en ut i li sa nt un a ut re c he mi n, en e sp é ra nt q u’ au pa s sa ge on

pu is se i de nt ifi er de s s ol ut io ns de m ei ll eu re q ua li té q ue l es de u x s ol ut io ns q ue l ’o n re l ie .

- 350 -


Figure 12.5 – Exemple de la p ertinence de la création de mots

(= tour nées) en cons truction

de vo cabulaire : à gauche, une des meilleures solutions connues d’un problème d’élab oration de

tour nées, à droite, quelq ues-unes des tournées trou vées en quelques sec ondes avec une rech erche

lo cale de type POPMUSIC.

Une itération de chemin de liaison consiste donc à :

1. Sé l ec ti o nne r 2 s ol ut io ns , s1 et s2 pa rm i c el le s q ui o nt é té m ém or is ée s

2. Rép éter, tant que s1 6= s 2

(a) Considérer toutes les solutions voisines de s1 qui p ermettent de se rappro cher

de s2

(b) Retenir la solution voisine qui a la meilleure qu alité ; elle devient s 1

Des variantes de c e tte trame existent : on p eut également essayer le ch e m in de s 2

à s1 ou encore partir simultanément de s1 et s2 et s’ arrê ter dans une so lut ion qui se

trouve entre les deux.

On le voit, les p ossibilités d’extension d’une technique sont infinies. La méthodologie

préconisée ici, qui va de bas en haut, semble assez logique à suivre. En effet, l’a jout

d’ un e c ou ch e c om pl ex i fia nt une m ét ho de n’ e st pa s t rè s l on g à ré a li se r. P ar e xe mp le ,

pa s se r de la re c he rche du pr em i er o pt im um lo c al à un re c ui t s im ul é ou à une re che rc h e

ave c t a b ou s n e p r e n d p a s p l us d e q u e l q u e s h e u r e s d e c o d a g e , d u m o i ns s i l ’ o n c o n s id è r e

une première implantation où les calculs ne sont pas sp écifiquement optimisés. Il existe

même des bibliothèques p ermettant d’englob er une méthode de base dans une trame

pl us c om pl ex e ( vo ir pa r e xe mp le l es a rt ic le s pu bl ié s da ns [ Voß et al. 02]) ou encore

p our faciliter les implantations parallèles [Cahon et al. 04].

Pa r c o nt r e, i l e s t p lu s p r o b lé m a t i qu e d e t r o uve r d e b on s p a r am è t r e s ( s ch é ma d e

recuit, type et durée des interdictions, facteur de p énalité, mécanism e s d’intensification

et de di vers ific ati on dans une re che rche avec tab ous, co dage d’une so lut ion, op ér ate ur

de c ro is em en t, t ai ll e de la p o pul a ti on da ns un a lg or it hm e é vo lu ti o nna i re , e tc .)

- 351 -


Po ur c on d u i r e u n c a li b r a g e r i g ou r e u x , s a ns p o u r a u t a nt f a ir e d e s b a t t e ri e s g i g a n -

tesques de tests numériques, il est imp ortant de faire usage de tests statistiques parfois

assez évolués. Ceci nous mène directement à un autre p oint qui a été passablement

né g li gé da ns la l it té ra tu re c on sa cr é e a ux m ét ah eu ri st iq ue s : il s ’a gi t de la c om pa ra is o n

d’ he ur is t iq ue s i té ra ti v es .

12.5 Comparaison d’heuristiques

La mise au p oint d’une méthode he uristique p our résoudre un problème d’optimisation

difficile demande à l’implanteur de pro céder à divers choix. Certains de ceux-ci

p eu ve nt ê tr e r el at ivem ent f ac il es à j us tifi er , m ai s d ’a ut res , co mm e l e ca li br age de

pa ra m èt re s nu mé ri que s ou le c ho ix d’ un v oi si na ge pl ut ô t q u’ un a ut re p e uv ent ê tr e

b ea uc ou p p lu s d éli ca ts à f air e. L ors qu e l a t hé or ie ou l ’i nt uit io n n e s ont pa s à m êm e d e

guider le chercheur dans un choix, il ne lui reste plus qu’à effectuer des exp ériences

nu mé r i q u es p ou r ob t e n i r la ré p o ns e . Or , o n ob s e r ve t r o p so u ve nt qu e l es ch o i x n e

sont pas étayés par des bases scientifiques solides. Cette section discute de quelques

techniqu e s p ermettant de pro céder à des comparaisons d’heuristiques d’amélioration.

12 .5 .1 Co mp ar ais on de ta ux de su cc ès

Une première question à laquelle on p ourrait chercher à répondre concerne la

co mpa rais on des taux de suc cè s de deux mé tho des A et B. P r a t i qu e m e nt , o n a l e s

observation s suivantes : lorsque la méthode A est ex éc uté e na f oi s, e ll e ré us s it à ré s ou dre

le problème a f oi s ; l or sq ue la m ét ho de B est ex éc uté e nb f oi s, e ll e ré us s it à ré s ou dre

le problème b f oi s. On se de m an de si un t au x de s uc cè s de a/na est si gnifi cat ivem ent

sup ér ieur à un taux de b/nb . Un e x p é r i me nta t e ur c o ns c i en c ie u x , p o u r ré p on dr e à c e tt e

question, va effectuer un relativement grand nombre d’exp ériences et travailler avec

de s no m bre s d’ e xé cu ti o ns su ffis am me nt é le vé s p o ur p o uv oi r f ai re un t es t s ta ti st iq u e

standard, dont la validité rep ose sur le théorème de la limite centrale. Inversement,

un e xp é ri me nt at eu r un p eu m oi ns f or ma li st e ne f er a pa s l es 15 ou 20 e xé c ut io ns

théoriquement nécessaires p our valider son choix entre l’une ou l’autre des mé th od es,

mais considérera par exemple que si A a 5 ré su lta ts p os it ifs s ur 5 ex éc uti on s, el le

sera vr ais embl able men t me ill eure que B qui n’a qu’une e xécution réussie sur 4. A-t-il

raison ou est- c e que sa conclusion est hâtive, voire arbitraire ? Un test statistique non

pa ra m ét ri qu e dé v el op pé da ns [ Tail lar d 03b] mont re qu’ un tau x de su ccès d e 5/5 e st

si gnifi cat ivem ent — avec un se uil de co nfia nce de 95 % — plus él evé qu ’un taux de

1/4. Les entrées du tableau 12.1, repris de [ Tail lar d 03b ], donnent, p our le seuil de

co nfia nce de 95 %, les co uple s ( a, b) à partir desquels un taux de succès su p éri eur o u

ég al à a/na est si gnifi cat ive me nt me ill eur qu ’un taux de suc cè s in féri eur ou ég al à

b/n b .

Ce tableau est particulièrement utile p our trouver de façon rapide et rigoureuse

les b ons paramètres d’une technique. Une manière de pro céder est de fixer deux jeux

di ffé re nts ( me na nt do nc à de u x m ét ho de s di ffé re nt es

A et B ) e t d e c o n fr o nt e r l e s

résultats ob tenus à l’aide de ces deux méthodes. Pour p ouvoir utiliser le tableau 12.1, il

f au t dé fi nir ce q u’ es t un s uc cè s ( pa r e xe mp le , le f ai t de t ro uv er la s ol ut io n o pt im al e ou

- 352 -

12.5 Comparaison d’heu ris tiques

Tabl eau 12.1 – Couples (a, b) p o ur l es qu el s u n t au x d e s uc cè s a/na est significativement

me ille ur qu ’un ta ux de su cc ès apple b/nb , p o u r u n s eu i l d e c o n fia n c e d e 95 % .

na

n b 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

2 — (3, 0) (4, 0) (5, 0) (5, 0) (6, 0) (7, 0) (7, 0) (8, 0)

3 (2, 0) (3, 0) (3, 0) (4, 0) (4, 0) (5, 0) (5, 0) (6, 0) (6, 0)

(5, 1) (6, 1) (7, 1) (8, 1) (8, 1) (9, 1)

4 (2, 0) (3, 1) (3, 0) (3, 0) (4, 0) (4, 0) (5, 0) (5, 0) (5, 0)

(4, 1) (5, 1) (5, 1) (6, 1) (7, 1) (7, 1) (8, 1)

(6, 2) (7, 2) (8, 2) (9, 2) (10, 2)

5 (2, 0) (2, 0) (3, 0) (3, 0) (3, 0) (4, 0) (4, 0) (4, 0) (5, 0)

(3, 1) (4, 2) (4, 1) (5, 1) (5, 1) (6, 1) (6, 1) (7, 1)

(5, 2) (6, 2) (7, 2) (7, 2) (8, 2) (9, 2)

(8, 3) (9, 3) (10, 3)

6 (2, 1) (2, 0) (2, 0) (3, 0) (3, 0) (3, 0) (4, 0) (4, 0) (4, 0)

(3, 2) (3, 1) (4, 1) (4, 1) (5, 1) (5, 1) (6, 1) (6, 1)

(4, 2) (5, 3) (5, 2) (6, 2) (7, 2) (7, 2) (8, 2)

(6, 3) (7, 3) (8, 3) (9, 3) (9, 3)

(10, 4)

7 (2, 1) (2, 0) (2, 0) (3, 0) (3, 0) (3, 0) (3, 0) (4, 0) (4, 0)

(3, 2) (3, 1) (4, 2) (4, 1) (4, 1) (5, 1) (5, 1) (6, 1)

(4, 3) (5, 3) (5, 2) (6, 3) (6, 2) (7, 2) (7, 2)

(6, 4) (7, 4) (7, 3) (8, 3) (9, 3)

(8, 4) (9, 4) (10, 4)

8 (2, 1) (2, 0) (2, 0) (2, 0) (3, 0) (3, 0) (3, 0) (3, 0) (4, 0)

(3, 3) (3, 1) (3, 1) (4, 1) (4, 1) (5, 1) (5, 1) (5, 1)

(4, 3) (4, 2) (5, 3) (5, 2) (6, 2) (6, 2) (7, 2)

(5, 4) (6, 4) (6, 3) (7, 3) (7, 3) (8, 3)

(7, 5) (8, 5) (8, 4) (9, 4)

(9, 5) (10, 5)

9 (2, 2) (2, 1) (2, 0) (2, 0) (3, 0) (3, 0) (3, 0) (3, 0) (3, 0)

(3, 3) (3, 2) (3, 1) (4, 2) (4, 1) (4, 1) (5, 1) (5, 1)

(3, 2) (4, 3) (5, 3) (5, 2) (5, 2) (6, 2) (6, 2)

(5, 5) (6, 5) (6, 4) (6, 3) (7, 3) (7, 3)

(7, 5) (7, 4) (8, 4) (8, 4)

(8, 6) (9, 6) (9, 5)

(10, 6)

10 (2, 2) (2, 1) (2, 0) (2, 0) (2, 0) (3, 0) (3, 0) (3, 0) (3, 0)

(3, 4) (3, 2) (3, 1) (3, 1) (4, 1) (4, 1) (4, 1) (5, 1)

(4, 5) (4, 3) (4, 2) (5, 3) (5, 2) (5, 2) (6, 2)

(5, 5) (5, 4) (6, 4) (6, 3) (6, 3) (7, 3)

(6, 6) (7, 6) (7, 5) (7, 4) (8, 4)

(8, 6) (8, 5) (9, 5)

(9, 7) (10, 7)

- 353 -


une s ol ut io n de q ua li té do nn é e p o ur un pr ob lè m e) et il f au t q ue la pr ob a bil i té de s uc cè s

d’une exécution soit indép endante de l’exé cution elle-même. Cela supp ose de travailler

sur un ex emp le de pro blè me donné et d’avoir des mé tho des A et B co mpre nant des

co mp os antes al éat oir es (c omm e un re cuit si mulé ) ou de travai lle r avec un jeu de

pr ob lè m es de di ffic ul té i de nt ique ( pa r e xe mp le de s pr ob lè m es de t ai ll e do nn é e, g én ér és

aléa toirement). On trouvera une version interactive de ce test statistique sur le site

http://mistic.heig-vd.ch/taillard/qualopt/

12 .5 .2 Co mp ar ais on de m éth o des d’ op ti mi sa tio n i tér ati ve

Effort de calcul p our atteindre un but fixé

Lorsque des techniques itératives

que l’on désire comparer sont suffi

samment robustes p our atte indre un but fixé avec

un t au x de s uc cè s é le vé, on p e ut e ss ayer de c om pa re r l es e ffo rt s de c al cu l q u’ il f au t

co nse ntir p our at tei ndre ce but. Un di agra mme que l’on re nco ntre dans la li tté rat ure

ex prim e la pro bab ilit é cu mulé e d’ obte nir un suc cè s en fo nct ion du no mbre d’ ité rati ons

effec tué es par les mé tho des it éra tiv es que l’on veut co mpa rer. Pour ce la, on ch ois it

un e xe mp le de pr ob lè m e- ty pe q ue l ’o n ré s ou t de no m bre us e s f oi s avec c ha cu ne de s

métho des jusqu’à ce qu’elles atteignent le but, par exemple la meilleure solution connue

p ou r ce t e xe mp le d e p rob lè me . Po ur qu e de mu lt ipl es r és ol uti on s d u m êm e p ro bl ème

pa r la m êm e m ét ho d e a ie nt un s en s, on s upp os e q ue c et te de rn iè re c om po rt e une

co mp os ante non dé ter mini ste , co mme un re cuit si mulé , ou une reche rche avec tab ous

dé m ar ra nt avec une s ol ut io n a lé at o ir e. Une a ut re p o ss ib il it é e st de c ho is ir un e ns em bl e

d’ e xe mp le s de pr ob lè m es de c ar ac té r is ti qu es do nn é es ( no ta mm ent en ce q ui c on ce rn e

la taille des exemples ) générés aléatoirement, ce qui p ermet de comparer des métho des

dé t er mi ni st es entre e ll es .

Cette manière de pro céder p ermet de pro duire des diagrammes comme celui de la

fig ur e 1 2. 6 da ns l eq ue l on do nn e la pr ob a bil i té d’ a tt ei nd re la m ei ll eu re s ol ut io n c on nue

à u n pr ob l èm e d’ aff e ct at i on q ua d ra ti q ue p o ur d e s re che r ch e s ave c t ab o u s ut il is a nt

dive rs es t ai ll es de l is te t ab ou et di v er se s va le ur s p o ur le pa ra m èt re de di v er si fic at io n .

Cette technique de comparaison est parfois critiquée à juste titre : le but à atteindre

ne pe u t ê tr e fix é pa r la m ét ho de de ré s ol ut io n e ll e- mê m e. En e ffe t, la m ei ll eu re s ol ut io n

connue ou l’optimum doit avoir au préalable été trouvé par une autre métho de. Il est

do nc t rè s s ou ve nt di ffic il e de pa rl e r de t au x de s uc cè s, c ar il n’y a pa s un but c la ir à

atteindre, ou, plus précisément, les pro cessus qui nous intéressent ont deux ob jectifs :

en plus de l’ opt imis ati on de la qu ali té des so lut ions , on ch erche à mi nimi ser l’e ffort de

ca lcu l. Or, ce de rnie r pa ramè tre p eut être li brem ent fixé par l’ util isa teu r, par ex emp le

au travers du nombre d’itération s d’un recuit simulé ou d’une recherche avec tab ous,

du no m bre de g én ér at io n s d’ un a lg or it hm e é vo lu ti o nna i re ou e nc or e du no m bre de

so lut ions co nst ruit es avec une co lon ie de fo urmi s. De plus, ces mé tho des sont p our la

pl up ar t no n dé t er mi ni st es , ce q ui s ig ni fie q ue de u x e xé c ut io ns s uc ce ss iv e s sur un m êm e

ex emp le de pro blè me do nnen t, en gé nér al, des so lut ions différ ent es. Le pa rag raphe

suivant se p enche donc sur une techni que de co mpa rais on de la qu ali té des so lut ions

obtenues par des métho des itératives en fonction de l’eff ort de calcul.

- 354 -

12.5 Comparaison d’heu ris tiques

Probabilité cumulée

1

0.9

0.8

0.7

0.6

Liste 1, diversification 3

Liste 1, diversification 2,5




0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

1000 10000 100000

1000000


Figure 12.6 – Technique d’affinage de paramètres dans laquelle on repré sente le taux de succès

en fonction de l’effort de calcul. Ici, on teste le nombre d’itérations qu’il faut à une rech erche

avec tab ous démarrant d’une solution aléatoire au problème d’affectation quadratique tai40b

p our obtenir la meilleure solution connue. Deux tailles de liste tab ou sont évaluées (n et 2n ) et 4

valeurs différentes p our le nombre d’itérations après lequel on force un mouve ment qui n’a jamais

été fait (2,5 ; 3 ; 5 et 10 fois la taille du voisina ge).

Comparaison des qualités obtenues par des métho des itératives Trad it ion -

ne l le me nt, la m es ur e de la q ua li té d’ un e m ét ho de e st la va le ur moy en ne de s s ol ut io ns

qu’elle pro duit. La mesure de l’effort de calcul est exprimée en secondes sur un calcu-

lateur donné. Ces deux mesures présentent des inconvénients. Si l’on supp ose que l’on

fix e l ’e ffo rt de c al cu l p o ur de u x m ét ho de s no n dé t er mi ni st es

A et B et que l’on dé sire

co mpa rer la qu ali té de ces mé tho des de fa ço n rig our eus e, il faut ex éc ute r pl usie urs

f oi s c ha cu ne de s m ét ho de s et pro c éd er à un t es t s ta ti st iq u e p o rt an t sur l es moy en ne s

de s s ol ut io ns o bt en ue s. M al he ur eu se me nt , la ré pa r ti ti on de s s ol ut io ns pro du it e s pa r

une méthode n’est en général pas gaussienne. Il n’est donc pas p ossible d’utiliser un

test statistique standard à moins de disp oser de grands échantillons, c e qui signifie

rép éter les exp ériences numériques un grand nombre de fois — en pratiqu e , cela p eut

co rre spon dre à pl usie urs ce nta ine s de fo is, co ntr aire ment à ce rta ine s croyan ces qui

affirment que des échantillons de 20 ou 30 éléments sont amplement suffisants.

Si l ’o n ne se c ant on ne pa s à une m es ur e de la q ua li té en t er me s de m oye nn e

de s s ol ut io ns o bt en ue s, m ai s si l ’o n se t ou rne v er s d’ a ut re s m es ur es , on p e ut o bt en ir

de s c om pa ra is o ns i nt ér es sa nt es avec t rè s p eu d’ e xé cu ti o ns . Une de c es m ét ho de s

no n pa ra m ét ri qu es c on si st e à c la ss er pa r q ua li té dé c ro is sa nt e l ’e ns em bl e de s s ol ut io ns

pro du it e s pa r l es m ét ho de s A et B et à se préo ccup er de la so mme des ra ngs des so lut ions

- 355 -


obtenues par une méthode. Si cette somme est inférieu re à une valeur — dép endante

du s eu il de c on fia nc e dé s ir é et q ue l ’o n p e ut l ire da ns de s t ab le s nu mé ri q ue s —, on

p eu t e n c onc lu re q u’ un e ex éc ut ion d e ce tt e m éth od e a u ne p rob ab il ité s ig nifi ca ti vem ent

au-dessus de 1 / 2 d’ o bt en ir une s ol ut io n m ei ll eu re q u’ une e xé c ut io n de l ’a ut re m ét ho de .

Dans la littérature [Conover 99], ce test est connu sous le nom de Mann-Whitney.

Une autre technique statistique simple à mettre en œuvre mais plus gourman d e en

eff ort de ca lcu l est ce lle du ré -écha ntil lon nag e

(bootstrap). E ll e a l’ ava nta ge d e p e r me tt r e,

ave c u n é cha nt i l l o n d e re l a t i ve me nt f a i bl e t a il l e , typ i q u e m ent q u e l qu e s d i za i n e s , d e

f ou rn ir de s s ta ti st iq u es va ri ée s et fia bl e s. Su pp o so ns q ue l ’o n a it e xé c ut é un a lg or it hm e

d’ o pt im is at io n n f oi s et o bs er vé l es q ua li té s de s ol ut io ns x = (x 1 , x 2 , . . . , xn ). O n

supp ose les ob servat ion s in dép en dant es, de var ianc es fini es, mais sans fa ire d’ hypo thè ses

sur la fonction de distribution, notamment sa symétrie. Il arrive en effet souvent que

la répartition des valeurs observées des solutions pro duites par une métaheuristique

no n dé t er mi ni st e ne s oi t pa s s ym ét ri qu e, ne s er ai t- c e q ue pa rc e q u’ il e st i mp o ss ib le

d’av oi r de s va le ur s a u- de là de l ’o pt imum. De pl us , on a t en da nc e à pr iv i lé gi er un f ai bl e

no mbre d’ e xé cu ti o ns p o ur p o uv oi r o bs er ve r ce q ui se pa s se a prè s un g ra nd no m bre

d’ i té ra ti on s pl ut ô t q ue l ’i nve rs e. D an s c es c on di ti on s, ce q ue l ’o n v ou dr ai t, c ’e st un

intervalle de confiance p our une statistique s(x), telle que la moyen ne ou la médiane

de s o bs er va ti on s. On p e ut o bt en ir c et te i nf or ma ti on en ré - éc ha nt il lo nn ant un g ra nd

no mbre de f oi s l es o bs er va ti on s c om me s ui t :

– Générer B ve ct e u r s x b , ( b = 1, . . . , B ) de t ai ll e n en ch ois issa nt ch aqu e co m-

p os ant e a léa to ir eme nt , u ni fo rmé me nt e t avec r em pl ace me nt p arm i l es va le urs

observées (x1 , . . . , xn ).

– Calculer la valeur de la statistique à laquelle on s’intéresse s (x 1 ) , . . . , s (x B )

p ou r le s B ve c t e u r s g é n é r é s e t l e s t r i e r p a r va l eu r c ro i s s a nt e .

– On p eut considérer que s (x) a u ne p ro ba bi li té 1 2 ↵ d’ a ppa rt e ni r à l ’i nt er va ll e

[s 1 , s 2 ] en pre nan t les s 1 = 100 · ↵ et s 2 = 100 · (1 ↵) ce nti les des val eurs

triées s(x b ).

En pr at i qu e, on p e ut cho i si r B = 2000, ↵ = 2. 5 %, s1 = 50 e et s2 = 1950 e

valeurs de la liste triée. Cette technique est très simple et adaptée aux praticiens des

métahe uri stiques qui sont familiers avec la simulation. Mentionnons toutefois que cette

techn iqu e ne pro duit pas nécessairement l’intervalle le plus étroit, ni un intervalle

centré sur la st ati sti que à la que lle on s’ inté res se. Le le cte ur tr ouve ra des te chn ique s

pl us ava nc ée s da ns l es l iv re s de [ Da vi so n et al. 03] et [Efron et

al.

93].

Naturellement, si l’on désire comparer des méthodes itératives, ce genre de test doit

être rép été p our différents efforts de ca lcu l. En pra tiq ue, p our me sure r l’e ffort de ca lcu l,

on utilise le temps d’exécution sur une machine donnée. Il s’agit donc d’une mesure

relative de l’eff

ort, dép endante du matériel utilisé, du système d’exploitation , du

langage de programmation, du compilateur et des options de compilation utilisées, etc.

Po ur ê t re p l us r i go u r e u x , i l f a u t u t i li s e r u n e m e s u r e a b s ol u e d e l ’e ff o r t . Ty p i qu e m e nt ,

l’évalu ation de s olu tions voisines c ons titu e le prin c ipal de l’e ff

ort de calcul, que ce soit

p ou r un r ec ui t s imul é, u ne r eche rch e avec ta b ou s, d es a lgo ri th mes é vo lu ti onn ai res ou

de s c ol on ie s de f ou rm is (p o ur a ut ant q ue c es de u x t ec hn iq ue s s oi en t hybr id ée s av ec

une re c he rche lo c al e) . P ar c on sé qu e nt , il e st s ou ve nt p o ss ib le d’ e xp ri me r l ’e ffo rt de

ca lcu l non pas en se con des , mais en no mbre d’ ité rati ons , et de sp éc ifie r la co mpl exi té

- 356 -

12.5 Comparaison d’heuristiques

théorique d’une itération. Ainsi, une itération de la reche rche avec tab ous prop osée

au chapitre 2 p our le problème de l’affectation quadratique a une complexité en

O(n 2 ). En mett ant à dis p ositi on du pub lic le co de de c ette mé thode , n’imp o rte qui

p ou rr a e xp rim er l ’effor t de c al cul d e sa p ro pr e m ét hod e p o ur c e p ro bl ème e n te rm es

d’ un no m bre é qu iva le nt d’ i té ra ti on s de re c he rche avec t ab o us ; a in si , on ne f er a pa s

né c es sa i re me nt ré f ér en ce à un t em ps de c al cu l re l at if à la m achi ne ut i li sé e — q ui s er a

dé s uè te a prè s q ue lq ue s m oi s.

7.3e+08

7.2e+08

7.1e+08

7e+08



Liste 1, diversification 2,5

Fonction − objectif

6.9e+08

6.8e+08

6.7e+08

6.6e+08

6.5e+08

6.4e+08

Secondes

0.001 0.01 0.1 1 10

6.3e+08

10 100 1’000 10’000 100’000 1’000’000

Itérations

Figure 12.7 – Comparaison de 3 variantes d’une recherche avec tabous pour le problème

d’affectation quadratique tai40b. La valeur moyenne de ces variantes est donnée en fonction de

l’effort de calcul, exprimé à la fois en termes d’itérations et de temps sur une machine donnée.

Les valeurs moyennes sont encadrées par leur intervalle de confiance à 95 %. Ceci permet de

mettre en évidence, par exemple, qu’entre 1 000 et 10 000 itérations, les différences observées

entre les deux variantes avec Liste 1 pourraient être fortuites, et non qu’une variante est vraiment

meilleure que l’autre.

S’ i l e st e nc or e p o ss ib le d’ ut i li se r un l og ic ie l g én ér al c om me LibreOffice Calc

p o ur

pr o du ir e un di a gr am me t el q ue c el ui de la fig ur e 1 2. 6, l ’effo rt q ue de v ra it c on se nt ir

l’implanteur d’heuristiques itératives p our appliquer les p rin c ip es de comparaison

mentionnés ci-dessus p ourraient être rédhibitoires. Le logiciel STAMP [ Tail lar d 02 ]

di s p o ni bl e en l ig ne sur le s it e http://mistic.heig-vd.ch/taillard/qualopt p er me t

de g én ér er de u x typ es de di a gr am me s re s p e ct an t c es pr in ci p e s. Le pr em i er t yp e de

- 357 -


di a gr am me q ue STAMP pr op o se do nn e la va le ur moy en ne ( ou la m éd ia ne , au c ho ix ) de s

so lut ions ob ten ues en fo nct ion de l’e ffort de ca lcu l, ex prim é à la fo is de fa ço n ab sol ue

(nombre d’itérations) et relative (secondes). La statistique choisie est accompagnée

d’ un int er va ll e de c on fia nc e e st im é au m oyen de la t echn iq ue du ré - écha nt i ll on na ge .

Un exemple d’un te l d iagramme est donné en figure 12.7.

Finalement, en se concentrant sur l’information que l’on s ouh aite réellement avoir

— la méth ode A es t-e lle si gnifi cat ive me nt me ill eure que la B ? — le logi ciel STAMP

p er me t de g éné re r un s eco nd ty p e d e di ag ram me , qu i d on ne l a p ro bab il it é q u’ un e m ét ho -

de s oi t m ei ll eu re q u’ une a ut re en f on ct io n de l ’e ffo rt de c al cu l. De c et te f aç on , la s urf a ce

em ployée p our de ssin er la qu inte sse nce de l’ info rma tio n est b ea uco up plus ré duit e.

Ceci autorise à insérer dans une même figure plusieurs diagrammes de probabilité

et il est al ors p os sibl e de re gro uper les co mpa rais ons de pl usie urs mé tho des, p our

un e xe mp le de pr ob lè m e do nn é , ou de de u x m ét ho de s p o ur pl us ie u rs e xe mp le s de

problèmes. Cette p ossibilité est illustrée en figure 12.8, où 3 variantes de recherche

ave c t a b ou s s o nt c om p a r é e s d e u x à d eu x l o rs q u ’ e l l es s o nt a p p l i qu é e s à u n e x e m p l e d e

pr ob lè m e d’a ffe ct at i on q ua dr at iq ue de la l it té ra tu re .

Seuil de confiance

L1, d2,5 / L2, d5

L1, d3 / L1, d2,5

L2, d5 / L1, d3

99 %

95 50 %

5 %

1 %

99 %

95 50 %

5 1 %

99 %

95 %

50 %

5 1 %

10 100 1000 10000 100000 1e+06

Itérations

Figure 12.8 – Comparaison de 3 variantes de rech erches avec tab ous p our le problème

d’affectation quadratique tai40b. Chaque diagramme donne la probabilité qu’une méthode soit

meilleure (ou plus mauvaise) qu’une autre en fonction de l’effort de calcul. En un coup d’œil, on

voit par exemple dans le diagramme du haut qu’entre 1 000 et 10 000 itérations la variante Liste

1, diversification 2,5 est significa tivement meilleure (au seuil de 99 %) que la variante Liste 2,

diversification 5 alors qu’entre 20 000 et 100 000 itérations, c’est l’inverse.

La lecture de ces diagrammes donne en un coup d’œil b eaucoup p lu s d’informations

qu’un traditionnel tableau de résultats numériques. Leurs deux principaux avantages

sont de prop os er des co mpa rais ons dans un co nti nuum de l’e ffort de ca lcu l et de do nner

ex ac tem ent l’ info rma tio n ch erchée (t ell e mé tho de es t-e lle me ill eure que te lle au tre ?).

- 358 -

12.6 Conclusions

12.6 Conclusions

Nous esp érons que ce chapitre p ermettra de guider quelque p eu le chercheur d an s

son travail de co nce pti on d’une he uris tiq ue ba sée sur des te chn ique s pré sen tée s dans

les chapitres précéd e nts. Nous sommes bien conscients que chaque problème est un

cas pa rtic uli er et qu ’il p ou rrai t s’avérer dans ce rta ins cas p eu ju dici eux de sui vre à la

lettre cette méthodologie. Par exemple , p our le problème du voyageur de commerce,

une de s m ei ll eu re s he u ris t iq ue s c on nu es à l ’h eu re a ct ue ll e e st une s im pl e m ét ho de

d’ a mé li or at i on , m ai s ba s ée sur un vo is in ag e a ppr o pri é . P ou r le pr ob lè m e de la p-

médiane, une des meilleures méthodes p our les problèmes de grande taille utilise la

trame de POPMUSIC sans que cette dernière n’intègre une autre métaheuristique

telle une recherche avec tab ous ou un recuit simulé. Finalement, il convient également

de no t er q ue de s a lg or it hm es é vo lu ti o nna i res ou de s re che rc h es pa r di s p e rs io n n’ e n-

glob ent pas néces sairement de chaîn e d’éjections, d’optimisations partielles ou d’autres


Pa r c o nt r e, n o u s p e n s o n s q u e l e s ch e r ch e ur s e n g én é r a l de v r a i ent s e p r éo c c up e r

un p eu pl us de la m ét ho do lo g ie de c om pa ra is o n d’ he ur is t iq ue s i té ra ti v es . En e ffe t, on

observe encore b eaucoup trop souvent dans la littérature des tableaux de résultats,

qui, formellement, ne contiennent aucune information fi able et dont les conclus ions

sont donc souvent abusives. C’est p ourquoi nous esp érons que la dernière partie de ce

ch ap i t r e , c o n s ac r é e à l a c o mp a r a i s on d ’ he u r i s t iq u e s d ’ a m é l io r a t i o n, o u vr i r a d e s vo i e s

de re c he rche q ui pr en dr on t de l ’a mp le ur da ns un f ut ur pro che .

- 359 -

Troisième partie

Quelques domaines

d’application

361

Chapitre 13

Techniques d’hybridation à base

de métaheuristiques pour

optimiser des systèmes

logistiques

Laurent Deroussi, Nathalie Grangeon et

Sylvie Norre

LIMOS UMR CNRS 6158, Antenne IUT d’Allier



laurent.deroussi@moniut.univ-bpclermont.fr

Le développ ement de la recherche opérationnelle depuis l’après-guerre a offert

aux entreprises des outils p our traiter leurs problèmes logistiques par une ap proche

quantitative. Pendant longtemps, ces p rob lèmes ont été découp és en sous-problèmes

ab ordés le plus souvent de manière séparée, déconnectés les uns des autres. Il faut dire

que les sous-problèmes cons idérés, qu’ils soient de lo calisation, de plan ific ation, d’ordo

nn a nc em ent, de t ra ns p o rt ou a ut re s, s on t g én ér al e me nt de s pr ob lè m es NP - diffic il es

do nt la c om pl ex i té a lg or it hm iq ue a c on st it ué et c on st it ue t ou jo ur s une pr ob lé m at iq ue

imp ortante p our de très nombreux chercheurs. Cep endant, dans un contexte industriel

de pl us en pl us c on cu rr en ti el , l es e nt re pr is es s on t de m an de us es d’ o ut il s d’ a id e à la

dé c is io n c ap ab le s d’ i nté gr er une v is io n g lo ba le de l eu r o rg an is at i on .

L’ob jectif de ce chapitre est de présenter les enjeux d’une telle vision, de comprendre

les conséquences en termes de mo délisation des systèmes logistiques e t de dresser un

bi l an sur l es no uv e ll es t ec hn iq ue s p e rm et ta nt d’ o pt im is er l eu r p e rf or ma nc e.

Ce chapitre est organisé de la manière suivante. La première partie décrit les

sy stè mes lo gis tiq ues en gé nér al et la ch aîne lo gis tiq ue en pa rtic uli er. Les co nce pts

de s yn chr on is a ti on ho ri z ont al e et v er tic al e, q ui p e rm et te nt d’ a vo ir une v is io n g lo -

363

Chapitre 13 – Techniques d’hybridation

ba l e de la cha î ne l og is ti q ue , y s on t dé v el op pé s . No u s m on tr on s é ga le m en t q ue l es

techn iqu e s hybrides à base de métaheuristiques sont particulièrement adaptées aux

ca rac tér ist ique s des sy stè mes lo gis tiq ues . La de uxiè me pa rtie est ju ste ment co nsa cré e

à ce s t e ch n i q u e s hy b r i d e s . L e s hyb r i d a t i o n s m é t a h e u r i s t i qu e / m é t h o d e d ’ o p t i m i s a t i o n

et mé tah euri sti que /mo dèl e d’éval uat ion sont exp os ées . Dans la de rniè re pa rtie , nous

pr és e nt on s q ue lq ue s e xe mp le s de pr ob lé m at iq ue s l ié es à la s yn ch ro ni sa ti o n a in si q ue

de s m ét ho de s hy br id e s pr op o sé es da ns la l it té ra tu re .

13.1 Les systèmes logistiques

13 .1 .1 Dé fin it io ns, gé né ra li tés

Se l on [Ganeshan et al. 95 ], une chaîne logistique es t “un réseau d’entités de produ

c ti on et di s tri bu ti o n q ui ré a li se nt l es f on ct io ns d’ a ppr ov i si on ne me nt de m at iè re s

pr em i èr es , de l eu r t ra ns fo rm at io n en pro du it s s em i- fin is e t/ ou fin is , et de di s tri bu ti o n

des pro duits finis jusqu’aux clients”. Cette définition, choisie parmi de nombreuses

autres, illustre le fait qu’une chaîne logistique se comp ose d’un réseau d’entités physi

que s (s ite s, or gan isa tio ns ou ac te urs) trave rsé es par des flux phy siq ues , in form ati onn els

et fina nci ers . Elle intè gre un en sem ble d’ act ivi tés al lan t de l’ appr ovi sio nnem ent en

matières premières jusqu’à la consom mation finale.

Dans ce chapitre, nous désignerons par système logistique tou t ensemble d’entités

phy si qu es i nt er co nn ec té es pa r un ré s ea u l og is ti q ue , sur l eq ue l c ir cu le nt de s flux m at ér ie ls

et im mat érie ls. Un sy stè me lo gis tiq ue re prés entera donc au tant la chaîne lo gis tiq ue

globale qu’une partie de celle-ci (en fo calisant par exemple sur les entités d’un e même

organisation, voire sur un site). La logistique interne représente l’ensemble des flux qui

ci rcul ent dans le sy stè me. La lo gis tiq ue d’ appro vi sio nnem ent (ou am ont ) re gro up e les

flux d’ e nt ré e ( fo ur ni ss eu rs ), t an di s q ue la l og is ti q ue de di s tri bu ti o n ( ou ava l) re g ro up e

les flux de sortie (clients : grossistes, détaillants, consommate u rs finau x). La figure

13.1 présente un exemple d e chaine logistique.

Les travaux de [Forr est er 61] su r l a d y na m i q u e de s s y s t èm e s o nt p er m i s d e me t t r e

en év ide nce que l’e ffici enc e d’une or gan isa tio n ré sult ait en la co or dina tio n de ses

comp osantes. Le concept de Gestion de la Chaîne Logistique, terme prop osé p our la

pr em i èr e f oi s en 1 98 2 pa r Ol i ve r & We bb e r, é ta it né .

De très nombreuses définitions de la gestion de la chaîne logistique ont été prop osées

[ Wolf 08 ]. Parmi elles, nou s retiendrons ce lle d e [Si mchi - Le vi et al. 00 ], qui d é c rit la

gestion de la chaîne logistique comme un ensemble d’appro ches utilisées p our intégrer

effica ce ment les ac te urs in terven ant aux différentes ét ap es du pro ce ssu s de fa bric at ion

(fournisseurs, fabricants, entrepôts, magasins) de telle sorte que la marchandise soit

f ab ri qu ée et di s tri bu é e avec la b o nne q ua nt it é, au b on e nd ro it , et au b on m om en t,

ave c l ’ ob j e c t if d e m i n im i s e r l ’ e n s e mbl e d es c o û ts , t ou t e n g a ra nt i s s a nt u n e q u a l it é d e

se rvi ce p our les cl ien ts.

- 364 -

13.1 Les sys tèmes logistiques

Figure 13.1 – U n e c h a în e l o g i s t i q u e.

13 .1 .2 Imp or ta nc e d’ un e vi si on inté gr ée d’ un e c haî ne

l ogi st iq ue

L’optimisation d’un comp osant du système logistique p eut avoir un impact p ositif ou

né g at if sur la p e rf or ma nc e g lo ba le du s ys tè me . En ce s en s, il e st i mp o rt ant de c on si dé re r

le systèm e dans sa globalité, en intégrant la logistique amont (approvisionnement

en ma tiè res pre miè res , fo urni sse urs. . .) et aval (g ros sist es , dé tai lla nts, di stri bute urs,

clients. . .). Cette intégration est multiple :

Fonctionnelle. Le b on fonctionnement d’un système logistique inclut de n ombreuses

activités (lo calisation de sites, conception du réseau logistique, transports

de s pro du it s , g es ti o n d’ e nt re pô t, g es ti o n de s s to ck s, l og is ti q ue de pro du c ti on ,

co nce pti on des pro dui ts et cy cle de vi e, sy stè me d’ info rma tio n, lo gis tiq ue

d’ a ppr ov is io nn em en t, de di s tri bu ti o n. . .) q u’ il f au t co o rdo n ne r. Le c on ce pt

M RP (Material Requirements Planning), également désigné par “Calcul des

Besoins Nets” (CBN) [Orlicki 75] est né da ns l es an né es 1 97 0 du b esoin d e

synchro nis er les qu ant ité s de ma tiè res pre miè res et de pro dui ts se mi- finis de

manière à satisfaire la demande externe exprimée par les clients ; on parle de

synchro nis ati on des flux phy siq ues .

Temp orelle. [Wight 84] pr op o se l a mé th o d e MR P I I (Manufacturing Resource Planning)

qui est une évolution de la métho de MRP notamment par la prise en

co mpt e des ca pac ité s (d ’app rov isio nne ment, de pro duc tio n, de sto ckag e, de

distribution, financière). Cette appro che rep ose sur la définition d’une structure

hi é ra rchi q ue en c in q pl a ns q ui œu v re nt c ha cu n sur un ho ri z on t em p o re l et av ec

un niveau de précision des données qui leur sont propres. Ces plans sont : le

plan straté gique, le plan industriel et commercial (PIC), le plan directeur de

pro duction (PDP), le calcul des b esoins nets (CBN) et le pilotage d’atelier.

Géographique. La méthode MRP I I est à l’origine une approche mono-site. Cep

en da nt , l es s yst èm es l og ist iq ue s a ct uel s s ont p o ur la p lu pa rt mul ti si te s, c e

- 365 -


qui implique des décis ions en termes de lo calisation des sites, de trans p ort de

pro du it s ( ap pro v is io nn em e nt, pro du c ti on et di s tri bu ti o n) , de pr is e en c om pt e

de dé l ai s d’ a ch em in em e nt. . . [Thomas et al. 00] es t i m e nt l e c o n c e p t d e g e s t io n

de la chaîne logistique comme une extension de l’appro che MRP I I.

[Ko uve l i s et al. 06 ] d éfi n is s ent l a c o o rd i na t io n c om m e to u te a c ti o n ou a p pr o ch e

qui conduit le s acteurs d’un système logistique à agir de manière à améliorer le

f on ct io nn e me nt du s ys tè me da ns s on e ns em bl e. La co o rdi na t io n entre c es a ct eu rs

co nst itue un gr and ch all eng e p our la re che rche op ér ati onne lle , que ce soit dans une

vision centralisée (les acteurs sont regroup és au s ein d’une même organisation qui

pr en d l es dé c is io ns p o ur l ’e ns embl e ) ou dé c en tr al is é e (cha q ue a ct eu r e st a ut on om e

da ns s es dé c is io ns ). [ Schm id t et al. 00 ] d éc r i ve nt l e s mo d è le s d e r é s e a u x l og i s t i q ue s q u i

p eu ve nt ê tr e c on si dé rés à ch ac un d es tr oi s n ive au x d éc isi on ne ls , à s avoi r l es n ive au x

st rat égi que , ta cti que et op ér ati onne l. Le ni vea u st rat égi que re gro up e tout ce qui

co nce rne la co nce pti on du ré sea u lo gis tiq ue avec en pa rtic uli er des pro blè mes de

lo calisation de sites (Facility Location Problem ou FLP). Le niveau tactique décrit les

p ol it iq ue s d e g es tio n de s flu x ave c p ar e xe mp le l es p ro bl ème s d e ta il le d e l ot s (Lot

Sizing Problem). L e n ive a u o p ér a t io n n e l c on c e r n e le pi l o ta g e d e l a cha î n e l og i s t iq u e e t

recouvre les problèmes d’ordonnancem ent (Flow Shop Problem, Job Shop Problem. . .).

Les auteurs concluent que chacun des niveaux interagit avec les autres, et qu’une

appro che qui unifie les trois niveaux est nécessaire p our concevoir et piloter un réseau

logistique comp étitif.

[Lemoine 08 ] d éfi n it q u ant à l u i le s c on c ep t s de sy n chr o ni s at i on h o ri z o nta le e t

ve rt i c a l e , q u i r e gr o u p e l e s d e ux e xe m p l e s p r é c é de nt s . L a s y n ch r o n i sa t i o n h o r i z ont a l e

représente les diffi

cultés de synchronisation entre les diff

érentes entités logistiques de

la chaîne (par exemple un plan réalisé p our un site de pro duction p eut ne pas être

réalisable en raison de contraintes d’approvis ion nement). La synchronisation verticale

co nsi ste à or gan ise r les dé cis ions dans le te mps . Les différents pl ans de la mé tho de MRP

I I so nt r ev us à d es f ré que nc es d iff ére nt es p o uvant e nt ra îne r un e d és yn ch ron is at io n e nt re

eux. Il s’agit de s’assurer qu’une mo dification effectuée p our un plan reste cohérente

p ou r le s p la ns i nf éri eu rs.

La figu re 13.2 détaille le s différents problèmes liés à la planific ation de la chaîne

logistique et montre l’imp ortance des concepts de synchronisation p our une meilleure

co or dina tio n des flux.

13 .1 .3 Diffic ult és l iée s à l ’op ti mi sa ti on de la p er fo rm anc e d’ un e

chaîne log is tique

Le fait d’adopter une vision globale des systèmes logistiques et d’intégrer les

pr ob lé m at iq ue s de s yn ch ro ni sa ti o n p e rm et d’ o pt im is er sa p e rf or ma nc e et de la re nd re

plus comp étitive. Cela soulève un certain nombre de difficultés à surmonter. Ces

di ffic ul té s s ont l ié es à :

La construction d’un mo dèle. Un système logistique est complexe à mo déliser,

il faut définir les acteurs, les entités, les activités et les interactions entre les

enti tés . Les rè gle s de ge sti on p euvent être co mpl exe s ou diffici les à dé finir. Le

recueil de la connaissance et des données p eut être une tâche longue et diffi

cile.

- 366 -

13.1 Les sys tèmes logistiques

Figure 13.2 – Problé matique de la planification des chaînes logistique [Meyr et al. 02].

Une complexité algorithmique. La plupart des mo dèles classiques, indép endamment

de l’entité ou du niveau décisionnel corresp ondent à des problèmes NPdifficiles.

Nous n’en avons mentionné que quelques-uns. Il devient nécessaire de

les combiner dans un e optique de synchronisation horizontale ou verticale.

La taille des systèmes étudiés. Les système s logistiques sont le plus souvent de

grande taille (nombre d’acteurs, de pro duits. . .), ce qui rend plus difficile leur

résolution.

La prise en compte des incertitudes. P lu s le ni v ea u dé c is io nn el e st é le vé et pl us

les incertitudes sont grandes. Le niveau tactique concerne un horizon temp orel

relativeme nt long, généralement de d eux à cinq ans. Sur un tel horizon, il y a

des incertitudes imp ortantes sur la demande ou l’environnement économique. Il

est im p or tant que le sy stè me pui sse s’ ada pte r et re ste r p er form ant fa ce à ces

incertitudes. [Sny de r 06 ] pr é se nte u n é ta t d e l’ a rt s u r la p r is e e n c om p te d e s

incertitudes sur les problèmes de lo calisation d e sites.

Le degré de finesse des mo dèles. Un système logistique p ossède une masse de

données considérable. Il sera nécessaire d’agréger plus ou moins ces données

se lon le ni vea u dé cis ionn el co nsi déré et les ob je cti fs p ou rsui vis . Par ex emp le, le

PIC travaille sur une famille de pro duits, tandis que le PDP est au niveau des

pro du it s .

