Probabilité (Philippe Barbé, Michel Ledoux) (

I.3. Classes monotones
I.3. Classes monotones
Nous souhaitons finalement pouvoir mesurer les éléments d’une tribu, c’est-àdire
définir une fonction qui à chaque ensemble de la tribu associe un réel positif,
et qui vérifie un certain nombre d’axiomes. Une des difficultés a priori est qu’une
tribu peut contenir beaucoup d’ensembles. On souhaite donc pouvoir définir la
mesure sur une classe plus restreinte d’ensembles et avoir un procédé d’extension
permettant alors de la définir sur toute la tribu. Le but de cette section est de
construire le bon outil pour réaliser le procédé d’extension. Son intérêt apparaîtra
clairement dans la suite du cours.
Définition I.3.1. Une famille M de parties de Ω est appelée une classe monotone
si
(i) Ω ∈M,
(ii) si A, B ∈Met B ⊂ A, alorsA \ B ∈M,
(iii) M est stable par réunion monotone croissante (i.e. A i ∈ M, i ∈ N,
A i ⊂ A i+1 ⇒ ⋃ i∈N A i ∈M).
Si E⊂P(Ω), onnoteM(E) la classe monotone engendrée par E, c’est-àdire
l’intersection de toute les classes monotones contenant E.
Exemples I.3.2. (i) Une tribu est une classe monotone.
(ii) Une classe monotone M, stable par intersection finie, est une tribu. En effet,
M est aussi stable par réunion finie en vertu de I.3.1.ii, et toute réunion peut
s’écrire comme une réunion croissante ( ⋃ i∈N A i = ⋃ i∈N (⋃ j≤i A j) pour toute famille
A i , i ∈ N).
Pour que la définition d’une classe monotone engendrée par E ait un sens, il
faut vérifier que l’intersection de deux, ou d’un nombre quelconque, de classes
monotones est une classe monotone.
Le théorème important suivant affirme que la classe monotone engendrée par
une famille de parties de Ω stable par intersection finie coïncide avec la tribu
engendrée par cette famille.
Théorème I.3.3 (des classes monotones). Soit E une famille de parties de Ω, stable
par intersection finie. Alors M(E) =σ(E).
Démonstration. En vertu de l’exemple I.3.2.i, σ(E) est une classe monotone qui
contient E et donc M(E) ⊂ σ(E). Pour démontrer l’inclusion inverse, nous montrons
que M(E) est stable par intersection finie. Alors, d’après I.3.2.ii, M(E)
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