Innen - BME Számítástudományi és Információelméleti Tanszék

Ebből λ1 = 6. Megjegyezzük, hogy a pontos megoldás λ1 = 5, 76. A Ritz módszer már egyetlen
függvénnyel nagyon jól közelít.
Ha n = 2 , akkor u2 = a1(1 − x 2 − y 2 ) + a2(1 − x 2 − y 2 )(x 2 + y 2 ). A szimmetria miatt elég csak
a második integrált kiszámítani
T
L[u2]ϕ2(x, y)dxdy = 0. (6.63)
Ez egy homogén lineáris egyenletrendszert ad a1, a2-re. Ebből λ1 = 5.79 adódik.
6.4.1. Bázisfüggvények meghatározása
A ϕk(x, y) lineárisan független függvényeket, amelyek kielégítik a peremfeltételeket esetén a
következőképpen lehet megválasztani. Induljunk ki először egy ϕ1(x, y) = ω(x, y) függvényből,
ahol ω(x, y) a peremen nulla. Ezekután 9
ϕ2 = ωx; ϕ3 = ωy;
polinom alakú bázisfüggvényeket lehet használni.
ϕ4 = ωx 2 ; ϕ5 = ωxy; ϕ6 = ωy 2 ; . . . (6.64)
Példák Az ω(x, y) > 0 meghatározása (16. ábra), (17. ábra)
T
y
a
x
16. ábra. a. Körtartomány b. Téglalap tartomány
• körtartomány esetén: ω(x, y) = a 2 − x 2 − y 2
• téglalap tartomány esetén: ω(x, y) = (x 2 − a 2 )(y 2 − b 2 )
• lyukas körlap esetén: ω(x, y) = (a 2 − x 2 − y 2 )(x 2 + y 2 − ax), mert a lyuk egyenlete
x − a
2 2
+ y 2 =
a
y
b
b
a
2 ⇒ x
2
2 + y 2 − ax = 0
• egyenesekkel határolt tartomány esetén: ω(x, y) = n
(akx + bky + ck), ahol az
(akx + bky + ck) = 0 a határoló egyenesek egyenlete. 10
9Az előző fejezetben a szimmetria miatt (körtartomány) választottunk csak páros hatványokat tartalmazó
függvényt az ω(x, y) szorzására.
10Meg kell még vizsgálni, hogy mikor lesz ω(x, y) > 0.
33
T
a
k=1
x