Probabilité (Philippe Barbé, Michel Ledoux) (

Chapitre II. Intégration
Théorème II.5.1 (de Fubini). Soit f une fonction réelle, définie sur Ω,
A-mesurable et µ-intégrable. Alors,
∫
(∫
)
f dµ = f(ω 1 ,ω 2 )dµ 2 (ω 2 ) dµ 1 (ω 1 )
Ω
∫Ω 1 Ω
(∫
2
)
= f(ω 1 ,ω 2 )dµ 1 (ω 1 ) dµ 2 (ω 2 ) .
∫Ω 2 Ω 1
Démonstration. D’après la remarque précédant le théorème, les égalités sont satisfaites
lorsque f est positive. On étend les égalités aux fonctions intégrables en
séparant parties positive et négative et en utilisant la linéarité de l’intégrale. □
Dans la pratique, pour vérifier qu’une fonction f est intégrable par rapport à
une mesure produit µ = µ 1 ⊗µ 2 ,onévalue ∫ |f| dµ par permutation des intégrales.
Si ∫ |f| dµ est finie, on est alors en droit d’utiliser le théorème de Fubini pour le
calcul de ∫ f dµ. Des exemples simples montrent en outre que la permutation de
l’ordre d’intégration peut être en défaut si f n’est pas intégrable pour la mesure
produit µ.
II.6. Espaces L p
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Nous avons défini la classe des fonctions intégrables (à valeurs dans R) sur un
espace mesuré (Ω, A,µ), qu’il est d’usage de noter L 1 (Ω, A,µ). Pour0 <p<∞,
on note L p (Ω, A,µ) (ou simplement L p si le contexte est clair) l’ensemble des fonctions
réelles de puissance p-ième intégrable, c’est-à-dire l’ensemble des fonctions
f mesurables de Ω dans R, telles que ∫ |f| p dµ<∞.
L 0 est défini simplement comme étant l’ensemble des fonctions mesurables de
(Ω, A,µ) dans R.
On définit L ∞ comme étant l’ensemble des fonctions mesurables f de (Ω, A,µ)
dans R telles qu’il existe c>0 avec
µ({ ω : |f(ω)| >c}) =0.
C’est l’ensemble des fonctions (mesurables) µ-essentiellement bornées.
Si f ∈L p , 0 <p<∞, onpose
(∫
1/p
‖f‖ p = |f| dµ) p .
Ω
Pour f ∈L ∞ ,onpose
{
‖f‖ ∞ =inf c>0:µ { ω : |f(ω)| >c } }
=0 ,
qui est appelé le supremum essentiel, ou la borne essentielle, de f.