Innen - BME Számítástudományi és Információelméleti Tanszék

A ϕ(x1) = ϕ(x2) = 0 peremfeltételek miatt
így
x1
x2
Fontos megjegyezni, hogy
[p(x)y ′ nϕ(x)]x2 = 0, (3.13)
x1
{(p(x)y ′ n )′ ϕ(x) − q(x)ynϕ(x) − r(x)ϕ(x)}dx ! = 0
x1
x2
{(p(x)y ′ n) ′ − q(x)yn − r(x)}ϕ(x)dx ! = 0. (3.14)
L[yn] = (p(x)y ′ n )′ − q(x)yn − r(x) = 0, (3.15)
mert yn csak közelítő megoldás, viszont a (3.14) integrálnak ϕ(x) bármelyik komponensére
nullának kell lennie.
x2
L[yn]ϕk(x)dx = 0 k = 1, . . . , n (3.16)
x1
A (3.16)-os integrál n darab egyenletet határoz meg az n darab ismeretlenre, amelyek a vektornak
a komponensei. (Az a vektor az yn-ekben van elrejtve lineáris összefüggés szerint). Tehát
a1, a2 . . . , an-re n ismeretlenes inhomogén, lineáris algebrai egyenletrendszert kaptunk.
Ez a Ritz módszer, amelynek a segítségével a differenciálegyenletünk megoldását, legalábbis
az n dimenziós altérben, lineáris algebrai egyenletrendszerre vezettük vissza. Ismételten egy
nagyon szemléletes analógiát fedezhetünk fel az 1-es fejezetben leírtakkal. Ekkor a Ritz módszer
segítségével Q(x) = 1
2 xT Ax − x T b kifejezést minimalizáltuk. Az Ax − b = 0 algebrai egyenlet
egzakt x vektor megoldása helyett megelégedtünk a közelítő x megoldással, amely nem
elégítette ki az egyenleterendszert és hibát adott. A Ritz módszer segítségével meghatározott
legjobb közelítő megoldás az altérben olyan volt, hogy a h hibavektornak ortogonálisnak kellett
lennie a ϕk vektorokból alkotott mátrixra, azaz
φ T h = 0. (3.17)
Az skalárszorzat fogalmának a függvények terében a szorzatintegrál felel meg, tehát a (3.16)
pontosan ugyanazt mondja, mint amit a (3.17). Tehát a differenciálegyenletünk legjobb közelítő
megoldása ebben az altérben az, amelynek a hibája ortogonális a Ritz módszer bázisaira (ϕk(x)ra).
Jól látszik, hogy a differenciáloperátorok területe mennyire hasonló a lineáris operátorok
területéhez.
3.1. Példa a Ritz módszer alkalmazására
Legyen a megoldandó differenciálegyenlet
y ′′ + y + x = 0; Peremfeltételek: y(0) = y(1) = 0. (3.18)
Ennek az egyszerű egyenletnek az egzakt megoldása
y = sinx
− x. (3.19)
sin1
13