Innen - BME Számítástudományi és Információelméleti Tanszék

A (6.17) definiálja a forgatásra jellemző vektornak a felületre normális irányú komponensét
12. ábra. A felület P pontbeli érintő síkjának normálvektora n
(12. ábra) . A rotáció vektor Descartes komponenseit úgy kapjuk, hogy az (x, y), (x, z) és a
(y, z) koordinátasíkokkal párhuzamos síkdarabokra számítjuk a rotáció vektor komponenseit
egy P pontban.
A 11. b. ábrán egy felülettel határolt folyadéktér látható. A térrészből folyadék lép ki. A
kilépő folyadékot egy vektorral jellemzzük, amelyet felbontunk egy a felület érintősíkjába eső
és egy arra merőleges komponensre. A kilépő folyadék mennyiségének a mértékét a merőleges
komponensek, vagyis a
v(r)dF, (6.18)
zárt felületre vonatkozó felületmenti integrál határozza meg, ahol dF egy irányított felületelem.
Adott pontban a forrás mértéke a felület által bezárt ∆V térfogatú tartományra vonatkozó
átlagos forrásmennyiség határértéke, ha a tartomány rázsugorodik a pontra; ezt nevezzük a
vektortér divergenciájának.
v(r)dF
lim
div v(r). (6.19)
∆V →0 ∆V
Bizonyos felületi integrálok átalakíthatók a felület által bezárt térrészre vonatkozó hármas
integrálokká. Ezt fejezi ki a Gauss-Osztrogradszkij tétel.
1. Tétel. (Gauss-Osztrogradszkij) Tekintsük az alábbi közelítést egy felületelemre vonatkozóan
(13. ábra)
13. ábra. Gauss-Osztrogradszkij tétel
Fk
v(r)dF ∼ = (div v)∆V (6.20)
Ha a V térfogatot sok részre felosztjuk és vesszük (6.20)-ak összegét, akkor az érintkező felületelemek
ellentétes előjelüek, így kiejtik egymást
n
n
(div v)∆V. (6.21)
lim
∆V →0
n→∞
k=1 Fk
v(r)dF = lim
∆V →0
n→∞
27
k=1