Probabilité (Philippe Barbé, Michel Ledoux) (

Chapitre II. Intégration
définition de l’intégrale coïncide, sur les intervalles, avec l’intégrale de Riemann,
puisque, au sens de Riemann, ∫ R ½ A(x)dx = ∫ b
a
1dx = b − a.
Maintenant, si A = P(N), siµ est la mesure de comptage sur N, etA ⊂ N,
alors ∫ ½ A dµ =card(A).
L’un des avantages de la définition de l’intégrale de Lebesgue est de traiter
de la même façon des exemples aussi différents que la mesure de Lebesgue et la
mesure de comptage.
Nous savons maintenant intégrer les fonctions indicatrices d’ensembles mesurables,
ce qui est bien peu ! Nous souhaitons que l’intégrale soit linéaire (i.e.
∫
(αf + βg) dµ = α
∫
f dµ + β
∫
g dµ), ce qui conduit à étendre la définition par
linéarité.
Définition II.1.2. Si f est étagée positive, f(ω) = ∑ 1≤i≤n a i½ Ai (ω) avec les A i
mesurables disjoints, on pose
∫
B
f dµ = ∑
1≤i≤n
a i µ(A i ∩ B) = ∑
1≤i≤n
a i
∫
B
½ Ai dµ.
Le lecteur peut alors vérifier que la valeur de l’intégrale ∫ B
f dµ ne dépend pas
de la décomposition de f en somme d’indicatrices et en déduire la linéarité de
l’intégrale sur les fonctions étagées positives.
Nous pouvons étendre la définition de l’intégrale aux fonctions positives.
Définition II.1.3. Soit f une fonction mesurable positive définie sur (Ω, A,µ).
On définit et note son intégrale par rapport à µ sur l’ensemble mesurable B
par
∫
B
∫
f dµ =
B
{ ∫
}
f(ω)dµ(ω) =sup g dµ : g étagée positive, g ≤ f .
B
L’intégrale sur Ω est notée ∫ Ω f dµ = ∫ f dµ.
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Observons que l’intégrale d’une fonction positive peut être infinie.
Montrons que cette construction de l’intégrale d’une fonction positive réalise
ce que l’on en attend.
Proposition II.1.4. (i) Si 0 ≤ f ≤ g alors 0 ≤ ∫ B f dµ ≤ ∫ B g dµ.
(ii) Si A ⊂ B et f ≥ 0, alors ∫ A f dµ ≤ ∫ B f dµ.