Probabilité (Philippe Barbé, Michel Ledoux) (

Chapitre II. Intégration
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De l’inégalité de Minkowski, on déduit que ‖·‖ p est une semi-norme sur
l’espace L p (en effet ‖f‖ p =0n’implique pas f =0mais seulement f =0µ-p.p.
cf. II.1.4.viii). Notons L p =L p (Ω, A,µ) le quotient de l’espace L p par la relation
d’équivalence f = gµ-p.p. Autrement dit, un élément f de L p s’identifie à un
représentant de la classe de tous les éléments g de L p tels que f = gµ-p.p. Alors
(L p , ‖·‖ p ) est un espace vectoriel normé.
Pour les énoncés suivants nous supposerons que la mesure µ est σ-finie.
Théorème II.6.4. Pour tout p ≥ 1, l’espaceL p est complet.
Nous démontrerons ce théorème à la fin de la section V.3.
Théorème II.6.5. Pour p et q conjugués et 1 ≤ p<∞, ledualdel’espaceL p est
L q . En d’autres termes, les formes linéaires continues sur L p sont les fonctions de
la forme f ∈ L p ↦→ ∫ fgdµ ∈ R pour g ∈ L q . La norme d’une telle forme linéaire
est donnée par l’égalité ‖f‖ p =sup{ ∫ fgdµ : ‖g‖ q ≤ 1 }.
Démonstration esquissée. Si g ∈ L q , l’application f ↦→ ∫ fgdµ définie sur L p est
linéaire et continue d’après l’inégalité de Hölder. Il convient donc de montrer que
toute forme linéaire continue sur L p est nécessairement de cette forme. Soit Λ une
telle forme linéaire, et posons ν(A) =Λ(½ A ).Onvérifiequeν est additive (i.e.
ν(A∪B) =ν(A)+ν(B) si A∩B = ∅), et même est une mesure. Si µ(A) =0,alors
½ A =0(dans L p )etν(A) =0, ce qui montre que ν est absolument continue par
rapport à µ. D’après le théorème de Radon-Nikodym II.3.3, on a donc ν(A) =
Λ(½ A )= ∫ g½ A dµ pour g = dν
dµ . Par linéarité, Λ(f) =∫ fgdµ sur L ∞ .Pour
montrer que g ∈ L q , écrivons g = h|g| où |h| =1et h est mesurable. Alors
∫
∫
|g| q ½ [0,n] (|g|)dµ = |g| q−1 ½ [0,n] (|g|)hg dµ
=Λ ( |g| q−1 ½ [0,n] (|g|)h )
≤‖Λ‖ ∥ ∥ |g| q−1 ½ [0,n] (|g|) ∥ ∥
p
≤‖Λ ∥ ∥ ‖g ½ [0,n] (|g|) ∥ ∥ q/p
q
et donc ‖|g| ½ [0,n] (|g|)‖ q ≤‖Λ‖. En passant à la limite lorsque n tend vers l’infini,
‖g‖ q ≤‖Λ‖ < ∞.
Il reste à montrer que si les formes linéaires f ↦→ ∫ fgdµ et Λ coïncident sur
L ∞ , alors elles coïncident sur L p .Lorsqueµ(Ω) < ∞, on montre que tout espace
L p est dense dans tout espace L r et donc que deux formes linéaires continues
coïncidant sur L ∞ coïncident sur L p .Siµ(Ω) = ∞, on utilise la σ-finitude de la
mesure et on partitionne l’espace pour se ramener au cas fini.
La dernière affirmation découle du théorème de Hahn-Banach sur les duaux. □