117 KITŰZÖTT FELADATOK A X. OSZTÁLY SZÁMÁRA Vissza ...

130 Kitűzött feladatok a X. osztály számára
132. Határozd meg azokat a P és Q egész együtthatós polinomokat, amelyek
főegyütthatói egyenlők 1-el és P ( Q(
x))
= ( x −1)(
x − 2)...(
x −15)
valamint
Q(
0)
= 0 !
(Válogatóverseny, 1989., Marius Dadârlat és Gheorghe Eckstein)
f ( x)
133. Az f , g ∈ R[]
x polinomokra értéke végtelen sok x ∈Q -ra racionális.
g(
x)
Bizonyítsd be, hogy
hányadosaként!
f ( x)
felírható két racionális együtthatójú polinom
g(
x)
(Iráni versenyfeladat 1994.)
134. Az ( un
) n≥0
sorozatot a következőképpen értelmezzük:
5
u0 = 2, u1
=
2
2
és un
+ 1 = un
( un−1
− 2)
− u1,
∀ n ≥1
.
2 −(
−1)
Bizonyítsd be, hogy [ u ] = 2 3 , ahol [ ]
n
n
n
x az x valós szám egész részét jelöli!
(M.L. 5/1977.)
135. Határozd meg mindazon negyedfokú, valós és zérótól különböző együtthatójú
polinomokat, melyekre ( ) ( ) ( ) !
136.
2
P x = P x P −x
(M.L. 12/1978., Tache Negreanu)
Bizonyítsd be, hogy ha bd + cd páratlan, akkor a
3 2
( x)
= x + bx + cx + d Z[
x]
polinom irreducibilis [ x]
P ∈
137. Bizonyítsd be, hogy a [ ]
138.
( 1 2
n
Z -ben!
(Kínai versenyfeladat)
P( x)
∈C
x legalább m-ed fokú polinom
x − a )( x − a )...( x − a ) -el való osztási maradéka pontosan akkor 0-ad fokú, ha
az ( x − ai
) polinomokkal való osztási maradékai mind egyenlők!
( ≠ a ha i ≠ j )
ai j
Igazold, hogy a P(
x)
= x + x −1
és Q ( x)
= x
n
*
(G.M. 9/1973., Gh. Albu)
n+
1 n 2
+ 2x
− x + x − x −1
polinomok relatív prímek! ( ∀ n∈ N -ra)
(M.L. 11/1978., Ion Ursu)
(Válogatóverseny, 1972., N. Manolache)
139. Bizonyítsd be, hogy ha a P ∈ Z[
x]
polinom behelyettesítési értéke páratlan
egy páros és egy páratlan számra, akkor nincs egész gyöke!
(G.M. 10/1972.)
140. Egy páros fokszámú, páratlan egész együtthatójú polinomiális egyenletnek
lehet-e racionális gyöke?
(M.L. 6/1977., Ştefan Alexe)
141. a) Bizonyítsd be, hogy ha m egy páratlan természetes szám, akkor létezik
2
olyan (x)
polinom, amelyre sin mx =
Pm
(sin x)
sin x .
P m
2n