L’évaluation de la comp étitivité. Les c ritè res de p erformance définis sont généralement

la minimisation des coûts (de transp ort, de sto ckage, de pro duction. . .)

et la ma xim isa tio n d’un taux de se rvi ce cl ien t. Outre le fa it que ces cr itè res

p eu ve nt ê tr e d iffi cil es à é val uer , il s s ont a us si co nt ra dic to ir es.

La gestion des risques. Pa nn e s d e s m a chi n e s a u n i vea u o p ér a t i o n ne l ; g e s t i o n d e l a

maintenance des unités de pro duction, étude de la réactivité du système par

rapp ort à une catastrophe naturelle.

- 367 -


13 .1 .4 Sy st èm e d’ in fo rm ati on et sy st èm e d’ ai de à la dé ci si on

(Decision Support System)

La p erformance d’un système logistique se mesure dans son aptitude à maîtriser

les flux qui la traversent, qu’ils soient matériels, information nels ou financiers. Une des

cl és se tr ouve dans le pa rtag e de l’ info rma tio n en tre les différ ent s ac te urs du sy stè me.

Chaque acteur doit être à même de consulter à tout instant l’ensemble des informations

dont il a b esoin p our p ouvoir prendre les meilleures décisions p ossibles. C’est l’un

des rôles ma jeurs du système d’information (SI), qui regroup e une masse de données

toujours plus considérable, par exemple au travers d’outils tels que les ERP (Enterprise

Resource Planning). S i ces outi ls p ermet tent de gé rer les flu x d’infor mation, i ls sont

difficilement exploi tables en l’état p our prendre des décisions. C’est tout l’enjeu de

l’informatique décisionnelle que [ Krmac 11 ] définit c omme l’en semble d es outil s qui

aident une entreprise à mieux comprendre, an alyser, explorer et p réd ire ce qui se passe

au sein de l’entreprise et dans son environnement. La figure 13.3 montre comment

s’articulent ces outils. Les outils de type ETL (Extract-Transport-Load) p e rm et te nt

d’ e xt ra ir e l es do nn é es en pr ove na nc e de di ffé re nt es s ou rc es , de l es m et tr e en f or me

(validation, filtrage, transf ormation , agrégation) et de les sto cker dans l’entrepôt de

do nn é es (Data Warehouse). Ces données sont ensuite disp onibles p our être utilisées

pa r l es o ut il s d’ a na ly se et d’ a id e à la dé c is io n t el s q ue c eu x do nt no us pa rl o ns da ns ce

ch ap i t r e .

Sources(de(

données(

Flux(de(données(

Résultats(ID(

BD(opéra6

7onnelles

PGI(

Valida7on(

de(données

Ne@oyage(

de(données

Traitement((

analy7que((

en(ligne(

Explora7on(

de(données(

GRC(

Transfor6

ma7on

Visualisa7on(

de(données(

SQL(

Fichiers(

texte(

Agréga7on(

de(données

Chargement(

intégra7on

ETC(

Extrac7on,(Transforma7on,(

Chargement(

Entrepôt((

de(données(

Tableaux((

de(bord(

Alertes(

Figure 13.3 – Informatique décis io nnelle [Krmac 11].

- 368 -

13.2 Les tec hniques hybrides

13 .1 .5 In té rêt des m éta he uri st iq ue s

Nous avons p ointé quelques difficultés qui sont à surmonter p our l’optimisation

d’ un s ys tè me l og is ti q ue . R ep re no ns l ’e xe mp le de la c ha în e l og is ti q ue da ns s on e ns embl e .

E ll e e st c on st it ué e d’ un ré s ea u c om pl ex e de s it es et d’ o rg an is at io n s avec de s a ct iv i té s

intercon n ectées mais des ob jectifs divers et c ontradictoires. [ Lourenço 01 ] so ul ig ne q ue

les métaheuristiques ont un rôle ma jeur à joue r dans les outils d’aide à la décision p our

la chaîne logistique. Elles p ossèdent d’excellentes qualité s p our résoudre les problèmes

très complexes qui apparaissent dans la gestion de la chaîne logistique . Les éléments

mis en avant sont les suivants :

– Ces métho des sont généralement simples, faciles à implémenter, robustes et ont

dé j à f ai t l eu rs pr eu v es da ns la ré s ol ut io n de pr ob lè m es d’ o pt im is at io n di ffic il es .

– Leur n atu re mo dulaire conduit à des temps de développement et de maintena

nc e c ou rt s, c e q ui l eu r do nn e un ava nt ag e sur d’ a ut re s t ec hn iq ue s p o ur de s

applications

industrielles.

– Leur capacité à manipuler de grandes masses de données, plutôt que de devoir

agréger des d onnées ou simplifier un mo dèle afin d’obtenir un p rob lème soluble

mais qui ne représenterait que partiellement la réalité.

– Leur capacité à gérer les incertitudes, à p ouvoir étudier plusieurs scénarios,

pl ut ô t q ue de pr op o se r une s ol ut io n e xa ct e à pa rt i r d’ un mo dè l e do nt la pl up ar t

de s do nn é es s on t de s e st im at i on s.

Cela revient à considérer un problème global comme étant comp osé de plusieurs

so us- probl ème s, dont ch acu n pris sé paré me nt se rai t déjà un pro blè me NP -diffici le, de

manière à optimiser un ou plusieurs indicateurs de p erformance préalablement définis

avec une incertitude des données. Il n’existe p our l’heure aucun mo dèle qui p ermettrait

de pr en dr e en c om pt e t ou te la di ffic ul té d’ un s ys tè me l og is ti q ue . L es o ut il s d’ a id e à la

dé c is io n q ui s on t dé v el op pé s le s on t g én ér al e me nt da ns un ob j ec ti f pr éc i s, ce q ui pe rm e t

d’ o pt er p o ur la v is io n du s ys tè me q ui s em bl e la pl us a ppr o pri é e ( ch oi x de l ’h or iz on ,

de g ré de fin e ss e de s do nn é es , dé fi nit i on du ou de s c ri tè re s d’ é va lu at io n . . . ), au pr ix

d’ un c er ta in no m bre d’ hyp o th ès es s im pl ifi ca tr ic e s. Il s em bl e c ep e nd an t e ss ent ie l de

p ou vo ir g ar ant ir q ue l es s ol uti on s p ro p os ées r est er ont c ohé re nt es, qu e ce s oit p o ur l es

autres acteurs ou p our d’au tres échelles de temps.

13.2 Les techniques hybrides

Il est indéniable que les métahe uri stiques ont un rôle imp ortant à jouer p our p ouvoir

intégrer toute la difficulté d’un système logistique, mais il est tout aussi indéniable que

les métahe uri stiques seules se suffiront pas. C’est p ourquoi nous souhaitons mettre en

ava nt l e s t e chn i q u e s hy b r i d es à b a s e d e m é t ah e u r i s t i qu e s a u x q u e l le s n ou s c on s a c r o n s

ce tte

se cti on.

- 369 -


13.2.1 Généralités

Les métho des d’optimisation sont des techniqu es qui p ermettent d’optimiser le

f on ct io nn e me nt d’ un s ys tè me en m ini m is an t ( ou m ax im is ant) un ou pl us ie u rs c ri tè re s

de p e rf or ma nc e. Po ur l es pr ob lè m es d’ o pt im is at io n c ombi na t oi re , e ll es s on t t ra di -

tionnellement séparées en deu x caté gorie s : les métho des exactes et les métho des

appro chées. Les métho des exactes p ermettent d’ob ten ir la solution optimale et de

pr ou ver l ’o pt im al it é . E ll es re g ro up ent de s t echn iq ue s q ui prov ie nn en t de la pr og ra m ma -

tion linéaire e n nombres entiers (PLNE) telles que les métho des de Branch-and-Bound,

Branch-and-Cut ou la relaxation lagrangienne. Les métho des appro ch ées sont utilisées

dè s l or s q u’ une s ol ut io n o pt im al e e st ho rs d’ a tt ei nte ( en ra i so n de la t ai ll e de s i ns ta nc es ,

de l ’i mp o ss ib il it é de mo dé l is er le pr ob lè m e s ou s f or me l in éa ir e. . . ). P ar mi l es m ét ho de s

appro chées, nous retrouvons les métahe uri stiqu es, qui s’appuient p our la plupart sur

de s re che rc h es l oc al e s. L es m ét ho de s d’ o pt im is at io n s on t a da pt ée s p o ur t ra it er la

co mpl exi té al gor ithm iqu e des sy stè mes ét udié s.

Dans certains cas, les critères de performance d’un système peuvent ne pas se

calculer de manière simple. Il est alors nécessaire de faire app el à un mo dèle d’évaluation

des p erformances (mo dèle de simulation déterministe ou sto chastique, mo dèle

markovien). [Norre 05] définit p our ces systèmes la notion de complexité structurelle

et fo nct ion nell e (fi gure 13 .4) . L’ aut eur pré co nise un co upla ge entre une mé tho de d’ opti -

misation et un mo dèle d’évaluation des p erformances p our résoudre des problèmes liés

à la d oub le c om pl exi té . No us u til is er on s da ns la s ui te d u ch api tr e le t er me de m ét ho de

d’ é va lu at io n. Une m ét ho de dé s ig ne ra a lo rs i ndi ffé re mm en t une m ét ho de d’ o pt im is at io n

ou une métho de d’évaluation.

Figure 13.4 – L a d o u b le co m p l e x i t é.

Nous avons montré dans la section précédente qu e les systèmes logistiques que

no us s ou ha it on s é tu di er s on t c ar ac té r is és pa r de u x é lé me nt s :

– d’ un e pa rt pa r la v ol onté d’ a do pt er une v is io n g lo ba le , da ns le c ad re d’ un e s yn -

ch ro n i s a t io n h o ri z o nt a l e o u ve r t i ca l e , c e q u i p e u t a m e ne r à c o n s id é r e r l e s y s t è m e

logistique comme une c ombinaison de plusieurs problèmes d’optimisation.

– d’autre part, par l’ob jectif d’améliorer la comp étitivité du système. Cela nécessite

d’éval uer sa p er form anc e en te nan t co mpt e de cr itè res pa rfo is contr adic to ires

et de no mbre use s in cert itu des .

- 370 -


Les techniques d’hybridation entre une métaheuris tique et une autre méthode,

qu’elle soit d’optimisation ou d’évaluation des p erformances, p euve nt être décomp osées

en tr ois gr ande s cl ass es :

Chaînage de métho des (A ! B) — figure 13 .5. Les deux mé tho des A et B sont

ut i li sé es de m an iè re s éq ue nt ie l le . La m ét ho d e A ré s ou t une pa rt i e du pr ob lè m e

(par exemple en fixant un sous-ensemble de variables). L’autre partie du probl

è me e st ré s ol ue pa r la m ét ho de B. Un e xe mp le c la ss iq ue e st l ’u ti li sa ti o n d’ un e

métho de d’optimisation p our déterminer une solution réalisable du problème et

en suit e une mé tah euri sti que p our op tim iser ce tte so lut ion.

Figure 13.5 – Princip e du chaînage de deux métho des.

Couplage séquentiel de métho des (A ⌧ B) — figure 13 .6. Les deux mé tho des A

et B sont ut ilis ée s de ma niè re sé que nti ell e et it éra tive. Le ré sult at de la mé tho de

B est réinject é en entrée de la mét ho de A, ce qui p erme t d’itérer le pro ce ssus

de ré s ol ut io n.

Figure 13.6 – Princip e du couplage séqu entiel de deux métho des.

Couplage hiérarchique de métho des (A # B) — figure 13 .7. Les mé tho des sont

ut i li sé es s el on un sché m a “ ma ît re - e sc la ve ”. P ar e xe mp le , la m ét ho de A g én èr e

- 371 -


une ou pl us ie u rs s ol ut io ns do nt l es c ri tè re s de p e rf or ma nc e s on t o pt im is és ou

éval ués avec la mé tho de B.

Figure 13.7 – Princip e du couplage hiérarchique de deux métho des.

Ces trois techniques p euvent être recombinées p our former des métho des hybrides

pl us é la b o ré es . P ar e xe mp le : (A ! ((B # C) ⌧ D)) signifie que la métho de A est

suivie d’un couplage hiérarchique entre une métho de B et une métho de C, couplé

sé que nti ell eme nt avec une mé tho de D.

Nous prop osons dans cette section d’exp oser deux type s de métho des hybrides à

ba s e de m ét ah eu ri st iq ue s : l ’hy bri da t io n M ét ah eu ri st iq u e/ Mé t ho de d’ o pt im is at io n q ui

est par ex emp le bien in diqu ée lo rsq u’un pro blè me se dé com p ose en so us- probl ème s, et

l’hybrid ation Mé tah e uristique/Métho de d’évaluation des p erformances qui est utile

lorsque les critères d’évaluation des p erformances sont difficiles à calculer.

13 .2 .2 L’ hy bri da ti on M éta he uri st iq ue /M éth o de d’ op ti mi sa tio n

[Blum et al. 11 ] constatent que de plus e n plus de métaheuristiqu es sont publiées

qui ne suivent pas à la lettre le paradigme d’u ne métaheuristique traditionnelle seule.

Au contraire, elles combinent des comp osants algorithmiques qui p euvent provenir

de métho des d’optimisation d’autres domaines que celui des métahe uri stiques. Ce

sont ces appro ches que les au teu rs dé finis sent co mme des mé tah euri sti que s hyb ride s.

Les métaheuristiques hybrides sont apparues il y a environ deux décennies. Elles ont

de p uis l or s dé m ontré l eu r e ffic ac it é p o ur ré s ou dre de s pr ob lè m es d’ o pt im is at io n di ffic il e.

Nous présentons d’ab ord l’hybridation entre deux métaheuristiques avant de parle r de

l’hybridation d’une métaheuristique avec une autre métho de d’optimisation.

L’hybrid ation métaheuristique/métaheuristique est une te chnique qui consiste à

combi ner deux mé tah euri sti que s entre el les . Le but p ou rsui vi est de co nce vo ir une

métho de qui sait tirer b énéfice des avantages de chacune. L’exemple souvent donné

- 372 -


en il lust rat ion est l’ hybr idat ion (P op # Ind) entre un algorithme à p opulation (par

ex emp le un al gor ithm e év olu tio nnai re ou d’ opti mis ati on par es sai m pa rtic ula ire ) et

une m ét ho de à i ndi v id u ( pa r e xe mp le une re che rc h e lo c al e, un re c ui t s im ulé ou une

métho de tab ou). Une telle hybridation profite du caractère exploratoire de la métho de

à p opulation et de l a faculté de la métho d e à individu à intensi fie r la recherche dans

les zones prometteuses de l’espace de recherche. Il existe de nombreux exemples d’hybr

id at i on da ns la l it té ra tu re , b e au co up en c om bi na nt une m ét ah eu ri st iq ue avec une

métho de de recherche lo cale (Méta # LS). L’hybridation (Algorithme génétique # LS)

est une te chn ique so uve nt ut ilis ée dans la li tté rat ure, et connue sous le te rme de memetic

algorithms [M os ca t o 89 ] ou Genetic Local Search [ M er z et al. 97]. L’hybridation

(recuit simulé # LS) est connue sous le terme de C-L-O (Chained Local Optimization)

[ M ar ti n et al. 96] ou S ALO (Simulated Annealing Local Optimization) [ Desai et al. 96]

et fa it pa rtie de la fa mil le des re che rches lo ca les it éré es [ Lourenço 01] dans les que lle s le

cr itè re d’ acc ept ati on suit le pro ce ssu s du re cuit . [ Talb i 02a ] pro p ose un e tax on omie d es

métho des hybrides, essent iellement basée sur le degré d’encapsulation d’une technique

da ns une a ut re et le de g ré de pa ra l lé li sa t io n.

Durant ces dernières années , de très nombreuses approches de résolution combi

ne nt une m ét ah eu ri st iq ue ou une a ut re m ét ho de d’ o pt im is at io n . P lu si eu rs pr op o-

si tio ns de cl ass ific ati ons ont été prop os ées dans la li tté rat ure [ Dumitrescu et al. 03],

[ P uchi ng e r et al. 05] et [ Jourdan et al. 09 ]. Par exemple, dans la première réfé rence

ci tée , les au teu rs ré part iss ent les te chn ique s d’ hybri dat ion en cinq gr ande s fa mil les :

– ut i li se r de s m ét ho de s e xa ct e s p o ur e xp lo re r de s v oi si na g es de g ra nd e t ai ll e da ns

de s a lg or it hm es de re c he rche lo c al e ;

– appliquer plusieurs réplications d’un algorithme de recherche lo cale et exploiter

l’information contenue dans des solutions de b onne qualité p our définir un

so us- probl ème de ta ill e ré duit e, so lubl e avec une mé tho de ex ac te ;

– ex plo ite r les b or nes dans des he uris tiq ues de co nst ruct ion ;

– ut i li se r l ’i nf or ma ti o n o bt en ue à pa rt i r d’ un e re l ax at i on d’ un mo dè l e de P LN E

p ou r gu id er la re ch er ch e l o ca le ;

– ut i li se r de s a lg or it hm es e xa ct s p o ur ré s ou dre de s s ou s- pr ob lè me s sp é ci fiq ue s

da ns l es m ét ah eu ri st iq ue s hy br id e s.

[Fern and es et al. 07] prése ntent u ne cart ograph ie de ce s métho d es hybr ides se lon

les problèmes d’optimisation traités. Parmi les problème s concernant les systèmes

logistiques, on retrouve de nombreuses références pour la conception de réseaux

logistiques (p-median), l’élab oration de tournées de véhicules (TSP ou VRP), la

résolution de problèmes de planification (lot-sizing) ou d’ordonnancement (flow-shop,

job shop. . .).

La programmation par contraintes (PPC) est une technique d’optimisation qui

co nsi ste à mo dé lise r un pro blè me à l’ aide de var iabl es de dé cis ion et de co ntra inte s. La

reche rche d’une solution s’appuie sur la propagation des contraintes, qui restreignent les

ch am p s d e val e u r s q u e p e u vent p r e nd r e l es var i a bl e s . Au c o nt r ai r e d es m é t ah e u r i s t iq u e s ,

la PPC est reconnue p our être une techn ique efficace p our résoudre des problèmes de

dé c is io n, m ai s p eu e ffic ac e p o ur l es pr ob lè m es d’ o pt im is at io n . L ’i dé e e st do nc v enue

d’hy bri de r c es de u x t ec hn iq ue s a fin de t ir er b é né fic e de l eu rs ava nt ag e s re s p e ct if s . D eu x

st rat égi es sont p os sibl es se lon la mé tho de d’ opti mis ati on qui pi lot e la mé tho de hy bride .

- 373 -


La première consiste à développ e r une métaheuristique dans laquelle la programmation

pa r c on tr ai nt es e st ut i li sé e c om me un o ut il e ffic ac e p o ur e xp lo re r de s vo is in ag e s de

grande taille. La deuxième consiste à d é velopp er une métho de de recherche arb orescente

et à ut ilis er une mé tah euri sti que ou bien p our am éli ore r des nœuds de l’ arbr e, ou bien

p ou r e xp lo rer d es ch em ins vo is ins d e ce lu i d éfi ni p ar l ’a lg ori th me g lou to n d ’e xpl or at ion

d’ a rbr e. [ Fo ca cci et al. 03 ] et [ Van Henten ryck et al. 09] consti tuent deux premiè res

lectures sur le sujet. Cette technique hybride a été utilisée avec succès sur des problèmes

de t ou rné e s de vé hi cu le s [ De Backer et al. 00 ] ou de s pr ob lè m es d ’o rd on na nc em ent

[Beck et al. 11].

13 .2 .3 L’ hy bri da ti on M éta he uri st iq ue /M éth o de d’ éval ua ti on

des p erformances

Les mo dèles d’évaluation des p erformances p ermettent de prendre en compte la

co mpl exi té st ruct ure lle et fo nct ion nell e des sy stè mes lo gis tiq ues . Leur ut ilis ati on est

pa rt i cu li èr em e nt a da pt ée dè s l or s q ue :

– les indicateurs de p erformance qui sont définis ne p euvent pas être calculés par

de s f on ct io ns a na ly ti q ue s s im pl es . Le f on ct io nn e me nt du s ys tè me e st ré g i pa r

des règles complexes. Il est alors nécessaire de simuler le fonct ionnement du

sy stè me p our en éval uer sa p er form anc e ;

– ce rta ine s do nnée s sont mo dé lisé es par des lois st ati sti que s et il est né ces sai re de

répliquer un grand nombre de fois le fonctionnement d’un systè m e p our intégrer

de s no t io ns de ro bu st e ss e.

Dans cette partie, nous allons centrer notre discours sur les mo dèles de simu lation.

Les termes d’optimisation par simulation, ou d’appro che conjointe simulation/

optimisation sont en effet couramment utilisés dans la littérature. Pour preuve, les

logiciels commerciaux de simulation à é vènements discrets comprennent depuis longtemps

des mo dules d’optimisation basés sur de s algorithmes évolutionnaires, scatter

search, un recuit simulé ou une mét ho de tab oue co mme on p eut le voir dans [Fu 02] ou

[ April et al. 03]. La te chnique d’hybridation qui en résulte (simulation # optimisation)

est la suivante : la mé tho de d’ opti mis ati on fo urni t des so lut ions qui sont éval uée s

pa r le l og ic ie l à é vè ne me nts di s cr et s. [ Fu 02 ] discu te des au tres ty p es de lia isons q ui

p eu ve nt e xi ste r ent re l ’op ti mi sat io n e t l a si mu la tio n.

Dans le contexte de la gestion de la chaîne logistique, de nombreux travaux

montrent l’intérêt de cette hybridation. Le lecteur qui souhaite approfondir le sujet

p ou rr a c on su lte r [ Ab o-Hamad et al. 10] qu i d o n n e nt un é t a t d e l ’a r t r é c e nt. L a fi g u r e

13.8 extraite de cet article montre bien les interactions entre le mo dule d’optimisation

et le mo dèle de si mula tio n. Le mo dèle de si mula tio n p er met de gé rer les in cert itu des

et la co mpl exi té du sy stè me.

[M el e et al. 05 ] uti li sent c et te techni qu e hybr ide su r un e chaî ne logi st ique s elon u ne

appro che décent ra lisée. Chaque acteur de la chaîne est représenté par un agent et tous

les agents sont intégrés dans le mo dèle de simulation. Ce mo dèle est couplé (figure

13.9) avec un algorithme génétique p our la partie optimisation. Plu s récemment, une

appro che analogue a été menée par [Nikolopoulou et

al.

12] avec de la PLNE.

- 374 -


Incer-tudes(

Op-misa-on(

?(

?(

?(

Variables(de(décision(

x Modèle(de((

1( chaîne(logis7que(

f 1(

x 2(

f 2(

x N(

f M(

Contraintes(

Modèle(de(simula7on(

Figure 13.8 – Exem ple d e cou pl age o pti mis ati on/ sim ula tio n p our u ne c haî ne lo gis tiq ue

[Ab o-Hamad et al. 10].

Début&

Paramétrage)

des)variables)

opéra2onnelles)

Simula2on)mul26agent)de)la)chaîne)logis2que)

Agents)sites)

de)produc2on)

Métaheuris2que)

mul2objec2f

Agents)sites)

de)stockage)

Agents)

clients)

Autres)

agents)

oui)

Fin&

non)

Critères)de))

convergence/))

d’op2malité)

Évalua2on)

d’indices)de)

performance)

6 Profit)

6 Sa2sfac2on)

client)

6 …)

Poli2ques)de)ges2on,)modules)d’ordonnancement,)

autres)modules)d’op2misa2on)

Figure 13.9 – Exemple de couplage métah euristique /simulation p our une chaîne logistique

déce ntralisée [Mele et al. 05].

- 375 -


13.3 Application pour le pilotage de

la chaîne logistique

13 .3 .1 P réa mb ul e

Nous avons montré l’imp ortance de consid érer l’étude d’un sys tè me logistique dans

sa gl oba lit é. [ Griffi s

et al. 12 ] n o te nt q u e l ’ u n d es i nt é r ê t s m a j e ur s d e s m é t ah e u r i st i q u e s

p ou r l’ ét ud e d es pr ob lè mes l ogi st iq ues e st q ue c es m ét ho de s p e rme tt ent d e p re nd re e n

co mpt e pl usie urs pro blè mes si multa ném ent (l es au teu rs ut ilis ent le te rme de pro blè mes

hy br i d e s ) . L e s a u te u r s m e nti o n n e nt un c e r t a in n o mb r e d ’ e x e m p le s q u i so nt l e s s ui vant s :

– P ro bl èm es de lo c al is at i on /t ou rn ée s de v éh ic ules (location routing problem) : il

s’ agi t de dé ter mine r l’ empl ac eme nt des si tes de pro duc tio n et des en tre pôts

combiné avec le pro blè me de di stri buti on.

– P ro bl èm es de s to cka ge /t o ur né es de v éh ic ul es (inventory routing problem) : c e

pr ob lè m e c on si st e à di s tri bu e r un pr od ui t à un e ns em bl e de c li ents sur un

ho ri z on de t em ps , c ha qu e c li en t ayant sa pr op re c on so mm at i on et c ap ac it é de

sto ckag e.

– P ro bl èm es d’ a cha t /t ou rn ée s de v éh ic ul es : dé c is io ns re l at iv e s au c ho ix de s

f ou rn is se ur s et à l ’é la b o ra ti on de s t ou rné e s.

– P ro bl èm e de c on ce pt i on de ré s ea ux l og is ti q ue s m ult i -é che l on s : dé c is io ns re l at ives

au nombre et à l’empla cement de différentes entités physiques de la chaîne

logistique (sites de p roduction , p lates-formes de distribution, dé taillants. . .)

Ces exemples illustrent des combinaisons de problèmes concernant la conception

de ré s ea ux l og is ti q ue s. L es t ro is pr em i er s pr ob lè m es dé fi nis s en t une s yn ch ro ni sa ti o n

ve rt i c a l e e n i nt é g r an t d e u x n i vea u x d e d é c is i o n : l ’ u n r e l at i f à l a c o n c e pt i o n d e

réseau logistique (choix de l’emplacement des sites, des fournisseurs, des fréquences

de l iv ra is on ) et l ’a ut re à l ’é la bo ra t io n de s t ou rné e s. La ré s ol ut io n c on jo in te de c es

pr ob lè m es p e rm et d’ o bt en ir de m ei ll eu rs ré s ul ta ts q ue si c es pr ob lè m es ava ie nt é té

co nsi déré s sé paré me nt. Le de rnie r ex emp le dé finit une synchro nis ati on ho rizo nta le

entre les éc hel ons de la ch aîne lo gis tiq ue. Les au teu rs co nsi dère nt ce pro blè me co mm e

hy br i d e e n t a nt q u e c o mb i na i s o n d e p l u s i eu r s p r o b l è me s d e c on c e p t i o n d e r é se a u , u n

p ou r cha qu e éch el on ( ch oix d es l o ca lis at io ns d es s it es d e p ro du ct io n et de s p lat es -f orm es

de di s tri bu ti o n pa r e xe mp le ) .

En pl us de c es q ue lq ue s e xe mp le s , de no m bre us e s a ut re s c ombi na i so ns de pr ob lè m es

s’avè rent in tére ssa ntes à ét udie r dans le co nte xte de la ge sti on de la ch aîne lo gis tiq ue.

Pa rm i el l e s , n o u s p ou vo n s c i t e r p ou r l a s y n ch r on i s a t i o n h o ri z o nt a l e :

– pl a ni fic at io n t ac ti q ue : av ec l ’é tu de de s pr ob lè m es de t ai ll e de l ot s mul t is it es ,

– ordonnancement multisite : avec la prise en compte du transp ort d es pro duits

entre les si tes ,

– di s tri bu ti o n de s pro du it s fin is a ux c li en ts : m ut ua li sa ti o n de s t ra ns p o rt s

et p our la sy nchr oni sat ion ve rti cal e :

– planification tactique : synchronisation du Plan Industriel et Commercial et

de s P la ns D ir ec te ur s de P ro du c ti on ,

– ordonnancement : synchronisation entre le prédictif (ordonnancement hors ligne)

et le ré act if (o rdon nanc em ent en li gne ).

- 376 -

13.3 Application p our le pilotage de la chaîne l ogi sti que

Les métho des mises e n œuvre p our résoudre ces problèmes combinés sont généralement

basées sur la décomp osition en revenant aux problèmes de base. Une métho de

d’ o pt im is at io n e st a ss o c ié e à c ha cu n de s pr ob lè m es de ba s e. No u s re t ro uv on s l es t ro is

grandes classes de métho des que nous avons définies dans la section précédente :

– le chaînage de métho des : cette techniqu e p eut être utilis é e lorsqu’on a un

pr ob lè m e “ ma ît re ” et un pr ob lè m e “ es cl av e” , c om me c ’e st le c as da ns la s yn -

ch ro n i s a ti o n ver t i c al e o ù l e s dé c i s io n s pr i s e s au ni ve a u le pl u s él e vé ont d es

rép ercussions sur le niveau inférieur. Ces métho des consistent à résoudre séquentiellement

le problème “maître” puis le problème “es clave”. La solution

obtenue par la première métho de est donnée en entrée d e la deuxième.

– le couplage s é quentiel : ces métho des reprennent le schéma p ré cédent, mais au

lieu de s’arrêter, la deuxième métho de remonte de l’information à la première,

relançant ainsi le pro cessus de résolution. Dans cette démarche, les métho des de

résolution sont considérées au même niveau. La diffi

culté de ce type d’appro che

est la dé finit ion des in form ati ons ci rcul ant d’une mé tho de à l’ aut re.

– le couplage hiérarchique : contrairement aux métho des itératives, ce couplage

induit une priorité sur le s métho des. La première métho de fait app el à la

se con de dur ant son ex éc utio n p our ré soud re un so us- probl ème .

Ces combinaisons de problèmes constituent une étap e p ermettant d’aller vers une

vision intégrée de la chaîne logistique dans la prise de décision. C’est p ourquoi nous

pr op o so n s de m et tr e en ava nt q ue lq ue s- un s d’ e nt re e ux ( pl an ifi ca ti o n de la pro du c ti on ,

Location Routing Problem, Lot-Sizing Problem

et Sy stè me Fl exi ble de Pro duc tio n)

et de pré senter, p our ch acu n d’ eux, une sé lec tio n de mé tho des hy bride s à base de

métahe uri stiques qui ont été prop osées dans la littérature. La figure 13.10 montre les

ty p e s d e s y n chr o n i s a t i on c o rr e s p on d a nt à ch a c un d e s p r o bl è m e s .

Figure 13.10 – Problèmes choisis et types de sync hronisatio n.

- 377 -


13 .3 .2 P lan ifi ca ti on de la pro du ct io n

[Su on et al. 10] se sont int éressés à l a planifica tion de la pro du ction et de la

di s tri bu ti o n de pro du it s à ho ri z on s tr at ég i qu e da ns un ré s ea u l og is ti q ue à de u x é ch el on s

co mp osé de si tes de pro duc tio n et de zo nes de co mme rci ali sat ion.

So i ent N l’ensemble des types de pro duits, P Z (resp. S Z ) l’ e n s emb l e d es zo n e s de

pr o du ct io n ( re sp . de c om me rc ia l is at io n) , D L l’ensemble des routes. o k,u (resp. d k,v )

vau t 1 s’ il e x is te l a ro ut e de d is tr i bu ti on k 2 D L qui débute (resp. finit) à la zone

de pro du c ti on u 2 P Z (resp. la zone de commercialisation v 2 S Z ). f di,v représente

la demande prévisionnelle d e la zone de commercialisation v 2 Z C en pro duit de

ty p e i 2 N

. La p ro du ct io n d’ un p ro du it n éc es s it e un e ou p lu si eu rs t ech no lo gi es

de pro du c ti on , xci,t vau t 1 s i le typ e d e p ro d u it i 2 N

né c es si t e la t echn ol o gi e de

pro du c ti on t 2 P T . La cap acit é de pro du ctio n de la te chno logi e de pro du ctio n t 2 P T

de la z on e de pro du c ti on u 2 P Z do i t ê tr e c om pr is e entre c a p_mint,u et c a p_maxt,u .

L’ob jectif est la minimisation des coûts d’achat de matières premières, de pro duction

et de di stri buti on. sci,u représente le coût d’achat des matières premières p our un

pr o du it de t yp e i 2 N

réalisé par la zone de pro duction u 2 P Z . f ct,u (resp. v c t,u )

représente le coût fixe (resp. le coût variable) p our la technologie de pro duction t 2 P T

et la zone de pro duc tio n u 2 S Z . tc i,k (resp. dr i,k ) est le co ût unit aire de t ransp o rt

(resp. le taux de taxe) pour le type de pro duit i 2 N

et la ro ute de di stri buti on

k 2 D L .

Les variables du mo dèle sont les suivantes :

P i,u la quantité de pro duits de type i 2 N

f ab ri qu és pa r la z on e de pro du c ti on

u 2 P Z

Y i,k la quantité de pro duits de type i 2 N

transp ortés sur la route de distribu

ti o n k 2 D L

mc i,u ( P )

le coût unitaire de fabrication d’un pro duit du typ e i 2 N

pa r la z on e de

pro du c ti on u 2 P Z

dc i,k ( P )

le coût unitaire de distribution d’un pro duit du type i 2 N

sur la ro ute

de di s tri bu ti o n k 2 P Z

N

minz =

Yi,k . d ci,k (13.1)

i=1

k2DL

- 378 -


sous les co ntra intes :

d k,v .Y i,k = f d i,v , 8i 2 N , 8v

2 S Z (13.2)

k2DL

xc i,t .P i,u apple c a p_max t,u, 8t

2 P T , 8u 2

P Z

(13.3)

i2N

xc i,t .P i,u c a p_mint,u, 8t

2 P T , 8u 2

P Z

(13.4)

i2N

⎛

k2DL

mci,u =

f ct,u

+ xci,t.v ct,u

t2P T / ⎜

P

⎝

i 0 ,u

⎟

⎠

xci,t>0 i 0 2N/

xc i 0 ,t>0

dc i,k = tc i,k + dr i,k .

o k,u .(sc i,u + mc i,u )

u2P Z

o k,u .Y i,k = P i,u , 8i 2 N , 8u

2 P Z (13.5)

⎞

8i 2 N , 8u 2

P Z (13.6)

8i 2 N , 8k 2

D L (13.7)

P i,u 0, 8i 2 N , 8u 2

P Z (13.8)

Y i,k 0, 8i 2 N , 8k 2

D L (13.9)

La contrainte 13.2 concerne le resp ect de la demande. La contrainte 13.5 indique

que le sto ckage n’est pas autorisé dans les zones de pro duction. Les c ontraintes 13.3 et

13.4 expriment le resp ect des capacités des techno logies de pro duction. La contrainte

13.6 p ermet le calcul d u coût unitaire de pro duction. La contrainte 13.7 concerne le

ca lcu l du coût uni tai re de di stri buti on. Les qu ant ité s pro dui tes et di stri buée s sont

p os it ives s el on l es c ont ra inte s 13 .8 e t 1 3. 9.

Po ur c o nto u r n e r l a n o n - l i né a r i t é d e l a f on c t i o n o b j e c t i f , l e p r o b l èm e a é t é d é c o m p o s é

en deux so us- probl ème s : le pre mie r co nce rne la dé ter mina tio n des qu ant ité s à pro duir e

pa r c ha qu e s it e de pro du c ti on et le s ec on d s ’i nt ér es se à la di s tri bu ti o n de c es pro du it s

vers les zones de comme rc ialisatio n. Cette décomp osition est partie du constat que

le sec ond problème revient à un problème de transp ort classique formalisable par

un mo dè l e l in éa ir e. La m ét ah eu ri st iq ue hy bri de pr op o sé e ( fig ure 1 3. 11 ) s ’i nt ér es se

do nc un iq ue m ent à la ré pa r ti ti on de s q ua nt it és à pro du ir e, la di s tri bu ti o n, p o ur une

répartition donnée étant assurée par la résolution du mo dèle liné aire . La métho de

prop osée se note (ILS ⌧ P L) .

- 379 -


Figure 13.11 – Meta heuristique hybride proposée par [Suon et al. 10].

13 .3 .3 Location routing problem

C’est un problème de synchronisation parmi les plus anciens et les plus étudiés.

Il combine deux problèmes NP-difficiles : le

Facility Location Problem (FLP) et le

Vehicle Routing Problem (VRP). Il s’agit de déterminer la lo calisation d’installations à

ouvrir parmi un ensemble d’installations p otenti elles, d’affecter tous les clients à une

installation ouverte et de résoudre le problème de tournée s de véhicules. L’ob jectif est

de m ini m is er l ’e ns em bl e de s c oû ts , à s avo ir l es c oû ts d’ o uv er tu re de s i ns ta ll at i on s, l es

co ûts des vé hic ule s et les co ûts des di sta nce s pa rco urue s.

So i ent V = I [ J

l’ensemble des sommets du graphe où I dé s ig ne l ’e ns em bl e de s

lo calisations p otentielles p our les dép ôts et J l’ensemble des clients. À ch aqu e dép ôt

i 2 I

sont asso ci és une ca pac ité Wi et un coût d’ expl oit at ion Oi . Chaque client j 2

J

a une d em ande dj . Les c oûts de d éplac ement entre de ux somm ets i et j sont ci,j .

K dé s ig ne l ’e ns em bl e d’ un e flo t te ho m og èn e de v éh ic ul es de c ap ac it é Q. Un c o û t fi x e

F est im puté aux vé hic ule s ut ilis és dans la to urné e.

Les variables du mo dèle sont les suivantes :

y i = 1 si le dép ôt i 2

I

est ou ver t, 0 si non,

f i,j = 1 si le cl ien t j 2 J

est li vré par le dép ôt

i 2 I

, 0 sinon,

xi,j,k = 1 si le vé hic ule k 2 K

em prunte l’ arc

( i, j ) 2 V 2 .

minz = i2I

O i y i + i2V

j2V

k2K

c i,j x i,j,k + i2V

F x i,j,k (13.10)

j2V

k2K

- 380 -


So us l es c on tr ai nt es :

x i,j,k = 1 , 8j 2 J

(13.11)

k2K

i2V

d j x i,j,k apple Q, 8k 2

K (13.12)

j2J

i2V

j 2 V xi,j,k j2V

x i,j,k apple 1, 8k 2

K (13.14)

x i,u,k +

u2J

i2I

j2J

xj,i,k = 0 , 8k 2 K , 8i 2 V

(13.13)

xi,j,k apple | S | 1, 8S ⇢ J, 8k 2 K

(13.15)

i2S

j2S

x u,j,k apple 1 + f i,j , 8i 2 I , 8j 2 J, 8k 2 K

(13.16)

u2 V \ j

j2J

dj fi,j apple W i yi , 8i 2 I

(13.17)

x i,j,k = { 0, 1}, 8i 2 V , 8j 2 V , 8k 2 K

(13.18)

y i = { 0, 1}, 8i 2 V

(13.19)

fi,j = { 0, 1}, 8i 2 V , 8j 2 V

(13.20)

L’ob jectif 13.10 est de minimiser la somme de trois termes : les coûts d’exploitation,

les coûts de transp ort et les coûts des véhicules. La contrainte 13.11 stipule que chaque

cl ient ap part ien t à une et une se ule to urné e. Les ca pac ité s des vé hic ule s sont resp ec té es

pa r la c ont ra in te 1 3. 12 et c el le de s dé p ô ts pa r la c ont ra in te 1 3. 17 . L es c on tr ai nt es

13.13 et 13.14 garantissent la cohérence des tournées. Les contraintes 13.15 sont les

contr aint es d’ éli mina tio n des so us- cyc les . La co ntra inte 13 .16 as sure qu ’un cl ien t est

livré. Les contraintes 13.18 à 13.20 indiquent que les variables sont binaires.

Ce mo dèle est basé sur les mo dèles du CPLP (Capacitated Plant Location Problem)

et du VRP. Le CPLP est un mo dèle de loca lisation mono-p ério de. Une fois la structure

du ré s ea u dé fi ni, il e st i mp o ss ib le de le f ai re é vo lu er da ns le t em ps . Une p e rs p e ct iv e à

ces travaux p ou rrai t être de co uple r un mo dèle mul tip ério de avec le VRP.

[Nagy et al. 07 ] prop osent un ét at de l’art sur ce p ro blème. Les aute urs précisent

qu’en dehors de quelques problèmes sp écifiques p our lesquels le s métho des exactes

sont effica ce s, la pl upart des mé tho des de ré sol utio n sont des mé tho des appro chées

hy br i d e s q u i s ’a p p u i e nt s u r l a d éc o m p os i t i o n d u p r o b l è m e e n d e u x s o u s - p r ob l è m e s : l e

FLP et le VRP.

[P ri ns et al. 07] pr op o sent un e mé th o de i tér ati ve en de ux p has es . La p rem iè re

ph as e e st une re l ax at i on l ag ra ng ie nn e q ui ré s ou t le s ou s- pr ob lè me de lo c al is at i on .

Po ur c et t e p h a s e , l es c li e nt s d e ch a q u e r ou t e s o nt a g r é gé s e n u n s u p e r - c li e nt . C e t te

agrég ation est obtenue à partir de la solution initiale ou à partir de la solution obtenue

à l’ i t é r at i o n p r é cé d e nt e. L a s e c o nd e p h a s e ré s o u t l e pr o b l è m e de t o u r n ée s d e vé h ic u l e s

à l’aide d’un e recherche ta b ou hybridée avec une recher che lo cale. Un m écanisme de

- 381 -


réinitialisation d’une solution initiale, qui tient compte de l’historique de s solutions

obtenues, est réalisé p our prévenir une convergence prématurée de l’algorithme dans

un minimum lo cal. Cette métho de p eut se noter (RL) ⌧

((TS)#(LS)).

[Bo cc ia et al. 10 ] consi dè re nt un LRP à deu x échelo ns . Un p re mi er é chelon es t

co mp osé d’ inst all ati ons de gr ande ca pac ité , si tué es gé nér ale ment loin des cl ients, et un

de u xi èm e éche l on c ont en an t de s i ns ta ll at i on s di t es s at el li t es , de c ap ac it é m oi nd re .

Ils décomp osent le problème en deux LRP mono-échelon, chacun étant de nouve

au d é c om p o sé e n de u x so u s - p r ob l è m e s : u n p r ob l è m e de l o c a l i s a ti o n avc ca p a -

cité (CFLP - Capacitated Facility Location Problem) et u n VR P mu lt idé p ôt . Le s

auteurs prop osent une recherche tab ou dans laquelle ils combinent une appro che

itérative sur les deux problèmes mono-échelon, et hiérarchique pour chacun d’eux

((TS)#(TS)) ⌧ ((TS)#(TS)).

13 .3 .4 Le Multi-Plant Multi-Product Capacitated Lot-Sizing

Problem

Les problèmes de taille de lots c ons istent à déterminer sur un horizon à moyen

terme (de 6 à 18 mois) découp é en p ério des, les quantités de pro duits à fabriquer de

manière à minimiser la somme des coûts (pro duction, lancement et sto ckage) tout en

garantissant la satisf action de la demande à chaque p ério d e. Les coûts de lancement

sont en gé nér al une es tim ati on de la p erte de pro duc tiv ité due à un ch ang eme nt de

pr o du c ti o n et q ui né c es si t e de s ré g la ge s sur la l ig ne de pro du c ti on . La c on tr ai nte de

capacité assure que le p otentiel de pro duction à chaque p ério de n’est pas dépassé. Il y

a plusi eurs s ites de p ro duc tion. L e mo dèl e prése nté inc lut pl usieu rs pro d uits, c e qui

p ermet de gérer une nomenclature et de faire du CBN (calcul des b esoins nets).

Le mo dèle mathématique qui est donné ici a été prop osé par [ Sa mba s ivan et al. 05].

Les données du problème sont les su ivantes :

M dé s ig ne l ’e ns em bl e de s s it es de pro du c ti on , N l’ensemble des pro duits et T

l’ensemble des p ério des. di,j,t représente la demande p our le pro duit i au site j à la

p ér io d e t . Pj,t dé s ig ne la c a pa ci té de pro du c ti on du s it e j à la p ério de t. Mi,j,t , Vi,j,t et

Hi,j,t représentent re s pectivement les coûts de pro duction, de lancement et de sto ckage

p ou r l e pr o du it i au site j à la p ério de t . rj,k,t représente le coût de tran sport d’une

un it é de pro du it du s it e j ve rs l e s i te k . u i,j représente le taux de pro duction et si,j le

temps de lancement d u pro duit i au site j .

Les variables de décision sont :

xi,j,t la quantité de pro duit i 2 I

f ab ri qu ée sur le s it e j 2 M

p en da nt l a p ér io d e

t 2 T

,

Ii,j,t la quantité de pro duit i 2 N

en sto ck sur le site j 2 M

p en da nt l a p ér io d e

t 2 T

,

w i,j,k,t la quantité de pro duit i 2 N

transp ortée de j 2 M

ve rs k 2 M

p en da nt l a

p ér io d e t 2 T

,

zi,j,t = 1 s’il y a un la nce men t de pro duc tio n du pro duit i 2 N

au site j 2 M

à

la p ério de t 2 T

, 0 s in on

- 382 -


min z = i2N

⎛


j2M

t2T

⎝ M i,j,t x i,j,t + V i,j,t z i,j,t + H i,j,t I i,j,t +

k2 M

\{ j

}

r j,k,t w i,j,k,t

⎞

⎠ (13.21)

Ii,j,t = Ii,j,t1 + xi,j,t

w i,j,k,t +

w i,l,j,t di,j , 8i 2 N , 8j 2 M , 8t 2 T

(13.22)

k2 M

\{ j

}

l2 M

\{ j

}

⎛

⎞

xi,j,t apple ⎝

b

= t

T d i,j,b

⎠ zi,j,t , 8i 2 N , 8j 2 M , 8t 2 T

(13.23)

j2M

i2N

xi,j,t

u i,j

+ si,j zi,j,t

apple Pj,t , 8j 2 M , 8t 2 T

(13.24)

x i,j,t 0, I i,j,t 0, 8i 2 N , 8j 2 M , 8t 2

T (13.25)

w i,j,k,t 0, 8i 2 N , 8j 2 M , 8k 2

M \{ j

} (13.26)

zi,j,t 2 { 0, 1}, 8i 2 N , 8j 2 M , 8t 2 T

(13.27)

L’ob je ctif est de minimise r la somme de s coûts de pro duction, de lancement, de

sto ckage et de tr ansp ort de fa ço n à sa tis fai re les différentes co ntra intes du pro blè me.

