G. Giunta, Lucidi del corso Elaborazione dei Segnali per ... - Comlab

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.1
Universita' di Roma TRE
Corso di laurea in Ingegneria Elettronica
Corso di laurea in Ingegneria Informatica
Lucidi del corso di
Elaborazione dei Segnali per
Telecomunicazioni (laurea specialistica)
x(n+1)
(docente: Prof. G. Giunta)
x(n)
z -1
-a 1
z -1
-a
2
z -1
•
•
•
z
-a
N
-1
•
•
•
1
-1
P(z)
predittore
H(z)
^x(n+1)
e
filtro dell'errore
di predizione
1 a edizione: aprile 2004
disponibile su sito WEB per download gratuito
e(n+1)

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TRASFORMAZIONI DI SEQUENZE
T: I → U
• trasformazioni invertibili (corrispondenza
biunivoca)
• trasformazioni istantenee (o "di punto")
y(n) = g n [x(n)]
• trasformazioni causali (fisicamente realizzabili)
y(n) = g n [x(n), x(n-1), x(n-2), ...]
• trasformazioni anticausali (anticipatorie)
y(n) = g n [x(n+1), x(n+2), x(n+3) ...]
• trasformazioni "miste" (ne' causali ne'
anticausali)
y(n) = g n [..., x(n-1), x(n), x(n+1) ...]

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• trasformazioni a memoria finita
y(n) = g n [x(n-M)..., x(n-1), x(n), x(n+1) ..., x(n+N)]
• trasformazioni invarianti alla traslazione
g n+k [•] = g n [•] = g k [•] = g [•]
• trasformazioni omogenee
A•g n [..., x(n-1), x(n), x(n+1), ...] =
=g n [..., A x(n-1), A x(n), A x(n+1), ...]
• trasformazioni additive
g n[...,x 1(n-1),x 1(n),x 1(n+1),...] +
+g n[...,x 2(n-1),x 2(n),x 2(n+1),...] =
=g n [..., x 1(n-1)+x 1(n-1), x 1(n)+x 2(n), x 1(n+1)+x 2(n+1), ...]
• trasformazioni lineari (additiva + omogenea)
Σ k A k g n [...,x k(n-1),x k(n),x k(n+1),...] =
=g n [..., Σ k A k x k(n-1), Σ k A k x k(n), Σ k A k x k(n+1), ...]

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• struttura delle trasformazioni lineari
y(n) = L [x(n)] =
x(n) = Σ k x(k) δ(n-k)
y(n) = Σ k x(k) L [δ(n-k)] = Σ k x(k) h nk = x(n)⊗h(n)
h(n): risposta impulsiva della trasformazione
• forma vettoriale delle trasformazioni lineari
y(n) = Σ k x(k) h nk puo' essere espressa in forma vettoriale:
Y = H X (X, Y: vettori; H: matrice)
• struttura delle trasformazioni LSI (linear shiftinvariant)
H
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
≠
≠
memoria finita causale
0
0
0
0
≠
≠
≠
0
0
0
0
0
≠ 0
≠ 0
≠ 0
0
0
≠ 0
≠ 0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
≠
≠
≠
≠
≠ 0
≠ 0
≠ 0
≠ 0
≠ 0
≠ 0
(struttura a fascio diagonale) (struttura triangolare inferiore)
H
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦

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TRASFORMAZIONI STABILI
ingresso limitato → uscita limitata (criterio BIBO)
TEOREMA:
una trasformazione LSI e' stabile se e solo se la
sua risposta impulsiva e' assolutamente
sommabile.
prova : sia x max il massimo del modulo di tutti gli {x(k)}
• caso di h(n) assolutamente sommabile:
|y(n)| ≤ x max Σ k |h(k)| < +∞
• caso di h(n) non assolutamente sommabile:
x(n) = sign [h(-n)]
y(0) = Σ k h(k) sign[h(k)] = Σ k |h(k)| = +∞
LEMMA:
una trasformazione LSI a memoria finita e'
incondizionatamente stabile.

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• esempi
• forme non ricorsive:
y(n) = x(n) • z(n) : lineare, non invariante, istantanea, stabile
y(n) = x(n)-x(n-1) : lineare, invariante, causale, a memoria finita,
stabile
y(n) = x(n-1) - 2 x(n) + x(n+1) : lineare, invariante, ne' causale
ne' anticausale, a memoria finita, stabile
• forme ricorsive:
y(n) = 0.5 y(n-1) + x(n) : lineare, invariante, a memoria infinita,
causale, stabile
y(n) = 2 y(n-1) + x(n) : lineare, invariante, a memoria infinita,
causale, non stabile
y(n-1) = 0.5 y(n) - 0.5 x(n) : lineare, invariante, a memoria
infinita, anticausale, stabile
y(n-1) = 2 y(n) - 2 x(n) : lineare, invariante, a memoria infinita,
anticausale, non stabile
Si noti come le stesse equazioni alle differenze possono fornire
soluzioni stabili o instabili, a seconda che siano "lette" nel verso
causale o anticausale.

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EQUAZIONI LINEARI
ALLE DIFFERENZE
• in alcuni sistemi, la sequenza di ingresso x(n) e quella di uscita
y(n) sono legate da un'equazione alle differenze lineare a
coefficienti costanti di ordine N:
k
N
0
=
∑
a
k
y(
n
−
k)
=
m
M
0
=
∑
b
m
x(
n
−
m)
•lasequenza della risposta impulsiva di un sistema h(n), ovvero
l'uscita y(n) quando in ingresso e' presente un impulso ideale δ(n),
non e' univocamente definita. Infatti, la soluzione non e' unica,
ma esistono 2 N possibili soluzioni.
• la soluzione puo' divenire unica solo imponendo vincoli alla h(n)
quali la causalita' oppure l'anticausalita' od anche, in alternativa,
la stabilita' del sistema.
• la soluzione causale impone l'uscita sia nulla per istanti negativi,
quella anticausale che lo sia per istanti positivi o nulli; quella
stabile che la risposta impulsiva del sistema converga
asintoticamente a zero (stabilita' asintotica) oppure sia limitatata
entro valori finiti (stabilita' marginale o, piu' semplicemente,
stabilita') al tendere all'infinito della variabile tempo-discreto.

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• sia dato, a titolo di esempio, il sistema del primo ordine:
ove a e' una costante arbitraria.
y(n) = a y(n-1) + x(n)
• esistono due soluzioni: una causale e l'altra anticausale. Per
ottenere la sequenza della risposta impulsiva h(n) nel caso
causale, si imponga x(n)=δ(n) e si osservi l'uscita y(n),
supponendo condizioni iniziali di riposo, cioe' y(n)=h(n)=0 per
n

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• al contrario, se si cerca la soluzione anticausale, si impone
sempre x(n)=δ(n), ma si assume y(n)=h(n)=0 per n>0, e si osserva
l'uscita y(n).
•l'equazione alle differenze puo' essere riscritta, per comodita',
come segue:
Si ha allora:
y(n) = a -1 y(n+1) - a -1 x(n+1)
y(n) = h(n) = 0 per n>0
y(0) = h(0) = a -1 y(1) = 0
y(-1) = h(-1) = a -1 y(0)-a -1 =-a -1
y(-2) = h(-2) = a -1 y(-1) = - a -2
•••••••••
y(n) = h(n) = a -1 y(n+1) = - a -n
Quindi:
h(n) = - a n U(-n-1)

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• in realta', e' solitamente di interesse applicativo cercare la
soluzione stabile del sistema.
• nel caso del sistema del primo ordine, la soluzione stabile
coincide con quella causale se |a|1 (e'
una soluzione asintoticamente stabile)
• N.B.: sono entrambe stabili (marginalmente) le soluzioni (sia la
causale che la anticausale) se |a|=1.
• piu' in generale, dato un sistema di ordine generico, la ricerca
della sua soluzione stabile puo' portare a determinare
contemporaneamente una parte causale ed una parte
anticausale.
• infatti, e' possibile eseguire una decomposizione del sistema in
sottosistemi paralleli equivalenti, tutti con il vincolo della
stabilita'.
• di conseguenza, alcuni sottosistemi risulteranno essere causali,
mentre gli altri saranno anticausali.

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TRASFORMATA Z
• definizione (trasformata Z bilatera)
X(z) = Z{x(n)} = ∑ +∞
ovez=re jω e' una variabile complessa del piano Z:
• esempio:
1
r
n
=
−∞
z
ω
0 M
3
2
2
0 N
y(i)
x(i)
1
X(z)=1+2z -1 +z -2 +z -3
1
i
i
x
(
n
Y(z)=3+2z -1 +z -2
1
)
z
−
n

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• relazione con la trasformata di Fourier
la definizione di trasformata Z puo' essere riscritta come:
X(
z)
=
+∞
n=
−∞
∑
x(
n)
r
−n
e
−jωn
=
F
{ } n −
x(
n)
r
quindi, la trasformata Z puo' essere interpretata come la
trasformata di Fourier continua della sequenza x(n) moltiplicata
per una sequenza esponenziale (parametrica in r)
N.B.: si noti che, per r=1, la trasformata Z si riduce alla
trasformata di Fourier, per cui:
F{x(n)} = X(n) = Z{x(n)} |z=e jω = X(z) |z=e jω
a causa di cio', la trasformata di Fourier X(ω) e' talvolta indicata
con il simbolo X(e jω ) per evidenziare tale proprieta'.

