Tecniche acustiche di inversione temporale e DOA con applicazione ...

2. Stima della direzione d’arrivo DOA 27
definizione e nell’ipotesi di segnali incidenti e rumore non correlati, la matrice
di covarianza m × m può essere scritta nel modo seguente:
R = ASA + + λR0, (2.6)
Quando il numero di fronti d’onda incidenti d èminoredelnumerodegliele-
menti dell’array m la matrice ASA + è singolare e quindi ha un rango minore
di m. Perciò
|ASA + | = |R − R0| =0. (2.7)
La (2.7) è soddisfsatta solo per λ uguale a uno degli autovalori di R nella
metrica di R0. Ma per A a rango pieno e S definita positiva, ASA + deve
essere definita non negativa. Perciò λ non può che essere l’autovalore minimo
λmin. Da quest’ultima relazione si deduce che qualsiasi matrice misurata R =
E[r(t)r + (t)], può essere scritta
R = ASA + + λminR0 λmin ≥ 0, (2.8)
con λmin che rappresenta la soluzione più piccola di |R − R0| = 0. Nel caso
particolare di elementi del vettore rumore n(t) a media nulla e varianza σ 2 si
avrà λminR0 = σ 2 I .
2.2.2 Interpretazione geometrica
In un linguaggio geometrico, il vettore delle misure R può essere visualizzato
come un elemento in uno spazio m-dimensionale.
Le colonne di A, interpretate come vettori directional mode a(θj) =aij per
i =1, 2, ··· ,m possono essere rappresentate nel medesimo spazio.