La contrainte 13.22 indique l’équilibre des sto cks entre deux p ério des consécutives. La

contr aint e 13 .23 imp ose un la nce men t de pro duc tio n p our p ou voi r pro duire sur une

p ér io d e. L a c ontr ai nt e 1 3. 24 as su re q ue l a c ap aci té d e p ro d uc tio n n’ es t p as d ép ass ée .

Les contraintes 13.25 à 13.27 sont les contraintes de p os itivité, d’intégrité et de binarité

de s va ri ab le s.

[Nascimento et al. 10] pr op os ent un e hy bri dat io n GRA SP/ Path relinking

((GRASP) ⌧ (PR)). GRASP [ Feo et al. 89] e s t un e m é t ah e u ri s t i q u e d e ty p e mu l t i -

start, qui s’apparente à une recherche lo cale itérée. Cette métho de consiste à générer

de s s ol ut io ns à pa rt i r d’ un e m ét ho de g lo ut on ne ra nd o mi sé e, c ha cu ne de c es s ol u-

tions servant de solution initiale p our une recherche locale. Path-relinking est une

techn iqu e initialement prop osée p our la recherche tab ou, mais qui a été égale m e nt

hy br i d é e ave c s u c c ès d a n s d es a l g o r it h m e s g é n é t iq u e s [Reeves et al. 98 ] ou GRA SP

[ Resende et al. 05 ]. Cette technique consiste à explorer une tra jectoire dans l’espace

de re c he rche en re l ia nt de u x s ol ut io ns . L ’h yb ri da ti on c on si st e à g ar de r en m ém oi re un

en semble de so lut ions él ite s et à co nst ruire de no uve lle s so lut ions en co nne cta nt ces

so lut ions él ite s avec ce lle s gé nér ées par GR ASP.

Po ur c e ty p e d e p r o bl è m e s , n o u s t r o u von s b e a u c o u p d e t r avau x m e nt i on n a nt l ’ u t i -

lisation de techniques comme la relaxation lagrangienne (des capac ités de pro duction

et des co ûts ) ou la pro gra mma tio n par co ntr ainte s. Les mé tah euri sti que s sont mo ins

ut i li sé es c ar l es pr ob lè m es de t ai ll e de l ot s ne se pr êt e nt pa s a is ém en t à la dé fi nit i on

- 383 -


d’ un v oi si na g e. Le f ai t d’ a ug me nt er ou de di mi nu e r m êm e l ég èr em e nt la pro du c ti on

d’ un pro du it s u r un s it e et p e nd an t une p é ri o de p e ut avo ir de s ré p e rc us si on s sur l es

p ér io d es a mont e t aval . U n e xe mp le de vo is ina ge e st p ar ex em ple d éc ri t e n d ét ail d an s

[ Lemoine 08]. Le développement de nouvelles métho des hybrides entre une métahe u -

ristique et une appro che de programmation par contraintes nous semble une piste

d’ i nv es ti g at io n pr om e tt eu se p o ur ce t yp e de pr ob lè m e.

13 .3 .5 Les sy st èm es fle xi bl es de pro du ct io n

Nous consacrons cette partie à l’étude d’un système logistique réduit à un site de

pr o du ct io n : l es s ys tè me s fle x ib le s de pro du c ti on ( SF P) . D an s la c ha în e l og is ti q ue ,

les SFP sont dédiés à la transformation d’un prod u it. Les SFP sont des systèmes

enti ère ment au tom ati sés dans le squ els on re trou ve des îl ots de pro duc tio n (que nous

dé s ig ne ro ns pa r a bus de l an ga ge pa r m achi ne s ) int er co nn ec t és pa r un s ys tè me de

transp ort. Les systèmes de transp ort les plus c ommunément utilisés sont les véhicules

automa tiquement guidés ou chariots filoguidés. Les SFP ont la réputation d’être

co ûte ux et diffici les à pi lot er, mais ils offrent l’avan tag e d’ être fle xibl es, c’ est -à- dir e de

p ou vo ir s ’a da pte r au x flu ct ua ti ons d e la de ma nd e. L a l it té rat ur e l es c on ce rn ant es t

ab ondante. Nous conseillons [Le-Anh 05] en première lecture.

Un des intérêts des SFP est que nous retrouvons à l’intérieu r d’un site de s problématiques

analogues à celles énoncées p our les systèmes logistiques multisites. Nous

retrouvons les problèmes de conception de l’atelier avec le Facility Layout Problem qui

co nsi ste à p os iti onne r les îl ots de pro duc tio n dans l’ ate lie r de ma niè re à mi nimi ser les

flux phy si qu es q ui t ra ns it er on t à l ’i nt ér ie ur , de c on ce pt i on du s ys tè me de t ra ns p o rt ,

de p o si ti on ne me nt de s p o ints de cha rg e me nt /d é cha rg e me nt , de di me n si on ne me nt de

la flotte de véhicules, d’ordonnancement “hors ligne” (prédictif, les véhicules utilisent

un pa rc o ur s pr éd é fini p o ur a ll er d’ un p o in t A à un p o int B ), d’ o rdo nn a nc em en t “ en

ligne” (dynamique, les véhicules déterminent leur parcours en temps réel en fonction

du trafic). Ces problèmes sont en général traités séparément en raison de leur difficulté,

bi e n q ue de no m bre ux a ut eu rs en re c on na is se nt l es l im it es .

[Deroussi et al. 13 ] ont étu dié la sy nchron isati on verti cale entre les p roblè mes de

co nce pti on et d’ ordo nnan cem ent dans un SFP. Les au teu rs se sont pl acé s dans le ca dre

d’ un ré a ge nc e me nt d’ a te li e r ( ni ve au t ac ti q ue ) p o ur l eq ue l l es z on es de pro du c ti on et le

réseau de transp ort restaient inchangés. Seules des p ermutations de machines étaient

p os si bl es à l ’i nt éri eu r d es zo ne s d e p ro du ct ion . L e p ro blè me c on si dér é s e f or mal is e s ou s

la forme d’un problème d’aff

ectation quadratique.

Le problème est mo délisé sous la forme d’un ate lie r de type job-shop. M dé s ig ne

l’ensemble des machines et L l’ensemble des zones de pro duction (l’ob jectif étant

d’a ff e ct er l es m ac hi ne s a ux z on es de pro du c ti on , no us av on s c la ir em e nt

| L |

= | M |

).

O dé s ig ne l ’e ns em bl e de s op é ra ti on s à e ffe ct ue r,

o i,j 2 O ét ant la i ème op ération de la

j ème pi è ce . Une op é ra ti on fic t iv e e st a j ou té e en dé b ut de g am me p o ur c ha qu e pi è ce

co rre spon dant à l’ ent rée de la pi èce dans l’ ate lie r. O + dé s ig ne l ’e ns em bl e de t ou te s

les op érations (réelles et fictives). µi,j renseigne sur le typ e de machine requis p our

réaliser l’op ération oi,j 2 O et 2 {0 ⌧m,µi,j , 1 } est une ma tric e de co mpa tibi lit é en tre

- 384 -


les machines et les type s. E n fin, t l1,l2 est la ma tric e des te mps de tr ansp ort en tre les

zo nes l1 et l 2 .

Les variables de décision sont :

x m,l = 1 si la machine m 2 M

est affec té e à la zone

l 2 L, 0 sinon

yoi,j,l = 1 si l’op ération oi,j 2 O + est affec té e à la zone

l 2 L, 0 si no n


minz =

t l1 ,l 2 y oj,i1,l 1 y oi,j ,l 2 (13.28)

oi,j2O

y oi,j,l apple

l 12L

l 2 2L

xl,m = 1 , 8l 2 L

(13.29)

m2M

xl,m = 1 , 8m 2 M

(13.30)

l2L

y oji,l = 1 , 8o

i,j 2 O + (13.31)

l2L

, ⌧m,µ x i,j m,l 8oi,j 2 O + , 8l 2 L

(13.32)

m2M

x m,l 2 { 0, 1}, 8m 2 M , 8l 2 L

(13.33)

y oi,j ,l 2 { 0, 1}, 8o

i,j 2 O + , 8l 2 L

(13.34)

La fonction ob jectif minimise la somme des temps de transp ort 13.28. Les contraintes

13.29 et 13.30 assurent une bijection entre les ensembles des machines et des zones de

transp ort. Les contraintes 13.31 attribuent une zone de pro duction à chaque op ération

tandis que les contraintes 13.32 garantissent que les op érations seront effectuées su r

de s m ac hi ne s c om pa ti bl e s.

Les limites de ce mo dèle sont qu’il ne p ermet la prise en compte que des déplacements

à charge des véhicules. Or, [Asef-Vaziri et al. 07 , Asef-Vaziri et al. 08 ] so u l ig n ent

que les déplacements à vide des véhicules sont aussi coûteux que les déplacements à

ch ar g e , e t q u ’i l e st d o n c i m p o r t a nt d e p o u vo i r l e s p r e n d r e e n c o m p t e . L a d i ffi c u lt é e s t

que les temps à vide dép endent de la séquence des transp orts et sont très difficile s à

es tim er sauf p our des cas pa rtic uli ers. [ Deroussi et al. 13 ] p ro p o se nt a lo r s un e m ét a he u -

ristique hybride p our résoudre c e problème tout en c ons idérant la prise en compte des

temps de transp ort. La première p h as e con s iste à résoudre avec une métho de exacte

le problème d’aff

ectation quadratique présenté ci-dessus. La d euxième phase prend

en co mpt e les te mps de dé plac em ent à vide en ut ilis ant une appro che s’ appa ren tant

à un G R A SP. D es s o l ut i o n s so nt gé n é r ée s e n u ti l i s ant l e pa r a d ig m e d es c o l on i e s d e

f ou rm is . L ’a ffe ct at i on o bt en ue l or s de la ph as e 1 s er t à dé fi nir l es pr ob a bil i té s ut i li sé es

dans la construction de nouvelles affectations. Ces nouvelles affectations sont évaluées

en ré sol vant un pro blè me de job-shop ave c t r a n sp o r t ( o r d o n na n c e m e nt c o n j o in t d e s

moyens de pro duction et de transp ort). La technique utilisée est une recherche lo cale

itérée couplée avec un mo dèle d e simulation à évènements discrets. Le s résultats

montrent que même sur des instances de p etite taille (cinq zones de pro duction),

- 385 -


l’affectation obtenue à l’issue de la phase 1 p eut être améliorée dans plus de 50 % des

ca s. La mé tho de prop os ée se note (( PLN E) ! ((ACS)#(ILS ⌧

si mul) ))

13.4 Conclusion

Les systèmes logis tiqu e s en général, et la chaîne logistique en p artic ulier, sont des

sy stè mes co mpl exe s co mp os és de no mbre ux ac te urs qui ont ch acu n son in térê t pro pre

mais qui doivent collab orer p our que l’ensemble du système soit le plus efficient p ossible.

Dans ce chapitre, nous avons voulu montrer toute la complexité qui p ouvait résulter

de l ’é tu de de c es s ys tè me s et do nn e r q ue lq ue s pi s te s p o ur l es ré s ou dre . Pour c el a, no us

avo ns re l ayé l’ i nt é rê t qu e re p r é se nt e nt le s m é t a h eu r i s t i qu e s p o u r l e s ch e r ch e u rs du

domaine. Ces métho des d’optimisation p ossèdent en effet de nombreux atouts qui leur

p er me tt ent de ré p on dr e à b e au cou p de s sp é ci fici té s d es s ys tè mes l og is tiq ue s.

Nous avons é gale ment expliqué en quoi la prise en compte de la synchronisation

ho ri z ont al e e t/ ou v er ti ca l e é ta it p e rt in en te . P ou r ce t yp e de pr ob lé m at iq ue , la m is e en

pl a ce de t ec hn iq ue s hy br id e s e st s ou ve nt une s ol ut io n q ui s ’i mp o se . No u s av on s i nt ro dui t

les concepts de chaînage, de couplage séquentiel et de couplage hiérarchique qui

p er me tt ent d e co mb in er u ne m éta he ur ist iq ue ave c un e a utr e m éth o de d ’op ti mis at io n ou

une m ét ho de d’ é va lu at io n de s p e rf or ma nc es . Si l ’i mp o rt an ce de la s yn ch roni s at io n da ns

les systèmes logistiques est reconnue depuis longtemps par d e nombreux chercheurs, le

ch am p d ’ inve s t i g a ti o n d a n s l e d om a i n e e s t e n c o r e l a r g em e nt o uve r t . Ave c l ’ a p p a ri t i o n

de pr ob lé m at iq ue s é me rg ent es t el le s q ue la lo gi st iq ue inv er se , la l og is ti q ue v er te

ou l’intégration de la gestion des risques, les systèmes logistiques s’enrichissent de

no uve ll es a ct iv i té s, de no uv e ll es rè g le s de f on ct io nn e me nt ou de no uv e au x i ndi c at eu rs

de p e rf or ma nc es q ui v ie nn en t e nc or e é la rg ir l es p e rs p e ct ives d’ é tu de .

Gageons que l’activité scientifique dans le domaine restera très active durant le s

pro cha i ne s a nné e s.

- 386 -

Chapitre 14

Métaheuristiques pour

les problèmes de tournées

de véhicules

Caroline Prodhon et Christian Prins

ICD-LOSI, UMR CNRS 6281, Université de Technologie de Troyes, 12 rue Marie

Curie, CS 42060 10004 Troyes Cedex, France

{caroline.prodhon,christian.prins}@utt.fr

14.1 Introduction

Le problè me de base en tournées de véhicules est un problème classique de recherche

op érationnelle réputé NP-difficile [

Lenstra et al. 81 ], plus connu sous sa dénomination

anglo- saxonne vehicle routing problem (VRP)

ou

capacitated vehicle routing problem

(CVRP). À partir d’un dép ôt, il consiste à déterminer un ensemble de tournées de

coût to tal mi nima l p our une flo tte de vé hic ule s de ca pac ité li mit ée, afin de sa tis fai re

les demandes d’un ensemble de clients. La figure 14.1 illustre une solution typique d e

ce

pro blè me.

La recherche théorique et les applications relatives aux problèmes de tourn ées en

f ont une de s c la ss es de pr ob lè m es d’ o pt im is at io n c om bi nat oi re l es pl us é tu di és . L es

pr em i er s trava ux pu bl ié s re m on te nt à D an tz ig et R am se r en 1 95 9 [ Dantzig et al. 59 ],

qui ont formalisé sous le nom de truck dispatching problem un pr ob lè m e ré e l de

di s tri bu ti o n de c ar bu ra nt s à de s s ta ti on s- s er vi ce . D ep ui s, le pa ne l de mo dè l es et de

techniqu e s de résolution a connu une forte croissance. Eksioglu et al. [ E ks io g lu et al. 09 ]

ét abl iss ent ai nsi une ty pol ogi e en se ba sant sur plus de mi lle ar tic les . Une re che rche

sur Go og le Sc hola r avec les mo ts- clé s “v ehi cle ro utin g pro ble m” re cen se même plus de

13 000 références. Les applications industrielles ne sont pas en reste : u n e enquête sur

387

Chapitre 14 – Tournées de véhicules

les logiciels commerciaux [ Pa rty ka et al. 10 ] pré s e nt e 2 2 pr o d u i t s l a r g e m e nt ré p a n d u s

da ns dive rs es i ndu st ri e s. Un a rt ic le de L ap o rt e ré s um e l es pr og rè s i mpr e ss io nn an ts

accomplis en cinquante ans de recherche [Lap orte 09].

Figure 14.1 – Une solution typique d’un problème de tour nées.

M al gr é c et te a ct iv i té f oi so nn an te , l es m ét ho de s e xa ct e s a ct ue ll e s s on t l im it ée s à

de s pr ob lè m es d’ e nvi ro n 1 00 c li ents [Ba lda cci et al. 08 ], alors que les cas réels p euvent

dé p as se r 1 00 0 c li en ts . L es m ét ah eu ri st iq ue s s on t do nc de s m ét ho de s de c ho ix p o ur

traiter des cas réalistes, et on p eut même dire que les problèmes de tournées de véhicules

co nst itue nt un do mai ne d’ appl ica tio n à suc cè s p our ce tte cl ass e d’ alg orit hme s.

Ce chapitre définit dans la section 14.2 le problème de base en tournées de véhicules

et rapp el le ses pri nci pale s var iante s. La se cti on 14 .3 pré sente qu elq ues he uris tiq ues

co nst ruct ives et, sur tou t, les co nce pts de re che rche lo ca le qui sont très ut ilis és dans

les problèmes de tournées. La section 14.4 présente des applications représentatives

de s pr in ci pa l es m ét ah eu ri st iq ue s a ux t ou rné e s de v éh ic ul es . La s ec ti o n 1 4. 5 dé c ri t une

appro che, basée sur le découpage d e tours géants, qui a donn é lieu à des algorithmes

effica ce s p our di vers pro blè mes de to urné es. Un ex emp le d’ appl ica tio n de ce tte te chn ique

est donné en se cti on 14 .6. Enfin, la se cti on 14 .7 co ncl ut le ch apit re.

14.2 Les problèmes de tournées de véhicules

14 .2 .1 Le pr ob lè me de ba se

Le problème de base (CVRP) est défini en général sur un graphe non orienté

co mpl et G = (V , E). L’en semb le de s nœud s V co mpre nd un dép ôt (nœud 0), où est

ba s ée une flo t te de v éh ic ul es i de nt iq ue s de c ap ac it é Q, et n cl ients avec des de mand es

q i p ou r u n pr o du it, i = 1 , 2, . . . , n. Chaque arête [ i, j] de l ’e ns em bl e E représente un

ch em i n o p ti m a l e nt r e l es n œ u d s i et j da ns le ré s ea u ro ut i er ré e l. So n c oû t cij , so u ve nt

une di s ta nc e ou un t em ps de pa rc o ur s, a é té c al cu lé au pr éa l ab le . L ’o b j ec ti f e st de

dé t er mi ne r un e ns em bl e de t ou rné e s de c oû t t ot al m ini m al v is it an t une f oi s c ha que

cl ient. Une to urné e est un cy cle dé buta nt et fini ssa nt au dép ôt, effec tué par un vé hic ule

et dont la ch arg e to tal e n’ exc ède pas Q. Selon les auteurs, le nombre de véhicules est

imp osé ou libre, on p eut avoir un e durée de service si p ou r ch aq ue c li ent , vo ir e u ne

limite L sur le coût d’une to urné e (t emp s de travail par ex emp le) .

- 388 -

14.2 Les problèmes de tournées de véhicules

Le CVRP est NP-difficile car le cas mono-tournée (quand la demande totale tient

da ns un s eu l v éh ic ul e) c or re sp o nd au pr ob lè m e de voya ge ur de c om me rc e ( traveling

salesman problem ou TSP), connu p our être NP-difficile au sens fort. En fait, il

est pa rtic uli ère ment dur car il co mbi ne un pro blè me de type bin packing (affecta-

tion des clients aux véhicules) et un problème de séquencement de type TSP p our

chaque véhicule. Il existe plusieurs formulations usuelles sous forme de programmes

linéaires à variables entières [Toth et al. 01 , Golden et al. 08 ]. La difficulté est d’éviter

la formation de sous-tou rs, c’est-à-dire des cycles ne passant pas par le dép ôt.

Le mo dèle suivant est s an s doute le plus simple. Le dép ôt devient deux nœuds 0 et

n + 1 (départ et arrivée des tournées) et chaque arête [i, j ] do nn e de u x a rc s (

i, j ) et

( j , i ). Les variables bina ire s x k ij sont ég ale s à 1 si le véh icul e k traverse l’arc ( i, j ) .

min

c ij · x k ij (14.1)

k ( i,j)

x k ij = 1 8i = 6

0 , n + 1 (14.2)

j6=

i k

x k ji =

j6=

i j6=

i

i6=0,n+1

j6=

i

x k ij 8i 6= 0 , n + 1 8k (14.3)

q i · x k ij apple Q 8k

(14.4)

t k i + si + cij apple t k j + M (1 xk ij ) 8i (14.5)

x k ij 2 { 0, 1} 8 ( i, j ) 8k (14.6)

t k i 0 8i 8k (14.7)

La fonction ob jectif 14.1 est le coût total d e s tournées. Les contraintes 14.2 et

14.3 assurent la continuité des tournées : un seul véhicule visite le client i et le même

vé h ic u l e e n r ep a r t . L a c a p a c i t é d e s vé h i cu l e s e s t r e s p e ct é e g r â c e a u x c o nt r a i nt es 1 4 .4 .

Les variables t k i représentent l’heure d’arrivée du véhicule k au client i. Da ns l es

éq uat ion s 14 .5, el les servent à év ite r les so us- tour s : si le vé hic ule k va d ir e ct em ent de

i à j (x k ij = 1 ), le terme avec la grande constante p ositive M s’ annule et le vé hic ule

ne p e ut a rri v er en j qu’après avoir servi i et voya gé de i à j . Si l’ arc (i, j) n’ e st pa s

traversé par le véhicule, la contrainte est trivialement vérifiée.

Le CVRP appartient à la famille des tournées sur nœuds (node routing problems),

dans lesquels des tâches sont asso ciées à des nœuds du réseau. Il existe aussi des

pr ob lè m es de t ou rné e s sur a rc s (arc routing problems) où il faut traiter des arcs ou

de s a rê te s, c om me en c ol le c te de s dé c he ts m én ag er s où il f au t ra m as se r l es p o ub e ll es

dans chaque rue. L’équivalent du CVRP en tournées sur arcs est le CARP (capacitated

arc routing problem) : il a un é no nc é similaire, sauf que l’on a u ne demande qij p ou r

ch aq u e a r êt e d u r é s e a u , p a r e x e m pl e u n e q u a nt i té d e d é ch e t s à c o ll e c t e r . U n p a n o r a m a

récent des problèmes de tournées sur arcs p eut être consulté dans [ Corb eran et al. 10 ].

- 389 -


14 .2 .2 Var ia nte s du pr ob lè me de ba se

Même si le CVRP continue à intéresser les chercheurs [Jin et al. 12, M ar in ak is 12,

Nazif et al. 12 ], les travaux concernent aussi de nombreuses variantes. Tout d’ab ord,

de s a tt ri bu ts ou c on tr ai nt es s upp lé m en ta ir es p e uve nt a ffe ct er l es c li ents :

– Dans le VRP à fenêtres de temps (VRP with time-windows - VRPTW), chaque

cl ient doit être se rvi dans un intervalle [ e i , l i ], voi r [ Garcia-Na jera et al. 11 ,

Lei et al. 11, Ursani et al. 11, Hong 12, Vidal et al.

13].

– Dans les collectes et livraisons couplées (pick-up and delivery problem - PDP),

des colis ramassés chez certains clients sont livrés à d’autres [Zachariadis et al. 11 ],

[D’Souza et al. 12 ], [Qu et al. 12 ], [Zhang et al. 12 ], [ Goksal et al. 13 ],

[Sa hi n et al. 13 ]. Le dial-a-ride problem - DAR P - dé si gn e un P DP d e tra ns po rt

de pa s sa ge rs avec f en êt re s ho ra i re s et c ri tè re s de q ua li té de s er vi ce , c om me da ns

les systèmes de transp ort à la demande [Sch ild e et al. 11, Parragh et

al.

13].

– Dans la course d’orientation par équip es (team orienteering problem - TOP)

rencontrée dans les tournées de techniciens de réparation, visiter un client in duit

un profit donné. Il faut trouver des tournées maximisant le profit total colle cté,

tout en resp ectant une limite de temps qui emp êche de servir tous les clients

[Labadie et al. 12, Lin et

al.

12b, Lin 13].

– Dans les problèmes à livraisons fragmentées (split-delivery VRP - S DVR P ) , le s

cl ients p euvent être li vré s en pl usie urs fo is, ce qui p er met un me ill eur taux de

remplissage des véhicules [Belenguer et al. 10].

Les complications relative s aux véhicules sont très fréquentes en pratique, en voici

trois exemples :

– Le VRP à flotte hétérogène (heterogeneous fleet VRP - HFVR P) co nsid ère

pl us ie u rs mo dè l es de vé hi cu le s, dé fi nis cha c un pa r une di s p o ni bi li té , une c ap ac it é ,

un c oû t fix e et un c oû t k il om ét ri q ue [P ri ns 0 9b , Br andã o 11 , Duhamel et al. 12 ,

Su br am an ia n et al. 12, Na ji-Azimi et

al.

13].

– Le problème d e tournées de camions avec remorques (truck and trailer routing

problem - TTRP) considère des tournées complexes où chaque camion p eut

laisser temp orairement sa remorque à certains nœuds, p our visiter de s clients

inaccessibles avec le véhicule complet [Lin et al. 11, Villegas et

al.

11].

– Les véhicules à compartiments, par exemple réfrigérés et à temp érature ambiante,

do nn e nt l ie u au multi-compartment VRP - MC-VRP [El Fallahi et al. 08].

Citons aussi pêle-mêle le type de réseau considéré, la structure des tournées,

l’horizon de planification ou le critère d’optimis ation :

– Les tournées p euvent être issues de différents dép ôts dans le

multidépôt VRP

ou MDVRP [Aras et al. 11 , Kuo et al. 12 ]. Dans le VRP à deux niveaux (twoechelon

VRP - V R P - 2 E ) , de s t o u r n ée s p r i m a i re s l i v r e nt de s d é p ô ts - s a t e l li t e s à

pa rt i r d’ un dé p ôt pr in ci pa l , pu is de s t ou rné e s s ec on da ir es l iv re nt l es c li en ts à

pa rt i r de c es s at el li t es [ He mm el ma y r et al. 12, Jepsen et

al.

13]

– Dans le cas avec tournées ouvertes (open VRP - OVR P) re nc ont ré da ns ce rt ain s

contr ats de lo ca tio n, les vé hic ule s ne sont pas te nus de re tour ner au dép ôt ap rès

avo ir t e rm i n é l e u r s e r v i ce [ L i et al. 12, Liu et

al.

12a].

- 390 -

14.3 Heur is tiques simples et rech erches lo cales

– Dans les tourn é es multipério des comme en collecte de déchets (periodic VRP -

P VR P) , l es c li ents do i ve nt ê tr e v is it és pl us ie u rs f oi s s el on une f ré qu en ce do nn é e

sur un ho rizo n de lo ngue durée [Yu et al. 11, Cacchiani et al.

13].

– Dans le CVRP cumulatif rencontré en logistique de catastrophe (cumulative

C VR P - CCVRP), le coût d’une tournée est la somme des dates d’arrivée aux

lo calités visité e s , ce qui corres p ond après d ivis ion par le nombre d’arrêts au

temps moyen de secours. La mise à jour du coût d’une solution après une

mo dification n’est pas triviale [Ngueveu et al. 10].

E nfin , on p e ut c om bi ne r de s dé c is io ns s tr at ég i qu es , t ac ti q ue s ou op é ra ti on ne ll e s,

et même fu sio nner un pro blè me de to urné es avec un au tre pro blè me d’ opti mis a-

tion. Ainsi, les tournées doive nt recharger les sto cks des clients dans l’inventory routing

problem ou IRP [ Liu et al. 12b, Po p ov i ć et al. 12]. Les problèmes de pro ductiondistribution

a joutent à un IRP la planification en amont d’un site de production

[ Bo udia et al. 09]. Le problème de lo calisation-routage (location-routing problem -

LRP) combine le choix de d é p ôts à ouvrir et l’élab oration des tourn é es [ P ri ns et al. 07 ,

Contardo et al. 12 , Nguyen et al. 12, Ting et al. 13 ]. Construire des tournées tout

en dé ter mina nt un ch arg eme nt ré ali sabl e des vé hic ule s in duit des pro blè mes diffi-

ci les (VRP with two/three-dimensional loading constraints - 2 L -V RP e t 3 L- V RP )

[Duhamel et al. 11b, Leu n g et al. 11, Bortfeldt 12, Leung et al. 13, Ruan et al.

13].

On p eut aller encore plu s loin en combinant plusieurs des problè mes précéd ents.

Pa r e x e m p le , l e periodic location-routing problem généralise le LRP à un horizon de

pl a ni fic at io n m ult i pé ri o de [ P ro dh on 11 , Albareda-Sambola et al. 12]. On obtient ainsi

de s pr ob lè m es de t ou rné e s de pl us en pl us g én ér au x, di t s riches (rich vehicle routing

problems) [ Hartl et al. 06]. Hasle et Kloster ont présenté en 2007 [ Hasle et al. 07 ]

pl us ie u rs pr ob lè m es ri c he s q ui é me rg en t da ns l es a ppl i ca ti o ns pr at i qu es .

En résumé, il existe au-delà du CVRP une grande famille de problèmes avec une

st ruct ure co mmu ne. Les mé tah euri sti que s doivent pro duire des ré sult ats de b onne

qualité en des temps de calcul acceptables, mais au s si être facile s à co der et à maintenir,

avo ir p e u d e p ar a m è t r es e t ê t r e f a c il e m e nt a d ap t a b l e s à la d ive r s i t é d e s c o nt r a int e s

rencontrées dans les applications réelles [Cordeau et al. 12, Vidal et al. 12b].

14.3 Heuristiques simples et recherches locales

Ces comp osants imp ortants des métahe uri stiques p our les problèmes de tournées

méritent une section sp écifique. Les premières fournissent des solutions initiales tandis

que les secondes sont couramment utilisées en intensification.

14 .3 .1 He ur is ti que s si mp le s

Les heuristiques simples sont toujours très utilisées dans les logiciels commerciaux

car el les p er met ten t de tr ouver ra pide ment des so lut ions de b onne qu ali té. Lap orte et

Se m et en dr es s en t un pa no r am a da ns l eq ue l i ls di s ti ng ue nt l es he u ris t iq ue s c on st ru ct iv e s

et les mé tho des en deux pha ses [Lap orte et al. 01] .

La métho de constructive la plus simple e s t celle dite plus proche voisin : parta nt

du dé p ô t, une t ou rné e e st pr og re s si ve me nt é te nd ue en re j oi gn an t le pl us pro che c li en t

- 391 -


no n e nc or e s er vi , c om pa ti bl e avec la c ap ac it é ré s id ue ll e du v éh ic ule. Qu a nd la t ou rné e

ne p e ut pl us a cc e pt er de c li en ts , e ll e re t ou rn e au dé p ôt et le pr oc e ss us e st ré p é té

en dé marr ant une nouvel le to urné e. D’ aut res mé tho des co nst ruct ives rep os ent sur

un princip e de fusion, comme l’algorithme de Clarke et Wright [ Clarke et al. 64], qui

co nst ruit une to urné e p our chaque cl ien t puis co nca tèn e des pa ires de to urné es en

ut i li sa nt un c ri tè re de ré du c ti on de c oû ts . D ’a ut re s m ét ho de s p o pul a ir es s on t l es

he u ris t iq ue s d’ i nse r ti on c om me c el le de M ol e et J am es on [ M ol e et al. 76], qui a joute

de s c li en ts a ux t ou rné e s en ut i li sa nt un c oû t d’ i nse r ti on .

Les métho des en deux phase s cherchent à se ramener au problème du voyageur

de commerce (TSP). Les appro ches cluster-first, route-second cr éen t des gr oup es de

clients p ouvant être desservis par un véhicule (clusters), puis résolvent un TSP dans

ch aq u e g r ou p e . A i n s i , l ’ h e ur i s t i qu e d e G i ll e t t e t Mi l l e r [Gillett et al. 74 ] défin it de s

group es corresp ondant à des secteurs angulaires centrés sur le dép ôt, tandis que la

métho de de Fisher et Jaikumar [ Fisher et al. 81] résout un p robl ème d ’aff ect atio n

généralisée dans la phase de regroup ement. L’heuristique à p étales [ Ba lin ski et al. 64 ]

génère un grand nombre d e tournées et effectue une sélection couvrant une fois chaque

cl ient en ré sol vant un pro blè me de pa rtit ion nem ent d’ ense mbl e.

À l’ i nve r se , l e s h e u r i st i q u e s route-first, cluster-second [Be asl ey 83, P ri ns et al. 09 ]

relaxent d’ab ord les contraintes de capacité des véhicules p our résoudre un TSP. La

tournée unique obtenue, app elée tour géant, est ensuite convertie en tournées réalisables

pa r l ’i nt er mé di ai re d’ un e pro c éd ur e de dé c ou pa ge .

14 .3 .2 Re ch er ches lo c ale s

14.3.2.1 Mouvements classiques

Une pro cédure d’amélioration ou recherche lo cale part d’une solution initiale s

(souvent calculée à l’aide d’une heuristique simple) et considère un sous-ensemble

N ( s) de s ol ut io ns pro c he s en t er me s de s tr uc tu re , a pp e lé voisinage de s. Ce voisinage

est ex plo ré pour tr ouve r une me ill eure so lut ion s 0 . On p eut ch er che r la m ei l le ur e

amélio ration p ossible ou arrêter l’explo ration à la première amélio ration trouvée. En

cas de suc cè s, s 0 de v ie nt la s ol ut io n c ou ra nt e et on ré p è te le pro c es su s. La s ol ut io n

initiale est progressivement convertie en un optimum lo cal p our le voisinage considéré.

En pr at i qu e, N (s) est dé fini im plic ite men t par un type de tr ansf orm ati on s ! s 0

app elé mouve ment, au l ieu d’ êtr e cara ctér isé in e xten so. L es mou vem ent s les pl us

simples ont été conçus p our le TSP et on p eut les appliquer tournée par tournée dans le

CVRP. On p eut ainsi déplacer un client dans sa tournée (node relocation) ou échanger

de u x c li ents (node exchange) . L e s mo u ve m e nts k-opt [ Lin et al. 73 ], plus e ffi

caces,

co nsi ste nt à en lev er k arêtes de la tournée et à reconnecter les chaînes obtenues avec k

autres arêtes. Comme le test des mouvements p ossibles est en O( n k ) p ou r n cl ients, on

ut i li se en pr at i qu e l es m ou ve me nts 2 -o pt et 3 -o pt p o ur m ai nt en ir une ba s se c om pl ex i té .

Or [Or 76 ] a prop o sé le mo uvement Or-o pt, qu i dépl ace un e cha îne d’ au plu s

cl ients co nsé cut ifs , ta ndis qu ’Osm an [Osman 93 ] a introd uit le -interchange qui

écha nge deux ch aîne s d’au plus cl ients (l es deux ch aîne s p ouvant être de lo ngue urs

différentes). Ces deux types de mouvements sont balayables resp ectivement en

O(n 2 )

et O ( 2 n 2 ), d’ o ù apple 3 en pra tiq ue p our li mit er les te mps de ca lcu l. Les -inte rch ange s

- 392 -


sont pa rtic uli ère ment in tére ssa nts : si l’on au tori se une des ch aîne s à être vide et si

ch aq u e ch a î n e p eu t ê t r e i nve r sé e d a n s l a r é i n s er t i o n , l e s m ou ve m e nt s i n c lu e nt e n c a s

pa rt i cu li er le dé p la ce me nt d’ un nœ ud , l ’é cha ng e de de u x nœ ud s, le 2 -o pt et le Or -o p t.

La figure 14.2 illustre les mou vements 2-opt et -inte rch ange . Le p oi nt- clé est de

p ou vo ir é va lu er l a va ria ti on d e c oû t e n te mp s c on st ant . Ai ns i, e n h au t à g au ch e d e la

fig ur e , le m ou ve me nt 2 -o pt sur une t ou rné e re m pl ac e l es a rc s ( u, x) et (

v , y) pa r (

u, v )

et ( x, y )

: il se traduit par u ne variation de c oû t = c uv + cxy cux cvy .

u

v

x

y

u

v

x

y

u

T1

x

a

b

y

v

T2

f

u

x

a

b

y

v

f

dépôt

dépôt

dépôt

g

dépôt

g

Mouvement 2-opt sur une tournée

Mouvement 2-opt sur deux tournées

u x y v

u x y v

a

f

g

b

a

f

g

b

Mouvement -interchange d’Osman

Figure 14.2 – E x e m p le s d e m o u v e m e n ts 2 - o p t e t -interc hange.

14.3.2.2 Tests de faisabilité

Tous ces mou vements sont gén éra lisa ble s à deux tourn ées mai s il devient plus

di ffic il e d’ é va lu er en

O (1) la faisabilité d’un mouvement ou la variation de coût asso ciée.

So i t le m ou ve me nt 2 -o pt sur de u x t ou rné e s T1 et T2 de la fig ur e 1 4. 2. D an s c et te

ve rs i o n a p p e l é e 2 - op t * , o n r e m p la c e l e s a r c s ( u, x) et ( v , y ) pa r (

u, y) et ( v , x ). Il existe

une va ri an te où on l es re m pl ac e pa r (u, v ) et (

x, y). Le s ta il l es d e voi si na ge sont e n

O( n 2 ) p o ur le s d eu x ve rs ion s. No to ns C (T , i , j ) et W (T , i , j ) le coût et la charge d’une

tournée T entre deux nœuds i et j inclus, puis C (T ) et W (T ) le coût total et la charge

totale. Les tournées ap rès mo dification doivent resp ecter la cap ac ité des véhicules :

W

( T1 , 0, u) + W ( T2 ) W ( T 2 , 0, v ) apple Q (14.8)

W

( T2 , 0, v ) + W ( T1 ) W ( T 1 , 0, u) apple Q (14.9)

- 393 -


Si l ’o n a une c on tr aint e de c oû t m ax im um L sur ch aqu e to urné e (t emp s de travail

de s c on du ct eu rs pa r e xe mp le ) , il f au t a us si v ér ifi er :

C

( T 1 , 0, u) + cuy + C ( T 2) C ( T 2 , 0, y ) apple L (14.10)

C

( T2 , 0, v ) + cvx + C ( T 1) C ( T1 , 0, x) apple L (14.11)

Si l ’o n c al cu le l es W et C à cha q u e m o u ve m e nt avec d e s b o u c l e s e n O( n ), l ’e x p l o -

ration du voisinage passe de O( n 2 ) à O(n 3 ). Un e t e chn i q u e g é n é r a l e p o u r ré a l i s e r le s

tests de faisabilité en O (1) co nsi ste à précalculer les valeurs intéressantes. Dans le cas

de no t re 2 -o pt sur de u x t ou rné e s, on p e ut ba l ayer c ha qu e t ou rné e T de la s ol ut io n

initiale et calculer W ( T , 0, u) et C (T , 0 , u) p o ur ch aq ue n œu d u . Le coût total de ces

pr é- c al cu ls e st en O ( n). Ensuite, ch aqu e itération de la recherche lo c al e p eut balayer

le voisinage en O( n 2 ), puisque chaqu e test de faisabilité est ramené en O (1)), puis

mettre à jour les W et C p o ur l es d eu x t ou rné es m o di fiée s, c e q ui c oû te O ( n).

client T1

client T2

client T3

S1 = min(4,2) = 2 S2 = min(2,5) = 2 S3 = min(7,5) = 5

attente

52 11 10

11

client T4

S4 = 5

12

dépôt

0

3

2

3 1

94

t1 = 52 t2 = 66 t3 = 78 t4=

80 50 59 60 70

88 90

dépôt

100 107

temps

Exemple de tournée avec 4 clients dans le VRP à fenêtres de temps (VRPTW) :

Calcul du retard possible S k pour l’arrivée à chaque client k sans violer ensuite une fenêtre horaire

10

5

7

9

dépôt

3 2 3

localité T1 localité T2

localité T3

dépôt

temps

0

10

18

27

39

Exemple de tournée avec 3 localités à secourir dans le VRP cumulatif (CCVRP) :

Le coût de la tournée est la somme des dates d’arrivée à ces nœuds 10 + 18 + 27 = 55 (temps moyen de secours 55/3)

Figure 14.3 – Complications dans le VRPTW et le CCVRP (voir text e).

Les f e nêtres de temps compliquent aussi les recherches lo cales. Par exemple, dans le

VRP avec fenêtres horaires (VRPTW), l’insertion d’un client dans une tournée retarde

les visites suivantes, ce qui p eut violer des fenêtres horaires. Ici encore, on p eut effectuer

une b o uc le en O( n) p o ur vér ifi er q ue l a t ou rné e e st e nc or e f ai sab le , m ai s c om me nt

tester cette faisabilité en O (1) ? Kin de rvate r et S ave ls b e rg h [Kindervater et al. 97 ] ont

pr op o sé de pr éc a lc ul e r le re t ar d et l ’a va nc e m ax im um q ue l ’o n p e ut pr en dr e en c ha que

nœ ud d’ un e t ou rné e s an s v io le r de s f en êt re s ho ra i re s.

Considérons les retards dans une tournée T = (T1 , T 2, . . . , Tr ). S o i t [ek , lk ] la

f en êt re de t em ps du c li en t T k , t k l’heure d’arrivée à ce client et s k la durée de service.

- 394 -


Il faut servir le client avant sa fermeture ( t k + s k apple l k ) mais on p eut ar river ava nt

son ou ver ture ( t k < e k ) et att endr e. Don c, la ma rge p o ur l’a rrivée au de rnie r clie nt Tr

est Sr = lr s r t r pu is , p o ur k = r 1 , r 2, . . . , 1, S k = min(S k+1 , l k s k t k ).

L’ensemble de ces marges est calculable en O (n) au début de la recherche lo cale,

ce qui p er met en suit e de te ste r en O (1) la faisab ilité de divers mouvements. Ainsi,

une i ns er ti on i ndu is a nt un re t ar d de ✓ p ou r un c lie nt Tk sera fa isa ble si ✓ apple S k . La

fig ur e 1 4. 3 do nn e un e xe mp le po ur t ro is c li ent s, on t ro uv e S1 = 2 p o ur l e p re mi er

cl ient.

14.3.2.3 Appro che générale de Vidal et al.

Vidal et al. [ Vidal et al. 12c] ont pr o p o s é u n e a p p r o ch e e n c o r e pl u s g é n é r a l e p o u r

ces pré ca lcul s, p our ce qu ’ils ap pell ent les problèmes de timing : é t a nt d on n és u ne

sé que nce de tâ che s, des co ntr aintes à resp ec te r et un cr itè re d’ opti mis ati on, co mme nt

dé t er mi ne r l es da t es de dé b ut o pt im al es de s t âc he s et c om me nt ré o pt im is er ra pi de m ent

en cas de mo di ficat io ns si mple s de la sé que nce ?

Ces problèmes sont très répandus en ordonnancement et dans les problèmes de

tournées. Ces auteurs remarquent que tous les mouvements se ramènent à des découpa

g es et c on ca t én at io ns de s éq ue nc e s de t âc he s. P ou r c ha qu e c ri tè re Z ut i le da ns la

recherche lo cale, ils prop osent de précalculer Z () p o ur un e sé qu en ce d e n œu ds à

l’aide de deux op érateurs principaux :

– un op é ra te ur d’ i nit i al is at i on q ui c al cu le Z ( )

si co nti ent un seul nœud ;

– un op é ra te ur q ui dé d uit Z quand on concatène deux séquences et ⌧ ( ⌧

).

En pr at i qu e, on pr éc a lc ul e une m at ri ce Z où Zij co nce rne la sé que nce dé limi té e

pa r de u x nœ ud s i et j , si e l l e e x i s te d a n s u n e t o ur n é e . U n e t ou r n é e e s t c o dé e p a r u n e

liste de nœuds, avec le dép ôt au début et à la fin. On balaie chaque nœud i pu is , p o ur

i fix é , c ha qu e nœ ud j après i. L’ o p é ra t e u r d ’i n i t ia l i s at i o n p e rm e t d e c a lc u l e r Zii , pu i s

le s econd est utilisé p our dédu ire le s Zij p ou r t ou t n œud j j us qu ’à la fin de la t ou rné e .

Si Z est un cr itè re de coût co mme la di sta nce , les co nne xio ns de i et j ave c l e d é p ô t

ne s on t pa s c om pt ée s : la di s ta nc e au dé p ôt e st i nc lu se s eu le me nt si i = 0 ou j = 0.

Po ur l a p lu p a r t d e s m o u vem e nt s , l e s d eu x o p ér a t eu r s s o nt e n O(1), ce q ui fa it q ue

l’ensemble des Z ij est pré ca lcul abl e en O ( n 2 ).

Nous allons illustrer cette appro che sur deux problèmes, le CVRP et le VRP

cumulatif (CCVRP) déjà présentés en section 14.2.2. On note | |

la longueur (nombre

de nœ ud s) d’ un e s éq ue nc e , i le nœud de rang i et i,j la sous-séquence conte n ant

les nœuds i à j inclus.

Dans le cas simple du CVRP, on précalcule la demande totale Q () et la durée

D ( ) p o ur t out e s équ en ce trouvée dans les tournées. Si conti ent un nœud x , on a

Q( ) = q x et D ( ) = 0. Pou r d eu x s éq u e nc e s et ⌧ , on a Q ( ⌧

) = Q( ) + Q (⌧ )

et D ( ⌧

) = D ( ) + c ( | |

, ⌧1 ) + D (⌧ ). Il est ensuite facile de tester le resp ect des

ca pac ité s et de la durée ma xim ale des to urné es p our n’ imp orte quel mo uve ment. Par

ex emp le, si une ch aîne de cl ien ts ⌧ est in séré e ap rès i da ns une t ou rné e , la t o u r né e

de v ie nt 1,i ⌧

i +1 , | |

et s a ch arg e et sa durée se dé duis ent en O(1) de s pr éc a lc ul s.

Dans le cas plus compliqué du CCVRP, le coût d’une tournée est la somme des

he u re s d’ a rri v ée a ux c li ent s, c om me i ll us tr é da ns la pa rt i e i nf ér ie ur e de la

- 395 -


figure 14.3, et donc le retour au dép ôt n’est pas compté. Comme l’ont montré Silva

et al. [Si l va et al. 12 ] p ou r le c a s mo n o - t o u r n é e , a p p e l é cumulative TSP ou minimum

latency problem, les quantités ad hoc à précalculer sont :

– D ( ), la durée totale p our vis it er l es nœud s de ;

– C ( ), l e c o û t (s o m m e d e s da t e s d’ a r r i vé e ) s i l ’ o n tr a i t e à pa r t i r d u t e m p s 0 ;

– W ( ), le surcoût s i l’o n re tar de d’u ne u nité l’heure de départ .

On p eut en s u ite les utiliser p our calculer la duré e totale et le coût de n’imp orte

quelle séquence généré e lors d’un mouvement d e reche rche lo cale :

– si | |

= 1, al or s D ( ) = C() = 0, W ( ) = 1 p o ur u n c li ent et 0 p o ur l e d ép ô t ;

– D ( ⌧

) = D ( ) + c( | |

, ⌧ 1 ) + D ( ⌧ )

;

– C ( ⌧

) = C ( ) + W ( ⌧ ) ⇥ [ D ( ) + c( | |

, ⌧1 )] + C ( ⌧ )

;

– W ( ⌧

) = W ( ) + W

( ⌧

).

