117 KITŰZÖTT FELADATOK A X. OSZTÁLY SZÁMÁRA Vissza ...

Kitűzött feladatok a X. osztály számára 117
KITŰZÖTT FELADATOK A X. OSZTÁLY SZÁMÁRA
1. Legyen A egy véges halmaz, amelyre A ≠ ∅ . Határozd meg az A elemeinek
számát úgy, hogy létezzen f : A×
A → P(A)
bijektiv függvény. Hány ilyen
függvény létezik?
2. Tudva azt, hogy az ( xn ) n∈N
szigorúan pozitív tagú sorozatra xn
( 1−
2x
n ) ≥ xn+
1,
1
∀n ≥ 1,
igazold, hogy
1
2
+ < x nxn !
(I. Bolyai János emlékverseny 1993., Tuzson Zoltán)
3. A szigorúan pozitív egész számok sorozatából töröljük az 1-et, továbbá a 2-vel
vagy 3-mal osztható számokat. Így az 5, 7, 11, 13, 17,... sorozatot kapjuk.
Határozd meg a sorozat általános tagjának képletét!
(II. NMMV, Vác, 1993.)
4. Az ( xn ) n∈N
sorozatot a következőképpen értelmezzük: x 0 = 2 , x1
= 6 és
x . Igazold, hogy = [ ( 3 + 2 2)
] + 1
n+
1 = 6x n − xn−1
n
n
x , ∀ n∈ N és, hogy
n
x n + 2( −1)
teljes négyzet!
(III. Wildt József emlékverseny, 1993., Szász Róbert)
1
5. Adott az ( xn ) n∈N
sorozat, ahol 0
2
= x és 2x n+
1 = 1+
xn
− 1−
xn
. Határozd
meg a sorozat általános tagját!
(I. Bolyai Farkas emlékverseny, 1995., Bencze Mihály)
6. Határozd meg azt az f: N→N injektiv függvényt, amelyre
2 2
2 n(
n + 1)(
2n
+ 1)
2
f ( 0)
+ f ( 1)
+ ... + f ( n)
≤
, ∀ n ∈ N ! ( f ( x)
= f ( x)
f ( x)
).
6
(IV. NMMV, Paks, 1995., Bencze Mihály)
3 2 2 8
7. Bármely x ∈ R esetén adottak az f k ( x)
= k x − 2k
x + k + f k −1
( x)
rekurzív
9
1
összefüggéssel értelmezett fk:R→R függvények, ahol k ∈ { 1,
2,..,
n}
és f 0 ( x)
= .
9
Bizonyítsd be, hogy létezik a ∈ N és b∈ Q úgy, hogy bármely n ∈ N esetén
8.
9.
2
f n (x)
= ( ax + b)
!
(IV. Székely Mikó verseny, 1996., Péter András)
Jelöljük f (n)
-nel annak a szorzatnak a legnagyobb lehetséges értékét, amelynek
tényezői természetes számok és összegük n. Határozd meg f (n)
-net! ( n ≥ 1)
(V. NMMV., Székelyudvarhely, 1996., Urbán János)
Létezik-e olyan valós együtthatójú P , n-ed fokú polinom ( n ≥ 2 ), amelyre a
P ( P(
P(
x)))
= 0 egyenletnek van egy pontosan ( n − n + 1)-szeres
gyöke?
10.
(V. NMMV., Székelyudvarhely, 1996., András Szilárd)
Határozd meg azokat az f:N→N függvényeket, amelyekre
3
2

118 Kitűzött feladatok a X. osztály számára
3
f ( n + 1)
= f ( n)
+ n(
n + 1)(
n + 2)
+ 1,
bármely n ∈ N esetén!
(VI. Wildt József verseny, 1996., Tuzson Zoltán)
2 ⎛ 1 ⎞
11. Az f (x)
másodfokú polinomot helyettesítjük az x f ⎜1+
⎟ vagy
⎝ x ⎠
2 ⎛ 1 ⎞
2
( x −1) f ⎜ ⎟ polinom közül az egyikkel. Az x + 1997x
+ 1998 polinomból
⎝1
− x ⎠
megkaphatjuk-e ilyen műveletek segítségével az x + 1996x
+ 1997 polinomot?
12.
(VI. NMMV, Kaposvár, 1997., Kubatov Antal)
Legyen f a pozitív egész számokon értelmezett függvény, értékei nem negatív
egészek. Az f minden pozitív egész x és y esetén kielégíti a következő feltételeket:
1) f ( xy ) = f ( x)
+ f ( y)
;
2) f ( 10 x + 3)
= 0 ;
3) f ( 10 ) = 0 .
Határozd meg f-et!
(VI. NMMV, Kaposvár, 1997., Szabó Magda)
13.
1
Adott az un
+ 1 =
u
2
3
+ rekurziót teljesítő sorozat, ahol 1 2
n + 1
2
≤ ≤ u .
n
1
Bizonyítsd be, hogy 1 < un < 1 + , ∀n ≥ 2 !
n −1
(VI. NMMV, Kaposvár, 1997., András Szilárd)
*
14. Az f ∈ R X ( 2n
−1)-ed
fokú ( n ∈ N ) polinom teljesíti a következő
[ ]
n
összefüggéseket: ( f − a)
(
x + a)
és ( f + a ) ( x − a)
(a∈
R rögzített).
Bizonyítsd be, hogy f ( x)
x
!
(Iskolai olimpia, 1986., Konstanca, Constantin Caragea)
15. Az ( xn ) n∈N
sorozatot az x1
> 1,
2
x n+
1 = xn
+ xn
összefüggésekkel
értelmezzük. Bizonyítsd be, hogy
xn
xn+
1
1
=
xn
1
−
xn+
1
n
n
és 0 <
xn+
1
1
< !
n+
1
x1
(Helyi olimpia, 1991., Konstanca, Gheorghe Bordea)
16.
1
Bizonyítsd be, hogy n ≥ 2 -re az
2
x
1
=
2
x
1
+
2
x
1
+ ... +
2
x
egyenletnek van
legalább egy természetes megoldása, amelyre x0
< x1
< ... < xn
!
17.
(Megyei olimpia, 1997., Fehér megye)
Az f: N→N függvény szigorúan növekvő, f ( 2)
= 2 és f ( m⋅
n)
= f ( m)
f ( n)
,
∀ m,
n∈
N,
( m,
n)
= 1.
Számítsd ki f ( 3)
-at és bizonyítsd be, hogy
k
f ( 2 + 1)
= 1+
2
k
!
0
1
2
2
n
n
(Megyei olimpia, Brăila, 1997.)

