Probabilité (Philippe Barbé, Michel Ledoux) (

Chapitre II. Intégration
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Théorème II.2.1 (de convergence monotone). Soit (f n ) n∈N
une suite croissante de
fonctions mesurables positives sur (Ω, A,µ), convergeant ponctuellement vers f.
Alors f est mesurable et
∫ ∫
lim f n dµ = f dµ.
n→∞
Démonstration. La fonction f est mesurable en vertu du théorème I.2.5. Puisque
f n est croissante et positive, ∫ f n dµ est croissante et positive d’après II.1.4.i,
donc admet une limite α ≥ 0 (éventuellement α =+∞). Puisque f n ≤ f, II.1.4.i
montre aussi que α ≤ ∫ f dµ.
Soit une fonction étagée g = ∑ 1≤j≤m b j½ Bj telle que 0 ≤ g ≤ f. Soit
0 ≤ c<1. Notons { f n ≥ cg} = {ω ∈ Ω:f n (ω) ≥ cg(ω) }. Alors,
∫ ∫
∫
f n dµ ≥ ½ {fn≥cg}f n dµ ≥ c g ½ {fn≥cg} dµ = c
∑
b j µ ( B j ∩{f n ≥ cg } )
1≤j≤m
d’après II.1.4.i–iii et la définition de l’intégrale sur les fonctions étagées. Donc,
quand n →∞,
α ≥ c ∑
b j lim µ( B j ∩{f n ≥ cg } ) = c ∑
∫
b j µ(B j )=c g dµ,
n→∞
1≤i≤m
1≤i≤m
la seconde égalité résultant de I.4.3.iii et du fait que ⋃ n { f n ≥ cg } =Ω.Orc
étant arbitraire dans [0, 1[,onobtientα ≥ ∫ g dµ, ceci pour toute fonction étagée
0 ≤ g ≤ f. Par définition de l’intégrale ∫ f dµ, onendéduitα ≥ ∫ f dµ. Ainsi
α = ∫ f dµ et le théorème est démontré.
□
Le résultat suivant est un exemple d’application du théorème de convergence
monotone.
Corollaire II.2.2. Soit (f n ) n∈N
une suite de fonctions mesurables positives et soit
f = ∑ n∈N f n.Alors ∫ f dµ = ∑ n∈N
∫
fn dµ.
Démonstration. La suite g n = ∑ 0≤m≤n f m est
∫
croissante et converge simplement
vers f. Le théorème II.2.1 implique lim n→∞ gn dµ = ∫ lim n→∞ g n dµ, cequiest
le résultat.
□
Corollaire II.2.3 (Lemme de Fatou). Soit (f n ) n∈N
une suite de fonctions mesurables
positives. Alors
∫
∫
lim inf f n dµ ≤ lim inf f n dµ.
n→∞ n→∞