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• convergenza della trasformata Z
coincide con la convergenza della trasformata di Fourier della
sequenza {x(n) r -n }
spesso, non converge su tutto il piano Z, ma su un suo
sottoinsieme, detto REGIONE DI CONVERGENZA (ROC)
esempio 1: sequenza esponenziale causale
ROC = {|z|>|a|}
x(n) = a n U(n)
esempio 2: sequenza esponenziale anticausale
ROC = {|z|

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1
X( z)
= − Y(
z)
= −
1−
az
osservazione: x(n) e -y(n) hanno la stessa trasformata Z:
infatti:
Y(
z)
=
n
−1
X(
z)
( az
−1
)
n
∑ +∞
=
n=
0
=
+∞
= −∞ n 1
∑ ∑
=
( a
( a
z
−1
−1
z)
1
) =
1−
a z
n
1
=
1−a
−1
1
−1
1
−1=
−
z 1−az
ovviamente, la soluzione stabile avra' ROC diversi a seconda che
il punto a nel piano Z si trovi dentro o fuori il cerchio unitario:
ROC = {|z|>|a|} per |a||a|} oppure {|z|

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• proprieta' della trasformata Z
x(n) ↔ X(z)
linearita': a x(n) + b y(n) ↔ a X(z) + b Y(z)
traslazione: x(n+K) ↔ z K X(z)
molt. per esponenziale: z o n x(n) ↔ X(z/z ο )
differenziazione: n x(n) ↔ -z dX(z)/dz
inversione: x(-n) ↔ X(1/z)
coniugazione: x*(n) ↔ X*(z*)
convoluzione: x(n) ⊗ y(n) ↔ X(z) Y(z)
correlazione: x*(-n) ⊗ y(n) ↔ X*(1/z*) Y(z)
val. iniziale: x(n) causale ⇒ x(0) = X(z)|z→+∞

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• le trasformazioni lineari invarianti alla
traslazione (LSI)
H ( z)
=
y(n) = x(n) ⊗ h(n) ↔ Y(z) = X(z) H(z)
Y(
z)
X(
z)
• sul cerchio unitario:
:
FUNZIONEDI
TRASFERIMENTO
z=e jω
H(e jω ) : RISPOSTA IN FREQUENZA
H(e jω )=|H(e jω )| e jarg{H(ejω )}
|H(e jω )| : GUADAGNO IN FREQUENZA
arg{H(e jω )} : RISPOSTA IN FASE
N.B.: ω e' un angolo ⇒ come e’ noto dalla trasformata continua di
Fourier di sequenze discrete, H(e jω )e'PERIODICA DI 2π

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• equazioni alle differenze e trasformata Z
L'equazione alle differenze:
k
N
0
a
k
y(
n − k)
=
m
M
= =
∑ ∑
0
b
m
x(
n
−
m)
puo' essere risolta mediante l'ausilio della trasformata Z; infatti,
essa puo' essere riscritta come:
Y(
z)
k
N
0
a
k
z
− k
=
X(
z)
m
M
= =
∑ ∑
che fornisce una funzione di trasferimento H(z):
H(
z)
M
m=
0 = N
∑
k
0
=
∑
Il problema e' quindi ANTITRASFORMARE la H(z) per ottenere
la sequenza h(n) corrispondente alla soluzione stabile.
Il modo canonico utilizza il metodo di decomposizione in frazioni
parziali o metodo dei residui.
b
a
m
k
z
z
−m
−k
0
b
m
z
−m

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• metodo dei residui
Sia V(x) un rapporto di polinomi nella variabile complessa x:
V(
x)
=
Q(
x)
P(
x)
b
=
a
0
0
+ b
1
+ a
1
x + b
x + a
2
2
x
x
2
2
+ . . + b
Q
+ . . + a
Se il quoziente non e' proprio, ovvero se Q≥P, cioe' se il grado del
numeratore e' maggiore o uguale a quello del denominatore, lo si
rende proprio effettuando la divisione tra polinomi con resto,
ottenendo cosi':
Q−p
Q−p−1
V( x)
= CQ
P x + CQ
P 1 x + . . + c1
x+
c0
−
ove H(x) e' un rapporto di polinomi dato da:
H(
x)
=
R(
x)
P(
x)
r
=
a
−
0
0
−
+ r
1
+ a
1
x + r
2
x + a
2
x
2
x
+ . . + r
2
Q
+ . . + a
P
x
P
x
x
Q
x
Q
P
+
P
H(
x)
in cui R(x) e' il resto della divisione costituito da un polinomio di
grado G

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Il teorema dei residui afferma che e' possibile espandere in fratti
semplici un quoziente proprio di polinomi nel modo seguente:
H(
x)
=
R(
x)
P(
x)
=
D
A k
x − x
+
∑ ∑ ∑
= = =
k
1
ove il polinomio P(x) ha P zeri (quindi V(x) ed H(x) hanno P
poli) di cui D distinti (xk) ed M multipli (xm) con molteplicita' S1,
S2, ..., SM, rispettivamente, con:
P = D +
k
M
m=
1
∑
S
m
M
m
1
S
n
m
1
( x
C
−
m n
mentre Ak eCmn sono i residui definiti dalle espressioni:
C
m n
=
( S
m
[ H(
x)
⋅(
x − x ] k)
x xk
A k =
=
1
−n
) !
⋅
⎨
⎧
d
d x
( S
m
( S
− n )
m
− n )
x
Sm
[ H(
x)
⋅(
x − x ) ]
⎩
Per utilizzare per il calcolo di antitrasformate-Z l'espansione in
fratti semplici, teste' illustrata in funzione di una generica
variabile complessa x, e' possibile considerare l'espressione nel
dominio trasformato come un rapporto di polinomi nella variabile
complessa z o, alternativamente, nella variabile complessa z-1.
Entrambe le vie risultano in generale proponibili. Tuttavia, al fine
di poter applicare direttamente le regole di antitrasformazione gia'
note ai diversi fratti semplici ottenibili con il metodo dei residui,
e' sovente consigliabile operare nella variabile complessa z-1.
k
m
⎫
⎭
⎬
)
n
x=
x
m

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• risposte dei sottoblocchi semplici
Con il metodo dei residui la funzione di trasferimento H(z) e'
implementata mediante il parallelo di sottoblocchi semplici,
costituiti (in assenza di poli multipli) da sistemi del primo ordine
(dovuti a poli reali) con risposta impulsiva infinita (IIR), oltre ad
un sottoblocco (in alto in figura) con risposta impulsiva finita
(FIR):
x(n)
Σ b z -r
r
r
A 1
1-d z
1
•••
A
k
1-d z
k
parti causali (|d k|1): y k(n-1) = d k -1 [yk(n)-A k x(n)]
−1
−1
y(n)

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In pratica, se la funzione di trasferimento H(z) e' a coefficienti
reali, essa e' implementata mediante il parallelo di sottoblocchi
semplici, costituiti (in assenza di poli multipli) da sistemi reali del
primo ordine (dovuti a poli reali) o da sistemi reali del secondo
ordine (dovuti a coppie di poli complessi coniugati) del tipo:
esponenziale causale decrescente:
1−
a z
1 n
↔ a −1
esponenziale anticausale crescente:
1−
a z
1 n
↔ a −1
sinusoide causale decrescente:
U(
n)
U(
−n
−1)
−1
1− r cos(
α)
z
n
↔ r
−1
2 −2
1−
2r
cos( α)
z + r z
sinusoide anticausale crescente:
−1
1− r cos(
α)
z
n
↔ −r
−1
2 −2
1−
2r
cos( α)
z + r z
( z > a )
(
z
<
a
)
cos( nα)
U(
n)
cos( nα)
U(
−n
−1)
(
z
(
>
z
r
)
<
r
)

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• trasformazioni inverse
per definizione:
pertanto:
x(n) y(n) x(n)
H(z) H(z)
i
1
Hi ( z)
=
H(
z)
h(n) ⊗ h i(n) = δ(n)
Osservazione: l'equazione alle differenze del filtro inverso si
ottiene semplicemente scambiando formalmente l'ingresso x(n)
con l'uscita y(n).
Es.: filtro h(n):
filtro inverso di h(n):
y(n) = 0.5 y(n-1) + x(n)
y(n) = x(n) - 0.5 x(n-1)
N.B.: dato che si scambia il ruolo di poli e zeri, occorre fare
attenzione alla stabilita' del filtro inverso. Infatti l'inverso di un
filtro causale e stabile puo' non essere stabile se lo zero era
esterno al cerchio unitario. In tal caso, occorre scegliere la
soluzione anticausale per garantire la stabilita' del filtro inverso.

