Probabilité (Philippe Barbé, Michel Ledoux) (

I.4. Mesures
Alors µ est une fonction additive d’ensembles et s’étend à la tribu borélienne
sur R. On appelle mesure de Lebesgue cette extension. La mesure de Lebesgue
d’un intervalle [ a, b ], ] a, b [ ou [ a, b [ est sa longueur b − a. On pourrait faire une
construction analogue à l’aide de ces différents intervalles. Plus généralement,
pour une fonction croissante F : I → R sur un intervalle I de R, on peut poser
µ F (] a, b ]) = F (b) − F (a) ; ceci définit la famille des mesures dites de Stieltjes.
(ii) Soient (Ω i , A i ,µ i ), i =1, 2 deux espaces mesurés. Sur (Ω 1 × Ω 2 , A 1 ⊗A 2 ) on
définit la mesure produit par µ 1 ⊗ µ 2 (A 1 × A 2 )=µ 1 (A 1 ) × µ 2 (A 2 ) pour A i ∈A i ,
i =1, 2. Par linéarité, on étend la définition aux ensembles élémentaires au sens
de la définition I.1.9. La mesure produit s’étend de manière unique à la tribu
produit par le théorème I.4.9.
(iii) Si λ est la mesure de Lebesgue sur R, ondéfinitλ ⊗···⊗λ sur R d (mesure
de Lebesgue sur R d ). Alors λ ⊗···⊗λ coincide avec l’extension de la fonction
additive d’ensembles µ définie d’abord sur les pavés par
µ(] a 1 ,b 1 ] ×···×] a d ,b d ]) = (b 1 − a 1 ) ···(b d − a d ) ,
et étendue par additivité aux réunions finies de pavés.
La mesure de Lebesgue sur R ou R d a la propriété importante d’être invariante
par translation. En effet, si x est un vecteur de R d , A un borélien de R d , notons
τ x (A) ={ a + x : a ∈ A }
le translaté de A par x. Montrons que pour tout x ∈ R d ,ettoutA ∈B(R d ),
λ ⊗···⊗λ ( τ x (A) ) = λ ⊗···⊗λ(A) .
La classe
{
E = A =] a 1 ,b 1 ] ×···×] a d ,b d ] ⊂ R d : ∀x ∈ R d ,
λ ⊗···⊗λ ( τ x (A) ) }
= λ ⊗···⊗λ(A)
est stable par intersection finie et contient tous les pavés. Donc M(E) =σ(E) =
B(R d ) d’après le théorème des classes monotones I.3.3 et la définition de B(R d )
(exemple I.1.12.iii). On peut de plus démontrer que la mesure de Lebesgue est, à
une constante de proportionnalité près, l’unique mesure invariante par translation
sur R d .
(iv) Soit D l’ensemble des droites du plan. Nous allons construire sur D une mesure
analogue à la mesure de Lebesgue sur R d , laquelle nous permettra de mesurer des
ensembles de droites du plan.
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