14.3.2.4 Problèmes très contraints

Les problèmes très contraints, par exemple à fenêtres de temps étroites, soulèvent

de s di ffic ul té s : l es he u ris t iq ue s i ni ti al es p e uv ent é ch ou er p o ur t ro uver une s ol ut io n

réalisable et la recherche lo cale p erdre du temps à rejeter des mouvements infaisables.

Ces difficultés sont souvent évitables en utilisant des heuristiques randomisées p our la

so lut ion in itia le et en cho isis san t bien les mo uve ments. Par ex emp le, les mo uve ments

2-opt qui inversent une sous-séquence de clients ont une forte probabilité de violer des

f en êt re s ho ra i re s, c ont ra ir em en t à de s im pl es dé p la ce me nt s ou é ch an ge s de c li en ts .

Une autre technique répandue [Cordeau et al. 01] es t de re lax er le s contr ainte s

gênantes et d’a jouter les violations de contraintes à la fonction ob jectif, sous forme de

p énalités. Ceci p ermet de créer de nouveaux chemins entre solutions réalisables dans

l’espace de recherche, mais la taille plus grande du nouvel espace affecte souvent les

temps de calcul.

Considérons par exemple une solution S du VRPTW avec p tournées T 1 , T 2 , . . . , Tp ,

de s v éh ic ul es de c ap ac it é Q , un e f e n ê t r e [e i , l i ] et une durée de se rvi ce s i p ou r ch aq ue

cl ient i . Not on s t i l’heure d’arrivée à i , W k la charge de la tournée T k et C (S ) le

vrai coû t de la solution (somme des coûts des arcs traversés). On p eut autoriser les

violations de capacité des véhicules et les violations de fenêtres horaires en considérant

la fonction p énalisée suivante :

C P ( S ) = C ( S ) +

p

n

↵ · max(0, ti + si li ) 2 +

· max(0, W k Q) 2 (14.12)

i=1

Les élévations au carré servent à p énaliser plus fortement les grandes violations,

tandis que les co e ffic ie nts

↵ et p er me tt ent d e ch an ge r le p oi ds r el at if d es d eu x

ty p e s d e v i o l at i o n s . E n fi n d e r e ch e r che l o ca l e , u n e s o l u t i on ave c C P (S) = C (S ) sera

enti ère ment ré ali sabl e. En fa it, la so lut ion p eut être ac ce pta ble même s’il sub sis te de

p et it es v iol at io ns : e n c ol lec te d e d éch ets , le s ca mi ons ont u n co mp ac teu r p e rm et tant

de dé p as se r un p eu la c ap ac it é t hé or iq ue et b e au co up de c li en ts ha bi t ue ls p e uv ent

tolérer des p etits retards (soft time windows). En fa it , le s recherches l o cales, même

k=1

- 396 -


p én al is ées , ne s ont p as le s me il leu re s t ech niq ue s p o ur l es p rob lè me s t rè s c ontr ai nts : la

pr og ra m ma ti on pa r c ont ra in te s e st c er ta in em e nt pl us a da pt ée .

14.3.2.5 Techniques d’accélération

Po ur l e s g r a nd s p r o b l èm e s , m ê m e u n e e x p lo r a t i on en O(n 2 ) d’ un vo is in ag e N ( s )

p eut prendre une durée exce ssive. Il existe diverses techniques p our réduire les temps

de c al cu l. La pl us s im pl e, v oi re s im pl is te , e st la sélection aléatoire d’un nombre réduit

de mouve ments, K . Ce nombre p eut être fixe ou prop ortionnel à la taille du voisinage,

pa r e xe mp le K = | N

( s) | .

Une autre technique très utilisé e est la liste de voisins. Po u r ch aq u e n œ ud i , i l

s’ agi t d’une li ste LV ( i ) co nte nant les nœuds j 6 = i, tr i é s p a r o r d r e c r o i s s a nt de s c o û t s

c ij . L’ e ns e mbl e d es l i st e s e st c a lc u l ab l e en d é b ut d e p r og r am m e en O(n 2 log n ). On

ch oi s i t e ns u i t e un s e u il ✓ , pa r exe mp le n/10 ou p n pu is , p o ur c ha qu e nœ ud i , on

évalue se ule ment les mo uve ments qui font en tre r dans la so lut ion un arc (i, j ) tel que

j soit co nte nu dans les pre mie rs ✓ nœ ud s de LV ( i ) .

Pa r e xe m p l e , l es mo u ve me nt s 2 - o p t s u r u ne to u r né e de l a fi g u r e 1 4 .2 cr é e nt u n

arc ( u, v ). On p e u t a c cé l é r er l ’ e x a me n d e c e s m ou ve m e nts c o m me s u i t : u n e b ou c l e

teste chaque nœu d u pu is une b o uc le i mbr iq ué e t es te s eu le me nt l es nœ ud s v pa rm i

les ✓ pr em i er s de LV ( u). No t e z q u e l e ch o ix d e u et v suffit à sp éc ifie r le mouvem ent ,

pu is q ue x et y sont resp ec tivem ent les suc ce sse urs de u et

v da ns la t ou rné e a ct ue ll e .

L’idée sous-jacente des listes de voisins est que la prés e nce d’arcs très coûteux est

p eu probable dans des b onnes solutions. Cep endant, on p eut construire facilement des

contr e-e xem ple s et, en pra tiq ue, il est pru dent d’a ju ste r dy nami que men t ✓ et même

de t es te r de t em ps en t em ps t ou s l es v oi si ns .

Le marquage d’arêtes (edge marking) ou de nœuds a été introduit sous le nom

de don’t look bits par Bentley p our les mouvements 2-opt du TSP [ Bentl ey 92]. Le

pr in ci pe e st le s ui vant : si l ’e xa me n de s m ou ve me nts c on ce rn ant un nœ ud ne do nn e pa s

de m ou ve me nt a mé li or ant, on p e ut o ubl i er ce nœ ud q ue lq ue t em ps da ns la re c he rche

lo cale. Bentley implémentait cette technique avec des ind icateurs binaires mais on

ut i li se a uj ou rd ’hui une t ec hn iq ue pl us s im pl e. Au dé b ut de la re c he rche lo c al e, on m et

tous les nœuds dans une fi l e F (ils sont “marqués”). Chaque itération de la recherche

lo cale consiste à enlever le plus ancie n nœud x de F et à éval uer tous les mo uve ments

impliquant x . S i l ’ on t r o u ve u n m o u ve m e nt a m é l io r a nt , o n l ’ a p pl i q u e à l a s o lu t i o n

actuelle et on a j ou te à la fin de la file tou s les n œu d s qu i sont extrémités des arêtes

a j ou t é e s o u e n l e vé es p a r l e m o u vem e nt ( s ’i l s n e s o nt p as d é j à d a ns F ). C omp arée à

une re c he rche lo c al e o rdi na i re , q ui ba l ai e t ou t le v oi si na g e à c haq ue i té ra ti o n, une

ve rs i o n ave c m a r qu a g e va p l u s v i t e c a r F ne c ont ie nt q ue l es nœ ud s i mpl i qu és da ns

les mouvements récents. Muylde rman s a décrit en détail une implémentation p our le

CARP qui combine le marquage avec les listes de voisins [Muyldermans 03].

Enfin, Irnich et al. [Irnich et al. 06 ] ont prop o sé une app ro che app elée recherche

séquentiel le p our accélérer les recherches lo cales p our le CVRP. L’idée est de décomp oser

ch aq u e m o u ve m e nt e n m o u vem e nt s p a r t i e ls , d o nt l a p lu p a r t s o nt é l a g ué s g râ c e à d es

calculs de b ornes sur les gains partiels. Combinée avec les listes de voisins, cette

- 397 -


techniqu e est très p erformante mais d’implémentation complexe : chaque mouvement

a une décomp osition sp écifique et il e st di ffici le d’ a j ou ter de s fe nêtr es h ora ires .

14.3.2.6 Mouvements complexes

On trouve dans la littérature des reche rches lo cales basées sur des mouvements très

élab orés, comme la métho de GENIUS [ Gendreau et al. 92 ], les tran s ferts cycliqu e s

[ Thompson et al. 93] et l e s cha în e s d’ é je c ti o n [Rego et al. 96

, Rego 98 ]. Un exemple

de c ha în e d’ é je ct i on e st de t en te r un t ra ns fe rt de c li en t e nt re de u x t ou rné e s. Si la

ca pac ité de la to urné e de de sti nati on est vi olé e, on che rche à la dé cha rge r en éj ec tant

un de ses clients vers une troisième tournée etc. Il faut évidemment limiter le nombre

d’ é je ct i on s s uc ce ss ives p o ur l im it er l es t em ps de c al cu l.

Les recherches sur grand s voisinages (large neighborhood search - LN S ) c o n s i d è r e nt

de s vo is in ag e s de t ai ll e no n p o ly no mi al e en n mais évitent une exploration complète.

Les mouvements sont par exemple décomp osés en actions é lé me ntaires et on détermin e

une s ui te d’ a ct io ns a mé li or an te en f ai sa nt une e xp lo ra ti o n i mpl i ci te da ns un g ra ph e

auxiliaire [ E rg un et al. 06]. Une autre appro che [ Schr im pf et al. 00] consis te à teste r

de s m ou ve me nts ra nd o mi sé s c om bi na nt un op é ra te ur de de s tr uc ti on pa rt i el le s ui vi

d’ un op é ra te ur de ré pa r at io n (ruin and recreate moves). Dans le CVRP, on p eut par

ex emp le en lev er k cl ients ut ilis ant des ar ête s co ûte use s et te nte r une me ill eure in sert ion

da ns d’ a ut re s t ou rné e s [P is in ge r et al. 07 ]. Funke et al. [Funke et al. 05] ont fait un

ét at de l’ art de la pl upart des op ér ate urs de re che rche lo ca le p our des pro blè mes de

tournées de véhicules et prop osé u n e représentation unifiée qui p ermet de traiter de

no mbr eu se s c ont ra in te s c om pl ex e s, no t am me nt de s c ont ra in te s de re s so ur ce s.

14.4 Métaheuristiques

Les heuristiques de recherche lo cale p our les problèmes de tournées ont évolué vers

les métaheuristiques, qui p ermettent d’atteindre de meilleurs ré s u ltats dans des temps

de c al cu l ra i so nn ab le s pa r ra pp o rt a ux a lg or it hm es e xa ct s . No u s a ll on s m ai nt en ant

pr és e nt er c es m ét ho de s en di s ti ng ua nt de u x c at ég o ri es c la ss iq ue s : l es m ét ho de s à

pa rc o ur s, q ui dé t er mi ne nt une s ui te de s ol ut io ns t ra ça nt une tra j ec to i re da ns l ’e sp ac e

de s s ol ut io ns , et l es m ét ho de s à p o pul a ti on ou à a ge nt s, q ui op è re nt sur un e ns em ble

de s ol ut io ns . L es pr ob lè m es à ré s ou dre é ta nt e xt rê me m ent c om bi na to i re s, t ou te s l es

métahe uri stiques vraiment efficaces incluent des recherches lo cales. Les exceptions

sont le re cuit si mulé et les ve rsi ons de base des al gor ithm es gé nét iqu es, des mé tho des

à colonies de fourmis et des techniqu es d ’opt imi sat ion p ar es saim s pa rti cula ire s.

14 .4 .1 M éth o des à pa rc ou rs

Le rec uit s imu lé est p eu ut ilis é p our les pro blè mes de to urné es, bien qu ’il s’ agi sse

d’ un e de s pr em i èr es m ét ah eu ri st iq ue s pu bl ié e s, avec un a rt ic le de 1 99 3 où Os ma n

intro duisait en même temps les mouvements “ -inte rch ange ” [ Osman 93]. On voit de

temps en temps des implémentations efficaces, comme celles de Lin sur les problèmes

de course d’orientation par équip es (TOP) [ Lin et al. 12b, Lin 13] et le TTRP avec

- 398 -

14.4 Méta heuristique s

f en êt re s ho ra i re s [ Lin et al. 11]. Les variantes déte rmin is te s ont eu plus de succès : Li

et al. ont ai nsi pro p o sé une mé tho de record-to-record travel p ou r le CV RP [ Li et al. 05 ].

Cette métho de se prête bien à des implément ations parallèles [Groër et al. 11].

La recherche à voisinage variable ( variable neighborhood search

- VNS ) et sa variante

plus simple la descente à voisinage variable ( variable neighborhood descent

-

VND) sont des métahe u ristiques rapides et compac tes. Elles servent souvent à remplacer

la re che rche lo ca le dans une au tre mé tah euri sti que . Des reche rche s lo ca les it éré es

intégrant une VND ont ainsi été prop osées p our le CVRP [ Chen et al. 10] et le CARP

ave c l i v r a is o n s f r a gm e nt é e s [ Be len gue r et al. 10 ]. Des VNS efficaces sont disp onibles

pa r e xe mp le p o ur le VR P à t ou rné e s o uv er te s [ Fleszar et al. 09], le VRP multi-dép ôt

[ Kuo et al. 12], l’inventory routing problem [Liu et al. 12b , Po p ov i ć et al. 12] et l e

CARP [ Hertz et al. 01 , Po la c e k et al. 08]. Ces métho des sont surpassées par des métaheuristiques

plus complexes, mais leur rapidité e n font souvent les seules candidates

p ou r de s p ro bl ème s de g ra nd e t ai lle [ Ky tö jo ki et al. 07].

La métho de GRAS P (greedy randomized adaptive search procedure) [ Feo et al. 89],

co mme les mé tah euri sti que s pré cé dent es, es t p eu p er form ant e sur les pro blè mes de

tournées. La raison vient sans doute de s e s itérations indépendantes, consistant à

générer une solution avec une heuristique gloutonne randomisée puis à l’améliorer par

recherche lo cale. Bien que Marinakis ait prop osé un GRASP de base p our le CVRP

[ M ar in ak is 12], il faut d’autres comp osants p our renforcer la métho de. La technique de

path relinking a ainsi été a joutée dans des GRA SP po ur l e LR P [ P ri ns et al. 06b], le

LRP à deux échelons [Nguyen et al. 12 ] et le CARP [Usb erti et al. 11 ], tandis que Qu

et Bard ont ut ilis é une re che rche à gr and vo isi nag e co mme pro cé dure d’ amé lio rati on

da ns un G RA SP p o ur un pr ob lè m e de l iv ra is on et c ol le c te [ Qu et al. 12].

Les recherches lo cales itérées (iterated local search - ILS) [ Lourenço et al. 10 ] ou

guidées (guided local search - G LS) [ Kilby et al. 99] sont de s métho des t rès effic aces

p ou r le s pr obl èm es d e t ou rn ées . El le s g én èr ent un e su ite d ’o pt imum s lo c aux e n al te rna nt

recherche lo cale et p erturbation. L’ILS p erturb e directement la solution tandis que

la GLS p erturb e les coûts des arêtes, ce qui fait qu’un optimum lo cal ne l’es t plus

avec les coûts mo difiés. Deux excellents exemples sont une ILS p our le VRP à flotte

hé t ér og è ne [ Sub ra ma ni a n et al. 12] et une GLS p our le CARP [Beullens et

al.

03].

Les métho des avec tab ous (tabu search - TS) ont longtemps été les métahe uri stiques

les plus utilisées et les plus efficaces p our les problème s de tournées de véhicules. La

ca pac ité des véh icul es et les fe nêt res ho rair es sont le plus so uve nt relaxé es pour

traiter une fonction ob jectif avec p énalités, comme dans le paragraphe 14.3.2.4. Des

ve rs i o n s r é us s i e s s o nt di s p on i b l e s p o u r d e n omb r e u x p ro b l è m e s , ci t o n s l e CV R P

[ Rego et al. 96, Ba rba raso glu et al. 99 , Toth et al. 03], le VRPTW [ Cordeau et al. 01 ],

le HFVRP [ Br andã o 11 ], le CVRP et HFVRP avec chargement en deux dimensions

[ Leung et al. 11, Leung et al. 13]. Ces algorithmes utilisent en général des mouvements

cl ass iqu es, mais Re go et Ro uca iro l [ Rego et al. 96] évalu ent de s chaî nes d’ éj ectio n,

tandis que Toth et Vigo [ Toth et al. 03] pr op os ent un e re cher che ta b o ue g ra nula ir e

(granular tabu search - GTS), dans laquelle une fraction variant dynamiquement des

listes de voisins (voir 14.3.2.5) est explorée à chaque itération.

Les métho des basées sur les grands voisinages (LNS) évoqués au paragraphe 14.3.2.6

se mul tip lie nt de puis ce lle de Pi sing er et Ro pke [P is in ge r et al. 07 ], qui p eut résoudre

- 399 -


plusieurs problèmes de tournées comme le CVRP et le PDP. Leur algorithme dit

adaptatif (adaptive LNS - ALN S ) u t i li s e p l u s i eu r s o p é r a te u r s d e d e s tr u c t i o n pa r t i e l le

ou de réparation des solutions, implémentés sous forme d’heuristiques. À chaque

itération, une paire d’op érateurs aléatoirement choisie est appliquée à la solution

co ura nte, se lon des pro bab ilit és mi ses à jour par une co uch e d’ appre nti ssa ge. Ce tte

appro che est conce ptuellement simple mais d’impléme nt ation assez fastidieuse car

el le né ces sit e ty piq ueme nt une di zai ne d’ heuri sti que s. Des ALNS p er form antes ont

été pub lié es très ré cem men t p our le VR P-2 E et le LRP [ Hemmelmayr et al. 12 ], le

VRPTW en temps réel [Hong 12] et le DARP [Parragh et al. 13].

La technique de chemin reliant ( path relinking

- PR) const ru it u n chemin entre

de u x s ol ut io ns do nn é es A et B da ns l ’e sp ac e de s s ol ut io ns . P ou r c el a, la pr em i èr e

so lut ion est tr ansf orm ée pro gre ssi vem ent en la se con de, par ex emp le en effec tua nt

de s mo di fic a ti on s é lé me nt a ir es c om me da ns l es m ou ve me nts de re c he rche lo c al e. En

pr at i qu e, l es s ol ut io ns int er mé di ai re s s on t de pi è tr e q ua li té et il f au t l eu r a ppl i qu er une

recherche lo cale. Cette technique, rarement utilisée seule, est surtout employée p our

renforcer une autre métaheuristique, comme nous l’avons vu p our le GRASP. Ho e t

Gendreau l’ont aussi appliquée dans une métho de tab oue p our le CVRP [ Ho et al. 06].

Il existe des formes de transition des métho des précédentes vers les métaheuristiques

à p opulation. Par exemple, on p eut renforc e r une métho de tab oue avec une

mémoire adaptative qui conserve des fragments de solutions p our réaliser des intensific

a ti on s p é ri o di q ue s [Ro chat et al. 95

, Tara nt ili s et al. 02, Tara nt ili s 05, Li et al. 12 ].

On p eut aussi conserver un p o ol de b onnes solu tions dans u n GRASP et effectuer

p ér io d iq uem ent d es ét ap e s d e path relinking, com me l’ont f ait Vil legas et al. p o ur l e

TTRP [ Villegas et al. 11]. Souffriau et al. ont même réalisé p our le TOP une des rares

métahe uri stiques basée uniquement sur le path relinking et ap pliq ué à un en sem ble de

so lut ions [Sou ffriau

et al. 10].

Une autre forme de transition est la recherche lo cale évolutionnaire (evolutionary

local search - ELS) [ Wolf et al. 07]. Il s’agit en fait d’une ILS où, à chaque itération,

on génère p so lut ions -en fants en ap pliq uan t une p er turba ti on et une reche rche lo ca le à

la solution courante : la solution actu e lle est remplacée par le meilleur enfant en cas

d’améli oration. L’ILS corresp ond au cas particulier p = 1. À n ot r e av is , il n e s’ a gi t pa s

vraiment d’une métho de à p opulation puisque l’ensemble d’enfants n’est pas conservé.

Nous décrivons dans la section 14.6 une famille d’ELS récentes et très efficaces, qui

relaxent la capacité des véhicules p our explorer l’espace des solutions du TSP puis

appliquent une pro cédure de décou page p our en déduire des solutions réalisables p our

le problème initial [Prins 09a, Duhamel et al. 11b, Duhamel et

al.

12].

14 .4 .2 M éth o des à p op ul at io n ou à ag ents

Nous distinguons les métho des dites évolutionnaires ou à p opulation, dans lesque lles

de no uve ll es s ol ut io ns s on t e ng en dr ée s en c om bina nt de s s ol ut io ns s to ck ée s da ns une

p op ul at io n, e t l es m éth o de s mu lt i- age nt s, d an s l es qu ell es u n mé ca ni sm e g lo bal f ai t

co op ére r des ag ent s de re che rche co mme des fo urmi s ar tific ie lle s ou des pa rtic ule s.

Les algorithmes

génétiques

(GA) ont suivi de p eu le s premières métaheuristiques

(recuit simulé et métho des avec tab ous) mais avec des p erformances mitigées , sauf p our

- 400 -

14.4 Méta heuristique s

le VRPTW [ Thangiah 95 , Po tv i n et al. 96]. Les premiers auteurs travaillaient sur le

CVRP avec des solutions complètes, par exemple les listes de clients des différentes

tournées, séparées par un symb ole comme l’indice 0 du dép ôt. Les croise ments comme

RBX [ Po tv i n et al. 96] p euvent pro dui re de s enfants dans le squels certai nes tournées

violent la capacité des véhicules. Le problème est aisément résolu en déplaçant des

cl ients vers d’ autr es to urné es, mais la tr ansm iss ion gé nét iqu e des b on nes so us- séq uenc es

de s pa re n ts a ux e nf an ts e st dé g ra dé e. Une a ut re e xp li ca t io n de s ré s ul ta ts p eu pr ob a nt s

ét ait le ma nque de re che rche lo ca le.

De b ons résultats ont été obtenus sur le CVRP à partir de 2003, grâce à des

algorithmes mém étiques (MA), c’est-à-dire de s GA dans lesquels une rech e rche lo cale

est appliquée avec une certaine probabilité à chaque enfant. Celui de Berger et

Barkaoui a ou ver t la vo ie [ Be rge r et al. 03] ma i s e n c o nt i nu a nt à c ro i s e r d e s s o l u t i o n s

co mpl ète s. Le pro blè me des vi ola tio ns de ca pac ité a été co nto urné par Ba ke r et Ayechew

[ Baker et al. 03] en s’inspirant des heuristiques cluster-first route-second de la s ou s-

section 14.3.1. Chaque chromosome définit une partition en clusters de l’ensemble des

clients. Il est déco dé en résolvant un TSP p our chaque cluster, à l’aide d’une heuristique

co nst ruct ive sui vie d’une re che rche lo ca le à mo uve ments 2- opt et -inte rch ange . Pr ins

[ P ri ns 04] a pri s l’op tion route-first cluster second, en re laxa nt la ca paci té des véhi cule s

p ou r ut il ise r de s ch ro mos om es s an s s ép ara te urs de to ur né es, s emb la ble s à ce ux u ti lis és

p our le TSP. Prins app elle ces chromosomes tours géants. Un e p ro céd u re a p p e lé e Split,

ex pli qué e dans la se cti on 14 .5, p er met de dé duire de cha que ch romo som e une so lut ion

optimale du CVRP, sous contrainte de la séquence. L’avantage est de p ouvoir réutiliser

des croisements conçus p our le TSP, comme LOX et OX.

Le MA de Prins a été le premier à surp asser les métho des avec tab ous. Ensuite,

d’ a ut re s a lg or it hm es m ém ét iq ue s e ffic ac e s à t ou rs g éa nt s ont é té c on çu s p o ur d’ a ut re s

problèmes de tournées, citons le CARP [ Lacomme et al. 04 ], le LRP multipério de

[ P ro dh on et al. 08], le VRP à compartiments [El Fa ll ah i et al. 08 ], un problème de

pr o du ct io n -d is tr ib ut io n [Bo udia et al. 09 ] et le CVRP cumulatif [ Ngueveu et al. 10].

Nagata et Bräysy ont prop osé le premier MA sans tours géants qui soit efficace sur le

CVRP, basé sur un opérateur de croisement sophistiqué app elé edge assembly crossover

[ Nagata et al. 09]. Certains MA encore plus récents sont conçus p our résoudre plusieurs

pr ob lè m es [ Vidal et al. 12a, Vidal et al. 12b , Vidal et al. 13 ], la derniè re référence

dé c ri va nt la m ei ll eu re m ét ah eu ri st iq ue a ct ue ll e p o ur une v in gt ai ne de va ri an te s.

Les stratégies d’évolution ( evolutionary strategies

- ES) f ont é volu er un e pop ula tio n

par mutation et recherche lo cale, sans combiner des solutions par croisement. Cette

métho de qui n’est pas sans rapp eler la recherche lo cale évolutionnaire a été appliquée

par Mester et Bräysy au VRPTW [ M es te r et al. 05]. Ces mêmes auteurs ont ensuite

dé ve lo pp é une m ét ah eu ri st iq ue pl us pu is sa n te , a lt er na nt e nt re G LS et E S, p o ur de s

CVRP et VRPTW dépassant 1000 clients [Mester et al. 07].

La recherche répartie ( scatter search

- S S ) es t u ne m ét h o d e évo l ut io n na i re a s se z p e u

ut i li sé e, q ui t ra va il le sur une p e ti te p o pul a ti on c om bi na nt de s s ol ut io ns d’ e xc el l ente

qualité et des solutions diversifiées par rapp ort au x premières. Un opérateur de

recombin ais on, similaire au croisement des GA mais souvent déterministe, est appliqué

à cha q u e p a i r e d e p a r e nt s e t l e s s o lu t i o n s r é s u l t a nt e s s o nt a m é l io r é e s à l ’ a i d e d ’ u n e

recherche lo cale. Cette métaheuristique est très agressive mais affiche souvent des temps

- 401 -


de calcul conséquents. De b ons exemples existent p our le VRPTW [ Russell et al. 06], le

CARP multip ério de [Chu et al. 06 ] et l e PD P ave c du ré es d e dé pl ac em ent st o cha st iq ue s

[Zhang et al. 12].

Les algorithmes mém étiques avec gestion de population ( memetic algorithms with

population management - M A | P M) c on st it ue le c ha în on m an qu an t e nt re a lg or it hm es

mémétiques et recherche répartie. Il s’agit d’algorithmes mémétiques incrémentaux

ut i li sa nt une m es ur e de di s ta nc e d da ns l ’e sp ac e de s s ol ut io ns . La di s ta nc e d’ un

en fant e à la p opulation act ue lle P est dé finie co mme D (P , e ) = mi n{ d(s, e ) | s 2 P

}.

Après recherche lo cale, cet enfant est accepté dans la p opulation si D (P , e) apple , où

est un se uil fixé ou var iant dy nami que men t en co urs d’ alg orit hme , p our co ntrô le r la

dive rs it é. P ar ra pp o rt à un MA s ta nd ar d, P ri ns o bt ie nt a in si de m ei ll eu rs ré s ul ta ts sur

le VRP à flotte hétérogène [Prins 09b] et le CARP [Prins et al. 04].

Les algorithme s à colonie de fourmis (ant colony optimization - ACO) se prêtent bien

aux problèmes où la construction d’une solution p eut être ramenée à un chemin dans

un g ra ph e. Po ur l es pr ob lè m es de t ou rné e s, une f ou rm i p e ut pa r e xe mp le c on st ru ir e de s

tournées successives dans le graphe complet des d é p lac ements p ossibles entre nœuds,

à l ’a i de d ’ un e h eu ri s ti q ue p l us - pr o ch e vo is i n bi a is é e pa r l es d ép ô ts d e p hé r om o ne s .

Reimann et

al.

ont eu la b onne idée d’utiliser les fourmis p our faire croître par

insertions successives des tournées initialisées sous forme de b oucles sur le dép ôt

[ Reimann et al. 04]. Leur algorith me , renforcé par une recherche lo cale, donne de très

b ons résultats sur le CVRP. Santos et al. ont développé un autre ACO à recherche

lo cale, qui constitue une des deux meilleures métahe uri stiques actuelles p our le CARP

[Santos et al. 10].

L’optimisation par essaim particulaire ( particle swarm optimization

- PS O) est

d’ a ppa ri t io n ré c en te en t ou rné e s de v éh ic ul es et s eu le s de s v er si on s hy br id e s se s on t

montrées jusqu’à présent comp étitives avec les autres métahe uri stiques. Chen et

al. ont proposé une PSO pour le CVRP qui affecte les clients aux véhicules, la

co nst ruct ion de la to urné e de ch aqu e vé hic ule ét ant as suré e en suit e par une ét ap e

de re c ui t s imulé [ Chen et al. 06]. Marinakis et al. ont ob te nu de bien meilleurs résul

ta ts mais au prix d’une hybrid ati on co mpl exe , combi nant PSO, GR ASP et path

rel in kin g [M ar in ak is et al. 10]. Deux PSO ont été évaluées sur le CVRP à demandes

sto cha sti ques [M arin aki s et al. 13, Moghaddam et

al.

12].

14 .4 .3 É vol ut io n et te nd anc es

Il existe donc un grand nombre de métahe uri stiques p our résoudre des problèmes

très divers de tournées de véhicules. Les grandes tendances se d é gage nt de la lecture

des synthèses publiées p ério diquement sur le s u j e t. Les algorithmes les plus

effica ce s ju squ’ au dé but des an née s 20 00 ét aie nt ce rta ine ment les mé tho des avec ta-

b ous. Cordeau et Lap orte [ Cordeau et al. 02] en ré p e r t o ri e nt d i x d e s p l u s effi c a c e s e n

2002. En 2005, une étude de Cordeau et al. indique un tournant [Cordeau et al. 05 ] :

pa rm i l es ne u f m ei ll eu rs a lg or it hm es pu bl ié s , t ro is s ont e nc or e de s m ét ho de s av ec

tab ous [ Cordeau et al. 01, Tara nt ili s et al. 02, Toth et al. 03] mai s on co mpte d éjà

trois métho des évolutionnaires [ Be rge r et al. 03, P ri ns et al. 04, M es te r et al. 05 ] e t

un a lg or it hm e à c ol on ie de f ou rm is [ Reimann et al. 04]. Une synthèse de 2008 par

- 402 -

14.5 Approche Split

Gendreau et al. [Gendreau et al. 08 ] co n fi r m e c e tt e t e n d a nc e . Ac t u el l e m e nt, l e s m é t a -

he u ris t iq ue s à s uc cè s sur une ma j or it é de pr ob lè m es de t ou rné e s s on t l es re c he rche s

lo cales évolutionnaires, les algorithmes mémétiques et les re cherches à grand voisinage

(LNS).

Une autre orie ntation es t le développ e me nt de métho des hybrides : en effet, les

meilleures métahe uri stiques combinent divers comp osants dont une recherche lo cale.

Cette recherche lo cale est même parfois remplacée par une VND, une VNS ou une LNS

p ou r re nf or cer l’ int ens ifi ca tio n. Pa r ex em ple , le s m eil le ur s a lg ori th me s é vo lu tio nn air es

p our le CVRP sont des algorithmes mémétiques ou des ELS qui incluent systématiquement

une recherche lo cale [Prins et al. 04, Nagata et al. 09, Vidal et al.

12a].

L’hybridation p eut aussi consister à combiner une métaheuristique et un e métho de

ex ac te, ce qui donne une matheuristique . Une te chnique fréqu ente consiste à g énérer

un g ra nd no m bre de b o nne s t ou rné e s av ec une m ét ah eu ri st iq ue pu is à ré s ou dre un

pr ob lè m e de re c ou vr em e nt d’ e ns em bl e do nt l es c ol on ne s c or re sp o nde nt à c es t ou rné e s,

vo ir p a r e x e m p l e [ Cacchiani et al. 13 ] p ou r le P VRP. La m ét ho d e co op é ra tive d e Pri ns ,

Pro dhon et Wolfler Calvo p our le LRP [ P ri ns et al. 07] al t e r n e c y c l i q u e m e nt ent r e l a

résolution du sous-problème de lo calisation des entrepôts, par relaxation lagrangienne,

et une mé tho de tab oue gr anul air e qui op tim ise les to urné es p our les en tre pôts ch ois is.

Labadie et al. relaxent le TOP avec fenêtres horaires p our résoudre un programme

linéaire d’aff

ectation et utilisent les coûts réduits d e ce programme p our guider une

VNS granulaire [Labadie et al. 12].

Les métaheuristiques parallèles commenc ent aussi à se répandre avec la multiplica

tio ns des PC mul tic œurs , des ca rte s gr aphi que s pui ssa ntes (G PU) et des gr ille s de

ca lcu l. On as sis te ai nsi de puis p eu à une re nais san ce des mé tho des avec tab ous car

elles se prêtent bien à ce genre d’impléme nt ation [Cordeau et al. 12, Jin et al. 12].

Quoiqu’il en soit, b eaucoup de métaheuristiques efficaces ne concernent qu’un

problème de tournées particulier. Ce manque de généricité est un obstacle à leur

incorp oration dans d es logiciels commerciaux. L’étude de métho des capables de résoudre

en un al gor ithm e uni que pl usie urs var iantes est en cor e p eu dé vel oppé e, ci ton s la

métho de tab oue universelle UTSA [Cordeau et al. 01 ], la recherche à grand voisinage

de Cordeau et al. [

P is in ge r et al. 07 ], un algorithme génétique hybride de Vidal et

al. p our le CVRP, le MDVRP et le PVRP [ Vidal et al. 12a] et u n a u t r e de s m ê m e s

auteurs p our divers problèmes à fenêtres horaires [ Vidal et al. 13]. Tout récemment,

Vidal et al. ont conçu un algorithme encore plus général, UHGS (unified hybrid genetic

search), ca p a b le d e r é s ou d r e 2 9 var i a nt e s t ou t e n o b t en a nt d e s ré s u l ta t s a u m oi n s a u ss i

b on s qu e l es m ei ll eur es m ét ho de s dé di ée s à u n s eu l p ro bl ème [ Vi da l et al. 12b].

14.5 Approche Split

14 .5 .1 P rin ci p e et i nté rê t

Comme indiqué dans la sous-se ction 14.3.1, une heuristique de construction p ossible

p ou r ré so ud re d es p ro bl ème s d e t ou rn ées d e vé hic ul es c on si st e à c on st ru ire u n t ou r

géant sur l’ensemble des clients (séque ncement des clients) puis à découp er ce tour

en to urné es resp ec ta nt la ca pac ité d’un vé hic ule [Be asl ey 83 ]. Moins intuitive que

- 403 -


l’appro che opposée, qui réalise des regroup ements de clients compatibles avec la

ca pac ité d’un vé hic ule puis dé ter mine l’ ordr e de vi sit e à l’inté rie ur de chaque gr oup e

[ Gillett et al. 74], l’heuristique dite route-first cluster-second a l o n g t e mp s é t é c o n si d é r é e

co mme une cu rios ité et n’a sus cit é que très p eu d’ inté rêt avant son inté gra tio n au sein

de m ét ah eu ri st iq ue s [ La co mm e et al. 04, Prin s 04].

Depuis, cette technique est devenue très p opulaire et elle a été utilisée dan s plus

de 70 a rt ic le s t ra it ant de pr ob lè m es de t ou rné e s t rè s va ri és . La fig ur e 1 4. 4 i ll us tr e s on

pr in ci pe .

Figure 14.4 – Illustration de l’approche dite “Route-first, Cluster-second”.

Cette appro che présente les avantages suivants :

– D’ab ord, comme l’a observé Beasley [Be asl ey 83] m ai s s a n s d o n n e r d ’ é va l u a t i on

nu mé r i q u e , l a s ec o n d e p h a s e (cluster) p e ut s e r am ene r a u ca lc ul d ’u n p lus co ur t

ch em i n d a n s u n c e r t a i n g r ap h e a u x i l i ai r e , c o m m e n o u s a l lo n s l e vo i r p l u s l o i n .

– E ns ui te , e xp lo re r de s t ou rs g éa nts au l ie u de s ol ut io ns c om pl èt e s da ns la pr em i èr e

ph as e (route) restreint l’espace de recherche par rapp ort au prob lème initial,

quand l’appro che est utilisée au cœur d’une métaheuristique.

– Le découpage en tournées p eut se réaliser de manière optimale, sous contrainte

de l ’o rd re dé fi ni pa r le t ou r g éa nt . R éc ip ro q ue me nt , on p e ut m on tr er q u’ il e xi st e

un t ou r g éa nt “ op ti ma l” , c ’e st -à - di re do nn a nt une s ol ut io n o pt im al e au pr ob lè m e

- 404 -

14.5 Approche Split

de t ou rné e s a prè s dé c ou pa ge . On p e ut do nc ré s ou dre s an s p e rt e d’ i nf or ma ti on

le problème de tourn ées en explorant l’espace des tours géants.

– La construction du tour géant p ermet de gérer, au moins partiellement, d’éventuelles

contraintes relatives aux clients (précédences, fenêtres horaires. . . ),

tandis que le découpage qui s’ensuit p eut incorp orer les contraintes des véhicu

les (c apa cit és, affec ta tio n aux dép ôt s. . . ), ce qui donne une ce rta ine fle xibi lit é

sur la ré sol utio n de di vers es var iant es du pro blè me.

– E nfin , l ’a pp ro che Sp li t p e rm et d’ o bt en ir de s m ét ho de s de ré s ol ut io n pa rt i cu li è-

rement efficaces, donnant des résultats parmi les meilleurs de la littérature.

Appliquées au sein des métaheuristiques, la p lupart des approches route-first

cluster-second co nsi ste nt à al ter ner en tre une re prés ent ati on in dire cte des so lut ions

du pr ob lè m e de t ou rné e s ou génotype (tour géant) et une représentation complète

ou phénotype (ensemble de tournée s ). Le génotype définit une tourn é e dans laquelle

les contraintes de capacité ont été relaxées. Il s’agit donc d’un cycle hamiltonien sur

l’ensemble des nœuds (clients et d é pôt). L’e xp loration de l’espace des génotypes est

gérée en pratique par l’appro che “méta” de la métaheuristique utilisée, qui p eut être

un a lg or it hm e g én ét iq ue , un G RA SP, e tc . La ph as e de dé c ou pa ge s er t à dé c o de r le

génotyp e et à évaluer la solution obtenue. On p eut ensuite facilement effectuer une

ét ap e d’inte nsi fica tio n, en app el ant une reche rche lo ca le.

14 .5 .2 A lgo ri th me Sp li t

Po ur c o m p r en d r e l e p r i n c ip e d e l ’ a l g or i t h m e S p l i t u t i l is é p o ur d é c o u p e r o p t im a -

lement une séqu ence de n cl ients en to urné es de ca pac ité li mit ée, pre non s le tour

géant T = ( T 1 , T 2 , . . . , Tn ). Il faut avoir recours à un graphe auxiliaire H = ( X , U ).

X est un en sem ble co nte nant n + 1 nœ ud s, nu mé ro t és de 0 à n. U est l’ ense mbl e

de s a rc s du g ra ph e et un a rc ( i 1, j ) ex ist e p our ch aqu e so us- séq uenc e de cl ien ts

( T i , T i+1 , . . . , T j ) qui p eut être visitée par un véhicule. Cet arc est p ondéré par le coût

de la t ou rné e c or re sp o nda n te c o s t (i, j ) = c (0 , Ti ) + j1

k= i

(c (Tk , Tk+1 )) + c (Tj , 0), avec

c( i, j) le coût asso cié au déplacement du nœud i au nœud j (distance ou durée). Le

dé c ou pa ge o pt im al c or re sp o nd au pl us c ou rt c he mi n a ll an t de 0 à n da ns

H .

La fi gu re 14.5 illustre ce prin c ipe su r un p etit exe mp le d e six clients. Le tour géant

co nsi déré est T = (a, b, c, d, e, f ). Les vale urs entre parenthèses in diq ue nt la d em and e

de c ha qu e c li en t. Le g ra ph e a ux il ia ir e a ss o c ié e st do nn é en de s so us , en s upp o sa nt une

ca pac ité de vé hic ule Q = 15. Ainsi, l’arc ab symb ol ise une to urné e vi sit ant les cl ients

a et b , de charge 12 et de coût 10. L’arc a b c n’ e st pa s re pr é se nt é pu is q ue la de m an de

de s t ro is c li en ts ( 16 ) dé p as se la c ap ac it é d’ un v éh ic ul e. Le pl us c ou rt c he mi n ( ar cs en

gras) dans ce graphe donne la solution du problème de tournées d e véhicules présentée

à droite, avec un coût de 27.

Le plus court chemin dans le graphe auxiliaire p eut être calculé par l’intermédiaire

de l ’a lg or it hm e de B el lm an p o ur l es g ra ph es s an s c ir cu it s. L ’a lg or it hm e 1 4. 1 e st la

ve rs i o n c o m p a c t e n o mm é e S p l i t p a r P r i n s [ P ri ns 04], dans laquelle le graphe auxiliaire

n’ e st pa s g én ér é de m an iè re e xp li ci t e. P ou r ce f ai re , de u x b o uc le s e xa mi ne nt c ha qu e s ou s-

sé que nce de cl ien ts (arc p ot ent iel) ( Ti , Ti+1 , . . . , Tj ) et ca lcu len t sa ch arg e (l o ad , so mme

- 405 -


de la de m an de ) a in si q ue s on c oû t ( c o s t ). Si la charge dépasse la capacité d’un véhicule,

la sous-séquence est écartée. Sinon, l’arc corresp ondant ( i 1, j ) est im plic ite ment créé

et le lab el Vj sur le nœud j est mis à jour s’il est am éli oré ( Vi1 + c o s t ( i, j) < Vj ). La

val e ur d e c e l ab e l re p ré se nte le co ût du pl us co ur t ch em in ent re le nœ ud 0 e t l e n œ ud

j co mme in diqu é sous cha que nœud dans la figure 14 .5. Ai nsi, le coût de la so lut ion

du pr ob lè m e de t ou rné e s de v éh ic ul es e ng en dr é pa r le t ou r g éa nt T est ég al à la val eur

du l ab el sur le de rn ie r nœ ud n.

Dépôt

Clients

Tournées

c (4)

b (7)

d (2)

a (5)

f (3)

e (8)

a) Tour géant sur l'ensemble des nœuds

def(10):10

c (4)

ab(12):10

de(10):9

a(5):6 b(7):10 c(4):7 d(2):5 e(8):7 f(2):2

b (7)

d (2)

Valeur du plus

cd(6):10

court chemin à

chaque nœud

0 6 10 17 20

ef(10):8

a (5)

f (2)

e (8)

26 27

b) Calcul du plus court chemin dans le graphe auxiliaire c) Découpage optimal en tournées

Figure 14.5 – Illustration de l’algorithme Split.

Dans l’algorithme 14.1, un vec teur P est in trod uit afin de mé mori ser le pré déc ess eur

de j sur le plus co urt che min me nant de 0 à j . Ceci p ermet de manière simple et rapide

de re t ro uv er la s ol ut io n S du pr ob lè m e de t ou rné e s de v éh ic ul es via l’algorithme 14.2.

Dans ce p etit algorithme, S est co dée co mme une li ste de to urné es, ch acu ne co nsi sta nt

en une li ste de cl ien ts.

L’évalu ation d’une s ou s-séquence p eut être réalisée en O (1) da ns l ’a lg or it hm e Sp li t ,

amenant ce dernier à une complexité relative au nombre de sous-sé quences ou nombre

d’ a rc s da ns H. Avec l a capa cité l imit ée de s véhi cule s, si l e nomb re moye n de cl ient s

da ns une t ou rné e e st é ga l à b , al or s le n omb re d ’a rcs da ns H de v ie nt nb d’ o ù une

co mpl exi té de Spl it en O(nb ). Cette implément ation relativement p eu coûteuse en

temps de calcul au torise un app el fréquent au sein d’une métaheuris tiqu e.

- 406 -

14.5 Approche Split

Al gorit hm e 14.1 Algorithme Split

V0 0 P0 0

p ou r i 1 à n

faire

Vi 1

fin

p ou r i 1 à n

faire

j i l o a d 0

rép

éter

l o ad l o ad + q ( T j )

si ( i

= j

)

alors

c o s t c(0 , Ti ) + s( Ti ) + c( Ti, 0)

sinon

c o s t c o s t c ( T( ( j 1), T j ) + s( Tj ) + c( Tj , 0)

fin

si ((l o ad apple Q) et ( Vi1 + c o s t < V j )) alors

Vj Vi1 + c o s t

Pj

i

1

fin

j j + 1

ju squ ’à ((j > n) ou ( l o a d > Q ));

fin

Al gorit hm e 14.2 Algorithme d’extraction de la solution après Split

S ;

j n

rép

éter

tour nee ;

p ou r k P j + 1 à j faire

a j ou t e r l e c li e nt T k en fin de tour nee

fin

a j ou t e r tour nee au déb u t de S

j

Pj

ju squ ’à (j = 0 ) ;

14 .5 .3 In té gra ti on da ns des he ur is ti que s et m éta he uri st iq ue s

Au niveau le plus simple, l’appro che Split p ermet de réaliser des heuristiques

co nst ruct ives. On peut par ex emp le re cyc ler n’ imp orte quel al gor ithm e ex ac t ou

heuristique p our le TSP p our construire un tour géant et le découp er ensuite en

tournées. En randomisant l’heu ris tiqu e c on structive, on p eut générer plusieurs tours

géants, les découp er et renvoyer à la fin la meilleure solution obtenue [ P ri ns et al. 09].

L’utilisation la plus simple dans des métaheuristiques est d’explorer l’espac e des

tours géants et d’évaluer chaque tour géant obtenu avec l’algorithme Split. On p eut

ut i li se r un G RA SP pa r e xe mp le : une he u ris t iq ue ra nd o mi sé e ré a li se u n écha nt i ll on na ge

de s t ou rs g éa nt s, c ha qu e t ou r e st dé c o dé pa r Sp li t et la s ol ut io n o bt en ue e st a mé li or ée

- 407 -


pa r re c he rche lo c al e. D es a lg or it hm es m ém ét iq ue s p e rf or ma nt s ont é ga le m en t é té

dé ve lo pp é s. L es c hro m os om es s on t de s t ou rs g éa nt s, l es c ro is em en t s g én èr en t d’ a ut re s

tours géants, mais le calcul du fitness est ré ali sé en ap pliq uant Spl it puis une re che rche

lo cale aux chromos omes-enfants [ Lacomme et al. 04 , P ri ns et al. 04 , P ri ns et al. 06a ,

Ngueveu et al. 10]. Diverses contraintes p euvent être a joutées [Prins et

al.

