117 KITŰZÖTT FELADATOK A X. OSZTÁLY SZÁMÁRA Vissza ...

124 Kitűzött feladatok a X. osztály számára
P ∈ R x polinomot, amelyre
68. Határozd meg azt a [ ]
2
2
P( x + x + 1)
= P ( x)
+ P(
x)
+ 1,
∀ x∈
R és P ( 0)
= 0 .
(Mircea Lascu)
69. Adjál példát olyan szigorúan növekvő f: N * →N * függvényre, hogy f ( 1)
= 2 és
f ( f ( n))
≤ n + 2 , ∀n
≥ 2 .
70.
(Megyei olimpia, Arad, 1994., Sorin Dumitrică)
Határozd meg az összes olyan f: R→R függvényt, amelyre
x+
y
f ( x + y)
≥ f ( x)
f ( y)
≥ 2 , ∀ x,
y ∈ R !
71. Bizonyítsd be, hogy minden polinomfüggvény felírható két szigorúan
növekvő polinomfüggvény különbségeként!
72. Létezik-e olyan
n n−1
n
P ( x)
= x + a1x
+ ... + an
−1x
+ ( −1)
alakú polinom,
amelynek gyökei egyenlő modulusúak és P ( − 1)
∈C
\ R ?
73. Melyek azok az f: R→R függvények, amelyekre teljesül az alábbi két feltétel
valamelyike:
a) f ( x + y)
= f ( y)
+ x,
∀ x∈
R ;
b) f ( x + y)
= f ( y)
⋅ 2 , ∀ x∈
R .
74. A P ∈Q[x
] n-ed fokú polinom teljesíti a
( k = 0,
n ) Számítsd ki P(
n + 1)
-et!
x
k
P ( k)
= egyenlőségeket.
k + 1
75. Az ( xn ) n∈N
sorozatra teljesülnek az x 1 = 3 , 2 = 7 x n+
egyenlőségek, ∀ n∈ N \ 1 . Bizonyítsd be, hogy a sorozat periodikus!
{}
x , 1 = xn
− xn−1
76. Létezik-e olyan f: R→R injektiv függvény, amelyre
x 2x
4x
f ( a ) + f ( a ) + f ( a ) = b , ahol a, b∈
R és a > 1?
77. Határozd meg azokat az f: N * →N injektiv függvényeket, amelyekre
m f ( m)
f ( C ) = C ,
*
∀ m,
n∈
N , n ≥ m !
n
f ( n)
(RMT 1/1997., Alexandru Blaga)
78. Az f polinom legalább elsőfokú és együtthatói egész számok. Bizonyítsd be,
hogy az M = { p ∈ N | p - prím és ∃n
∈ N úgy, hogy p | f ( n)
} halmaz végtelen!
(Országos versenytábor, 1996.)
79. Határozd meg az összes f : R → [ 0,
∞)
függvényt, amelyre teljesülnek az
alábbi feltételek:
x
1) f ( x)
≤ 2 , ∀ x∈
R ;
2) f ( x + y)
≤ f ( x)
f ( y),
∀ x,
y ∈ R .
(RMT 1/1997., Florin Rotaru)