117 KITŰZÖTT FELADATOK A X. OSZTÁLY SZÁMÁRA Vissza ...

122 Kitűzött feladatok a X. osztály számára
(D.M. Bătineţu)
48. Határozd meg az összes f: R→R monoton függvényt, amelyre
x
f ( 2 ) = 1 − f ( x),
∀ x∈
R !
(Jenică Crânganu)
49.
P ∈ C x polinomot, amelyre
Határozd meg az összes [ ]
n
P(
z)
≤ 1 + z , ∀ z ∈C
!
50.
(Jenică Crânganu)
Határozd meg az ( xn ) n∈N
sorozat általános tagját, ha x 1 = 1 és
1 +
1
x1 1 + x1
( 1 + x1)(
1 + x2
)...( 1 + xn
)
+ + ... +
= ( n + 2)!
,
x1x
2
x1x
2...
xn
xn+
1
∀ n∈
N !
51. Bizonyítsd be, hogy nem létezik olyan szigorúan pozitív egész számokból álló
2
( an ) * sorozat, amelyre a n∈N
n−1
≤ ( an+
1 − an
) ≤ an
, ∀ n ≥ 2 !
(Válogatóverseny, 1985., L. Panaitopol)
52. Igaz-e az alábbi állítás?
*
∃ f ∈ Z[]
x és ∃k,
l ∈ Z úgy, hogy f ( k + l)
= 2k
+ l valamint f ( l − k)
= k + l .
(C. Ursu)
P ∈ Z x polinomot, amely
53. Határozd meg az összes olyan n-ed fokú [ ]
n
n−1
P ( x)
= ( n + 1)
x − 5nx
+ ... + a
n
alakú és az x , x2,...,
x gyökeire ∈ k,
k + 1 ,
n
x k
1 [ ]
∀ k = 1,
n !
54. Bizonyítsd be, hogy minden f: R→R,
(C. Ursu)
f x = x + ax + b alakú függvényre
3
( )
[ )
létezik c ∈ − 2,
1 úgy, hogy f ( c)
≥ 1!
55.
(Traian Lalescu emlékverseny, 1986., Dorel Miheţ)
Adjál példát olyan f: N * →N * függvényre, amely teljesíti az f ( 2)
= 2 és
f ( n + 1)
= 1+
f ( 1)
+ 2 f ( 2)
+ ... + nf ( n)
egyenlőségeket, ∀ n∈ N -re!
(Traian Lalescu emlékverseny, 1994.)
56. Az f: N * 2 + f ( n)
→R függvény teljesíti az f ( 1)
= 2 és f ( n + 1)
= ,
1 − 2 f ( n)
*
∀ n∈
N
összefüggéseket. Bizonyítsd be, hogy f (n)
≠ 0,
∀ n∈ N és, hogy f injektiv!
57.
(Megyei olimpia, Suceava, 1994.)
P∈ R x polinomot, amelyre
Határozd meg az összes nem konstans [ ]
P x ) = P(
x)
P(
x −1),
∀ x∈
C .
(Országos versenytábor, 1995.)
58. Az ( xn ) * sorozatra x = x = a
n∈N
1 1 , 2 és
( 2
2
xn = ( 2n
+ 1)
xn−1
− ( n −1)
xn−
2 , ∀ n ≥ 3 ( a ∈ N rögzített).
Az a milyen értékére teljesül az x | x feltétel bármely i ≤ j -re?
i j
*
(Válogatóverseny 1995.)