Kitűzött feladatok a X. osztály számára 119
18. Az f: N * →N * szigorúan növekvő függvény teljesíti az
( 1+
f ( n))
f ( n)
f ( 1)
+ f ( 2)
+ ... + f ( n)
≥
2
*
egyenlőtlenséget, ∀n ∈ N . Bizonyítsd be, hogy f ( n)
= n,
∀ n∈
N .
(Megyei olimpia, Iaşi, 1997., A. Aniţa)
19.
*
*
Határozd meg az összes f: R →R függvényeket, amelyekre a g : R → R
+
⎧ f ( x),
g(
x)
= ⎨
⎩log
2 x,
*
ha x∈
R + \ Q
függvény monoton!
*
ha x∈
R + ∩ Q
(Megyei olimpia, Suceava, 1997., Corneliu Romaşcu)
20. Határozd meg az f: N * →N * függvényt, ha f ( 1)
= 1 és
21.
22.
1 1
1 f ( n)
*
+ + ... +
= , ∀ n ∈ N !
f ( 1)
f ( 2)
f ( 2)
f ( 3)
f ( n)
f ( n + 1)
f ( n)
+ 1
(Megyei olimpia, Temes megye, 1997.)
Határozd meg az f: N * →N * függvényt, amelyre
2
⎡ f ( 1)
f ( 2)
f ( n)
⎤
*
⎢ + + ... + = 1 f ( 1)
+ 2 f ( 2)
+ ... + nf ( n),
∀n
∈ N
1 2 n ⎥
!
⎣
⎦
(Megyei olimpia, Vaslui, 1997., Dan Brânzei)
P∈ R x polinomot, amelyre
Határozd meg az összes olyan [ ]
2
2
2P(
2x
− 1)
= P ( x)
− 2,
∀ x∈
R !
23.
(Válogatóverseny, 1990., Gheorghe Eckstein)
Az f: N * →R növekvő függvény teljesíti az f ( xy)
= f ( x)
+ f ( y)
egyenlőséget
*
minden x, y ∈ N -re. Bizonyítsd be, hogy ha f ≠ 0 akkor létezik olyan a > 1
szám, amelyre f ( n)
= log n , ∀ n∈N
!
a
24. Határozd meg azokat az f: R→R függvényeket, amelyekre f ( 0)
= 1 és
x
y
*
2
2
f ( x)
+ f ( x)
f ( y)
+ f ( y)
=
a − a
*
, ∀ x, y ∈ R,
x ≠ y . ( a ∈ R+
f ( x)
− f ( y)
\ {} 1 -rögzített)!
(D.M. Bătineţu)
25. Határozd meg az összes f : R → ( 0,
∞)
függvényt, amelyre
x
f ( f ( x))
= a , ∀ x∈
R ( a ∈(
0,
∞)
\ { 1}
rögzített)!
26.
(Traian Lalescu emlékverseny, 1995., M. Chiş)
Határozd meg az összes olyan f : ( 0,
∞)
→ R függvényt, amely teljesíti a
következő két egyenlőtlenséget:
1) f ( x)
≤ ln x,
∀ x ∈(
0,
∞)
;
2) f ( xy)
≤ f ( x)
+ f ( y),
∀ x,
y ∈(
0,
∞)
!
27.
(Helyi olimpia, Botoşani, 1994.)
Határozd meg az összes f: Z→Z függvényt, amelyre
f ( f ( n))
+ f ( n)
= 2n
+ 3,
∀ n∈
Z és f ( 0)
= 1!
+

120 Kitűzött feladatok a X. osztály számára
(Országos olimpia, 1992., Gh. Eckstein)
*
28. Határozd meg azokat az f : N → [ 1,
∞)
függvényeket, amelyekre
a) f ( 2 ) = 4 ;
b) ( n + 1) f ( n)
≤ nf ( n + 1),
∀ n∈
N ;
*
c) f ( nm) = f ( n)
f ( m),
∀ n,
m∈
N .
(Országos olimpia, 1991., M. Chiriţă, M. Piticari)
29. Az ( an ) n∈N
sorozat teljesíti az a a an
n ≥ + + 1 + 2 ... egyenlőtlenséget minden
n ≥1
-re. Bizonyítsd be, hogy
2 2
2 1 ⎛ 1 1 ⎞
a1 + a2
+ ... + an
≥ ⎜1
+ + ... + ⎟,
4 ⎝ 2 n ⎠
∀ n ≥1
esetén!
30. Az ( a ) ∈
(Amerikai versenyfeladat, 1995.)
természetes számsorozat szigorúan növekvő és teljesíti az
a3 = a
n
n
+
n
n
a2n N
*
*
egyenlőséget, ∀ n∈ N -re. Ha a 1,
a 2 és a 4 ,
bizonyítsd be, hogy = n,
∀ n∈
N !
a n
*
31. Az an ) n∈N
sorozat teljesíti az a n+
1 ∈ 2an −1,
3an
− 2an−1
feltételt és a 1 = 2
valamint a 2 = 3.
Bizonyítsd be, hogy 1600 és 2000 között nincs egy tagja sem a
sorozatnak!
32.
(Holland versenyfeladat, 1994.)
Határozd meg az összes olyan f ∈ Z[
x]
polinomot, amelynek főegyütthatója 1
és mind az n gyöke a (0,2) intervallumban van ( n ≥1 rögzített és grad f = n )!
(D. Miheţ és M. Moroşanu)
33. Határozd meg az összes f: N→Z függvényt, amelyre
*
xf ( x − 1)
+ ( x −1)
f ( x)
= 0,
∀ x ∈ N !
(Helyi olimpia, 1989., Gh. Ionescu)
34. Adottak az A és B halmazok úgy, hogy A = n és B = m , valamint m ≤ n .
1 =
( { }
Bizonyítsd be, hogy egy f: A→B szürjektiv függvényre legtöbb ( n − m + 1)
olyan g: A→B függvény létezik, amelyre
f g = f !
35. Az ( an ) n∈N
sorozatot az a 1 = 1 és an+
1 = 2an
+ 3an
− 2
értelmezzük. Bizonyítsd be, hogy ∈ N,
∀ n∈
N -re!
a n
2 =
4 =
n−m
+ 1
(M. Chiriţă, E. Paltanea)
2
összefüggésekkel
36. Határozd meg az ( an ) * pozitív számsorozatot, ha
n∈N
n
⎛
⎜
⎝
n
3
∑ai= ⎜∑
i=
1 i=
1
2
⎞
*
ai
⎟ , ∀n
∈ N !
⎠
(Megyei olimpia, 1977., Laurenţiu Panaitopol)

