Probabilité (Philippe Barbé, Michel Ledoux) (

Chapitre II. Intégration
28
Si f ≥ g, alorsf − g ≥ 0. Donc ∫ (f − g)dµ ≥ 0 d’après la proposition II.1.4.i,
et la conclusion s’ensuit par linéarité.
□
L’énoncé suivant est une forme généralisée du lemme de Fatou.
Corollaire II.2.7. Soit g une fonction intégrable et soit (f n ) n∈N
une suite de fonctions
intégrables.
(i) Si g ≤ f n ,alors ∫ ∫
lim inf n→∞ f n dµ ≤ lim inf n→∞ fn dµ.
∫
(ii) Si f n ≤ g, alorslim sup n→∞ fn dµ ≤ ∫ lim sup n→∞ f n dµ.
Démonstration. (i) D’après le lemme de Fatou (corollaire II.2.3), on a
∫
∫
lim inf (f n − g)dµ ≤ lim inf (f n − g)dµ
n→∞ n→∞
ce qui démontre (i) par linéarité de l’intégrale.
(ii) De même, le corollaire II.2.3 donne
∫
∫
lim inf (g − f n)dµ ≤ lim inf (g − f n )dµ. □
n→∞ n→∞
Le résultat suivant est encore un corollaire du théorème de convergence monotone,
mais nous lui attribuons la valeur d’un théorème compte tenu de son
importance.
Théorème II.2.8 (de convergence dominée de Lebesgue). Soit (f n ) n∈N
une suite de
fonctions telles que |f n |≤g où g est intégrable et f n converge simplement vers f.
Alors f est intégrable et
∫ ∫
lim f n dµ = f dµ.
n→∞
Démonstration. L’intégrabilité de f vient de ce que nécessairement |f| ≤ g et
|g| = g est intégrable. Puisque lim n→∞ f n = f, et−g ≤ f n ≤ g, le corollaire II.2.7
fournit
∫
lim sup
n→∞
∫
f n dµ ≤
∫
=
∫
=
lim sup f n dµ
n→∞
f dµ
≤ lim inf
n→∞
lim inf f n dµ
n→∞
∫
f n dµ.
□