Innen - BME Számítástudományi és Információelméleti Tanszék

2 t
Alkalmazzuk az (y − y0) 2a sin 2 helyettesítést
dy = 2a sin t
2
2 t 2a sin 2
cos t
2 dt
t
cos dt =
2
2a cos2 t 2a sin
2
t
2
2 t
2a sin dt =
2
= a (1 − cos t)dt = a(t − sin t) = x − x0. (2.41)
Tehát a keresett görbe az alábbi két egyenlettel írható le
a(t − sin t) = x − x0
a(1 − cos t) = y − y0, mert (y − y0) 2a sin
2 t
2
. (2.42)
A (2.42)-es egyenletek egy cikloisnak az egyenletei. Például cikloist ír le egy gördülő kerék egy
adott pontja (6. ábra).
3. A Ritz módszer
Idézzük fel egy korábbi feladatunkat
I =
x2
x1
6. ábra. Gördülő kerék egy pontja cikloist ír le
p(x)y ′2 + q(x)y 2 + 2r(x)y dx → extrémum, y(x1) ! = 0, y(x2) ! = 0. (3.1)
f
A deriváltak az Euler-Lagrange egyenlethez
∂f
∂y
= 2q(x)y + 2r(x);
Bevezetve az L lineáris differenciáloperátort
∂f
∂y ′ = 2p(x)y′ ;
⇓
d ∂f
dx
∂y ′ = (2p(x)y′ ) ′
(p(x)y ′ ) ′ − q(x)y − r(x) = 0 . (3.2)
L[y] ≡ (p(x)y ′ ) ′ − q(x)y − r(x) = 0 → másodrendű, inhomogén, lineáris d. e. (3.3)
Az 1-es fejezetben egy analóg problémával foglalkoztunk, ugyanis Q(x) = 1
2 xT Ax − x T b
kvadratikus alaknak kerestük a minimumát. Ez a feladat egy lineáris algebrai egyenletrendszer
megoldására vezetett. Az x vektorhoz hozzárendeltünk egy lineáris algebrai operátort
11