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucido n. 23
• risposta in frequenza di funzioni di
trasferimento razionali
Dato il generico sistema con funzione di trasferimento in Z
costituita da un quoziente di polinomi in z:
H(
z)
M
= m
∑
0
= N
k
0
=
∑
cui corrisponde la risposta in frequenza normalizzata ω:
H(
e
jω
)
M
b
m=
0 = N
∑
=
∑
k
0
a
b
m
a
k
m
k
z
z
−m
−k
e
e
− jωm
− jωk
e' possibile esprimere la risposta in frequenza in funzione dei poli
(zeri del polinomio in z al denominatore) e zeri (zeri del
polinomio in z al numeratore) come:
H(
e
b
M
∏
jω
0 m=
1 ) = N
a 0
∏
k=
1
( 1−
c
( 1−
d
m
k
e
e
− jω
− jω
)
)

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Esaminando separatamente il guadagno (in modulo) e la risposta
in fase del filtro H(z), e' possibile esprimere il guadagno in dB
(riferito a MAX{|H(ejω )|} = 1) come:
guadagno in dB = 20 log 10 |H(e jω )|
attenuazione in dB = -20 log 10 |H(e jω )|
Pertanto un fattore 10 sul modulo (100 sul modulo quadro)
corrisponde a 20 dB, mentre un fattore 2 sul modulo (4 sul
modulo quadro) corrisponde a 6 dB.
Osservazione: si noti come la relazione moltiplicativa che
lega lo spettro dell'uscita a quello dell'ingresso di un sistema
diviene additiva in dB:
20 log 10 |Y(e jω )| = 20 log 10 |X(e jω )| + 20 log 10 |H(e jω )|
• risposta in fase di funzioni di trasferimento
razionali
Si ha che:
arg
−
−
⎫ ⎧
M
N
jω
b 0
jω
jω
{ H ( e ) } = arg + arg{
1−
c e } − arg{
1−
d e }
⎨
⎩
a
0
⎭
⎬
∑
= =
∑
m
Si noti che arg{•} e' un angolo che assume valori in [−π,π]
1
m
k
1
k

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• trasformazioni passa-tutto
Sono quelle con risposta in frequenza (in modulo) costante (e, per
comodita', unitaria).
Es.: filtro numerico di Hilbert: H(ω) = -j sign[sin(ω)]
Una classe di filtri numerici passa-tutto e' la seguente:
H
ap
( z)
=
M
∏
k=
1
−1
z − a
1−a
z
Si noti che gli zeri sono i reciproci dei poli rispetto al cerchio
unitario.
a
k
piano Z
Osservazione: il ritardo di gruppo di un filtro passa-tutto
causale e stabile e' OVUNQUE positivo (per ogni ω).
1
1/a*
∗
k
−1

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.26
• trasformazioni a fase minima
Sono quelle che hanno poli e zeri ALL'INTERNO del cerchio
unitario.
Un generico filtro con funzione di trasferimento razionale puo'
essere scritto come:
ove
H( z)
= Hmin(
z)
Hap(
z)
H
ap
( z)
=
M
∏
k=
1
−1
z − a
1−
a z
Allora, dato un filtro generico razionale, si puo' renderlo a fase
minima (modificando la sua risposta in fase ma mantenendo
immutato il guadagno in modulo) invertendo l'equazione
precedente:
H
min
( z)
=
k
H(
z)
H ( z)
ovvero, piu' rapidamente, sostituendo la parte con lo zero (polo)
esterno al cerchio unitario (|a|>1) con una (equivalente in modulo)
con lo zero (polo) reciproco e quindi interno al cerchio unitario:
ap
∗
k
−1
(1-az -1 ) → (z -1 -a*)

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.27
• proprieta' dei filtri a fase minima
Un filtro causale e stabile e' invertibile in forma causale solo se e'
a fase minima, nel senso che anche il filtro inverso e' causale e
stabile.
Le trasformazioni a fase minima hanno il minimo ritardo di fase.
Infatti:
arg{|H(e jω )|} = arg{|H min(e jω )|} + arg{|H ap(e jω )|}
Inoltre, a parita' di guadagno in frequenza, i filtri a fase minima
hanno il minimo ritardo di gruppo. Infatti:
grd{|H(e jω )|} = grd{|H min(e jω )|} + grd{|H ap(e jω )|}
ove grd{•} sta per "ritardo di gruppo di".
Infine, i filtri a fase minima sono i piu' "rapidi" filtri causali
realizzabili, nel senso che l'energia della risposta impulsiva e' la
piu' concentrata possibile in prossimita' dell'origine. Infatti, detta
Ei(M) l'energia della sequenza hi(n) compresa tra l'origine dei
tempi e l'istante M, ovvero la quantita':
E
i
( M)
=
M
n=
0
∑
h
i
( n)
risulta che Ei(M) e' massima per un certo i=k seesolosehk(n) e'
una sequenza a fase minima.
2

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.28
GRAFI E STRUTTURE
Ci occuperemo della rappresentazione di sistemi a tempo discreto
mediante grafi. Un grafo di flusso e' una rete di rami orientati che
si connettono in corrispondenza di nodi. Ad ogni nodo e' associata
una variabile o valore del nodo.
Ad ogni grafo corrisponde un sistema di equazioni alle differenze
ovvero, equivalentemente, una funzione di trasferimento nel
dominio Z. Al contrario, una funzione di trasferimento puo' essere
realizzata mediante piu' grafi differenti.
Il concetto di grafo e' percio' legato a quello di rete. Tuttavia, e'
necessario sottolineare che un grafo e' una realizzazione
dell'algoritmo matematico di elaborazione, ovvero un modello che
possiede la fuzione di trasferimento desiderato, mentre una rete e'
lo schema circuitale che implementa l'algoritmo stesso e che
quindi potrebbe venir utilizzata come schema elettronico del
progetto realizzativo.
• componenti
x(n)
x(n)
y(n)
a
z -1
x(n)+y(n)
x(n) ax(n)
x(n-1)

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.29
• strutture fondamentali
• forma canonica:
Y(
z)
X(
z)
H( z)
= = −1
−1
−2
−3
x(n)
• forma in cascata:
x(n)
1
-d
-e
H(
z)
1
1
z -1
z -1
=
Y(
z)
X(
z)
a
b
c
1
1
1
1
-c
-d
1+
c z
z -1
z -1
z -1
a + b z
+ d z
a
b
-e
parte IIR parte FIR
=
M
∏
k=
1
•••
a
k
+ b
1+
d
z
−1
k
−1
k z
+ e z
+ e
y(n)
+ c
1
-d
-e
k
k
k
−2
k
−2
z
z
z -1
z -1
a
b
c
k
k
k
y(n)

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.30
• forma parallela:
x(n)
H(
z)
=
Y(
z)
X(
z)
1
-d
-e
1
1
-d
1
•••
k
-e
k
=
z -1
z -1
z -1
z -1
M
k=
1
∑
a
1
b
1
c
1
c
k
a
k
+ b
1+
d
k
k
z
z
−1
−1
+ c
+ e
N.B.: sovente c k=0 se utilizzo il metodo dei residui in z -1 .
a
k
b
k
k
k
z
z
−2
−2
y(n)

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.31
PROGETTAZIONE DI FILTRI
NUMERICI A RISPOSTA IMPULSIVA
INFINITA (IIR)
• invarianza della risposta impulsiva
La procedura richiede:
1) normalizzare le grandezze temporali e frequenziali per operare
(per comodita') con T=1;
2) progettare un filtro analogico Ha(s) in base alle specifiche
tenendo anche conto dell'effetto di aliasing;
3) decomporre in fratti semplici mediante il teorema dei residui la
Ha(s) individuata;
N
N
Ak
Ha ( S)
= h a ( t)
=
s − s
k=
∑
4) determinare H(z):
H(
z)
=
N
k=
1
∑
1−
e
k= 1 k
∑
A
k
S
k
z
−1
N
1
A
k
e
S
k
t
U(
t)
S n
h( n)
A k e U(
n)
( T = 1,
s k
=∑
k=
1
utilizzando la relazione (nel caso di poli distinti):
1
s + c
↔
ove c e' il generico polo analogico.
T
1−
e
−cT
−1
z
k <
5) verificare la risposta H(e jω ) del filtro progettato.
0)

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.32
Il metodo dell'invarianza della risposta impulsiva (piu'
brevemente: all'impulso) consente di progettare un filtro numerico
sfruttando un precedente progetto di un corrispondente filtro
analogico.
I due filtri, in questo caso, conserveranno la medesima risposta
impulsiva nel senso che quella del filtro numerico corrispondera' a
quella analogica, campionata con un opportuno intervallo.
h(n) = T h a(nT)
ove h a(t) e' la risposta impulsiva analogica desiderata.
Cio' consente al progettista di sfruttare le proprieta' di classi di
filtri nel dominio a tempo continuo, trasferendoli, senza
deformazioni, nel dominio a tempo discreto.