09].

On p eut a jouter une alternance entre les deux espaces de recherche. Partant d’un

tour géant T , o n ap p l iq u e Sp l i t p o ur o b t en i r un e s o lu t i on c o mp l è te S, a mé l i or é e en s u it e

pa r re c he rc he lo c al e. Si l ’o n re f or me un t ou r g éa nt T 0 en co nca té nant les li ste s de

cl ients des to urné es de S , ce de rn ier e st d iffé re nt de T , à con dit io n d’avoir eff ect ué

au moins un mouvement améliorant dans la recherche lo cale. Un nouvel app el à Split

ab outira alors à un e nouvelle solution S 0 , telle que le coû t de S 0 soit in féri eur ou

ég al au coût de S (égal si le découpage optimal retrouve S ou une solution de même

co ût) . Ai nsi, une rép ét iti on si mple de ce sc hém a app orte déjà une conver gen ce vers un

optimum lo cal. La figure 14.6 illustre ce princip e.

Dépôt

Clients

Tournées

a) Tour géant initial b) Découpage du tour géant

en tournées (coût=550)

c) Recherche locale sur la

solution complète (coût=510)

(…)

d) Nouveau tour géant e) Découpage du nouveau tour

géant (coût=500)

f) Recherche locale sur la solution

complète (coût=490)

Figure 14.6 – Alternance tour géant /solution comp lè te/rech erche lo cale.

Si l ’o n i nt èg re c et te a lt er na nc e da ns une m ét ah eu ri st iq ue , on o bt ie nt de s m ét ho de s

très puissantes p our des problèmes variés de tournées de véhicules. Pour illustrer

l’utilisation d e l’appro che Split au sein d’une métaheuristique, la section su ivante

pr és e nte le G RA SP⇥E LS de P ri ns [ Pr in s 0 9a ].

14.6 Exemple de métaheuristique avec l’approche Split

14.6.1 Princip e général d’un GRASP⇥ ELS

La métho de décrite ici est un algorithme hybride entre deux métaheuris tiqu e s :

un G RA SP d’ un e pa rt et une re c he rche lo c al e é vo lu ti onn ai re ( EL S) d’ a ut re pa rt . Le

pr in ci pe de c es de u x m ét ah eu ri st iq ue s a é té pr és e nté da ns la s ou s- se ct i on 1 4. 4. 1 .

- 408 -

14.6 Exemple de métah euristique avec l’approche Split

Rapp elons que le GRASP s’apparente à un échantillonnage des optima lo caux

du problème. Chaque itération construit une solution par une heuristique gloutonne

randomisée, puis l’améliore par une recherche lo cale. L a randomisation rep ose sur une

liste restreinte (Restricted Candidate List - RCL). À chaque étap e de la construction,

on met dans la RCL les ↵ meilleures décisions p ossibles et on en choisit une au hasard.

Si ↵ = 1, on a un e heuristi que glouton ne déterm iniste. Si to utes les dé cisions p o ssibles

sont dans la RCL, on obtient des solutions de mauvaise qualité car trop aléa toires. En

général, on prend ↵ 2 {2 , 3} p o ur avoi r de s s ol ut ion s co mb in ant qu al ité e t di ve rs ité .

On p eut hybrider un GRASP avec diverses techniques comme un algorithme

de c he mi n re l ia nt (path relinking). En effet, les solutions su ccessives GRASP étant

indép endantes, on a intérêt à explore r l’espace de recherche les séparant. L’hybridation

pr op o sé e i ci e st f ai te avec une E LS .

Comme nous l’avons déjà vu, l’ELS généralise l’ILS en générant à chaque itération

pl us ie u rs e nf an ts au l ie u d’ un s eu l. E ll e né c es si t e t ro is c om p o sa nt s : une he u ris t iq ue

co nst ruct ive, une pro cé dure d’ amé lio rati on et une pro cé dure de p er turba ti on al éat oir e.

Une solution initiale S est co nst ruit e en ut ilis ant l’ heur ist ique co nst ruct ive puis

améliorée par la recherche lo cale. Ensuite, chaque itération génère un nombre donné

ne de s ol ut io ns -e nf a nt s en a ppl i qu an t la p e rt urb a ti on s ui vi e de la re c he rc he lo c al e. La

so lut ion ac tue lle est re mpla cé e par le me ill eur en fant en cas d’ amé lio rati on.

L’idée d’hybridation consiste à intervenir sur la deuxième phase du GRASP (amélioration),

en remplaçant la recherche lo cale par l’ELS pour à la fois diversifi er et

intens ifi er la recherche. La diversification e st due à la génération de diverses solutions

suc ce ssi ves à pa rtir de la so lut ion co nst ruit e par l’ heur ist ique gl out onne ra ndom isé e.

L’intens ifi c ation est due au fait que l’on ne se limite pas à la recherche d’un op timum

lo cal obtenu par simple recherche lo cale, mais on explore le bassin d’attraction autour

de c et o pt imum. La pr em i èr e ph as e de c ha qu e E LS e st i ci la c on st ru ct io n d’ un e s ol ut io n

pa r l ’h eu ri st iq ue ra nd o mi sé e du G RA SP.

14 .6 .2 A ppl ic at io n au pr ob lè me de to ur né es de véh ic ul es

Le p oint-clé de l’efficacité de la métho de rep ose sur l’hybridation GRASP⇥E LS et

l’alternance entre l’espace d es tours gé ants et l’espace des solutions complètes, comme

ex pli qué dans la se cti on 14 .5. Le GR ASP dé bute ch aqu e it éra tio n par la co nst ruct ion

d’ un e s ol ut io n. D an s le c ad re de la m ét ho de pr op o sé e, on c on st ru it d’ a b o rd un t ou r

géant avec l’heuristique plus proche voisin vue en 14.3.1. L’heuristiqu e est facilement

randomisée en choisissant le pro chain client dans une RCL. Pour un tour géant finissant

prov is oi re me nt au c li en t i , la RCL contient par exemple les 2 ou 3 clients non encore

de s se rv is et l es pl us pro c he s de i. Le tour géant est transfo rmé par l’al gor ith me S plit

en so lut ion co mpl ète S qui est ensuite améliorée par recherche lo cale. Les tournées de

S sont co nca té nées p our do nner un tour gé ant T . On obt ient ai nsi un c ouple initia l

( S , T )

qui est transmis à l’ELS.

La génération d’enfants s’op ère alors sur T pa r le bi a is de m ut at io ns c on si st an t

à échanger la p osition de deux clients, choisis aléatoirement. Le nombre p de m ut a-

tions effectuées sur

T mo dule le degré de diversific ation souhaité. Initialement, et à

ch aq u e a m é li o r a t io n d e l a m e il l e u r e s o l u t io n c o u r ant e , p pr en d une va le ur m ini m al e

- 409 -


dé t er mi né e pmin . Par c o nt r e , il e s t a u g m e nté à cha q u e i té r a t i o n d e l ’ E LS n ’ a p p o r t ant

pa s d’ a mé li or at i on de la s ol ut io n c ou ra nt e, et ce j us qu ’à une va le ur m ax im al e pmax .

Les tours géants ains i générés sont transformé s en solutions complè tes par Split puis

ces so lut ions sont am éli oré es par re che rche lo ca le. La re che rche lo ca le ut ilis ée dans le

GRASP⇥E LS ut i li se de s m ou ve me nt s c la ss iq ue s en t ou rné e s de v éh ic ul es , no t am me nt

2-opt, Or-opt et -interchange. Ces mouvements sont appliqués aussi bien au sein

d’ un e m êm e t ou rné e q u’ en tr e de u x t ou rné e s di s ti nc te s.

Phase 1 du GRASP:

Génération d'une solution

par une heuristique

gloutonne randomisée

Dépôt

Clients

Tournées

Création d'un tour géant par l'heuristique du plus

proche voisin randomisé

Itération du GRASP:

mémorisation de la

meilleure solution

rencontrée

Transformation en solution

complète par Split

Recherche locale sur la

solution complète

Phase 2 du GRASP:

Amélioration par

recherche locale - ici

remplacée par l'ELS

Phase 1 de l'ELS:

Concaténation

des tournées

Itération de l'ELS:

restitution de la

meilleure solution

Phase 2 de l'ELS:

Mutations pour

obtenir des

enfants

(…)

Phase 3 de

l'ELS:

Recherche

Locale sur les

enfants

(…)


complète par Split


complète par Split


solution complète


Figure 14.7 – Illustration du GRASP xELS.

- 410 -

14.7 Conclusion

On engendre ainsi un nombre donné d’enfants ne . Enfi n, la me ille ure so luti onen

fant S 0 obtenue est comparée à la solu tion -p arent S. Si c e t t e d e r ni è r e e s t a mé l i o r é e ,

on remplace S pa r S 0 ( S = S 0 ) et on co nca tè ne les to urné es de S p ou r o bt eni r u n

tour géant T , c e q u i fo u r n i t l e co u p l e (S , T ) p o ur l ’i té rat io n s uiva nt e d e l ’E LS . L a

fig ur e 1 4. 7 i ll us tr e la m ét ho de .

14.7 Conclusion

Ce chapitre a montré que les métahe uri stiques obtiennent de beaux succès sur

les tournées de véhicules. Comme p our b eaucoup d’autres problèmes d’optimisation

NP-diffi

ciles, les versions de base des métaheuristiques classiques sont largement

dé p as sé es . La t en da nc e e st d’ ut i li se r de s m ét ho de s de pl us en pl us hy bri dé es , i nc lu an t

toutes une pro cédure d’amélioration. Les implémentations parallèles et la résolution

ex ac te de so us- probl ème s (m ath euri sti que s) vi enne nt re nfo rcer ce tte ar til leri e. Un

asp ect négatif est la multiplication des métahe uri stiques p our des variantes souvent

si mila ire s d’un pro blè me de to urné es. Bi en que le general problem solver n’ e xi st e pa s

en cor e en to urné es, des te nta tives ré centes vi sent à ré soud re pl usie urs var iantes avec

le même algorithme, en utilisant des techniques de génie logiciel comme la conception

de c om p o sa nts g én ér iq ue s et ré ut i li sa bl es .


Nous recommandon s les références suivantes p our prendre rapideme nt connaissance

du do m ai ne .

[Corb eran et al. 10] : Cette bibliographie comm entée est la plus récente sur les probl

è me s de t ou rné e s sur a rc s c om me c eu x re nc o nt ré s en c ol le c te de dé c he ts .

[Cordeau et al. 01] : Cet article est un b on exemple de métho de avec tab ous p ouvant

traiter plusieurs problèmes de tournées.

[Duhamel et al. 11a] : La métho de GRASPxELS à base de tours géants décrite dans

la section 14.6 est généralisée dans cet article p our traiter le prob lème de

lo calisation-routage et le problème de tournées avec véhicules hétérogènes.

[Golden et al. 08] : Ce livre offre une b onne synthèse sur le domaine des problèmes

de t ou rné e s de v éh ic ul es : m ét ho de s e xa ct e s, he u ris t iq ue s, é tu de s de c as .

[Hartl et al. 06] : Ce numéro sp écial de Central European Journal of Operational

Research co nti ent des ar tic les di vers ifié s sur les pro blè mes de to urné es dits

“riche s”, c’ est -à- dir e co mbi nant un gr and no mbre d’ att ribut s à gé rer et de

contr aint es.

[Hasle et al. 07] : Cet article copieux p ermet de faire la transition entre les problèmes

de t ou rné e s a ca dé mi q ue s et c eu x re nc o nt ré s en pr at i qu e da ns l es a ppl i ca -

tions industrielles (problèmes de grande taille notamment).

[Lap orte 09] : Cet article a p our intérêt de mettre en évidence les principales étap es et

les travaux-clés dans la recherche sur les problèmes de tournées de véhicules

de p uis la pr em i èr e he u ris t iq ue c on st ru ct iv e , pu bl ié e en 1 96 4.

- 411 -


[Lap orte et al. 01] : Bi en qu ’il ne co nce rne pas les mé tah euri sti que s, cet ar tic le dé crit

très bien les diverses heuristiques constructives qui sont très utilisées dans

les logiciels commerciaux ou pour initialiser des métahe uri stiques. Ces

algorithmes rep osent sur des prin cip es simples et nous recommandons d’en

pr en dr e c on na is sa nc e ava nt de l ire l es ré f ér en ce s pl us c om pl iq ué e s sur l es


[Prins 04] : L’article présente un algorith me mémétique efficace et simple à comprendre

p our le CVRP, avec des chromosomes co dés sous forme de tours géants.

[Toth et al. 01] : Ce livre de synthèse sur les problèmes de tournées est plus ancien

que [Golden et al. 08] mais reste utile et complémentaire.

[Vidal et al. 12b] : Dans l’esprit de [Cordeau et al. 01], cette publication décrit un

algorithme génétique hybride p ouvant résoudre de multiples versions d u

VRP.

- 412 -

Chapitre 15

Applications en gestion

du trafic aérien

Nicolas Durand*, David Gianazza*, Jean-Baptiste Gotteland*,

Charlie Vanaret*, Jean-Marc Alliot o

* École Nationale de l’Aviation Civile, Toulouse, France

durand,gianazza,gotteland,vanaret@tls.cena.fr

o Institut de Recherche en Informatique de Toulouse, France

alliot@tls.cena.fr

15.1 Introduction

La gestion du trafic aérien est une source inépuisable de problèmes d’optimisation.

Ava nt d’e ntre r d ans le d étai l d e l ’app lica tion d es mét ahe uris tiqu es à ces p robl èmes ,

dé c ri vo ns en q ue lq ue s m ot s le f on ct io nn e me nt du s ys tè me q ui g èr e ce t ra fic , a fin de

p er me tt re au n on -in it ié de m ie ux ap pr éh en der l es t hém at iq ues q ue n ous a ll ons p ré se nte r.

Un vol passe par plusieurs phase s entre le moment où les pass agers embarquent et celui

où ils arrivent à leur destination : roulage sur les taxiways p our rejoindre le seuil de

pi s te , dé c ol la g e et m ont ée en s ui va nt de s pr o c éd ure s et un i ti né ra ir e de s or ti e de la z on e

de l ’a ér op o rt , vol en c ro is iè re , de s ce nt e fin al e , avec s ui vi d’ un e pro c éd ur e d’ a ppr o c he

de l ’a ér op o rt de de s ti na ti o n, p o ur t er mi ne r pa r l ’a tt er ri ss a ge , et à no uv e au du ro ul a ge

au sol p our rejoindre l’aérogare. À chacune de ces étap es, il est pris en charge par des

organismes de contrôle aérien dont l’ob jectif est d’assurer un écoulement fluide et sûr

de l ’e ns em bl e du t ra fic : c on tr ôl e au s ol , t ou r, c ont rô le d’ a ppr o c he , c on tr ôl e e n- ro ut e.

Afin de faciliter le travail des op érateurs humain s qui gèrent le trafic, l’espace aérien

est dé cou p é en se cte urs, pl acé s ch acu n sous la resp on sabi lit é d’un ou deux co ntrô le urs

aériens, et les avions emp ru ntent un réseau de routes aériennes pré-détermin ées qui

413

Chapitre 15 – Applications en gestion du trafic aérien

traversent ces secteurs. La définition du réseau de routes et des secteurs d’espace

do i t ré p o ndr e à de s ob j ec ti f s c on tr ad ic to i re s : c ha qu e a vi on s ou ha it e avo ir une ro ut e

la plus directe p ossible, mais le trafic doit être organisé pour être gérable p ar un

op érateur humain, avec par exemple un nomb re limité de p oints de croisement par

se cte ur, et avec suffisa mme nt d’ espa ce p our ma nœuv rer les av ion s en cas de co nflit s

de tra jectoires. Comme nous le verrons dans ce chapitre, la construction du réseau de

routes et de la sectorisation recouvre à elle seule plusieu rs problèmes d’optimisation.

La ge stion quotidien n e du trafic aé rie n est soumise à de nombreuses contraintes

d’ o rg an is at io n : re g ro up e me nt de s s ec te ur s en un it é s m an ag ér ia l es ( ce nt re s de c on tr ôl e

aérien), forte sp écia lisation des contrôleurs aériens sur un type d’activité et sur une

zone gé og raph ique do nnée , avec des te mps d’ appre nti ssa ge imp or tant s p our ch ang er

d’ a ct iv it é ou de z on e. Un c on tr ôl eu r a ér ie n n’ e st q ua li fié q ue p o ur un e ns em bl e do nn é

de secteurs. Ceux-ci sont donc gérés par blo cs, que l’on nomme zones de qualification,

ou encore blocs fonctionnels d’espace. Un blo c d’e sp ac e est géré 24 heures sur 24 par

plusieurs équip es de contrôleurs qui se relaient selon un tour de service. Chaque p oste

de trava il p e ut se v oi r a ffe ct er un ou pl us ie u rs s ec te ur s d’ e sp ac e a ppa r te na nt au m êm e

bl o c f on ct io nn e l, p o ur l eq ue l l es c on tr ôl eu rs s on t q ua li fié s. On vo it i ci se de s si ne r

pl us ie u rs pr ob lè m es d’ o pt im is at io n : pa r e xe mp le la dé fi nit i on de s blo cs f on ct io nn e ls ,

de f aç on à é qu il ib re r l eu rs c ha rg es de t ra fic t ou t en m ini m is an t l es flux e nt re blo cs

di s ti nc ts , ou e nc or e l ’a ffe ct at i on o pt im al e de s s ec te ur s a ux p o st es de t ra va il , de f aç on

à équilibrer la charge de travail entre les p ostes ou verts .

Il n’est pas toujours p ossible d’éviter les surcharges de travail uniquement en jouant

sur l’a ffec ta tio n des se cte urs aux p os tes de travail. En co nsé que nce , il faut pa rfo is

imp oser des mesures de régulation à certains vols, afin d’éviter la saturation de certains

se cte urs. L’ all oca tio n de cr éne aux de dé col lag e, ou le re -rou tag e de flux de tr afic,

do nn e nt l ie u à de s pr ob lè m es d’ o pt im is at io n s ou s c on tr ai nt es di ffic il es à t ra it er , p o ur

de s i ns ta nc es à l ’é ch el le e uro p é en ne .

E nfin , le c œu r de l ’a ct iv i té du c on tr ôl e a ér ie n c on si st e à f avo ri se r au m ie ux l ’é co ul e -

ment du trafic tout en évitant les collisions entre avions. Pour cela, il faut résoudre les

co nflit s en tre tra je cto ire s, qui p eu vent sur ven ir à to ute s les ét ap es du vo l, du ro ulag e

à la p h a s e d e c r o i s i è re . L a r é s o l u t i o n d es c o n fl i t s e s t u n p r o b lè m e d ’ o p t i m i s a ti o n s o u s

contr aint es : on che rche à mi nimi ser les éc art s aux tra je cto ire s no mina les tout en

resp ectant à chaque instant une séparation latérale ou verticale entre les avions. Les

co nflit s li és à l’o cc upa tio n de la pi ste ne p eu vent être ré sol us qu ’en dé ter mina nt la

sé que nce te mp or ell e des at ter riss age s et des dé col lag es. Lo rsq ue les av ion s ro ulen t sur

la surface aérop ortuaire, la résolution p eut se faire en choisissant les cheminements ou

les délais au x p oints d’attente des taxiways, tout en cherchant à resp ecter un créneau

do nn é da ns la s éq ue nc e de dé c ol la g e. L or sq ue l es av io ns s on t en l ’a ir , le c on tr ôl eu r

p eu t do nn er d es m an œu vre s d’ év ite me nt l at ér ale s ou ver ti cal es , ou e nc or e c ont rai nd re

la vitesse des avions, ou leur taux d e montée ou de descente.

À t r ave r s c e t t e d e sc r i p t i o n r a p id e d e l a g e s t i o n d u t r afi c a é r i e n , n o u s ve n o n s

d’ é vo q ue r pl us ie u rs pr ob lè m es d’opt i mi sa ti on , do nt la di ffic ul té et la c om pl ex i té

prov ie nn en t de pl us ie u rs f ac te ur s. To ut d’ a b o rd, c es pr ob lè m es s on t t rè s s ou ve nt

interdé p endants, et parfois difficiles à formuler de façon claire par les acteurs du monde

op érationnel. Par exemple, on p eut chercher à éviter la saturation des secteurs de

- 414 -

15.2 Optimisation des routes aériennes

contr ôle aé rie n en re tard ant les vo ls au dé col lag e, mais on p eut au ssi op tim iser les

se cte urs p our ac co mmo der au mi eux la de mand e de tr afic. On p eut ég ale me nt vouloir

optimiser les deux critères simultanément. Ce simple exemple nous donne déjà trois

f or mul a ti on s p o ss ib le s de s ob j ec ti f s g én ér au x de s éc ur it é et d’e ffic ac it é de l ’é co ul e me nt

du t ra fic . P ar a il le ur s, c es pr ob lé m at iq ue s p o rt ent sur de s s ys tè me s c om pl ex e s, avec

de no mbr eu x int er ve na nts trava il la nt da ns dive rs do m ai ne s et sur di v er s ho ri z on s

temp orels : c omp agnie s aériennes, services de la navigation aérienne, aérop orts, qui

planifient leurs activités à court, moyen, ou long terme. Ces activités sont sujettes à de

no mbr eu x a lé as q ui do i ve nt ê tr e pr is en c om pt e da ns la mo dé l is at io n de s pr ob lè m es :

ainsi, prévoir une tra jectoire d’avion est difficile en raison des erreurs engendrées par

les incertitudes sur la météorologie, les intentions du pilote et les paramètres de l’avion.

Au sol, un bagage ou un passager manquant p eut retarder u n vol de plusieurs minutes,

remettant en c au s e la planification des décollages. La gestion des incertitudes requiert

do nc l ’u ti li sa ti o n de mo dè l es c om pl ex e s, su ffis am me nt ro bu st e s et ré a ct if s .

Ces différents p oints rendent la mo délisation des problèmes de trafic aérien difficile :

si le mo dèle est trop si mpli fié, il ne p er met tra pas de re ste r dans un contex te ré ali ste ,

s’il est trop co mpl exe , on ris que de ne plus être en me sure de l’ opt imis er. Par ai lle urs,

une f oi s c or re ct e me nt mo dé l is és , c es pr ob lè m es s on t s ou ve nt i nt ri nsè q ue me nt di ffic il es

à traiter avec des métho des exactes, sur de s ins tan ces r éali ste s.

Po ur t o u te s c es r a i so n s , l e s m ét a h e u r is q u e s s o nt g é n é r a le m e nt d e b on s o u t i l s p ou r

ab order un grand nombre de problèmes de gestion du trafic aérien. Nous verrons sur

de s e xe mp le s q u’ el le s s on t pa rf o is s urp as sé e s pa r de s m ét ho de s e xa ct e s, m ai s q u’ el le s

restent sur d’autres p rob lèmes les meilleures mé thodes connues.

Dans ce chapitre, nous présentons plus ie urs exemples d’applications, regroup és

se lon les th éma tiq ues suivantes : op tim isat io n du ré sea u de ro utes aé rie nnes , op tim i-

sa tio n de l’ espa ce aé rie n, allo ca tio n de cr éne aux de dé col lag e, op tim isat io n du tr afic

aérop ortuaire, détection et résolution de conflits aériens en route. Pour chaque application,

nous dé taille ron s les choix d e s mo dèles, expliqueron s la complexité du problème,

les métaheuristiques utilisée s , mais aussi les algorithmes alternatifs existants.


Le réseau de routes aériennes, tel qu’il existe aujourd’hui, s’est construit au fur et

à mesure du temps en fonction de diverses contraintes géographiques, historiques, ou

techniqu e s . Autre fois, le s moyens de navigation des avions im posaient que les routes

passent par des balises de radio-na vigation p ositionnées sur la surface du glob e. Ce

n’ e st pl us le c as a uj ou rd ’h ui , avec l es m oye ns mo de rn e s de g éo lo c a li sa ti o n, m ai s il

sub sis te d’ autr es co ntr aintes dans le pl ace ment des nœuds du ré sea u. Ty piqu eme nt,

un p o int de c ro is em en t e nt re ro ut e s a ér ie nn es ne do i t pa s se t ro uver t ro p pr ès d’ un e

limite entre deux secteurs, afin qu’il y ait suffi

samment de place p our les manœuvres

latérales des avions.

L’augmentation du trafic aérien conduit réguliè re me nt à rep enser et redéfinir le

réseau de routes aériennes, de maniè re partielle ou à grande échelle, voire à prop oser

- 415 -


de no uve au x mo de s de g es ti o n op é ra ti on ne ll e de s ro ut e s et de l ’e sp ac e a ér ie n, pa r

ex emp le en in trod uisa nt des co rrid ors aé rie ns ré serv és aux plus gros flux de tr afic.

P lu si eu rs pr ob lé m at iq ue s p e uv ent ê tr e di s ti ng ué es da ns le t hè me g én ér al de l ’o pt i-

misation du réseau de routes aériennes, parmi lesquelles :

– le placement d e s nœuds e t des arêtes du réseau , vu comme un graphe planaire

en deux di mens ion s, dont les ar ête s ne do ive nt pas se cr ois er ;

– le placement des nœuds uniquement, en supp osant fixés le nombre de nœuds et

la top ologie du réseau. Typiquement, partant d’une grille initiale, on cherche à

dé f or me r c el le - ci a fin de f avo ri se r un é co ul em e nt o pt im al de s flux de t ra fic ;

– le placement optimal, toujours en dimens ion 2, de corridors réservés aux plus

gros flux de trafic ;

– en di mens ion 3, le pl ace men t op tima l de “tub es -3D ” sans in ters ec tio ns, p our les

pl us g ro s flux o ri gi ne -d es t in at io n.

15 .2 .1 P lac em en t des nœ ud s et des ar êt es par

algorithmes

géométriques

400000

Trajectoires directes

Points de croisement

200000

0

-200000

-400000

-600000

-800000

-1e+06

-1e+06 -800000 -600000 -400000 -200000 0 200000 400000 600000

Figure 15.1 – Croise ments des trajectoires directes p our les flux de plus de 10 avions /jour.

Dans le mo de opératoire actue l, un contrôleur aérien résout les conflits de traj

ec to i re s da ns le s ec te ur d’ e sp ac e do nt il e st re s p o ns ab le . L es ro ut e s q u’ em pr unt en t

les avions doivent tenir compte de cette contrainte : les p oints de croisement usuels

entre tra je cto ire s ne do ive nt pas être trop près des fr onti ère s du se cte ur et il doit y

avo ir s u ffi s a m me nt d ’ e s p ac e a u t o u r d e c e s p oi nt s d e c r o is e m e nt p ou r p er m e t t re d e s

manœuvres d’évitement latéral. Par ailleurs, le réseau de routes doit être conçu de

- 416 -


f aç on à a ll on ge r le m oi ns p o ss ib le l es tra j ec to i re s, pa r ra pp o rt à de s ro ut e s di re c te s.

Idéalement, les plus gros flux de trafic seront déviés le moins p ossible.

En se pro j et ant sur le pl a n ho ri z on ta l, le ré s ea u de ro ut e s a ér ie nn es p e ut ê tr e

vu comm e un graphe planaire, dont les nœuds sont les intersections de routes, et

do nt l es a rê te s s on t de s s eg me nts de ro ut e s. D an s ce c ad re , l ’o b j ec ti f e st de pl a ce r

géog raphiquement les nœuds du réseau de façon à rép ondre à un critère d’éloignement

suffisant, tout en mi nimi sant les al lon gem ent s de tra je cto ire s p our les avi ons em pruntant

le

réseau.

L’appro che que nous allons maintenant présenter p our traiter ce problème n’est pas

une m ét ah eu ri st iq ue . E ll e c on si st e à a ppl i qu er d’ a b o rd une m ét ho de de clustering aux

p oi nt s d e c ro is eme nt e nt re l es r out es d ir ect es o ri gin e- de sti na tio n, p ui s u n a lg ori th me

géométrique de triangulation p our construire les segments de routes entre les barycentres

des clusters. Cette métho dologie, prop osée par Mehadhebi dans [ M eh ad he bi 00],

et bri ève me nt ab or dée par Gi ana zza [ Gianazza 04 ] da n s s a t hè s e , n e vi s e p a s né c e s sa i -

rement à l’optimalité globale des solutions. Malgré tout, cette appro che p ermet de

co nst ruire un ré sea u rép on dant aux co ntra intes d’ élo igne me nt des nœu ds, et les so lutions

sont par construction de b onne qualité en termes d’allon ge me nt des tra jectoires,

puisqu’on part initialement des routes les plus directes p ossibles. Cette appro che p eut

do nc s er vi r de ba s e de c om pa ra is o n, da ns de s trava ux f ut urs où le pr ob lè m e pr és e nt é

se rai t tr ait é par des mé tah euri sti que s.

400000

200000

Points de croisements

Aeroports et points fixes

Barycentres des agregats

0

-200000

-400000

-600000

-800000

-1e+06

-1e+06 -800000 -600000 -400000 -200000 0 200000 400000 600000

Figure 15.2 – Clustering

des p oints de croise ment.

L’ob jectif de l’étap e de clustering est de tr ouver les nœuds du ré sea u fina l, à pa rtir

de la de m an de de t ra fic , de f aç on à s at is fa i re en pr em i er l ie u le c ri tè re d’ é lo ig ne me n t

entre les nœuds du gr aphe pl anai re. Pour ce la, on ca lcu le tous les p oints de cr ois eme nt

- 417 -


entre tra je cto ire s di rect es , par ex emp le avec un al gor ithm e gé omé tri que de type sweep

li ne , pu i s o n le s r e g ro u p e s el o n u n c ri t è re de p r oxi m it é , e n i mp o s a nt qu e l e ba r y c ent r e

de c ha qu e g ro up e s oi t su ffis am me nt di s ta nt de s a ut re s ba ry c en tr es . Ty p iq ue me nt, une

métho de de k-means p e ut ê tre u til is ée à c et e ffet . D ans l e ca lc ul d u b ar yce nt re , l es

p oi nt s p e uvent êt re p o ndé ré s p ar u n p o id s c or re sp on da nt à l a s om me d es fl ux d ’av ion s

passant par chaque p oint de croisement. Cette p ondération p ermet d’éviter de trop

dé p la ce r l es nœ ud s trav er sé s pa r l es pl us g ro s flu x. L es fig ur e s 1 5. 1 et 1 5. 2 i ll us tr en t

ce pro ce ssu s de clustering de s p o in ts de c ro is em en t , sur l ’e sp ac e a ér ie n f ra nç ai s.

Une fois p ositionnés les nœuds du réseau, les arête s sont placées de façon à ce

qu’elles ne se croisent pas (sans quoi le graphe ne serait plus planaire), en utilisant une

métho de géométrique de triangulation. Les figures 15.3 et 15.4 montrent les résultats

obtenus en appliquant l’algorithme de S. Fortune [ Fort une 95 ] aux barycentres des

clusters de p oints de croisement. Cet algorithme p ermet de calculer simultanément une

triangulation de Delaunay de l’ensemble des p oints et s on graphe dual, le diagramme

de Vo ro no ï.

400000

diagramme de Voronoi

points d’agregation

200000

0

-200000

-400000

-600000

-800000

-1e+06

-1e+06 -800000 -600000 -400000 -200000 0 200000 400000 600000

Figure 15.3 – Diagramme de Voronoï asso cié aux baryc entres des clusters.

Chaque cellule p olygonale du diagramme de Voronoï est telle que l’ensemble des

p oi nt s à l’ int éri eu r d e l a ce ll ul e e st p lus p ro ch e d u b ar yc entr e q u’ el le co nt ie nt ( nœ ud

du réseau) que d’aucun autre barycentre. Cette métho de géométrique p ermet donc

d’ a ss oc ie r une c el lu le d’ e sp ac e a ér ie n à c ha qu e nœ ud du ré s ea u de ro ut e . La s urf a ce

de c et te c el lu le do nn e une i ndi c at io n de l ’e sp ac e di s p o ni bl e a ut ou r du nœ ud p o ur l es

manœuvres latérales des avions en conflit.

Dans [M eh ad he bi 00 ], Mehadhebi tire parti de cette indication p our esp ac e r les

p oi nt s afi n d e l is ser u n c ri tè re d e de ns ité d e c on fli ts. Pou r cha qu e p o int d e c roi se me nt,

la densité est obtenue en calcu lant le ratio entre une valeur représentative des conflits

- 418 -


aériens à résoudre 1 et la sur fac e de la ce llu le du di agra mme de Vor ono ï asso ci ée au

p oi nt de cr oi se me nt . L ors qu ’o n é lo ig ne l es u ns d es a ut res le s p o int s d e c ro is em ent

si tué s dans les zo nes de de nsit é trop él evée, la sur fac e des ce llu les de Vor ono ï au gme nte ,

di mi nua nt et é ta la nt m éc an iq ue m en t l es va le ur s du c ri tè re de de n si té . La m ét ho de

d’ o pt im is at io n ut i li sé e n’ e st pa s dé t ai ll é e da ns [ M eh ad he bi 00 ]. Il semble s’agir d’une

métho de itérative cherchant à lisser lo calement la densité dans les zones conge stionnées.

400000

diagramme de Voronoi

triangulation de Delaunay

200000

0

-200000

-400000

-600000

-800000

-1e+06

-1e+06 -800000 -600000 -400000 -200000 0 200000 400000 600000

Figure 15.4 – Triangulation de Delaunay des baryc entres des clusters.

Une fois le réseau défini, chaque vol doit choisir son cheminement à travers le

réseau, entre son aérop ort de départ et celui de destination. Afin d’être effectivement

“vol abl es” par les av ion s, ces ch emi neme nts doivent te nir co mpt e d’une contr aint e

sur l’angle entre segments successifs d’une même route. Cette contrainte est prise

en co mpt e de fa ço n différ ent e dans [

M eh ad he bi 00], où elle est resp ectée du mieux

p os si bl e d ès l a p ha se d e clustering de s p o in ts de c ro is em en t , s an s t ou te fo i s y pa rv e ni r

sy sté mat iqu eme nt, et dans [Gianazza 04 ] où elle es t prise en c ompte da ns la reche rche

du pl us c ou rt c he mi n à t ra ve rs le ré s ea u, p o ur c ha qu e v ol .

15 .2 .2 P lac em en t des nœ ud s, à top ol og ie fix ée , par re cu it

simulé ou essaim parti cul aire

Dans [Riviere 04 ], Rivière s’intéresse à un problème différent, qui consiste à pla-

cer les nœuds du ré sea u en ayant fixé au pré ala ble la top ol ogi e du ré sea u. Pa rta nt

d’ un e g ri ll e ré g ul iè re dé fi nie sur l ’e sp ac e a ér ie n e uro p é en , il ut i li se un re c ui t s im ul é

1. Par exemple, le nombre de conflits au p oint de croisement, avec une p ondération dép endant de

leur difficulté.

- 419 -


[ Kirkpatrick et al. 83] p o u r ch e rch e r u n e dé f o rm a t io n d e l a g ri l l e qu i m i n im i s e la

somme des allongements de tra jectoires entre aérop orts de départ et d’arrivée. Cette

optimisation tient compte de contraintes de distance minimum entre p oints de croisement.

L’évaluation d u critère d’allongement des tra jectoires fait app el à un algorithme

de F lo yd -Wa rs ha ll p o ur re c al cu le r l es pl us c ou rt s c he mi n à t ra ve rs le ré s ea u de ro ut e s.

Le calcul des plus courts che m in s tient compte de contraintes d’angle e ntre segments

suc ce ssi fs de ro utes , afin d’ évi ter des vi rag es à plus de 90 de g ré s.

La fonction ob jectif à minimise r faisant app el à la résolution d’un problème

combi nato ire p our tr ouve r les plus co urts ch emi ns, il n’ est pas p os sibl e d’ empl oyer

des métho des d’optimisation utilisant les dérivées de la fonction ob jectif. Il faut donc

ut i li se r de s m ét ho de s s an s dé ri vé es et l ’e mp lo i d’ un e m ét ah eu ri st iq ue ( en l ’o c cu rr en ce

un re c ui t s im ul é da ns [ Riviere 04 ] et un e ssai m part icul aire d ans [Cai et al. 12 ], qu e

no us v erro ns un p eu pl us l oi n) e st do nc i ci t ou t à f ai t i ndi q ué .

Le recuit simulé fait évoluer un unique élément dans l’espace de recherche, à partir

d’ un e p o si ti on i ni ti al e. Le pr in ci p e g én ér al c on si st e à e ffe ct ue r à c ha qu e i té ra ti o n un

dé p la ce me nt a lé at o ir e da ns un v oi si na g e du p o in t c ou ra nt . Le dé p la ce me nt e st a cc e pt é

si le nouveau point améliore le critère. Il p eut également être accepté dans le cas

contr aire , mais avec une pro bab ilit é qui dé cro ît avec le nombre d’ ité rati ons (s ché ma

du re c ui t) . D an s le pr ob lè m e t ra it é, un p o int de l ’e sp ac e de re c he rche re pr é se nt e do nc

un ré s ea u de ro ut e s, et un dé p la ce me nt lo c al a ut ou r de ce p o in t c or re sp on d à une

dé f or ma ti o n a lé at o ir e de ce ré s ea u.

Figure 15.5 – Reche rche d’un réseau optimal de routes aériennes (à droite) par recuit simulé, à

partir d’une grille initiale (à gauche).

Dans des travaux plus récents [ Cai et al. 12], Cai et al. ut i li se nt une a ppr o ch e

si mila ire à ce lle de [ Riviere 04 ], mais sur l’espac e aérien chinois et avec une mo délisation

sous fo rme de pro blè me d’ opti mis ati on mul ti- ob je cti f. La mi nimi sat ion p orte ici sur

de u x c ri tè re s. Le pr em i er , l ié a ux a ll on ge m ents de tra j ec to i re s, e st i de nt iq ue à c el ui

minimisé dans [ Riviere 04]. Le s e cond, repris d e [Si dd iq ue e 73 ], est la somme sur tous

les p oints de croisement du nombre moyen de c on fl its p otentiels par unité de temps.

- 420 -


La métaheuristique utilisée est une métho de hybride combinant une variante

d’ e ss ai m pa rt i cu la ir e ( CLPSO : Comprehensive Learning Particle Swarm Optimization,

intro duit e dans [Liang et al. 06 ]) avec une métho de ad-hoc améliorant de façon

dé t er mi ni st e l es c ri tè re s o pt im is és en dé p la ça nt lo c al em e nt l es p o in ts de c ro is em en t .

Dans sa version originale, l’optimisation par essaim particulaire fait é voluer u n e

p op ul at ion d e pa rt ic ule s ( p os iti on , v it es se) , e n m émo ri sa nt l es m eil le urs p o ints t rou vé s

par chacune des particules. Chaque particule se déplace dans l’espace de recherche en

suivant son ve ct eur vi tes se. Apr ès cha que dé plac em ent, le ve ct eur vi tes se est mis à

j ou r, en f ai sa nt une s om me p o ndé r ée t en ant c om pt e de l ’a nc ie nn e va le ur ( in er ti e de la

pa rt i cu le ), de la di re c ti on du m ei ll eu r o pt im um t ro uv é pa r la pa rt i cu le , et e nfi n de

la direction du meilleur p oint trouvé par toute la p opulation (ou un sous-ensemble

de celle -ci). La variante CLPSO consiste à utiliser l’ensemble des meilleurs p oints

trouvés par toutes les particules p our mettre à jour le vec te u r vitesse, afin d’éviter

une c on ve rg en ce pr ém a tu ré e ve rs un o pt im um lo c al .

L’algorithme prop osé par [Cai et al. 12 ] reprend le schéma général de CLPSO, en

a jo u t a nt un e o p t im i s a ti o n l o cal e a p r è s l e c al c u l d es no u ve ll e s p os i ti o n s e t v it e s se s . Po u r

ch aq u e p ar t i c u l e ( i .e . u n r é s ea u d e r o u te s ) , l ’ o p t i mi s a t i o n l o ca l e c o n s i dè r e ch a c u n d e s

nœ ud s du ré s ea u (p o in t de c ro is em en t ), et t ente un dé p la ce me nt a mé li or an t de f aç on

déterministe les deux critères optimisés. Cette phase dép end des p ositions relatives

de s nœ ud s v ois in s et de s va le ur s de s flux de t ra fic sur l es a rê te s c on ne ct é es au nœ ud

co nsi déré . Le dé plac em ent re ten u est ce lui do nnan t la me ill eure am éli ora tio n es tim ée.

Cai et al. co mpa rent leur mé tho de hy bride au re cuit si mulé prop osé par Ri viè re

[ Riviere 04], sur les données de l’espace aérien chinois . L’appro che par recuit simulé ne

minimisant qu’un seul des deux critères considérés par les auteurs, la comparaison des

f ro nts de Pa re to e st a ss ez na t ure l le me nt à l ’ava nt ag e de l ’e ss ai m pa rt i cu la ir e o pt im is an t

les deux ob jectifs.

Les résultats sont également comparés au réseau chinois actuel, montrant de

nettes amélio rations par rapp ort à l’existant. La métho de de Cai et al. est en co urs

d’intégration dans le logiciel utilisé p our la planification du réseau de routes en Chine.

15 .2 .3 P lac em en t en 2D de “t ub es aé ri en s”, par clustering et

algorithme

génétique

Dans [Xue et al. 09 ], Xue prop ose une métho dologie p our placer géographiquement

un no m bre l im it é de “ tu b es a ér ie ns ” ( ou “ co rr id or s” , v oi re “ au to ro ut e s a ér ie nn es ”, bi e n

que le terme soit particulière me nt impropre) qui regroup eraient les plus gros flux

de t ra fic a u- de ss us du t er ri to ir e de s É ta ts -U ni s. L ’o b j ec ti f n’ e st pa s i ci de dé fi nir un

réseau p our l’ensemble du trafic, mais uniquement quelques corridors réservés aux vols

appartenant aux flux les plus imp ortants. Ni les détails de la gestion op érationnelle

de c es c or ri do rs , et no t am me nt l es pro c éd ur es d’ e nt ré e, de s or ti e, de s ép ar at io n de s

av io n s , n i l a g e s t io n d e s c o nfl i t s a é ri e n s a u x i nt e r s ec t i o n s n e s o nt d on n é s d a n s l a

pu bl ic a ti on . L ’a ut eu r s ’i nt ér es se un iq ue m en t au pl a ce me nt g éo gr a phi q ue de c es t ub e s,

sur des cr itè res de pro xim ité .

- 421 -


Il existe de nombreuses manières de définir un flux de trafic aérien : par couple

origine- destination, ou à travers un secteur aérien, ou la frontière d’un espace aérien,

etc. Ici, on s’intéresse aux tra jectoires, définies par des grands cercles sur la sphère

terrestre. Un flux est défini comme étant un group e de grands cercles pro ches les uns

de s a ut re s.

Po ur r e g r ou p e r c e s g ra n d s c e rc l e s s el o n u n c r i t è r e d e p rox i m i t é , X u e t r a n s f or m e l e s

tra jec toires direc te s entre aé rop orts de départ et d’arrivée en un ensemble de p oints

da ns un e sp ac e du al ( tr an sf or ma ti o n de Ho u gh ). D an s c et e sp ac e, c ha qu e tra j ec to i re

se ré duit à un co uple ( ⇢, ✓), où ⇢ est la di sta nce la plus co urt e en tre la tra je cto ire et

un p o int de ré f ér en ce , et ✓ est l’ ang le en tre une di rect io n de ré fér enc e et la no rmal e

à la tra jec toire , passa nt par le p oint d e réfé rence . Xue uti lise al ors un e métho d e de

clustering ba s iq ue , i ss ue du t ra it em ent d’ i ma ge s, p o ur a gr ég e r l es tra j ec to i re s. En

sup er posa nt une gr ille de pas ( ⇢, ✓) à l ’en semb le de p o int s dans l ’esp ace d ual, i l

dé t er mi ne pa r s im pl e c om pt ag e l es c el lu le s de pl us ha ut e de n si té .

Ce pro cédé p ermet d’identifier des group es de tra jectoires pro ches les unes des

autres. Pour chacune des cellules les plus denses, Xue détermine alors l’empla cement

du c or ri do r q ui v ie nd ra re m pl ac er l es tra j ec to i re s di re c te s s it ué es da ns la c el lu le . En

pr em i èr e a ppr o xi ma tio n, c et e mp la ce me n t e st s im pl em en t le ba ry c en tr e ( da ns l ’e sp ac e

du al ) de t ou te s l es tra j ec to i re s pr és e nt es da ns la c el lu le c or re sp o nda nt e.

L’inconvénient du passage d an s l’espace dual es t que c e lui-ci ne conserve pas la

trace des p oints de départ et d’arrivée des tra jectoires initiales. Il n’est donc pas

p os si bl e d e m es ur er d ire ct em ent d ans c et e sp ac e l ’a llo ng em ent re la ti f d e t ra j ec toi re ,

p ou r le s av io ns qu i em pr unte nt l es c or rid or s.

Afin de tenir compte de ce critère essentiel p our les op érateurs aériens, Xu e utilise un

algorithme génétique [Goldb erg 89, Michalewicz 92], p our améliore r la solution trouvée

en première approximation. Cet algorithme fait évoluer une p opulation d’individus par

un pro cessus darwinien de sélection, selon un critère d’adaptation à l’environnement

et de cr ois eme nt et mut at ion des in divi dus. Dans le pro blè me tr ait é, un él éme nt de

la p opulation représente l’ensemble des centres de clusters. Un individu est donc

enco dé co mme une co lle ct ion des co ord onné es (⇢ , ✓) de s t ube s da ns l ’e sp ac e du al .

La p opulation initiale e s t constituée à partir de la solution trouvée en première

approximation (barycentres des clusters). Le critère d’adaptation d’un individu est

l’allongement réel des tra jectoires des avions empruntant les tub es.

Avec 2 00 é lém ent s d e p o pul ati on évo lua nt su r 20 0 g éné rat ion s e t de s p rob abi lit és

de c ro is em en t de 0. 8 et de mut at ion de 0. 2, le p o u r ce nt a ge de t r a fic r e g r o up é d a n s l es

flu x, en n’ a cc ep t an t au pl us q ue 5 % d’ a ll on ge me n t de tra j ec to i re , pa s se de 31 % p o ur

la solution initiale à 44 % p our la solution trouvée par l’algorithme gé n étique.