Kitűzött feladatok a X. osztály számára 121
2 2 1 ⎛ 1 ⎞
37. Adott az x n + xn+
1 = xn
+ xn+
1 + és xn
∈⎜ , 1⎟
összefüggéseket teljesítő
4 ⎝ 2 ⎠
*
sorozat. Bizonyítsd be, hogy az f: N→R, f ( n)
= axn
+ b (a , b ∈ R ) függvény
nem injektiv!
38. Határozd meg az összes f ∈ R[
x]
polinomot, amelyre
f ( x − y)
= f ( x)
− f ( y),
∀ x,
y ∈ R !
39. Adjál példát olyan nem konstans C[
x]
P ∈ polinomra és a ∈C
számra,
amelyekre
P( ax)
= P(
x),
∀ x∈
C !
40. Az
(A.G. Ioachimescu)
f ∈ Z[]
x polinom x,
x −1, x − 2,...,
x − n + 1 -gyel való osztási maradékai
oszthatók n-nel. Bizonyítsd be, hogy f-nek ( x − k)
-val való osztási maradéka
minden k ∈ Z -re osztható n-nel!
(Gh. Ivan)
41. Határozd meg az összes f: Q→Q függvényt, ha f ( P(
x))
= P(
f ( x)),
∀ x ∈Q
minden egész együtthatójú P polinom esetén!
42.
(M. Diaconescu)
Határozd meg az összes olyan P ∈ N[
x]
polinomot, amelyből elhagyva a
szabadtagot és a domináns tagot, olyan polinomot kapunk, amely négyzetének
minden együtthatója páratlan!
(G. M. versenye, 1988., Marcel Ţena)
43.
x
Az f: R→R növekvő függvényre f ( f ( x))
= 2 , ∀ x∈
R . Bizonyítsd be, hogy
létezik olyan x0 ∈ R , amelyre f ( x0
) < 0 !
(Megyei olimpia, 1985., M. Chiriţă, M. Piticari)
44. Az f: N * →C * f ( 1)
f ( 2)
f ( 3)
függvény teljesíti az = = = ... egyenlőségeket
f ( 2)
f ( 3)
f ( 4)
és létezik olyan n ∈ N , n ≥ 2, amelyre
2
2
2
f ( 1)
+ f ( 2)
+ ... + f ( n)
= ( f ( 1)
+ f ( 2)
+ ... + f ( n))
.
Bizonyítsd be, hogy f periodikus!
45. Az ( a ) ∈
(Helyi olimpia, 1988.)
szigorúan növekvő természetes számsorozat teljesíti az
46.
47.
a2 an
n =
n
+ n
n
N
egyenlőséget minden n ∈ N -ra és ha a prímszám, akkor n is az.
Bizonyítsd be, hogy = n,
∀ n∈
N !
a n
*
*
Bizonyítsd be, hogy nem létezik olyan f: R→R injektiv függvény, amelyre
x x
f ( 2 ) + f ( 3 ) = 1,
∀ x∈
R !
(Jenică Crânganu)
Bizonyítsd be, hogy nincs olyan f: R→R függvény, amelyre
2
4 3
f ( x )
+ 2
x 2
( f ( 3 ) + 1)
= 2
2 3 x
1−
f ( x )( f ( 3 ) + 1)
,
n
∀ x∈
R !
2