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.33
Evidentemente, la procedura richiede che la risposta impulsiva sia
campionabile senza perdita di rappresentazione in base al criterio
di Nyquist.
In caso contrario, sorge il problema dell'aliasing spettrale della
risposta in frequenza del filtro analogico.
H(
e
jω
)
∑ +∞
=
k=
−∞
H
Va precisato tuttavia che non si tratta, in senso stretto, di un errore
di aliasing, in quanto nel filtro numerico entrano sequenze che si
possono supporre scaturiti da segnali campionati in maniera
corretta. Cio' che risulta aliasato e' invece la risposta in frequenza
del filtro numerico realizzato, nel senso che essa non
corrispondera' piu' a quella analogica, replicata a causa del
campionamento.
In altre parole, non sono i segnali in gioco, ma e' il progetto ad
essere affetto da aliasing spettrale.
Va infine osservato che la sovrapposizione spettrale e' algebrica e
puo', persino, risultare di giovamento alle caratteristiche filtranti
del filtro numerico quando le repliche che si sovrappongono
hanno fasi opposte.
a
( j
ω
T
+
jk
2π
T
)

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.34
• trasformazione bilineare
La procedura richiede:
1) normalizzare le grandezze temporali e frequenziali per operare
(per comodita') con T=1;
2) alterare le specifiche del filtro analogico da H a(f) a H a(F)
deformando l'asse delle frequenze (f→F) in base alla relazione:
F=tg(πf)/π ovvero Ω =2tg(ω/2)
3) Progettare un filtro analogico H a(s) in base alle specifiche cosi'
modificate;
4) determinare H(z) utilizzando la sostituzione formale:
1−
z
s = 2 −
1+
z
N.B.: non e' necessario verificare la risposta H(e jω ) del filtro
progettato poiche' NON c'e' aliasing.
−1
1

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.35
Anche il metodo della trasformazione bilineare, come quello
dell'invarianza della risposta impulsiva (argomento del capitolo
precedente) consente di progettare un filtro numerico sfruttando
un precedente progetto di un corrispondente filtro analogico.
In questo caso, pero', i due filtri non avranno la medesima risposta
in frequenza (ed impulsiva), nel senso che quella del filtro
numerico corrispondera' a quella analogica deformata in modo
non lineare.
Infatti, la risposta in frequenza del filtro numerico progettato
mediante la trasformazione bilineare puo' essere ottenuta
comprimendo la risposta analogica, in modo crescente con il
valore assoluto della frequenza.
f = arctg(πF)/π ovvero ω = 2 arctg (Ω/2)
In pratica, mentre la risposta alle basse frequenze risulta
immodificata, quella alle alte frequenze e' compressa in modo da
portare il valore asintotico della risposta in frequenza (per
frequenza infinita) in corrispondenza della meta' della frequenza
di campionamento (ω=π).

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.36
E' allora evidente come, in base al criterio di Nyquist, non sorga
in questo caso il problema dell'aliasing spettrale della risposta in
frequenza del filtro analogico.
Va precisato tuttavia che errori di aliasing possono essere sempre
presenti se nel filtro numerico entrano sequenze che sono scaturiti
da segnali campionati in maniera non corretta.
Cio' che non risulta aliasata e' invece la risposta in frequenza del
filtro numerico realizzato, nel senso che le repliche della stessa
dovute al campionamento temporale non si sovrapporranno mai a
causa della deformazione della risposta in frequenza del filtro.
Per ovviare all'inconveniente della deformazione delle specifiche,
occorre compensare il fenomeno con una pre-deformazione
inversa delle specifiche stesse.
Pertanto, in sede di progetto si deforma l'asse delle frequenze in
maniera opposta a quella che la trasformazione bilineare produrra'
inevitabilmente, ottenendo cosi' le specifiche del filtro desiderato.
In pratica, poiche' la risposta del filtro realizzato risulta compressa
in frequenza per effetto dell'applicazione della trasformazione
bilineare, e' necessario che tale risposta sia preventivamente
espansa in frequenza, per ottenere cosi' le specifiche desiderate
dopo l'applicazione della trasformazione bilineare.
E' opportuno precisare che la deformazione delle frequenze
sussiste soltanto nelle specifiche di progetto e non nella risposta
del filtro numerico.
Quest'ultimo, infatti, in quanto sistema lineare, impone una
relazione lineare tra le frequenze a tempo campionato ed a tempo
continuo.

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.37
Per ottenere la funzione di trasferimento in z del filtro numerico,
la procedura richiede, una volta riportate sulle specifiche
analogiche le conseguenze della pre-deformazione spettrale, la
trasposizione della funzione di trasferimento del filtro analogico
dal dominio continuo a quello a tempo discreto, in base alla
semplice regola di conversione dell'operatore continuo di
derivazione s, che viene trasposto nel rapporto incrementale,
valutato a distanza di campionamento:
1−
z
H( z)
= 2 −
1+
z
che corrisponde all'equazione alle differenze:
−1
y(n) + y(n-1) = 2 [x(n) - x(n-1)]
che, scritta in modo inverso, rappresenta la ben nota formula di
integrazione numerica trapezoidale:
x(n) = x(n-1) + 0.5 [y(n) + y(n-1)]
E' infine interessante notare come questa trasformazione si
applichi direttamente all'espressione in s della funzione di
trasferimento e non richieda quindi, al contrario del metodo
dell'invarianza all'impulso basato sulla decomposizione in fratti
semplici, alcuna elaborazione simbolica.
Esempi di filtri realizzati con le tecniche dell'invarianza impulsiva
e della trasformazione bilineare sono la famiglia dei filtri di
Butterworth, caratterizzati da un guadagno piatto, banda costante
(a -3 dB) e pendenza dei fianchi della risposta nella zona di
transizione dipendente dall'ordine del filtro.
1

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.38
CAMPIONAMENTO DELLA
TRASFORMATA Z E RELAZIONE
CON LA TRASFORMATA DISCRETA
DI FOURIER (DFT)
La DFT e' strettamente legata alla trasformata Z sul cerchio
unitario:
N−1
X( K)
x(
n)
e = X(
z)
2π
k = X(
z)
−k
j z=
N WN
=∑
n=
0
ove e' stato definito:
n k
−j2π
N
W
N
= e
2π
− j
N
z=
e
La DFT e' una versione campionata della trasformata Z. Infatti:
=
X(
z)
1
N
N−1
=
N−1
x(
n)
z
−n
=
N−1
n=
0
1
N
N−1
∑
n=
0
k=
0
∑ ∑
X(
k)
N−1
( W
−k
N
z
−1
X(
k)
1−
z
=
N
−N
W
N−1
∑
∑ ∑
k=
0 n=
0
k=
0
)
n
−kn
N
z
−n
=
X(
k)
1−
W z
che costituisce il TEOREMA DEL CAMPIONAMENTO
DELLA TRASFORMATA Z.
−k
N
−1

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.39
Sul cerchio unitario la relazione precedente diviene:
1−
e
X(
k)
∑ − − jωN
N 1
jω
X( e ) =
−k
− jω
N k=
0 1−
WN
e
=
∑ − N 1
k=
0
2π
X(
k)
psa(
ω − k)
n
ove la funzione "periodica di campionamento" psa(•) e' definita
come:
psa(
ω)
=
sin(
Nsin
ω N
2
ω ( 2
)
e
)
N−1
− jω
2
Tale relazione tra i campioni della DFT e la pulsazione
normalizzata ω e' nota come TEOREMA DEL
CAMPIONAMENTO IN FREQUENZA.
In pratica, la funzione psa(ω) interpola i campioni della DFT
effettuando una convoluzione (circolare) con un funzione
periodica, ritadata nel tempo di meta' periodo avendo definito
0≤n≤N-1, che costituisce la versione periodata (come fosse
aliasata nel tempo) del sinc(•).
=

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.40
L'interpolazione in frequenza dei campioni DFT di una sequenza
temporale, che determina la trasformata di Fourier continua dei
campioni temporali stessi, ha quindi l'espressione di una
convoluzione circolare in ω.
L'andamento della funzione interpolante in frequenza (ovvero, la
funzione di tipo passa-basso che entra nella operazione di
convoluzione) e' quello illustrato in figura (a parte il ritardo di
(N-1)/2 campioni
che produce una rotazione di fase linearmente variante con ω):
15
10
5
0
-5
-1,0
-0,5
sin(
ω N / 2)
sin ( ω / 2)
0,0
ω ω / / π
π
0,5
1,0

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.41
SERIE ALEATORIE
Una serie aleatoria o stocastica e' un insieme di sequenze dotato di
una misura di probabilita'.
Ogni sequenza dell'insieme e' una realizzazione estratta dalla
serie.
Es.: serie armoniche:
• momenti notevoli
{x(n; a,ω,φ)}={ae j(ωn+φ) }
Ricordando la definizione di valore atteso di una variabile
aleatoria x con densita' di probabilita' p x(x):
[ x]
x p ∫ ( x)
dx
+∞
=
E x
−∞
definiamo alcuni momenti notevoli di uso comune:
- valore atteso: E[x(n)] = m(n)
E[x(n)] = m (se stazionaria)
- autocorrelazione: E[x*(n) x(i)] = R xx(n,i)
E[x*(n) x(i)] = R xx(n-i) (se stazionaria)
- cross-correlazione: E[x*(n) y(i)] = R xy(n,i)
E[x*(n) y(i)] = R xy(n-i) (se stazionarie)

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.42
N.B.: l'autocovarianza e' l'autocorrelazione di {x(n)-m(n)}
Osservazione: la matrice di autocorrelazione R xx(n,i) e'
definita semipositiva, ovvero:
Σ i Σ n a*(n) a(i) R xx(n,i) ≥ 0 per ogni a(n)
N.B.: Per quanto detto, la sequenza di autocorrelazione statistica
assume un massimo per n=i. In particolare risulta (se stazionaria)
R xx(0)≥R xx(k) per ogni k.
• spettro di densita' di potenza
- (auto-)spettro di densita' di potenza (serie stazionarie):
trasformata continua di Fourier della sequenza di autocorrelazione
Rxx(k): Sxx(ω) =Σk Rxx(k) e-jωk - (cross-)spettro di densita' di potenza (serie stazionarie):
trasformata continua di Fourier della sequenza di crosscorrelazione
Rxy(k): Sxy(ω) =Σk Rxy(k) e-jωk Osservazione: come ogni trasformata di Fourier di sequenze,
lo spettro di densita' di potenza puo' essere visto come una
trasformata Z di R xx(k) o R xy(k) (talvolta denominate P xx(z) o
P xy(z)) valutate per z=e jω .

