Innen - BME Számítástudományi és Információelméleti Tanszék

kvadratikus alak extrémumát kerestük és levezettük, hogy ez az
Ax + b = 0 (2.26)
egyenlet megoldásánál van. Itt is, ha volt egy startégiám a (2.25) megoldására, akkor azt
oldottam meg.
Visszatérve, fogjuk látni, hogy a Ritz módszer segítségével az integrált lehet megoldani és így
kapható meg a differenciálegyenlet megoldása.
2.2. Példa: Brachistochron probléma (Bernoulli, 1698)
Feladat: Az A pontból a B pontba milyen görbe mentén lehet eljutni nulla kezdősebességgel a
legrövidebb idő alatt a nehézségi erőtér hatására? (5. ábra)
Megoldás: A fizikai törvényeket felhasználva,
ugyanis
azaz
v = ds
dt
5. ábra. Brachistochron probléma
⇒ t =
1
v
ds =
x
x0
1 + y ′2
dx, (2.27)
2g(y − y0)
ds = 1 + y ′2dx 1
2 mv2 = mgy − mgy0 ⇒ v = 2g(y − y0), (2.28)
f(x, y, y ′ ) = 1
1 + y
√
2g
′2
y − y0
. (2.29)
A (2.29) csak y-tól és y ′ -től függ és x-et nem tartalmazza explicite. Írjuk fel következő egyenleteket:
d ′ ∂f
y
dx ∂y ′
=
′′ ∂f d ∂f
y + y′ ,
∂y ′ dx ∂y ′
(2.30)
df
dx
=
∂f ∂f
+
∂x ∂y y′ + ∂f
∂y ′ y′′ . (2.31)
9