Innen - BME Számítástudományi és Információelméleti Tanszék

Az u-nak a változása (x, y, z)-től az (x, y, z) szerinti parciális deriváltakkal (u gradiensével) jellemezhető,
így egy vektor-vektor függvény változása egy ún. deriváltmátrix-szal vagy másnéven
deriválttenzorral írható le
dv
dr =
⎡
⎢
⎣
∂u
∂x
∂v
∂x
∂w
∂x
∂u
∂y
∂v
∂y
∂w
∂y
∂u
∂z
∂v
∂z
∂w
∂z
⎤
⎥ → deriváltmátrix, deriválttenzor. (6.7)
⎦
A (6.7) mátrix a fentiek szerint felírható egy szimmetrikus és egy ferdén szimmetrikus mátrix
összegeként
dv
dr =
⎡
∂u
⎤
1 ∂u ∂v 1 ∂u ∂w
⎢
+ + 2 ∂y ∂x 2 ∂z ∂x
⎢ ∂x
⎥
⎢
⎢ 1 ∂v ∂u ∂v
⎥
1 ∂v ∂w ⎥
⎢ + +
⎢ 2 ∂x ∂y
2 ∂z ∂y ⎥ +
∂y
⎥
⎢
⎣
⎥
1 ∂u ∂w 1 ∂u ∂w ∂w ⎦
+ + 2 ∂z ∂x 2 ∂z ∂y ∂z
⎡
⎢ 0 −
⎢
+ ⎢
⎣
1
∂v ∂u 1 ∂u ∂w
− − 2 ∂x ∂y 2 ∂z ∂x
1 ∂v ∂u
− 0 −
2 ∂x ∂y
1
∂w ∂v
− 2 ∂y ∂z
− 1
⎤
⎥ . (6.8)
⎥
⎥
∂u ∂w 1 ∂w ∂v
⎥
− − 0
⎦
2 ∂z ∂x 2 ∂y ∂z
A ferdén szimmetrikus mátrix invariáns vektorának az elemei
1
2
∂w
∂y
− ∂v
∂z
;
A deriváltmátrix szimbolikusan egy diád
⎡⎡
dv
dr =
1
2
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣⎣
Az invariáns összeg egy skalárszorzatként
∂u
∂z
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂y
⎤
− ∂w
∂x
∂u ∂v ∂w
+ +
∂x ∂y ∂z = ∂
∂x
és az invariáns vektor egy vektoriális szorzatként
⎡ ⎤
⎢
⎣
1
2
∂w
∂y
1 ∂u
2 ∂z
1
2
∂v
∂x
− ∂v
∂z
∂w − ∂x
− ∂u
∂y
⎥
⎦
;
1
2
⎤
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ [u v w ] ⎥
⎦ ⎦
= 1
2
25
∂
∂y
∂
∂z
T
i j k
∂ ∂ ∂
∂x ∂y ∂z
u v w
∂v ∂u
−
∂x ∂y
. (6.9)
. (6.10)
⎡ ⎤
u
⎣ v ⎦ (6.11)
w
(6.12)