Probabilité (Philippe Barbé, Michel Ledoux) (

Exercices
Définition I.4.11. Soit (Ω, A,µ) un espace mesuré. On dit qu’un ensemble A
est négligeable s’il existe un ensemble B ∈Atel que A ⊂ B et µ(B) =0.
On dit qu’une fonction mesurable f sur (Ω, A,µ) vérifie une propriété P
µ-presque partout (µ-p.p.) si l’ensemble { ω : f(ω) ne vérifie pas P}est négligeable.
Exemples I.4.12. (i) Soit Ω={ 1, 2, 3 } muni de la tribu de ses parties et µ définie
par µ({ 1 }) =µ({ 2 }) =1et µ({ 3 }) =0.Soitf la fonction mesurable f(1) =
f(2) = 1 et f(3) = 0. Alorsf est constante et égale à 1 µ-p.p.
(ii) Soit R muni de la tribu borélienne et de la mesure de Lebesgue λ. Soitf
la fonction f(ω) =1si ω est rationnel, et f(ω) =0sinon (i.e. f = ½ Q ). Alors
f est égal à 0 λ-p.p. En effet, λ({ x }) =0pour tout x ∈ R et puisque Q est
dénombrable, λ(Q) =0. De même, la fonction signe, égale à 1 sur ]0, ∞ [, valant
0 à l’origine et −1 sur ] −∞, 0[,estcontinueλ-p.p. puisque son seul point de
discontinuité est 0 et λ({ 0 }) =0.
Exercice I.1. Soit E une partie (fixée) d’un ensemble Ω, etsoit
E = { A ∈P(Ω) : A ⊂ E } .
Déterminer l’algèbre de Boole engendrée par E.
Exercice I.2. Si A 1 et A 2 sont des tribus sur Ω, onpose
J = { A 1 ∩ A 2 : A 1 ∈A 1 ,A 2 ∈A 2 } ,
U = { A 1 ∪ A 2 : A 1 ∈A 1 ,A 2 ∈A 2 } .
Démontrer que σ(J )=σ(A 1 ∪ A 2 )=σ(U).
Exercices
Exercice I.3. Soit (Ω = Ω 1 × Ω 2 , A = A 1 ⊗ A 2 ) un espace mesuré
produit. Si A ∈A, montrer que pour tout ω 1 ∈ Ω 1 , la section
A ω1 = { ω 2 ∈ Ω 2 :(ω 1 ,ω 2 ) ∈ A } est mesurable (élément de A 2 ).
Indication :considérerM = { A ∈A : A ω1 ∈A 2 } et E la classe des unions
finies de pavés. Montrer que E ⊂ M,queM est une classe monotone, puis
⋂n≥m f n
−1(U
r) de la démonstra-
conclure à l’aide du théorème des classes monotones.
Exercice I.4. Vérifier l’égalité f −1 (U) = ⋃ r,m
tion du théorème I.2.5.
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