122 Kitűzött feladatok a X. osztály számára
(D.M. Bătineţu)
48. Határozd meg az összes f: R→R monoton függvényt, amelyre
x
f ( 2 ) = 1 − f ( x),
∀ x∈
R !
(Jenică Crânganu)
49.
P ∈ C x polinomot, amelyre
Határozd meg az összes [ ]
n
P(
z)
≤ 1 + z , ∀ z ∈C
!
50.
(Jenică Crânganu)
Határozd meg az ( xn ) n∈N
sorozat általános tagját, ha x 1 = 1 és
1 +
1
x1 1 + x1
( 1 + x1)(
1 + x2
)...( 1 + xn
)
+ + ... +
= ( n + 2)!
,
x1x
2
x1x
2...
xn
xn+
1
∀ n∈
N !
51. Bizonyítsd be, hogy nem létezik olyan szigorúan pozitív egész számokból álló
2
( an ) * sorozat, amelyre a n∈N
n−1
≤ ( an+
1 − an
) ≤ an
, ∀ n ≥ 2 !
(Válogatóverseny, 1985., L. Panaitopol)
52. Igaz-e az alábbi állítás?
*
∃ f ∈ Z[]
x és ∃k,
l ∈ Z úgy, hogy f ( k + l)
= 2k
+ l valamint f ( l − k)
= k + l .
(C. Ursu)
P ∈ Z x polinomot, amely
53. Határozd meg az összes olyan n-ed fokú [ ]
n
n−1
P ( x)
= ( n + 1)
x − 5nx
+ ... + a
n
alakú és az x , x2,...,
x gyökeire ∈ k,
k + 1 ,
n
x k
1 [ ]
∀ k = 1,
n !
54. Bizonyítsd be, hogy minden f: R→R,
(C. Ursu)
f x = x + ax + b alakú függvényre
3
( )
[ )
létezik c ∈ − 2,
1 úgy, hogy f ( c)
≥ 1!
55.
(Traian Lalescu emlékverseny, 1986., Dorel Miheţ)
Adjál példát olyan f: N * →N * függvényre, amely teljesíti az f ( 2)
= 2 és
f ( n + 1)
= 1+
f ( 1)
+ 2 f ( 2)
+ ... + nf ( n)
egyenlőségeket, ∀ n∈ N -re!
(Traian Lalescu emlékverseny, 1994.)
56. Az f: N * 2 + f ( n)
→R függvény teljesíti az f ( 1)
= 2 és f ( n + 1)
= ,
1 − 2 f ( n)
*
∀ n∈
N
összefüggéseket. Bizonyítsd be, hogy f (n)
≠ 0,
∀ n∈ N és, hogy f injektiv!
57.
(Megyei olimpia, Suceava, 1994.)
P∈ R x polinomot, amelyre
Határozd meg az összes nem konstans [ ]
P x ) = P(
x)
P(
x −1),
∀ x∈
C .
(Országos versenytábor, 1995.)
58. Az ( xn ) * sorozatra x = x = a
n∈N
1 1 , 2 és
( 2
2
xn = ( 2n
+ 1)
xn−1
− ( n −1)
xn−
2 , ∀ n ≥ 3 ( a ∈ N rögzített).
Az a milyen értékére teljesül az x | x feltétel bármely i ≤ j -re?
i j
*
(Válogatóverseny 1995.)

Kitűzött feladatok a X. osztály számára 123
59. Legyen ( ai ) * egy különböző pozitív egész számokból álló számsorozat.
i∈N
7
7
7
a) Igazold, hogy ( a1
+ a2
+ ... + an
) + ( a1
+ a2
+ ... + an
) ≥ 2( 1 2 ... n)
bármely n természetes számra!
60.
a a a + + +
b) Melyek azok a számsorozatok, amelyekre éppen egyenlőség áll fenn?
(Válogatóverseny, 1995.)
Az
n
polinom együtthatói nem negatív
a x a x a a x f + + + + = ...
) (
2
egészek és a
p
0
1
2
n x
5
5
p
p
f ( 0)
, f ( 1)
,..., f ( k)
,... számok racionálisak. ( p ≥ 2 ) Bizonyítsd
[ x]
be, hogy létezik olyan g ∈ Z polinom, hogy f ( x)
= g ( x),
∀ x∈ N !
(UNESCO verseny, 1995., Mihai Bălună)
61. Határozd meg az összes f ( x)
n n−1
x + a x + ... + a x + a alakú polinomot,
= 1
n−1
{ }
amelynek minden gyöke valós és a i ∈ −1,
1 , ha i = 1,
n !
(Grigore Moisil emlékverseny, 1989., Liviu Vlaicu)
62. Határozd meg azokat az x x ,..., x számokat, amelyekre
1,
2
n
63.
2 2 2
n(
n + 1)(
2n
+ 1)
x1 + x2
+ ... + xn
− ( x1
+ 2x2
+ 3x3
+ ... + nxn)
= −
!
24
(Grigore Moisil emlékverseny, 1991., C. Tarnu)
a) Bizonyítsd be, hogy ∀ f ∈ R[
x]
polinom felírható
x x(
x −1)
x(
x −1)...(
x − n + 1)
f ( x)
= a0
+ a1
+ a2
+ ... + an
1!
2!
n!
alakban, ahol n∈ N,
ai
∈ R,
i = 0,
n !
b) Határozd meg az összes olyan f ∈ R[x]
polinomot, amelyre
f ( k)
∈ Z,
∀ k ∈ Z !
(Grigore Moisil emlékverseny, 1994., V. Pop)
64. Az f: N * →N * szigorúan monoton függvény teljesíti az f ( 1)
= 1 és
*
f ( 2n)
= f ( n)
+ n,
∀ n∈
N összefüggéseket. Bizonyítsd be, hogy
f ( n)
= n,
∀ n∈
N .
(Grigore Moisil emlékverseny, 1997.)
65.
1
Adottak az S, T : [ 0,
1]
→ R , S( x)
= 1−
x és T ( x)
= x függvények. Létezik-e
2
olyan f = g1
g2 ... gn
alakú függvény, amelyre
⎛ 1 ⎞ 1999
f ⎜ ⎟ = ,
1999
⎝ 2 ⎠ 2
ha
g i
{ S,
T } , i = 1,
n
∈ !
66. Határozd meg az ( x ) ≥0
sorozat általános tagját, ha
2
xn+ 1 = xn−1
− nxn
, ∀ n∈
N
*
n
valamint
n
x = 4 és x 5 !
67. Melyek azok az ( an ) n∈N
egész számokból álló sorozatok, amelyekre
nan
+ 1
an+
2 = ,
a + n
∀ n∈
N !
n
1
2 =
p
5
n
3
3
3
2