15 .2 .4 Tub es -3 D sé pa ré s, par al go ri th me év ol ut io nnaire et A ⇤

Dans ce que nous avons vu jusqu’à p résent sur l’optimisation de s routes aériennes, on

ne c he rche pa s à é vi te r l es int er se ct i on s e ntre ro ut e s ( ou c or ri do rs ) l or s de la c on st ru ct io n

du réseau. Ces intersections sont structurellement prévues dans la représentation

en gr aphe pl anai re, que ce soit dans la co nst ruct ion du ré sea u par des mé tho des

géomé triques [ M eh ad he bi 00, Gianazza 04] ou dan s le plac ement des nœ uds pa r des

- 422 -


métahe uri stiques [ Riviere 04 , Cai et al. 12 ]. Le placement optimal de corridors réservés

aux plus gros flux, dans [Xue et

al.

09], autorise également les corridors à se croiser.

Po ur q ue l a s t ru c t u r e d u r é se a u d e ro u t e s d i m inu e de f a ço n eff

e c t i ve, l e n o mbr e

de c on fli ts e nt re a vi on s e mp run ta nt le ré s ea u, il f au t intro du ir e une s ég ré ga t io n

ve rt i c a l e d e s flu x a é r i e ns , so i t l o ca l e m e nt a u x p o i nts de cr o i s em e nt , so i t p a r fl u x

origine- destination, soit e n core p our chaque vol, en fonction de la direction de la rou te

qu’il suit. Des métho des de coloration de graphe, que nous n’allons pas détailler ici,

p eu ve nt p ar e xe mp le ê tr e u til is ée s p ou r a ll oue r d es ni ve au x d e vo l d iff ére nt s a ux fl ux s e

cr ois ant [ Letrouit 98, Ba rnie r et al. 02 ]. L’inconvénient de ces appro ches est qu’elles

ne c on si dè re nt q ue l es ph as e s de v ol s ta bi li sé en c ro is iè re . L es ph as e s de m on té e et de

de s ce nt e, ou de t ra ns it io n d’ un ni v ea u de c ro is iè re à un a ut re ne s on t pa s pr is e s en

co mpt e.

Une autre appro che , prop osée par Gianazza [Gianazza 04 , Gianazza et al. 04b ,

Gianazza et al. 04a , Gianazza et al. 05 , Gianazza 05], consiste à définir des tub es-3D

sans in ters ec tio ns p our les plus gros flux or igi ne- dest ina tio n. Un tub e- 3D, tel qu ’ill ust ré

sur la figure 15 .6, est un vol ume ca lcu lé à pa rtir des no rmes de sé para tio n st anda rd

ho ri z ont al e et v er ti ca l e, et à pa rt i r de l ’e nve lo pp e de s pr ofi ls m ini mum et m ax imum

de m on té e et de de s ce nt e de t ou s l es t yp es d’ a vi on s t ra ns it an t da ns le t ub e.

Les avions volant dan s ces tub es-3D seraient séquencés temp orellement au départ,

et assureraient leur propre séparation à l’intérieur du tub e. Ils auraient la priorité sur

le reste du trafic. Les tub es eux-mêmes seraient séparés les uns des autres, et il n’y

aurait donc pas de conflits entre les principaux flux de trafic.

Figure 15.6 – Exemple de tub e-3D, avec un seul niveau de croisière.

L’ob j ectif est donc d’attribuer un tub e-3D à chaque flux suffi

samment imp ortant.

Un flux est ici défini par la donnée de deux p oints (origine, destination) e t d’un niveau

de vol pr éf é re nt ie l ( RF L : Requested Flight Level). Une variante de la métho de des

k means

est ut ilis ée p our ag rég er les vo ls in divi duel s en flux origine-destination-

RFL . En c o n s é q u e n c e , on p e u t avo ir p l u s i e u r s fl u x p ou r u n c o u p l e o r i gi n e - d e s t i n at i o n ,

co rre sp o ndan t à pl usie urs ni vea ux de vol pré fé rent iel s.

Les tub es-3D doivent être les plus courts p ossibles. Les tub es asso ciés à des couples

origine- destination différents ne doivent pas être sécants. Pour ceux ayant une même

origine et une même destination, mais avec des niveaux de vol préférentiels différents,

on s’autorise des tronçons communs sur les phases de montée initiale et de descente

fin al e . L es dé v ia ti o ns l at ér al e s ou v er ti ca l es p o ss ib le s s on t i ll us tr ée s sur la fig ur e 1 5. 7.

Un tub e-3D asso cié à un flux origine-destination-RFL sera dé fini par un ch oix en tre

- 423 -


les diff érentes routes-2D alternatives et par une séquence de couples

( d k , C F L k ), où

d k est la di sta nce , le long de la ro ute, à la que lle dé bute une év olu tio n ve rti cal e vers le

nive au de vol C F L k (Cleared Flight Level).

Figure 15.7 – Déviations latérales ou verticales p ossibles.

Po ur r é s o u dr e c e p r o b lè m e d ’ o pt i m i s at i o n s o us c o nt r a int e s f o r te m e nt c o mbi n a -

toire, Gianazza utilise un algorithme évolutionnaire hybridé avec un A ⇤ . L’ a l go r i th m e

évol uti onna ire fa it év olu er par sé lec tio n, cr ois eme nt, et mut ati on, une p op ulat ion

d’ i ndi v id us do nt c ha qu e é lé me nt re pr é se nt e un ré s ea u c om pl et de t ub e s- 3D . Le c ri tè re

d’ a da pt at io n d’ un é lé me nt de p o pul a ti on e st c al cu lé en c on st ru is an t une m at ri ce

triangulaire C do nt la di a go na le c on ti ent, p o ur c ha qu e t ub e i , l e co û t d e l ’é c a r t

pa r ra pp o rt à la tra j ec to i re pr éf é re nt ie ll e ( ro ut e di re c te , au nive au de v ol pr éf é re n-

tiel). Ce sont les coûts que l’on cherche à minimiser. Les éléments non diagonaux,

d’ i ndi c es i, j ave c i < j , de l a m a t ri c e C p er me tt ent d e c om pt abi li se r l es i nt er sec ti on s

entre les tub es, c’ est -à- dir e les vi ola tio ns de co ntra intes de sé para tio n. En no tant f ( i )

la somme des violations de contraintes impliquant le tub e i, le c r i t è r e d ’ a d ap t a t i o n F

ch oi s i e s t l e s u i vant :

F = 1 + n

1+ P si i Cii i f ( i)

= 0

P 1

si i f( i)

i f ( i ) >

0

Le c ritè re d’adaptation maximisé par l’algorithme évolutionnaire est don c inf érieur à 1

quand il reste des tub es sécants. Il est sup érieur à 1 lorsque les tub es-3D sont séparés,

et sera dans ce cas d’ auta nt plus gr and que les éc art s aux tra je cto ire s pré fé rent iel les

seront faibles. Ce critère d’adaptation est mis à l’échelle selon le princip e du sigma

truncation scaling, pu i s pa r un op é r a t e u r de p a r t a g e p a r pa q u e t (clusterized sharing),

afin d’éviter de converger prématurément vers un optimum lo cal. Une stratégie élitiste

est em plo yée, pré ser vant le me ill eur él éme nt de cha que cluster lorsque son adaptation

est suffisa mme nt pro che de ce lle du me ill eur él éme nt de la p op ulat io n. Le re ste

du p o ol de s pa re n ts e st c on st it ué s el on le pr in ci p e du stochastic remainder without

replacement. Le s o p é r a te u r s de c r o is e m ent e t d e mut at i o n so nt e ns u i te a p p li q u és , avec

de s pr ob a bil i té s c ho is ie s.

L’op érateur de croisement est pro che de celui prop osé dan s [Durand et al. 94 ,

Durand et al. 98 ]), qui es t particulièrement adapté aux fonctions partiellement sépa

ra b le s et do nt l es p e rf or ma nc es re s te nt b o nne s sur l es pr ob lè m es de g ra nd e t ai ll e

- 424 -


[ Durand 04 ]. Cet op érateur nécessite de définir un critère d’adaptation lo cal (local

fitness) p o u r c h a q u e g è n e ( ic i u n t u b e - 3 D ) d e c h aq u e i n d i v i d u ( i c i u n e n s e mb l e d e

tub es-3D couvrant le territoire). Dans le problème traité, Gianazza a choisi f k = f (k),

l’opp osé de la somme d e s violations de contraintes p our l’avion k . Le c ro is em ent ch oi si

pa r G ia na zz a c on si st e à e ffe ct ue r un c ho ix a lé at o ir e, avec une c er ta in e pr ob a bil i té ( fix ée

à 2 3 da ns [ Gianazza 05 ]), entre un croiseme nt barycentrique classique et un croisement

dé t er mi ni st e q ue no us a ll on s dé t ai ll e r. D an s le c ro is em en t dé t er mi ni st e, le pr em i er

fils hé ri t e du g èn e k du pa re n t p 1 et le se con d hé rite du gène k du pa re n t p 2 , lorsque

f k ( p 1 ) = f k ( p 2 ). Lo rs qu e le s va le ur s d es fitness lo cales d iffèrent, les fils héritent du

meilleur des gènes des deux parents.

L’op érateur de mutation fait intervenir un algorithme A ⇤ . Un gè ne (t ub e- 3D)

est sé lec tio nné p our la mut at ion, en cho isis sant pré fé renti ell eme nt un tub e dont

l’adaptation lo cale est mauvaise (si violation des contraintes, F < 1), ou dont le coût

de dé v ia ti o n à la tra j ec to i re di re c te e st le pl us é le vé ( si l es t ub es s on t s ép ar és , F 1).

La mutation consiste à remplacer ce gène par un tub e-3D calculé par l’algorith me

A ⇤ . Si c e c a lc u l n e do n n e au c u n e so l u ti o n, l e g è ne es t m o d i fi é de m a n iè r e a lé a t oi r e ,

en mo di fiant un des pa ramè tre s du tub e co rre sp on dant : ch oix de la ro ute, ni vea ux

d’entrée ou de sortie, paliers de croisière. Concernant ces derniers, on choisit avec une

éq uipr oba bili té, soit d’a jo ute r un no uve au pa lie r, soit de sup prim er un pa lie r ex ist ant ,

soit de mo di fier un pa lie r ex ist ant en ch ang eant la di sta nce de dé but d’ évo lut ion dj

ou bien le niveau de croisière C F Lj . L’algorit hme A ⇤ ét ant re lat ive ment co ûte ux en

temps de calcul, il p eut être rem p lacé (se lon un choix aléatoire avec une probabilité

fix é e) pa r une m ét ho de g lo ut on ne .

Meilleure adaptation

1.3

1.2

1.1

1

0.9

0.8

AG classique

AG avec biais

AG adapté

0.7

AGH

AGH réel

0.6

0 20 40 60 80 100 120 140

Génération

Meilleure adaptation

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

AG adapté

AGH

AGH réel

0 50 100 150 200 250 300

Génération

Figure 15.8 – Comparaison de différentes variantes d’algorith mes, sur un cas-test à

10 tub es-3D

(à gauche), ou à 40 tub es-3D (à droite).

Dans [Gianazza 05 ], les deux variantes de cet algorithme évolutionnaire hybride

(avec A ⇤ seul dans la mut at ion, ou A ⇤ et mé tho de gl out onne ) sont co mpa rée s à

de s va ri ant es pl us c la ss iq ue s ( al go ri th me é vo lu ti o nna i re s ta nd ar d, avec ou s an s bi a is

de s él ec t io n, ou avec op é ra te ur de c ro is em ent a da pt é) , sur de s c as -t e st à 10 ou 40

tra jectoire s. Le s ré s ultats montrent l’intérêt de l’hybrid ation proposée et du choix

de s op é ra te ur s, p o ur ce pr ob lè m e sp é ci fiq ue de c on st ru ct io n d’ un ré s ea u o pt im al de

tub es-3D non sécants. La figure 15.8 illustre l’évolution du critère d’adaptation du

meilleur élément, p our les deux cas-test avec l’origine et la destination placées sur un

- 425 -


ce rcl e, avec 350 él éme nts de p op ulat io n et avec des pro bab ilit és de cr ois eme nt de

0 . 6

et de mut at ion de 0. 05.

ft

35000

30000

25000

20000

15000

10000

5000

-400 0 -300-200-100

0 100 200 300 400 -400 -300 -200 -1000100200300400 NM

NM

Figure 15.9 – Illustration d’une résolution par A ⇤ , su r u n c a s -t e s t à 10 tub es-3D.

L’algorithme évolutionnaire est par ailleurs comparé à l’algorithme A ⇤ ut i li sé s eu l,

sans hy brida tio n. Dans ce ca s, l’A ⇤ est ap pliq ué suc ce ssi vem ent à cha que tub e- 3D,

p ou r t ro uve r l e ch emi ne me nt o pt ima l qu i é vi te l es tu b es -3 D p ré cé dem me nt c al cu lés .

Les inconvénients de c e tte appro che sont d’une part qu’elle ne vise pas à l’optimalité

globale des solutions et, d’autre part, que la qualité des solutions dép end de l’ordre

da ns l eq ue l on c on st ru it l es t ub e s. La fig ur e 1 5. 9 i ll us tr e une ré s ol ut io n pa r l’ A ⇤ p ou r l e

pr ob lè m e à 10 tra jectoires. Le critère d’ad ap tation F p ou r c ett e s olu ti on e st d e 1 .1674,

ce qui est mo ins b on que les ré sult ats des var iantes de l’ alg ori thme év olu tio nnai re,

do nt la m oye nn e sur 10 ex éc utio ns est to ujo urs sup ér ieur e à 1 .19. Pou r l e p r o b l èm e à

40 tub es, l’algorithme A ⇤ ne t ro uve pa s de s ol ut io n q ui s at is fa s se l es c ont ra in te s de

sé para tio n.

Po ur c o n c l ur e s u r l a c o n s t r u ct i o n d ’ un r é s e a u d e t u b es - 3 D d éd i é a u x pr i n c i p au x fl u x

de t ra fic , l es ré s ul ta ts pr és e nt és da ns [ Gianazza 05 ] m ont re nt à la f o is l ’i nt ér ê t d’ ut i li se r

une m ét ah eu ri st iq ue et c el ui de l ’h yb ri de r av ec de s m ét ho de s dé t er mi ni st es . L ’a pp li ca -

tion de cette métho de sur des données ré e lle s (France, Europ e), dans [ Gianazza 04 ],

co nfirm e ces ré sult ats mais mo ntre au ssi les li mit es du co nce pt : la dé finit ion de

65 tub es-3D séparés au-dessus de l’Europ e, p our les flux de plus de 20

av io n s p ar

j ou r, ne p e rm et de c ap tu re r q u’ un p eu pl us de 6 % du trafic. Ceci est dû au fait

que les fl u x considéré s sont entre aérop orts. Pour améliorer ce concept, il faudrait

d’ a bo rd re g ro up er l es a ér op o rt s s it ué s da ns une m êm e z on e g éo gr a phi q ue , c om me

da ns [ Sri dh ar et al. 06], puis définir des tub es-3D entre ces zones.

15.3 Optimisation de l’espace aérien

Dans la section précédente, nous avons vu plusieurs appro ches p our la construction

d’ un ré s ea u de ro ut e s a ér ie nn es , ou de “ tu b e s” p o ur l es flux pr in ci pa ux . Le dé c ou pa ge

- 426 -


de l ’e sp ac e a ér ie n en s ec te ur s n’a é té ab o rdé q ue t rè s br iè ve me nt , à t ra ve rs l es c el lu le s

de Vo ro no ï de la s ec ti o n 1 5. 2. 1 q ui s er ve nt de s upp o rt au c al cu l d’ un c ri tè re de de n si té

de trafic. Cette approche est une ébauche de ce que p ourrait être la construction

simul tané e du ré sea u de ro utes et de la se cto ris ati on de l’ espa ce aé rie n.

Dans cette partie, nous allons considérer que le réseau de routes est fixé et nous

f o ca li se r sur t ro is pr ob lè m es l ié s à la dé fi nit i on et à la g es ti o n de s s ec te ur s d’ e sp ac e.

Le premier problème consiste, p our un réseau de routes donné, à placer les frontières

de s s ec te ur s de f aç on à m ini m is er un c er ta in no m bre de c ri tè re s c om me la c ha rg e de

co or dina tio n asso ci ée aux flux in ters ec teur s, la ch arg e de sur vei lla nce des av ion s pré sents

da ns le s ec te ur , ou e nc or e la cha rg e de c on tr ôl e l ié e a ux c on fli ts à ré s ou dre . Le de u xi èm e

pr ob lè m e c on si st e, p o ur une s ec to ri sa t io n do nn é e, à re g ro up er l es s ec te ur s d’ e sp ac e en

blo cs f on ct io nn e ls 2 afin que les blo cs aient des trafics globalement comparables et que

les échanges de trafic entre blo cs soient les p lus faibles p ossibles. Dans le troisième

pr ob lè m e, c ’e st la g es ti o n pr év i si on ne ll e au q uo ti di en d’ un bl o c d’ e sp ac e q ui no us

intéres s e : on cherche la meilleure façon d’aff

ecter les secteurs d’e space aux p ostes de

travail, de façon à équilibrer la charge de travail entre les différents p ostes, en évitant

si p os sibl e les sur cha rge s et en te nant co mpt e des fluc tua tio ns du tr afic et d’un ce rta in

no mbre de c on tr ai nt es op é ra ti on ne ll e s. D an s l es s ec ti o ns s ui va nt es , no us do nn o ns de s

ex emp les de ré sol utio n ut ilis ant des mé tah euri sti que s p our ces tr ois pro blè mes .

15 .3 .1 Se ct or is ati on de l ’es pa ce

Les secteurs de contrôle ont évolué en fonction de l’augmentation du trafic aérien,

mais sont encore aujourd’hui définis à la main grâce à l’exp ertise et l’exp érience des

contrôleurs aériens. Connaissant la demande croissante de trafic, on peut se p oser

la question de l’optimisation de la forme de ces secteurs. On se trouve alors face

à u n p r o b l èm e d i ffi c i l e à m o dé l i s e r c a r i l f a u t u n m o d è l e d e s e c t e u r s u ffi s a m m e nt

so uple p our co nte nir les se cte urs ac tue lle men t op ér ati onne ls et suffisa mme nt si mple

p ou r q ue l ’o n p ui ss e o pt im ise r l e p ro bl ème . D ela haye [Delahaye 95 , Delahaye et al. 94 ,

Delahaye et al. 95] prop o se notam ment da ns sa thè se une m o délis ation s implifi ée de

se cte urs en deux di mens ion s (la di mens ion ve rti cal e n’ éta nt pas prise en co mpt e).

Il prop ose de représenter n se cte urs de co ntrô le par n p oi nt s d ont le d ia gra mm e d e

Voro noï as so c ié re pré sente le s limi tes de s sec teu rs (voir fig ure 15 .10 ).

L’avantage de cette mo délisation est qu’elle réduit la définition d’un secteur à

un p o in t du pl a n. L ’i nc on vé ni en t e st q u’ il n’y a pa s un ic i té de la re pr é se nt at io n.

En e ff e t, c om me le m ontre l ’e xe mp le 1 5. 10 , l es t ri pl et s

( C0 , C1 , C2 ) et (

C 0 0 , C0 1 , C 0 2 )

représentent la m ê me sectorisation. Mais les triplets ( C1 , C2 , C0 ), (

C2 , C0 , C1 ) et

toutes les p ermutation s d e ce triplet représentent également le même découpage de

l’espace par symétrie. L’autre inconvénient est qu’e lle ne p ermet de définir que des

p ol yg on es co nve xe s a lor s q ue l es s ect eu rs a ér ien s p e uve nt p ren dr e d es f orm es b e au co up

2. Le découpage en blo cs fonctionnels d’espace corresp ond à une contrainte d’organisation. Un

bloc fonctionnel d’espace est un ensemble de secteurs d’espace sur lesquels sont qualifiés un certain

nombre de contrôleurs aériens. Chaque blo c est géré de façon indépen dante des autres, par plusieurs

équipes de contrôleurs qui se relaient selon un tour de service. Plusieurs secteurs d’un même blo c

peuvent être affectés à un poste de travail. Ce n’est pas p ossible p our des secteurs de blo cs différents.

- 427 -


pl us va ri ée s. D el ah aye o pt im is e la s ec to ri sa t io n de l ’e sp ac e en ut i li sa nt un a lg or it hm e

évol uti onna ire cl ass iqu e tel que dé crit par [G oldb erg 89, Ho lla nd 75] :

– Le c odage des données est un vecteur comp os é des coordonnée s des points

centr aux servant à co nst ruire la se cto ris ati on.

– La fonction à optimiser tient compte de plusieurs critères tels que la charge

de co o rdi na t io n ( no mb re d’ a vi on s pa s sa nt d’ un s ec te ur à l ’a ut re ), la c ha rg e de

survei lla nce (n ombr e d’avi ons à l’ inté rie ur du se cte ur) et la ch arg e de co ntrô le

(nombre de conflits entre avions dans le secteur). On veut équilibrer ces critères

et resp ec te r au ssi d’ autr es co ntra intes te lle s que :

• un a vion do i t re s te r un m ini m um de t em ps da ns un s ec te ur ;

• les routes ne doivent pas se croiser trop près des frontières du secteur.

Tous ce s crit ère s ne p eu ve nt p as s’e xpr ime r simp lem ent sous un e form e anal y-

tique ; dans un contexte d’outil op érationnel, seule une simulation sera capable

de m es ur er la q ua li té d’ un e s ec to ri sa t io n. L ’u ti li sa ti o n d’ un e m ét ah eu ri st iq ue

telle qu’un algorithme évolutionnaire prend alors tout son s ens. Elle p ermet en

effet de tr ait er le cr itè re d’ opti mis ati on co mme une b oî te no ire.

– L’op érateur de crois e me nt consiste à identifier les paires de centres de secteurs

les plus pro ches (problème de minimisation en s oi) et à appliquer un crois ement

ba ry c ent ri qu e ( ou a ri th mé ti qu e ) sur c es pa i re s de p o in ts .

– L’op érateur de mutation con s iste à déplacer aléatoirement un ou plusieurs

centres de se cte urs.

C1

C’1

C2

C’2

C’3

C3

Figure 15.10 – Mo délisation de sec teurs par leurs centres de classes.

Après sa thèse, De lahaye prop osera des mo dèles améliorés de la sectorisation qui

p er me tt ent d e r ep ré sent er d es s ec teu rs n on co nve xe s [Delahaye et al. 98 ]. Il reprendra

en suit e son mo dèle en y a jo uta nt la di mens ion ve rti cal e afin de cr éer une se cto ris ati on en

trois dimensions [Delahaye et al. 06, Delahaye et al. 08]. Kicinger [Kicinger et al.

09]

ut i li se é ga le m en t un a lg or it hm e g én ét iq ue c om bi né à une he u ris t iq ue d’ a gr ég at i on

de c el lu le s é lé me nt ai re s p o ur pa rt i ti on ne r l ’e sp ac e en s ec te ur s. Xue [Xue 09 ] prop ose

ég ale me nt une appro che ap pliq uée à l’ espa ce aé rie n am éri cai n et ut ilis ant un di agra mme

de Voronoï optimisé par un algorithme génétique. En 2009, Zelinski [Zelinski 09 ]

- 428 -


pr op o se une c om pa ra is o n de t ro is a ppr o c he s p o ur dé fi nir l es f ro nt iè re s de s s ec te ur s,

l’une utilisant une méthode d’agré gation de flux de trafi c, une autre basée sur les

di a gr am me s de Vo ro no ï o pt im is és pa r a lg or it hm e g én ét iq ue , et la de rn iè re ut i li sa nt la

pr og ra m ma ti on l in éa ir e en no m bre s e nt ie rs . L es ré s ul ta ts e xp é ri me nt au x m on tr ent l es

ava nta g e s e t i n co nvé n i e nt s d e ch a q u e a p p ro ch e s an s q u e l ’ u n e d ’ el l e s s o i t n e t t e m ent

sup ér ieur e aux au tres .

15 .3 .2 Dé fin it io n de blo cs fo nc ti on ne ls d’ es pa ce

Au niveau europ éen, la structure de l’espace aérien resp ecte en grand e partie les

f ro nt iè re s t er re st re s de s é ta ts . Au j ou rd’ hu i e nv ir on 40 c en tr es de c on tr ôl e c ou vr en t l es

27 états membres de l’union europ éenne. Dans le cadre du pro jet europ éen FABEC 3 ,

on souhaite réorganiser les centres ou zones de contrôle afin de simplifier l’orga ni sation

du t ra fic . P ar mi l es no m bre ux c ri tè re s é no nc és pa r E uro c on tr ol p o ur ré o rg an is er

l’espace, trois sont qu antifiables et p euvent p ermettre de redéfinir les frontière s entre

zo nes de co ntrô le :

– Les zones doivent avoir le moins de flux de trafic à leur frontiè re s .

– La concentration de flux imp ortants doit se faire à l’intérieur des zone s .

– Les différentes zones doivent être homogènes entre elles en terme s de quantité

de t ra fic g ér é.

Dans sa thèse, Bichot [Bichot 07 ] mo dél is e le p ro bl ème p ar u n gr ap he , à pa rt iti on ne r

de f aç on o pt im al e. L es s om me ts du g ra ph e s on t l es s ec te ur s é lé me nt a ir es , l es a rê te s

représentent les flux entre les s e cteurs. Le p oids des arê tes est le nombre moyen d’avions

da ns le flux re l ia nt de u x s ec te ur s.

La figure 15.11 représente le graphe asso cié à un regroup ement de 5 se cte urs. La

fig ur e 1 5. 12 re pr é se nt e une pa rt i ti on de l ’e sp ac e en 3 blo cs f on ct io nn e ls et s on g ra ph e

asso

cié.

Figure 15.11 – Graphe asso cié à un regroup ement de sec teurs.

Le critère à minimiser choisi par Bichot est le critère de coup e normalisé qui

co rre spon d à la so mme des flux so rta nt ou en trant dans un blo c fo nct ion nel di visé e

pa r la s om me de s flux i nt er ne s du blo c.

3. Functional Airspace Blo c Europ e Centrale

- 429 -


Figure 15.12 – Trois blo cs fonct io nnels et le graphe asso cié.

Il a joute une contrainte d’équilibrage qui s’exprime de la façon suivante : le p oids

d’ un blo c ne do i t pa s dé p as se r k f oi s le p o id s m oyen de s blo cs f on ct io nn e ls .

Après avoir montré que le problème est NP-Complet [Bichot et al. 04], Bichot teste

pl us ie u rs a lg or it hm es c la ss iq ue s sur de s do nn é es ré e ll es e nre g is tr ée s ( pl us ie ur s m oi s de

do nn é es de t ra fic e uro p é en ) et l es c om pa re à de u x m ét ah eu ri st iq ue s et une he u ris t iq ue

innovante qu’il a baptisée fusion- fi s sion par analogie avec la réac tion nucléaire.

15.3.2.1 Algorithme de recuit simulé

Pa rt a nt d u g r a p h e r e p r és e nt a nt l a s e c t o ri s a t i o n d e l ’ es p a c e , c o n n ai s s a nt l e s p oi d s

de s s om me ts et de s a rê te s, et a prè s avo ir c ho is i le no m bre de blo cs f on ct io nn e ls q ue l ’o n

ve u t o b t e n ir , i l fa u t d é fi n ir u n p o i nt d e d é p a r t p o u r l ’ al g o r i t h m e d e r e cu i t . B i ch ot u t i l is e

soit une co nfig urat ion al éat oir e soit un al gor ithm e de p er col ati on p our fa briq uer ce

p oi nt d e dé pa rt . L a p e rc ola ti on r epr o du it l ’é cou le me nt d ’u n fl uid e de pr o ch e e n p ro ch e.

Bichot dé finit donc au tan t de se cte urs d’ éco ule ment in itia ux que de blo cs fo nct ion nels .

Ces secteurs initiaux constituent les noyaux des blo cs fonctionnels, auquels vont être

rattachés de pro che en pro che tous les secteurs de l’esp ac e. Une explication détaillée de

l’algorithme est prop osée dans [Bichot et al. 04 ]. À partir de ce p oint de départ, Bichot

pr op o se un a lg or it hm e de re c ui t s ta nd ar d o ù, à c ha qu e é ta p e, un s ec te ur e st c ho is i au

ha s ar d da ns un de s blo cs f on ct io nn e ls et e st i nt ég ré da ns un a ut re blo c f on ct io nn e l. Au

dé b ut , l or sq ue la t em p é ra tu re de re c ui t e st e nc or e é le vé e , le blo c d’ i nt ég ra ti o n c ho is i

est le blo c ayant le ra tio de coup e le plus bas. Pu is, lo rsq ue la te mp ér atu re de vie nt

ba s se , le s ec te ur e st int ég ré da ns un blo c c on ne xe au blo c d’ o ri gi ne . L ’a j us te me nt de s

pa ra m èt re s du re c ui t ( dé cr oi ss a nc e de la t em p é ra tu re , c ho ix de la t em p é ra tu re à pa rt i r

de l aq ue ll e la s tr at ég i e d’a ffe ct at i on c ha ng e) e st t rè s e mp ir iq ue .

15.3.2.2 Algorithme de colonies de fourmis

Po ur a d ap t e r l e p r o b l è me d e p a r ti o n n e m e nt d e l ’ es p a c e e n b l o cs f o nc t i o n n el s a ux

co lon ies de fo urmi s, Bi cho t prop ose de fa ire co ex ist er au tan t de co lon ies que de blo cs

fonctionnels. Chaque blo c est le territoire d’une colonie de fourmis. Les colonies sont

mises en concurrence sur l’appartenance d’un territoire et des phéromones présentes

de s su s. P lu s pr éc i sé me nt, un s ec te ur a ppa r ti ent à la c ol on ie q ui y p o ss èd e le pl us de

- 430 -


ph é ro mo ne s. Ap rè s cha q ue dé p la ce me nt de f ou rm i, l ’é ne rg ie de l ’é ta t ré s ul ta nt du

dé p la ce me nt e st m es ur ée . Si c el le - ci di mi nu e , l ’é ta t e st a cc e pt é et s in on , il e st a cc e pt é

ave c u n e r è gl e d ’ a c c e pt a t i o n d e M e t r op o li s s im i l a i re à c e l le e m pl oyé e p o ur l e r e c ui t

simulé. À no uve au, le pro blè me de ce tte appro che ré side dans le ch oix des pa ramè tre s

de l ’a lg or it hm e q ui e st f ai t de m an iè re e mp ir iq ue .

15.3.2.3 Une métho de de fusion et fission

Bichot intro duit dans sa th èse une he uris tiq ue ba ptis ée fu sio n-fis sio n par an alo gie

ave c l es f u s i o n e t fi s si o n nu c l é a ir e s . Po u r l a f u s io n , l ’ i d ée es t d e r e g r ou p er le s d e u x

bl o c s f on ct io nn e ls q ui é ch an ge nt le pl us de t ra fic ( co mm e le m on tr e la fig ur e 1 5. 13 ) .

Po ur l a fi s s i o n, i l s ’ a g it c e t te f o i s d e d i v i s er e n d e u x l e p lu s g r os b l o c f o n ct i o n n e l ( vo i r

fig ur e 1 5. 14 ) . B ic ho t a j ou te c er ta in s ra ffine m en ts à l ’i ss ue de c ha qu e é ta p e p e rm et ta nt

d’ é cha ng e r q ue lq ue s s ec te ur s é lé me nt a ire s en t en an t c om pt e de l ’é vo lu ti o n du c ri tè re

de ra t io de c ou p e à m ini m is er .

Figure 15.13 – Étap es de fusion de deux blo cs.

Figure 15.14 – Étap es de la fission du plus gros blo c fonct io nnel.

Dans [ Bichot et al. 04], Bichot montre que cette derniè re app ro che semble p lu s

adaptée et plus simple à mettre en œuvre que les précédentes. Il la compare à des

métho des classiques de partitionnement de graphe.

15.3.2.4 Comparaison avec des métho des classiques de partionnement

de

graphe

Dans [ Bichot et al. 07] Bi ch o t c om p a r e d e u x al g o r i th m e s c l a s si q u e s d e p a rt i t i o n ne -

ment (Scotch et Graclus) à son appro che par fusion et fission. Il montre sur plusieurs

pr ob lè m es q ue l ’a pp ro c he f us io n- fis si on e st pl us p e rf or ma nt e q ue l es a lg or it hm es Sc o tc h

et Gra cl us, mais au ssi b ea uco up plus co ûte use en te mps de ca lcu l. Le ta ble au 15 .1

co mpa re les val eurs des cr itè res de coup e no rmal isé e, d’ équi lib rag e en tre les blo cs, et du

no mbre m ax imum de s ec te ur s pa r blo c p o ur l es a lg or it hm es de f us io n- fis si on , Sc o tch et

Graclus. Il donne également les valeurs des différents critères p our la partition actuelle

de l ’e sp ac e f ra nç ai s.

- 431 -


Tabl eau 15.1 – Partitions de l’espace français.

Algorithmes Ncut Équilibrage Max secteurs

Fusion-fission 1.09 1.14 26

Scotch 1.18 1.20 30

Graclus 1.28 1.52 38

Partition actuelle 1.64 1.50 31

Les fi gu re s (15.15) et (15.16) montrent les blo cs fonc tionnels actuels et après

optimisation p our deux niveaux (16 000 et 36 000 pieds). On observe qu’à 36 000 pieds

il ne reste dans la version optimisée que 5 blo cs fonctionnels au lieu de 6. Ceci p ourrait

être un ar gume nt en faveur d’un dé cou pag e de l’ espa ce cr éan t des blo cs fo nct ion nels

pl us é te nd us da ns l ’e sp ac e sup é ri eu r et m oi ns é te nd us da ns l ’e sp ac e i nf ér ie ur .

Figure 15.15 – Blo cs fonct io nnels français actuels (gauche : 16 000 pieds - droite : 36 000

pieds).

Figure 15.16 – Blo cs fonct io nnels français après optimisation (gauche : 16 000 pieds - droite :

36 000 pieds).

- 432 -


15 .3 .3 P rév is io n des re gr ou p em en ts de se ct eu rs aé ri en s

Nous avons vu en section 15.3.1 comment définir les contours des s e cteurs d’esp ac e

en fo nct ion des ro utes et des flux de tr afic. Pu is, dans la se cti on 15 .3. 2, nous avons

vu comment regroup er rationnellement ces secteurs d’espace en blo cs fonctionn e ls

qui seront placés chacun sous la resp onsabilité d’un centre de contrôle aérien. Ces

de u x op é ra ti on s ( se ct o ri sa ti on et dé fi nit i on de s blo cs f on ct io nn e ls ) c on st it ue nt une

redéfinition stratégique de l’espace aérien, qui doit se faire très en amont de la gestion

en te mps réel du tr afic.

Nous allons maintenant supp oser que la géométrie des secteurs aériens est fixée

et nous in tére sse r à la ge sti on en te mps réel des se cte urs, à l’ inté rie ur d’un blo c

f on ct io nn e l d’ e sp ac e. La g es ti o n q uo ti di en ne d’ un e s al le de c on tr ôle c on si st e à a ffe ct er

les secteurs d’espace aux p ostes de travail (ou positions de contrôle) des c ontrô leur s

aériens. L’en s emble des secteurs d’espace affectés à un même p oste de travail constituent

ce que l’on app el le un secteur de contrôle.

Les figures 15.17 et 15.18 illustrent ce partitionnement de l’espace en secteurs de

contr ôle , sur un ex emp le avec cinq se cte urs d’ espa ce et une li ste de re gro up em ents

autorisés.

Regroup ements au torisés :

a : { 2,

3}

b : { 3,

4}

c : { 4,

5}

d : { 1,

5}

e : { 1, 2, 3, 4,

5}

s : singleton

Figure 15.17 – Un exemple de sec teurs d’espace aérien d’un blo c fonct io nnel.

Le partitionnement de l’espace aérien en secteurs d e contrôle varie au cours de

la journée, en fonction de la charge de travail ressentie su r le s p ositions de contrôle.

La figure 15.19 illus tre quelques alternatives p ossibles à la partition présentée sur

la figure 15.18. Certaines contraintes op érationnelles sont également à prendre en

co mpt e : tour de se rvi ce, no mbre ma ximum de p os tes de travail disp on ible s, rè gle s

de t ra ns fe rt de s ec te ur s d’ e sp ac e d’ un e p o si ti on à l ’a ut re , l is te de s re g ro up e me nt s

autorisés de secteurs.

- 433 -


Figure 15.18 – Affectation des sec teurs d’espace aux p ostes de travail.

Figure 15.19 – Autres partitions p ossibles de l’espace aérien en sec teurs de contrôle.

L’ob jectif premier de cette gestion d yn amiqu e des secteurs est d’éviter les surcharges,

qui mettent en jeu la sécurité des vols. Lors qu’un p oste de travail est surchargé, une

pa rt i e de s s ec te ur s d’ e sp ac e q u’ il g èr e e st t ra ns fé ré e à un a ut re p o st e de t ra va il , a fin

d’ e n a ll ég e r la c ha rge. L or sq ue ce n’ e st pa s p o ss ib le , il f au t e nv is ag e r de s m es ur es de

régulation du trafic (délais au décollage, re-routages). De telles situations doivent alors

être anti cip ées suffisa mme nt tôt p our p ou voi r me ttr e en œuvre ces me sure s. Afin de

gérer l’espace à moindre coût, on souhaite également ouvrir un min imum de p ostes de

travail, et éviter les sous-charges.

- 434 -


L’affectation dynamique des secteurs d’espace aux p ostes de travail p ermet d ’a juster

en te mps réel la se cto ris ati on en fo nct ion de la ch arg e de travail, se lon les cr itè res

que nous venons d’évoquer. Cep endant, il manque aujourd’hui encore des outils de

pr év i si on fia bl e s p o ur l es o uv er tu re s de s ec te ur s, q ui p e rm et tr ai e nt d’ a nt ic ip er avec

pl us de pr éc i si on l ’é vo lu ti on f ut ure de s c ha rg es de t ra va il et du pa rt i ti on ne me nt de

l’espace en secteurs de contrôle. De tels outils doivent s’appuyer sur deux éléments

es senti els : une es tim ati on fia ble de la cha rge de travail des co ntrô le urs et un al gor ithm e

p er me tt ant d’ ob te nir u n pa rt iti on ne me nt op ti ma l d e l ’e sp ace .

15.3.3.1 Difficulté du problème et choix des métho des

Le problème de partitionnement op timal de l’espace est forteme nt combinatoire :

le nombre total de partitions p ossibles est égal au nombre de Bell. Toutefois, les

contr aint es op éra tio nnel les , et no tam ment la re stri cti on à ce rta ins re gro up em ent s

autorisés, réduisent la combinatoire du problème.

Po ur de s in s t a nc e s re l a t ive m e nt m o de s t e s e t su ffi s am m e nt c o nt r a int e s , o n p e u t

do nc e sp é re r a ppl i qu er avec s uc cè s une m ét ho de de re c he rche a rb o re sc en te , p o ur

ex plo rer de fa ço n dé ter mini ste l’ ense mbl e des pa rtit ion s p os sibl es. Par co ntre , ce typ e

de m ét ho de ri sq u e de ne pl us ê tr e a ppl i ca bl e p o ur de s blo cs f on ct io nn e ls c on te nant un

no mbre i mp o rt ant de s ec te ur s, ou avec m oi ns de c on tr ai nt es sur l es re g ro up e me nt s

autorisés. Dans ce dernier cas, un p artition n ement optimal ou presque optimal p eut

être re che rché par une mé tah euri sti que .

15.3.3.2 Une appro che par algorithme génétique

Dans [Gianazza et al. 02b, Gianazza et al. 02a], Gianazza prop ose un algorithme

génétique [ Goldb erg 89, Michalewicz 92 ] p o u r co n st r ui r e un e p ar t it i on o p ti m al e d e

l’espace aérien en secteurs de contrôle. Cet algorithme génétique est comparé, sur

de s i ns ta nc es ré e ll es de s ec te ur s f ra nç ai s, à de u x m ét ho de s de re c he rche a rb o re sc ente

(depth first et A ⇤ ).

Dans cette appro che, chaque individu de la p opulation est une configuration de

se cte urs de co ntrôl e, c’ est -à- dir e une pa rtit ion de l’ ense mbl e des se cte urs d’ espa ce .

À chaqu e ité ra ti on, l ’a lgo ri th me gé né ti que s él ec tio nn e un p o o l de pa re nts, qu i so nt

en suit e re com biné s par cr ois eme nt et mutat ion p our pro duire une no uve lle p op ulat io n.

Les individus le s moins adaptés sont éliminés, et remplacés par d’autres tirés au

ha s ar d da ns le re s te de la p o pul a ti on . De no m bre ux ra ffine m en ts s ont p o ss ib le s da ns le

ch oi x de s o p é r a t e u rs d e s é le c t i o n e t d e r e m p l ac e m e nt , d e m i s e à l ’ é ch e ll e d e s c r i t è r es

d’ a da pt at io n (scaling, sharing) . Le lecteur p o ur ra se référer au x chapitres 5 et 10 de

cet ou vra ge ou en cor e au ch apit re 3 de [Eib en et al. 03] p our plus de détails.

Dans [Gianazza et al. 02b , Gianazza et al. 02a], l’op ération de mutation d’un individu

(i.e. une configuration de secteu rs ) consiste à choisir au hasard un des secteurs

de c on tr ôl e et un de s es vo is in s, pu is à re pa r ti ti on ne r l es s ec te ur s d’ e sp ac e c om p o sa nt

ces deux secteurs de contrôle. Ce repartitionnement est aléatoire, mais restreint à un

résultat entre un et trois secteu rs maximum. Les nouveau x secteurs viennent remplacer

les deux secteurs initiaux de l’individu muté.

- 435 -


L’op ération de croisement de deux parents consiste à remplacer u ne partie des

se cte urs de co ntrô le de ch aqu e pa rent par des se cte urs proven ant de l’ aut re pa rent . Le

résultat ne forme généralement pas un e partition complète de l’espace et il faut donc

le compléter en choisissant aléatoirement parmi le s secteurs de contrôle compatibles

ave c l a c o n fi gu r a t i o n i n c om p l è t e .

Le critère d’adaptation (fitness)

tie nt compte, par ordre de priorité décroissante, des

surcha rge s él evée s, du no mbre de p os tes de travail ou ver ts, des so us- cha rges imp or tante s,

et enfin des sur cha rge s et so us- cha rges dans les ma rge s de to lér anc e. Pour un se cte ur

de c ont rô le do nn é , la c ha rg e e st éva lu ée en f on ct io n de l ’é ca rt entre le flux ent ra nt da ns

le secteur et u n seuil maximal autorisé (la capacité du s ec te ur ), en ut i li sa nt l es va le ur s

ut i li sé es en op é ra ti on ne l. L es va le ur s br ut es du c ri tè re d’ a da pt at io n s on t mo di fié e s

pa r un op é ra te ur de clusterized sharing, p u is p a r sigma truncation ([ Goldb erg 89 ], ou

[ E ib en et al. 03] p.59 ), afin d e lais ser a ux ind ivid us les m oins a dap tés un e meil leur e

ch an c e d e s e r e pr o du i r e e t d e p e r m e t tr e a i n s i u n e e x p lo r a t i on pl u s l a r g e d e l ’ e s pa c e

d’ é ta ts . Po ur l ’o p é ra te ur de sharing, l a di ffi c u l t é c o n s i s t e à dé fi n i r un e d i s ta n c e e nt r e

de s pa rt i ti on s di ffé re nt es de l ’e ns em bl e de s s ec te ur s d’ e sp ac e. La ps e udo - di st an ce

ch oi s i e e s t a n a l o gu e à l a d i s t an c e d e H a m m in g , à l a d i ffé r e n c e p r è s q u e l es s u i t e s d e

symb ol es p our le squ ell es on co mpt abil ise les différ enc es n’ ont pas la même lo ngue ur.

Une stratégie élitiste p ermet de préserver les meilleurs in d ivid us lors de la constitution

de la nouvelle p opulation, p our l’itération suivante. Cette nouvelle p opulation

est par ai lle urs co nst itué e des in divi dus ré sult ant des cr ois eme nts et mut at ions , co m-

pl é té e e ns ui te s el on le m éc an is me du stochastic remainder without replacement (voir

[Eib en et al. 03]).

Cette appro che par algorithme génétique est comparée sur des instances réelles à

de u x m ét ho de s de re c he rche a rb o re sc ent e. D ’a ut re s a ut eu rs o nt pa r a il le ur s ut i li sé la

pr og ra m ma ti on pa r c ont ra in te s sur un pr ob lè m e a na lo gu e . No u s a ll on s m ai nt en an t

pr és e nt er br ié ve me nt c es a ppr o che s , q ui e xp lo re nt l ’e sp ac e de s p ar ti t io ns p o ss ib le s de

f aç on dé t er mi ni st e.

15.3.3.3 Métho des de recherche arb orescente, programmation

par

contraintes

Deux stratégies de recherche arb orescente sont présentées dans [Gianazza et al. 02b ,

Gianazza et al. 02a ]. L’une explore en profon de ur (depth

first)

l’arb re p ermettant de

construire les partitions de l’espace. Ce princip e de recherche arb orescente est illustré

sur la figure 15 .20 , sur no tre ex emp le à cinq se cte urs. L’ aut re mé tho de de reche rche

arb orescente est un A ⇤ , qu i e x p l o r e e n p re m i e r l e n œ u d ayant l a m e i ll e u r e e s t i m at i o n

du c oû t t ot al du c he mi ne me nt e nt re la ra c in e et une f eu il le .

Pa r a i l l e u rs , d a n s s a t hè s e [Ba rnie r 02], Barn ier applique avec succès des métho des

de pr og ra m ma ti on pa r c on tr ai nt es à ce m êm e pr ob lè m e de c on st ru ct io n d’ un e pa rt i ti on

optimale. Le problème est formalisé sous forme de CSP (Constraint Satisfaction

Problem). La résolution de ce problème fait éga lement app el à une métho de de

reche rche arb orescente (backtracking) qui p ermet de réduire les domaines des variables.

- 436 -


Regroupements autorisés :

a: {2,3}

b: {3,4}

c: {4,5}

d: {1,5}

e: {1,2,3,4,5}

s: singleton

1 ({1},{s,d,e})

2

({1,2},{e})

6 Continuer si l'évaluation du noeud

est meilleure que Best_eval

({1},{s,d}) ({2},{s,a})

3

({1,2,3},{e}) ({1,2},{}) ({3},{s,b})

4

({1,2,3,4},{e}) ({1,2,3},{}) ({4},{s,c}) ({1,4},{}) ({2,3},{a}) ({1},{s,d}) ({2,3,4},{})

?

