117 KITŰZÖTT FELADATOK A X. OSZTÁLY SZÁMÁRA Vissza ...

120 Kitűzött feladatok a X. osztály számára
(Országos olimpia, 1992., Gh. Eckstein)
*
28. Határozd meg azokat az f : N → [ 1,
∞)
függvényeket, amelyekre
a) f ( 2 ) = 4 ;
b) ( n + 1) f ( n)
≤ nf ( n + 1),
∀ n∈
N ;
*
c) f ( nm) = f ( n)
f ( m),
∀ n,
m∈
N .
(Országos olimpia, 1991., M. Chiriţă, M. Piticari)
29. Az ( an ) n∈N
sorozat teljesíti az a a an
n ≥ + + 1 + 2 ... egyenlőtlenséget minden
n ≥1
-re. Bizonyítsd be, hogy
2 2
2 1 ⎛ 1 1 ⎞
a1 + a2
+ ... + an
≥ ⎜1
+ + ... + ⎟,
4 ⎝ 2 n ⎠
∀ n ≥1
esetén!
30. Az ( a ) ∈
(Amerikai versenyfeladat, 1995.)
természetes számsorozat szigorúan növekvő és teljesíti az
a3 = a
n
n
+
n
n
a2n N
*
*
egyenlőséget, ∀ n∈ N -re. Ha a 1,
a 2 és a 4 ,
bizonyítsd be, hogy = n,
∀ n∈
N !
a n
*
31. Az an ) n∈N
sorozat teljesíti az a n+
1 ∈ 2an −1,
3an
− 2an−1
feltételt és a 1 = 2
valamint a 2 = 3.
Bizonyítsd be, hogy 1600 és 2000 között nincs egy tagja sem a
sorozatnak!
32.
(Holland versenyfeladat, 1994.)
Határozd meg az összes olyan f ∈ Z[
x]
polinomot, amelynek főegyütthatója 1
és mind az n gyöke a (0,2) intervallumban van ( n ≥1 rögzített és grad f = n )!
(D. Miheţ és M. Moroşanu)
33. Határozd meg az összes f: N→Z függvényt, amelyre
*
xf ( x − 1)
+ ( x −1)
f ( x)
= 0,
∀ x ∈ N !
(Helyi olimpia, 1989., Gh. Ionescu)
34. Adottak az A és B halmazok úgy, hogy A = n és B = m , valamint m ≤ n .
1 =
( { }
Bizonyítsd be, hogy egy f: A→B szürjektiv függvényre legtöbb ( n − m + 1)
olyan g: A→B függvény létezik, amelyre
f g = f !
35. Az ( an ) n∈N
sorozatot az a 1 = 1 és an+
1 = 2an
+ 3an
− 2
értelmezzük. Bizonyítsd be, hogy ∈ N,
∀ n∈
N -re!
a n
2 =
4 =
n−m
+ 1
(M. Chiriţă, E. Paltanea)
2
összefüggésekkel
36. Határozd meg az ( an ) * pozitív számsorozatot, ha
n∈N
n
⎛
⎜
⎝
n
3
∑ai= ⎜∑
i=
1 i=
1
2
⎞
*
ai
⎟ , ∀n
∈ N !
⎠
(Megyei olimpia, 1977., Laurenţiu Panaitopol)