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.43
• transito in sistemi LSI
{x(n)}
h(n)
{y(n)}
Detta {x(n)} una serie aleatoria in ingresso, h(n) la sequenza
(determinata) della risposta impulsiva di un sistema lineare ed
invariante alla traslazione (LSI), {y(n)} la serie aleatoria in uscita
al sistema, risulta, per ogni realizzazione:
y(n) = x(n) ⊗ h(n)
In particolare, valgono le seguenti relazioni notevoli:
m y == m x Σ n h(n) = m x H(0)
R yy(k) = R xx(k) ⊗ h*(-n) ⊗ h(n) = R xx(k) ⊗ C hh(k)
R xy(k) = R xx(k) ⊗ h(n)
S yy(ω) =S xx(ω) |H(ω)| 2
S xy(ω) =S xx(ω) H(ω)

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.44
• prestazioni di uno stimatore
Data una stima pˆ di un parametro p estratto da una serie
aleatoria, definiamo:
- errore di stima:
la variabile aleatoria: ε = pˆ -p
Le grandezze statistiche dell'errore di stima ε da considerare, che
caratterizzano un particolare stimatore, sono:
- polarizzazione:
- varianza:
{} pˆ = E{}
ε = E{
pˆ p}
bias −
{ } { [ ] } 2
2
= E pˆ E(
pˆ )
{} pˆ = E [ ε − E(
ε ) ]
var −
- errore quadratico medio:
In generale, vale la relazione:
{ } 2
2 {} pˆ = E{
ε } = E [ pˆ p]
MSE −
MSE
2
[] pˆ = bias[]
pˆ + var[]
pˆ
Definizione: uno stimatore e' detto consistente seesoloseil
suo errore quadratico medio tende a zero al tendere all'infinito
delle osservazioni (numero di campioni).

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.45
Osservazione: la polarizzazione e' indicativa della bonta'
media di un certo numero di stime (dice quanto la media delle
stime si avvicina al valore vero); la varianza fornisce una
indicazione di quanto variano le singole stime, rispetto alla loro
media (dice quanto "ballano" le stime attorno alla media).
Esempio grafico:
polarizz. bassa
varianza bassa
polarizz. bassa
varianza alta
= valore vero
polarizz. alta
varianza bassa
= valore stimato
polarizz. alta
varianza alta

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.46
• stima di momenti notevoli
Data la serie {x(i)} osservata per 1≤i≤N, si ha:
stimatore del valore atteso:
mˆ
x
1
=
N
N
i=
1
∑
x(
i)
stimatore della autocorrelazione (non polarizzato):
R ˆ
xx
( k)
1
=
N − k
∑ − N k
i=
1
x(
i)
x(
i
+
k)
Cxx(
k)
=
N − k
stimatore della autocorrelazione (polarizzato):
R ˆ
xx
( k)
=
1
N
∑ − N k
i=
1
x(
i)
x(
i
+
C xx ( k)
k)
=
N
( perk
( per k
ove C xx(k) e' l'autocorrelazione della sequenza (finita) osservata
x(i).
In pratica, lo stimatore polarizzato risulta aver un minor errore
quadratico medio rispetto allo stimatore non polarizzato.
Infatti, la varianza dello stimatore non polarizzato e' assai piu'
grande (al crescere di k) di quella dello stimatore polarizzato (si
ricorda: MSE = |bias| 2 + var).
≥
≥
0)
0)

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.47
PROGETTAZIONE OTTIMA DI FILTRI
NUMERICI A RISPOSTA IMPULSIVA
FINITA (FIR) AI MINIMI QUADRATI
I metodi di progetto prima illustrati si basano su criteri del tutto
generali riguardo ai segnali che effettivamente transitano nei filtri
stessi. In altre parole, nella progettazione non e' stata considerata
alcuna caratteristica dei segnali in gioco.
Al contrario, e' possibile progettare filtri "ottimi" che risultano i
piu' idonei per filtrare determinate sequenze o classi di sequenze
in ingresso.
In particolare, si supponga di voler progettare un filtro numerico
di tipo FIR che approssimi una data risposta in frequenza
desiderata H d(e jω ), cui corrisponde una sequenza della risposta
impulsiva desiderata h d(n).
Inoltre, si supponga di conoscere la sequenza x(n) in ingresso al
filtro da progettare.
Definita y d(n) = x(n) ⊗ h d(n) come "l'uscita desiderata", e'
possibile progettare il filtro FIR con funzione di trasferimento
H(z) definita da
H(
z)
=
∑ + M N
i=
M
h(
i)
z
−i

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.48
in modo da minimizzare l'energia dell'errore {e(n)} di progetto
sull'uscita del sistema, ovvero:
E[|e(n)| 2 ]=E[|y(n)-y d(n)| 2 ]
ove y(n) = x(n) ⊗ h(n), rispetto ai coefficienti h(i) (per
i=M...M+N).
x(n)
segnale
determinato
in ingresso
filtro desiderato
h(n)
d
h(n)
filtro progettato
y d(n)
y(n)
Occorre quindi trovare il minimo della funzione:
e(n)
errore da
minimizzare.
⎡ ⎤
⎢ ⎥
2
= − d
2
=
M+ N
i= M
− − d
2
E[ e( n) ] E[ y( n) y ( n) ] E h( i) x( n i) y ( n)
⎥
∑
⎦
⎣⎢ rispetto alle N+1 incognite h(i), ove la sommatoria su n si estende
ovunque possibile (dipende dall'estensione temporale dei segnali
in gioco).
Effettuando la derivazione rispetto ad h(i) (per semplicita', le
sequenze ed i filtri sono supposti reali, anche se si perviene allo
stesso risultato per sequenze o filtri complessi) ed eguagliando a
zero le N+1 funzioni si ottiene:

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.49
2
∂Een
[ ( ) ]
∂hm
( )
= 2 Exn [ ( − men ) ( )] =
M+ N
⎧ ⎫
⎡ ⎤
= 2 E x( n−m) h( i) x( n−i) − y ( n)
= 0
per m = M...M+N.
d
⎨ ⎬
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎩ ⎭
i= M
∑
Per cui, si ha il seguente sistema di N+1 equazioni in N+1
incognite:
M+ N
i= M
∑
ovvero:
[ − − ] = [ − ]
hi ( ) E xn ( m) xn ( i) E xn ( m) y ( n)
M+ N
i= M
hi () R ( m− i) = R ( m)
xx xy
∑
(m = M...M+N) avendo definito le correlazioni statistiche:
[ ]
R ( m) = E x( n) x( n+ m)
xx
[ ]
R ( m) = E x( n) y ( n+ m)
xd d
(eventualmente) stimabili mediante le correlazioni temporali (il
fattore di scala non modifica l’equazione, essendo presente in
ambo i membri):
C ( m) = xn ( ) xn ( + m)
xx
∑
n
C ( m) = C ( m) ⊗h
( m)
xd xx d
d
d

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.50
Pertanto i coefficienti del filtro h(n) sono dati dalla soluzione del
seguente sistema espresso in forma matriciale:
⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
Rxx(0) Rxx( −1) ... Rxx(
−N) h(M)
R (1) R (0) ... R ( − N + 1) h(M + 1)
R (N) R (N − 1) ... R (0) h(M + N)
Rxd(M)
Rxd(M
+ 1)
...
R (M + N)
⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢
⎥
⎢
xx xx xx
... ... ... ... ...
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎢ xx xx xx
xd
che ha per soluzione:
h(M)
h(M + 1)
⎡ ⎤
⎥
⎢
⎥ =
⎢
...
h(M N)
⎡ ⎤
⎡ ⎤
Rxx(0) Rxx( −1) ... Rxx(
−N) −1
R (1) R (0) ... R ( − N + 1)
⎥
⎢
⎥
⎢ xx xx xx
... ... ... ...
R (N) R (N −1)
... R (0)
Rxd(M)
Rxd(M
+ 1)
...
R (M + N)
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
+ xx xx xx
xd
ovvero, sostituendo le correlazioni statistiche con le stime
temporali:
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
h(M)
h(M + 1)
...
h(M + N)
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
C
C
C
xx
xx
...
xx
(0)
(1)
(N)
C
C
C
xx
xx
xx
( −1)
...
(0)
(N − 1)
...
...
...
...
C
C
( −N)
( −N
+ 1)
C
...
xx
(0)
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
−1
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
C
C
C
xd
xd
xd
(M)
(M + 1)
...
(M + N)
Osservazione: il progetto con il metodo della finestra
rettangolare risulta ottimo con il criterio dei minimi quadrati se il
segnale di ingresso ha autocorrelazione impulsiva.
xx
xx
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.51
• periodogramma
ANALISI SPETTRALE
Data una serie {x(n)}, si estragga una sequenza v(n) di lunghezza
finita L mediante la finestra rettangolare w(n) (con 0≤n≤L-1):
v(n) = x(n) w(n)
Il periodogramma si puo' definire come:
I(
ω)
=
∑ − L 1
Cvv
m=
−L
+ 1
( m)
e
− jωm
ove C vv(m) e' la sequenza della autocorrelazione (temporale) di
{v(n)}:
C
vv
( m)
=
∑ − L 1
n=
0
x(
n)
w(
n)
x(
n
−
m)
w(
n
−
m)
Si puo' dimostrare che per ω k=2πk/N (con N≥L), i campioni del
periodogramma I(ω k) sono equivalentemente definibili come:
I ( ω ) =
k
V(
k)
ove V(k) e' la DFT su N punti di v(n)=x(n)•w(n).
Se scegliamo N piu' grande di L, i campioni frequenziali
risulteranno come interpolati con la tecnica zero-padding.
Questa ultima relazione fornisce un mezzo di calcolo veloce di
campioni del periodogramma mediante algoritmi FFT.
2

