Innen - BME Számítástudományi és Információelméleti Tanszék
Innen - BME Számítástudományi és Információelméleti Tanszék
Innen - BME Számítástudományi és Információelméleti Tanszék
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Bármely másodrendű, lineáris differenciálegyenlet egy egyszerű szorzással önadjungálttá tehető.<br />
Legyen például az adott differenciálegyenlet<br />
Szorozzuk meg a (4.7) egyenletet r(x) = e<br />
r ′ (x) = p(x)r(x); r(x)y ′′ + p(x)r(x)<br />
y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = 0. (4.7)<br />
y<br />
<br />
′<br />
r ′ <br />
(x)<br />
<br />
(r(x)y<br />
<br />
′ ) ′<br />
x<br />
−∞<br />
p(ξ)dξ<br />
-vel<br />
+q(x)r(x)y = 0 ⇒ (r(x)y ′ ) ′ + q(x)r(x)y = 0 . (4.8)<br />
Az önadjungált differenciáloperátor analógiája a lineáris algebrában a szimmetrikus mátrix.<br />
Mivel a szimmetrikus mátrixnak mindig van spektrálfelbontása, így egy önadjungált differenciáloperátornak<br />
is beszélhetünk a spektrálfelbontásáról. Ahogy egy szimmetrikus mátrixnak<br />
valós sajátértékei vannak, egy önadjungált differenciáloperátornak is mindig valós sajátértékei<br />
vannak. A szimmetrikus mátrix sajátvektorai ortogonális rendszert alkotnak, az önadjungált<br />
differenciáloperátorhoz tartozó ún. sajátfüggvények is ortogonális függvényrendszert (szorzatintegrál<br />
zérus) alkotnak 4 .<br />
4.2. Differenciáloperátor sajátértékei <strong>és</strong> sajátfüggvényei<br />
A sajátérték <strong>és</strong> sajátfüggvény fogalmát egy példán keresztül szemléltejük.<br />
Példa A rezgő húr differenciálegyenlete (hiperbolikus típusú)<br />
k 2 ∂2 u<br />
∂x2 = ∂2u . (4.9)<br />
∂t2 Ez a differenciálegyenlet leírja egy a két végén befogott rezgő húrnak a rezg<strong>és</strong>eit. Lehetnének<br />
kezdeti feltételek: pozíció, sebesség is adottak. Keressük a megoldást szorzat alakban, azaz egy<br />
csak az x-től <strong>és</strong> egy csak a t-től függő függvény szorzataként<br />
Behelyettesítve<br />
u(x, t) = X(x)T (t) ⇒ uxx = X ′′ (x)T (t); utt = X(x)T ′′ (t). (4.10)<br />
k 2 X ′′ (x)T (t) = X(x)T ′′ (t) ⇒ X′′ (x)<br />
X(x)<br />
1<br />
=<br />
k2 T ′′ (t)<br />
T (t)<br />
(4.11)<br />
Mivel a (4.11) jobb oldali egyenletének a bal oldalán olyan kifejez<strong>és</strong> áll, ami csak x-nek a<br />
függvénye a jobb oldalán pedig olyan, ami csak t-nek a függvénye. A két oldal csak úgy lehet<br />
azonos, ha mindkettő konstans (−λ)<br />
A feladat két egyenletre esik szét<br />
X ′′ (x)<br />
X(x)<br />
1<br />
=<br />
k2 T ′′ (t)<br />
T (t)<br />
!<br />
= −λ. (4.12)<br />
X ′′ (x) + λX(x) = 0; T ′′ (t) + λk 2 T (t) = 0. (4.13)<br />
4 A funkcionálanalízis nyelvén nem kell különbséget tenni a két terület között.<br />
17
Change language