Innen - BME Számítástudományi és Információelméleti Tanszék

More documents

Recommendations

Info

Ezekután a (2.13)-as egyenlet x2 x1 ∂f ∂y d ∂f − dx ∂y ′ ηdx = 0, (2.15) ahol η(x) tetszőleges, folytonosan differenciálható és η(x1) = η(x2) = 0. Az alaplemma értelmében ez csak úgy lehetséges, ha az integrandusz nullával egyenlő ∂f ∂y d ∂f − ≡ 0 . (2.16) dx ∂y ′ Keressük ennek a parciális differenciálegyenletnek azt a megoldását, amely kielégíti az y(x1) = y1 és y(x2) = y2 peremfeltételeket. A (2.16)-os egyenletet Euler-Lagrange féle differenciálegyenletnek hívják. A ∂f ∂y ′ függvénye x-nek, y-nak és y ′ -nek is. Vegyük az x szerinti totális differenciálhányadosát Behelyettesítve (2.17)-et a (2.16)-os egyenletbe d ∂f dx ∂y ′ = ∂2f ∂x∂y ′ + ∂2f ∂y∂y ′ y′ + ∂2f ∂y ′2 y′′ . (2.17) ∂f ∂y − ∂2f ∂x∂y ′ − ∂2f ∂y∂y ′ y′ − ∂2f ∂y ′2 y′′ = 0, y(x1) = y1, y(x2) = y2 . (2.18) A (2.18) egy nemlineáris, változó együtthatójú, másodrendű differenciálegyenlet, amelyet csak speciális esetekben lehet megoldani. Például nagyon könnyen megoldható a két ponton átmenő legkisebb ívhosszú függvény meghatározásakor. Példa (4. ábra) Egy tetszőleges görbe ívhossza az 4. ábra. Legrövidebb ívhosszú görbe két pont között I = x2 x1 1 + y ′2 dx (2.19) 7
képlettel számítható. Az I integrált szélső értékké tevő y = y(x) függvényt keressük. Az Euler-Lagrange egyenlet most nagyon egyszerűen felírható, minthogy: és a deriváltak ∂f ∂y = 0; ∂2f = ∂y ′2 ∂f = ∂y ′ f(x, y, y ′ ) = 1 + y ′2 (2.20) y ′ 1 + y ′2 ; 1 + y ′2 − y ′2 √ 1+y ′2 1 + y ′2 = ∂2f = 0; ∂x∂y ′ ∂2f = 0; ∂y∂y ′ 1 . (2.21) (1 + y ′2 ) 3 Így tehát az y = y(x) meghatározására az alábbi egyszerű differenciálegyenlet szolgál: y ′′ (1 + y ′2 ) 3 = 0 ⇒ y′′ = 0 ⇒ y(x) = mx + b, egyenes. (2.22) Az m és a b az y(x1) = y1, y(x2) = y2 peremfeltételekből számítható. Tekintsük a következő feladatot I = x1 x2 {p(x)y ′2 + q(x)y 2 + 2r(x)y}dx → extrémum, y(x1) = y1, y(x2) = y2 f(x, y, y ′ ) = p(x)y ′2 + q(x)y 2 + 2r(x)y. (2.23) Nézzük meg, milyen az Euler-Lagrange egyenlet ebben az esetben: ∂f ∂y = 2q(x)y + 2r(x); ∂f ∂y ′ = 2p(x)y′ ; ⇓ d ∂f dx ∂y ′ = (2p(x)y′ ) ′ (p(x)y ′ ) ′ − q(x)y − r(x) = 0 . (2.24) A kapott másodrendű, inhomogén, lineáris differenciálegyenlet egy ún. önadjungált differenciálegyenlet 1 . Ennek az differenciálegyenletnek a peremfeltételeket kielégítő megoldása (nem nehéz megoldani) teszi az integrált extrémummá. Ha sok ilyen típusú feladatot megoldunk, akkor már sok variációszámítási feladatnak megfelelő differenciálegyenletet ismerünk. Megfordítva a feladatot, tekintek sok differenciálegyenletet, amelynek ismerem a megoldását, akkor felismerhetem, hogy melyik differenciálegyenlet milyen variációszámítási feladatnak felel meg. A lényeg a következő: ha nem tudjuk megoldani a variációszámítási feladatot, de ismerjük a differenciálegyenlet megoldását, akkor azt oldjuk meg. Ha a differenciálegyenletet nem tudjuk megoldani, de ismerjük a hozzátartozó variációszámítási feladatot, és van esélyünk ennek a megoldására, akkor ezt oldjuk meg. Hasonló elgondolás figyelhető meg a lineáris algebrában a kvadratikus alakoknál, ugyanis a 1 A definícót később adjuk meg. Q(x) = 1 2 xT Ax + x T b → extrémum (minimum) (2.25) 8
Page 1 and 2: Budapesti Műszaki és Gazdaságtud
Page 3 and 4: 1. Lineáris algebrai megközelít
Page 5 and 6: számítjuk (2. ábra). A sajátér
Page 7: Ellentmodásra jutottunk, mert a (2
Page 11 and 12: Az első egyenletnél a szorzat der
Page 13 and 14: (L[x] ≡ Ax − b = 0). Most a (3.
Page 15 and 16: 7. ábra. A ϕk függvények Most p
Page 17 and 18: 1. táblázat. Közelítések össz
Page 19 and 20: Nézzük most csak az első egyenle
Page 21 and 22: és írjuk elő x2 x1 y 2 dx = 1 (4
Page 23 and 24: szer az a1, a2, . . . , an ismeretl
Page 25 and 26: 6. A Ritz módszer többváltozós
Page 27 and 28: írható fel. Vezessük be a nabla
Page 29 and 30: Tehát v(r)dF = (div v)dV . (6.22
Page 31 and 32: és felhasználva, hogy η| F = 0 I
Page 33 and 34: mivel ϕ| g = 0. Végül a ϕ vekto
Page 35: Hivatkozások T y a 2 a x ak x bk

Innen - BME Számítástudományi és Információelméleti Tanszék

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?