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.52
• proprieta' del periodogramma
Detto P xx(ω) lo spettro di densita' di potenza vero e W(ω) la
trasformata di Fourier della finestra w(n), si ha:
-) valore atteso:
1
π
2
[ I(
ω)
] P ( θ ) W(
ω −θ
) dθ
≠ P ( ω)
E = xx ∫ xx
−π
2π
lo stimatore e' polarizzato (non lo e' soltanto asintoticamente
⇒
per L→+∞);
-) varianza:
[ I(
) ]
var ω ≈ P ( ω)
la varianza non va a zero ⇒ lo stimatore non e' consistente (non lo
e' neppure asintoticamente per L→+∞);
xx
2

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.53
-) tecnica del periodogramma mediato
Per cercare di rendere consistente l'estimatore, almeno
asintoticamente, si adotta la tecnica del periodogramma mediato:
1) si suddivide la serie osservata x(n) di lunghezza Q in K
sottosequenze, utilizzando finestre w(n) di lunghezza L (con
L

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.54
• serie MA
(Moving Average - Media Mobile)
P
( ω)
= σ
y
x(n) y(n)
FIR
h(n)
R xx(k)
= σ (k) δ
serie MA
2 x
M
k = 0
∑
y(
n)
=
M
k = 0
∑
b
k
x(
n
−
k)
h ∑ ( n)
= bk
δ ( n − k)
H(
z)
=
=
k 0
2
R yy(
k)
= R xx ( k)
⊗Chh(
k)
= σ x Chh
M
2
∗ ∗ 2
Py ( z)
= σ x H(
z)
H ( 1/
z ) = σ x
k = −m
∑
2
x
H(
ω)
2
= σ
2
x
C
M
hh
b
−k
k z
( k)
( k)
z
−k
−k
[ C ( 0)
+ C ( k)
z ]
hh
k=
−m
∑
hh

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.55
• serie AR
(Auto-Regressive - Auto-Regressiva)
: ove
) z ( P
=
N
k=
1
∑
x(n) y(n)
IIR
h(n)
R (k) = (k) δ
serie AR
xx
y(
n)
σ 2
x
= −
( z)
=
1 +
N
k = 1
∑
a
1
k
y(
n
−
k)
+ x(
n)
1
= −
1+
z P(
z)
H N
k = 1
− k
a k z
1
k z a
−k+
1
∑
Serie AR causale: poli di H(z) dentro il cerchio unitario.
2
R yy(
k)
= R xx(
k)
⊗Chh(
k)
= σxChh
( h)
2
∗ ∗ 2 1 1
Py ( z)
= σx
H(
z)
H ( 1/
z ) = σx
−1
∗ ∗
1 − z P(
z)
1+
z P ( 1/
z )
P
y
( ω)
= σ
2
x
H(
e
jω
)
2
=
1+
N
k = 1
∑
σ
a
2
x
k
e
− jωk
2

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.56
• modello AR e stima spettrale AR
serie osservata
(qualunque)
x(n) IIR y(n)
R (k) = (k)
xx σ δ
2
x
h(n)
serie AR
w(n)
si impone:
stessa autocorrelazione
R (k) = R (k)
ww yy
modello AR causale
di {w(n)}
Si definisce stima spettrale AR (o spettro AR) Pw(ω) di una serie
osservata (qualunque) {w(n)}:
la trasformata di Fourier Py(ω) della autocorrelazione Ryy(k) dell'uscita {y(n)} del modello AR causale di {w(n)}.
Infatti, per costruzione: Rww(k)=Ryy(k) e Pw(ω)=Py(ω). • equazioni di Yule-Walker
Per un modello AR (causale) valgono le seguenti relazioni
(equazioni di Yule-Walker):
⎨
⎩
R
0
yy
⎧
ove : R yx ( n)
= 2
inf
atti :
E
σ
n
( n)
= −
per
N
k = 1
∑
per
∗ [ y ( i)
y(
i n)
]
a
k
R
yy
n > 0
n = 0
( n − k)
⎧ ⎡
⎨ ∑ ⎢
⎣
⎩
N
+
∗
= E y ( i)
−
k = 1
+
a
R
k
yx
( n)
y(
i
+
n
−
k)
+
x(
i
+
n)
⎤ ⎫
⎥
⎦
⎬
⎭

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.57
• predizione lineare
data una serie x(n) osservata per N campioni:
Problema:
x(n-N+1), x(n-N+2), ••• , x(n-1), x(n)
determinare una predizione del campione seguente x(n+1),
combinando linearmente gli N campioni disponibili.
x(n+1)
x(n)
z -1
-a 1
z -1
-a
2
z -1
•
•
•
z
-a
N
-1
•
•
•
1
-1
P(z)
predittore
H(z)
^x(n+1)
e
filtro dell'errore
di predizione
e(n+1)

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.58
filtro predittore lineare (di ordine N-1) P(z) di una serie e':
P(
z)
= −
N
k = 1
∑
a
−k
+ 1
k z
predizione lineare (di ordine N-1) di una serie x(n) e':
xˆ ( n
+ 1)
= −
∑ − N 1
k = 0
a
k + 1
x(
n
errore di predizione lineare (di ordine N) e':
e(
n
−
k)
+ 1)
= x(
n + 1)
− xˆ ( n + 1)
= x(
n + 1)
+
ovvero, equivalentemente:
e(
n)
=
x(
n)
− xˆ ( n)
= x(
n)
+
N
k=
1
∑
filtro (di ordine N) dell'errore di predizione e':
H
e
( z)
= 1+
N
k = 1
∑
a
k
z
a
−k
k
∑ − N 1
k=
0
x(
n
a
k + 1
−
k)
x(
n
Osservazione: il filtro FIR (di ordine N) dell'errore di
predizione e' l'inverso di un filtro IIR (di ordine N).
−
k)

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.59
• predizione lineare ottima
Determiniamo i coefficienti {a i} con il criterio del minimo errore
quadratico medio (MSE), essendo MSE = E[|e(n)| 2]
condizione di minimo (per 1≤i≤N):
∂ MSE ∂ E
0 = = ∗
∂ a ∂ a
= E
i
[ ] 2
e(
n)
∗
= E[
x ( n − i)
e(
n)
]=
∗
i
N
∗
∗
{ x ( n − i)
x(
n)
} + a E{
x ( n − i)
x(
n − k)
}
k = 1
∑
per cui si ottengono le medesime equazioni di Yule-Walker:
R
xx
( i)
k
N
1
a
k
R
xx
( i −
k
k)
= 0
( per
1≤
i≤
N)
+∑ =
Sotto tale condizione di minimo l'MSE assume il valore:
σ
2
= min
= E
{ [ ] } 2
E e(
n)
= E [ x(
n)
− xˆ ( n)
]
∑ ∗ { x(
n)
e(
n)
} = R xx ( 0)
+
N
k=
1
{ e(
n)
} ∗
a
k
R
xx
( −k)
Osservazione: il filtro (di ordine N) dell'errore di predizione
su {x(n)} e' l'inverso del modello AR (di ordine N) di {x(n)}. E'
sempre a fase minima, dato che il suo inverso e' causale.
Osservazione: i coefficienti del predittore lineare ottimo della
serie {x(n)} di ordine N-1 sono IDENTICI a quelli del modello
AR di ordine N della stessa serie {x(n)}.

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.60
• soluzione delle equazioni di Yule-Walker e
recursione di Levinson-Durbin
Le equazioni di Yule-Walker sono esprimibili in forma matriciale,
assumendo di adoperare le prime N equazioni (+1 per la
varianza), per risolvere il sistema di N incognite (+1 per la
varianza):
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
R
R
R
xx
xx
xx
...
(0)
(1)
(N − 1)
R
R
σ
R
xx
2
xx
xx
( −1)
...
(0)
(N − 2)
= R
xx
...
...
...
...
( 0)
+
R
R
xx
xx
N
( −N
+ 1)
( −N
+ 2)
R
i=
1
∑
...
xx
a
i
(0)
R
xx
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎢ ⎥
⎦ ⎣
a
a
a
1 ⎤
⎥
2 ⎥
...
( −i)
⎥
⎥
N ⎦
= −
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
R
R
R
xx
xx
...
xx
(1)
(2)
(N)
La soluzione e' banalmente ottenibile invertendo la matrice di
autocorrelazione:
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
a
a
⎤ 1 xx ⎡
⎥
2 ⎥
...
a
⎥
⎥
N ⎦
=
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
R
R
R
xx
xx
...
(0)
(1)
(N − 1)
σ
2
R
= R
R
R
xx
xx
xx
( −1)
xx
...
(0)
(N − 2)
( 0)
+
N
i=
1
∑
...
...
...
...
a
i
R
R
R
xx
xx
( −N
+ 1)
( −N
+ 2)
R
xx
...
xx
(0)
( −i)
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
−1
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
R
R
R
xx
xx
...
xx
(1)
(2)
(N)
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.61
La soluzione puo' essere ottenuto in modo piu' efficiente in forma
ricorsiva (soluzione al passo N+1 in funzione della soluzione al
passo N).
Riscrivendo l'intero sistema di Yule-Walker (N+1 equazioni in
N+1 incognite) come:
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
R
R
R
xx
xx
...
xx
(0)
(1)
(N)
R
R
R
xx
xx
xx
( −1)
...
(0)
(N − 1)
...
...
...
...
R
R
xx
xx
( −N)
( −N
+ 1)
R
...
xx
(0)
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎢ ⎥
⎦ ⎣
a
a
1
⎤
⎥
N1 ⎥
...
⎥
⎥
NN ⎦
si puo' estendere aggiungendo un'equazione ed un'incognita:
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
R
R
R
R
xx
xx
xx
...
xx
(0)
(1)
(N)
(N + 1)
R
R
R
xx
R
xx
( −1)
xx
...
(N − 1)
xx
(0)
(N)
...
...
...
...
...
R
xx
R
( −N)
...
xx
(1)
xx
R
( −N
− 1)
xx
R
xx
( −N)
( −1)
xx
(0)
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
a
⎢ ⎥
⎦ ⎣
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
a
⎣
σ
0
1
2
N
⎤
...
0
⎤
⎥
N1 ⎥
...
⎥
⎥
NN ⎥
che, ribaltata e coniugata, diviene (essendo R xx(k)=R xx *(-k)):
...
...
R
R
...
0
⎥
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
=
2
N σ ⎡ ⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
0
...
0
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥ ⎢
⎣ 0 ψ ⎦

