Innen - BME Számítástudományi és Információelméleti Tanszék

A minimumot az a vektor által meghatározott r dimenziós altérben keressük
grad
a
Q(x(a)) = Φ T AΦa − Φ T b = 0. (1.6)
Mivel az A matrix pozitív definit és a Φ mátrix oszlopai lineárisan függetlenek, ezért a Φ T AΦ
mátrix nemszinguláris, létezik az inverze és így
A megoldás explicit alakban
a = (Φ T AΦ) −1 Φ T b. (1.7)
x = Φ(Φ T AΦ) −1 Φ T b . (1.8)
Helyettesítsük be az (1.6) egyenletbe az x = Φa kifejezést és emeljük ki a Φ T mátrixot
Φ T (Ax − b) = 0. (1.9)
h hibavektor
Ha x pontos volna akkor a hibavektor (maradékvektor) zérus lenne. Az optimális megoldáshoz
tartozó hibavektor az adott bázist képező ϕi vektorok mindegyikére ortogonális
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢
⎣
ϕ T
1
ϕ T
2
.
ϕ T
1
⎥ ⎢
⎥ ⎢ h
⎦ ⎣
Vizsgáljunk meg egy analóg feladatot, a mátrixok sajátértékfeladatát.
1.2. Mátrixok sajátérték-feladata
⎥
⎦ = 0. (1.10)
Ismeretes, hogy egy A mátrix sajátértékeit és a hozzá tartozó sajátvektorokat az alábbi homogén
lineáris egyenletrendszer határozza meg:
(λE − A)x = 0 ⇒ grad Q(x) = A ′ x − b ′ , ahol
Írjuk fel (1.11)-et a ϕi vektorok által generált altérben
A ′ jel
= λE − A és b ′ jel
= 0. (1.11)
Φ T (λE − A)Φa = 0 és x = Φa
(λΦ T Φ − Φ T AΦ)a = 0. (1.12)
Ez egy r-ed rendű általánosított sajátérték-feladat a ([Φ T AΦ], [Φ T Φ]) mátrixpárra vo-
T Ö
A
T
Ö Ö Ö
2. ábra.
Általánosított sajátérték-feladat determinánsa
natkozólag. A λ sajátértékeket az együtthatómátrix determinánsának nullává tételéből
3
0