Tecniche acustiche di inversione temporale e DOA con applicazione ...

3. Stima DOA in parziale coerenza spaziale 37
in cui p(t) è, come già osservato per r(t) en(t), un vettore m × 1,
p T (t) =[p1(t) ···pm(t)], (3.4b)
e G(t) è la matrice m × d delle perturbazioni del fronte d’onda, così definita:
[G(t)]ik = gik(t). (3.4c)
Il simbolo ◦ indica il prodotto matriciale elemento per elemento (Schur-Hadamard).
La covarianza d’array, corrispondente al modello di parziale coerenza spaziale,
è ottenuta calcolando il valore atteso del prodotto di p(t) per il suo trasposto
coniugato.
P = E[p(t)p + (t)], (3.5)
Per rumori sui sensori additivi, perturbazioni aleatorie del fronte d’onda e
segnali sorgente mutuamente scorrelati, a partire da (3.1) si può mostrare che
con δij =0,i= j, eδij =1,i= j.
[P]ij = bij[ASA + ]ij + δijσ 2 , (3.6)
Per definizione bij = 1,la (3.6) può essere riscritta come
con B data da
P = B ◦{ASA + } + σ 2 I = B ◦ R, (3.7)
B =[bij] =[bi−j]. (3.8)
Dall’espressione (3.8) si deduce che la B è simmetrica, Toeplitz e definita
positiva. Infatti, osservando la (3.1) e la (3.2), la B può essere considerata
come la covarianza d’array di un singolo fronte d’onda che giunge sull’array