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.62
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
−
−
−
−
−
−
∗
∗
∗
2
N
N
N1
NN
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
σ
0
...
0
ψ
1
a
...
a
0
(0)
R
(1)
R
...
(N)
R
1)
(N
R
1)
(
R
...
...
1)
(N
R
(N)
R
...
...
...
...
...
N)
(
R
...
...
(0)
R
(1)
R
1)
N
(
R
N)
(
R
...
1)
(
R
(0)
R
Effettuando poi la combinazione lineare:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
∗
0
0
...
0
σ
σ
0
...
0
ψ
σ
ψ
ψ
0
...
0
σ
2
1
N
2
N
N
2
N
N
N
2
N
ove e' stato definito:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
ψ
−
σ
=
σ +
2
2
N
N
2
N
2
1
N
1
i parametri del modello di ordine N+1 risultano:

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.63
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
a
a
a
ove,
in particolare:
a N
1
N+
1,1
...
N+
1, N
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
N+
1, N+
1 ⎦
Pertanto, riassumendo:
a
a
nn
ni
R
= −
= a
+ 1,
N+
1
xx
n −1,
i
=
= −
( n)
+ a
nn
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
+
a
a
ψ
σ
a
1
⎤
⎥
N,1 ⎥
...
⎥
⎥
N, N ⎥
0
N
2
N
n −1
m=
1
∑
2 2
σn = σn
−1
a
⎥
⎦
n −1,
n −i
( 1
−
n −1,
m
σ
2
n −1
σ
ψ
N
2
N
R
xx
( per
che va inizializzato (n=0) con σ 0 2 =Rxx(0).
a
nn
2
)
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
a
a
( n
0
⎤
∗ ⎥
N, N ⎥
...
⎥
∗ ⎥
N,1 ⎥
N.B.: i termini a nn (sempre ≤1 in modulo) sono detti coefficienti di
riflessione o "parcor".
−
1
i <
−
⎥
⎦
n)
m)

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.64
• struttura a traliccio del modello AR
Data una serie {x(n)}, l'errore di predizione di ordine N, costituito
dall'uscita di un filtro di ordine N dell'errore di predizione
(predittore di ordine N-1), risulta pari a:
e
N
( n)
=
x(
n)
− xˆ
N
( n)
=
x(
n)
+
N
k = 1
∑
a
Nk
x(
n
Se applichiamo la recursione di Levinson, otteniamo:
eN ( n)
= eN
−1(
n)
+ a NN bN
−1(
n −1)
avendo definito l'errore di retrodizione di ordine N b N(n):
b
N
analogamente:
( n)
=
x(
n
−
N)
+
N
k = 1
∑
a
∗
Nk
x(
n
∗
bN ( n)
= bN
− 1(
n −1)
+ a NN eN
−1(
n)
che corrisponde al seguente grafo "a traliccio":
x(n)
1
z -1
1
e(n)
1
b(n) 1
z -1
+
*
a
*
a
11
a
11
1
1
1
22
a
22
1
k
−
−
N)
k)
e (n)
2
b (n)
2

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.65
EFFETTI DI QUANTIZZAZIONE
• quantizzazione di conversione
I segnali per essere elaborati da un DSP devono essere
QUANTIZZATI, in modo da poter essere rappresentati da un
numero finito di bit.
Pertanto, i valori ammissibili sono soltanto un insieme FINITO di
valori reali (o complessi).
Q[x]
Δ
max dinamica di x
x
= intervallo di
quantizzazione
Ogni segnale a tempo discreto, rappresentato con un numero finito
di bit, porta con se' un errore dovuto al troncamento o, piu'
frequentemente, all'arrotondamento dei valori analogici assunti.
Alla sequenza di errore (differenza tra il valore analogico ed il
valore quantizzato) cosi' ottenuta si da' il nome di rumore di
quantizzazione di conversione.
Ovviamente, la dinamica del segnale non deve mai eccedere il
massimo (ed il minimo) valore rappresentabile. In tal caso si parla
di errore di overflow, che altera irrimediabilmente il contenuto
informativo del segnale analogico.

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.66
• quantizzazione dei parametri
Anche i parametri dei sistemi di elaborazione (es. filtri numerici)
sono quantizzati per poter essere rappresentati da registri di
lunghezza finita.
In pratica, cio' modifica la posizione di zeri e poli nelle strutture
lineari, alterando la risposta in frequenza del filtro implementato.
Per i sistemi FIR questo non porta particolari conseguenze, in
quanto eventuali simmetrie dei coefficienti dovrebbero
permanere, anche se con valori leggermente differenti.
Al contrario, nei sistemi IIR possono verificarsi conseguenze
"drammatiche" per la stabilita' dei filtri stessi. Infatti, particolare
attenzione va riposta nella quantizzazione dei coefficienti di filtri
IIR quando uno o piu' poli sono prossimi al cerchio unitario, per
evitare che l'arrotondamento sul coefficiente quantizzato porti i
poli in posizione esterna al cerchio unitario, provocando
l'instabilita' della struttura.
Infatti, la sensibilita' della posizione dei poli zi allo posizione dei
coefficienti ak del denominatore A(z) di H(z) e':
ove:
A(
z)
= 1−
N
∂ z
∂ a
i
k
N
−k
a k z = ∏ ∑
k = 1
j=
1
=
z
N−
k
i
N
∏( zi
j=
1,
j≠i
( 1−
z
j
z
−1
)
− z
Pertanto, e' buona norma verificare l'effettiva posizione dei poli
DOPO la quantizzazione dei coefficienti, specialmente nei filtri
risonanti e nelle strutture di calcolo della DFT.
j
)

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.67
• quantizzazione di arrotondamento del risultato
di operazioni
Nei dispositivi di elaborazione numerica, oltre ai segnali di
ingresso ed i parametri del sistema, vengono quantizzati anche i
risultati delle relative operazioni implementate.
Pertanto, l'errore (o rumore) di quantizzazione dovuto
all'arrotondamento del risultato di operazioni matematiche
dipende dai valori istantaneamente assunti dai segnali in gioco.
Ma, poiche' e' assai difficile valutare deterministicamente l'entita'
di tale errore, dipendente dai valori assunti dal segnale, se ne
effettua un'analisi statistica modellando la sequenza di segnale e
l'errore di quantizzazione come realizzazioni di processi aleatori.
Solitamente, per semplificare l'analisi, si assume che il rumore di
quantizzazione sia realizzazione di un processo stazionario, a
distribuzione uniforme, bianco ed incorrelato con il segnale.
La valutazione dell'entita' del rumore di quantizzazione in
rapporto alla potenza del segnale, unita ai requisiti di dinamica e
risoluzione, e' determinante nella progettazione di sistemi
numerici, specialmente in quelli in virgola fissa, spesso adoperati
come elaboratori veloci di segnali numerici.

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.68
• quantizzazione in sistemi FIR e IIR con
aritmetica in virgola fissa
Nei dispositivi in virgola fissa, la sorgente di errore di
quantizzazione e' l'operazione di moltiplicazione.
Invece, l'operazione di addizione e' effettuata senza alcun errore,
sempre che la dinamica del sistema sia stata adeguatamente
progettata per garantire l'assenza di traboccamento (overflow),
ovvero che il risultato rientri nell'intervallo dei numeri
rappresentabili con i bit disponibili (requisito di dinamica).
Dato che i segnali sono quantizzati, e' possibile modellare l'effetto
delle quantizzazioni con una sorgente aleatoria di rumore bianco
per ogni prodotto, che supponiamo anche incorrelato con il
segnale e con le altre sorgenti.
Per poterne valutare il contributo sull'uscita in termini di potenza
di rumore, e' necessario progettare i quantizzatori con dinamica e
risoluzione opportune.
La dinamica deve consentire la rappresentazione, senza
saturazione, di qualunque valore assunto dai segnali che
attraversano il sistema in ogni punto del sistema stesso.
E' sufficiente imporre tale condizione all'ingresso ed all'uscita.
Allora, detti x MAX il massimo ingresso ed y MAX la massima
uscita, deve essere scelto un valore massimo rappresentabile s MAX
tale che:
s ≥ x ed s ≥
MAX
MAX
MAX
y
MAX
che garantisce l'assenza di traboccamento (overflow).

