117 KITŰZÖTT FELADATOK A X. OSZTÁLY SZÁMÁRA Vissza ...

126 Kitűzött feladatok a X. osztály számára
89. Határozd meg az ( an ) n∈N
szigorúan pozitív számsorozatot, amely teljesíti az
2 2 2
n−1
2
an − an−1
+ an−
2 − + ( −1)
a1
= an
+ an−1
... + ... + a
1
egyenlőséget, minden
*
n∈ N -ra!
90.
(Megyei olimpia, Giurgiu, 1997., Laurenţiu Panaitopol)
Határozd meg az összes olyan f : ( 0,
∞)
→ R függvényt, amelyre:
xy ln( xy)
≤ yf ( x)
+ xf ( y)
≤ f ( xy),
∀ x,
y > 0 !
(G.M. 2/1998., Marian Ursărescu)
91. Határozd meg az ( xn ) n≥1
sorozat általános tagját, ha x1
= 1 és
2
xn + 1 = xn
+ xn
+ 1,
∀ n ≥1!
(G.M. 10-11/1997., Marian Ursărescu)
92. Határozd meg az ( a n ) n≥1
sorozat általános tagját, ha a0
∈[
− 2,
2]
és
93.
94.
an 1 = 2 + an
,
+
∀ n∈
N !
Határozd meg az ( )
(G.M. 10-11/1997., Marian Tetiva)
*
f : N → 0,
∞ függvényt, ha f ( 2)
= 2 és
3 3
3 1 2 2
f ( 1)
+ f ( 2)
+ ... + f ( n)
= f ( n)
f ( n + 1),
4
∗
∀ n∈
N !
(G.M. 4/1998., Aurel Doboşan)
Az f: R→R injektiv függvény teljesíti az
x
f ( 2
2 f ( x)
− x ) = 2
2
− f ( x)
egyenlőséget, ∀ x∈ R esetén. Bizonyítsd be, hogy létezik olyan x ∈ R , hogy
f ( f ( f ( x0
))) = x0
!
95.
(G.M. 5-6/1998., Romeo Ilie)
Határozd meg az összes olyan f: R→R függvényt, amelyre
1998
f ( xy)
≤ x f ( y),
∀ x,
y ∈ R !
(G.M. 5-6/1998., Marian Bancoş)
96. Van-e olyan egész együtthatós P polinom, amelynek nincs egész gyöke, de
tetszőleges pozitív egész n-re van olyan x ∈ N , hogy P( x)
n
?
(Kömal, 6/1995.)
97. Keresd meg az összes olyan P polinomot, amelyre
P( x + 1)
= P(
x)
+ 2x
+ 1,
∀ x∈
R .
98.
(Kömal, 6/1995.)
Adott egy n változós polinom. Tudjuk, hogy ha mindegyik változója helyébe
vagy 1-et vagy (-1)-et helyettesítünk, értéke pozitív lesz, amennyiben a (-1)-ek
száma páros, és negatív, ha a (-1)-ek száma páratlan. Igazoljuk, hogy a polinom
legalább n-ed fokú. (van olyan tagja, amelyikben a változók kitevőinek összege
legalább n).
(Kürschák József verseny, 1995.)
99. Az ( xn
) n≥1
sorozatot a következőképpen definiáljuk: x1
= 2 ,
nxn = 2( 2n
−1)
x n−1
( n =
2,
3,...
). Bizonyítsd be, hogy a sorozat csupa egész
számból áll!
0