({1,3},{}) ({2},{s}) ({1},{s,d} ({2,3},{a})

?

etc

({1},{s,d}) ({2,3},{a}) ({4},{s,c})

5

({1,2,3,4,5},{e})

({1,2,3,4},{}) ({5},{s})

({1,5},{d}) ({2,3},{a}) ({4},{s})

Best_eval= eval({1,2,3,4,5},{e})

Figure 15.20 – Reche rche d’une partition optimale par un algorithme de rech erche arbore scente .

Tout es ce s m éth o d es de re cherche arb ore sce nte s ont t est ée s s ur des in st anc es ré el les ,

sur les se cte urs aé rie ns des cinq centres de contr ôle fr anç ais. Les ré sult ats montr ent que,

sur des in sta nce s de ce tte ta ill e et avec les co ntr aintes op ér ati onne lle s ex ist ant es sur

les regroup ements p ossibles, l’optimu m global e s t atteignab le par ce type de méth o des

en un temps très court (quelques secondes au maximum, sur un Pentium IV 1.8 GHz).

Dans [Gianazza et al. 02b , Gianazza et al. 02a ], la recherche en profondeur d’ab ord

et l’ alg ori thme A ⇤ sont co mpa rés à l’ alg ori thme gé nét iqu e pré senté en se cti on 15 .3. 3.2 .

Avec 22 0 él ém ent s de p o pul at ion évol uant s ur 3 00 g én éra ti ons , et avec de s pr oba bi lit és

de c ro is em en t de 0 .6 et de m ut ati on de 0 .2 , l ’a lg or it hm e g én ét iq ue re t ro uv e l ’o pt im um

global dans la quasi- totalité des cas. Les temps de calcul sont toutefois b eaucoup plus

longs (plusieurs minutes).

15.3.3.4 Un réseau de neurones p our l’estimation de la charge de travail

Dans [Gianazza et al. 02b, Gianazza et al. 02a, Ba rnie r 02], le choix de s variables

(flux entrants) et des capacités de secteurs, qui étaient p ourtant ceux utilisés en

op érationnel à l’ép o qu e, ne p ermet pas une estimation fiable de la charge de travail.

Dans des travaux ultérieurs [ Gianazza et al. 06a , Gianazza et al. 06b, Gianazza 08 ],

Gianazza et Guittet cherchent les indic ateurs les plus p ertinents, parmi les nombreux

indicateurs de complexité du trafic prop osés dans la littérature, p our prévoir la charge

de trava il de s c ont rô le ur s a ér ie ns .

La variable choisie p our observer et quantifier cette charge de travail es t l’état de s

se cte urs de co ntrô le . Les ét ats ut ile s p our es tim er la cha rge sont les suivants :

– “r egro upé ” (f usi onné dans un en sem ble plus vas te de se cte urs, affec té s à un

même p oste de travail) ;

- 437 -


– “ouvert” (l es se cte urs d’ espa ce co rre sp on dant s sont affec té s à un po ste de

travail) ;

– “d égr oup é” (s épa ré en se cte urs plus p et its affec té s ch acu n à un p os te de travai l).

L’hyp othèse de b as e est que cet état corresp ond statistiquement à un niveau de charge

de trava il ( fa ib le , no rm a l, ou t ro p é le vé ).

Un réseau de neurones p ermet de calculer les probabilités (p1 , p 2 , p3) d’ ê tr e da ns

un de c es t ro is é ta ts p o ss ib le s. L es e nt ré es du ré s ea u s ont de s i ndi c at eu rs de c om pl ex i té

du t ra fic , c al cu lé s à pa rt i r de s tra j ec to i re s de s a vi on s, ou de s i ndi c at eu rs p o rt an t sur la

géométrie du secteur (volume). Lors de la phase d’ap p rentissage, les p oids du réseau

de ne u ro ne s s on t a j us té s sur une ba s e d’ e xe mp le s é la b o ré s à pa rt i r du t ra fic e nre g is tr é

et d’ arch ives des affec ta tio ns de se cte urs d’ espa ce aux p os tes de travail, proven ant des

cinq ce ntres de co ntrô le aé rie n fr anç ais.

Figure 15.21 – Prévision des charges de travail et du partitio nnement de l’espace en sec teurs

de

contrôle.

La phase d’apprentissage du réseau de neuron e s fait app el à une métho de d’optimisa

tio n p our mi nimi ser l’ erre ur en so rtie du ré sea u, ce lle -c i ét ant une fo nct ion des p oids

affectés aux connexions. Historiquement, ce sont plutôt d es métho des de gradient qui

sont ut ilis ée s p our l’ appr ent issa ge des ré sea ux de ne uron es. Pa rta nt d’un p oint in itia l

ch oi s i a u h a s a r d d a n s l ’e s p a c e d e s p oi d s , c e s m é th o d es d é pl a c e nt i t é ra t i ve me nt l e

p oi nt co ur ant d e f aç on à am él io rer le c rit èr e à o pti mi se r, e n f ai sa nt à ch aq ue i tér at io n

un pas dans une direction de descente. Ce type de métho de nécessite de calculer le

gradient de l’erreur, par rétropropag ation dans le réseau (voir [ Bi sho p 96 ]). De nombr

eu se s a ppr o che s s ’a pp uy ant sur de s m ét ah eu ri st iq ue s o nt é ga le m en t é té pr op o sé es

p ou r o pt im is er la s tr uc tu re ou l es p o id s d ’u n r és ea u d e n eu ron es : a lg or ith me s g én é-

tiques [Leung et al. 03 ], essaims particulaires [ Gudise et al. 03], colonies de fou rmis

[Blum et al. 05], évolution différentielle [Slowik

et al. 08], etc.

- 438 -


Les résultats présentés dans [ Gianazza et al. 06a, Gianazza et al. 06b , Gianazza 08]

sur l’ est ima tio n de la ch arg e de travail sont ob tenus avec un ré sea u ca lib ré par une

métho de de quasi-Newton (BFGS). Les quelques résultats préliminaires obtenus en

a j us t a nt l e s p oi d s p ar de s a l g o r it h m e s d ’ e ss a i m s p a rt i c u la i r e s (Particle Swarm Optimization)

et d’évol uti on différ ent iel le sont cep en dant tout à fa it co mpa rabl es. Dans

[ Gianazza et al. 09 , Gianazza 10 ], l’algorithme de recherche arb orescente depth first

p ou r le p art it ion ne me nt o pt ima l d e l ’e spa ce (vo ir s ec tio n 15 .3 .3 .3) es t c omb in é ave c l e

réseau de neurones estimant la charge de travail, afin de fourn ir une pré vision réaliste

des ouvertures de secteurs de contrôle aérien. Cette prévision des charges de travail et

du pa rt i ti on ne me nt de l ’e sp ac e e st i ll us tr ée sur la fig ur e 1 5. 21 .

Afin de valider globalement l’ensemble de la démarche, le nombre de p ostes de

travail prévus par le calcul es t comparé au nombre de p ostes de travail rée lle me nt

ouverts ce jour-là. La figure 15.22 montre que les deux courb es (en p ointillés) sont

très pro ches. La courb e en ligne continue au-dess us des deux au tre s trace l’évolution

du t ra fic t ot al da ns le c en tr e, à t it re d’ i ndi c at io n.

Nb. postes de travail

20

15

10

5

Calculé

Réel

T rac

100

80

60

40

20

0

Nombre d'avions

0

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 -20

Temps (minutes)

Figure 15.22 – Comparaison entre les nombres de p ostes de travail prévus par l’algorithme et

réellement

ouve rts.

15.3.3.5 Conclusion sur la prévision des regroup ements de secteurs

Nous avons vu que l’affectation dynamique des secteurs d’espace aérie n aux p ostes

de trava il é ta it un pr ob lè m e a priori f or te me nt c ombi na t oi re , m ai s do nt la di ffic ul té

est am oin drie par l’ exi ste nce de co ntr aintes op ér ati onne lle s (l ist e de re gro up em ents

autorisés, contraintes d an s les transferts de secteurs, etc). Nous avons également vu

qu’une prévision réaliste des regrou p ements de secteurs nécessite une estimation fiable

de la c ha rg e de t ra va il .

- 439 -


Les métaheuristiques sont potentiellement utiles p our ces deux asp ects (partitionnement

de l’espace, estimation de la charge de travail). Pour d e s problèmes de

pa rt i ti on ne me nt f or te me nt c om bi na to i re s, l es m ét ah eu ri st iq ue s s on t s ou ve nt la s eu le

option p ossible : elles u tilisent une marche au hasard dans l’espace des solutions p ossi

bles , gu idée par une he uris tiq ue sus ce ptib le d’ orie nte r la re che rche vers les me ill eure s

so lut ions . De mê me, les mé tah euri sti que s sont tout à fa it ad apt ées p our l’a ju ste ment

de s p o id s d’ un ré s ea u de ne u ro ne s e st im an t la cha rg e de trava il .

À traver s cet ex empl e des re grou p ements de s ecteu rs aér iens , nous p ouvons tou tefo is

co nst ate r que, se lon la na ture et la difficu lté du pro blè me tr ait é, il n’ est pas to ujo urs

indisp ensable de faire appel à une métahe u ris tique. Pour des instances de faible

taille, le partitionnemement optimal de l’espace p eut être obtenu par des métho des

dé t er mi ni st es de re c he rche a rb o re sc ent e. En pr at i qu e, c es m ét ho de s se s on t m on tr ée s

les p lu s efficac es sur les instances traitées (les secteurs des cinq centres de contrôle

aérien

français).

Cep endant, les métho des de recherche arb orescente p euvent rapidement devenir

impraticables p our des instanc es un p eu plus grandes , avec plus de secteu rs d’espace

et /o u de re gro up em ents au tori sés . L’ empl oi d’une mé tah euri sti que est al ors une b onne

alternative p our trouver des con fi gu rations optimales ou presqu e optimales des secteurs

aériens.

15.4 Optimisation des créneaux de décollage

Afin d’éviter la saturation des espaces de contrôle en Europ e, les avions se voient

pa rf o is a ll ou er de s c ré ne au x de dé c o ll ag e , q ui s o nt de s f en êt re s t em p o re ll es de 15 m inu te s

p endant lesquelles l’avion doit décoller. La CFMU 4 es sai e de li mit er les re tard s qu ’el le

imp ose aux avions. Le problème d ’op timisation sous contraintes sous-jacent a été étudié

pa r pl us ie u rs é qu ip es de re c he rche da ns le m on de avec de s mo dé l is at io ns di ffé re nt es et

de s a lg or it hm es va ri és . Aux É ta ts -U ni s, l es re t ar ds au dé c ol la g e s on t e ss en ti e ll em ent

pr og ra m mé s en ra i so n de la c on ge st i on de s a ér op o rt s d’ a rri vé e. Ai ns i , pl ut ô t q ue de

f ai re a tt en dr e en v ol un a vi on q ui ne p e ut a tt er ri r, on pr éf è re le f ai re a tt en dr e au s ol

avant son départ. Ceci conduit à deux types de problèmes. En Europ e, quels avions

f au t- il re t ar de r et de c ombi e n de t em ps p o ur re s p e c te r la c ap ac it é de s s ec te ur s a ér ie ns ?

Aux États-Unis, quels avions retarder et de combien de temps p our qu’ils puissent se

p os er à l eu r d es ti nat io n s an s a tt end re ?

Les premières appro ches traitant ce problème s’appuyaient essentiellement sur

de la P LN E ( Pr og ra mm at i on L in éa ir e en No m bres E nt ie rs ) [ M au gi s 96 , Odoni 87].

E ll es o nt e ns ui te é té l ar ge me nt re pr is e s pa r B er ts im as v er s la fin de s a nné e s 1 99 0

[Bertsimas et al. 98] et en 2008 [Bertsimas et

al.

08].

Les premiers articles ayant mis en œuvre d es algorithmes évolutionnaires p our

optimiser les créneau x de décollage ont été prop osés par Delahaye [Delahaye et al. 97 ].

Delahaye ne prop ose au départ qu’un cas d’école simple sur lequel il prop ose d ’op timis er

à la fois la ro ute suivie par l’ avion et l’ heure de décoll age. Plus tard, O ussedik

[ Oussedik et al. 98, Oussedik et al. 99 , Oussedik 00 ] repr endra c ette a ppro che sur d es

4. Central Flow Management Unit, organisme europ éen qui gère les créneaux de décollage

- 440 -

15.5 Optimisation du trafic aérop ortuaire

données de trafic réelles. Cheng [ Cheng et al. 99] t ra it e u n ex em p le d e p e ti t e ta il l e ave c

un a lg or it hm e g én ét iq ue . En 2 00 7, Ta nda l e [ Tand ale et al. 07] util ise un algor ithm e

génétique sur le simulateur de trafic FACET développé par la NASA p our resp ecter

les capacités des secteurs. Il compare son algorithme à une métho de exhaustive sur un

ex emp le ré duit à 2 aé rop orts et gé nér ali se son appro che sur un pro blè me plus gros (10

aérop

orts).

En 2 00 0, B ar ni er [Ba rnie r et al. 00 ] pr o p o s e u n e dé fi n i t i on p l u s fi n e d e l a c a pa c i t é

d’ un s ec te ur et ut i li se une a ppr o c he de pr og ra m ma ti on pa r c on tr ai nt es p o ur o pt im is er

les

créneaux.

Il est très difficile de comparer les métho des car les données ne sont en général

pa s pa rt a gé e s. D an s sa t hè se , Al l ig no l [ Allignol 11 ] prop o se de rés oudre d es confl its

aériens en mo difiant les heu res de décollage des avions. Un calcul est d’ab ord op éré

p our détecter toutes les tra jectoires p otentiellement en conflit. Ce calcul génère des

contr aint es sur les he ures de dé col lag e des pa ires d’ avi ons : la différ enc e en tre les he ures

de dé c ol la g e de de u x a vi on s ne p e ut pa s a ppa r te ni r à un i nt er va ll e de t em ps do nn é .

Deux appro ches sont utilisée s p ou r résoudre le problème. La première utilise la

pr og ra m ma ti on pa r c on tr ai nt es , la de u xi èm e un a lg or it hm e é vo lut i on na ir e. P ou r la

pr em i èr e, il s ’a gi t de t ro uv er une i ns ta nc ia t io n de t ou te s l es va ri ab le s ( re ta rd s) q ui

p er me tt e d e r és ou dre to us l es c on flit s et d e mi ni mi ser la so mm e d es r et ar ds en ge nd ré s.

Po ur l ’a l g o r i th m e é vo l u t i on n a i r e , l e s c o ntr a i nt e s d e s é p a ra t i o n s o nt i nt é g ré e s d a n s l a

f on ct io n de c oû t ( el le s p é na li se nt la f on ct io n de c oû t) . L es ré s ul ta ts nu mé ri q ue s sur de s

do nn é es ré e ll es de t ra fic f ra nç ai se s [ Durand et al. 10] mo nt r e nt q ue l a p r o g r a m ma t i o n

pa r c on tr ai nt es do nn e en m oye nn e de m ei ll eu rs ré s ul ta ts et en m oi ns de t em ps q ue

l’algorithme évolutionnaire qui p énalise moins d’avions, mais avec un retard moyen plus

él evé. Su [ Su et al. 12 ] re p r e n d le p r o b l èm e s u r d e s d on n é e s chi n o i se s , e n u t i li s a nt un e

appro che de Co évolution Co op érative. Malheureusement, il est difficile de comparer

les résultats prop osés su r d es jeux de données différents.

15.5 Optimisation du trafic aéroportuaire

La gestion du trafic aérop ortuaire p ose également de nombreux problè me s d’optimisation

: l’aérop ort est en effet extrêmement sensible à différents types d’événements

pl us ou m oi ns f ré qu en ts ( re ta rd s de pa s sa ge rs ou de v ol s, dé g ra da ti o ns de s c on di ti on s

météo rologiques, pannes de certains équipements, blocage de voies de circulation,

menaces terroristes, etc.), ce qui rend son trafic difficile à prévoir et nécessite de

p er p ét ue ll es a dap ta ti on s d e l a pa rt d e l’ en se mb le d e s es i nt er ve nant s. L es d éc is io ns

pr is e s lo c al em e nt p e uv ent c on co ur ir à a mé li or er ou a gg ra ver de f aç on i mp o rt an te la

si tua tio n gl oba le, avec des co ûts très var iabl es.

Dans ce contexte, l’affectation des p arkin gs aux avions, la recherche de sé qu e nces

optimales d’avions sur les pistes, l’affectation d e cheminements straté giques et, plus

globalement, le développement d’ou tils de planification à plus ou moins long terme du

trafic sont autant d’enjeux ma jeurs p our le s services de la Navigation Aérienne.

- 441 -


0

1000m

Figure 15.23 – Simulation du trafic au sol sur l’aérop ort de Roissy -Charles-De-Gau lle .

15 .5 .1 O pti mi sa ti on des affec ta ti on s de pa rk ing

L’affectation des parkings aux avions apparaît comme une première étap e de plani-

fic a ti on i mp o rt ante p o ur l ’a ér op o rt . E ll e f ai t i nt er ve ni r de no m bre us e s c on si dé ra ti o ns ,

relatives aux mo dalités d’accès aux parkings p our les avions et aux corresp ondances

pr év u es e nt re l es di ffé re nt s v ol s.

Dans [Hu et al. 07a ], les auteu rs mo délisent le problème sous forme d’un critère

à mi n im i se r , dé fi ni c o m me u n e p o n dé r at i o n ent re l ’ at t ent e de s avi o ns p o ur a c cé d e r

à leur par king, le s distan ces à par courir p ar les pas sagers e n transi t et les dis tances

d’ a che m in em en t de l eu rs ba g ag e s. L es va ri ab le s do i ve nt dé c ri re le pa rk i ng ut i li sé pa r

ch aq u e av i on , m a i s é g a l e m e nt l ’ o r d re d a n s le q u e l l es av i o n s y a c c è de nt . Po u r c e s r a i so n s ,

les auteurs comparent différents co dages p ossibles p our résoudre le problème avec un

algorithme génétique, et montrent qu’un co dage binaire, a priori pl us c om pl ex e q ue

d’ a ut re s, p e ut ê tr e a ss o c ié à un op é ra te ur de c ro is em ent un if o rm e et re nd re l ’a lg or it hm e

génétique plus efficace.

15 .5 .2 O pti mi sa ti on des sé qu en ce s d’avi on s sur les pi st es

Les pistes d’un aérop ort sont souvent p erçues comme le p oint blo quant car des

temps de séparation imp ortants (sup érieurs à la minute) doivent être resp ectés entre

ch aq u e m o uve m e nt , p ou r a ff r an ch i r l ’ av i o n s u i vant d e l a t u r b ul e n c e d e s i l la g e d u

précédent. Ces temps de séparation dép endent de la nature des mouvements (décollage

- 442 -


ou atte rris sage) et du typ e des avions impliqués (plus un avion est lourd, plus s a

turbulence de sillage e st imp ortante, mais moins il est s en s ible à celle du précéde nt).

Le temps minimal de s é p aration après u n avion A ne dé p e nd do nc pa s q ue de A mais

ég ale me nt de l’avi on B qui le suit, ce qui rend le problème moins symétrique que les

pr ob lè m es d’ o rdo nn a nc em ent c la ss iq ue s , c om me i ll us tr é fig ur e 1 5. 24 .

Avions classés par heure d'arrivée au plus tôt à la piste

t

Séquence premier arrivé - premier servi

t

Séquence optimale

t

Figure 15.24 – S é q u e nc e d ’ a v i o n s s u r un e p i s t e .

Dans [Hu et al. 08 ], les auteurs s’intéressent à l’optimisation d’une séquence d’arrivé

e s p a r u n a l g o r i t hm e g é n ét i q u e e t c o mp a r e nt l ’ e ffi c a c it é d e d e u x d i ff é r e nt s c o da g e s :

– Le premier, intuitif, est un co dage entier consistant à asso cier à chaque avion

sa p os iti on dans la sé que nce ;

– Le second est binaire e t représente des relations b o oléennes de priorité p our

ch aq u e p a i r e d ’ av i on s .

Le deuxième co dage, asso cié à un croisement uniforme (consistant à hériter d’une partie

de s re l at io ns de pr io ri t é de c ha qu e pa re nt ), ab o ut it à de m ei ll eu rs ré s ul ta ts en é vi ta nt

les convergences prématurées vers des optimums lo caux : ce type d e co dage p ermet

en effet de co nse rve r ce rta ine s so us- séq uenc es pro met te uses au co urs des gé nér ati ons,

tout en garantissant une b onne exploration des diff

ére nts clas sements p ossibles.

Les auteurs confirment l’efficacité de cet algorithme gén é tiqu e , en le généralisant

au problème d’op timisation de séquences d’arrivées devant être réparties sur plu sieu rs

pi s te s [ Hu et al. 09] : e n pl u s d ’ê t re o r d on n ée , ch a qu e a rr i vé e do i t ê tr e p o s it i on n é e

sur l’ une des pi ste s. Dans [ Hu et al. 11 ], les auteurs améliorent encore les résultats

ave c u n n o u ve l a l g o r it h m e g é n é t i q ue “ à p r o p a g at i o n d ’ o n d e ” : d a n s c e t t e m o dé l i s a t io n ,

ch aq u e ch r om o s o m e co de u n e m ét h o de d e p ro j e ct i o n d es av i o ns d a n s un e s p a ce à

de u x di me n si on s ( en f on ct io n de l eu r c at ég o ri e de t urb ul en c e de s il la ge et de l eu r

he u re d’ a tt er ri ss ag e au pl us t ôt ), a in si q u’ un c en tr e de pr op a ga ti on d’ o nde da ns c et

- 443 -


es pac e. Un pro cédé si mple p er met de dé duire de ces p oi nts une sé que nce et une

répartition particulière des avions (en les parcourant par distance croissante au centre

de propagation). Chaque chromosome est ainsi réduit à un quintuplet ( x, y , 1 , 2 , 3),

où ( x, y )

est le ce ntr e de pro pag ati on et ( 1, 2, 3) sont les co effici ents dé finis sant la

pro j ec ti o n : la t ai ll e de s c hro m os om e s ne dé p e nd do nc pl us du no mbre d’ a vi ons, m ai s

du no m bre de pa ra m èt re s q ui l es c ar ac té r is en t.

Le problème d’un flot d’avions au départ, devant emprunter diffé re nts chemins

p ou r ac cé de r à l a p is te e t d evant ê tr e o rd on nés s ur c el le -ci , p eu t ê tr e r és ol u p ar u ne

métho de d’essaim particulaire [ Lei et al. 08, Fu et al. 08] : cha q u e ch e m in d’ a c c è s à

la piste e st vu comme une file d’attente d’avions (les avions empruntant un même

ch em i n s o nt d on c c ont r a i nt s d e d é c o ll e r d a n s l ’ o r d re d a ns l e qu e l i l s e nt r e nt d a n s l a

fil e ) et le pr ob lè m e c on si st e à t ro uver l es he u re s de dé p ar t du pa rk i ng et l es he u re s de

dé c ol la g e de s a vi on s, q ui p e rm et te nt de m ini m is er le t em ps né c es sa i re à l ’é co ul e me nt

de l ’e ns emble du t ra fic ( en re s p e ct ant l es c ont ra in te s de s ép ar at io n e nt re l es a vi on s) .

En dé fi nis s an t une f on ct io n d’ é vo lu ti o n ba s ée sur une é qu at io n d’ o sc il la t io n du s ec on d

ordre (issue de la théorie du contrôle) [ Lei et al. 08 ], ou en contrôlant l’évolution par

une m ét ho de de typ e re c ui t s im ul é [ Fu et al. 08], les auteurs parviennent à acc é lé rer

la convergence de l’essaim, tout en évitant les pièges des optimums lo caux.

Avions classés par heure d'arrivée au plus tôt à la piste

t

Séquence possible

t

Séquence sous-optimale

t

Figure 15.25 – É l i m in a t i o n d e sé q u e n c e s so u s - o p t im a l e s .

En E uro p e, le pr ob lè m e de s s éq ue nc e s de dé c ol la g es e st pl us c om pl ex e , c ar c er ta in s

dé p ar ts s ont s ou mi s à un c ré ne au de dé c ol la g e, i mp o sé pa r l ’o rg an is me de ré g ul at io n

eu rop ée nne du tr afic (c ar ils traver sent des es pac es aé rie ns sa turé s). Dans ce ca s, une

he u re de dé c ol la g e e st a ll ou ée et l ’a vi on n’ e st a ut or is é à dé c ol le r q ue da ns le c ré ne au

co mme nça nt cinq mi nute s avant et se te rmin ant dix mi nute s ap rès. Dans sa th èse

[ Deau 10], l’auteur f ormule le problème général d e la séquence des avions sur une piste

di t e ba na l is ée ( su r l aq ue ll e de s a tt er ri ss ag e s et de s dé c ol la g es s on t pr og ra m mé s) , et do nt

- 444 -


ce rta ins dé part s sont so umis à cr éne aux : les var iabl es sont les he ures d’ att erri ssa ge

et de dé col lag e, le cr itè re à mi nimi ser ét ant dé fini co mme une p on déra tio n en tre

les écarts aux créneaux (des dé parts soumis à régulation) e t les retards (des autres

vo ls ) . E n é t u d i a nt c e rt a i n e s p r o p ri é t é s p a r t i cu l i è r e s d u p r o bl è m e ( s y m é t ri e s , s é q u e n c es

éq uival ent es et pre uve s du ca rac tèr e so us- opti mal de ce rta ine s so us- séq uenc es, co mme

illustré figure 15.25), il parvient à mettre en place un algorithme efficace de type

branch

& bound, p er me tt ant de tro uver (e n le p ro uvant) l ’o pt imum en q ue lq ue s se co ndes, p ou r

une c in qu an ta in e d’av io ns .

En ut i li sa nt ce m êm e a lg or it hm e d’ o rdo nn a nc em ent pa r f en êt re s g li ss ant es sur

une j ou rné e e nt iè re de t ra fic pr év u à l ’a ér op o rt de R oi ss y [ Deau et al. 09 ], les auteu rs

pa rv i en ne nt à t ro uv er de s s éq ue nc e s de dé c ol la g es et d’ a tt er ri ss ag e s q ui re s pe ct en t

l’ensemble des créneaux de décollage de la journée, mais qui finalement ne gé nèrent

que la moitié du retard global mesuré par simulation : ces résu ltats montrent que les

pi s te s ne s on t pa s l es s eu le s re s p o ns ab le s du re t ar d sur un a ér op o rt c om me R oi ss y, et

que la phase de roulage des avions mérite également d’être op timisée.

15 .5 .3 O pti mi sa ti on du ro ul ag e

So uve nt né g li gé e da ns l es é tu de s sur l es a ér op o rt s, la ph as e de ro ul a ge de s av io ns

p os e é ga le ment de sé ri eu x pr ob lè me s au x c ontr ôl eu rs et p eu t gé né re r d es r et ar ds

imp ortants (notamment aux ab ords des parkings, où les avions doivent manœuvrer ou

être ma nœuv rés à fa ibl e vi tes se, en p ouvant ra reme nt se cr ois er ou se dé pass er) .

Un première étude détaillée du ch e mine me nt des avions au sol est décrite dans

[ Pe si c et al. 01 ] : l e s au t e u rs m o d é l is e nt l e s vo i e s de c i r c u la t i o n de l ’ a é ro p o r t (taxiways)

pa r un g ra ph e o ri en té re l ia nt l es pa rk i ng s a ux pi s te s ( et ré c ip ro q ue me nt ). D es

algorithmes classiques d’énumération de chemins p ermettent de calculer un ensemble

de c he mi ns a lt er na ti f s p o ur c ha qu e a vi on . Le pr ob lè m e du ro ul a ge c on si st e a lo rs à

ch oi s i r l e s ch e m i n s e t l e s é ve nt u e ls p o int s d ’ a t t ent e d e s av io n s , d e s o r t e q u ’ u n e d i s t a n c e

minimale les sépare à chaque instant, en minimisant un critère global défini comme le

retard engendré (par les détours et les attentes). Le problème s’avère extrêmement

combi nato ire et les au teu rs co mpa rent deux st rat égi es de ré sol utio n :

– Une premiè re stratégie consiste à réduire le problème, en classant le s avions

pa r pr io ri t é, s el on une re l at io n d’ o rdr e g lo ba le ( cl as se m en t pr ée m pt if ) pu is à

affecter une tra jectoire à chaque avion, dans l’ordre fixé : le

n ième avion doit

ainsi éviter les n 1 pr em i er s, une f oi s q ue l eu rs tra j ec to i re s o nt é té c al cu lé e s.

Le problème est ainsi décomp osé en une succession de calculs de meilleure

tra je ctoire devant éviter des “obstacles”, ce qui p eut être obtenu par un simple

algorithme

A*.

– Le seconde c omp are différents algorithmes génétiques, traitant le problème s an s

pr éj u ge r de pr io ri t és e nt re av io ns : c ha qu e c hro m os om e dé c ri t un che m in et une

p os it io n d ’at te nt e a sso c ié e à u ne du rée d ’a tte nt e p o ur ch aq ue av io n ( figu re 15 .2 6) .

Ce type de co dage (par avion) p ermet de définir des op érateurs de mutation

et de cr ois eme nt plus effica ce s, ut ilis ant des fo nct ion s d’éval uat ion pa rtie lle s

(par avion) p our mo difier plus souvent les parties les moins prometteuses des

ch ro m o s o m e s.

- 445 -


Figure 15.26 – Co dage par avion p our la phase de roulage.

M es ur é pa r s im ul at io n sur du t ra fic ré e l à l ’a ér op o rt de R oi ss y, l ’a lg or it hm e

génétique le plus efficace p ermet de réduire le retard moyen des avions de plus d’une

minute (sur quatre), par rapp ort à l’appro che par classement.

Dans sa thèse [ Gotteland 04], l’auteur développe cette problématique e n affinant

le mo dèle :

– Les tra jectoires des avions sont prédites avec un taux d’incertitude sur leurs

vitesses de déplacement (figure 15.27) et les conflits sont détectés en fonction

de c es z on es d’ i nc er ti tu de .

Position initiale

Positions possibles

1 minute plus tard

2 minutes plus tard

Figure 15.27 – Prévision de trajectoire avec incert itude sur la vitesse.

– Le critère à optimiser intègre le resp ect des créneaux de décollage imp osés dans

le cadre de la régulation europ éenne du trafic.

– Les con fl its dus aux arrivées devant traverser la piste des départs après atterrissa

ge sont pris en co mpt e.

Dans cette formulation, le problème mixe donc celui du cheminement des avions,

de s s éq ue nc e s d’ a tt er ri ss ag e s de vant t ra ve rs er la pi s te de dé c ol la g e et de s s éq ue nc e s de

dé c ol la g es de vant re s p e ct er l es c ré ne au x i mp o sé s. Un no uv e l a lg or it hm e g én ét iq ue e st

intro duit, par hybridation des deux métho des de ré s olu tion précédentes (métho de par

cl ass eme nt pré emp tif et al gor ithm e gé nét iqu e) :

– Chaque chromosome décrit un chemin à suivre et un niveau de priorité (ou

rang) p our chaque avion (figure 15.28).

– Po ur é val u e r u n ch r o m o so m e , l e s av i o n s s ont c l a s s és e n f o n c t io n d e l e u r r a n g

et les tra je cto ire s (sur les ch emi ns as sig nés ) sont ca lcu lée s les unes ap rès les

autres, d an s cet ordre (par un algorithme de type branch & bound, s’avér ant

pl us e ffic ac e q ue l ’a lg or it hm e A* pr éc é de nt l or sq ue re s tr ei nt à un s eu l c he mi n

pa r av io n) .

- 446 -


Figure 15.28 – Co dage p our l’algorithme géné tique hybride.

L’efficacité de cet algorithme génétique hybride est comparée à celles des deux

métho des précédentes, toujours par simulation sur du trafic réel à l’aérop ort de Roissy :

les retards dus aux conflits au roulage sont diminués de plus d’une minute sur c in q

en p ério de cha rgé e, et les cr éne aux de dé col lag e imp os és sont tous resp ec té s (d ans la

f en êt re de t ol ér an ce d’ un q ua rt d’ he ur e ) et m ie ux a ppl i qu és ( pl us de 80 % de dé c ol la g es

à moins d’une minute de l’heure sp écifié e).

Sur l ’a ér op o rt de M ad ri d- Ba ra j as [ García et al. 05], toujours sur le thème du

ch em i n e m e nt d e s av i on s a u s o l, l es a ut e u r s c o mb i n ent u n a l go r i t h m e d é te r m i n i st e d e

gestion de flux avec un algorithme génétique p our affecter un chemin et une heure de

dé b ut ( une he u re d’ a tt er ri ss ag e p o ur l es a rri v ée s et une he u re de dé p ar t du pa rk i ng

p ou r le s d ép ar ts) à cha qu e m ou ve ment .

Dans [Roling et al. 08

], sur un aérop ort (fictif ) plus simple (avec moins de voies

de c ir cu la ti o n et b e au co up m oi ns d’ a vi on s en m ou ve me nt ), l es a ut eu rs pa rv i en ne nt à

mo déliser et résoudre globalement la planification de la phase de roulage des avions

sous la fo rme d’un pro blè me de pro gra mma tio n li néa ire en tiè re mi xte (en pre nan t

comme variables les temps de passage des avions sur chaque p ortion). Ils obtiennent

ainsi des affectations de chemins et des p ositions d’attente minimisant globalement les

temps de roulage.

15 .5 .4 Vers une pl an ifi ca tio n gl ob al e des m ouvem en ts au sol

Dans le cadre plus général de la planification des mouvements au sol sur les grands

aérop orts, différents concepts ou systèmes sont généralement distingués :

– La ge s tion des arrivées (AMAN : Arrival Management) c on sist e à pr évoi r le fl ux

d’ a rri vée en f on ct io n de s c on tr aint e s de s s ec te ur s d’ a ppr o che (p o uva nt pa rf o is

être pa rtag és par pl usie urs aé rop or ts) , p our en dé duire des he ures d’ att erri ssa ge

aussi précises que p ossible au niveau de l’aérop ort.

– La gestion des départs (DMAN : Departure Management) co n si st e à p ré voi r

les séquences d e décollage en fonction des h eures de départ d u parking demandé

e s pa r l es c om pa gn ie s , de s c ré ne au x de dé c ol la g e i mp o sé s pa r la ré g ul at io n

eu rop éen ne du tr afic et des co ntr aintes de sé para tio n devant être resp ec té es

sur les pi ste s. À pa rtir de ces sé que nce s de dé col lag e, et des te mps de ro ulag e

né c es sa i re s a ux av io ns , il e st p o ss ib le de dé d uir e une he u re de dé p ar t du pa rk i ng

retardée, p our p ermettre aux avions d’attendre au parking (moteu rs é te ints)

pl ut ô t q ue de vant la pi s te ( mo te ur s en ro ut e ).

- 447 -


– La gestion du roulage (SMAN : Surface Management) co nsi ste à pr évo ir l a

ci rcul at ion des av ion s au sol (en fo nct ion des in form ati ons app or tée s par les

sy stè mes AMAN et DM AN) p our affec te r aux av ion s des ch emi ns st rat égi que s,

co mpa tibl es avec les he ures d’ att erri ssa ge ou de dé col lag e pré vue s et ga ran tiss ant

de s s it ua ti on s de t ra fic a us si flu id es q ue p o ss ib le .

Dans leur article [De au et al. 09], les auteurs relèvent les problèmes d’interdépenda

nc e s i né vi ta bl e s e nt re c es di ffé re nts s ys tè me s pr éd ic t if s : le re t ar d d’ un e a rri v ée

p eu t di re ct eme nt avo ir un im pa ct s ur l ’he ur e d e so n pr o ch ai n d ép art , e t le s dé ci si ons

pr is e s p o ur g ér er la ph as e de ro ul a ge p e uv ent ab o ut ir à de s s it ua ti on s de t ra fic q ui

né c es si t er ai ent une m is e à j ou r de s s éq ue nc e s de dé c ol la g e pr év u es ( do nc de s he u re s de

dé p ar t du pa rk i ng et d’ a tt er ri ss ag e s l or sq u’ un e pi s te e st pa rt a gé e pa r l es de u x t yp es

de m ou ve me nt ). De pl us , l ’i nc er ti tu de é le vé e e xi st a nt sur l es v it es se s de ro ul a ge de s

av io n s ( p o u vant a t te i n d r e p l u s d e 5 0 % d e l eu r v it e s s e m oye n n e s u r ch a q u e p or t i o n d e

taxiway) re n d l e s s i t u a ti o n s d e t r a fi c a u so l t r è s p e u p r é vi s i b l e s ( a u -d e l à d e 5 minutes

de pr év i si on , l es p o si ti on s f ut ure s de s av io ns ne s on t c on nu es q u’ à un k il om èt re pr ès ) .

Ceci fait apparaître que les horizons de prédiction des différents systèmes ne p euvent

pa s ê tr e du m êm e o rdr e : sup é ri eu rs à la de m i- he ur e c ôt é AM AN - DM AN , i nf ér ie ur s

à 10 minutes côté SMAN. Les auteurs prop osent un mo dèle itératif p ermettant de

co or donn er ces différ ent s sy stè mes , dans le que l des sé que nce s op tim ale s de dé col lag es

et d’ att erri ssa ges sont ca lcu lée s (sur un ho rizo n Hp de l ’o rd re de la de m i- he ur e) , en

f on ct io n de s p o si ti on s c ou ra nt es de s a vi on s, pu is ut i li sé es p o ur ré s ou dre l es c on fli ts au

roulage (sur un horizon Hs de l ’o rd re de 5 minutes) en cohérence avec les séquences

sur les pi ste s (fi gure 15 .29 ).

Positions courantes des avions

à l'instant t

t ← t + Δ

Heures de départ

Heures d'atterrissage

Chemins

Positions d'attente

SMAN

Résolution des conflits au roulage

sur [ t + Δ ; t + Hs]

Heures de décollage / atterrissage

minimales

AMAN-DMAN

Séquences optimales

sur [ t ; t + Hp]

Heures de décollage / atterrissage

prévues

Figure 15.29 – Co ordination AMA N-DMAN et SMAN.

- 448 -

15.6 Résolution de conflits aériens

Pa r s i mu l at i o n ar i t hm é t i q ue à R o i s s y, l es a u te u r s me s u re nt la b a is s e du r et a r d

moyen app ortée par le calcul de séquences optimales dans un premier temps, puis par

le remplacement de la mé th o de de résolution de con fl its par class ement préemptif par

l’algorithme génétique hybride (figure 15.30).

Sur le t hè me de l ’i nt ég ra ti o n de di ffé re nt s s ys tè me s pr éd ic t if s, la g es ti o n de la

ca pac ité entre p l usie urs aé rop orts vo isi ns est ég ale me nt un suj et d’ étud es : dans

[ Hu et al. 07b], les auteurs considèrent un ensemble comp osé d’un aérop ort principal

et d’ aéro p orts sa tel lit es, dans le que l il est p os sibl e d’inte rch ange r des av ion s à l’ arri vée.

Chaque aérop ort a une capacité variable, fonction des conditions météo rologiques, de

sa co nfig urat ion (p iste s en se rvi ce et rè gle s d’a ffec ta tio n des ar rivées et dé part s sur

ces pistes) et de la nature de son trafic (types d’avions à écouler). Ils mo délisent le

pr ob lè m e de la f aç on s ui va nt e :

– Les variables décrivent d’une part les configurations succ e s s ives que doivent

adopter les aérop orts, d’autre part les affectations d’aérop orts aux arrivées.

– Le critère à minimiser est une p ondération entre la longueur d e s différentes

fil e s d’ a tt en te d’av io ns (à l ’a rr iv ée et au dé p ar t, sur c ha que a ér op or t) et le

no mbre de c ha ng em e nts d’ a ér op o rt s ( pa r ra pp o rt a ux a ffe ct at i on s i ni ti al em e nt

so uhai té es) .

Les auteurs montrent qu’un algorithme génétique p ermet de résoudre efficacement le

pr ob lè m e sur une j ou rné e de t ra fic , pa r ré s ol ut io ns s uc ce ss iv e s de s di ffé re nt es s it ua ti on s

(sur des horizons de prédiction glissants).

Figure 15.30 – Retard moyen à Roissy -Charles-De-Gau lle .


Le contrôleur aérien a encore aujourd ’hui la charge de séparer les avions afin qu’ils

év ite nt d’ entr er en co nflit 5 .

5. On dit que deux avions sont en conflit si la distance qui les sépare est inférieure à 5 milles

nautiques horizontalement et 1000 pieds verticalement.

- 449 -


Alliot [Alliot et al. 92 ] f u t le pr e m i e r à pr o p o s e r un e ré s o l u t i o n de c o n fl i t s a é r i e n s

grâce à un algorithme génétique. Sa mo délisation était alors très simple : après avoir

di s cr ét is é le t em ps ( en 16 pa s de 40 s ec on de s c ha cu n) , c ha qu e a vi on ava it à c ha qu e

pa s de t em ps la p o ss ib il it é de p o urs ui v re sa ro ut e t ou t dr oi t , ou de f ai re un v ir ag e à

gauche ou à droite de 30 degrés. Chaque manœuvre était co dée sur deux bits (00 et 01

= tout droit - 10 = virage à droite - 11 = virage à gauche). Chaque tra jectoire était

ainsi co dée par 32 bits. Pour 2 avions, on avait 64 bits. L’exé cution d’un algorithme

génétique classique sur ce problème, comparé à un A* et à un algorithme d e recuit

simulé, do nnai t de b ons ré sult ats sur des ex emp les très si mple s.

Dans sa th èse, Durand [Durand 96 ] r e p r e n d le p r o b l è m e e n u t i l is a n t u n c o d a g e

de s m an œuv re s di ffé re nt : c ha qu e av io n p e ut a cc o mpl i r une m an œuv re q ui dé b ut e au

temps t0 , se termine au t emps t1 et co nsi ste en un ch ang eme nt de cap de 10, 20

ou 30

de g ré s à dr oi t e ou à g au che de s on c ap i ni ti al . Un c on fli t à n av io n s e s t a i n s i c o dé p a r

3 n var ia b le s. E n o ut re , i l d éfi ni t u n o p ér at eu r d e c ro is em ent ad ap té au x p ro bl èm es

pa rt i el le me nt s ép ar ab le s [ Durand et al. 98] qui p ermet, à partir de deux in divid us

pa re nt s, de c on st ru ir e de s i ndi v id us e nf an ts q ui pr en ne nt en c om pt e l es m ei ll eu re s

ca rac tér ist ique s des deux pa rent s. Les fig ures 15 .31 et 15 .32 dé tai lle nt le pri nci p e de

l’op érateur sur un exemple de conflit à 7 avions. Le but de l’op érateur de croisement

adapté est de prendre dans chaque parent les parties les “plus prometteuses”, à savoir

ce lle s qui gé nèr ent le mo ins de co nflit s.

A1

G1

Parent 1

B1

H1

C1

Conflit résolu

D1

E1

Conflit restant

A

G

A2

G2

B

H

Parent 2

B2

H2

C

Conflit

C2

D

E

D2

E2

Figure 15.31 – Cluster d’avions en conflits, stru cture des deux parents.

A1

G1

A1

G1

Parent 1

B1

H1

Parent 1

B1

H1

C1

Conflit résolu

Conflit résolu

D1

E1

Conflit restant

?

?

Conflit restant

A2

G2

Parent 2

B2

H2

Parent 2

C2

C2

D2

E2

D2

E2

Figure 15.32 – Croisement adapté.

- 450 -


Grâce à cet op érateur, Duran d et Alliot ont montré qu’on p ouvait résoudre de

très gros conflits (jusqu’à 30 avions en un temps inférieur à la minute). Ils ont notamment

testé l’algorithme sur d e s journées entières de trafic réel français e t montré

qu’on p ouvait ré s ou dre tous les conflits, même en consid é rant des marges d’inc ertitudes

imp ortantes sur les tra jectoires prévues [Durand et al. 95 , Durand et al. 96a ,

Durand et al. 97 , Alliot et al. 97]. Granger [ Granger et al. 01 ] reprendra les résultats

pr éc é de nts o bt en us avec de s ro ut e s di re c te s en mo dé l is ant l es ro ut e s a ér ie nn es t el le s

qu’elles existent aujourd’hu i. Akker [van de n A kke r et al. 98 ] reprendra l’appro che

pr éc é de nte da ns un c on te x te Free-route (comme le problème initial traité par Durand).

M al ae k [ Ma la ek et al. 11] reprend ra sur des cas d’école les mo dèles prop osés par Durand

en y a joutant des mo dèles de vents. Les avions co ordonnent leurs manœuvres

grâce à un algorithme génétique. Il s’agit de manœuvres continues.

15 .6 .1 Ré so lu ti on par c olo ni es de fo ur mi s

D’autres métaheuristiques ont été testées sur le problème de résolution de c on flits

aériens. Alliot et Durand [Durand et al. 09 ] pr o p o s e nt de f a i r e é vol u e r d e s c ol o n i e s d e

f ou rm is p o ur ré s ou dre de s c on fli ts c om pl ex e s. À c ha qu e g én ér at io n , on l an ce a ut an t

de f ou rm is q u’ il y a d’ a vi on s. L es f ou rm is a rri v ée s à b on p o rt s an s c on fli t dé p o se nt

de s ph é ro mo ne s en f on ct io n de l eu r ra pi di t é à a tt ei nd re la de s ti na ti o n. L es a ut re s

n’ e n dé p o se nt pa s . On p e ut , p o ur de s c on fli ts di ffic il es à ré s ou dre , re l âc he r un p eu

la contrainte de séparation de s avions. Ains i les fourmis dép osent un e quantité de

ph é ro mo ne s inv er se me nt pr op o rt io nn el le au no m bre de c on fli ts q ue l eu rs tra j ec to i re s

ont généré. Cette idée est reprise par Meng [ M en g et al. 12] da ns u ne f omu la ti on p lu s

na ï ve.

15 .6 .2 Des ap pr o c hes Free-Flight

Les algorithmes évolution naires ont également été utilisés p our des appro ches embarquées,

notamment aux Etats- Unis avec les appro ches Free-Flight [ M on do lo ni et al. 01,

Vivona et al. 06]. Dans ce type d’appro che, on cherche à optimiser une tra j ectoire en

co or dina tio n avec d’ autr es.