124 Kitűzött feladatok a X. osztály számára
P ∈ R x polinomot, amelyre
68. Határozd meg azt a [ ]
2
2
P( x + x + 1)
= P ( x)
+ P(
x)
+ 1,
∀ x∈
R és P ( 0)
= 0 .
(Mircea Lascu)
69. Adjál példát olyan szigorúan növekvő f: N * →N * függvényre, hogy f ( 1)
= 2 és
f ( f ( n))
≤ n + 2 , ∀n
≥ 2 .
70.
(Megyei olimpia, Arad, 1994., Sorin Dumitrică)
Határozd meg az összes olyan f: R→R függvényt, amelyre
x+
y
f ( x + y)
≥ f ( x)
f ( y)
≥ 2 , ∀ x,
y ∈ R !
71. Bizonyítsd be, hogy minden polinomfüggvény felírható két szigorúan
növekvő polinomfüggvény különbségeként!
72. Létezik-e olyan
n n−1
n
P ( x)
= x + a1x
+ ... + an
−1x
+ ( −1)
alakú polinom,
amelynek gyökei egyenlő modulusúak és P ( − 1)
∈C
\ R ?
73. Melyek azok az f: R→R függvények, amelyekre teljesül az alábbi két feltétel
valamelyike:
a) f ( x + y)
= f ( y)
+ x,
∀ x∈
R ;
b) f ( x + y)
= f ( y)
⋅ 2 , ∀ x∈
R .
74. A P ∈Q[x
] n-ed fokú polinom teljesíti a
( k = 0,
n ) Számítsd ki P(
n + 1)
-et!
x
k
P ( k)
= egyenlőségeket.
k + 1
75. Az ( xn ) n∈N
sorozatra teljesülnek az x 1 = 3 , 2 = 7 x n+
egyenlőségek, ∀ n∈ N \ 1 . Bizonyítsd be, hogy a sorozat periodikus!
{}
x , 1 = xn
− xn−1
76. Létezik-e olyan f: R→R injektiv függvény, amelyre
x 2x
4x
f ( a ) + f ( a ) + f ( a ) = b , ahol a, b∈
R és a > 1?
77. Határozd meg azokat az f: N * →N injektiv függvényeket, amelyekre
m f ( m)
f ( C ) = C ,
*
∀ m,
n∈
N , n ≥ m !
n
f ( n)
(RMT 1/1997., Alexandru Blaga)
78. Az f polinom legalább elsőfokú és együtthatói egész számok. Bizonyítsd be,
hogy az M = { p ∈ N | p - prím és ∃n
∈ N úgy, hogy p | f ( n)
} halmaz végtelen!
(Országos versenytábor, 1996.)
79. Határozd meg az összes f : R → [ 0,
∞)
függvényt, amelyre teljesülnek az
alábbi feltételek:
x
1) f ( x)
≤ 2 , ∀ x∈
R ;
2) f ( x + y)
≤ f ( x)
f ( y),
∀ x,
y ∈ R .
(RMT 1/1997., Florin Rotaru)

Kitűzött feladatok a X. osztály számára 125
80. Az A ⊆ R halmaz zárt a szorzásra nézve ( ∀ x, y ∈ A ⇒ xy ∈ A ) és az f: A→R
függvényre igaz az f ( x)
+ f ( y)
≤ f ( xy)
egyenlőtlenség, ∀ x, y ∈ A . Bizonyítsd
n
n ⎛ ⎞
be, hogy ∑ f ( xi ) ≤ f ⎜
⎜∏=
xi
⎟
⎟,
i= 1 ⎝ i 1 ⎠
∀ xi
∈ A,
i = 1,
n, ∀ n∈
N \ { 0,
1,
2}
!
81.
(RMT 1/1997.)
Határozd meg az összes olyan P ∈ R[
x]
polinomokat, amelyek grafikonja
rendelkezik egy, az OY tengellyel nem párhuzamos szimmetria-tengellyel!
(RMT 1/1998., Ion Raşa)
82. Határozd meg az összes g:N * →N * szigorúan növekvő függvényt, amelyre
létezik olyan f: N * →N * *
, hogy f (n)
páros, ∀ n∈ N , f szigorúan növekvő és
f ( g(
n)
−1)
≤ f ( n)
− g(
n),
∀ n∈
*
N
.
(Cardinal 2-3/1997.,1998., D.M. Bătineţu)
83. Az ( xn ) n∈N
sorozat teljesíti az x 0 = 1 és x n+
1 ( 1+
1+
xn
) = xn
összefüggéseket minden n ∈ N -re. Számítsd ki a sorozat általános tagját!
(Cardinal 2-3/1997.-1998., Bencze Mihály)
84. Az egész együtthatós P polinomnak van legalább 13 különböző egész gyöke.
2
Bizonyítsd be, hogy ha n∈ Z és P ( n)
≠ 0 , akkor P(
n)
≥ 7 ⋅(
6!
) , majd adjál
példát olyan polinomra, amelyre létezik n0 ∈ N úgy, hogy az előbbi
egyenlőtlenségben egyenlőség legyen.
(Országos verseny, Görögország, 1997.)
85. Az f : ( 0,
∞)
→ R függvény teljesíti a következő feltételeket:
a) szigorúan csökkenő;
1
b) f ( x)
> − , ∀ x > 0 ;
x
1 ⎞
c) ( x)
⎜ f ( x)
+ ⎟ = 1,
∀ x > 0
⎝ x ⎠
⎛
f f
.
Számítsd ki f () 1 -et!
(Országos verseny, Görögország, 1997.)
86.
P ∈ R x polinomot, amelyre
Határozd meg az összes olyan [ ]
P ( z)
= P(
z)
, ∀ z ∈C,
ha z = 1!
(G.M. 10/1996., Constantin Caragea)
87. A P ∈ C[
x]
páros fokszámú polinom minden gyökének modulusza 1 és egyik
sem valós. Bizonyítsd be, hogy P ( 1)
pontosan akkor valós, ha P (−1)
is az!
(G.M. 12/1996., Cristinel Mortici)
88. Határozd meg az összes olyan f: N→N függvényt, amelyre
f ( n + 1)
> f ( f ( n)),
∀ n∈
N !
(Megyei olimpia, Dolj, 1997.)
2

