Innen - BME Számítástudományi és Információelméleti Tanszék

Behelyettesítve a (6.45) egyenletbe és minusz 1-gyel szorozva
L[u] ≡ ∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y2 +[λµ − g(x, y)]u − h(x, y) =
△u
= △u + [λµ − g(x, y)]u − h(x, y) = 0 . (6.50)
Ha nem lenne izoperimetrikus a feladat, akkor λ = 0 és kapunk egy inhomogén lineáris Poisson
egyenletet. Találtunk egy olyan variációszámítási feladatot, amelynek az Euler-Lagrange egyenlete
egy Poisson (vagy Laplace) egyenlet. Tehát például rezgési feladatokat kezelhetünk így.
Ha izoperimetrikus a feladat, akkor általában h(x, y) = 0 és ezt nevezzük az adott feladathoz
tartozó sajátértékfeladatnak. Ebben az esetben keressük a △u + [λµ − g(x, y)]u = 0 differenciálegyenlet
esetén azokat a λ1, λ2 . . . , λn, . . . számokat (sajátértékeket), amelyek mellett
létezik az egyenletnek az u| perem = 0 feltételt kielégítő nemtriviális megoldása (sajátfüggvénye).
6.4. A Ritz módszer kétváltozós esetben
Az adott L[u] = 0 (6.50) differenciálegyenlet közelítő megoldása Ritz módszer segítségével.
Legyenek ϕ1(x, y), ϕ2(x, y), . . . , ϕn(x, y) lineárisan független és a peremen (zárt görbe)
ϕk(x, y)| perem = 0 feltételeket kielégítő függvények. A közelítő függvényt ebben az altérben
ezek lineáris kombinációjaként keressük: un = a T ϕ = ϕ T a. A parciális deriváltak: u ′ nx =
a T ϕ ′ x = (ϕ ′ x) T a és u ′ ny = aT ϕ ′ y = (ϕ ′ y) T a. Helyettesítsük be ezeket a (6.46)-os integrálba
T
a T ϕ ′ x (ϕ ′ x )T a + a T ϕ ′ y (ϕ′ y )T a + ga T ϕϕ T a + 2ha T ϕ dxdy → extrémum, (6.51)
és
T
µ(a T ϕϕ T a)dxdy = A (6.52)
adott, mint mellékfeltétel. A Lagrange multiplikátor szabály segítségével számítható a gradiens
{2ϕ ′ x(ϕ ′ x) T a +2ϕ ′ y (ϕ ′ y) T a +2[g − λµ]ϕ ϕ T a +2hϕ}dxdy
! = 0. (6.53)
T
∂un
∂x
∂un
∂y
Kettővel osztva és felismerve a két gradiensvektor skalárszorzatát
{grad ϕ grad un + [(g − λµ)un + h]ϕ}dxdy ! = 0. (6.54)
Az (6.27)-es összefüggés szerint
T
grad ϕ grad un = div (ϕ grad un) − ϕ div ( grad un) , (6.55)
illetve a Gauss-Osztrogradszkij tétel értelmében
div (ϕ grad un)dxdy = (ϕ grad un)ds = 0, (6.56)
T
31
g
un
△un