Probabilité (Philippe Barbé, Michel Ledoux) (

I.4. Mesures
Nous pouvons à présent conclure la démonstration du théorème. L’inclusion
C⊂H 0 donne σ(C) ⊂ σ(H 0 ),etdoncb ( σ(C) ) ⊂ b ( σ(H 0 ) ) . Enfin, le lemme I.3.7
montre que b ( σ(H 0 ) ) = H 0 .
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I.4. Mesures
Définition I.4.1. Soit (Ω, A) un espace mesurable.
Une application µ de A dans R ∪{∞} est σ-additive si pour toute famille
A i d’éléments de A, indexée par un ensemble I fini ou dénombrable,
µ( ⋃ i∈I A i)= ∑ i∈I µ(A i).
On appelle mesure (positive) toute application µ de A dans R + ∪{∞},
σ-additive, et telle que µ(∅) =0.
On dit qu’une mesure µ est σ-finie s’il existe une famille dénombrable
A n ∈A, n ∈ N, telle que Ω= ⋃ n∈N A n et µ(A n ) < ∞. Une telle famille est
appelée une suite d’exhaustion de Ω.
Un espace mesurable muni d’une mesure est appelé espace mesuré. De plus,
si µ(Ω) = 1, onditqueµ est une mesure de probabilité ou simplement une
probabilité. Une mesure de probabilité est σ-finie.
On appelle mesure signée la différence de deux mesures (positives).
Exemples I.4.2. (i) Jeu de dé. Soit Ω={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 } les 6 faces possibles d’un
dé, muni de la tribu des parties, P(Ω). Vérifier que µ(A) =card(A)/6 est une
probabilité. Remarquer que µ(A) représente bien la probabilité que A survienne :
c’est le nombre de faces qui provoquent A, divisé par le nombre total de faces du
dé.
(ii) Soit (Ω, A) un espace mesurable et ω ∈ Ω. L’application
δ ω : A ∈A↦→ δ ω (A) =½ A (ω)
est une mesure de probabilité, appelée masse de Dirac en ω.
(iii)
∑
Sur un ensemble dénombrable Ω muni de la tribu de ses parties, la mesure
ω∈Ω δ ω est appelée mesure de comptage. On remarquera que si A ⊂ Ω, µ(A) est
le cardinal de A, donc«compte»lenombred’élémentsdeA.
La proposition suivante regroupe quelques propriétés importantes des mesures.
Proposition I.4.3. Soit (Ω, A) un espace mesurable et (A i ) i∈I
, I ⊂ N, unefamille
finie ou dénombrable d’ensembles mesurables.
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