126 Kitűzött feladatok a X. osztály számára
89. Határozd meg az ( an ) n∈N
szigorúan pozitív számsorozatot, amely teljesíti az
2 2 2
n−1
2
an − an−1
+ an−
2 − + ( −1)
a1
= an
+ an−1
... + ... + a
1
egyenlőséget, minden
*
n∈ N -ra!
90.
(Megyei olimpia, Giurgiu, 1997., Laurenţiu Panaitopol)
Határozd meg az összes olyan f : ( 0,
∞)
→ R függvényt, amelyre:
xy ln( xy)
≤ yf ( x)
+ xf ( y)
≤ f ( xy),
∀ x,
y > 0 !
(G.M. 2/1998., Marian Ursărescu)
91. Határozd meg az ( xn ) n≥1
sorozat általános tagját, ha x1
= 1 és
2
xn + 1 = xn
+ xn
+ 1,
∀ n ≥1!
(G.M. 10-11/1997., Marian Ursărescu)
92. Határozd meg az ( a n ) n≥1
sorozat általános tagját, ha a0
∈[
− 2,
2]
és
93.
94.
an 1 = 2 + an
,
+
∀ n∈
N !
Határozd meg az ( )
(G.M. 10-11/1997., Marian Tetiva)
*
f : N → 0,
∞ függvényt, ha f ( 2)
= 2 és
3 3
3 1 2 2
f ( 1)
+ f ( 2)
+ ... + f ( n)
= f ( n)
f ( n + 1),
4
∗
∀ n∈
N !
(G.M. 4/1998., Aurel Doboşan)
Az f: R→R injektiv függvény teljesíti az
x
f ( 2
2 f ( x)
− x ) = 2
2
− f ( x)
egyenlőséget, ∀ x∈ R esetén. Bizonyítsd be, hogy létezik olyan x ∈ R , hogy
f ( f ( f ( x0
))) = x0
!
95.
(G.M. 5-6/1998., Romeo Ilie)
Határozd meg az összes olyan f: R→R függvényt, amelyre
1998
f ( xy)
≤ x f ( y),
∀ x,
y ∈ R !
(G.M. 5-6/1998., Marian Bancoş)
96. Van-e olyan egész együtthatós P polinom, amelynek nincs egész gyöke, de
tetszőleges pozitív egész n-re van olyan x ∈ N , hogy P( x)
n
?
(Kömal, 6/1995.)
97. Keresd meg az összes olyan P polinomot, amelyre
P( x + 1)
= P(
x)
+ 2x
+ 1,
∀ x∈
R .
98.
(Kömal, 6/1995.)
Adott egy n változós polinom. Tudjuk, hogy ha mindegyik változója helyébe
vagy 1-et vagy (-1)-et helyettesítünk, értéke pozitív lesz, amennyiben a (-1)-ek
száma páros, és negatív, ha a (-1)-ek száma páratlan. Igazoljuk, hogy a polinom
legalább n-ed fokú. (van olyan tagja, amelyikben a változók kitevőinek összege
legalább n).
(Kürschák József verseny, 1995.)
99. Az ( xn
) n≥1
sorozatot a következőképpen definiáljuk: x1
= 2 ,
nxn = 2( 2n
−1)
x n−1
( n =
2,
3,...
). Bizonyítsd be, hogy a sorozat csupa egész
számból áll!
0

Kitűzött feladatok a X. osztály számára 127
(Kömal, 3/1996.)
100. Egy 10-ed fokú, egész együtthatós polinomnak az 1 legalább nyolcszoros
gyöke. Bizonyítsd be, hogy az együtthatók között van olyan, amelynek abszolút
értéke nagyobb, mint 27 !
(Kömal, 1/1996.)
101. Létezik-e olyan P(
x,
y)
legfeljebb másodfokú polinom, amely az
{ 1 , 2,
3}
× { 1,
2,
3}
halmazon a 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 értékeket veszi fel, mindegyiket
pontosan egyszer?
(Kömal, 1/1997., Blázsik Zoltán)
102. Legyen z egységnyi abszolút értékű komplex szám. Igazoljuk, hogy létezik
olyan 1995.-öd fokú P polinom, amelynek minden együtthatója +1 vagy –1,
továbbá kielégíti az P ( z)
≤ 2 egyenlőtlenséget.
(Kömal, 1/1997.)
103. Igazold, hogy végtelen sok n-re létezik olyan n-ed fokú egész együtthatós
n
polinom, amelynek főegyütthatója kisebb 3 -nél (abszolút értékben), továbbá n
darab különböző gyöke van a (0,1) intervallumban!
(Kömal, 1/1997.)
104. Bizonyítsd be, hogy minden pozitív egész n-hez létezik olyan legfeljebb 8n-ed
fokú P polinom, amelyre: P ( 0)
> P(
1)
+ P(
2)
+ ... + P(
n ) !
(Kömal, 2/1997.)
105. Ha P egész együtthatós polinom, akkor tetszőleges m, n egész számok mellett
n osztója a P( m + n)
− P(
m)
különbségnek. Van-e olyan P:Z→Z függvény, amely
nem egész együtthatós polinom, mégis rendelkezik az előbbi tulajdonsággal?
(Kömal, 2/1997.)
* *
106. Határozd meg az f : N → R+
függvényeket, amelyekre f ( 4)
= 4 és
n 1 f ( n)
*
∑ = , ∀ n∈
N !
k = 1 f ( k)
f ( k + 1)
f ( n + 1)
(Országos olimpia, 1983., D.M. Bătineţu)
107. Bizonyítsd be, hogy nem létezik olyan f: R→R függvény, amelyre
x
f ( x ) + f ( 2 ) + 1 = 0,
∀ x∈
R
108.
2 2
!
(Megyei olimpia, 1979., I.V. Maftei, Sorin Rădulescu)
* *
Határozd meg az összes : + + növekvő függvényt, amelyre
→ R R f
y
y
*
[ f ( x)
] , ∀ x,
y ∈
f ( x ) = R+
!
109. Határozd meg az összes f: R→R függvényt, amelyre
x
f ( a
y
+ a ) = f ( x + y),
∀ x,
y ∈ R ! ( a > 1 rögzített)
(M.L. 2/1986., Marian Tetiva)
110. A g,h: N→N függvények bijektivek és f: N→N, f ( n)
= g(
n)
− h(
n)
jól
értelmezett. Bizonyítsd be, hogy f ( n)
= 0,
∀ n∈
N !
(Országos olimpia, 1979.)
2