C’est également le cas dans l’appro che réactive proposée par Alliot et Durand

[ Durand et al. 96b , Durand et al. 00]. Cette appro che utilise un réseau de neurones

à b o rd d e ch aq ue av i on , q ui p e r me t d’ é vi te r u n av i on i nt ru s. A fi n d’ ap p re n dr e le s

pa ra m èt re s du ré s ea u de ne u ro ne s, un a lg or it hm e é vo lu ti o nna ire ( AE ) e st ut i li sé sur

une ba s e d’ e xe mp le s de c on fli ts .

La figure 15.33 donne les données utilisées en entrée du ré seau de neurones, et la

st ruct ure du ré sea u avec une couche in term édi aire . La figure 15 .34 donne les ex emp les

sur le squ els les p oids du ré sea u ont été op timi sés gr âce à un al gor ithm e év olu tio nnai re.

La f on ction d’adaptation d e l’AE e st d’autant meilleure qu e le re tard induit sur les

ex emp les ap pris est fa ibl e et que la sé para tio n en tre les av ion s est resp ec té e. On p eut

co mpa rer sur la figure 15 .35 les ma nœuv res ob ten ues avec les ré sea ux de ne uron es (en

ba s de la fig ur e ) à c el le s o bt enue s av ec une m ét ho de lo c al e c la ss iq ue ( en ha ut ) .

- 451 -

2

1

2

1


1 1

α

⇥

| α|

λ

changement de cap

⇤

⌅

d λ /dt

γ

β

Figure 15.33 – Données d’entrée de l’avion 1, stru cture du réseau.

4

4

3

3

20°

2

2

1

1

60°

120°

150°

Figure 15.34 – Exemples d’appre ntissage .

Figure 15.35 – Comparaison des solutions : en haut avec une métho de locale, en bas avec le

réseau de neur ones.

- 452 -


15 .6 .3 Vers une c om par ai son des ap pr o ches

À l a l e c tu r e d ’ a r t i c le s t r a i t a nt d e p r o b lè m e s d e g e s t i on d u t r a fi c a é r i e n, o n s ’ a p e r ç oi t

vite qu’il est très difficile de comparer la qualité des résultats obtenus par le s uns ou

les autres, car les données utilis é es sont généralement différentes, inaccessibles e t les

co mpa rais ons fa ite s par des sc ien tifiq ues exp erts d’un seul do mai ne uni que ment.

Des appro ches récentes essaient cepe ndant de remédier à ce prob lè me en prop

os ant d es j eu x de t es ts p o uva nt s erv ir à c om pa re r di ffé re nt es a pp ro ch es . Va naret

[ Vana ret et al. 12] p r o p o s e a i n s i s u r l e p r o b l è m e d e r é s o l u t i o n d e c o n fl i t s u n e

co mpa rais on de tr ois mé tah euri sti que s, à savo ir un al gor ithm e d’évol uti on différenti ell e,

un a lg or it hm e é vo lu ti o nna i re ( AE ) et un mo dè l e d’ e ss ai ms pa rt i cu la ir es . L ’a lg or it hm e

d’ é vo lu ti on di ffé re nt ie ll e se m on tr e t ou t a us si e ffic ac e , v oi re m ei ll eu r q ue l ’A E et

largement meilleur que l’appro che par essaims particulaires sur de nombreux exemples.

Dans [ Allignol et al. 13], on prop ose de fournir un jeu de conflits qui p ourra servir

de base de comparaison à toute p ersonne le souhaitant. Il s’agit de conflits faisant

intervenir n avions (n variant de 5 à 20) pour lesquels chaque avion disp ose de

m tra je ctoires p ossibles (m=151). Trois niveaux d’incertitudes "low , "medium et "high

sur les tra jectoires futures sont considérés. Ces incertitudes s’appliquent à la fois sur

les vitesses des avions, mais aussi s ur les caps suivis et les p ositions de changement de

cap. On re prés ent e ai nsi les p os iti ons fu ture s des av ion s par des convex es dont la ta ill e

évolue avec le te mps (v oir figure 15 .36 ).

Figure 15.36 – Prévision de trajectoire avec incert itude.

Un fichier contient la description des tra j e c toires de chaque manœuvre de chaque

av io n e t u n a u tr e fi ch ie r c o nt ie nt l a m a t r i ce d e s c o n fl i t s e nt r e ch a q u e p a i r e d e c o u p l e s

av io n - t r a j e c t o ir e , a i n s i q u e l e c o û t a s s o c i é à ch a q u e m a n œ u vr e d e ch aq u e av i o n . L e s

tra j ectoires pren n ent en compte différents niveaux d’incertitude qui rendent les conflits

- 453 -


pl us ou m oi ns di ffic il es à ré s ou dre . Le mo dè l e e st a in si t ot al e me nt di s so c ié du pr ob lè m e

à r é so u d r e . On p e u t a i ns i p a r e x em p l e t es t e r u n e ap p r o c he d e p r o g ra m m a ti o n p a r

contraintes (PC) et la comparer à un algorithme évolutionnaire (AE). Les résultats

montrent sur des conflits allant jusqu’à 20 av i on s q u e l ’ a p p r o ch e P C e s t s o u ve nt

meilleure, mais pas toujours, et elle fournit la preuve de l’optimalité de la solution sur

de p e ti te s i ns ta nc es .

Tabl eau 15.2 – Coût moyen des meilleures solutions p our différentes tailles de conflits et

différents niveaux d’incer titude. Au-delà de 86.3, l’optimalité n’est pas prouvée.. Les cases

confo ndues corre sponde nt aux cas où PC et AE ont atteint l’optimum.

n

5 10 15 20

PC AE PC AE PC AE PC

AE

" low 5.3 29.8 86.3 86.8 185.8 176.9

" med 4.2 46.6 104.0 104.0 267.6 282.8

" high 5.1 45.7 170.4 156.3 299.0 305.0

15.7 Conclusion

En c on cl us io n de ce c ha pi tr e dé d ié à l ’a pp li ca ti o n de s m ét ah eu ri st iq ue s à de s

pr ob lè m es de t ra fic a ér ie n, no us avo ns m is en re l ie f q ue lq ue s- un s de s i nno m bra bl e s

pr ob lè m es d’ o pt im is at io n q ui se p o se nt da ns la g es ti o n du t ra fic a ér ie n, en m et ta nt en

év ide nce la di vers ité des ch oix de mo dé lisa ti on et des mé tho des ut ilis ée s p our tr ait er

ces pro blè mes .

Nous avons tenté d’app orter, dans la mesure du p ossible, des élé me nts d e comparaison

en tre différ ent es mé tho des, no tam ment entre mé tah euri sti que s et mé tho des ex ac tes ,

sur les pro blè mes cho isis . Ma lhe ureu sem ent, tout ce qui fa it la riche sse et l’ inté rêt des

pr ob lè m es de t ra fic a ér ie n, c ’e st -à - di re la di ffic ul té à l es mo dé l is er , l eu r c om pl ex i té

intrinsè qu e, leur inter-dépendanc e , la quantité et la nature des données traitées, rend

ég ale me nt plus diffici le l’ appl ica tio n d’une dé marc he sc ienti fique rig our eus e, avec une

co mpa rais on sy sté mat iqu e de no mbre use s mé tho des sur des jeux de te sts st anda rds

bi e n ré p e rt or ié s et di s p o ni bl es à l ’e ns em bl e de la c om mu na ut é s ci en ti fiq ue . En c on sé -

quence, il n’est pas toujours facile de trouver dans la littérature des comparaisons

ex hau stives de mé tho des, re prod ucti ble s par d’ autr es ch erche urs, sur des do nnée s

pu bl iq ue s . De t el s benchmarks se me tte nt to ute foi s pro gre ssi vem ent en pl ace au sein

de la c om mu na ut é t ra it an t de pr ob lè m es de t ra fic a ér ie n.

Po ur q ue l q u e s- u n s d e s p r o b lè m e s q u e n o u s avo n s p ré s e nt é s , n ou s avon s v u q u’ i l

ét ait pa rfo is p os sibl e, se lon les in sta nce s tr ait ées , d’ empl oyer avec suc cè s des mé tho des

ex ac tes d’ opti mis ati on, no tam ment p our des pro blè mes très contr aint s co mme l’a ffec-

tation des secteurs d’espac e au x p ostes de travail. Sur d’autres problèmes, comme la

co nst ruct ion d’un ré sea u de ro utes , des mé tho des gé omé tri que s p eu vent au ssi do nner

pa r c on st ru ct io n de s s ol ut io ns de b o nne q ua li té , q ua nd bi e n m êm e e ll es ne v is en t pa s

l’optimalité des solutions.

- 454 -


Dans nombre de cas cep endant, le s mé tah e uristiques se sont avérées les plus efficaces,

vo ir e l e s s e u l es m é t ho d e s a p p l ic a b l e s p o u r t r a it e r c e s p r ob l è m e s g é n é r a le m e nt d i ffi c i l e s

et fo rte men t combi nato ire s, où l’ éval uat ion de la fo nct ion ob je cti f et /o u des contr aint es

né c es si t e s ou ve nt une s im ul at io n. L es m ét ah eu ri st iq ue s s ’a vè re nt do nc de s o ut il s ut i le s

et in disp en sabl es dans le tr ait eme nt de nombreux pro blè mes d’ opti mis ati on du tr afic

aérien, notamment lorsque l’on souhaite adopter une mo délisation suffisamment réaliste,

pl ut ô t q u’ une mo dé l is at io n m at hé ma ti q ue t rè s s im pl ifi ée .


15 .8 .1 Ré fé re nc es gé né ra les

[Goldb erg 89, Holland 75] : Les premières références sur les algorithmes génétiques.

[Michalewicz 92] : Une référence sur la programmation géné tique.

[Eib en et al. 03] : Une référence sur les algorithmes évolutionnaires.

[Bishop 96] : Un livre de référence sur les réseaux de neurones.

[Leung et al. 03] : Leung prop ose un apprentissage de la structure et des p oids d’u n

réseau de neurones par algorithmes génétiques .

[Gudise et al. 03] : Gudise prop ose un apprentissage d’un réseau de neurones par

es sai ms pa rtic ula ire s.

[Blum et al. 05] : Blum prop ose un ap pren tiss ag e d’un ré sea u de ne uron es par co lon ies

de f ou rm is .

[Slowik et al. 08] : Slowik prop ose un apprentissage de réseau de neurones par évolution

diff

érentielle.

[Kirkpatrick et al. 83] : Une référence sur le recuit simulé.

[Fortune 95] : Une référence su r les diagrammes de Voronoï et triangulations de

Delaunay.

[Liang et al. 06] : Liang prop ose une variante d’algorithme d’essaims particulaires

(CLPSO).

[Durand et al. 94, Durand et al. 98, Durand 04] :

Durand prop ose une variante d’algorithme

évolutionnaire avec un op érateur de croisement adapté aux probl

è me s pa rt i el le me nt s ép ar ab le s.

15 .8 .2 O pti mi sa ti on de l ’es pa ce aé ri en

[Delahaye 95, Delahaye et al. 94, Delahaye et al. 95] :

Delahaye prop ose une optimisa

tio n si mpli fiée de se cte urs dans le plan ho rizo ntal avec un al gor ithm e

génétique.

[Delahaye et al. 98] :

Delahaye étend son mo dèle à des secteurs non convexes.

[Delahaye et al. 06, Delahaye et al. 08] :

Delahaye a joute la dimension verticale à son

mo

dèle.

- 455 -


[Kicinger et al. 09] : Kicinger utilise un algorithme génétique combiné à une heuristique

d’agrégation de cellules é lé me ntaires p our partitionner l’espace en

se cte urs.

[Xue 09] : Xue prop ose une appro che appliqué e à l’espace aérien américain et utilisant

un di a gr am me de Vo ro no ï o pt im is é pa r un a lg or it hm e g én ét iq ue .

[Zelinski 09] : Zelinski prop ose une comparaison de trois appro ches p our définir les

f ro nt iè re s de s s ec te ur s, l ’u ne ut i li sa nt une m ét ho de d’ a gr ég at i on de flux

de t ra fic , une a ut re ba s ée sur l es di a gr am me s de Vo ro no ï o pt im is és pa r

algorithme génétique, et la dernière utilisant la programmation linéaire en

no mbr es ent ie rs .

[Bichot 07] : Bichot mo dé lise le pro blè me de dé finit ion de blo cs fo nct ion nels d’ espa ce

pa r un g ra ph e à pa rt i ti on ne r de f aç on o pt im al e. L es s om me ts du g ra ph e s on t

les secteurs élémentaires, les arêtes représentent les flux e ntre les secteu rs .

Le p oids des arêtes est le nombre moyen d’avions dans le flux reliant

deux secteurs. Il prop ose une appro che “fusion-fission” pour optimiser le

pr ob lè m e.

[Bichot et al. 04] : Bichot mo ntre que le pro blè me de dé finit ion des blo cs d’ espa ce est

NP-complet.

[Bichot et al. 07] : Bichot co mpa re deux al gor ithm es cl ass iqu es de pa rtit ion nem ent

(Scotch et Graclus) à son appro che par fusion et fission.

[Gianazza et al. 02b, Gian azza et al. 02a] :

Gianazza prop ose un algorithme gén é tique

p ou r co ns tr ui re u ne p ar tit io n o pt im al e d e l’ es pa ce a ér ien e n s ec te urs d e

contrôle. Il le compare à des algorithmes de recherche arb orescente.

[Barnier 02] : Ba rnie r ap pliq ue avec suc cè s des mé tho des de pro gra mma tio n par

contr aint es à ce même pro blè me de co nst ruct ion d’une pa rtit ion op tim ale .

[Gianazza et al. 06a, Gianazza et al. 06b, Gianazza 08] :

Gianazza e t Guittet

ch er ch e nt l e s i nd i c a t eu r s l e s p l u s p e r t i n ent s , p a r m i l e s n o mb r eu x i n d i -

ca te urs de co mpl exi té du tr afic prop os és dans la li tté rat ure, p our pré vo ir la

ch ar g e d e t r ava il d e s c o nt r ô le u r s a ér i e n s . U n r és e a u d e n e u ro n e s e st u t i li s é

p ou r es ti mer la ch ar ge d e t ravai l à p ar ti r d es i ndi ca te urs d e co mp le xit é.

[Gianazza et al. 09] : Gianazza et al. pr op o se nt un o ut il de pr év i si on ré a li st e de s

ouvertures de secteurs avec une interface graphique.

[Gianazza 10] : Gianazza détaille la métho de combinant une recherche arb orescente et

un ré s ea u de ne u ro ne s, p o ur la pr év i si on de s o uv er tu re s de s ec te ur s a ér ie ns

et des ch arg es de travail des co ntrô le urs.

15 .8 .3 O pti mi sa ti on des ro ut es aé ri en nes

[Mehadhebi 00] : M eh ad he bi pr op o se une m ét ho de d’ a gr ég at i on de p o ints de c ro is e-

ments de routes, puis une triangulation entre les barycentres des p oints

agrégés p our redéfinir un réseau de routes aériennes.

- 456 -


[Gianazza 04] : Gianazza prop ose d’optim iser les principaux flux de trafic aérien en 3

dimensions. Il tient ainsi compte des phases de montée, de croisière et de

de s ce nte de s a vi ons.

[Riviere 04] : Rivière plac e les no euds du réseau en ayant fixé au préalable la top ologie

du ré s ea u. P ar ta nt d’ un e g ri ll e ré g ul iè re dé fi nie sur l ’e sp ac e a ér ie n e uro p é en ,

il utilise un rec uit simulé p our chercher une déformation de la grille qui

minimise la somme des allongements de tra jectoires.

[Cai et al. 12] : Cai traite le même problème que Rivière, mais sur l’espace aérien

ch in o i s e t ave c un e a pp r o che p a r e s sa i m p a r t i c ul a i r e hy b r i de .

[Siddiquee 73] : Si dd iq ue e pr op o se de s c ri tè re s m at hé ma ti q ue s de m ini m is at io n de la

co mpl exi té du tr afic aé rie n.

[Xue et al. 09] : Xue prop os e une métho dologie p our placer géographiquement un

no mbre l im it é de “ tu b e s” a ér ie ns q ui re g ro up e ra ie nt l es pl us g ro s flux de

trafic

américains.

[Letrouit 98] : Letrouit alloue des niveaux de vol p our séparer les flux en utilisant d es

métho des de coloration de graphe.

[Barnier et al. 02] : Ba rnie r et Br isse t ap pliq uen t une mé tho de de co lor ati on de gr aphe

p ou r l ’al lo c at ion d e ni ve au x de vo l, ave c un mo d èl e pl us ré al is te q ue

Letrouit.

[Gianazza 04, Gianazza et al. 04b, Gianazza et al. 04a, Gianazza et al.

05, Gianazza 05] :

Gianazza définit des tub es-3D san s intersections p our les plus gros flux

origine- destination, en ten ant compte de toutes les phases du vol (montée,

croisière, descente). Il utilise un algorithme évolutionnaire hybridé avec un

algorithme A ⇤ sur ce pro blè me.

15 .8 .4 O pti mi sa ti on des c rén ea ux de dé co ll ag e

[Maugis 96, Odoni 87] : M au gi s et Od o ni pr op o se nt t ou s de u x de s mo dè l es ut i li sa nt la

P LN E ( Pr og ra mm at i on L in éa ir e en No m bre s Ent ie rs ) p o ur l ’o pt im is at i on

de c ré ne au x de dé c ol la g e.

[Bertsimas et al. 98, Bertsimas et al. 08] :

Be rts ima s re pren dra ces mo dè les à la fin

de s a nné e s 1 99 0 et 2 00 0.

[Delahaye et al. 97] : Delahaye prop ose sur un cas d ’é c ole simple d’optimiser à la f ois

la route suivie par l’avion et l’heure de décollage.

[Oussedik et al. 98, Ou ssed ik et al. 99, Oussedik 00] :

Oussedik reprend cette appro che

sur des do nnée s ré ell es de tr afic .

[Cheng et al. 99] : Cheng traite un exemple de p etite taille avec un algorithme génétique.

[Tandale et al. 07] : Tend al e uti li se un a lgo ri thm e gé nét iq ue su r le si mulat eu r de tr afi c

FACET développé par la NASA p our resp ecter les capacités des secteurs.

[Barnier et al. 00] : Ba rnie r prop ose une dé finit ion plus fine de la ca pac ité d’un se cte ur

et ut ilis e une appro che de pro gra mma tio n par co ntra intes p our op tim iser

les

créneaux.

- 457 -


[Allignol 11, Durand et al. 10] : Allignol prop ose de résoudre des conflits aériens en

mo difiant les heures de décollage des avions. Il compare la programmation

pa r c on tra i nt es avec une a ppr o c he à ba s e d’ a lg or it hm e é vo lu ti o nna i re.

[Su et al. 12] : Su re pr e nd le pr ob lè m e sur de s do nn é es c hino i se s, en ut i li sa nt une

appro che de Co évolution Co opérative.

15 .8 .5 O pti mi sa ti on du tr afi c aé ro p or tu ai re

[Pesic et al. 01] : Durand prop ose une première mo délisation de s voies de circulation

d’un aérop ort par un graphe orienté. Il compare deux stratégies d’optimisa

tio ns du tr afic, l’ une it éra tive et l’ aut re gl oba le ut ilis ant un al gor ithm e

génétique.

[Gotteland 04] : Gotteland reprend en détail le mo dèle et le rend réaliste. Il prend en

co mpt e les in cert itu des et différ ent es co ntr aintes (c rén eaux de dé col lag e).

[Hu et al. 07a] : Hu mo délise le p rob lè me d’aff

ectation de p arkin gs sous forme d’un

cr itè re à mi nimi ser , dé fini co mme une p on déra tio n en tre l’ att ent e des av ion s

p ou r ac cé de r à l eu r p ar ki ng, l es d is ta nce s à p arc ou ri r p ar l es p ass ag er s e n

transit et les distances d’acheminement de leu rs bagages. Un algorithme

génétique est utilisé.

[Hu et al. 08] : Hu s’intéresse à l’optimisation d’une séquence d’arrivées par un algorithme

génétique et compare l’effi

cacité de deux diff

érents co dages.

[Hu et al. 09] : Hu généralise le problème à plusieurs pistes.

[Hu et al. 11] : Hu amé liore les résultats avec un nouvel algorithme génétique “à

pr op a ga ti on d’ o nde ” .

[Lei et al. 08, Fu et al. 08] :

Lei et Fu prop osent une appro che par essaims particulaires.

[Deau 10, Deau et al. 09] : Deau mo délise le trafic réel sur l’aérop ort de Roissy avec

des contraintes réalistes. Il optimise le roulage en tenant compte des

contr aint es de pi ste s et cr éne aux de dé col lag e.

[García et al. 05] : Garcia combine (sur l’aérop ort de Madrid) un algorithme déterministe

de gestion de flux avec un algorithme génétique p our affecter un

ch em i n e t u n e h e u re d e d é b u t ( u n e h e u r e d ’ a tt e r r is s a g e p ou r l e s a r ri vé e s

et une heure de dé part du pa rkin g p our les dé part s) à ch aqu e mo uve ment.

[Roling et al. 08] : Roling, sur un aérop ort (fictif ) plus simple (avec moin s de voies

de c ir cu la ti o n et be a uc ou p m oi ns d’ a vio ns en m ou ve me nt ), pa rv i en t à

mo déliser et résoudre globalement la planification de la phase de roulage

de s a vi on s s ou s la f or me d’ un pr ob lè m e de pr og ra m ma ti on l in éa ir e e nt iè re

mixte.

[Hu et al. 07b] : Hu considère un ensemble comp osé d’un aérop ort principal et d’aé -

rop orts satellites , dans lequel il est p ossible d’inter-changer des avions à

l’arrivée. Chaque aérop ort a une capacité variable. Un algorithme génétique

p er me t d e r és oud re e ffic ace me nt l e p ro blè me d ’u ne jo ur né e d e t rafi c, p ar

résolutions successives de s diff

érentes situations.

- 458 -


15 .8 .6 Ré so lu ti on de c onfl it s aé ri en s

[Alliot et al. 92] : Alliot et Grub er furent les premiers à prop oser une résolu tion de

co nflit s aé rie ns gr âce à un al gor ithm e gé nét iqu e.

[Durand 96] : Durand re prend le problème en utilisant un codage des manœuvres

di ffé re nt : cha q ue a vi on p e ut a cc o mpl i r une m an œuv re q ui dé b ut e au t em ps

t0 , s e t e r mi n e a u te m p s t1 et co nsi ste en un ch ang eme nt de cap de 10,

20

ou 30 de g ré s à dr oi t e ou à g au ch e de s on c ap i ni ti al .

[Durand et al. 98] : Durand introduit un op érateur de croisement qui p ermet, à partir

de de u x i ndi v id us pa re nt s, de c on st ru ir e de s i ndi v id us e nf an ts q ui pr en ne nt

en co mpt e les me ill eure s ca rac tér ist ique s des deux pa rent s. Des co nflit s à

30 avions p euvent alors être résolus.

[Durand et al. 95, Durand et al. 96a, Durand et al. 97, Alliot et al. 97] :

Durand étudie

pl us ie u rs s cé na ri os d’ i nc er ti tu de sur du t ra fic ré e l s imul é .

[Granger et al. 01] : Granger reprend l’appro che de Durand en mo délisant les routes

aériennes telles qu’elles existent auj ou rd ’hui.

[van den Akker et al. 98] : Akker reprend le problème initial traité p ar Durand.

[Malaek et al. 11] : M al ae k re pr e nd sur de s c as d’ é co le l es mo dè l es pr op o sé s pa r

Durand en y a joutant des mo dèles de vents. Les avions co ordonnent leurs

mano euvres grace à un algorithme génétique. Il s’agit de manœuvres

conti nues .

[Durand et al. 09] : Alliot e t Duran d prop osent de faire évoluer des colonie s d e f ou rmis

p ou r ré so udr e de s co nfl its co mp le xes .

[Meng et al. 12] : M en g re pr e nd l ’i dé e d’ Al l io t et D ura nd da ns une f or mu la ti on pl us

na ï ve.

[Durand et al. 96b, Duran d et al. 00] :

Alliot et Durand p roposent un réseau de neurones

embarqué dans chaque avion qui p ermet une résolution co ordonnée

d’ un c on fli t à de u x a vi on s.

[Mondoloni et al. 01, Vivona et al. 06] :

M on do lo ni et Vi v on a o nt une a ppr o c he Free-

Flight du pr ob lè m e q ui o pt im is e une tra j ec to i re en co o rdi na t io n avec

d’ a ut re s.

[Vanaret et al. 12] : Vanar et co mpa re tro is mé tah euri sti que s sur le m ême p rob lème

de ré s ol ut io n de c on fli ts

[Allignol et al. 13] : Allignol, Alliot, Barnier et Durand prop osent de fournir un jeu

de c on fli ts q ui p o urr a s er vi r de ba s e de c om pa ra is o n en l ib re s er vi ce .

- 459 -

Conclusion

Cet ouvrage a montré de multiples facettes des métahe uri stiques prop osées, depuis

30 ans, p our la résolution appro chée des p rob lèmes d’“optimi sation difficile”. Le succès

de la dé m ar che ne do i t pa s m as qu er la pr in ci pa l e di ffic ul té à l aq ue ll e e st c on fr on té

l’utilisateur, en prése n ce d’un problème d’optimisation concret : celui du choix d’une

métho de “efficace”, capable de pro duire une solution “optimale” — ou de qualité ac-

ce pta ble — au prix d’un te mps de ca lcu l “r ais onna ble ”. Face à ce so uci pra gma tiq ue,

la théorie n’est pas encore d’un grand secours, car les théorèmes de convergence sont

souvent in exi sta nts, ou ap plic abl es sous des hy pot hèse s très re stri cti ve s. En ou tre , le

réglage “optimal” des divers paramètres d’une métaheuristique, qui p eut être préconisé

pa r la t hé or ie , e st s ou ve nt i na ppl i ca bl e en pr at i qu e, c ar il i ndu it un c oû t de c al cu l

pr oh ib it i f. En c on sé qu e nc e, le c ho ix d’ un e “b o nne ” m ét ho de et le ré g la ge de s pa ra m èt re s

de c el le - ci f ont g én ér al e me nt a pp el au s avo ir -f ai re et à l ’“ ex p é ri en ce ” de l ’u ti li sa te u r,

pl ut ô t q u’ à l ’a pp li ca ti o n fid è le de rè g le s bi e n é ta bl ie s .

Les efforts de recherche en cou rs visent à remédier à cette situation , périlleuse

à te r m e p o u r l a cr é d i b i l it é d e s m é t a h eu r i s t i q ue s : c o m p t e t e nu du f o i s o n n em e nt d u

do m ai ne , il e st de v enu i ndi sp e ns ab le d’ é cl ai re r l ’u ti li sa te u r da ns le c ho ix d’ un e m ét a-

he u ris t iq ue , ou d’ un e m ét ho de hy br id e , et da ns l ’a j us te me nt de s es pa ra m èt re s.

Nous mentionnons un premier enjeu imp ortant des travaux de recherche en cours :

l’exploitation systématique d’hybridations et de c o op érations entre mé th odes (émergence

des systèmes multi-agents ou auto-o rganisés, mise au p oint d’u n e taxinomie de s

métho des hybrides. . . ). La littérature sur ce sujet est très ab ondante. Nous renvoyons

pa r e xe mp le le l ec te ur à [ Renders et al. 96

], qui décrit plusieurs métho des hybrides

ex plo ita nt des al gor ithm es évol uti onna ire s. Face à ce tte mul titude de p os sibi lit és,

le b esoin d’une classification se fait pressant. Dans un travail pionnier [ Talb i 02b ],

E .G . Ta lb i pr op o se une t ax in om ie de s m ét ah eu ri st iq ue s hy br id e s : l ’a ut eu r en t ir e à la

f oi s une t er mi no lo gi e c om mune et de s m éc an is me s de c la ss ifi ca t io n. La dé m ar ch e e st

illustrée à travers la classification d’un grand nombre de métho des hybrides décrites

da ns la l it té ra tu re .

La crédibilité des métaheuristiques nous semble amoindrie par un cloisonnement

artificiel des diverses techn i que s. En effet, p our ne prendre qu’un exemple, qu’est-ce qui

di ffé re nc ie c on ce pt ue l le me nt une c ol on ie de f ou rm is d’ un e a ppr o che de typ e G RA SP,

461

C on c lu si o n

si non qu elq ues dé tai ls, te ls que l’ orig ine de l’ insp irat ion ? En dé finit ive , les deux te chni

q ue s re p o se nt sur la c on st ru ct io n ré p é té e, de m an iè re pr ob a bil i st e et a da pt at iv e , de

nouvelles solutions. Comme le fait de trouver l’optimum lo cal asso cié à une nouvelle

so lut ion ne co lle pas avec la mé tap hore d’une co lon ie de fo urmi s, les invente urs de

ce tte de rniè re te chn ique n’ insi ste nt pas sur le b es oin d’une re che rche lo ca le ; p ou rtan t,

la ma jorité des implantations d’heuristiques f on dées sur les colon ies de fourmis en

f ont us a ge . En re va nc he , la p o ss ib il it é de c on st ru ir e pl us ie u rs s ol ut io ns en pa ra l lè le se

f on d t rè s na t ure l le me nt da ns la m ét ap ho re de s c ol on ie s de f ou rm is , a lo rs q u’ il s ’a gi ra it

d’ un e e xt en si o n p o ur G RA SP.

De notre p oint de vue, il faut essayer d e dé passer ces p olarités, qui ne font pas

progresser le domaine des métahe uri stiques, et p enser plus globalement. C’est ce que

l’un des contributeurs de ce livre a tenté de faire avec la “programmation à mémoire

adaptative” ou “POPMUSIC”, qui, sous des trames unifiées, regroup e un large ensemble

de t echn iq ue s a ux o ri gi ne s et a ux no m s va ri és . P ou r m et tr e au p o int une he u ris t iq ue e f-

fic a ce p o ur un pr ob lè m e do nn é , il no us s em bl e pl us i nt ér es sa nt de c on si dé re r l ’e ns em bl e

de s pr in ci p es c ont en us da ns l es m ét ah eu ri st iq ue s , c om me l ’u ti li sa ti o n d’ un v oi si nage

(voisinage simple, é te n du ou comp osé ; lis te de c an didats), d’une mémoire (p opulation

de s ol ut io ns , t ra ce s de ph é ro mo ne s, l is te de t ab o us ), du br ui ta g e ( bru it a ge de do nn é es

ou de solutions ; p énalisation des mouvements) et de choisir, parmi cet ensemble de

princip es, ceux qui semblent les plus appropriés p our le problème à résoudre. Certains

auteurs suggèrent même des techniques, qu’ils qualifient d’“hyper-he uri stiques”, p our

effec tue r ces ch oix de ma niè re au tom ati que .

La principale justification de l’utilisation d ’une métho de développ ée sur la base

de s m ét ah eu ri st iq ue s é ta nt de pro du ir e de s s ol ut io ns de q ua li té é le vé e, on a a ss is té à

une c ou rs e a ux b o nne s s ol ut io ns , q ui a de s se rv i l es m ét ah eu ri st iq ue s . Po ur a ffiche r de s

tableaux de résultats “démontrant” qu’une nouvelle métho de est efficace , on a eu trop

tendance à s u rcharger les heuristiqu e s d’options, de paramètres et de mécanismes qui

ont o cculté l’élégance qu’il p ouvait y avoir à prop oser une h eu ristiqu e de conception

simple. C’est la raison qui nous a p oussés à encourager l’utilisation et à développ er

de s t es ts s ta ti st iq u es p o ur c om pa re r pl us s ci en ti fiq ue m ent de s m ét ho d e s i té ra ti ves no n

dé t er mi ni st es .

Il reste que l’analyse théorique des métahe uri stiques est particulièrement ardue et

les résultats obtenus jusqu’à présent sont fort maigres. L’avenir, au niveau théorique,

p ou rr ai t p e ut -êt re p as se r p ar l a d éfi nit io n d e vo is in age s c om pl ex es e t l ’an al ys e d es

“pays age s d’ éner gie ” qui en dé cou lent . Des me sure s de l’e ffica cit é de ce rta ins vo isi nag es,

pa r e xe mp le le co e ffic ie nt de ru go s it é, ont é té pr op o sé es , m ai s c es a na ly se s t hé or iq ue s

n’ o nt pa s e nc or e ab o ut i à de s ré s ul ta ts g én ér au x ré e ll em e nt e xp lo it a bl es en pr at i qu e.

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- 509 -

Index

abeille, 253

ACO , 1 8 3

adaptation (fonction d’), 118, 132

adjacences

croisement par recombinaison, 150

mut a t io n , 1 51

affectation quadratique, 32

définition, 53

exemple, 54, 69

voisinage, 59

agrégation des ob jectifs, 301

a

justement

exponentiel, 127

linéaire, 126

algorithme

Ant C o lo n y Sy s te m , 18 9

Ant S y st e m, 1 83

AS rank, 18 8

CM A-E S, 166

des lucioles, 269

algorithmes

coévolutionnaires, 249

culturels, 248

évolutionnaires, 115, 191

génétiques, 116, 160

allèle, 122

amélioration itérative, 4

Ant

Colony Optimization, 1 83

Colony System (algorithme), 189

Sy ste m (algorithme), 183

araignée so ciale, 270

Art i fic i al B ee C o lo n y (ABC), 256

AS rank (algorithme), 188

ASCHEA, 320

aspiration, 51, 72, 74

asynchrones, 31

auto-o rganisation, 13

AutoGraphiX, 87

Bacterial Foraging Optimization (BFO), 268

algorithme, 238

chi m i ot a x ie , 2 3 9

dispersion, 242

élimination, 242

essaimage, 241

reproduction, 241

Bat-Inspired Algorithm, 22 6, 2 64

biaisé (problème), 217

Biogeography-based optimization (BBO), 2 42

Migration, 246

bits d’étiquettes, 282

BSC, 194

calcul évolutionnaire, 116

chaîne d’éjections, 61

chaînes binaires, 194

chaînes de Markov, 24

homogènes, 43

inhomogènes, 48

chaleur sp écifique, 47

champ markovien, 39

changement de palier de temp érature, 41

Chebyshev, 301

chemin de liaison, 350

circuit, 183

classement de Pareto, 288

clusters, 28 3

CM A-E S, 14 8, 162

coévolution, 249

codage de Gray, 139

coefficient de confiance, 206

communication indirecte, 177

CO MOG A, 333

comparaison

d’heuristiques, 352

de métho des d’optimisation, 354

logiciel STAMP, 357

mul t i pl e , 3 58

taux de succès, 352

comportement auto catalytique, 179

condition nement, 146

confiance (co efficient de), 206

confinement, 205

construction de vocabulaire, 349, 350

contraintes, 1, 313

d’égalités, 313, 321

d’inégalités, 313

convergence, 25

de la recherche avec tabous, 75

511

Méta heuristique s

prématurée, 122

coop ération, 203

couplage minimal de p oints, 32

covariance, 146, 162

croisement, 118, 134

arithmétique, 143

BLX-↵ linéaire, 142

BLX-↵ vo l um i q ue , 1 4 1

contractant, 142

d’arborescences, 155

deux p oints, 137

létal, 135

par échange de comp osantes, 140

par recombinaison d’adjacences, 150

un p oint, 137

uniforme, 137

uniforme de p ermutations, 150

Cuckoo Search (CS), 2 26 , 27 0

cyclage, 52

cycle, 56, 63, 65, 68, 181

cycle hamiltonien, 181

décomposition

en sous-problèmes, 339, 341

définition (espace de), 200

décentralisation, 13

décroissance de la temp érature, 24, 41, 45

dérive génétique, 120, 122, 277, 279

descente, 78, 80, 93, 97

deterministic crowding, 278

distance

de Chebyshev, 301

de Manhat tan, 302

de surp euplement, 293

générationnelle, 285

distribués (problèmes), 13

distribution

de biens, 338

de probabilités, 194

des pro chaines p ositions p ossibles, 205

diversification, 9, 52, 215

domaine

irréalisable, 314

réalisable, 313

dominance

de Pareto, 283

("-), 303

DPPP, 205, 214

dynamique, 3

éclaircissement, 279

écosystèmes, 176

élitisme, 130, 279, 295

énergie, 6

enfants, 117

ensemble Pareto-optimal, 284

entropie, 47

épo ques, 282

"

-MOEA, 303

-domination, 303

espèce, 176

espace

d’évolution, 201

de définition, 200

de recherche, 107

des configurations, 26

essaim, 201

essaim particulaire, 200

évap oration, 185

évolution (espace d’), 201

évolution différentielle (DE), 226, 233

croisement, 237

schémas de mutation, 234

evolution path, 1 63

exclusion comp étitive, 275

exploitation, 131, 133, 189, 215, 309

exploration, 131, 133, 189, 215, 309

exploration exhaustive, 182

exploratrice, 200

explosion combinatoire, 2

extensions, 2

falaise de Hamming, 138

Firefly Algorithm, 26 9

fit nes s fu nct ion , 11 8

fit nes s la nd scape, 1 33

flexibilité, 13

fonction

d’adap tation, 118, 132

de p erformance, 118, 132

heuristique, 100, 103

ob jectif séparable, 146, 169

fourmi artificielle, 179

fourmis (insectes), 175

front de Pareto, 284

générateur de nombres, 201

générations, 117

Ge noc op, 329

Ge noc op I II, 327

génotype, 137, 160

Glowworm Swarm Optimisation (GSO), 2 69

grand voisinage, 341

Graph-Based Ant System, 1 93

graphe, 87, 179, 181

graphe complet, 185, 186

Gravitational Search Algorithm (GSA), 22 6

Gray (co dage de), 139

Group Search Optimizer (GSO), 2 26

Ha rmo ny Search , 2 60

heuristiques, 2

homomo rphous mapping, 331

- 512 -

Index

hybrides (métho des), 15, 334

IDEA, 334

identité coloniale, 177

implémentations parallèles, 3

indicateur de qualité, 285

individus, 117

inertie, 206

information (lien d’), 203

informatrice, 202

insectes so ciaux, 175

intelligence collective, 179

intensification, 9, 53, 215

intensité de sélection, 121

interdiction, 62, 67, 69

k-means, 9 4

k-moyennes, 94

lien d’information, 203

liste de candidats, 61

liste de tab ous, 9, 62

aléatoire, 67–69

attributs, 65

de base, 51

durée des interdictions, 66

exemple d’implantation, 69

longueur, 66, 67

table de hachage, 63

liste tab ou stricte, 107

lucioles (algorithme des), 269

matheuristique, 343

matrice, 186

matrice de covariance, 146, 162

Max-Min Ant System, 1 87

mémoire, 183

à court terme, 9, 52, 62, 65

à long terme, 9, 52, 72, 74

adaptative, 347

collective, 186

comportementale, 329

implantation, 69

p o pu la ti on , 34 7

traces de phéromone, 349

mémoriseur, 200

mé th ode

à mémoire adaptative, 347

classique, 4

d’échantillonnage sto chastique universel, 124

de décomp osition, 339

de descente, 4

de la roulette, 124


du kangourou, 39

du partage, 274, 289

GR ASP, 99, 100

mi mét iqu e, 347

PO PM USI C, 341

tabou, 51

mé th ode s

hybrides, 2, 15, 334

métrique

de couverture, 286

de qualité, 285

migration, 282

modélisation

de problème, 345

modèle d’îles, 282

MOEA ("-), 303

MOEA/D, 307

MOGA, 289

Mosquito Host-Seeking Algorithm, 27 0

mo uv ement, 4, 57

1 -c h an g e, 10 7, 1 08

aspiré, 72

candidat, 61

évaluation, 59, 60

forcé, 74

interdit, 65, 67

inverse, 65, 69

inversion, 58

pénalisé, 72

transposition, 58

mul t i -o b j e ct i f , 3, 1 5, 28 3 , 3 3 2

multi-start, 81 , 11 0

multicritère, 283

mul t i mo da l e , 3 , 15 , 2 7 4

mut a t io n , 1 1 8, 1 36 , 1 3 8, 1 43

2-opt, 151

auto-a daptative, 145

bit-flip, 13 8

corrélée, 146

d’adjacences, 151

d’arborescence, 156

déterministe, 138

de p ermutations, 152

gaussienne, 144

règle des 1/ 5, 1 44

uniforme, 144

NFL, 285

nichage, 274

éclaircissement, 279

méthode du partage, 274, 289

séquentiel, 274

surpeuplement déterministe, 277

niche

écologique, 274

rayon, 275

No Free Lu nc h, 2 85

nombre de conditionnement, 146

NPGA, 290

NSGA, 291

- 513 -

Méta heuristique s

NSGA-I I, 291

ob

jectifs

agrégation, 301

scalarisation, 301

OEP, 200

opérateur

d’élimination, 348

darwinistes, 117

de croisement, 118, 134, 348

de frontière, 330

de mutation, 118, 136, 347, 348

de recherche, 118

de recombinaison, voir

op érateur de croise-

me nt

de remplacement, 117, 130

de sélection, 117, 121, 348

de variation, 118, 133

optimales au sens de Pareto, 15

optimisation

difficile, 1

globale, 2

mul t i -o b j ec t i f, 2 8 3

multicritère, 283

mul t i mo da l e, 2 7 4

numérique, 194

sous contraintes, 313

optimum de Pareto, 284

oscillations stratégiques, 53

pénalisation, 72, 346

parallélisation, 15, 29

parallélisme intrinsèque, 13

paramètre

calibrage, 66, 68, 69, 74, 352

de POPMUSIC, 342

parents, 117

Pareto

classement, 288

dominance, 283

front, 284

optimum, 284

Particle Swarm Central, 2 12

particulaire (essaim), 200

partitionnement de graphe, 32

path re lin king , 35 0, 4 00

paysage

d’énergie, 5

de p erformance, 133

PB IL , 194

peine de mort (méthode), 317

pénalisation, 315

p é na li té s

adaptatives, 319, 320

auto-a daptatives, 322–324

dynamiques, 318

statiques, 317

performance

(fonction de), 118, 132

performance partagée, 275

permutation, 184

perturb ation, 83, 93, 95, 97

perturbation log-normale, 146

phase constructive, 100, 102

phase d’amélioration, 100, 104

phénotype, 137, 160

phéromones, 13, 177, 183

placement des circuits, 34

p o int i dé al , 3 02

PO PM USI C, 34 1, 342

partie, 343

procédure d’optimisation, 343

p o pu la ti on , 11 7

gestion, 347

population de solutions, 186

préservation de la faisabilité, 329

pression de sélection, 121, 125

problème

affectation quadratique, 53

décomposition, 341

de p ermutation, 148

distribué, 13, 176

du voyageur de commerce, 181

dynamique, 176

élaboration de tournées, 338

localisation-routage, 339

modélisation, 345

statique, 178

voyageur de commerce, 148

procédure d’éclaircissement, 279

programmation

à mémoire adaptative, 347

évolutionnaire, 116

génétique, 153

linéaire, 16

par contraintes, 343

programme de recuit, 27

propriétés fractales, 26

PSO , 20 0

régression symbolique, 158

régulation des tâches, 176

réseau immunitaire, 231

rang (sélection selon le), 127

rayon

de niche, 275, 280

de restriction, 135

réalisable

(recherche des solutions), 327

recherche

à voisinages variables, 53

avec tab ous, 51, 55

des solutions réalisables, 327

grand voisinage, 341

- 514 -

Index

locale, 56, 78, 80, 93, 97

par disp ersion, 348

tabou, 107

recombinaison,

voir

croisement

d’adjacences, 150

discrète, 140

intermédiaire, 143

recrutement de masse, 177

recuit, 5

simulé, 5

simulé logarithmique, 38

règle

d’acceptation, 27, 41

des 1/ 5, 1 44

remplacement, 117, 130

des stratégies d’évolution, 130

élitiste, 130

générationnel, 130

stationnaire, 130

steady state, 1 30

renforcement négatif, 179

renforcement p ositif, 179

réparation des individus irréalisables, 327

représentation, 118, 133

arborescente, 153

binaire, 137

de chemins, 149

de séquences, 149

ordinale, 149

réelle, 140

reproduction, 117

reproduction sexuée, 118

rest ric ted ca ndid ate li st, 1 00

Roach I nfe stat ion Op tim izat ion , 27 0

robustesse, 13

roulette (métho de de la), 124

RWS , 1 24

SAFP, 323

scalarisation des ob jectifs, 301

scatter search, 3 48 , 40 1

sélection, 117

(intensité de), 121

clonale, 229

déterministe, 129

élitiste, 188

environnementale, 117, 130

négative, 228

par tournois, 128

parentale, 117

pour la repro duction, 117

pour le remplacement, 117

pression, 121

proportionnelle, 122, 123, 125

RWS , 1 24

selon le rang, 127

SUS, 124

séparable (fonction ob jectif ), 146

set covering problem, 1 01

SGGA, 324

Sl im M old Op tim iza tio n, 2 69

sommation p ondérée des ob jectifs, 301

sous-po pulation, 274, 281

spéciation, 274, 281

SPEA, 295

SPEA2, 296

spéciation

clusters, 283

par étiquettes, 282

SPSO 2007, 209

SPSO 2011, 210

STAMP, 357

stationnaire (remplacement), 130

steady state (remplacement), 130

stigmergie, 13

stochastic ranking, 3 26

stochastiques (métho des), 2

stratégies d’évolution, 116, 130, 144, 162

surface de compromis, 15, 284

surpeuplement déterministe, 277, 278

SUS, 124

système auto-organisé, 179

systèmes immunitaires artificiels, 226

réseau immunitaire artificiel, 231

sélection clonale, 229

sélection négative, 228

théorie du danger, 232

tabou, voir recherche, 51

tag-bits, 28 2

taux

de croisement, 135

de mutation, 136

température, 5

initiale, 40

temps de domination, 121

Te r mi t e C o l o ny O p t im i z at i o n , 27 0

test

statistique

bo otstrap, 356

de Taillard, 353

Mann-Whitney, 356

taux de succès, 352

théorème “ No Free Lu nc h”, 285

théorie du danger, 232

topologie, 202

tournées de véhicules, 338, 343

tournois, 128

déterministes, 129


stochastiques, 129

traitement des images, 38

tra jectoire d’évolution, 163

trempe, 5

- 515 -

Méta heuristique s

ultramétricité, 26

variables continues, 14

variables de décision, 3

variation (op érateur de), 118, 133

verres de spin, 5

vers luisants (algorithme), 269

visibilité, 184, 185, 189

voisinage, 55, 57, 78, 80, 88, 93, 202

évaluation, 59

complexe, 61

Lin-Kernighan, 62

sur une p ermutation, 56, 58

voyageur de commerce, 1, 32

Wasp Swarm Optimization, 27 0

Métaheuristiques Recuit simulé, recherche avec tabous, recherche à voisinages variables, méthode GRASP (2014)

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