Probabilité (Philippe Barbé, Michel Ledoux) (

Exercices
Exercice I.8. Soit (Ω, A,µ) un espace mesuré. Une partie N ⊂ Ω est dite
µ-négligeable si elle est contenue dans un ensemble mesurable A tel que
µ(A) =0. La tribu B est dite complète pour µ si elle contient tous les ensembles
négligeables.
Si N désigne l’ensemble des parties µ-négligeables, soit
A µ = { A ∪ N ; A ∈A,N∈N}.
Montrer que A µ est une tribu, appelée la tribu µ-complétée de A.
Exercice I.9. Soient X et Y deux espaces topologiques munis respectivement
des tribus boréliennes B X et B Y , µ une mesure sur B X , et
f : X → Y une fonction continue µ-p.p., c’est-à-dire telle que l’ensemble
N = {x ∈ X : f discontinue en x} soit µ-négligeable. Démontrer que f est mesurable
de (X, B X ) dans (Y,B Y ) où B X est la tribu complétée de B X par rapport
à µ.
Indication : Pour tout ouvert O de Y ,onconstruiraunouvertV de X tel que
f −1 (O) ∩ (X \ N) ⊂ V ⊂ f −1 (O) ,
et on montrera qu’alors f −1 (O) =V ∪ (f −1 (O) ∩ N).
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