128 Kitűzött feladatok a X. osztály számára
111. Bizonyítsd be, hogy egyetlen P ∈ Z[x]
polinomra sem léteznek olyan
x1 , x2
,..., xn
∈ Z különböző számok ( n ≥ 3 ), hogy P( xi
) = xi+
1, i = 1,
n −1
és
P( xn
) = x !
1
112. Bizonyítsd be, hogy létezik olyan f: N→N függvény, amelyre
2
f ( f ( n))
= n , ∀ n∈
N !
(Válogatóverseny, 1978., Dan Voiculescu)
113. Határozd meg az összes olyan P polinomfüggvényt, amelyre P(
0)
= 0 és
114.
létezik f: R→R úgy, hogy f ( x)
> x,
∀ x ∈ R valamint
P( f ( x))
= f ( P(
x)),
∀ x∈
R !
*
Létezik-e olyan n ∈ N és P ∈ R[x]
polinomfüggvény, hogy
2
P ( x ) = 1+
x + x + ... +
115. Hány megoldása van az f ( f ( f ...( f ( x))...)
= x egyenletnek, ha
2
f ( x)
= x − 2 ?
[ ] R
116. Az f : 0,
1 → függvény teljesíti az f ( 0)
= f ( 1)
= 0 (1) és
⎛ x + y ⎞
f ⎜ ⎟ ≤ f ( x)
+ f ( y)
(2) összefüggéseket, ∀ x , y ∈[
0,
1]
. Bizonyítsd be, hogy:
⎝ 2 ⎠
a) f ( x)
≥ 0,
∀ x∈
0,
1 ;
[ ]
b) f-nek végtelen sok zérus helye van a [ , 1]
0 intervallumban;
c) léteznek nem identikusan nulla függvények is, amelyek teljesítik a
feltételeket!
117. Az f: N→R függvény teljesíti az
összefüggéseket. Számítsd ki f ( 101)
-et!
2 f ( n)
+ 1
f ( n + 1)
=
és
2
f ( 1)
= 2
118. Határozd meg azon f: X→X függvények számát, amelyekre
( f f )( x)
= a,
( n ≥ 2).
∀ x∈
X , ha X egy n elemű halmaz és a ∈ X egy rögzített elem
(Válogatóverseny, 1983.)
119. Az f : N × N → N függvény teljesíti az f ( 0,
y)
= y + 1,
f ( x + 1,
0)
= f ( x,
1)
és f ( x + 1, y + 1)
= f ( x,
f ( x + 1,
y))
összefüggéseket, minden x, y ∈ N -re.
a) Számítsd ki f ( 4,
1981)
-et!
(Nemzetközi olimpia 1981.)
b) Számítsd ki f ( 3,
1997)
-et!
(Országos olimpia, 1997., Călin Burduşel)
120. Szerkesszél f A → A bijekciót, amelyre
2
: f ( m + 1,
n)
> f ( m,
n)
és
f ( m,
n + 1)
> f ( m,
n), ∀ m,
n∈
A ,ha A = N és ha A = Z !
121. Határozd meg az A halmaz elemeinek minimális számát, úgy, hogy létezzen
f: N→A függvény, amelyre f ( i)
≠ f ( j)
, ha i − j prímszám!
2
n
n
x
?

Kitűzött feladatok a X. osztály számára 129
(Balkán olimpia, 1990., Ioan Tomescu)
122. Az f, g: N * →N * szigorúan monoton függvények képtartományai diszjunktak és
egyesítésük N * *
. Ha g ( n)
= f ( f ( n))
+ 1,
minden n ∈ N -ra, számítsd ki f ( 240)
-
et!
Az f: N * →N * 123.
függvény teljesíti a következő összefüggéseket:
a) f ( 1 ) = 1 f ( 3)
= 3;
b) f ( 2n) = f ( n),
∀ n∈
N ;
c) f ( 4n + 1)
= 2 f ( 2n
+ 1)
− f ( n),
∀ n∈
N ;
*
d) f ( 4n + 3)
= 3 f ( 2n
+ 1)
− 2 f ( n),
∀ n∈
N .
Az f ( n)
= n egyenletnek hány darab 1988-nál nem nagyobb megoldása van?
(Nemzetközi olimpia 1988.)
124. Határozd meg az összes f: R+→R monoton függvényt, amely teljesíti az
m m
m
⎛ x1
+ x2
+ ... + x ⎞ n
f ⎜
⎟
⎜ n ⎟
=
⎝
⎠
m
m
f ( x1)
+ ... + f ( xn
)
n
egyenlőséget, minden x1 , x2
,..., xn
∈ R+
esetén!
125. Határozd meg az f:R→R bijekciót, ha f ( x + y)
≥ f ( x)
+ f ( y)
és
f ( xy)
≥ f ( x)
f ( y),
∀ x,
y ∈ R !
(G.M. 12/1972., M. Rădulescu)
126. Az f: R→R függvény nem injektiv és létezik egy olyan g : R×
R → R
függvény, amelyre f ( x + y)
= g(
f ( x),
y),
periodikus!
∀ x,
y ∈ R Bizonyítsd be, hogy f
(M.L. 2/1978., D.M. Bătineţu)
127. Az f: R→R additív függvény valamely nullától különböző racionális helyen
racionális ( x ∈Q f x ∈Q
). Bizonyítsd be, hogy
∗
0 és ( 0 )
f ( x)
∈ Q,
∀ x∈
Q !
(G.M. 7/1970., D.M. Bătineţu)
128. Az f: N * →N * függvényre
Határozd meg f ( 1992)
-t!
f ( n + 1)
> f ( n)
és f ( f ( n))
= 3n,
*
∀ n∈
N .
(Válogatóverseny, 1992., Geofry Barad)
129. Bizonyítsd be, hogy bármely P ∈Q[ x]
-re végtelen sok olyan irracionális α
szám létezik, amelyekre P (α ) is irracionális!
(M. L. 2/1978., Marcel Ţena)
130. Határozd meg azokat a P∈ R[
x]
polinomokat, amelyre
xP( x − n)
= ( x −1)
P(
x),
ahol n ≥ 2 természetes szám!
∀ x∈
R ,
(Horvát versenyfeladat, 1994.)
131. Lehet-e egy egész együtthatós polinomiális függvénynek a racionális számok
halmazára való leszűkítése injektiv, anélkül, hogy a valós számok halmazán
injektiv lenne?
(M.L. 4/1978)
*
*

