Probabilité (Philippe Barbé, Michel Ledoux) (

Chapitre II. Intégration
II.4. Intégration par rapport à une mesure image
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Nous avons défini les mesures images (cf. I.4.5). Rappelons que si f est une
fonction mesurable de (Ω, A,µ) dans (E,B), onnoteµ f la mesure sur B définie
par µ f (B) =µ(f −1 (B)). En pratique, l’intégrale par rapport à une mesure image
s’effectue à l’aide du théorème suivant, qui est une formulation abstraite de la
formule classique du changement de variable.
Théorème II.4.1 (de transport). Soit f une application mesurable de (Ω, A,µ)
dans (E,B), etsoitφ une fonction borélienne de E dans R. Alorssiφ est à
valeurs positives, ∫ ∫
φ dµ f = φ ◦ f dµ.
E
Si φ est à valeurs quelconques, φ est µ f -intégrable si et seulement si φ ◦ f est
µ-intégrable et, dans ce cas, l’identité précédente est encore satisfaite.
Démonstration. Elle répète le schéma général de construction de l’intégrale. Si
φ = ½ B pour un B ∈B,
∫
½ B dµ f = µ f (B) =µ ( f −1 (B) ) = µ ( { ω ∈ Ω:f(ω) ∈ B } )
E
Ω
∫
=
Ω
½ B ◦ f(ω)dµ(ω)
et la formule est vraie dans ce cas. Si φ est étagée, la formule est valide par linéarité
(par rapport à φ). Si φ est positive, soit (φ n ) n∈N une suite de fonctions
étagées positives convergeant en croissant vers φ (I.2.7). Alors φ ◦ f n est étagée
et converge simplement en croissant vers φ ◦ f. En utilisant le théorème de
convergence monotone (II.2.1), à la fois pour la mesure µ et la mesure µ f ,
∫
∫
∫
∫
E
φ dµ f = lim
n→∞
φ n
E
dµ f = lim
n→∞
Dans le cas général, remarquons que
∫
∫
|φ| dµ f =
E
Ω
Ω
φ n ◦ f dµ =
|φ ◦ f| dµ
Ω
φ ◦ f dµ.
et donc φ ◦ f est µ-intégrable si et seulement si φ est µ f intégrable. En posant
φ = φ + − φ − ,onconclutque
∫ ∫
∫
φ dµ f = φ + dµ f − φ − dµ f
E
∫E
E∫
∫
= φ + ◦ f dµ − φ − ◦ f dµ = φ ◦ f dµ.
Le théorème est établi.
Ω
Ω
Ω
□