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.69
Dopo aver imposto la dinamica di ingresso dobbiamo controllare
quella di uscita.
Sovente, non conoscendo l'evoluzione a priori dell'uscita del
sistema, ci si cautela con le scelte:
s
MAX
≥
x
MAX
ed
MAX
ove h(n) e' la risposta impulsiva del filtro.
s
≥
x
MAX
⋅
∑ − N 1
n=
0
h(
n)
Si osservi che quello adottato e' un criterio conservativo, poiche' il
fatto che l'ingresso sia entro la dinamica massima implica, in
questo caso, che anche l'uscita rimanga entro la dinamica.
Talvolta, i segnali in gioco non sono a priori limitati in ampiezza,
come nel caso di distribuzioni di tipo gaussiano.
In tale caso, e' possibile scegliere per x MAX oppure y MAX un
valore finito tale che esso superi s MAX raramente, ovvero che
l'area della densita' di probabilita' oltre quel valore sia
trascurabile. Ad esempio, se si osserva che |x(n)|>4σx con
probabilita'

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.70
Una volta scelta la dinamica, la risoluzione Δ, cioe' la differenza
fra livelli discreti contigui per quantizzazioni uniformi, dipende
dal numero di bit (b+1). Essa e' infatti:
Δ =2 -b • s MAX
Sono percio' rappresentabili tutti i valori compresi nell'intervallo
[-s MAX, s MAX] con risoluzione Δ.
L'errore di quantizzazione nel caso di arrotondamento e' limitato
entro l'intervallo [-Δ/2 , Δ/2].
La varianza di tale errore, assunto con distribuzione uniforme, e'
pari a:
σ
2
e
2
Δ 2
= =
12
−2b
⋅s
12
2
MAX
Per calcolare la potenza del rumore di quantizzazione in uscita, al
fine di analizzare il comportamento del filtro in esame nei riguardi
del rumore, e' utile determinare le funzioni di trasferimento
rumore-uscita di ogni singola sorgente di rumore (posta subito
dopo ogni moltiplicazione) per combinarne i risultati mediante la
sovrapposizione degli effetti.

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.71
Al riguardo, e' opportuno notare che un sistema di tipo FIR
definito dall'equazione alle differenze:
y(
n)
=
N
k = 0
∑
b
k
x(
n
presenta un legame diretto ingresso-uscita, per cui i rumori si
sommano semplicemente.
Pertanto detto σ i 2 la varianza di ogni generatore di rumore, la
varianza di rumore in uscita σ u 2 risulta:
σ
2
u
=
N
k = 0
∑
σ
2
i
−
k)
= ( N + 1)
σ
Al contrario, l'effetto in uscita di generatori di rumore in blocchi
IIR va pesato con le rispettive funzioni di trasferimento rumoreuscita.
In particolare, se lo schema di flusso prevede che tutti i generatori
di rumore agiscano direttamente sull'ingresso, come nel caso:
y(
n)
k
N
1
a
k
y(
n
−
k)
+
2
i
x(
n)
=∑ =
la funzione di trasferimento rumore-segnale coincide per tutti i
generatori con quella del filtro in esame (cioe' {h(n)}).
Per cui, la varianza di rumore in uscita σ u 2 corrisponde a quella in
ingresso σ i 2 in base alla relazione:
σ
2
u
=
N +∞
2 2 2
h(
n)
σi
= N σi
+∞
k 1 n= 0
n=
0
∑
=
∑∑
h(
n)
2

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.72
E' questo il caso, ad esempio, di un sistema IIR del primo ordine
del tipo:
y(n) = a y(n-1) + x(n)
per il quale la varianza di uscita σ u 2 risulta in funzione di quella di
ingresso σ i 2 in base alla semplice espressione:
σ
2
u
=
σ
σ
∑ +∞
2
2
2 i
i h(
n)
=
n=
0 1−
• effetti di quantizzazione su DFT e FFT
L'effetto della quantizzazione nelle strutture di calcolo della DFT
ed IDFT definite da:
ove e' stato posto:
X(
k)
x(
n)
=
=
1
N
W
∑ − N 1
n = 0
N
∑ − N 1
k = 0
nk
x(
n)
WN
= e
X(
k)
2π
− j
N
W
a
−nk
N
e' analogo a quello dei filtri FIR ad N coefficienti.
2

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.73
Valutiamo la potenza del rumore di quantizzazione (in relazione a
quella del segnale utile) in uscita ad un dispositivo di calcolo che
utilizza b+1 bits (b mantissa + 1 segno).
Assumiamo, per comodita', SMAX=1, in quanto un diverso valore
di SMAX non altera i rapporti segnale/rumore.
Come nei filtri FIR, gli N generatori (complessi) di rumore
sommano i propri effetti DIRETTAMENTE sull'uscita. Ad ogni
generatore complesso corrispondono 4 generatori reali, poiche'
sono 4 le moltiplicazioni reali corrispondenti ad una
moltiplicazione complessa.
Assumendo ogni variabile di rumore bianca ed uniformemente
distribuita in [-2-b-1 ,2-b-1 ], la potenza di rumore totale in uscita
risulta:
E
−2b
−2
2 2 2
[ eu
( k)
] = 4N
= N
12 3
mentre, dovendo porsi per il requisito di dinamica (YMAX=1), 1
Re al{
X MAX } = Im ag{
X MAX } =
2 N
ed assumendo una distribuzione uniforme dei dati {x(n)}
nell'intervallo anzi detto, la potenza di segnale in uscita risulta:
2 1 1
[ N(
k)
] = N =
3 N
E 2
3 N
per cui il rapparto rumore/segnale (NSR) risulta:
2
NSR =
N 2
−2b
b

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.74
Il rapporto rumore/segnale non cambia se si adopera un algoritmo
FFT del tipo illustrato in figura per N=8:
x(0)
x(4)
x(2)
x(6)
x(1)
x(5)
x(3)
x(7)
WN 0
W
N
0
W
N
0
W
N
0
-1
-1
-1
-1
W
N
0
W
N
2
W
N
0
W
N
2
-1
-1
-1
-1
Tuttavia, e' possibile modificare l'algoritmo FFT per ridurre
l'effetto dell'errore di quantizzazione.
W
N
0
W
N
1
W
N
2
W
N
3
Ricordando la struttura della farfalla di base:
x (p)
m
x (q)
m
W
N
r
-1
-1
-1
-1
x (p)
m+1
x (q)
m+1
si nota come l'uscita non possa risultare amplificata per piu' di un
fattore 2 rispetto all'ingresso.
-1
X(0)
X(1)
X(2)
X(3)
X(4)
X(5)
X(6)
X(7)

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.75
Se quindi si introducono divisioni per un fattore 2 in ogni farfalla,
l'uscita di ogni butterfly sara' sempre minore o uguale
dell'ingresso:
x (p)
m
x (q)
m
1/2
r
W /2
N
-1
x (p)
m+1
x (q)
m+1
L'intera struttura della FFT risulta cosi' modificata:
1/2
x(0)
0
W N/2
x(4)
1/2
x(2)
0
W /2
N
x(6)
1/2
x(1)
0
W /2
N
x(5)
1/2
x(3)
0
W /2
N
x(7)
-1
-1
-1
-1
1/2
1/2
0
W /2
N
2
W /2
N
1/2
1/2
0
W /2
N
2
W /2
N
-1
-1
-1
-1
1/2
1/2
1/2
1/2
0
W /2
N
1
W /2
N
2
W /2
N
3
W /2
N
-1
-1
-1
-1
X(0)
X(1)
X(2)
X(3)
X(4)
X(5)
X(6)
X(7)

G. Giunta: Elaborazione dei Segnali per Telecomunicazioni (laurea specialistica) -lucidon.76
L'effetto della divisione per 2 in ognuno dei ν stadi e' equivalente
ad una divisione per N (ν =log 2 N) all'ingresso della struttura ed
altera percio' le singole funzioni di trasferimento generatore-uscita
degli errori di quantizzazione.
In particolare, mentre la potenza di segnale in uscita non cambia
(e' in sostanza determinata da Y MAX=1), la potenza di rumore
diviene pari a:
E
[ ]
−2b
ν−1
−2b
ν
2 2
ν−m
2ν−2
m−2
2 1−
0.
5 4 −2b
e ( k)
2 ( 0.
5)
= 2
≈ 2
u
= ∑ 3
m=
0
Per cui il rapporto rumore/segnale diviene:
NSR≈
4
N2
−2b
3
1−
0.
5
Si noti come, mentre nello schema tradizionale l'NSR era
proporzionale a N 2 (un bit in piu' per ogni raddoppio del numero
di dati N per ottenere lo stesso valore di NSR), grazie allo schema
della divisione per due in ogni stadio l'NSR cresce
proporzionalmente ad N (mezzo bit in piu' per compensare un
raddoppio di N a parita' di prestazioni).
In pratica, se il massimo dell'ingresso e' unitario (X MAX=1) e si
vuole limitare l'uscita sotto l'unita' (Y MAX=1), nel caso
tradizionale occorre attenuare il segnale di un fattore 1/N, mentre
con lo schema migliorativo e' sufficiente attenuare di 1/2 ogni
stadio.
Pertanto, il primo schema comporta una perdita secca ed
immediata di informazione (ν bits), mentre il secondo schema e'
in grado di trasportare piu' informazione, perdendo
immediatamente un solo bit e, soltanto successivamente, un
ulteriore bit per ogni stadio.
3