130 Kitűzött feladatok a X. osztály számára
132. Határozd meg azokat a P és Q egész együtthatós polinomokat, amelyek
főegyütthatói egyenlők 1-el és P ( Q(
x))
= ( x −1)(
x − 2)...(
x −15)
valamint
Q(
0)
= 0 !
(Válogatóverseny, 1989., Marius Dadârlat és Gheorghe Eckstein)
f ( x)
133. Az f , g ∈ R[]
x polinomokra értéke végtelen sok x ∈Q -ra racionális.
g(
x)
Bizonyítsd be, hogy
hányadosaként!
f ( x)
felírható két racionális együtthatójú polinom
g(
x)
(Iráni versenyfeladat 1994.)
134. Az ( un
) n≥0
sorozatot a következőképpen értelmezzük:
5
u0 = 2, u1
=
2
2
és un
+ 1 = un
( un−1
− 2)
− u1,
∀ n ≥1
.
2 −(
−1)
Bizonyítsd be, hogy [ u ] = 2 3 , ahol [ ]
n
n
n
x az x valós szám egész részét jelöli!
(M.L. 5/1977.)
135. Határozd meg mindazon negyedfokú, valós és zérótól különböző együtthatójú
polinomokat, melyekre ( ) ( ) ( ) !
136.
2
P x = P x P −x
(M.L. 12/1978., Tache Negreanu)
Bizonyítsd be, hogy ha bd + cd páratlan, akkor a
3 2
( x)
= x + bx + cx + d Z[
x]
polinom irreducibilis [ x]
P ∈
137. Bizonyítsd be, hogy a [ ]
138.
( 1 2
n
Z -ben!
(Kínai versenyfeladat)
P( x)
∈C
x legalább m-ed fokú polinom
x − a )( x − a )...( x − a ) -el való osztási maradéka pontosan akkor 0-ad fokú, ha
az ( x − ai
) polinomokkal való osztási maradékai mind egyenlők!
( ≠ a ha i ≠ j )
ai j
Igazold, hogy a P(
x)
= x + x −1
és Q ( x)
= x
n
*
(G.M. 9/1973., Gh. Albu)
n+
1 n 2
+ 2x
− x + x − x −1
polinomok relatív prímek! ( ∀ n∈ N -ra)
(M.L. 11/1978., Ion Ursu)
(Válogatóverseny, 1972., N. Manolache)
139. Bizonyítsd be, hogy ha a P ∈ Z[
x]
polinom behelyettesítési értéke páratlan
egy páros és egy páratlan számra, akkor nincs egész gyöke!
(G.M. 10/1972.)
140. Egy páros fokszámú, páratlan egész együtthatójú polinomiális egyenletnek
lehet-e racionális gyöke?
(M.L. 6/1977., Ştefan Alexe)
141. a) Bizonyítsd be, hogy ha m egy páratlan természetes szám, akkor létezik
2
olyan (x)
polinom, amelyre sin mx =
Pm
(sin x)
sin x .
P m
2n

Kitűzött feladatok a X. osztály számára 131
b) Bontsd tényezőkre a Pm
polinomot!
142. Az ( ai ) i∈N
sorozatot az a 0 = 0 és a n+
1 = 2an
+ 2 , ∀n∈
N összefüggések
segítségével értelmezzük. Bizonyítsd be, hogy ha n kettőhatvány, akkor an
is
kettőhatvány!
(Svéd versenyfeladat, 1970.)
143. Mutasd ki, hogy nem létezik olyan racionális F(x)
függvény, amelyre
1 1 1
F( n)
= 1 + + + ... + ,
1!
2!
n!
∀ n∈
N !
(M.L. 3/1975., Dan Vuza)
144. Bizonyítsd be, hogy ha a P x)
n n−1
x + a x + ... + a
n
x + ( −1)
a (a R
( = 1
n−1
an
> 0 )
komplex együtthatós polinom gyökei mind r modulusúak, akkor:
a) P( − r)
∈ R és P( r)
∈ R , ha n páros!
b) P( − r)
∈ R , ha n páratlan!
(M.L. 4/1978., Marcel Chiriţă)
3 2
145. A P ( x)
= a0
x + a1x
+ a2
x + a3
polinom együtthatói egész számok és p0
egy háromnál nagyobb prímszám.
a) Bizonyítsd be, hogy ha p0 nem osztója a0 -nak, akkor az
f ( 0)
f ( 1)
f ( p0
−1)
, ,..., számok közt legtöbb három egész szám lehet!
p p p
0
0
0
b) Ha az előbbi számok közt több mint három egész szám van, akkor p0
osztja a P minden együtthatóját!
146. Bizonyítsd be, hogy ha egy egész együtthatós n-ed fokú polinom
behelyettesítési értéke legalább ( 2 n + 1)
különböző helyen prímszám, akkor a
polinom irreducibilis!
(G.M. 4/1973., M. Rădulescu)
n+ 1
147. A P∈ R[x]
polinom teljesíti az ( 1+
ax)
P(
ax)
= ( 1+
a x)
P(
x)
egyenlőséget,
*
∀ x ∈ R , ahol a ∈ R rögzített szám.
a) Bizonyítsd be, hogy ha P nem identikusan nulla, akkor n-ed fokú!
b) Határozd meg az összes ilyen polinomot!
(M.L.4/1978., Marcel Chiriţă, M.L. 3/1975., V. Matrosenco)
n n−1
148. A P ( x)
= x + a x + ... + a
n+
1 n
és Q x)
= x + b x + ... + b + 1 polinomok
1
n ( 1
1' x2
, 3 ,..., n+
1
n+
1
n
gyökei x x ,..., x , illetve x , ' x ' x ' . Bizonyítsd be, hogy
1,
2
n
∏ ( xi
')
= ∏
P Q(
x ) !
i=
1 i=
1
i
n
n
n
n ∈
(M.L. 3/1975., N. Micu)